空间解析几何常见的曲面

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83曲面及其方程

20
一般地,在空间解析几何
z
方程 F(x, y) 0 表示柱面,
母线平行于 z 轴;
x 准线 xoy 面上的曲线 l1 : F ( x, y) 0
l1
y
z
l2
方程 G( y, z) 0 表示柱面,
y
母线平行于 x 轴;
x
准线 yoz 面上的曲线 l2 : G( y, z) 0
观察柱面的形成过程:
准线
C
母线
17
柱面演示
播放
18
例如: 考虑方程 x2 + y2 = R 2 所表示的曲面.
在xoy面上, x2 + y2 = R2 表示以原点O为圆心, 半径为R的圆.
曲面可以看作是由平行于 z 轴的直线L沿xoy面上的圆x2 + y2 = R2 移动而形成, 称该曲面为圆柱面.
相应地平面被称为一次曲面．讨论二次曲面性状的截痕法：
用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截, 考察其交线(即截痕)的形状, 然后加以综合, 从而了解曲面的全貌．
以下用截痕法讨论几种常见的二次曲面．
24
(1) 椭球面
z
x2 a2

y2 b2

z2 c2
1
O y
1 用坐标面z = 0 , x = 0和 x y = 0去截割,分别得椭圆
z x2 y2 cot
两边平方
z2 a2( x2 y2 )

o
y
x
---圆锥面的标准方程
13
y2 z2
例6 以曲线

a
2
c2
1 为母线,
y 0

几种常用的二次曲面与空间曲线

1. 指出下列方程的图形:
方程 x5
平面解析几何中空间解析几何中平行于 y 轴的直线平行于 yoz 面的平面
x2 y2 9 圆心在(0,0) 半径为 3 的圆
以 z 轴为中心轴的圆柱面
y x 1 斜率为1的直线平行于 z 轴的平面
55
例4：求抛物柱面 x 2y2 和平面 x z 1
椭圆抛物面
x2 y2 z 2 p 2q
双曲抛物面
• 双曲面: 单叶双曲面
双叶双曲面
x2 a2

y2 b2
1
x2 a2

y2 b2
1
• 椭圆锥面:
x2 a2

y2 b2

z2
53
3、几种常用的空间曲线
• 空间曲线 • 求投影曲线
三元方程组或参数方程 (如, 圆柱螺线)
54
思考与练习
解:绕 x 轴旋转所成曲面方程为
x2 a2

y2 z2 c2
1
绕 z 轴旋转所成曲面方程为
x2 y2 a2

z c
2 2
1
x
y
z
这两种曲面都叫做旋转双曲面.
20
二、柱面
z
引例. 分析方程
表示怎样的曲面 .
M
解:在 xoy 面上，
表示圆C,
C
o
M1
y
在圆C上任取一点M1(x, y,0), 过此点作 x
o y
S : x2 z2 2 py
例如:将yoz平面上的抛物线C: y2 2 pz
x
绕z轴旋转一周所产生的抛物面为:
z
S : x2 y2 2 pz

第三章_第一节空间解析几何,李养成(新版),

它们的图像都是一条直线，z轴！
x y z a , 例3.1.4 讨论方程组 a 的图像. x y ax
x y z a 解：方程组的图像是球面 a a 与母线平行于z轴的圆柱面 x y 的交线
F x, y, z , G x, y, z
称为空间曲线的一般方程注： (1)表示同一条曲线的方程不唯一。 (2)曲线上点的坐标都满足方程，
z
S1 S2
o
C
y
满足方程的点都在曲线上， x试考察方程
第3章常见的曲面
本章在初步介绍空间图形与方程之间的一般关系后，对柱面、锥面、旋转曲面以及二次曲面(包括椭球面、单叶双曲面、双叶双曲面、椭圆抛物面和双曲抛物面)进行讨论.
对于前三种曲面具有明显的几何特征,我们着重从这些曲面的几何特性来建立它们的方程.
对于五种二次曲面，我们则从曲面的标准方程出发来讨论它们的几何性质, 描述它们的几何形状.
z
点P 在该圆锥面上
L
cos OP, k cos

