第六章图像表示与描述

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八年级上册数学第六章

八年级上册数学第六章学习笔记一、轴对称与轴对称图形轴对称是指两个图形关于某条直线对称，它们的对应线段、对应角都相等。

轴对称图形是指一个图形关于某条直线对称，这个图形上任意一点关于这条直线的对称点都在该图形上。

轴对称和轴对称图形都是关于直线对称的，但一个是两个图形之间的关系，一个是单一图形具有的性质。

二、中心对称与中心对称图形中心对称是指两个图形关于某点对称，它们的对应点都与这个点中心对称。

中心对称图形是指一个图形关于某点对称，即该图形上任意一点关于这个点的对称点都在该图形上。

中心对称和中心对称图形都是关于点对称的，但一个是两个图形之间的关系，一个是单一图形具有的性质。

三、实数及其性质和运算实数包括有理数和无理数，它们具有完备性、传递性、稠密性和连续性等性质。

实数的运算包括加法、减法、乘法、除法、乘方等，运算结果仍为实数。

实数在数学中有着广泛的应用，如几何学、代数、物理和工程学等领域。

四、代数式与整式加减代数式是由数字和字母通过有限次四则运算得到的数学式子，它可以是单项式或多项式。

整式加减是代数式的一种特殊形式，包括多项式的加法、减法、乘法和除法等运算。

整式加减在数学中有着广泛的应用，如代数方程、不等式、函数等领域。

五、一元一次方程及其解法一元一次方程是只含有一个未知数，且未知数的次数为1的方程。

解一元一次方程的基本步骤包括去分母、去括号、移项、合并同类项和化系数为1等。

一元一次方程在数学中有着广泛的应用，如代数方程、函数、几何等领域。

六、一元一次方程的应用一元一次方程的应用范围很广，包括路程问题、价格问题、工程问题等方面。

解一元一次方程应用题时需要仔细审题，理清题目中的数量关系，将实际问题转化为数学问题，并利用一元一次方程求解。

七、一元一次不等式及其解法一元一次不等式是只含有一个未知数，且未知数的次数为1的不等式。

解一元一次不等式的基本步骤包括去分母、去括号、移项、合并同类项和化系数为1等。

一元一次不等式在数学中有着广泛的应用，如代数方程、不等式、函数等领域。

图像处理与分析图像表示与描述共96页

图像处理与分析图像表示与描述
1、合法而稳定的权力在使用得当时很少遇到抵抗。 ———伯克
3、最大限度地行使权力总是令人反感；权力不易确定之处始终存在着危险。— —塞·约翰逊 4、权力会奴化一切。——塔西佗
5、虽然权力是一头固执的熊，可是金子可以拉着它的鼻子走。— —莎士比
拉
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地走到底，决不回头。 ——左
56、书不仅是生活，而且是现在、过去和未来文化生活的源泉。 ——库法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一次也不善于度过。— —吕凯特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处，只不过是愈来愈发觉自己的无知。 ——笛卡儿

第六章反比例函数反比例函数的图象与性质

作业
（A层）如图，当 x 0 时，下列图象中，
有可能表示 y 2 的图象的是
.
x
（B层）
1、已y2与知xy2 成反y1+比y例2 ，，y且1与当x x成=正2与比x例=3，时，
y的值都等于19. y与x间的系数关系式，并求x=4时y的值.
2、习题6.2 联系拓广
数学核心素养
一、什么是数学核心素养二、如何在数学教学活动中体现数学核心素养三、如何在数学教学评价中考查数学核心素养
挑战自我能力提升
问题: 1、反比例函数图象是中心对称图形吗？
若是的话，请找出对称中心.
2、反比例函数图象是轴对称图形吗？若是的话，你能试着说明它的对称轴是什么吗？
分层达标课后延伸
A层
1、y 3(x 0) 的图象叫
，
x
图象位于
象限.
2、写出一个图象分布在二、四象限内的
反比例函数解析式
.
B层
1、已知函数 y(m2)xm22m9是反比例函数，
且图象经过一、三象限，求m的值
2、u与t成反比，且当u=6时，t 1 8
这个函数关系式为
.
Hale Waihona Puke 归纳总结纳入系统反比例函数图象分别都是由两支曲线组成，因此称反比例函数的图象为双曲线
反比例函数的图象由k决定当k>0时,两支双曲线分别位于一,三象限内; 当k<0时,两支双曲线分别位于二,四象限内;
第六章反比例函数
反比例函数的图象与性质
设疑激思复习引入
1.我们通常从哪几方面研究函数？ 2.画一次函数图象的步骤是什么？ 3.借助图象我们研究了一次函数的哪些
性质？
合作探究发现问题

MedicalImage13医学图像分类

加权距离公式：
k) 2 (k ) 2 (k ) 2 Dk WPd (GPd M ( ) W ( G M ) W ( G M T1 T1 T1 T2 T2 T2 ) Pd
K＝1，2，…,5
16
6.4 聚类分割技术

6.4.1 C均值聚类 6.4.2 模糊C均值聚类法 6.4.3 ISODATA算法
2
l 1,2, N i
i 1
M
其中Cj是被识别对象的第j个特征值，Clj是第l个样本的第j个特征值。
10
6.2.2 基于灰度和纹理参数的组织分类 K－近邻分类法
3、将dl按从小到大的顺序排列，并选取前n个距离值；
4、分析这n个距离值中各有多少个距离分别属于L1，
L2，…，LM 类
5、若属于Li类的距离值最多，则被识别象素属于Li类。
医学图像处理
信自学院生医系
1
第六章医学图像分类
6.1 医学图像分类概述
6.2 单谱图像分类 6.3 多谱图像分类 6.4 模糊聚类分割
2
6.1 医学图像分类概述

