用牛顿迭代法求方程的近似解课件
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§5.3 牛顿迭代法
(取初值 x 0.0 也可以，满足条件)
§5.3 牛顿迭代法
§5.3 牛顿迭代法
2x 例12：用牛顿迭代法求方程 e x 4 0 在区间 0.5, 1内根的近似值。
2x 解：设 f ( x) e x 4
f ( x) 2e2 x 1 0, f ( x) 4e2 x 0
说明 牛顿法计算时要用到函数的导数，很多情况下难以使用。
特点 迭代格式中没有用到函数的导数，计算方便，但收 敛速度较牛顿法要慢，开始时要用到两个不同的根 的近似值作初值。
f ( xn ) xn1 xn ( xn xn1 ) n 0, 1, 2, 3.... f ( xn ) f ( xn1 )
§5.3 牛顿迭代法 结 论
可以看出，用牛顿法求得的序列 xn 均是单调地趋于 x 故牛顿法是收敛的。 凡满足关系式
*
f ( x0 ) f ( x0 ) 0
x0 均可作为初始值。
例如图(1)，(4)取 x0 b，图(2)，(3)取 x0 a
§5.3 牛顿迭代法
定理
设函数 f ( x) 在 a, b 上存在二阶导数，且满足下列条件： (1)
§5.3 牛顿迭代法 例18：在相距100m的两个塔（高度相等的点）上悬挂 一根电缆(如下图所示)，允许电缆中间下垂10m。 试确定悬链线方程
x y ach a 中的参数 a
x [50, 50]
解：由于曲线最低点和最高点相差10m，有 y(50) y(0) 10 50 ach a 10 a 要确定参数 a，先构造函数
xn 1
f ( xn ) xn ( x n xn 1 ) n 0, 1, 2, 3.... f ( xn ) f ( x n 1 )
探索与发现 牛顿法 用导数方法求方程的近似解定ppt课件
1.375
4
(1.25,1.375)
1.3125
5
(1.3125,1.375)
1.34375
6
(1.34375,1.375)
1.359375
7
(1.359375,1.375)
1.3671875
8
(1.3671875,1.375)
1.37109375
9
(1.3671875,1.37109375)
1.36914625
z x1 x0 0.392 x0
z x2 x1 0.335 x1
z x3 x2 0.143 x2
x4
x3
f (x3 ) f (x3 )
1.3688121321
5
z x4 x3 0.012 x3
此时z z0
所以方程的一个近似解为x 1.36881213215
此时z z0
z x1 x0 0.392 x0
x2
x1
f ( x1 ) f ( x1 )
10.72380583
z x2 x1 0.00032 x1
此时z z0
所以方程的一个近似解为10.72380583
所以方程的一个近似解为10.7238053
例2、 用牛顿法求函数 f (x) x 12的零点 精度z0 0.001
做到z
z
为止
0
SUCCESS
THANK YOU
2019/5/5
牛顿法公式
: 如果f
x ' n 1
0, 那么,
xn
xn1
f f
xn1 x '
用牛顿迭代法求方程的近似解课件
研究如何将牛顿迭代法与其他数值方法结合，以 获得更好的求解效果。
感谢您的观看
THANKS
阻尼牛顿法
总结词
阻尼牛顿法是一种改进的牛顿迭代法，通过引入阻尼因子来控制迭代过程中的步长，从而改善收敛性 和稳定性。
详细描述
阻尼牛顿法在每一步迭代中引入一个阻尼因子，该因子可以控制迭代过程中的步长。通过调整阻尼因 子的大小，可以有效地改善牛顿法的收敛性和稳定性，特别是在求解非线性方程时。阻尼牛顿法可以 更好地处理局部极小值和鞍点问题，提高求解精度和可靠性。
确定新的点
02
根据切线斜率和初始点的位置，确定新的迭代点。
更新切线斜率
03
根据新的迭代点，重新计算切线斜率。
判断收敛
设定收敛条件
设定一个收敛阈值，当连续两次迭代 之间的差值小于该阈值时，认为迭代 收敛。
检查收敛
在每次迭代后，检查是否满足收敛条 件，如果满足则停止迭代，否则继续 迭代计算。
04 牛顿迭代法的改进
二阶修正牛顿法
总结词
二阶修正牛顿法是在标准牛顿法基础上进行改进，通过引入二阶导数信息来加速收敛并 提高解的精度。
详细描述
二阶修正牛顿法利用二阶导数信息，在每一步迭代中构造一个更高阶的近似函数，从而 更快地逼近方程的真实解。这种方法在某些情况下可以显著减少迭代次数，提高求解效 率。然而，二阶修正牛顿法需要更多的计算资源和存储空间，因此在实际应用中需要根
用牛顿迭代法求方程 的近似解课件
目录
CONTENTS
• 引言 • 牛顿迭代法的基本原理 • 牛顿迭代法的实现步骤 • 牛顿迭代法的改进 • 实例演示 • 总结与展望
01 引言
牛顿迭代法的背景
牛顿迭代法是一种求解方程近似解的数值方法。
感谢您的观看
THANKS
阻尼牛顿法
总结词
