十五 压杆稳定资料讲解

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第一节 概述
使杆件保持稳定平衡状态的最大压力
——临界压力 F c r
失稳(曲屈) 稳定的平衡
不稳定的平衡
注: 压杆的临界压力Fcr越高,越不易失稳,即稳定性越好。 细长压杆失稳时的应力一般都小于强度破坏时的应力。 研究压杆稳定性的关键是确定临界压力。
第二节 细长压杆的临界应力 欧拉公式
一、两端铰支细长压杆的临界载荷
2.三杆中最大的临界压力值。
解: 2.计算临界压力
杆c的柔度最小,其临界压力
最大
5m
7m
9m
d
p=
2E P =
2(20× 1 090)
20× 1 060 =9.9 35
c > p 属于大柔度杆
故用欧拉公式计算临界压力
(a)
(b)
(c)
Fcr
2 EI ( l ) 2
=313K6N
例:木柱,b=12cm, h=20cm, l=7 m,λp=110, E=10GPa,由A、
9.5MPa
s z p 属中柔度杆。
采用直线公式: crab
F crcrA22K8N
例:木柱,b=12cm, h=20cm, l=7 m,λp=110,λs=80, E=10GPa,由
A、B两销子固定。 试求:Fcr
z
y b
F
h
A
B
Fx
解:
l
(1)若在xoz平面内失稳,绕y轴转动, 此时: Fcr 162KN
S <<p 经验公式
3.计算压杆的临界压力
4.根据稳定性条件进行稳定性校核或确定许用载荷
第四节 压杆的稳定性计算
二、提高压杆抗失稳能力的措施
σ cr =
2E
λ2
1、合理选材,提高E 2、降低杆件柔度
l i
说明:
局部削弱,对压杆 的稳定性影响很小,压 杆的稳定性是个整体概 念。
(1)改善端部约束。
(2)减小压杆支撑长度,如: 增加多余约束。 (3)选择合理的截面形状。
说明:
1、临界载荷Fcr与杆的抗弯刚度成正比;
x
2、临界载荷Fcr与杆长成反比;
y
z
3、欧拉公式中的横截面的惯性矩I应取最小值Imin;
已知:横截面尺寸为宽3cm,厚0.5cm
10cm
压杆失稳时,总是在抗弯能力为最小的纵 向平面(即最小刚度平面)内弯曲;
第二节 细长压杆的临界应力 欧拉公式
二、两端非铰支细长压杆的临界载荷
定义: 表示临界应力随杆件的柔度变化的规律的图。
小柔度杆—发生 屈服破坏
中柔度杆—发生
弹塑性屈曲 l i
大柔度杆—发 生弹性屈曲
其中:
p
2E p
s
a
s
b
第四节 压杆的稳定性计算
一、压杆分析的基本步骤
1、判定压杆的约束条件,确定μ
4、求临界载荷,进行 稳定性校核。
2、计算压杆实际柔度
Fcr cr A
惯性半径i I A
σcr =
2Ei2
( l)2
定义 l
iቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
σcr =
2E
λ2
第三节 欧拉公式的适用范围 经验公式
一、压杆的临界应力
1、定义: 压杆在临界压力作 用下横截面上的应力
σ cr =
2E
λ2
其中 l i
——欧拉临界应力公式
说明:
1、 λ为杆件的柔度, 又称压杆的长细比。是 无量纲的量,它集中反 映了压杆的长度、杆端 约束条件、截面尺寸和 形状等对临界应力的影 响。
A、B两销子固定。 试求:Fcr
z
y b
F
h
A
B
Fx
解:
l
(1)若在xoz平面内失稳,绕y轴转动, 此时: Fcr 162KN
(2)若在xoy平面内失稳,绕z轴转动 , 这时:
0.5,Izb 13h2 28c8m 4,0 l7m查表知:a=28.7,b=0.19
z
l
iz
l/
Iz 101 A
cr 28.70.19101
∴ σcr ≤σp
说明:
1、σ cr ≤σp的杆件叫细长杆, 或大柔度杆。
2、当σcr =σp