OP k OP k
cos

y
x
x y tan z , 整理得二次齐次方程
圆锥面的坐标式方程
习题8（1）已知圆锥面的顶点为P0 (1, 2,3)，轴垂直于平面 x y z ，半顶角为 ,求这圆锥面的方程. 解圆锥面的轴过点 P0 , 方向向量 v 2,2, 1.
特别地,当 C0 是原点时,球面方程为
x2 y2 z 2 R2
表示上(下)球面 .
C0

解析几何练习之常见曲面

常见曲面习题11.证明：如果2220a b c d ++->，那么由方程2222220x y z ax by cz d ++++++=给出的曲面是一球面，求出它的球心坐标和半径。

证明：将方程配方得222222()()()x a y b z c a b c d +++++=++-，由2220a b c d ++->，得到方程表示球心是(,,)a b c ---2.求过三点(3,0,0),(0,2,0),(0,0,1)的圆的方程。

解：空间中的圆可由过三点(3,0,0),(0,2,0),(0,0,1)的一个球面和一个平面的交线表示，设过该三点的球面方程为2220x y z ax by cz d ++++++=，得到930,420,10a d b d c d ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩球面方程为22294(1)032d dx y z x y d z d ++++---++=，其中d 任意。

过该三点的平面方程是132x yz ++=，所以所求圆的方程可以为 2226()2(9)3(4)6(1)60,23660x y z d x d y d z d x y z ⎧++-+-+-++=⎨++-=⎩ 其中d 任意。

3.证明曲线24224324,1,(,)1,1t x t t t y t t t t z t t ⎧=⎪++⎪⎪=∈-∞+∞⎨++⎪⎪=⎪++⎩在一球面上，并此球面方程。

证明：因为曲线满足2322222224242422242424()()()111()(1)11tt t x y z t t t t t t t t t t y t t t t++=++++++++=++==++++即22211()24x y z +-+=，所以曲线在一个球面上。

4.适当选取坐标系，求下列轨迹的方程（1）到两定点距离之比等于常数的点的轨迹；（2）到两定点距离之和等于常数的点的轨迹；（3）到定平面和定点等距离的点的轨迹。

空间曲面及其方程

旋转面的方程 z
f ( y, z ) 0 曲线 C 绕 z轴 x 0
C
o
y
旋转面的方程 z
f ( y, z ) 0 曲线 C x 0
.
绕 z轴
C
o
y
x
旋转面的方程 z
f ( y, z ) 0 曲线 C x 0
旋转一周得旋转曲面 S
绕 z轴
顶点在原点的圆锥面称为正圆锥面。
试建立顶点在原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为的圆锥面方程.
z
L
解: 在yoz面上直线L 的方程为
绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为

M (0, y, z )
y
两边平方
x
z2 a2 ( x2 y2 )
正圆锥面：
x2 y2 z2
x2 y2 z2 2 2 2 a b c
过球面一点，且与过这点的半径垂直的平面成为切平面，该点称为切点。
例求过点 (1,2,5) 且与3个坐标面相切的球面方程。
解：显然整个球面在同一卦限，又由于(1,2,5)在第一卦限，故该球面在第一卦限。
设球心为 ( u, v , w )，则球面到3个坐标面的距离为 u, v , w .由条件知 uvw
2
2
y2 x2 z2 绕 y 轴的曲面方程为： 2 1 2 b c x y z 2 1 绕 z 轴的曲面方程为： 2 b c
2 2 2
3 锥面以直线通过一定点，一条固定曲线移动所
z
产生的曲面成为锥面。
动直线定点固定线母线顶点
x 顶点 0 y
准线
准线
准线为圆周的锥面称为圆锥面。