阻尼牛顿法是一种改进的牛顿迭代法，通过引入阻尼因子来控制迭代过程中的步长，从而改善收敛性 和稳定性。
详细描述
阻尼牛顿法在每一步迭代中引入一个阻尼因子，该因子可以控制迭代过程中的步长。通过调整阻尼因 子的大小，可以有效地改善牛顿法的收敛性和稳定性，特别是在求解非线性方程时。阻尼牛顿法可以 更好地处理局部极小值和鞍点问题，提高求解精度和可靠性。
确定新的点
02
根据切线斜率和初始点的位置，确定新的迭代点。
更新切线斜率
03
根据新的迭代点，重新计算切线斜率。
判断收敛
设定收敛条件
设定一个收敛阈值，当连续两次迭代 之间的差值小于该阈值时，认为迭代 收敛。
检查收敛
在每次迭代后，检查是否满足收敛条 件，如果满足则停止迭代，否则继续 迭代计算。
04 牛顿迭代法的改进
二阶修正牛顿法
总结词
二阶修正牛顿法是在标准牛顿法基础上进行改进，通过引入二阶导数信息来加速收敛并 提高解的精度。
详细描述
二阶修正牛顿法利用二阶导数信息，在每一步迭代中构造一个更高阶的近似函数，从而 更快地逼近方程的真实解。这种方法在某些情况下可以显著减少迭代次数，提高求解效 率。然而，二阶修正牛顿法需要更多的计算资源和存储空间，因此在实际应用中需要根
用牛顿迭代法求方程 的近似解课件
目录
CONTENTS
• 引言 • 牛顿迭代法的基本原理 • 牛顿迭代法的实现步骤 • 牛顿迭代法的改进 • 实例演示 • 总结与展望
01 引言
牛顿迭代法的背景
牛顿迭代法是一种求解方程近似解的数值方法。
《迭代方程近似解》课件
改进迭代法以提高精度。
03
迭代方程近似解的实例
一阶线性迭代方程的近似解
总结词
通过简单的迭代方法，求解一阶线性迭代方程的近似解。
详细描述
对于形式为 (x_{n+1} = f(x_n)) 的一阶线性迭代方程，可以通过简单的迭代方法求解其近似解。具体步骤包括选 择一个初始值 (x_0)，然后通过反复迭代计算 (x_1, x_2, x_3, ...) 直到满足精度要求或达到最大迭代次数。
迭代法在大数据和云计算中的应用
处理大规模数据集
利用迭代法处理大规模数据集，实现高效的数据分析和处理。
云计算平台上的迭代计算
将迭代计算任务部署在云计算平台上，实现资源的动态管理和高效利用。
迭代法在机器学习中的应用
深度学习中的优化算法
迭代法在深度学习中的优化算法中广泛应用，如梯度下降、牛顿法等。
强化学习中的值迭代和策略迭代
二阶非线性迭代方程的近似解
总结词
利用牛顿法等高级迭代方法，求解二阶非线性迭代方程的近似解。
详细描述
对于形式较为复杂的二阶非线性迭代方程，如 (f(x) = 0) 类型，需要采用更为高级的迭代方法进行求 解。常用的方法包括牛顿法、弦截法、抛物线法等。这些方法通过不断迭代和修正解的近似值，最终 找到满足精度要求的解。
迭代计算
按照迭代公式，从初始值开始，依次计算出每次迭代的值，直到达到 预设的精度要求或者迭代次数。
判断收敛性
在迭代过程中，需要判断迭代序列是否收敛，以及何时收敛于问题的 解。
迭代法的收敛性
01 迭代法是否收敛以及何时收敛是关键问题 。
02 有些迭代法可能不收敛，或者收敛速度非 常慢。
03
因此，选择合适的迭代法以及合适的初始 值和参数是至关重要的。
03
迭代方程近似解的实例
一阶线性迭代方程的近似解
总结词
通过简单的迭代方法，求解一阶线性迭代方程的近似解。
详细描述
对于形式为 (x_{n+1} = f(x_n)) 的一阶线性迭代方程，可以通过简单的迭代方法求解其近似解。具体步骤包括选 择一个初始值 (x_0)，然后通过反复迭代计算 (x_1, x_2, x_3, ...) 直到满足精度要求或达到最大迭代次数。
迭代法在大数据和云计算中的应用
处理大规模数据集
利用迭代法处理大规模数据集，实现高效的数据分析和处理。
云计算平台上的迭代计算
将迭代计算任务部署在云计算平台上，实现资源的动态管理和高效利用。
迭代法在机器学习中的应用
深度学习中的优化算法
迭代法在深度学习中的优化算法中广泛应用，如梯度下降、牛顿法等。
强化学习中的值迭代和策略迭代
二阶非线性迭代方程的近似解
总结词
利用牛顿法等高级迭代方法，求解二阶非线性迭代方程的近似解。
详细描述
对于形式较为复杂的二阶非线性迭代方程，如 (f(x) = 0) 类型，需要采用更为高级的迭代方法进行求 解。常用的方法包括牛顿法、弦截法、抛物线法等。这些方法通过不断迭代和修正解的近似值，最终 找到满足精度要求的解。
迭代计算
按照迭代公式，从初始值开始，依次计算出每次迭代的值，直到达到 预设的精度要求或者迭代次数。
判断收敛性
在迭代过程中，需要判断迭代序列是否收敛，以及何时收敛于问题的 解。
迭代法的收敛性
01 迭代法是否收敛以及何时收敛是关键问题 。
02 有些迭代法可能不收敛，或者收敛速度非 常慢。
03
因此，选择合适的迭代法以及合适的初始 值和参数是至关重要的。
第三节 牛顿迭代法精品PPT资料
（3.12）
选择下山因子时从 开始1，逐次将 减半进行试 算，直到能使下降条件（3.10）成立为止.