图像分析技术分类的三种基本范畴

低级处理：图像获取、预处理，不需要智能

中级处理：图像分割、表示与描述，需要智能
高级处理：图像识别、解释，缺少理论，为降低难度，设计得更专用。

3
6.1 医学图像分类概述

图像分析技术分类的三种基本范畴
分割
预处理
问题图像获取低级处理
表达与描述
中级处理
知识库
识别与解释
高级处理
结果
4
6.1 医学图像分类概述

数字图像处理第六章色彩模型与彩色处理课件

Chapter 6 Color Image Processing
6.1 彩色基础
在颜料或着色剂中，原色的定义是这样的：
白：减去一种原色，反射或传输另两种原色。故其原色是：深红、青、黄。而二次色是R、G、B。如图6.4所示。
Chapter 6 Color Image Processing
Chapter 6 Color Image Processing
6.2 彩色模型
6.2.1 RGB彩色模型
下面介绍所谓全RGB彩色子集。
Chapter 6
Color Image Processing
6.2 彩色模型
Chapter 6 Color Image Processing
6.2 彩色模型
6.3 伪彩色处理
6.3 伪彩色处理给特定的灰度值赋以彩色。伪彩色的目的是为了人眼观察和解释图像中的目标。
Chapter 6 Color Image Processing
6.3 伪彩色处理
6.3.1 强度分层
参见图6.18，图像被看成三维函数。
Chapter 6 Color Image Processing
6.3.2 灰度级到彩色转换
例6.5是一突出装在行李内的爆炸物的伪彩色应用。
Chapter 6 Color Image Processing
6.3 伪彩色处理
6.3.2 灰度级到彩色转换
例6.5是一突出装在行李内的爆炸物的伪彩色应用。
Chapter 6 Color Image Processing
6.3 伪彩色处理
Chapter 6 Color Image Processing
6.3 伪彩色处理

图像特征表示与描述_图文_图文

• 如果边界的本身对于旋转和比例修改来说是无变化的，使用链码才是正确的。一般来说这是不可能的，实际应用时还需要改进。
• 用链码后，对象只要用1)起点坐标，2)周长（边界点数）3)链码，4)对象编号，就可以描述。
• 链码一般用于一幅图像中有多个对象的情况，对单个对象不适用。
3.3.2 特征表示与描述:表示法设计
• 多边形逼近
– 基本思想：用最少的多边形线段，获取边界形状的本质。
– 寻找最小基本多边形的方法一般有两种： 1）点合成法 2）边分裂法
3.3.2 特征表示与描述:表示法设计
• 多边形逼近
– 点合成算法思想举例：
R R<T
3.3.2 特征表示与描述:表示法设计
• 多边形逼近
R
– 点合成算法：
R<T
3.3.2 特征表示与描述:表示法设计
• 链码
– 问题2： 1）由于起点的不同，造成编码的不同 2）由于角度的不同，造成编码的不同
– 改进2： 1）从固定位置作为起点(最左最上)开始编码 2）通过使用链码的首差代替码子本身的方式
3.3.2 特征表示与描述:表示法设计
• 链码
– 循环首差链码：用相邻链码的差代替链码
k2
• 简单描述子
– 边界的曲率：
a
k1
曲率被描述为斜率的变化率。近似：
用相邻边界线段（描述为直线）的斜率差作为在边界线交点处的曲率描述子。
交点a处的曲率为 dk = k1 – k2 其中k1、k2 为相邻线段的斜率
3.3.3 特征表示与描述：边界描述子
P1
• 简单描述子
P2
– 边界的凸线段点：
(c) p2 * p4 * p6 = 0 （p2 、p4 、p6 至少有一个0） (d) p4 * p6 * p8 = 0 （p4 、p6 、p8 至少有一个0）

第六章函数的概念和图象

第六章函数的概念和图象一、内容综述：1．函数的有关概念：一般地，设在某变化过程中有两个变量x，y。

如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说y是x的函数，x叫做自变量,y叫因变量。

对于函数的意义，应从以下几个方面去理解：（1）我们是在某一变化过程中研究两个变量的函数关系，在不同研究过程中，变量与常量是可以相互转换的，即常量和变量是对某一过程来说的，是相对的。

（2）对于变量x允许取的每一个值，合在一起组成了x的取值范围。

（3）变量x与y有确定的对应关系，即对于x允许取的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应。

2.函数值与函数值有关的问题可以转化为求代数式的值。

二、例题分析：例1．判断y=x与y=是否是同一函数。

解：∵ y==|x|当x≥0时，y=x,当x<0时, y=-x.∴ y=x与y=不是同一函数。

说明：虽然这两个函数的自变量取值范围都是全体实数，但当x<0时，两个函数的对应关系不同（如当x=-2时，y=x=-2, 而y==2）, 所以它们不是同一个函数。

例2．不画图象，求函数y=-x+的图象上一点P，使点P到x轴，y轴的距离相等。

解：当点P在第一，三象限内，依题意，设P(a,a)∴ a=-a+解得：a=1.当点P在第二，四象限内，设P（b,-b）∴ -b=-b+解得：b=-3,∴点P坐标为（1，1）或（-3，3）。