p =
2E p
或 2E p
3、对λ<λp的压杆,不能 用欧拉公式,可用后面 介绍的经验公式.
第三节 欧拉公式的适用范围 经验公式
三、经验公式 (1) 三类不同的压杆
细长杆(大柔度杆)—发生弹性屈曲,失稳 λ> λp
第十五章 压杆稳定问题
第一节 概述 第二节 细长压杆的临界应力 欧拉公式 第三节 欧拉公式的适用范围 经验公式 第四节 压杆的稳定性计算举例
第一节 概述
• 问题引入
已知 : c 40MPa,
A30.51.5cm2
求: 使其破坏所需压力。
10cm
3cm
第一种情况:
P c A 4 0 1 0 6 1 .5 1 0 4 6 0 0 0 N
F
F
F
F
各种支承压杆临界载
荷的通用公式: (仍称欧拉公式)
F cr =
2EI
( l)2
——长度因数 l ——相当长度
第三节 欧拉公式的适用范围 经验公式
一、压杆的临界应力
1、定义: 压杆在临界压力作 用下横截面上的应力。
σcr =
F cr A
F cr =
2EI
( l)2
σcr =
2EI
( l)2A
例:三根直径均为d=16cm的圆杆,其长度及支承情况如图
示。圆杆材料为Q235钢,E=200GPa,σp=200MPa,试求:
1.哪一根压杆易丧失稳定?
2.三杆中最大的临界压力值。
解: 压杆的柔度越大,临界压力
越小,越容易失稳。
1.计算柔度
5m
7m
9m
d
I d4×4 d
i=
= A
64×d2
= 4
杆a: 杆b: 杆c:
考察微弯状态下局部压杆的平衡
F
Fcr
w
F
w
F
第二节 细长压杆的临界应力 欧拉公式
一、两端铰支细长压杆的临界载荷
考察微弯状态下局部压杆的平衡
w
F
w
F
M (x) = – F w (x)
M (x)
=
EI
d2w d x2
F k2= EI
d2w d x2
+
k2w
=0
第二节 细长压杆的临界应力 欧拉公式
一、两端铰支细长压杆的临界载荷
●受压杆则要考虑稳定性问题。
●短粗的压杆——强度问题
●细长的压杆——稳定性问题
10cm
3cm
第一节 概述
中心受压细长直杆的稳定性
稳定平衡 临界状态 不稳定平衡
F
F
F
F<Fcr
F=Fcr
F>Fcr
第一节 概述
压杆稳定的概念
平衡构形—压杆的两种平衡构形:
FP<Fcr : FP>Fcr :
直线平衡构形
第一节 概述
上述细长压杆之所以失效,是由于稳定性不足 带来的,与杆件的强度刚度无关。这种失效我们称 为失稳,或称屈曲。
稳定性——指承载物体在外界干扰下保 持原有平衡状态的能力。
第一节 概述
刚体平衡的稳定性 稳定平衡
不稳定平衡
第一节 概述
杆件平衡的稳定性
● 受拉杆的平衡是稳定的,不 讨论其失稳问题。
B两销子固定。 试求:Fcr
z
y b
F
h
A
B
Fx
解:
l
(1)若在xoz平面内失稳,绕y轴转动
1,Iyb 13h 2 80c0m 4,0 l7m
yiyll/ IA y 121p110 属大柔度杆。
Fcr (2El)2Iy 162KN
例:木柱,b=12cm, h=20cm, l=7 m,λp=110,λs=80, E=10GPa,由
d2w d x2
+
k2w
=0
F k2= EI
微分方程的解
w =Asinkx + Bcoskx
边界条件
w ( 0 ) = 0 , w( l ) = 0
第二节 细长压杆的临界应力 欧拉公式
一、两端铰支细长压杆的临界载荷
w =Asinkx + Bcoskx
w(0)=0 A•0+B•1=0
B=0
w ( l ) = 0 A • sinkl + B • coskl =0
3
F BC F crBC lB 2E 2 C I432 lE 2 IPsin
=18°26'
42EI
EI
3.结构的最大临界载荷值 Pmaxl2cos41.6l2
第四节 压杆的稳定性计算
总结:压杆的稳定性计算
1.判别压杆可能在哪个平面丧失稳定;
2.计算压杆的柔度 ,选定计算公式;
> p
欧拉公式
l
压杆的稳定条件:
i 其中:
圆形: id/4
F Fcr
nst
Fst
同心圆环:i(D14)/4,d/D
矩形(b>h): i h /(2 3) 型钢: 查表求i
或: cr
nst
st
3、根据杆件的柔度类型求临界 应力。
其中: nst为稳定安全因数, [Fst] 为稳定许用压力, [σst] 为稳定许用应力。
l
i
41105-2
125
l
i
40 .710- 72 122.5
l
i
40 .5109 -2 112.5
(a) (b)
(c)
可见杆a的柔度最大,故最易失稳
例:三根直径均为d=16cm的圆杆,其长度及支承情况如图
示。圆杆材料为Q235钢,E=200GPa,σp=200MPa,试求:
1.哪一根压杆易丧失稳定?
弯曲平衡构形 (在扰动作用下)
直 线 平 衡 构 形
弯 曲 平 衡 构 形
第一节 概述
压杆稳定与不稳定的静力学准则 压杆稳定的概念
FP<Fcr :在扰动作用下,直线平衡构形
转变为弯曲构形,扰动除去后,能够恢
复到直线平衡构形,则称原来的直线平
衡构形是稳定的。
弯 曲