第三节 牛顿迭代法
1
xk 1xkff((x xk k)) (k0,1 , ),
（2）
这就是牛顿(Newton)法.
牛顿法的几何解释.
方程 f (x的)根0 可解释x *为曲线 的交点的横坐标（图7-3).
与 y轴 f (x) x
设 是x k根 的x某*个近似值， 过曲线 y f上(x横) 坐标为 x k 的点 P引k 切线，并将该切线与 x 轴的交点的横坐标 x k 作1 为 x *
的新的近似值.
2
图7-3
注意到切线方程为
y f(x k ) f(x k )x ( x k ).
这样求得的值 x k 必1 满足(1），从而就是牛顿公式（2） 的计算结果. 由于这种几何背景，牛顿法亦称切线法.
牛顿法（2）的收敛性，可直接由上节定理得到，对（2） 其迭代函数为
g(x) x f (x) , f (x)
2
10 . 723837
3
10 . 723805
4
10 . 7பைடு நூலகம்3805
8
三 简化牛顿法与牛顿下山法
牛顿法的优点 收敛快， 牛顿法的缺点
一 每步迭代要计算 f及(xk ) ，计f (算x量k )较大
且有时 f (x计k )算较困难，
二是初始近似 只x在0 根 附x近*才能保证收敛，
如 x 0给的不合适可能不收敛.
将牛顿法的计算结果
13
xk1
xk
f (xk) f (xk)
与前一步的近似值 x k适当加权平均作为新的改进值
x k 1x k 1 ( 1 )x k,
非线性方程的数值求法牛顿迭代法和弦截法PPT课件
26
Newton下山法
原理：若由 xk 得到的 xk+1 不能使 | f | 减小，则在 xk 和 xk+1 之 间找一个更好的点 xk1，使得 f ( xk1) f ( xk ) 。
xk
xk+1
xk1 (1 )xk , [0, 1]
xk 1
[xk
)g( xn
)
n1
n
mng(xn ) mg( xn ) n g(
xn
)
n2 g( xn )
mg( xn ) n g( xn )
n1
2 n
g( xn )
mg( xn ) n g( xn )
若 xn 收敛，即
n 0 (n ),
没有具体的描述，而且若x0 的值没有取好，有可 能得不到收敛的结果。
以下定理，给出了 f x 满足一定的条件时，要使得牛顿
迭代法收敛，x0 应满足什么条件。
又 f ( ) 0
( ) 0 1,
牛顿迭代法局部收敛于
又 ( ) 0
即有：牛顿迭代法具有二阶（平方）收敛速度。
注. 定理要求 x0 充分接近 (局部收敛)，充分的程度
没有具体的描述，而且若x0 的值没有取好，有可 能得不到收敛的结果。
以下定理，给出了 f x 满足一定的条件时，要使得牛顿
迭代法收敛，x0 应满足什么条件。
定理 设 f x 在区间 a,b 上的二阶导数存在，且满足： ① f (a) f (b) 0; （保证 a, b中至少存在一个根）
若 xn 收敛，即 n 0 (n )
lim n1 lim[1
用牛顿迭代法求方程的近似解课件
牛顿迭代法在一般情况下是收敛的，但在某些情况下可能会出现发散的情况。需要对迭代过程的收敛 性进行分析，以确保迭代法的有效性。
迭代过程的收敛性分析主要涉及到函数$f(x)$的性质和初始值的选择等因素。如果$f(x)$在根附近有多 个极值点或者$f'(x)$在根附近变化剧烈，可能会导致迭代过程发散。
03 牛顿迭代法的应 用实例
THANKS
感谢观看
多变量牛顿迭代法 对于多变量非线性方程组，可以使用多变量牛顿迭代法进行求解。该方法在每一步迭代中，同时更新多 个变量的值，以更快地逼近方程组的解。
05 误差分析
迭代法中的误差来源
01 02
初始近似值的选取
初始近似值的选择对迭代法的收敛性和最终解的精度有重要影响。如果 初始近似值与真实解相差较大，可能会导致迭代过程发散或收敛速度缓 慢。
优化算法
作为优化算法的一种，牛顿 迭代法可以用于求解各种优 化问题，如机器学习中的损 失函数优化等。
工程计算
在工程计算中，牛顿迭代法 可以用于求解各种复杂的数 学模型和物理模型，如有限 元分析、流体动力学等。
经济和金融领域
在经济和金融领域，牛顿迭 代法可以用于求解各种复杂 的经济模型和金融模型，如 资产定价、风险评估等。
一元高次方程的求解
总结词
牛顿迭代法同样适用于一元高次方程的求解， 但需要特别注意初始值的选取和收敛速度。
详细描述
对于形式为 (a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ldots + a_1x + a_0 = 0) 的一元高次方程， 可以使用牛顿迭代法进行求解。迭代公式与 一元二次方程类似，但需要注意初始值的选
04 牛顿迭代法的改 进与优化
迭代过程的收敛性分析主要涉及到函数$f(x)$的性质和初始值的选择等因素。如果$f(x)$在根附近有多 个极值点或者$f'(x)$在根附近变化剧烈，可能会导致迭代过程发散。
03 牛顿迭代法的应 用实例
THANKS
感谢观看
多变量牛顿迭代法 对于多变量非线性方程组，可以使用多变量牛顿迭代法进行求解。该方法在每一步迭代中，同时更新多 个变量的值，以更快地逼近方程组的解。
05 误差分析