说明：由点P到x轴、y轴的距离相等知点P在各象限角平分线上，由于第一，三象限角平分线上的点M（x,y）满足x=y的关系，而第二，四象限角平分线上的点N（x,y）满足x=-y的关系，所以可根据点P的位置特点来设点P的坐标，通过此例训练分类讨论思想。

例3.某自行车保管站在某个星期日接受保管的自行车共有3500辆次，其中变速车保管费是每辆一次0.5元，一般车保管费是每辆一次0.3元. 若设一般车停放的辆次数为x，总的保管费收入为y元，试写出y关于x的函数关系式；分析：由一般车辆停放次数x表示变速停放的辆次数，由保管费列出函数关系再化简，但要在函数式后注明自变量x的取值范围。

苏科初中八年级上册数学《第六章一次函数》PPT课件

例３：柴油机在工作时油箱中的余油量Q(千克）
与工作时间t（小时）成一次函数关系，当工作开始时油箱中有油40千克，工作3.5小时后，油箱中余油22.5 千克
求余油量Q与时间t的函数关系式；
解：由题意设Ｑ＝kt＋b。把t=0，Q=40；t=3.5，Q=22.5 分别代入上式，得
b 40 22.5 3.5k b
5、一次函数y=kx+b(k ≠ 0)的性质： ⑴当k>0时，y随x的增大而___增__大____。 ⑵当k<0时，y随x的增大而___减__小____。 ⑶根据下列一次函数y=kx+b(k ≠ 0)的草图回答出各图
中k、b的符号：
k__>_0，b__>_0
k__>_0，b_<__0
k_<__0，b_>__0 k_<__0，b_<__0
3、函数
2 y x4
3
的图像与x轴交点坐标为________,
与y轴的交点坐标为____________。
4 、（1）直线y kx b与 y 5x 1 平行，
且经过（2，1），则 k= ,b= .
12
（2）对于函数 y x , y的值随x值的____而减
小。
23
5、若函数y＝kx+b的图像经过点（－3，－2）和（1，6），求k、b及函数关系式。
（1）写出每户每月用水量不超过6米3和每户每月用水量超过6米3时，y与x之间的函数关系式，并判断它们是否为一次函数。
（2）已知某户5月份的用水量为16米3，求该用户5月份的水费。
四、布置作业
五、小结本节课你有哪些收获？
6、已知一次函数的图像经过点A（2，－1）

第六章彩色图像处理

z =1- (x+y)

从380 nm的紫色到781nm的红色等各种纯色的位置标在舌形色度图周围的边界上。任何不在边界上而在色度图内部的点都表示谱色的混合色。图边界上的任何点都是全饱和的。离开边界并接近等能量点，就在颜色中加入更多的白光，该颜色就变成欠饱和。
16

例如，图中标记为绿的点有62%的绿和25% 的红成分，从上式得到蓝的成分约为13%。
• •
全彩色处理（图像用全彩色传感器获取）
伪彩色处理（对特定的单一亮度或亮度范围赋予一种颜色）
2
专题制图仪
3
嫦娥一号所拍月球三维照片
4
主要内容

彩色基础彩色模型伪彩色处理彩色变换

平滑和锐化
彩色分割
彩色图像的噪声
5
6.1 彩色基础
Color Spectrum

Newton discovered that when a beam of sunlight passes through a glass prism, the emerging beam of light is not white but consists instead of a continuous spectrum of colors. No color in the spectrum ends abruptly, but rather each color blends smoothly into the next.
X x X Y Z Y y X Y Z Z z X Y Z x y z 1
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色度图 (C.I.E.Chromaticity Diagram)

正弦函数和余弦函数的图像与最值

课题：6.1-1-正弦函数和余弦函数的图像与最值(2课时) 第一课时：教学目标：1. 掌握正弦函数和余弦函数的定义，能够用正弦函数线作正弦函数图像，掌握五点法作正弦函数和余弦函数图像；掌握正弦函数和余弦函数的定义域、值域和最值。

2. 在作图的过程中，进一步理解正弦函数和余弦函数的定义；领悟用函数图像研究函数性质的方法。

3. 巩固数形结合思想。

教学重点：正弦函数和余弦函数的定义、图像和最值教学难点：用正弦函数线作正弦函数图像教学过程：复习：(1) 函数概念；(2) 弧度制；(3)三角函数线。

正弦函数和余弦函数的定义：对任意一个实数x 都有唯一确定的值sinx 与它对应，按照这个对应法则所建立的函数叫做正弦函数，表示为y ＝sinx ，x ∈R 。

对任意一个实数x 都有唯一确定的值cosx 与它对应，按照这个对应法则所建立的函数叫做余弦函数，表示为y ＝cosx ，x ∈R 。

对概念的理解：(1)正弦函数和余弦函数的定义域为R ；(2) 正弦函数和余弦函数的值域为[－1，1]。

用正弦函数线作正弦函数图，教师讲解。

先作y ＝sinx ，x ∈[0,2π]的图像，再利用函数周期性作其它区间的图像。

思考：作正弦函数图像的关键点有哪些？对于函数y ＝sinx ，x ∈[0,2π]而言，(0,0)、(2π,1)、(π,0)、(32π,－1)和(2π,0)是作图的关键点。