空间解析几何-第3章常见的曲面3

2017/1/4
直纹面的应用
2017/1/4
室外探索乐园——广东科学中心

解法二：
设过点（ 2,3， - 4）的直线方程为 x 2 lt y 3 mt z -4 nt l2 m2 n2 2 2 1 代入曲线方程得（ )t (l m n)t 0① 4 9 16 3 2 由命题3.6.（ 1 1）知过点（ 2,3， - 4）有且仅有两条直母线，故①为一关于 t的恒等式 l2 m2 n2 有 0 4 9 16 2 1 和l m n 0 3 2 2x z 0 x20 解得l : m : n 1 : 0 （ : - 2）或0 : 3： (-4） , 从而母线方程为 { 与{ y 3 0 4 y 3z 0

平面是直纹面
二次柱面和二次锥面都是直纹面。
其它的二次曲面中，只有单叶双曲面和双曲抛物面是直纹面。
2017/1/4
单叶双曲面是直纹面
x2 y2 z2 2 2 1 2 a b c
含两个直母线系直纹面在建筑学上有意义例如，储水塔、电视塔等建筑都有用这种结构的。
2017/1/4
空间解析几何
第3章常见的曲面3
2017/1/4
本章主要内容
1 2 3 4 5 6 7 8 9 柱面锥面旋转曲面曲线与曲面的参数方程椭球面双曲面（单叶双曲面，双叶双曲面）抛物面（椭圆抛物面，双曲抛物面）二次直纹面作图
五种典型的二次曲面
§3.6 直纹面

由一簇直线构成的曲面叫直纹面，其中的直线叫直纹面的母线。

双曲抛物面（马鞍面）是直纹面
x2 y2 2 z 2 a b
含两个直母线系2017/1/4 Nhomakorabea双曲抛物面是直纹面

第3讲空间解析几何—曲面、曲线及其方程

第3讲空间解析几何—曲面、曲线及其方程本节主要内容第三节曲面及其方程1 曲面方程的概念2 旋转曲面3 柱面 4二次曲面第四节空间曲线及其方程1 空间曲线的一般方程2 空间曲线的参数方程3 空间曲线在坐标面上的投影讲解提纲：第七章空间解析几何与向量代数第三节曲面及其方程一、曲面方程的概念空间曲面研究的两个基本问题是：1．已知曲面上的点所满足的几何条件，建立曲面的方程;2．已知曲面方程，研究曲面的几何形状.二、旋转曲面以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周形成的曲面叫做旋转曲面，旋转曲线和定直线分别叫做旋转曲面的母线和轴。

三、柱面平行于定直线并沿定曲线C 移动的直线L 形成的轨迹叫做柱面，定曲线C 叫做柱面的准线，动直线L 叫做柱面的母线。

四、二次曲面三元二次方程0),,(=z y x F 所表示的曲面称为二次曲面。

例题选讲：曲面方程的概念例1 建立球心在点),,(0000z y x M 、半径为R 的球面方程. 解：易得球面方程为2222000()()()x x y y z z R -+-+-=例2 求与原点O 及)4,3,2(0M 的距离之比为1:2的点的全体所组成的曲面方程. 解：易得曲面方程为22224116()(1)()339x y z +++++=。

例3 已知()1,2,3,A ()2,1,4,B - 求线段AB 的垂直平分面的方程.解：设点(,,)M x y z 为所求平面上的任一点，由 A M B M ==整理得26270x y z -+-=。