迭代法中的误差来源
01 02
初始近似值的选取
初始近似值的选择对迭代法的收敛性和最终解的精度有重要影响。如果 初始近似值与真实解相差较大，可能会导致迭代过程发散或收敛速度缓 慢。
优化算法
作为优化算法的一种，牛顿 迭代法可以用于求解各种优 化问题，如机器学习中的损 失函数优化等。
工程计算
在工程计算中，牛顿迭代法 可以用于求解各种复杂的数 学模型和物理模型，如有限 元分析、流体动力学等。
经济和金融领域
在经济和金融领域，牛顿迭 代法可以用于求解各种复杂 的经济模型和金融模型，如 资产定价、风险评估等。
一元高次方程的求解
总结词
牛顿迭代法同样适用于一元高次方程的求解， 但需要特别注意初始值的选取和收敛速度。
详细描述
对于形式为 (a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ldots + a_1x + a_0 = 0) 的一元高次方程， 可以使用牛顿迭代法进行求解。迭代公式与 一元二次方程类似，但需要注意初始值的选
04 牛顿迭代法的改 进与优化
牛顿迭代法获奖课件
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牛顿迭代法旳优缺陷
1、优点：牛顿迭代法具有平方收敛旳速度，所以在迭代 过程中只要迭代几次就会得到很精确旳解。这是牛顿迭代 法比简朴迭代法优越旳地方。 2、缺陷：选定旳初值要接近方程旳解，不然有可能旳不 到收敛旳成果。再者，牛顿迭代法计算量比较大。因每次 迭代除计算函数值外还要计算微商值。
设 f (xk ) 0 ,令其解为 xk1 ,得
xk 1
xk
f (xk ) f (xk )
这称为f(x)=0旳牛顿迭代格式。
（1) 下一页
它相应旳迭代方程为 x x f (x) 显然是f(x)=0旳同解方程， f (x)
故其迭代函数为
(x) x f (x) f (x)
( f (x) 0)
m 1 0 m
此时，Newton 法具有线性敛速。
上一页 下一页 返回
2)修正Newton法求m重根迭代公式
xk 1
xk
m
f (xk ) f (xk )
注：若 x* 是方程 f (x) 0 旳m重根，而 f (m)(x)在 x* 旳
某一邻域内连续，则修正 Newton法是局部收敛旳，并具
有至少二阶旳收敛速度。
f ( x*) hf ( x*) h m1 f (m) ( x*) O(h m )
(m 1)!
1 m h
h m f (m) ( x*) O(h m1 ) m! h m1 f (m) ( x*) O(h m )
(m 1)!
1
m h
h m
(1
O(h))
O( h)
0
(h 0)
所以 (x*) 0 由定理2知至少是二阶收敛
由（1）式知 xk1 是点 (xk , f (xk )) 处 y f (x) 旳切线
牛顿迭代法
有一种迭代方法叫牛顿迭代法，是用于求方程或方程组近似根的一种常用的算法设计方法。
设方程为f(x)=0，用某种数学方法导出等价的形式x(n+1) = g(x(n)) = x (n)–f(x(n))/f‘(x(n)).然后按以下步骤执行：(1) 选一个方程的近似根，赋给变量x1;(2) 将x0的值保存于变量x1，然后计算g(x1)，并将结果存于变量x0;(3) 当x0与x1的差的绝对值还小于指定的精度要求时，重复步骤(2)的计算。
若方程有根，并且用上述方法计算出来的近似根序列收敛，则按上述方法求得的x0就认为是方程的根。
例1：已知f(x) = cos(x) - x。
x的初值为3.14159/4,用牛顿法求解方程f(x) =0的近似值，要求精确到10E－6。
算法分析：f(x)的Newton代法构造方程为：x(n+1) = xn - (cos(xn)-xn) / (-sin(xn)-1)。
#include<stdio.h>double F1(double x); //要求解的函数double F2(double x); //要求解的函数的一阶导数函数double Newton(double x0, double e);//通用Newton迭代子程序int main(){double x0 = 3.14159/4;double e = 10E-6;printf("x = %f\n", Newton(x0, e));getchar();return 0;}double F1(double x) //要求解的函数{return cos(x) - x;}double F2(double x) //要求解的函数的一阶导数函数{return -sin(x) - 1;}double Newton(double x0, double e)//通用Newton迭代子程序{double x1;do{x1 = x0;x0 = x1 - F1(x1) / F2(x1);} while (fabs(x0 - x1) > e);return x0; //若返回x0和x1的平均值则更佳}例2：用牛顿迭代法求方程x^2 - 5x + 6 = 0，要求精确到10E－6。
牛顿迭代法
第三步
当 |xn+1-xn|< ε 时，迭代结束。xn+1即为方程的近似解。