——五点法作图练习：利用五点法作出y ＝－sinx ，x ∈[0,2π]的图像。

注意：可以用五点法作图，也可以用图像变换的方法作图！——应该启发学生。

思考：如何作余弦函数的图像？由cosx ＝sin (x ＋2π)知：将y ＝sinx 图像左移2π即可得到y ＝cosx 图像！思考：能否用五点法作余弦函数图像？(0, 1)、(2π,0)、(π,－1)、(32π,0)和(2π, 1)是余弦函数图像的五个关键点。

练习：(1)利用五点法作出y ＝cos x ，x ∈[－π,π]的图像。

图像描述运动)课件

8
9
针对训练
2. 如图所示是一列火车的s－t图，则线段OA段的速度为__6_0__km/h，AB段的速度为__0_km/h，BC段的速度为 __6_0__km/h.
10
２．速度－时间图象
（1）速度—时间图像的两轴纵轴为速度轴：轴上点表示速度；轴上有向线段表示速度变
化量．横轴为时间轴：轴上点表示时刻；轴上段表示时间．（２）匀速直线运动v-t函数关系的数学图像：一条平行与横轴直线（３）静止的v-t函数关系的数学图像：横轴．
14
3.如图所示为甲、乙、丙三个物体在同一直线上运动的位移—时间图像，下列说法正确的是( ) A.前5 s内甲的位移最大 B.前10 s内甲、乙、丙一直向着同一方向运动 C.前10 s内甲、乙、丙的位移相同 D.前10 s内甲、乙、丙的路程相同
15
【解析】选A、C.前5 s内的位移关系s甲＞s乙＞s丙，A正确. 乙、丙的位移一直增大，说明始终朝一个方向运动，而甲的位移先增大后减小，说明在后一段做反向运动，B错误. 10 s末三者运动到同一位置，所以前10 s内，三者位移相同，甲的路程最大，乙、丙路程相同，C正确，D错误.
实例
对于图线1， t1、t2时刻的位置分别为s1、s2
v1>v2，v4与v1 、v2反向，v4 的方向为负方向，v3渐小最后v3＝0
对于图线4， t＝0时位移为s3；t＝t3 时x＝0
对于图线1 和4，在t2时刻相遇，共同的位置为 s2
7
（4）s-t图象是s与t的函数关系的一种表达形式，不是物体运动的轨迹． (5) 图像的应用 ①可求出任意时刻物体的位置． ②可求出通过某一位移所对应的时间． ③可判断物体的运动方向． ④可比较物体运动的快慢． ⑤可确定两物体在何时何处相遇．

数图7-图像表示与描述ppt课件

曲线上的曲线积分来表达）
离散化为:
2020/5/22
A12(xdyyd)x
1N
A2i1[xi(yi1yi)yi(xi1xi)]
1 N
2.i1
(xiyi1xi1yi)
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数字图像处理
距离
图像中两点P1和P2之间的距离是重要的几何性质之一，测量距离常用的3种方法如下： 1. 欧几里德距离
d (P 1,P 2)(x1x2)2(y1y2)2
E r2 f(x,y)dxdy
2020/5/22
.
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数字图像处理
长轴和短轴
若区域或物体的边界已知，则可以采用区域的最小外接矩形（ MER ， Mini-mum Enclosing Rectangle）的尺寸来描述该区域的基本形状，如图所示，a为长轴，b为短轴。
2020/5/22
.
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数字图像处理
周长
周长：是指该物体或区域的边界长度。一个形状简单的物体用相对较短的周长来包围它所占有面积内的像素，即周长是围绕所有这些像素的外边界的长度。
计算周长常用的3种方法：
2020/5/22
.
9
数字图像处理
周长计算（1）
若将图像中的像素视为单位面积小方块时，区域的周长即为区域和背景缝隙的长度之和，此时边界用隙码表示，计算出隙码的长度就是物体的周长。如图所示图形，边界用隙码表示时，周长为24。
2020/5/22
.
3
数字图像处理
概述
图像表示：分为边界表示（如链码、边界分段等）和区域表示（如四叉树、骨架等）两大类：（目的：存储）
➢ 边界表示关心的是图像中区域的几何、形状特征。

第六章由投影重建图像 1.断层摄影图像的获取 2.重建图像的几种方法

后所接收的信息叠加起来。
2) 反投影法
2) 反投影法

例如：把与A象素有关的z1 ,z3 ,z5叠加起来，可
知 A的值将和总和成正比。其他各个象素也一
样，事实上，叠加的结果都包含有 9 个象素的总和，为保持射线密度的平均值不变，可以用总象素数 9 去除总和，从而获得一个相应象素的平均密度值，即重建图像的各个象素值分别
1）减少未知数数目
2）增加扫描路径
3）改变扫描路径
1) 解联立方程组方法

对于本问题，只有第三种方程组为：
A B D z1 D E F z4 C D z2 B E z5 A B C z3 A C E z6
图(c)是改变扫描路径的情况，此时获得的新联立
些改变，但其基本原理还是相同的。下面我们
仅就 T-R 型扫描方式，讨论几种图像重建的方
法。
2. 重建图像的几种方法

常用的几种由投影重建图像的方法：
l解联立方程组方法 l反投影法 l利用傅立叶变换进行图像重建 l利用卷积进行图像重建
l图像重建的逐步逼近法
l最优化重建 l扇形投影数据的重建
1) 解联立方程组方法
复技术。如把投影看成是一种劣化过程，而重
建则是一种复原过程。具体来说，ห้องสมุดไป่ตู้投影时我
们丢失了沿射线方向的分辨能力(只剩1—D信
息)，而重建则利用多个投影恢复了2—D的分
辨力。
第六章由投影重建图像