例4方程2222440x y z x y z ++-++=表示怎样的曲面？旋转曲面例5 将xOz 坐标面上的抛物线25z x =分别绕x 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程.解：易得旋转曲面的方程225y z x +=例6 直线L 绕另一条与L 相交的定直线旋转一周, 所得旋转曲面称为叫圆锥面. 两直线的交点称为圆锥面的顶点, 两直线的夹角α)20(πα<<称为圆锥面的半顶角. 试建立顶点在坐标原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为α的圆锥面方程解：在yoz 坐标平面上，直线L 的方程为 c o tz y α= 可得圆锥面的方程为2222()z x y α=+柱面例7 分别求母线平行于x 轴和y 轴，且通过曲线222222216x y z x y z ⎧++=⎨-+=⎩的柱面方程.解：母线平行于x 轴的柱面方程：22316y z -= 母线平行于y 轴的柱面方程：223216x z += 二次曲面.椭球面：1222222=++cz b y a x )0,0,0(>>>c b a抛物面椭圆抛物面 qy p x z 2222+= （同号与q p ）双曲抛物面 z qy p x =+-2222 ( p 与q 同号)双曲面单叶双曲面 1222222=-+c z b y a x )0,0,0(>>>c b a双叶双曲面 1222222-=-+c z b y a x )0,0,0(>>>c b a二次锥面 0222222=-+cz b y a x例8 由曲面,0,0,0===z y x 1,122=+=+z y y x 围成的空间区域(在第一卦限部分), 作它的简图.课堂练习 1.求直线11:121x y z L --==绕z 轴旋转所得到的旋转曲面的方程. 2.指出方程221x y -=及22z x =-所表示的曲面. 3 方程()()22234z x y =-+--的图形是怎样的?第四节空间曲线及其方程一、空间曲线的一般方程 ⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F二、空间曲线的参数方程 ⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x三、空间曲线在坐标面上的投影⇒⎩⎨⎧==.0),,(,0),,(z y x G z y x F ⇒=0),(y x H ⎩⎨⎧==00),(z y x H例题选讲：空间曲线的一般方程例1方程组 221493x y y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩表示怎样的曲线?空间曲线的参数方程例2 若空间一点M 在圆柱面222a y x =+上以角速度ω绕z 轴旋转, 同时又以线速度v 沿平行于z 轴的正方向上升 (其中ω、v 是常数), 则点M 构成的图形叫做螺旋线. 试建立其参数方程.解：取时间t 为参数，在t=0时，动点位于x 轴上的一点(,0,0)A a 处。

解析几何第三章习题及解答

第三章常见曲面习题3.11.证明：如果2220a b c d ++->，那么由方程2222220x y z ax by cz d ++++++=给出的曲面是一球面，求出它的球心坐标和半径。

证明：将方程配方得222222()()()x a y b z c a b c d +++++=++-，由2220a b c d ++->，得到方程表示球心是(,,)a b c ---2.求过三点(3,0,0),(0,2,0),(0,0,1)的圆的方程。

过该三点的平面方程是132x yz ++=，所以所求圆的方程可以为 2226()2(9)3(4)6(1)60,23660x y z d x d y d z d x y z ⎧++-+-+-++=⎨++-=⎩ 其中d 任意。

3.证明曲线24224324,1,(,)1,1t x t t t y t t t t z t t ⎧=⎪++⎪⎪=∈-∞+∞⎨++⎪⎪=⎪++⎩在一球面上，并此球面方程。

证明：因为曲线满足2322222224242422242424()()()111()(1)11tt t x y z t t t t t t t t t t y t t t t++=++++++++=++==++++即22211()24x y z +-+=，所以曲线在一个球面上。

高等数学(解析几何)图形

P M
Sz
N (0, y1 , z1 ) .
z1 C
o
y1
y
.
S：f ( x 2 y2 , z) 0.
x
11. 双叶旋转双曲面
双
曲
线
x a
y b
z
绕 x 轴一周
x
0
y
11. 双叶旋转双曲面
双
曲
线
x a
y b
z
绕 x 轴一周
.
x
z
0
y
11. 双叶旋转双曲面
双
曲
线
x a
y b
z
图形
28 作出曲面x2 y 2 a， 2 x2 z 2 a2 , x 0, y 0, z 0所围立体图形
29 作出曲面 z 1 x2 y2 和 x2 y2 z 1 所围立体图形 30 平面 x a, y a, z a, x y z a 在第一卦限所围立体图形
的截口椭圆任意接近，即： x
双曲面和锥面任意接近。
z
o
y
20. 单叶双曲面是直纹面
x2 y2 z2 1
a2 b2 c2
含两个直母线系
.
直纹面在建筑学上有意义
例如，储水塔、电视塔等建筑都有用这种结构的。
21. 双曲抛物面是直纹面
x2 y2 z
a2 b2
含两个直母线系
22. 一般锥面
方程 F(x,y,z)= 0是 n次齐次的若：F (tx, ty, tz) t n F ( x, y, z). t是任意数
曲面S外的每一点都不满足方程
6. 一般柱面 F(y,
z)=0
(不含x)
z 准线

