2013届中考数学考前热点冲刺《第5讲 数的开方及二次根式》课件 新人教版
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中考数学一轮复习讲数的开方与二次根式PPT课件
故本选项错误；
3 D.
－8＝－2，故本选项正确．
故选 D.
答案 D
【例题2】 (2011·广东茂名)已知：一个正数的两个平 方根分别是2a－2和a－4，则a的值是________． 解析 ∵正数有两个平方根，它们互为相反数， ∴2a－2＋a－4＝0，解得a＝2. 答案 2
(1)正数 a 的平方根是± a，
2010年
简单二次根式的化简 与计算(3分)
江省
中考 2011年 二次根式的化简(3分)
情况
选择题 填空题
容易 容易
2012年
二次根式被开方数的 非负性(3分)
填空题
容易
网 络构 建
6个概念：“三根”和“三式”； 4条性质：二次根式的性质；
考 点梳 理
平方根、立方根及算数平方根
平方根、算术平方根与立方根： 若 x2＝a(a≥0)，则称 x 为 a 的_平__方__根__，记为＋ a或－
名师助学 求平方根有两个，互为相反准没错； 正的叫做算术根，零都得零别放过．
二次根式及其性质
1．二次根式：式子 a_≥_0__叫二次根式，其中 a 叫被__开___ 方___数_．
2．最简二次根式：满足下面两个条件的二次根式是 最简二次根式． (1)被开方数中不含能___开__得__尽__方_的因数或因式； (2)被开方数中不含有_分__母__．
(3)混合运算：与实数的混合运算顺序相同． 状元笔记 (1)加减运算：需先化简，再合并； (2)乘除运算：可先乘除，后化简．
对 接中 考
对接点一：平方根、立方根及算数平方根
常考角度 1. 平方根、算术平方根与立方根的概念； 2. 求一个数的平方根、算术平方根与立方根．
【例题1】 (2012·浙江宁波)下列计算正确的是( )．
中考数学第一章《数的开方与二次根式》复习教案新人教版(最新整理)
）））章节第一章课题数的开方与二次根式课型复习课教法讲练结合教学目标（知识、能力、教育）1.理解平方根、立方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根和算术平方根。
会求实数的平方根、算术平方根和立方根2.了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的概念，会辨别最简二次根式和同类二次根式。
掌握二次根式的性质，会化简简单的二次根式，能根据指定字母的取值范围将二次根式化简；3.掌握二次根式的运算法则，能进行二次根式的加减乘除四则运算，会进行简单的分母有理化。
教学重点使学生掌握二次根式的有关概念、性质及根式的化简.教学难点二次根式的化简与计算.教学媒体学案教学过程一：【课前预习】（一）：【知识梳理】1.平方根与立方根(1)如果x2=a，那么x 叫做a 的。
一个正数有个平方根，它们互为；零的平方根是；没有平方根。
（2）如果x3=a，那么x 叫做a 的。
一个正数有一个的立方根；一个负数有一个的立方根；零的立方根是；2.二次根式（1（2（3（4）二次根式的性质①若a ≥ 0,则( a)2=；③ab =(a ≥ 0, b≥ 0)2⎧a ( ) a a② a = a =⎨-a ( )；④b=b(a ≥ 0, b 0)⎩（5）二次根式的运算①加减法：先化为，在合并同类二次根式；babx2 +1 x2 y5 1223233x2+y2a 1+1a b②乘法：应用公式 a ⋅=ab (a ≥ 0, b ≥ 0) ；③除法：应用公式=a(a ≥0, b0)b④二次根式的运算仍满足运算律，也可以用多项式的乘法公式来简化运算。