从投影重建图像的技术在许多科学领域，包括从分子
量级(借助电子显微镜)到宇宙量级(射电天文学)都得到了应用。它极大地增强了人类观察物体内部结构的
收敛于对应象素值）而引起的结构模糊。

(北师大版数学九上)第六章反比例函数讲义

第六章反比例函数第5讲反比例函数图象、性质及应用一．知识梳理知识点1 反比例函数的定义与表达式：（1）一般地，形如xky =（k 为常数，0k ≠）的函数称为反比例函数（2）反比例函数有三种表达式： ①xk y =（0k ≠） ②1kx y -=（0k ≠） ③k y x =⋅（定值）（0k ≠）知识点2 用待定系数法求反比例函数的解析式由于反比例函数xky =（0k ≠）中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出k 的值，从而确定反比例函数的表达式. 知识点3 反比例函数的图像及画法反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限，它们与原点对称，由于反比例函数中自变量函数中自变量x ≠0，函数值y ≠0，所以它的图像与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴.反比例的画法分三个步骤：⑴列表；⑵描点；⑶连线. 在作反比例函数的图像时应注意以下几点： ①列表时选取的数值宜对称选取；②列表时选取的数值越多，画的图像越精确； ③连线时，必须根据自变量大小从左至右（或从右至左）用光滑的曲线连接，切忌画成折线； ④画图像时，它的两个分支应全部画出，但切忌将图像与坐标轴相交.知识点4 反比例函数的性质☆关于反比例函数的性质，主要研究它的图像的位置及函数值的增减情况，如下表：反比例函数xky =（0k ≠） k 的符号0k >0k <图像性质①x 的取值范围是0x ≠，y 的取值范围是0y ≠①x 的取值范围是0x ≠，y 的取值范围是0y ≠②当0k >时，函数图像的两个分支分别在第一、第三象限，在每个象限内，y 随x 的增大而减小.②当0k <时，函数图像的两个分支分别在第二、第四象限，在每个象限内，y 随x 的增大而增大.注意：描述函数值的增减情况时，必须指出“在每个象限内……”否则，笼统地说，当0k >时，y 随x 的增大而减小，就会与事实不符的矛盾. ☆反比例函数x k y =（0k ≠）中，k 越大，双曲线xky =越远离坐标原点；k 越小，双曲线xky =越靠近坐标原点. ☆双曲线是中心对称图形，对称中心是坐标原点；双曲线又是轴对称图形，对称轴是直线y=x 和直线y=－x. ☆反比例函数（y=xk）的图像与正比例函数（y=ax ）的图像交于A(11y x ，),B(22y x ，)两点，那么这两点关于原点对称，即21-x x =，21-y y =.【补充】中点坐标公式：三点共线，且中间的点是中点，则：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==22两个端点的纵坐标相加中间点的纵坐标两个端点的横坐标相加中间点的横坐标即若A(1x ，1y )，B(2x ，2y ),M(x ，y)在一条直线上，且M 为线段AB 的中点，则有：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=2y y y 2x x x 2121知识点5 反比例函数的应用（略）二.实战演练考点一反比例函数的概念及函数关系式的确定下列是反比例函数的有_____（填序号）①2xy-=；②xy21-=；③11-=xy；④21xy=⑤ xy=-3；⑥1--=xy考点二反比例函数的图像和性质1.反比例函数y=xa-1-2(a是常数)的图像分布在（）A.第一、二象限B.第一、三象限C.第二、四象限D.第三、四象限2.(1)若A（x1，y1），b（x2，y2）是双曲线y＝x3上的两点，且x1＞x2＞0，则y1____y2．3.反比例函数y=xk的图像如右图所示，则k的值可能是（）A.-1B.1C.2D.34.正方形的A1B1P1P2顶点P1、P2在反比例函数y=x2（x＞0）的图象上，顶点A1、B1分别在x轴、y轴的正半轴上，再在其右侧作正方形P2P3A2B2，顶点P3在反比例函数y=x2（x＞0）的图象上，顶点A2在x轴的正半轴上，则点P3的坐标为．典例分析考点三反比例函数的应用 1.已知点P(a ，b)在反比例函数xy 2=的图像上，若点P 关于y 轴对称的点在反比例函数xky =的图像上，则k 的值为_____. 2.李先生参加了清华同方电脑公司推出的分期付款购买电脑活动，他购买的电脑价格为1.2万元，交了首付之后每月付款y 元，x 月结清余款．y 与x 的函数关系如图所示，试根据图象提供的信息回答下列问题．（1）确定y 与x 的函数关系式，并求出首付款的数目；（2）如打算每月付款不超过500元，李先生至少几个月才能结清余款？考点四一次函数与反比例函数综合问题 1.函数y=k(x-1)与xky -=在同一直角坐标系内的图象大致是（）2.在同一平面直角坐标系中，若一个反比例函数的图象与一次函数y=-2x+6的图象无公共点，则这个反比例函数的表达式是_____（只写出符合条件的一个即可）.3.已知y=y 1+y 2，y 1与x 成正比例，y 2与x ﹣2成反比例，且当x=1时，y=﹣1；当x=3时，y=5．求y 与x 的函数关系式．4.如图所示，直线xy 34=与双曲线x k y =（x ＞0）交于点A ，将直线x y 34=向右平移29个单位后，与双曲线x k y =（x ＞0）交于点B ，与x 轴交于点C ，若BCAO=2，则k=____.1.已知函数|m |1xm y -=是y 关于x 的反比例函数，则m 的值是____. 2.在反比例函数xmy 21-=的图像上有A(11y x ，)，B(22y x ，)两点，当021＜＜x x 时，21y y ＜，则m 的取值范围是（）A.m ＜0 B.m ＞21 C.m ＜21D.m ＞03.反比例函数的自变量x 满足-2≤x ≤-21时，函数值-1≤y ≤-41，则它的解析式是（）A.x y 21=B.xy 21-= C.x y 8= D.x y 81-=4.如图所示，等边三角形OAB 的边OA 在x 轴上，双曲线y=x3在第一象限内的图像经过边OB 的中点C,则点B 的坐标是( , ).5.双曲线y=xk经过点（-3,4），则下列点在双曲线上的是____. A.(-2,3) B.(4,3) C.(-2,-6) D.(6，-2) 6.