立体几何线面平行问题

b ′

O

b

a

A 1

B 1

C 1

D 1

D C

b a a

b a b D 1

C 1B 1A 1D

C B

A β

l

a

α

a A

αa

α一、知识点

1 空间两直线的位置关系（1）相交——有且只有一个公共点；（2）平行——在同一平面内，没有公共点；（3）异面——不在任何．．

一个平面内，没有公共点； 2.公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行 推理模式：//,////a b b c a c ⇒．

3.等角定理：若一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，则这两个角相等

4.等角定理的推论:若两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐角(或直

角)相等. 5.空间两条异面直线的画法 6．异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线

推理模式：,,,A B l B l ααα∉∈⊂∉⇒AB 与l 是异面直线

7．异面直线所成的角：已知两条异面直线,a b ，经过空间任一点O 作直线//,//a a b b ''，,a b ''所成的角的大小与点O 的选择无关，把,a b ''所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b 所成的角（或夹角）．为了简便，点O 通常取在异面直线的一条上异面直线所成的角的范围：]2

,

0(π

8．异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直．两条异面直线,a b 垂直，记作a b ⊥．

9．求异面直线所成的角的方法：（1）通过平移，在一条直线上找一点，过该点做另一直线的平行线； （2）找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角即为所求 10．两条异面直线的公垂线、距离：和两条异面直线都垂直相交．．．．

的直线，我们称之为异面直线的公垂线 因为两条异面直线互相垂直时，它们不一定相交，所以公垂线的定义要注意“相交”的含义．两条异面直线的公垂线有且只有一条

11．异面直线间的距离：两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段（公垂线段）的长度，叫做两条异面直线间的距离．

12．直线和平面的位置关系（1）直线在平面内（无数个公共点）；（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；（3）直

线和平面平行（没有公共点）——用两分法进行两次分

类．它们的图形分别可表示为如下，符号分别可表示为a α⊂，a A α=I ，//a α．

13．线面平行的判定定理：如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，

那么这条直线和这个平面平行．推理模式：,,////l m l m l ααα⊄⊂⇒． 14. 线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面

相交，那么这条直线和交线平行．推理模式：//,,//l l m l m αβαβ⊂=⇒I ．

二、基本题型

1．判断题（对的打“√”，错的打“×”）

（1）垂直于两条异面直线的直线有且只有一条 （ ）

（2）两线段AB 、CD 不在同一平面内，如果AC =BD ，AD =BC ，则AB ⊥CD （ ）

（3）在正方体中，相邻两侧面的一对异面的对角线所成的角为60º （ ） （4）四边形的一边不可能既和它的邻边垂直，又和它的对边垂直 （ ） 2．右图是正方体平面展开图，在这个正方体中

①BM 与ED 平行；②CN 与BE 是异面直线；③CN 与BM 成60º角； ④DM 与BN 垂直.以上四个命题中，正确命题的序号是 （ ）

（A ）①②③ （B ）②④ （C ）③④ （D ）②③④

3．已知空间四边形ABCD.(1)求证：对角线AC 与BD 是异面直线;(2)若AC ⊥BD,E,F,G,H 分别这四条边AB,BC,CD,DA 的中点,试判断四边形EFGH 的形状;(3)若AB ＝BC ＝CD ＝DA,作出异面直线AC 与BD 的公垂线段.

4．完成下列证明，已知直线a 、b 、c 不共面，它们相交于点P ，A ∈a ，D ∈a ，B ∈b ，E ∈c 求证：BD 和AE 是异面直线

证明：假设__ 共面于γ，则点A 、E 、B 、D 都在平面__内 A ∈a ，D ∈a ，∴__⊂γ. P ∈a ，∴P ∈__.

P ∈b ，B ∈b ，P ∈c ，E ∈c ∴__⊂γ，__⊂γ，这与____矛盾 ∴BD 、AE__________

5 已知,,,E F G H 分别是空间四边形四条边,,,AB BC CD DA 的中点，（1）求证四边形EFGH 是

平行四边形（2）若AC ⊥BD 时，求证：EFGH 为矩形；（3）若BD =2，AC =6，求2

2HF EG +；（4）

若AC 、BD 成30º角，AC =6，BD =4，求四边形EFGH 的面积；（5）若AB =BC =CD =DA =AC =BD =2，求AC 与BD 间的距离.

6 空间四边形ABCD 中，2AD BC ==，,E F 分别是,AB CD 的中点，

3EF =，求异面直线,AD BC 所成的角

7. 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,求(1)A 1B 与B 1D 1所成角;(2)AC 与BD 1所成角.

8．在长方体D C B A ABCD '''-中，已知AB=a ，BC=b ，A A '=c(a ＞b)，求异面直线B D '与AC 所成角的余弦值

9．如图，已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，M 、N 分别

是AB 、PC 的中点（1）求证：//MN 平面PAD ；（2）若4MN BC ==，43PA =， 求异面

直线PA 与MN 所成的角的大小 E A F

B C M N

D C