7 高数B 9.1 空间解析几何简介

绕 z 轴旋转所成的旋转曲面的方程为 f ± 绕 y 轴旋转所成的旋转曲面的方程为设 C : f ( x , y ) = 0 ⊂ xoy
( x + y , z) = 0 f (y ,± x + z ) = 0
2 2
2 2
2 2 绕 x 轴旋转所成的旋转曲面的方程为 f x ,± y + z = 0
绕 y 轴旋转所成的旋转曲面的方程为设 C : f ( x , z ) = 0 ⊂ zox
( f (±
x2 + z2
) , y) = 0
) , z) = 0
2 2 绕 x 轴旋转所成的旋转曲面的方程为 f x ,± y + z = 0
绕 z 轴旋转所成的旋转曲面的方程为
( f (±
x2 + y2
记忆法：轴不变，其余两元团团转。记忆法：轴不变，其余两元团团转。
x2 y2 z2 用截痕法研究曲面的形状。例1 已知方程 2 + 2 − 2 = 1 用截痕法研究曲面的形状。 a b c 2 2
解（1）用 z = 0 截此曲面，得截此曲面，）截此曲面，用 z = h 截此曲面，得
x y + 2 =1 2 a b
z=0
x2 y2 h2 + 2 =1+ 2 2 a b c z=h
第九章空间解析几何
用代数的方法研究几何问题称为解析几何平面解析几何空间解析几何
P ↔ ( x, y)
一元微积分多元微积分
P ↔ ( x, y, z)
本章的主要内容 : §9.1 空间直角坐标系向量概念和运算; §9.2 向量概念和运算; 曲面方程和空间曲线方程和空间曲线方程; §9.3 曲面方程和空间曲线方程; §9.4 平面方程 §9.5 空间直线方程; 空间直线方程; 二次曲面. 常见二次曲面 §9.6 常见二次曲面.

曲面及其方程

解设 M ( x, y, z)是球面上任一点，
根据题意有 | MM0 | R
x x0 2 y y0 2 z z0 2 R 所求方程为 x x0 2 y y0 2 z z0 2 R2
特殊地：球心在原点时方程为 x2 y2 z2 R2
3
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1/32
第三节曲面及其方程
一、曲面方程的概念二、旋转曲面三、柱面四、二次曲面五、小结
1
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2/32
一、曲面方程的概念
曲面的实例：水桶的表面、台灯的罩子面等．曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹．曲面方程的定义：
如果曲面 S 与三元方程F ( x, y, z) 0有下述关系：
均可得双曲线.
21
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22/32
平面 x a 的截痕是两对相交直线.
单叶双曲面图形 z
o
y
x
22
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23/32
（4）双叶双曲面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
双叶双曲面
o
y
x
23
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24/32
（5）椭圆抛物面
(3) y1 b, 截痕为一对相交于点 (0,b,0) 的直线.
20
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21/32
x a
z c
0
,
y b
x a
z c
0
.
y b
(4) y1 b,
截痕为一对相交于点 (0,b,0) 的直线.
x a