已知一次函数b kx y +=1与反比例函数xky =2在同一直角坐标系中的图象如图所示，则当21y y ＜时，x 的取值范围是（）课堂训练A.x ＜-1或0＜x ＜3B.-1＜x ＜0或x ＞3C.-1＜x ＜0D.x ＞37.如图，直线y=33-x+b 与y 轴交于点A ，与双曲线xky =在第一象限交于B 、C 两点，且AB.AC=8，则k=_____.8.某地计划用120﹣180天（含120与180天）的时间建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为360万立方米．（1）写出运输公司完成任务所需的时间y （单位：天）与平均每天的工作量x （单位：万立方米）之间的函数关系式，并给出自变量x 的取值范围；（2）由于工程进度的需要，实际平均每天运送土石比原计划多5000米3，工期比原计划减少了24天，原计划和实际平均每天运送土石方各是多少万立方米？9.已知反比例函数y ＝8m x-(m 为常数)的图象经过点A （－1，6） (1)求m 的值；(2)如图，过点A 作直线AC 与函数y ＝8m x-的图象交于点B ，与x 轴交于点C ，且AB ＝2BC ，求点C 的坐标.1.已知一个反比例函数的图像位于第二、四象限内，点P(yx，)在这个反比例函数图像上，且yx＞-4，请你写出这个反比例函数的表达式______．（只写出符合题意的一个即可）2.若点（-2，）1y，（-1，2y），（1，3y）在反比例函数)0(＜kxky=图象上，则下列结论中，正确的是（）A.3y＞1y＞2y B.2y＞1y＞3y C.1y＞2y＞3y D.3y＞2y＞1y3.如图所示，点P(2,1)是反比例函数xky=的图像上的一点，则当y＜1时，自变量x的取值范围是（）A.x＜2 B.x＞2 C.x＜2且x≠0 D.x＞2或x＜04.已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）是同一个反比例函数图象上的两点，若x2=x1+2，且211112+=yy，则这个反比例函数的表达式为______.5.如图所示，矩形ABCD的对角线经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数y=xkk122++的图象上，若点A的坐标为（-2，-2），则k的值为_____.6.已知A(2,m-2)和B(m，4)均在反比例函数图像上，则m=___.7.如果一个正比例函数的图象与反比例函数y=x6的图象交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，那么（x2-x1）（y2-y1）的值为_____.8.如图，直线y=2x与双曲线y=x2在第一象限的交点为A，过点A作AB⊥x轴于B，将△ABO 绕点O旋转90°，得到△A′B′O，则点A′的坐标为( )A.（1，0）B.（1，0）或（﹣1，0）C.（2，0）或（0，﹣2）D.（﹣2.1）或（2，﹣1）课后作业※9.教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温（℃）与开机后用时（min ）成反比例关系．直至水温降至30℃，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若在水温为30℃时，接通电源后，水温y （℃）和时间（min ）的关系如图，为了在上午第一节下课时（8：45）能喝到不超过50℃的水，则接通电源的时间可以是当天上午的（） A ．7：20 B ．7：30 C ．7：45 D ．7：5010.某汽车油箱的容积为80升，小陈把油箱注满油后从县城载客到400千米外的省城，把客人送到目的地后马上按原路返回，请回答下列问题：（1）油箱注满后，汽车能够行驶的总路程a （单位：千米）与每千米平均耗油量b （单位：升）之间有怎样的函数关系？（2）小陈以平均每千米耗油0.1升的速度驾驶汽车到达省城，在返回走了一半路程时下起了雨，小陈降低了速度，此时每行驶1千米的耗油量增加了一倍，如果小陈一直以此速度行驶，油箱里的油是否能回到县城？如果不够用，至少还需加多少油？11.如图，已知反比例函数y=x2k和一次函数y=2x-1，其中一次函数的图象经过（a ，b ），（a+1，b+k ）两点，反比例函数和一次函数的图象交于A 、B 两点． (1)求反比例函数的解析式，和△AOB 的面积； (2)结合函数图象，直接写出不等式2x ＞76x 2k+-的解为_______；(3)在反比例函数图象上存在_____个点P ，使得OAB PAB S S △△2=．12.已知反比例函数x2ky =和一次函数y=2x-1，其中一次函数的图象经过(a,b)，（a+1,b+k ）两点.(1)求反比例函数的解析式；(2)若点A 在第一象限，且同时在上述两个函数的图象上，求点A 的坐标；(3)利用（2）的结果，请问：在x 轴上是否存在点P ，使△AOP 为等腰三角形？若存在，直接写出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由.第6讲 |k|的几何意义一．知识归纳☆反比例函数xky =（0k ≠）中k 的几何意义：如图所示，过双曲线上任一点P （x ，y ）分别作x 轴、y 轴的垂线，E 、F 分别为垂足，连接OP ，则:OEPF S PE PF y x 矩形=⋅=⋅=k【补充】|k|的几何意义常见模型：模型一：一点一垂线模型分析：如过反比例函数图象上一点作坐标轴的垂线，该点、垂足与坐标轴上一点(含原点)构成的三角形面积等于21|k|.特别补充：反比例函数图象上的两点与原点构成的三角形面积等于由这两点向x 轴作垂线构成的梯形面积.模型二：一点两垂线模型分析：如过反比例函数图象上一点作两条坐标轴的垂线，垂线与坐标轴围成的矩形面积等于|k|.模型三：原点一垂线模型分析：过正比例函数与反比例函数的一个交点作坐标轴的垂线，两交点与垂足构成的三角形的面积等于|k|.模型四：两点两垂线模型分析：反比例函数与正比例函数的两个交点的连线及由交点向不同坐标轴所作两条垂线围成的图形(或两交点及由交点向同一坐标轴所作两条垂线的垂足构成的图形)的面积等于2|k|.模型五：两点和一点模型分析：反比例函数与一次函数的交点和原点(或坐标轴上一点)所构成的三角形的面积，若两交点在同一支上，用减法；若两交点分别在两支上，用加法.模型六：两曲一平行模型分析：两条双曲线上的两点的连线与一条坐标轴平行，求该两点与原点构成或坐标轴围成的图形面积，结合k的几何意义求解.