FP>Fcr :在扰动作用下,直线平衡构形
其中: λ为实际柔度,a、b为与 材料有关的常数。
抛物型经验公式
cra1b12
其中: λ为实际柔度,a1、b1为 与材料有关的常数。
利用直线公式可确定
中柔度杆的柔度下限值
为:
s
a
s
b
当柔度很小时,属于短
粗杆,不会失稳,只会被
压坏,是强度问题,只需
进行强度校核。
第三节 欧拉公式的适用范围 经验公式
四、临界应力总图
中长杆(中柔度杆)—发生弹塑性屈曲,失稳
λs < λ <λp
或 σp < σcr < σs
粗短杆(小柔度杆)—不发生屈曲,而发生屈服
λ <λs
或 σs < σcr
第三节 欧拉公式的适用范围 经验公式
三、经验公式
(2) 经验公式适用于中柔度杆 ( λs < λ <λp )
直线型经验公式
说明:
crab
第二种情况:
P30N
2000年10月25日南京电视台演播中心工地事故造成5人死亡
新华网南京10月25日电(记者王家言)今天上午10时30 分,位于南京大光路北侧的南京电视台演播中心,在演播厅施工 浇筑混凝土中,因脚手架失稳,造成演播厅屋盖模板倒塌,部分 施工人员被压。据统计,这次事故已造成5人死亡,另有35人 受伤被送往医院抢救和治疗。
转变为弯曲平衡构形,扰动除去后,不
能恢复到直线平衡构形,则称原来的直
衡 构 形
线平衡构形是不稳定的。
临界载荷: 用Fcr 表示
第一节 概述
压杆稳定与不稳定的静力学准则 压杆稳定的概念
失稳(屈曲)
在扰动作用下,直线平衡
弯 曲
构形转变为弯曲平衡构形,扰动

除去后,不能恢复到直线平衡构
衡 构
形的过程,称为屈曲或失稳。
F k2= EI
F = n22EI
l2
第二节 细长压杆的临界应力 欧拉公式
一、两端铰支细长压杆的临界载荷
F = n22EI
l2
n=1
使压杆在微弯状态下
保持平衡的最小轴向压力 即为压杆的临界载荷
F cr =
2EI
l2
—欧拉公式
第二节 细长压杆的临界应力 欧拉公式
临界载荷:
F cr =
2EI
l2
—欧拉公式
A • sinkl =0
A ≠ 0,否则w 恒等于 0,系统 没有处于失稳状态。
sinkl =0
第二节 细长压杆的临界应力 欧拉公式
一、两端铰支细长压杆的临界载荷
sinkl =0 kl =n , n=0,1,2,…正整数

(1) w(x)=Asin nx
l
说明w是正弦曲线。
(2)
k2 =
n22
l2
稳而破坏,试求载荷P的临界值为最大时的 角及结构的最大临界
载荷。
解:1.受力分析
P
y
x
由节点B的平衡条件
B
FAB=Pcos
F AB
F BC
FBC=Psin
2.稳定分析
A
30 °
C
l
当AB与BC同时达到临界值时,载荷P的值为最大
FAB F crAB lA 2E 2B I4l22E IPcos
1
tan =
2、此处公式均由欧拉 公式导出,只有适用 欧拉公式的杆件才能 使用此公式。
第三节 欧拉公式的适用范围 经验公式
二、欧拉公式的适用范围 σ cr =
2E
λ2
1、小变形(挠曲线微分方程)
2、公式推导中,用到了中性层 的曲率公式,而曲率公式导出 时用到了胡克定律,因此,欧 拉公式适用于胡克定律的适用 范围内:比例极限内。
(2)若在xoy平面内失稳,绕z轴转动 , 这时:Fcr 228KN
(3)比较(1)、(2)结果,可知:
说明:
Fcr 162KN
应先计算杆件柔度,然后选用公式,否则可能发 生错误。
例: 两根材料相同,抗弯刚度为EI的细长杆AB与BC,用销钉联结
如图。若角度 只能在0
~
2
间变化,且杆足够细长,结构杆的失
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