空间解析几何基本知识《微积分》

2 2
39
例3. 求坐标面 xoz 上的双曲线轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程. 解:绕 x 轴旋转所成曲面方程为
分别绕 x
x y z 1 2 2 a c 绕 z 轴旋转所成曲面方程为
2 2 2
z
x y z 2 1 2 a c 这两种曲面都叫做旋转双曲面.
2 2 2
x
y
7-1 空间解析几何基本知识
1
第七章第一节空间解析几何基本知识
一、空间直角坐标系
二、曲面及其方程的概念三、几种常见的曲面及其方程
2
复习
1.空间直角坐标系
Ⅲ
z 轴(竖轴)
z zox 面
Ⅱ
yoz面
Ⅳ
xoy面
Ⅶ
Ⅷ
o
y
Ⅵ
Ⅴ
Ⅰ
y轴(纵轴)
x
x轴(横轴)
3
复习
2.平面基本方程: 一般式截距式 3.平面一般方程 Ax By Cz D 0 ( A2 B2 C 2 0) 的几种特殊情况： (1) D 0, 平面A x + B y + C z = 0通过坐标原点；
y
7
一般的 (1) 定义平行于定直线并沿定曲线C 移动的直线L所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线C 叫
柱面的准线，动
直线L 叫柱面的母线. 观察柱面的形成过程: C
8
三、柱面
(1) 定义平行于定直线并沿定曲线C 移动的直线L所形成的曲面称为柱面. 这条定曲线C 叫柱面的准线，动
直线L 叫柱面的
x2 y2 4
y x 1
以 z 轴为中心轴的圆柱面
平行于 z 轴的平面

空间解析几何-第3章-常见的曲面2

把方程的右边都化成1，则左边有两项正，一项负的，就表示单叶双曲面. 而左边有两项负，一项正的，就表示双叶双曲面.
把方程的左边都化成两项正，一项负，则右边是1的就表示单叶双曲面，而右边是－1的，就表示双叶双曲面.
2°绘图时要注意区分“实轴”和“虚轴”，并且保证对坐标轴的标注要符合右手系的原则.
1、椭圆抛物面
x2 a2
, 椭圆
z h.
O
结论：单叶双曲面可看作由一
个椭圆的变动（大小位置都改
x
y
变）而产生，该椭圆在变动中，
保持所在平面与xOy 面平行，
且两对顶点分别在两定双曲线
上滑动.
用平行于坐标面的平面截割
z
(2)用y = h 截曲面
x2 Cyh： a2
z2 c2
1
h2 b2
，
y h.
①当 h b时
截线为双曲线
o
y
用平行于坐标面的平面截割
(2)用y = h 截曲面
x2 Cyh： a2
z2 c2
0，
y h.
③当 h ＝b 时
截线为直线
(0 , b , 0)
单叶双曲面： x2 y2 z2 1 a2 b2 c2
用y = h 截曲面
①当 h b 时
②当 h b 时
③当 h ＝b 时
x2 Cyh： a2
x2 Czh： a2
y2 b2
h2 c2
1,
z h.
结论：双叶双曲面可看作由一个椭圆的变动（大小位置都改变）而产生，该椭圆在变动中，保持所在平面与 x
xOy 面平行，且两轴的端点
分别在两定双曲线上滑动.
z
o
y
（2）用 y t截曲面

解析几何教案(四)

第四章常见曲面§4.1柱面1.定义：在空间，由平行于定方向v 且与一条定曲线c 相交的一族平行直线所产生的曲面叫做柱面，定方向v 叫柱面的方向，定曲线c 叫柱面的准线。

那族平行直线中的每条直线，都叫做柱面的母线。

(生成图见课件flash 动画)2.柱面方程：设柱面曲线为c ：⎩⎨⎧==0),,(0),,(21z y x F z y x F ()1母线方向{}z y x v ,,= 点),,z y x M （在柱面上⇔ 点M 在过准线线某一点),,1111z y x M （的母线上⇔点M 的坐标满足过1M 的母线方程zz z y y y x x x 111-=-=- ()2 其中点),,1111z y x M （满足条件⎩⎨⎧==0),,(0),,(11121111z y x F z y x F ()3 由 ()1，()2，()3消去参数111,,z y x 得柱面方程0),,(=z y x F例1．柱面的准线方程为⎩⎨⎧=++=++2221222222z y x z y x 而母线方向数是1,0,1-，求这个柱面的方程。