(二）：【课前练习】1.填空题2 . 判断题3.如果(x-2)2 =2-x 那么 x 取值范围是（）A、x ≤2 B. x ＜2 C. x ≥2 D. x＞24.下列各式属于最简二次根式的是（）A． B. C. D.5.在二次根式：①12, ②③；④27和是同类二次根式的是（）A．①和③B．②和③C．①和④ D．③和④二：【经典考题剖析】1.已知△ABC的三边长分别为 a、b、c, 且a、b、c 满足a2－6a+9+ b - 4 + | c - 5 |= 0 ，试判断△ABC 的形状．2.x 为何值时，下列各式在实数范围内有意义1（1）；（2）；（3）x - 43.找出下列二次根式中的最简二次根式：x2+y27x ,, , 0.1x ,, - 21, -x ,,2 24.判别下列二次根式中，哪些是同类二次根式：0.5-2x +31-xx2+12ab21 27 1 25 1 50 a2b675 4 - 4x + x 21 - 1 16 25 m2 - 4m + 4m 2 + 6m + 9 2 3 2 3 3 2 3 2 ( x - 2)2(x - 3)2( x - 2)( x - 3) 3 - x3 - x 2 - x3 - x2 - x17 1a3a 2 25x x 9 x 5 5 3 48 27 12 3x 2 -4 + 4-x 2 +1 ( p -1)2 (P - 2)21-2a+a 2 1-2a+a 2 3, 75, 18, , 2, , , 238ab 3 (b 0), -3b5. 化简与计算7 ① ；② (x 2) ；③ ；④ (m - 2) ⑤ (+ - 6 )2-( -+ 6 )2；⑥ (2 +3 - 6)(2 - 3 + 6 )三：【课后训练】1. 当 x≤2 时，下列等式一定成立的是（ ）A 、 = x - 2 C 、=2 - x ⋅B 、D 、 = = x - 32. 如果 (x-2)2 =2-x 那么 x 取值范围是（）A 、x ≤2B. x ＜2C. x ≥2D. x ＞23. 当 a 为实数时， a 2 =-a 则实数 a 在数轴上的对应点在（ ）A ．原点的右侧B ．原点的左侧C ．原点或原点的右侧D ．原点或原点的左侧4. 有下列说法：①有理数和数轴上的点—一对应；②不带根号的数一定是有理数；③负数没有立方根；④－ 是 17 的平方根，其中正确的有（ ）A ．0 个B ．1 个C ．2 个D ．3 个5. 计算 a 3 +a 2所得结果是 ．6. 当 a≥0 时，化简 =7.计算（1）、2 5+ 9 - 2； （2）、( - 2)2003( + 2)2004（3）、(2 - 3 2 )2；（4）、5 -6 +8. 已知： x 、y 为实数，y=x-2，求 3x+4y 的值。
二次根式 初中九年级数学教学课件PPT 人教版
5
12. (2017·青岛)计算： ( 6 3)( 6 3) ＝__3__．
中考链接： 二次根式的化简和计算
13.(2018·广州)如图，数轴上点A表示的数为a，
化简：a a2 4a 4 ＝__2__ .
14. (2018·大连)计算：( 3 2)2 48 22
.
解：原 式 3 4 3 4 4 3 1 29 44
2．二次根式的乘除
a b ＝___a__b__(a≥0，b≥0)；
a
a
＝
b
b
(a≥0，b>0)．
3．二次根式的混合运算：实数运算法则、运算律、计算公式对二次根式
仍然适用．
中考链接：
二次根式的概念和性质
1. (2018·扬州)使 x 3 有意义的x的取值范围是( C )
A．x＞3
B．x＜3 C．x≥3
第 4 讲 二次根式
二次根式知识结构
知识点解析：
二次根式的有关概念
1．一般地，我们把形如___a____(a___0_)__的式子叫做二次根式．
2．最简二次根式必须同时满足以下两个条件： (1)被开方数不含__分___母_____； (2)被开方数中不含能__开__得__尽__方_____的因数或因式．
性质1： a2 ＝____a ____(a≥0)；
性质2： a 2 ＝__a__；
性质3：
ab ＝____a____b____(a≥0，b≥0)；
a ＝ a (a≥0，b>0)．பைடு நூலகம்
b
b
知识点解析：
二次根式的有关概念
1．二次根式的加减：先将二次根式化成__最__简__二__次__根__式______， 再将___被__开__方__数__相__同______的二次根式进行合并．
12. (2017·青岛)计算： ( 6 3)( 6 3) ＝__3__．
中考链接： 二次根式的化简和计算
13.(2018·广州)如图，数轴上点A表示的数为a，
化简：a a2 4a 4 ＝__2__ .
14. (2018·大连)计算：( 3 2)2 48 22
.