例4：用牛顿迭代法求方程 x3+9.2x2+16.7x+4=0 在 x=0 附近的根，迭代精度为10-6。
#include "stdio.h" f(x ) #include "math.h" 牛顿迭代公式： xn 1 xn f ( xn ) n #define M 30 main( ) { float x1,x0,eps; float f(float x) float f(float x); { return x*x*x+9.2*x*x+16.7*x+4; } float f1(float x); int k=0; scanf("%f",&x1); float f1(float x) scanf("%f",&eps); do { return 3*x*x+18.4*x+16.7; } { x0=x1; x1=x0-f(x0)/f1(x0); k++; 运行结果： } while(fabs(x0-x1)>=eps&&k<M); if (k<M) printf ("%f\n",x1); 0 0.000001↙ else printf(" iteration divergence\n "); -0.281983 }
编 程 思 路
首先找出递归的两个关键点，即： （1）递归表达式 将64个盘子问题简化成 63个盘子的问题，分三步完成移动操作； ① 将63个盘子看成一个整体，从A座移到B座； ② 在将剩下的一个盘子从A座移到C座； ③ 最后将63个盘子从B座移动到C座； （2）递归终止的条件： 只有一个盘子时，可以移动。
牛顿迭代法实验课件
05
结论与展望
牛顿迭代法的优缺点总结
收敛速度快
牛顿迭代法在初始点接近真实根的情况下具有非常快的收敛速度。
适用于多维问题
可以推广到多维问题，通过引入更多的方程和变量来求解复杂的问题。
牛顿迭代法的优缺点总结
• 适用于非线性问题：能够处理非线性方程 的求解问题，这是许多其他方法无法做到 的。
牛顿迭代法的优缺点总结
初始值影响
初始值对迭代结果有一定影响，但只要在合理范围内，最终都能 收敛到正确解。
结果误差分析
绝对误差
(|x - x_{true}| = 0.00002698)
相对误差
(frac{|x - x_{true}|}{|x_{true}|} = 0.0027%)
误差来源
主要来源于舍入误差和计算过程中的近似处理。
牛顿迭代法实验课件
目录
• 引言 • 牛顿迭代法的基本原理 • 牛顿迭代法的实现步骤 • 实验结果与分析 • 结论与展望
01
引言
牛顿迭代法的定义
牛顿迭代法是一种数值计算方法，通 过迭代的方式求解非线性方程的根。
它基于牛顿定理，即函数在某点的切 线与x轴的交点即为该函数的根。
牛顿迭代法的应用场景
在金融领域的应用
牛顿迭代法可以用于求解金融领 域中的复杂模型和优化问题，例 如资产定价和风险管理。
在工程领域的应用
牛顿迭代法可以用于求解各种工 程领域的优化问题，例如结构分 析和控制系统设计。
感谢您的观看
THANKS
通过改进初始点的选择方法，提 高迭代过程的成功率和收敛速度。
在迭代过程中引入阻尼因子，以 避免迭代过程在鞍点处停滞不前。
根据迭代过程中的误差信息，自 适应地调整步长，以提高收敛速 度和稳定性。
数值分析4牛顿迭代法课件
x1
x0
f ( x0 ) f ( x0 )
x*
x0 x1
x1比x0更接近于x*
02:12
4/25
应用——求正数平方根算法
设C > 0, x C
x2 – C = 0
令 f(x) = x2 – C , 则
xn1
xn
xn2 C 2 xn
f ( x) 2x
xn1
1 2 [xn
C ]
xn
02:12
5/25
1.414213562373095 2.22e-016
1.414213562373095 2.22e-016
02:12
6/25
收敛性: (1) 符合不动点框架
(2) 从序列收敛的角度(单调有界序列)
xn1
2
1 2 [xn
2 xn
]
2
1
[ 2
xn
2 xn
]2
1 2 xn
( xn
2 )2
只要x0 0, xn 2 (n 1) (有界)
x0, x1, x2,···, xn, ···
02:12
3/25
设 x*是方程 f(x)=0 的根, x0是x*的近似值。
在 x0 附近对函数做局部线性化
化难为易
f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 )化繁为简
f(x) = 0
f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) 0
代入牛顿迭代格式
xn1
xn
f (xn ) f ( xn )
x1 x0
xn1
xn
f
( xn
f (xn ) ) f ( xn1 )
牛顿法—用导数方法求方程的近似解 PPT
2.740740740 740741
2.714669624 579535
精确度
0.333333333333333 0.094594594594595 0.009603789693283
5
2.71875
0.031 25
6
2.703125
0.015 625
7
2.7109375
0.007 812 5
牛顿法的程序框图
计算 次数
K
0
-2或者2
精确度
1
2
3
4
对比二牛分顿法和法牛的顿优法同点学：们速能找度出快牛顿法的优点
吗？ f ( x ) x3 20 牛顿法
二分法
计算次数 K
中点值
1
2.5
2
2.75
3
2.625
精确度
0.5 0.25 0.125
4
2.6875
0.062 5
计算 次数
K
0 1
2
3
2
3.000000000 000000
给定精度
和初始值
0
x0
根 据 牛 顿 法 公 式 计 算 当前 值
x1Βιβλιοθήκη x0x302x20 10x0 20 3x20 4x0 10
令x0 x1 计算当前精度: x1 x0
x0
No
0
Yes
x1为 方 程 的 近 似 解
求解结束
Matlab软件
1、牛顿法的基本步骤是什么？ 2、牛顿法的优点和缺点是什么？
K 0 1 2 3
4
5
2或者4
f xk
f xk 精确度
计算 次数
K 0 1
2.714669624 579535
精确度
0.333333333333333 0.094594594594595 0.009603789693283
5
2.71875
0.031 25
6
2.703125
0.015 625
7
2.7109375
0.007 812 5
牛顿法的程序框图
计算 次数
K
0
-2或者2
精确度
1
2
3
4
对比二牛分顿法和法牛的顿优法同点学：们速能找度出快牛顿法的优点
吗？ f ( x ) x3 20 牛顿法
二分法
计算次数 K
中点值
1
2.5
2
2.75
3
2.625
精确度
0.5 0.25 0.125
4
2.6875
0.062 5
计算 次数
K
0 1
2
3
2
3.000000000 000000
给定精度
和初始值
0
x0
根 据 牛 顿 法 公 式 计 算 当前 值
x1Βιβλιοθήκη x0x302x20 10x0 20 3x20 4x0 10
令x0 x1 计算当前精度: x1 x0
x0
No
0
Yes
x1为 方 程 的 近 似 解
求解结束
Matlab软件
1、牛顿法的基本步骤是什么？ 2、牛顿法的优点和缺点是什么？
K 0 1 2 3
4
5
2或者4
f xk
f xk 精确度
计算 次数
K 0 1
方程与方程组的迭代解法PPT课件
a)
0
lim
n
an
lim
n
bn
x
第5页/共68页
求方程 f(x)=0的根的二分法算法
(1) 输入 : 有根区间[a,b]的a,b值及精度控制量 ;
(2) if f (a) f (b) 0 then 返回第1步,重新 输入a, b值else转第3步;
(3)while | a b | 时做
1)令x 1 (a b),计算f (x); 2
例题
• 精确到小数点后五位
x 1.32472 1 105
2
第15页/共68页
例题
• 但如果由
建立迭代公式
仍取
，则有
，
显然结果越来越大， 是发散序列
x x3 1
xk1 xk3 1 k 1, 22.39 {xk }
第16页/共68页
迭代法的收敛性
第28页/共68页
迭代法收敛的阶
当p=1时，称为线性收敛； 当p>1时，称为超线性收敛； 当p=2时，称为平方收敛或二次收敛。 迭代法p 阶收敛的充要条件是：迭代函数(x) 满
足
'( ) ''( ) ( p1) ( ) 0，但 ( p) 0。
第29页/共68页
加速收敛技术
1. 松弛法：适当选取常数(称为松弛因子)，令
第39页/共68页
Newton迭代法收敛性
|
xn
|
Ln 1 L
|
x1
x0
|
这是事前估计。选取n，预先估计迭代次数。
第22页/共68页
|
xn
|
L 1 L
|
xn
xn 1
|
研究生数值分析(5)---牛顿迭代法
由条件(1)、(2)、(3)知，方程 f(x)=0在[a ,b]
内有唯一实根 x* 。
条件（4）表明曲线 y=f(x)在[a ,b]内凹向不变。
曲线y=f(x)在[a ,b]上只有下图四种情形
y
y
f '' (x) 0
f '(x) 0
f '' (x) 0 f '(x) 0
a
0
x* x2 x1 x0 b
因为 x*是 f(x)=0在(a,b)内的单根，
所以 f(x*)=0 且 f '(x*)≠0 x* (a, b)
由条件（2），必存在区间(c,d)，
x* (c, d ) 使 g ' (x) 在(c,d)连，且 g'(x) 1
根据定理2，牛顿迭代公式在 x* 附近局部收敛。
定理6 设 x*是方程 f(x)=0 的根，在包含 x*的某 个开区间内 f "(x) 连续且 f '(x)≠0，
牛顿迭代公式
xk 1
xk
xk cos xk 1 sin xk
计算结果如下
(k 0,1, 2,
) 收敛
x1 0.750364 x2 0.739113 x3 0.739086 x4 0.739085
因为 x4 x3 0.000001105，所以 x4 0.739085 为满足精度要求的近似根。
是曲线
y=f(x)在
(xk , f (xk ))处的切线方程，迭代公式就是切线与 x 轴
交点的横坐标。因此，牛顿迭代法又称为切线法。
（2）牛顿迭代法收敛的充分条件
当
