三角形“五心”一些性质及其应用

三角形“五心”的一些性质及其应用

[摘要] 三角形“五心”的性质在处理三角形点、线及角之间各种关系的问题时有着重要的作用,三角形“五心”的性质较多,但其应用和重要性在教学中常常被忽视。本文系统地整理了三角形“五心”的一些常被忽视的重要性质,并通过应用举例,说明其重要性。[关键词]三角形五心内切圆外接圆

三角形的“五心”是指三角形的重心、垂心、内心、外心和旁心。在平面几何中,三角形五心的性质常常被忽略,但这些性质在解三

角形问题中却有着重要的作用。

一、三角形“五心”的定义

重心:三角形三条中线的交点;

垂心:三角形三条高线的交点;

内心:三角形三条内角平分线的交点;

外心:三角形三边中垂线的交点;

旁心:三角形的任意两条外角平分线与另一内角平分线的交点,

亦即旁切圆的圆心。

二、三角形“五心”的一些重要性质

性质1、三角形的重心到边的中心与到这条边所对的顶点的距离之比为1:2;

性质2、三角形的重心到三顶点分原三角形为三个等面积的三角形;

性质3、三角形的重心、垂心、外心三点共线,且外心与重心的距

离等于重心与垂心的距离的一半;

性质4、三角形的任一顶点到垂心的距离等于外心到对边距离的2倍;

性质5、三角形的外心到三个顶点的距离相等;

性质6、三角形的内心和任一顶点的连线,平分外心、该顶点和垂心依次连结所成的角;

性质7、设三角形abc的外接圆、内切圆半径分别为r、r,外心为o,内心为i,垂心为h,重心为g,顶点a所对的边的旁切圆的圆心为oa,半径为ra,bc=a,ac=b,ab=c,则:

(1)i到bc的距离=,

(2)。

三、应用

应用1、三只蚂蚁沿着三角形abc的边爬行,它们形成的三角形的重心都在同一位置,证明:如果它们中的一只蚂蚁沿三角形的整个边界爬行,那么它们的重心与三角形的重心重合(1975年第9届全苏数学奥林匹克8年级)。

证明:设其中一只蚂蚁爬到点a,另两只在

点p、q上,取pq中点f,则△apq的重心

g1在af上且ag1=af (性质1),延长af

与bc交于点e,则ag1再设△abc的重心为g,过g作bc的平

行线mn,则g1必在△amn内。

同理,过g分别作ac和ab的平行线m1n1、

m2n2,当一只蚂蚁爬到点b时,三只蚂蚁所形成的三角形的重心在△bm1n1内;当一只蚂蚁爬到点c时,三只蚂蚁所形成的三角形的重心在△cm2n2内。

由于此三角形只有惟一的公共点g,如果这三只蚂蚁所形成的三角形的重心都在同一位置,则此位置只能是公共点g,故得证。

应用2、如图,四边形abcd内接于圆o,对角线ac⊥bd,oe⊥ab,e 为垂足,求证:oe=cd。

证明:作cf⊥ab交bd于h,则h为△abc 的垂心,

连结oh,连ce交oh于g。

∵ o为△abc 的外心

∴ g为△abc 的重心且gh:og=2:1(性质3)

又∵ oe∥cf

∴ ch:oe=gh:og=2:1

由此oe=ch,

而∠acd=∠abd=∠acf ,所以cd=ch,故oe=cd。

应用3、如图,锐角中,h是垂心,o是外心,i是内心,已知∠c>∠b>∠a,求证:i在△boh的内部。(第39界imo中国国家队选拨考试题)

证明:设∠b的平分线交oh于p,则bp也是∠obh的平分线。又设∠a的平分线交oh于q,则aq也是∠oah的平分线,从而有

作ch⊥ab于e,由∠b>∠a 可知 ac>bc,ae>be,

从而ah>hb。

又∵ ao=bo(性质5)

∴ >

故q在o、p之间,所以aq与bp的交点i必在△boh的内部。

应用4、在△abc中,ab=ac,圆o内切△abc的外接圆于d,且与边ab、ac分别相切于p、q,证明:线段pq的中点m是△abc的内心。(第20届国际数奥竞赛试题)

证明:如图,连接ad、pd、qd,易知ad平分∠pdq及∠a,

∵ pq∥bc

∴∠apq=∠abc①

又∵ ab切圆o于p

∴∠apq=∠pdq=2∠pdm ②

再连接bd、bm,因为∠pbd=∠pmd=90°

∴ p、b、d、m四点共圆

故∠pbm=∠pdm③

由①、②、③可知:∠pbm=∠mbc,即bm平分∠abc

而am平分∠a,故m为△abc的内心。

应用5、如图,o、i分别为△abc的外心和内心,ad是bc边上的高,i在线段od上,求证:△abc的外接圆半径等于bc边上的旁切圆的半径。(1998年全国高中数学联赛题)

证明:连ao。作ie⊥bc于e、of⊥bc于f,并设bc=a,ac= b,ab= c,外接圆和旁切圆的半径分别设为r和r。

则 (性质7-2)

以上只是举了几个三角形”五心”性质在一些数学大赛中的应用,三角形的“五心”在处理三角形点、线及角之间各种关系的问题时有着重要的作用,熟练掌握三角形“五心”的概念及其性质,学会举一反三,在解三角形的很多问题中会有着意想不到的作用,特别在一些竞赛题中的应用更是可以起到画龙点睛的效果。

参考文献:

[1] 刘彭芝. 仁华学校奥林匹克数学课本. 中华大百科全书出版社. 2003

[2] 李胜宏. 马茂年. 初中数学竞赛培优教程. 浙江大学出版. 2004

[3] 单墫. 奥赛教程. 长春出版社. 2004

作者简介:

韦建恒(1965、12—),男,侗族,籍贯:广西桂林,1987年毕业于中南民族学院数学系,现任广西交通运输学校招生就业指导中心副主任,讲师,教学研究方向:数学、空调与制冷设备。