解：原 式 3 4 3 4 4 3 1 29 44
2．二次根式的乘除
a b ＝___a__b__(a≥0，b≥0)；
a
a
＝
b
b
(a≥0，b>0)．
3．二次根式的混合运算：实数运算法则、运算律、计算公式对二次根式
仍然适用．
中考链接：
二次根式的概念和性质
1. (2018·扬州)使 x 3 有意义的x的取值范围是( C )
A．x＞3
B．x＜3 C．x≥3
第 4 讲 二次根式
二次根式知识结构
知识点解析：
二次根式的有关概念
1．一般地，我们把形如___a____(a___0_)__的式子叫做二次根式．
2．最简二次根式必须同时满足以下两个条件： (1)被开方数不含__分___母_____； (2)被开方数中不含能__开__得__尽__方_____的因数或因式．
性质1： a2 ＝____a ____(a≥0)；
性质2： a 2 ＝__a__；
性质3：
ab ＝____a____b____(a≥0，b≥0)；
a ＝ a (a≥0，b>0)．பைடு நூலகம்
b
b
知识点解析：
二次根式的有关概念
1．二次根式的加减：先将二次根式化成__最__简__二__次__根__式______， 再将___被__开__方__数__相__同______的二次根式进行合并．
中考一轮复习-第5讲数的开方与二次根式PPT课件
第5讲 数的开方与二次根式
.
┃考点自主梳理与热身反馈 ┃ 考点1 平方根与立方根
平方根 立方根
如果x2＝a，则x 叫做a的平方根
如果x3＝a，则x 叫做a的立方根
正数有__两____个平方根，且 它们互为_相__反__数___； 0的平方根是_0___； 负数__没_有___平方根
正数有一个_正___的立方根； 0的立方根是_0___；
7．在 16x3、－ 32、－ 0.5、
的个数是( A )
A．1
B．2
C．3
a x
、
3
25
中，最简二次根式
D．4
.
第4讲┃ 二次根式
.
第4讲┃ 二次根式
考点3 二次根式的运算
二次根式 先将二次根式化成_最 __简__二__次__根__式__，再
的加减法
__合_并______其中的同类二次根式
二次根式 的乘法
原式＝6
3－23
3＋4
3÷2
3＝238
3÷2
3＝134.
. 第4讲┃ 二次根式
负数有一个__负__的立方根
. 第4讲┃ 二次根式
1.[2012·泸州] 25的算术平方根是( A )
A．5
B．－5
C．±5
D. 5
2. 16的平方根是( C )
A．±4
B．4
C．±2
D．2
3.（2012．湛江）若二次根式 x 1
＿
x 有意义，则 x 的取值范围是＿1
4.(2012 梅州 ) m 2有意义的最小整 2＿数 ＿是＿
.
第4讲┃ 二次根式
考点2 二次根式的有关概念及性质
二次根式 的概念
.
┃考点自主梳理与热身反馈 ┃ 考点1 平方根与立方根
平方根 立方根
如果x2＝a，则x 叫做a的平方根
如果x3＝a，则x 叫做a的立方根
正数有__两____个平方根，且 它们互为_相__反__数___； 0的平方根是_0___； 负数__没_有___平方根
正数有一个_正___的立方根； 0的立方根是_0___；
7．在 16x3、－ 32、－ 0.5、
的个数是( A )
A．1
B．2
C．3
a x
、
3
25
中，最简二次根式
D．4
.
第4讲┃ 二次根式
.
第4讲┃ 二次根式
考点3 二次根式的运算
二次根式 先将二次根式化成_最 __简__二__次__根__式__，再
的加减法
__合_并______其中的同类二次根式
二次根式 的乘法
原式＝6
3－23
3＋4
3÷2
3＝238
3÷2
3＝134.
. 第4讲┃ 二次根式
负数有一个__负__的立方根
. 第4讲┃ 二次根式
1.[2012·泸州] 25的算术平方根是( A )
A．5
B．－5
C．±5
D. 5
2. 16的平方根是( C )
A．±4
B．4
C．±2
D．2
3.（2012．湛江）若二次根式 x 1
＿
x 有意义，则 x 的取值范围是＿1
4.(2012 梅州 ) m 2有意义的最小整 2＿数 ＿是＿
.