模型七：与四边形组合模型分析：反比例函数图象与四边形结合，已知面积求值，或已知值求面积.通常会用到反比例函数图象上点的横纵坐标乘积相等.二.实战演练例1：下列图形中，阴影部分面积最大的是（）例2：如图所示，反比例函数y=xk(x＞0)的图像经过矩形OABC对角线的交点M，分别于AB、BC交于点D、E，若四边形ODBE的面积为9，则k的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4例3：如图，A、B两点分别在反比例函数xy1-=和xky=的图像上，连接OA、OB，若OA ⊥OB，OB=2OA，则k的值为（） A.-2 B.2 C.-4 D.4例4:如图，反比例函数y=xk（x＞0）的图象经过平行四边形ABCO的顶点A和对角线的交点E，点A的横坐标为3，对角线AC所在的直线交y轴于（0，6）点，则函数y=xk的表达式为_____．典例分析例5：如图，矩形ABCD的顶点A，B在x轴上，且关于y轴对称，反比例函数y=xk1(x＞0)的图象经过点C，反比例函数y=xk2(x＜0)的图象分别与AD，CD交于点E，F，若BEFS∆=7，21k3k+=0，则1k等于_______.例6：已知：在矩形AOBC中，OB＝4，OA＝3，分别以OB、OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，F是边BC上的一个动点（不与B、C重合），过F点的反比例函数xky=（k＞0）的图象与AC边交于点E.（1）用含k的代数式表示△AOE的面积是____，△BOF的面积是_____.（2）请探索：是否存在这样的点F，使得将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上？若存在，请直接写出点F的坐标，若不存在，请说明理由.1.如图所示是反比例函数xky1=和xky2=（k1＜k2）在第一象限的图像，直线AB∥x轴，并分别交两条曲线于A，B两点，若2=AOBS△,则k2-k1的值是（）A.1B.2C.4D.8课堂训练2.如图，P(x ，y)是反比例函数xy 3的图象在第一象限分支上的一个动点，PA ⊥x 轴于点A ， PB ⊥y 轴于点B ，随着自变量x 的增大，矩形OAPB 的面积（） A ．不变 B.增大 C.减小 D.无法确定3.如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，BC=2AB ，A 、B 两点的坐标分别是(-1,0),(0,2),C 、D 两点在反比例函数y=xk(k ＜0)的图象上，则k=_____.4.如图，矩形OABC 的顶点A 、C 分别在x 、y 轴的正半轴上，点D 为对角线OB 的中点，反比例函数y ＝xk（x ＞0）在第一象限内的图象经过点D ，且与AB 、BC 分别交于E 、F 两点，若四边形BEDF 的面积为1，则k 的值为_____．5.如图，在△OAB 中，C 是AB 的中点，反比例函数y=xk（k ＞0）在第一象限的图象经过A ，C 两点，若△OAB 面积为6，则k 的值为_____.6.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BC边在x轴正半轴上，中线BD的反向延长线交于y轴负半轴于点E.双曲线xk y=一条分支经过点A，若S△BEC=4，则k=_______.1.如图所示，直线l和双曲线y=xk（k＞0）交于A,B两点，P是线段AB上的点（不与A、B 重合）.过点A，B，P分别向x轴作垂线，垂足分别为C，D，E，连接OA，OB，OP，设△AOC的面积为S1，△BOD的面积为S2，△POE的面积为S3，则有（）A.S1＜S2＜S3B.S1＞S2＞S3C.S1＝S2＜S3D.S1＝S2＞S32.如图，在平面直角坐标系中，过点M(-3，2)分别作x轴、y轴的垂线与反比例函数xy4=的图象交于A、B两点，则四边形MAOB的面积为______.3.某反比例函数xky=的图像上有三点A(1，4)，B（2，m），C（4，n），则△ABC的面积为_____.课后作业4.(1)如左下图，在Rt △OAC 中，O 为坐标原点，直角顶点C 在x 轴的正半轴上，反比例函数y=xk（k ≠0）在第一象限的图象经过OA 的中点B ，交AC 于点D ，连接OD ，若△OAD 的面积为1，则k 的值为_______．(2)如右上图，在Rt △AOB 中，两直角边OA 、OB 分别在x 轴的负半轴和y 轴的正半轴上，将△AOB 绕点B 逆时针旋转90°后得到△A ′O ′B ．若反比例函数y ＝xk的图象恰好经过斜边A ′B 的中点C ，S △ABO=4，tan ∠BAO=2，则k 的值为______.5.如图，A 、B 两点分别在反比例函数x y 1-=和xky =的图像上，连接OA 、OB ，若OA ⊥OB ，OB=2OA ，则k 的值为（） A.-2 B.2 C.-4 D.46.如图，A ，B 两点在反比例函数y=x k 1的图象上，C ，D 两点在反比例函数y=xk2的图象上，AC ⊥y 轴于点E ，BD ⊥y 轴于点F ，AC=2，BD=1，EF=3，则k 1﹣k 2的值是________.7.如图，在□OADB 中，对角线AB 、OD 相交于点C ，反比例函数y=kx （k ＞0）在第一象限的图象经过A 、C 两点，若平行四边形OADB 面积为12，则k 的值为______．8.如图所示，双曲线y=x2(x ＜0)经过四边形OABC 的顶点A ，C ，∠ABC=90°，OC 平分OA 与x 负半轴的夹角，AB ∥x 轴，将△ABC 沿AC 翻折得到△AB ＇C ，B ＇点落在OA 上，则四边形OABC 的面积是 .9.如图矩形AOCB 的两边OC ，OA 分别位于x 轴，y 轴上，点B 的坐标为B （-320，5），D 是AB 边上的一点，将△ADO 沿直线OD 翻折，使A 点恰好落在对角线OB 上的点E 处，若点E 在一反比例函数的图像上，那么该函数的解析式是_____.10.在平面直角坐标系中，点A （﹣3，4）关于y 轴的对称点为点B ，连接AB ，反比例函数y=（x ＞0）的图象经过点B ，过点B 作BC ⊥x 轴于点C ，点P 是该反比例函数图象上任意一点，过点P 作PD ⊥x 轴于点D ，点Q 是线段AB 上任意一点，连接OQ 、CQ ．（1）求k 的值；（2）判断△QOC 与△POD 的面积是否相等，并说明理由．。

九上数学第27讲第六章 6.2反比例函数性质和图像

第27讲《反比例函数》培优训练6.2 反比例函数图像和性质【基础知识精讲】反比例函数y=kx （k ≠0）中k 的几何意义：过函数 y=kx（k ≠0）的图像上任一点),(y x p 作PM ⊥x 轴，PN ⊥y 轴，所得矩形PMON 的面积S=∣xy ∣=∣k ∣；所得△POM 的面积S=21∣k ∣。

【例题巧解点拨】例1．正比例函数y=x 与反比例函数y=1x的图象相交于A 、C 两点，AB ⊥x 轴于B ，CD •⊥x 轴于D ，如图1所示，则四边形ABCD 为_______．图1 图2 图3练习：如图2，P 是反比例函数图象在第二象限上的一点，且矩形PEOF 的面积为8，则反比例函数的表达式是_____________________．例2.如图3，两个反比例函数y=3x ，y=6x在第一象限内的图象如图所示，点P 1，P 2，P 3……P 2018，在反比例函数y=6x的图象上，它们的横坐标分别是x 1，x 2，x 3，…x 2018，纵坐标分别是1，3，•5•……，•共2018个连续奇数，过点P 1，P 2，P 3，…，P 2018分别作y 轴的平行线与y=3x的图象交点依次是Q 1（x 1，y 1），Q 2（x 2，y 2），Q 3（x 3，y 3），…，Q 2018（x 2018，y 2018），则y 2018=________．练习：1、如图：函数y=-kx （k ≠0）与y=-4x的图象交于A 、 B 两点，过点A 作AC ⊥y 轴，•垂足为点C ，则△BOC 的面积为________．2、如图，正比例函数y=3x 的图象与反比例函数y=kx（k>0）的图象交于点A ，若取k 为1，2，3，…，20，对应的Rt △AOB 的面积分别为S 1，S 2，…，S 20，则S 1+S 2+…+S 20=_________．例3．如图所示,直线122y x =+分别交x 轴、y 轴于A ，C 两点，P 是该直线上在第一象限内的一点，PB ⊥x 轴于B ，9ABPS =.(1)求P 点坐标; (2)双曲线ky x=经过点P ，能否在双曲线上PB 的右侧求作一点R ，作RT ⊥x 轴于T ，使△BRT 与△AOC 相似? 如能，求出点R 坐标；若不能，说明理由。

第六章 图像表示与描述

八年级上册数学第六章

图像处理与分析图像表示与描述共96页

第六章 反比例函数反比例函数的图象与性质