f '(x) 0
时，方程 x x
f (x) f '(x)
内有唯一实根 x* 。
条件（4）表明曲线 y=f(x)在[a ,b]内凹向不变。
曲线y=f(x)在[a ,b]上只有下图四种情形
y
y
f '' (x) 0
f '(x) 0
f '' (x) 0 f '(x) 0
a
0
x* x2 x1 x0 b
因为 x*是 f(x)=0在(a,b)内的单根，
所以 f(x*)=0 且 f '(x*)≠0 x* (a, b)
由条件（2），必存在区间(c,d)，
x* (c, d ) 使 g ' (x) 在(c,d)连，且 g'(x) 1
根据定理2，牛顿迭代公式在 x* 附近局部收敛。
定理6 设 x*是方程 f(x)=0 的根，在包含 x*的某 个开区间内 f "(x) 连续且 f '(x)≠0，
牛顿迭代公式
xk 1
xk
xk cos xk 1 sin xk
计算结果如下
(k 0,1, 2,
) 收敛
x1 0.750364 x2 0.739113 x3 0.739086 x4 0.739085
因为 x4 x3 0.000001105，所以 x4 0.739085 为满足精度要求的近似根。
是曲线
y=f(x)在
(xk , f (xk ))处的切线方程，迭代公式就是切线与 x 轴
交点的横坐标。因此，牛顿迭代法又称为切线法。
（2）牛顿迭代法收敛的充分条件
当
f '(x) 0
时，方程 x x
f (x) f '(x)
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这个方程我们把它称为Leonardo方程。
斐波那契给出了这个方程的近似解是：
x = 1.368808108
斐波那契的解是非常精确的，但是并没有给出过程。
在十三世纪，能得到这个结果，是非常了不起的成 就，即使在当今的年代，我们在没有图形计算器的 条件下，给出近似解也是非常困难的。
设想一下，斐波那契是用什么样的方法得到这个结 果的呢？
否则继续循环运算。
1、根的存在性和唯一性的判断：
通过研究函数的单调区间及零点存在性定理 判断。
2、根所在的区间： 分析函数的连续性并找出端点值异号的区间。 3、近似解的选取：
在达到精确度要求的情况下，区间中任意值 都可以作为近似解。
思考并回答以下问题：
1、在研究方程的根的问题时，我们
常可以将其等价转化为什么问题进 行研究？
6、借助图形计算器，验证新的想法， 并思考如何进一步计算。
求方程 x3 2x2 10x 20 0 的近似解 （精确度为10-9）。
1.第一步应该从何处开始？需要如 何处理？
求方程 x3 2x2 10x 20 0 的近似解 （精确度为10-9）。
2.第二步应该如何继续？计算的公 式又是什么？如何能循环下去？
“以直代曲”，逼近，迭代
（2）算法框图：
在天文学中，有一类著名的方程——开普勒方程， 是用来确定行星在其运动轨道上的位置的。
x = q sin x + a(0 < q < 1,a为常数)
开普勒方程是一个超越方程，很难得出严格的分析 解，但是，已经证明这个方程存在惟一解。在实际 问题中，我们更希望得到一个精确度很高的近似解。
求方程 x3 2x2 10x 20 0 的近似解 （精确度为10-9）。
3.如何用图形计算器实现对给定公 式的反复计算？动手完成。
求方程 x3 2x2 10x 20 0 的近似解 （精确度为10-9）。
4.计算到什么时候终止？如何体现 精确度在求解中的控制作用？
简述牛顿迭代法的原理和步骤：
(1)给定精确度z0和初始值x0 (2)写出迭代公式 (3)计算迭代精确度p (4)当精确度达到p<z0时迭代终止。
1.迭代法：
迭代法也称辗转法，是一种不断用 变量的旧值递推新值的过程。
在给出迭代公式的情况下，能够通 过重复操作实现求解的目的。 迭代法的关键是建立迭代公式。
2.牛顿迭代法： （1）核心思想：
x3 + 2x2 + 10x - 20 = 0
斐波那契(1175年-1250年)，意大利数学家，
是第一个研究斐波那契数，并将现代书写数和乘数的 位值表示法系统引入欧洲的人，影响了欧洲数学界一 个时代。
斐波那契研究过一个三次方程的求解问题，并给出 了一个精度非常高的近似解。这在当时是非常重要的 结果，但是无人知道他是怎么计算得到的。
（1）(x + 1)(x- 2)(x- 3)= 1
（2） 0.8x - 1= ln x
（3） x3 + 5 6x2 + 3x
从下面的叙述中，选择一个你比较感兴趣的方向， 继续进行新的探究和发现。
1.在实际生活及其他学科研究中，哪些问题可以转化 成方程求近似解的问题？
2.除了二分法和牛顿迭代法，还可以找到其他方法来 求方程的近似解吗？
1.确定区间[a,b]，验证f(a)f(b)<0,给定精确 度。
2.求区间(a,b)的中点c； 3.计算f(c); (1)若f(c)=0,则c就是函数的零点; (2)若f(a)f(c)<0,则令b=c,此时零点在(a,c); (3)若f(c)f(b)<0,则令a=c,此时零点在(c,b). 4.判断是否达到精确度，达到则停止运算，
2、在研究函数的性质时，我们新学
习了什么知识可以用来很方便地刻 画函数的什么性质？