第4讲┃ 二次根式
考点2 二次根式的有关概念及性质
二次根式 的概念
人教版八年级下册数学《二次根式的概念》二次根式PPT教学课件
巩固练习
3. (1) 已知 ＝0，求x，y 的值．
因为 ≥0， ≥0，且其和为0，所以x＋1＝0，x＋y－2＝0，解得x＝－1，y＝3.所以x，y 的值分别为－1，3.
总结：a 2， ≥0(a≥0)．可利用“若几个非负数之和为零，则这几个非负数同时为零”解决问题．
+
+5，求
的值
+
=0，求a2019+b2104的值.
1.已知y=
2.若
2
2.若 ，则x的取值范围是（ ） A.x＞1 B.x≥1 C.x＜1 D.x≤1
3.在函数y= 中，自变量x的取值范围是（ ） A.x≥﹣2且x≠0 B.x≤2且x≠0 C.x≠0 D.x≤﹣2
（x≥0，y≥0）．
不是二次根式的有： .
、
、
、
（x>0）、
、
、
（x≥0，y≥0）．
、-
2. a可以是数,也可以是式.
3. 形式上含有二次根号
4. a≥0, ≥0
5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果.
3、被开方数 a >0，且 。（双重非负性）
探究点一、二次根式的概念问题1.下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：
、
、
、
（x>0）、
、
、-
、
、
解：二次根式有：
提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题.
1
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2.什么是一个数的算术平方根？如何表示？
正数正的平方根叫做它的算术平方根.
1.我们之前学过哪个知识点与今天的知识有关？
一般地，若一个数的平方等于a，则这个数就叫做a的平方根.
新人教初中数学中考复习数的开方与二次根式【精品】
知 识
1.判断正误:
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
巩
固
(1)36 的平方根是 6; ( )
(5)× (6)×
高 频
(2)±9 的平方根是±3; ( )
考
向 (3) 4=±2; ( )
探
究
(4)0.01 是 0.1 的平方根; ( )
[解析](1)36 的平方根是±6,故错误; (2)-9 没有平方根,故错误; (3) 4=2,故错误; (4)0.1 是 0.01 的算术平方根,故错误;
(1)
1 ������
=
������
������ ·
������
=
������ ������
;
(2)
1 ������ -
������ =(
������ -
������+ ������ ������)( ������+
������
=
)
������ + ������-������
������ .
基 础
固
A.x≥4
高
B.x>4
4-x>0,解得 x<4,故选 D.
频
C.x≤4
D.x<4
考
向
探
究
基 础
考向三 二次根式的化简与计算
知 识
9.[2019·常德]下列运算正确的是 ( D )
巩
固
A. 3 + 4= 7
B. 12=3 2
高 频
C. (-2)2=-2
考
向
探
究
D.
164 =
21 3
基 础
中考数学复习 1.5 二次根式课件
.
2.算术平a 方根：一个正数(zhèngshù)x的平方等于a，则x叫做a的算术平方根，
记作 ，0的算术平方根是0.
3.立方根a ：一个数x的立方等于a，那么x叫做a的立方根,记作 .
3a
2021/12/9
第五页，共十六页。
1.5.2 二次根式(gēnshì)的有关概念
要点 梳理 (yàodiǎn)
2021/12/9
第十三页，共十六页。
【例3】下列计算正确(zhèngquè)的是
A. 12=2 3
C. x3 x x
B. 3 = 3 22
D. x2 x
经典 考题 (jīngdiǎn)
（）
【解析】 3 3 3 2，所6以B错误. 2 2 2 2 2
要 使 x3在 实 数 范 围 内 有 意 义 ，
1.二次根式：一般地，我们把形如 (aa≥0)的式子叫做(jiàozuò)二次根式.
2.二次根式 a(a≥0)中,当a≥时,
条件是被开方数大于等于0.