解：设),,1111z y x M （是准线上任一点，那么过1M 的母线方程为101111z z y y x x -=-=-- ()* 且有⎩⎨⎧=++=++2221212121212121z y x z y x ()()54将()* 化成参数方程⎪⎩⎪⎨⎧-==+=t z z y y t x x 111 ()6 代入()4及()5得()()()()⎩⎨⎧=-+++=-+++2221222222t z y t x t z y t x ()()87 从()7，()8消去t ，()02=-t z ∴ t z =，代入()7得()122=++y z x即012222=-+++xz z y x 为所求柱面方程。

例2 已知圆柱面的轴为21211-+=--=z y x，点()121，，-在此圆柱面上，求这个圆柱面的方程。

特殊曲面及其方程--柱面、锥面、旋转面知识讲解

特殊曲面及其方程--柱面、锥面、旋转面引言空间解析几何所研究的曲面主要是二次曲面。

但是也可以研究一些非二次特殊曲面。

本论文中将利用直线或曲线适合某几何特征来建立一些曲面的方程。

主要讨论由直线产生的柱面和锥面，曲线产生的旋转曲面这三大类。

1.柱面定义1：一直线平行于一个定方向且与一条定曲线Γ相交而移动时所产生的曲面叫做柱面（图1），曲线Γ作叫做准线。

构成柱面的每一条直线叫做母线。

显然，柱面的准线不是唯一的，任何一条与柱面所有母线都相交的曲线都可以取做柱面的准线，通常取一条平面曲线作为准线。

特别地，若取准线Γ为一条直线，则柱面为一平面，可见平面是柱面的特例。

下面分几种情形讨论柱面的方程。

1.1 母线平行于坐标轴的柱面方程选取合适的坐标系，研究对象的方程可以大为化简。

设柱面的母线平行于z 轴，准线为Oxy 面上的一条曲线，其方程为：(),00f x y z =⎧⎪⎨=⎪⎩图1u v又设(),,P x y z 为柱面上一动点（图2），则过点P 与z 轴平行的直线是柱面的一条母线，该母线与准线Γ的交点记为(),,0M x y ，因点M 在准线上，故其坐标应满足准线方程，这表明柱面上任一点(),,P x y z 的坐标满足方程(),0f x y =反过来，若一点(),,P x y z 的坐标满足方程(),0f x y =，过P 作z 轴的平行线交Oxy 面于点M ，则点M 的坐标(),,0x y 满足准线Γ的方程(),0,0f x y z ==，这表明点M 在准线Γ上，因此直线MP 是柱面的母线 (因为直线MP 的方向向量为{}{}0,0,||0,0,1z )，所以点P 在柱面上。

综上所述，我们有如下结论：母线平行上于z 轴，且与Oxy 面的交线为(),0,0f x y z ==的柱面方程为：(),0f x y = （1）它表示一个无限柱面。

若加上限制条件a z b ≤≤，变得它的一平截段面。

同理，母线平行于x 轴，且与Oyz 面的交线为(),0,0g y z x ==的柱面方程为(),0g y z =；母线平行于y 轴，且与Ozx 面的交线为(),0,0h x z y ==的柱面方程为(),0h x z =。

第八章向量代数与空间解析几何(2)

