完整word版,MATLAB符号运算

符号运算科学计算包括数值计算和符号计算两种计算，数值计算是近似计算；而符号计算则是绝对精确的计算。

符号变量的生成和使用1、符号变量、符号表达式和符号方程的生成（1）、使用sym函数定义符号变量和符号表达式单个符号变量sqrt(2)sym(sqrt(2)) %显示精确结果a=sqrt(sym(2)) %显示精确结果double(a)sym(2)/sym(3) %显示精确结果2/5+1/3sym(2/5+1/3) %显示精确结果sym(2)/sym(5)+sym(1)/sym(3) %显示精确结果sym函数定义符号表达式：单个变量定义法，整体定义法单个变量定义法a=sym('a')b=sym('b')c=sym('c')x=sym('x')f=a*x^2+b*x+c整体定义法f=sym('a*x^2+b*x+c')g=f^2+4*f-2（2）、使用syms函数定义符号变量和符号表达式一次可以创建任意多个符号变量syms var1 var2 var3…syms a b c xf=a*x^2+b*x+cg=f^2+4*f-2（3）、符号方程的生成函数：数字和变量组陈的代数式方程：函数和等号组成的等式用sym函数生成符号方程：equation1=sym('sin(x)+cos(x)=1')2、符号变量的基本操作（1）、findsym函数用于寻找符号变量findsym(f)：找出f表达式中的符号变量findsym(s,n)：找出表达式s中n个与x接近的变量syms a alpha b x1 yfindsym(alpha+a+b)findsym(cos(alpha)*b*x1+14*y,2) %x1,yfindsym(y*(4+3i)+6j)findsym(cos(alpha)*b*x1+14*y,1) %x1findsym(cos(alpha)*b*x1+14*y,3) %x1,y,b（2）、任意精确度的符号表达式digits函数设定所用数值的精度digits：在command window显示当前设定的数值精度digits(D)：设置数值的精度为DD=digits：在command window中返回当前设定数值精度digitsdigits(100)D=digitsvpa函数进行可控精度运算R=vpa(S)：显示符号表达式S在当前精度D下的值，D是使用digits函数设置的数值精度vpa(S,D)：显示符号表达式S在精度D下的值，D不是当前精度值，只是临时设置的r=vpa(pi)r=vpa(pi,1000)q=vpa(hilb(2))q=vpa(hilb(2),6)（3）、数值型变量与符号型变量的转换形式数值型变量t转换成符号型变量有理数形式：sym(t)或sym(t,’r’)浮点数形式：sym(t,’f’)指数形式：sym(t,’e’)指数精度形式：sym(t,’d’)t=0.1sym(t)sym(t,'r')sym(t,'f')sym(t,'e')sym(t,'d')可以通过digits函数改变精度digits(7)sym(t,'d')也可以用于矩阵，但是矩阵只能转换为有理数形式A=hilb(4)A=sym(A)A=sym(A,'d') %报错A=sym(A,'e') %报错A=sym(A,'f') %报错3、符号表达式（符号函数）的操作（1）、四则运算（与通常算术式一样）syms x y a bfun1=sin(x)+cos(y)fun1+fun2（2）、合并同类项collect(S,v)：将符号矩阵S中所有同类项合并，并以v为符号变量输出collect(S)：使用findsym函数规定的默认变量，代替上式的vsyms x ycollect(x^2*y+y*x-x^2-2*x)f=-1/4*x*exp(-2*x)+3/16*exp(-2*x)collect(f)（3）、因式分解horner(P)：将表达式P进行因式分解syms xfun1=2*x^3+2*x^2-32*x+40horner(fun1)fun2=x^3-6*x^2+11*x-6horner(fun2)（4）、简化simplify(S)：将表达式S中的每个元素都进行简化，即便使用多次simplify也不一定能得到最简形式syms xfun1=(1/x+7/x^2+12/x+8)^(1/3)sfy1=simplify(fun1)sfy2=simplify(sfy1)simplify(sin(x)^2+cos(x)^2)simple(S)：使用多种代数方法对S进行简化，显其中最简单的结果[R,how]=simple(S)：R为最简结果，how为简化方法的字符串s=2*cos(x)^2-sin(x)^2simple(s)[R how]=simple(s)simple(f)（5）、subs函数用于替换求值subs函数可以将符号表达式的符号变量替换为数值变量subs(S) ：将S中自由符号变量用调用函数中的值或是MATLAB工作区间值替换subs(S,new)：将S中自由符号变量用数值型变量或表达式new替换subs(S,old,new)：将S中符号变量old用数值型变量或表达式new替换syms x yf=x^2*y+5*x*sqrt(y)subs(f)subs(f,x,3)subs(f,y,3)subs(f,3) %与subs(f,x,3)结果相同用户没指定被替换的符号变量，对单个字母的变量，MATLAB选择在字母表中与x接近的字母，若有两个变量离x一样近，则选择字母表中靠后的那个findsym(f,1)g=s+tfindsym(g,1) %找到tsubs(g,1) %替换为s+1多个变量替换syms a bsubs(cos(a)+sin(b),{a,b},{sym('alpha'),2})用矩阵替换syms t x ysubs(exp(a*t),a,-magic(2))subs(x*y,{x,y},{[0 1;-1 -1],[1 -1;-2 1]})（6）、反函数g=finverse(f)：求函数f的反函数，返回g也是符号函数g=finverse(f,v)：设定f的自变量是v，当f包括不止一个变量时最好使用该命令syms x yf=x^2+yfinverse(f,y)finverse(f) %由于没指明自变量，给出警告syms xf=x^2g=finverse(f) %x^2的反函数不唯一，默认给出正值fg=simple(compose(g,f)) %验证反函数正确性（7）、复合函数compose(f,g)：返回f=f(x),g=g(y)的复合函数f(g(y))，x是findsym定义的f的符号变量，y是findsym定义的g的符号变量compose(f,g,z)：返回f=f(x),g=g(y)的复合函数f(g(z))，返回函数以z为自变量compose(f,g,x,z)：返回f(g(z))，x为函数f的独立变量compose(f,g,x,y,z)：返回f(g(z))，x为函数f的独立变量，y为函数g的独立变量syms x y z t uf=1/(1+x^2)g=sin(y)h=x^tp=exp(-y/u)compose(f,g)compose(f,g,t)compose(h,g,x,z)compose(h,g,t,z)compose(h,p,x,y,z)compose(h,p,t,u,z)符号矩阵的生成和运算1、符号矩阵的生成（1）、使用sym函数直接生成符号矩阵a1=sym('[1/3 2/3 5/7;9/11 11/13 13/17;17/19 19/23 23/29]')a1=sym('[1/3,0.2+sqrt(2),pi;2/7,sin(x),cos(x),log(x);sin(x)^2,sin(22*x),exp(x)]') %长度不一致的行补0（2）、用生成子矩阵的方法生成符号矩阵与字符串矩阵的直接输入法类似，同一列元素长度须相同（不同补0）a=['[100,cos(x)]';'[1/s,x ]']（3）、由数值矩阵转换为符号矩阵系统首先将自动在MATLAB工作区间将数值型变量转换为符号型变量，用户也可以用sym函数进行转换M=[30 1 1 1;6 1 5 9;9 8 25 4;32 45 62 0]S=sym(M)M1=[0.3 0.33 0.333 1/3;3.14 3.142 3.1416 pi;log(2) log(3) log(5) log(7);sin(1) cos(1) tan(1) atan(1)]S1=sym(M1)2、符号矩阵及符号数组的运算（1）、符号矩阵的四则运算A+B和A-B同型矩阵可以分别对对应分量进行加减，若A与B至少有一个为标量，则把标量扩大为与另一个同型的阵列A*B为线性代数中定义的矩阵乘法A\B实现左除，X=A\B为符号线性方程组A*X=B的解，A\B近似等于inv(A)*B，X不存在或不唯一，则产生警告，A可以是非方阵，要求方程组必须是相容的A/B实现右除，X=B/A为符号线性方程组X*A=B的解，B/A近似等于B*inv(A) ，X不存在或不唯一，则产生警告，A可以是非方阵，要求方程组必须是相容的m=sym('[x,x^2,x*2,1/x]')n=sym('[2*x,y,x,x^2]')m+nm-nm*n %出错m\nm/n %出错（2）、符号数组的四则运算若有标量，则扩展为同型阵列.*乘法./右除.\左除q=sym('[3 4 9 6;x y z w;a b c d]')p=sym('[x 1/x x^2 x^3;a b c d;5 2 3 6]')q.*pq./pq.\pr=q*p %矩阵行列不匹配，出错（3）、矩阵和数组的逆运算A’实现矩阵的Hermition转置，若A为复数矩阵，则A’为共轭转置q=sym('[3 4 9 6;x y z w;a b c d]')q' %符号变量具体值不知，只能用conj给出q.' %普通转置（4）、矩阵和数组的幂运算A^B实现矩阵幂运算，若A为标量B为方阵，A^B用方阵B的特征值与特征向量计算数值。