3、我们新学习的知识中，在刻画函
数性质方面，体现出了什么样的思 想？
4、在研究方程的近似解的时候，二 分法体现出了什么样的思想？
5、类比二分法的思想，结合我们新
学到的知识，我们能产生什么新的 想法求方程的近似解？
3.如果不判断有根区间，任取初始值利用牛顿迭代法 求近似解，会产生什么样的影响？
利用图形计算器，我们可以研究更多的课题，丰富我 们的研究手段和学习范围。
采用今天探究和归纳的方法，计算取q=0.5,a=0.5时开普勒方程的近似解。
x = - 0.8878622116
1、牛顿迭代法求方程的近似解； 2、数学思想方法： 以直代曲的思想，逼近的思想，
迭代的思想，函数与方程的思想， 类比的思想
借助图形计算器，练习用牛顿迭代 法求方程的近似解（精确度10-6）
斐波那契给出了这个方程的近似解是：
x = 1.368808108
斐波那契的解是非常精确的，但是并没有给出过程。
在十三世纪，能得到这个结果，是非常了不起的成 就，即使在当今的年代，我们在没有图形计算器的 条件下，给出近似解也是非常困难的。
设想一下，斐波那契是用什么样的方法得到这个结 果的呢？
否则继续循环运算。
1、根的存在性和唯一性的判断：
通过研究函数的单调区间及零点存在性定理 判断。
2、根所在的区间： 分析函数的连续性并找出端点值异号的区间。 3、近似解的选取：
在达到精确度要求的情况下，区间中任意值 都可以作为近似解。
思考并回答以下问题：
1、在研究方程的根的问题时，我们
常可以将其等价转化为什么问题进 行研究？
6、借助图形计算器，验证新的想法， 并思考如何进一步计算。
求方程 x3 2x2 10x 20 0 的近似解 （精确度为10-9）。
1.第一步应该从何处开始？需要如 何处理？
求方程 x3 2x2 10x 20 0 的近似解 （精确度为10-9）。
2.第二步应该如何继续？计算的公 式又是什么？如何能循环下去？
“以直代曲”，逼近，迭代
（2）算法框图：
在天文学中，有一类著名的方程——开普勒方程， 是用来确定行星在其运动轨道上的位置的。
x = q sin x + a(0 < q < 1,a为常数)
开普勒方程是一个超越方程，很难得出严格的分析 解，但是，已经证明这个方程存在惟一解。在实际 问题中，我们更希望得到一个精确度很高的近似解。
求方程 x3 2x2 10x 20 0 的近似解 （精确度为10-9）。
3.如何用图形计算器实现对给定公 式的反复计算？动手完成。
求方程 x3 2x2 10x 20 0 的近似解 （精确度为10-9）。
4.计算到什么时候终止？如何体现 精确度在求解中的控制作用？
简述牛顿迭代法的原理和步骤：
(1)给定精确度z0和初始值x0 (2)写出迭代公式 (3)计算迭代精确度p (4)当精确度达到p<z0时迭代终止。
1.迭代法：
迭代法也称辗转法，是一种不断用 变量的旧值递推新值的过程。
在给出迭代公式的情况下，能够通 过重复操作实现求解的目的。 迭代法的关键是建立迭代公式。
2.牛顿迭代法： （1）核心思想：
x3 + 2x2 + 10x - 20 = 0
斐波那契(1175年-1250年)，意大利数学家，
是第一个研究斐波那契数，并将现代书写数和乘数的 位值表示法系统引入欧洲的人，影响了欧洲数学界一 个时代。
斐波那契研究过一个三次方程的求解问题，并给出 了一个精度非常高的近似解。这在当时是非常重要的 结果，但是无人知道他是怎么计算得到的。
（1）(x + 1)(x- 2)(x- 3)= 1
（2） 0.8x - 1= ln x
（3） x3 + 5 6x2 + 3x
从下面的叙述中，选择一个你比较感兴趣的方向， 继续进行新的探究和发现。
1.在实际生活及其他学科研究中，哪些问题可以转化 成方程求近似解的问题？
2.除了二分法和牛顿迭代法，还可以找到其他方法来 求方程的近似解吗？
1.确定区间[a,b]，验证f(a)f(b)<0,给定精确 度。
2.求区间(a,b)的中点c； 3.计算f(c); (1)若f(c)=0,则c就是函数的零点; (2)若f(a)f(c)<0,则令b=c,此时零点在(a,c); (3)若f(c)f(b)<0,则令a=c,此时零点在(c,b). 4.判断是否达到精确度，达到则停止运算，
2、在研究函数的性质时，我们新学
习了什么知识可以用来很方便地刻 画函数的什么性质？
3、我们新学习的知识中，在刻画函
数性质方面，体现出了什么样的思 想？
4、在研究方程的近似解的时候，二 分法体现出了什么样的思想？
5、类比二分法的思想，结合我们新
学到的知识，我们能产生什么新的 想法求方程的近似解？
3.如果不判断有根区间，任取初始值利用牛顿迭代法 求近似解，会产生什么样的影响？
利用图形计算器，我们可以研究更多的课题，丰富我 们的研究手段和学习范围。
采用今天探究和归纳的方法，计算取q=0.5,a=0.5时开普勒方程的近似解。
x = - 0.8878622116
1、牛顿迭代法求方程的近似解； 2、数学思想方法： 以直代曲的思想，逼近的思想，
迭代的思想，函数与方程的思想， 类比的思想
借助图形计算器，练习用牛顿迭代 法求方程的近似解（精确度10-6）