第五章金属波导

的两点之间的距离定义为波导波长，记为λg，
g
2
2
1
fc f
或
g
1
c
2
式中
2 1 k f
（无界空间中的波长）
g
③截止波长λc
c
2
kc
2
( m )2 ( n )2 2
a
b
(m)2 (n)2 ab
（3）传播速度
①相速vp
相速是指波导中合成波的等相位面移动的速度
vp
第8章 金属波导
8-1 沿均匀波导系统传播的波的一般分析
所谓“均匀波导系统”（ 均匀波导）是指无限长 的直波导，其横截面的形状和尺寸以及所用的 导体和介质的特性沿轴向（纵向）都是不变的。
▪1.横向场和纵向场的亥姆霍兹方程
▪ 在前述假设条件下，任意横截面波导的电磁场满 足亥姆霍兹方程
ur ur
uur uur
为TM11。
TMmn模的截止频率
a
b
②截止频率（或临界频率）
fc
kc
2
1
2
( m )2 ( n )2
a
b
③截止波长
c
2
kc
2
( m )2 ( n )2 2
a
b
(m)2 (n)2 ab
（3）波长
①工作波长λ 定义：微波振荡源所产生的电磁波的波长。
2 v 1 k f f
②波导波长λg
在波导内，电磁波沿传播方向上相位相差 2
2 E k 2 E 0, 2 H k 2 H 0
式中k 是波数。该方程又称波动方程。
波动方程可分解为六个独立的标量方程
2Ex k 2Ex 0
2
Ey
k 2Ey
0
2 2
H H
x y
k2Hx k2Hy
0 0
横向场方程
2Ez k 2Ez 0 2H z k 2H z 0 纵向场方程
▪ 矩形波导内不可能存在TEM波。 ▪ 矩形波导的传播模式是TM波和TE波。
一、矩形波导中的TM波
▪ 设波的传播方向为＋z轴方向，TM波的磁场纵向 分量为Hz=0，故可通过求解Ez的亥姆霍兹方程 并利用矩形波导的边界条件得到Ez，进而得出其 全场分量。
▪ TM波的其余场分量
Hx
j
kc2
Ez y
,Hy
▪
则得，vp(TEM )
k
1
Байду номын сангаас
Z(TEM )
Ex Hy
j TEM
可见，沿波导系统传播的TEM波与无界理想介质中
传播的均匀平面波具有相同的传播特性
2、TM波及TE波其存在的条件
（1）TM波和TE波导中的传播条件：
k>kc或f>fc或λ<λc
λ——工作波长，λc ——截止波长
当k>kc时，波将沿着＋z方向传播，传播因子为 e j z
v
2
1
fc f
v
2
1
c
或 vp g f
其中
v 1
（无界空间中的相速）
②群速vg
▪ 群速（能速）就是电磁波所携带的能量沿 波导纵轴方向（z轴）的传播速度。
vg
d d
v
2
1
c
v
1
fc f
2
v 1
vpvg v2
（无界空间中的相速）
（4）波阻抗
①TM波的阻抗
2
ZTM
Ex Hy
β称为相位常数； 当k<kc时，波将沿着＋z方向呈指数衰减。衰减因子为
e，z α称为衰减常数。
j j k 2 kc2
jk
1
kc k
2
jk
1
fc f
2
jk
2
1
c
（2）截止特性
m,
n
分别代表场量沿边a和边b变化 的半周期数
①截止波数Kc
kc
( m )2 ( n )2
▪ 讨论的几个问题： ▪ 1. 波导系统的几种假设 ▪ 2. 用亥姆霍兹方程把波导中的场的横向分量用纵
向分量表示出来 ▪ 3.依据纵向分量的存在与否，对波导当中的波进
行分类，分为TEM波、TM波、TE波 ▪ 4. TEM波、TM波和TE波在波导当中的传播特性
8－2矩形波导
▪ 波导的横截面为矩形，宽边尺寸为a，窄边尺寸 为b，材料为良导体（铜，内表面渡银，可视其 为理想导体），内为空气或填充介质。
j
kc2
Ez x
Ex
kc2
Ez x
, Ey
kc2
Ez y
TM波的横向分量
Ex
(
x,
y,
z
)
kc
2
Ez (x, y) e z x
kc
2
(
m
a
)
E0
cos(
m
a
x) sin( n
b
y)e z
E
y
(
x,
y,
z)
kc
2
Ez (x, y) e z y
kc2
(
n
b
)
E0
sin(
m
a
x) cos( n
b
y)e z
Z方向是一个特殊的方向，电磁波沿z的方向传播， 波导横截面各点情形沿着这个方向的变化是一致的。 此方向称为纵向，与此方向垂直的方向称为横向。
二.传播模式及其传播特性
▪ 波动方程是二阶偏微分方程，满足该方程的解的 个数应是无穷多的。它们既可单独出现，又同时 出现。这种能够在波导中单独存在的电磁场分布， 就称为波导中的波型或模式，简称为波或模。通 常按是否存在纵向场将其分为三类：
Hx (x, y, z)
j
kc2
Ez (x, y) e z y
j
kc2
( n
b
) E0
sin( m
a
x) cos( n
b
y)e z
H y (x, y, z)
j
kc2
Ez (x, y) e z x
j
kc2
(
m
a
)
E0
cos(
m
a
x) sin( n
b
y)e z
式中
kc2
kx2
ky2
( m
a
)2
( n
b
)2
m, n 分别代表场量沿边a和边b变化的半周期数
kc2 k 2 2 求出传播常数γ
kc2 k 2
( m )2 ( n )2 2 j
a
b
2 ( m )2 ( n )2
a
b
m, n 的每种组合对应于一种可能的传播模式（或波形），
称为TMmn模。显然，m,n皆不可能为0，故最低阶模
▪ TEM模、TM模、TE模 ▪ TEM波（横电磁波）——Ez=0，Hz=0 ▪ TM波（横磁波）——Hz=0，但Ez≠0， ▪ TE波（横电波）——Ez=0，但Hz≠0
1、TEM波及其存在的条件
▪ TEM波（Hz=0，Ez=0），要使其横向分量不全
为0，必须
2 k2 0
▪ 此时， TEM jk j
j
1
fc f
或
ZTM
2
1
c
（无界空间中的波阻抗）
②TE波的阻抗
ZTE
Ex Hy
2
1
fc f
或
ZTE
2
1
c
2
① TM波的阻抗
ZTM
1
c
②TE波的阻抗
ZTE
2
1
c
（无界空间中的波阻抗）
▪ 从上面的讨论可以看出，与TEM波不同，TM波 和TE波的传播特性参数都是频率的函数，称为色 散波。当然这种色散不同于导电媒质引起的色散。 波导中的色散是由波导的边界条件引起的，故称 之为几何色散。