有a意义,即二次根式有意义的
3.最简二次根式应满足的两个条件是：
（1）被开方数不含分母； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
2021/12/9
第一章 数与式。（1）二次根式、最简二次根式的概念.。1.5.1 平方根、算术平方根与立方根。1.加减法：先将二次根式进行(jìnxíng)化简，再将
被开方数相同的二次根式。3.把分母中的根号化去的方法。1. 二次根式的运算顺序与有理数的运算顺序相同.。（2） 的算术平方根为4.。【答案】
（1）±3（2）4。THANK YOU
ab ab
第八页，共十六页。
1.5.5 二次根式(gēnshì)的估值
中考数学精英复习课件(毕节)：第5节 数的开方与二次根式
7．已知 x＝2－ 3，则代数式(7＋4 3)x2＋(2＋ 3)x＋ 3的 值是( C )
A．0 B. 3 C．2＋ 3 D．2－ 3 8．(2016·遵义)计算 2－ 18的结果是__－__2___2___ 9．(2017·宁波)实数－8 的立方根是___－__2_____
10．计算：
27· 38÷ 21＝__1_2_； 6 31－( 3＋1)2＝_－__4_． 11．(2017·天津)计算(4＋ 7)(4－ 7)的结果是__9__．
第5节 数的开方与二次根式
毕节地区
数学
平方根、算术平方根与立方根 【例 1】(1)(2017·安顺模拟)19的平方根是_±__13_；(2016·六盘水)
16的算术平方根是_2___． (2)如图，下列各数中数轴上点 A 表示的可能是( C )
A．4 的算术平方根 B．4 的立方根 C．8 的算术平方根 D．8 的立方根
19．若 y＝ x－21＋ 12－x－6，则 xy＝_－__3_． 20．先化简，再求值： (5xx2＋－3y2y＋y22－xx2)÷x2y－1 xy2，其中 x＝ 3＋ 2，y＝ 3－ 2.
解：化简得原式＝3xy，当x＝＋，y＝－时，原式＝3
A．－2a＋b B．2a－b C．－b D．b 点拨：(1)由被开方数和分母满足的条件列出不等式(组)解之可得； (2)由 a2＝|a|≥0 可得；(3)先化成含有绝对值的式子，再结合数轴化简．
二次根式的运算与化简求值
【例 3】已知 a＝2＋1 3，求aa2＋－11－ a2a－2－2aa＋1的值． 点拨：该题中隐含条件是：由已知得 a＝2－ 3，则 a－1＝1－ 3<0， 是化简|a－1|的关键． 解：∵a＝2＋1 3<1，∴a－1<0，∴ a2－2a＋1＝ （a－1）2＝|a－
中考数学总复习 第05讲 二次根式及其运算课件(考点精
考点2 二次根式的运算
【例2】 （1）（2012·黔东南州）下列等式一定成 立的是（ B ）
A. 9 4 5
B. 5 3 15
C. 9 3
D. 92 9
考点2 二次根式的运算
(2)计算： 24－ 23＋ 23－2
1 6
解 原式＝2 6－12 6＋13 6－13 6＝32 6.
(3)(2012·南通) 计算： 48÷ 3－ 21× 12＋ 24 解 原式＝ 16－ 6＋2 6＝4＋ 6.
求值问题“五招”
(1)巧用乘法公式；(2)巧用平方；(3)巧用配方； (4)巧用换元；(5)巧用倒数．
1.（2013·嘉兴）二次根式中 x 3 ，x的取值范围是 x≥3
2.（2011·杭州）下列各式中，正确的是（ B ）
A. 32 3
B. 32 3
C. 32 3
D. 32 3
3.（2012·金华）一个正方形的面积为15，估计它的边
(2)若几个非负数的和为零，则每一个非负数都等于零；
两个防范
(1)求 a2时，一定要注意确定 a 的大小，应注意利用等式 a2＝|a|，当问题中已知条件不能直接判定 a 的大小时就要分 类讨论；
(2)一般情况下，我们解题时，总会习惯地把重点放在探 求思路和计算结果上，而忽视了一些不太重要、不直接影响求 解过程的附加条件．要特别注意，问题中的条件没有主次之分， 都必须认真对待．
请完成考点跟踪突破
（3）（2012·安顺）计算 12 3 3 3 .
考点3 二次根式混合运算
【例 3】 计算：(1)(3 2－1)(1＋3 2)－(2 2－1)2； 解 原式＝(3 2)2－1－[(2 2)2－4 2＋1] ＝18－1－8＋4 2－1＝8＋4 2.
2、数的开方与二次根式PPT课件
· 数学(江西)
知识要点 · 归纳
三年中考 · 讲练
202X权威 · 预测
第一部分 教材同步复习
8
三年中考 ·讲练
平方根、算术平方根、立方根
【例 1】 (2016 泰州)4 的平方根是( A )
A．±2
B．－2
C．2
D．±12
【思路点拨】 本题考查平方根．直接利用平方根的定义分析得出答案．
【解答】 4 的平方根是± 4＝±2.
中考新突破 · 数学(江西)
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三年中考 · 讲练
202X权威 · 预测
第一部分 教材同步复习
9
1.(2014 江西)计算： 9＝__3__. 【考查内容】算术平方根． 【解析】∵32＝9，∴ 9＝3.
中考新突破 · 数学(江西)
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第一部分 教材同步复习
10
二次根式的运算
【例 2】 (2016 桂林)计算 3 5－2 5的结果是( A )
A． 5
B．2 5
C．3 5
D．6
【思路点拨】 本题考查二次根式的加减运算. 直接利用二次根式的加减运算法 则求出答案．
【解答】 原式＝(3－2) 5＝ 5.
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三年中考 · 讲练
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第一部分 教材同步复习
12
2.(2016 黄冈)计算：|1－ 3|－ 12＝__－__1_－____3____.
【考查内容】二次根式的运算． 【解析】|1－ 3|－ 12 ＝ 3－1－2 3 ＝－1－ 3.
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8
三年中考 ·讲练
平方根、算术平方根、立方根
【例 1】 (2016 泰州)4 的平方根是( A )
A．±2
B．－2
C．2
D．±12
【思路点拨】 本题考查平方根．直接利用平方根的定义分析得出答案．
【解答】 4 的平方根是± 4＝±2.
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9
1.(2014 江西)计算： 9＝__3__. 【考查内容】算术平方根． 【解析】∵32＝9，∴ 9＝3.
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二次根式的运算
【例 2】 (2016 桂林)计算 3 5－2 5的结果是( A )
A． 5
B．2 5
C．3 5
D．6
【思路点拨】 本题考查二次根式的加减运算. 直接利用二次根式的加减运算法 则求出答案．
【解答】 原式＝(3－2) 5＝ 5.
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12
2.(2016 黄冈)计算：|1－ 3|－ 12＝__－__1_－____3____.
【考查内容】二次根式的运算． 【解析】|1－ 3|－ 12 ＝ 3－1－2 3 ＝－1－ 3.
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中考数学考点总复习课件第5节数的开方与二次根式(共29张PPT(完整版)9
13．(2017·包头)下列说法中正确的是（ D ）
A．8 的立方根是±2
B. 8是一个最简二次根式 C．函数 y＝x－1 1的自变量 x 的取值范围是 x＞1 D．在平面直角坐标系中，点 P(2，3)与点 Q(－2，3)关于 y 轴对称
14．(导学号 65244023)计算 32× A．6 和 7 之间 B．7 和 8 之间
1 9．(2017·呼和浩特)若式子 1 有意义，则 x 的取值范围是 x<___2___．
1－2x
10．计算：
(1)(2017·南京) （－3）2＝__3____； (2)(2017·青岛)( 24＋ 16)× 6＝___1_3___； (3)(2017·黄冈) 27－6－ 13＝___83___3_－_6___．
____n_2_－__2______．(用含 n 的代数式表示)
20．(导学号 65244027)(2016·黄石)观察下列等式：
第 1 个等式：a1＝ 1 ＝ 2－1， 1＋ 2
第 2 个等式：a2＝ 1 ＝ 3－ 2， 2＋ 3
第 3 个等式：a3＝ 1 ＝2－ 3， 3＋2
第 4 个等式：a4＝ 1 ＝ 5－2， 2＋ 5
b，c，则该三角形的面积为 S＝ 1[a2b2－（a2＋b2－c2）2].现已知△ABC 的三边长分别为 1，
4
2
2， 5，则△ABC 的面积为_1___．
19．(导学号65244026)下面是一个按某种规律排列的数阵：
根 据 数 阵排 列 的规 律 ， 第 n(n 是整 数 ，且 n ＞ 3) 行从 左 向右 数 第 n－ 2 个数 是
解：原式＝－1－( 10－3)＋2 5× 22－(2 017＋1－2 2 017) ＝－1＋3－ 10＋ 10－2 018＋2 2 017 ＝－2 016＋2 2 017.
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第5讲┃ 归类示例
此类有意义的条件问题主要是根据：①二次根式 的被开方数大于或等于零；②分式的分母不为零等列不 等式组，转化为求不等式组的解集．
第5讲┃ 归类示例 ► 类型之三 根式的化简与计算
命题角度： 1. 二次根式的性质：两个重要公式，积的算术平方 根，商的算术平方根； 2. 二次根式的加减乘除运算．
[点析] 在进行二次根式化简求值时，常常用到整体思 想．把 x＋y、x－y、xy 当作整体进行代入．
第5讲┃ 回归教材
中考变式
a2－4a＋4 a＋1 2 [2012· 苏州] 先化简，再求值： ＋ 2 · ，其 a－1 a －1 a－2 中 a＝ 2＋1.
a－22 a＋1 a－2 2 2 a 解：原式＝ ＋ · ＝ ＋ ＝ . a－1 a＋1a－1 a－2 a－1 a－1 a－1 2＋1 2＋ 2 当 a＝ 2＋1 时，原式＝ ＝ . 2 2
第5讲┃ 考点聚焦 考点3 二次根式的性质
两个重要 的性质 ( a)2＝a(a________) ≥0 a ＝a
2
二 次 根 积的算术 式 平方根 的 性 商的算术 质 平方根
＝
a -a
a≥0 a<0
ab＝ a· b(a______(a________， >0 a a b________) ≥0
立方 一个数x的________等于a，那么x叫做 立方 根 3 数a的立方根，记作 a
第5讲┃ 考点聚焦 考点2 二次根式的有关概念
二 次 根 式 最简 二次 根式
定义 防错 提醒
形如 a(________)的式子叫做二次根式 a≥0 a中的 a 可以是数或式， a 一定要大于 但 或等于 0
同时满足下列两个条件的二次根式叫做最简二次 根式：(1)被开方数中不含能开得尽方的因数或因 式；(2)被开方数不含分母
第5讲┃ 归类示例
比较两个二次根式大小时要注意：(1)负号不能移到 根号内；(2)根号外的正因数要平方后才能从根号外移到 根号内．
第5讲┃ 归类示例 ► 类型之五 根式的大小比较
命题角度： 1. 二次根式 a的非负性的意义； 2. 利用二次根式 a的非负性进行化简．
[2012· 攀枝花] 已知实数x，y满足 x－4 ＋ y－8 ＝0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长( B ) A. 20或16 B．20 C．16 D．以上答案均不对
第5讲┃ 考点聚焦 考点4 二次根式的运算
根式的 先化为最简根式，再将被开方数相同的根 加减 式进行合并 根式的 ≥0 ≥0 a· b＝ ab(a________，b________) 乘法 根式的 b b ≥0 ＝ (a________，b________) >0 a 除法 a
第5讲┃ 考点聚焦 考点5 把分母中的根号化去
2 1 1 2 计算： ×( 3－1) ＋ ＋ 3－ －1. 2 2 2－1 4－2 3 解：原式＝ ＋ 2＋1＋ 3－ 2 2 ＝2－ 3＋ 2＋1＋ 3－ 2＝3.
第5讲┃ 归类示例
利用二次根式的性质，先把每个二次根式化简， 然后 进行运算；在中考中二次根式常与零指数、负指数结合在 一起考查．
第5讲┃ 归类示例 ► 类型之二 根式的有关概念
命题角度： 1．二次根式的概念； 2．最简二次根式的概念．
[2012· 德阳] 使代数式 是 1 A．x≥0 B．x≠ 2
x 有意义的x的取值范围 2x－1 ( C ) 1 C．x≥0且x≠ D．一切实数 2
1 [解析] 由题意得x≥0, 2x－1≠0,解得x≥0且x≠ ，故 2 选C项．
常用形式 及方法
1· a 1 a (1) ＝ ＝ a a· a a a＋b 1 (2) ＝ a＋b a＋b
第5讲┃ 归类示例
归类示例
► 类型之一 求平方根、算术平方根与立方根
命题角度： 1. 平方根、算术平方根与立方根的概念； 2. 求一个数的平方根、算术平方根与立方根．
(1)[2012· 雅安] 9 的平方根是 A．3 B．－3 C．±3 D．6 (2) (－2)2 的算术平方根是 A．2 B. ±2 C．－2 D. 2 ( C ) ( A)
第5讲┃ 归类示例
[解析] 本题可先估算无理数 15 ， 17 ， 19 的整数部 分的最大值和最小值，再求出甲，乙，丙的取值范围，进而 可以比较其大小． ∵3＝ 9< 15< 16＝4， ∴8＜5＋ 15＜9，∴8＜甲＜9. ∵4＝ 16＜ 17＜ 25＝5， ∴7＜3＋ 17＜8，∴7＜乙＜8. ∵4＝ 16＜ 19＜ 25＝5， ∴5＜1＋ 19＜6， ∴丙＜乙＜甲．故选A项．
第5讲┃ 回归教材
回归教材
二次根式化简中的整体思想
教材母题 人教版九上 P18T6
已知 x＝ 3＋1，y＝ 3－1，求下列各式的值： (1)x2＋2xy＋y2；(2)x2－y2.
第5讲┃ 回归教材
解：因为 x＝ 3＋1，y＝ 3－1， 所以 x＋y＝2 3，x－y＝2. 则(1)x2＋2xy＋y2＝(x＋y)2＝(2 3)2＝12. (2)x2－y2＝(x＋y)(x－y)＝4 3.
第5讲┃ 归类示例
[解析] 根据题意得x-4=0,y-8=0,解得x=4,y=8. (1)若4是腰长，则三角形的三边长为：4、4、8，不 能组成三角形； (2)若4是底边长，则三角形的三边长为：4、8、8， 能组成三角形，周长为4＋8＋8＝20.故选B.
第5讲┃ 归类示例
(1)常见的非负数有三种形式：|a|， a，a2. (2)若几个非负数的和等于零，则这几个数都为零．
第5讲┃ 数的开方及二次根式
第5讲┃ 考点聚焦
考点聚焦
考点1 平方根、算术平方根与立方根
平方 一个数x的______等于a，那么x叫做a的 平方 根 平方根，记作± a 数 的 开 方
平方 算术 一个正数x的________等于a，则x叫做a 平方 的算术平方根，记作 a，0的算术平方 根 根是0
第5讲┃ 归类示例
[2012· 巴中] 先化简，再求值：
1 1 x x2＋2x＋1 1 － ，其中x＝ . x x＋1· 2 2 2 x＋1 －x－1
x x＋1 x＋1 1 解：原式＝ · ＝ . 4x xx＋1 4xx＋1 1 ①当x＋1＞0时，原式＝ ； 4x 1 ②当x＋1＜0时，原式＝－ . 4x 1 ∵当x＝ 时，x＋1＞0， 2 1 ∴原式＝ . 2
第5讲┃ 归类示例
此类分式与二次根式综合计算与化简问题，一般 先化简再代入求值；最后的结果要化为分母没有根号 的数或者是最简二次根式．
第5讲┃ 归类示例 ► 类型之四 二次根式的大小比较
命题角度： 1. 二次根式的大小比较方法； 2. 利用计算器进行二次根式的大小比较．
[2012· 台湾] 已知甲、乙、丙三数，甲＝5＋ 15 ，乙＝3＋ 17 ，丙＝1＋ 19 ，则甲、乙、丙的大小关 系，下列何者正确 ( A ) A．丙＜乙＜甲 B．乙＜甲＜丙 C．甲＜乙＜丙 D．甲＝乙＝丙
[解析] 9的平方根是± 3，(－2)2的算术平方根是2.
第5讲┃ 归类示例
(1)一个正数的平方根有两个，它们互为相反数；(2)平 方根等于本身的数是0，算术平方根等于本身的数是1和 0，立方根等于本身的数是1、－1和0；(3)一个数的立方根 与它同号；(4)对一个式子进行开方运算时，要先将式子化 简再进行开方运算．