在xoy面上, x2 + y2 = R2 表示以
z
原点O为圆心, 半径为R的圆.
曲面可以看作是由平行于 z 轴的直线L沿xoy面上的圆x2 + y2 = R2 移动而形成, 称该曲面为圆柱面.
l
oo
y
x
9
画出下列柱面的图形:
y x2
z
y x
z
o x
y
o
y
x
抛物柱面
平面
10
方程F (x, y) = 0 表示:
点的轨迹.
解设M( x, y, z)是所求平面上任一点，根据题意有 | MA | | MB | ,
( x 2)2 ( y 1)2 (z 3)2
( x 4)2 ( y 1)2 (z 2)2 ,
化简得所求方程 4x 4 y 2z 7 0 .
这是一个平面方程，可知所求的轨迹是一个平面. 称此平面为线段的垂直平分面．
x
y
那末, 方程F (x, y, z) = 0叫做曲面S的方程, 而曲面 S叫做方程F (x, y, z) = 0的图形 .
2
研究空间曲面有两个基本问题：（1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程．
（讨论旋转曲面）（2）已知曲面方程，研究曲面形状．
（讨论柱面、二次曲面）
3
例1 求到空间两点 A(2,1,3) 和B(4,1,2) 距离相等的
4
以下给出几种常见的曲面.
1、球面
建立球心在点M0 ( x0 , y0 , z0 )、
半径为 R 的球面方程.
解设M ( x, y, z)是球面上任一点，根据题意有 | MM0 | R ，
M R
M0
即 ( x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R ，

五. 二次曲面、椭球面、抛物面、双曲面、椭圆锥面

10
同理：yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y, z) 0绕 y 轴旋转一周的旋转曲面方程为
f ( y, x2 z2 ) 0. 绕坐标轴旋转的旋转曲面方程的特点：
出现某两变量的平方和.
11
(3) 常见的旋转曲面
① 圆柱面： x2 y2 a2
直线C：
y x
a 0
绕z轴旋转而成. z
x
o
y
12
13
yoz 面上直线:
z y cot
x 0
z
绕z 轴旋转一周所得的圆锥面方程：
z x2 y2 cot
o
y
令 b cot，则
x
z b x2 y2.
14
③ 旋转双曲面
x x
双曲线
x2 a2
z2 c2
1
y 0
o
z
oo
z
y
y
绕 x轴旋转而成的曲面:
x2 a2
y2 c2
都可通过配方研究它的图形.
5
以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题： 2. 两个基本问题 (1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时,
求曲面方程. (2) 已知方程时 , 研究它所表示的几何形状
( 必要时需作图 ).
6
二、几种特殊的曲面及其方程
1. 平面 Ax By Cz D 0 2. 球面以M0 (x0 , y0 , z0 )为球心，R 为半径的球面方程为
x2 y2 z2 R2
o
x
z R2 x2 y2 表示上(下)球面 .
M0
M
y
4
例2 研究方程 x2 y2 z2 2x 4 y 0 表示怎样的曲面.
解配方得此方程表示: 球心为 M0(1, 2, 0),

第四节空间的曲面与曲线

( x 1) ( y 2) ( z 3)
2
2
2 2 2 2
( x 2) ( y 1) ( z 4)
化简得说明: 动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面. 1:显然在此平面上的点的坐标都满足此方程 ,
2:不在此平面上的点的坐标不满足此方程.
2019年5月22日星期三 2
x a cos y a sin v z b ( t , b )
螺旋线的重要性质：
即 : 0 0 ,

上升的高度与转过的角度成正比．
z : b 0 b 0 b ,
2,
2019年5月22日星期三
上升的高度 h 2b 螺距
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定义1 如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系: (1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程; (2) 不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程,
则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程,
曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形. 两个基本问题 : (1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时,
o
y
o x
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y
x
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一般地,在三维空间
z
y
1:方程 F ( x, y) 0 表示柱面,
母线平行于 z 轴; 准线 xoy 面上的曲线 l1 : F(x,y)=0.
2:方程 G( y, z ) 0 表示柱面,
x
l1
zl 2
y
母线平行于 x 轴; 准线 yoz 面上的曲线 l2 : G(y,z)=0.
(二次项系数不全为 0 ) 的图形通常为二次曲面. 其基本类型有: