高三数学一轮复习教学案

高三数学一轮复习教学案——导数的应用

授课时间：______月_____日

教学目标：

1．了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；会求不超过三次的多项式函数的单调区间．2．结合函数图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值；以及在给定区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值．3．体会导数在解决实际问题中的作用． 教学重、难点：利用导数求函数的最值、极值。建立函数关系，利用导数求生活中的最

优化问题。

考点知识回顾：

1.函数的单调性

(1)(函数单调性的充分条件)设函数 y =f (x )在某个区间内可导, 如果 f '(x )>0, 则 y =f (x )为增函数,如果 f '(x )<0, 则y =f (x )为减函数,

(2)(函数单调性的必要条件)设函数 y =f (x ) 在某个区间内可导, 如果 f (x ) 在该区间单调递增(或减), 则在该区间内 f '(x )≥0 (或 f '(x )≤0).

注：当 f ' (x ) 在某个区间内个别点处为零, 在其余点处均为正(或负)时,f (x ) 在这个区间上仍旧是单调递增(或递减)的.

2.函数极值的定义

设函数 f (x ) 在点x 0及其附近有定义, 如果对x 0附近的所有点, 都有 f (x )f (x 0), 就说 f (x 0)是函数f (x )的一个极小值；极大值与极小值统称为极值.

3.判断 f (x 0) 是极值的方法

一般地, 当函数 f (x ) 在点 x 0 处连续时

(1)如果在 x 0附近的左侧 f '(x )>0, 右侧 f '(x )<0, 那么 f (x 0) 是极大值; (2)如果在x 0附近的左侧 f '(x )<0, 右侧 f '(x )>0, 那么 f (x 0) 是极小值。

4.求可导函数 f (x ) 的极值的步骤:

(1)确定函数的定义域; (2)求导数 f '(x ); (3)求方程 f '(x )=0 的根; (4)检查 f '(x ) 在方程 f '(x )=0 的根左右的值的符号, 如果左正右负,那么f (x )在这个根处取得极大值; 如果左负右正,那么f (x )在这个根处取得极小值.

5.函数的最大值与最小值

在闭区间 [a , b ] 上连续的函数 f (x ) 在 [a , b ] 上必有最大值与最小值. 但在开区间 (a , b ) 内连续的函数 f (x ) 不一定有最大值与最小值, 例如 f (x )=x , x ∈(-1, 1).

6.设函数 f (x ) 在 [a , b ] 上连续, 在 (a , b ) 内可导, 求 f (x ) 在 [a , b ]上的最大值与最小值的步骤如下: (1)求 f (x ) 在 (a , b ) 内的极值; (2)将 f (x ) 的各极值与 f (a ), f (b ) 比较, 其中最大的一个是最大值, 最小的一个是最小值.

教学过程：

一、预习自测：

1、函数x x y sin 2-=在()π2,0内的单调增区间为__________________。

2、函数51232)(2

3+--=x x x x f 在[]3,0上的最大值是_______________。 3、函数x x x f ln 2

1)(2-=的最小值为_____________________。 4、设[]b a x f ,)(在上连续，在()b a ,内可导，则下列结论正确的是__________。

①)(x f 的极值点一定是最值点；②)(x f 的最值点一点是极值点；③[]b a x f ,)(在内可能没有极值点；④[]b a x f ,)(在内可能没有最值点。

5、函数)(x f y =在定义域)3,2

3(-内可导，其图象如图所示，记)(x f y =的导函数为)(x f y '=，则不等式0)(≤'x f 的解集为______________________。

二、典型例题：

例一、设522)(2

3

+--=x x x x f ，（1）求函数的单调区间；（2）当[]2,1-∈x 时，m x f <)( 恒成立，求实数m 的取值范围。

例二、已知函数c bx ax x x f +++=2

3)(，曲线)(x f y =在点1=x 处的切线l 不过第四象限且斜率为3，又坐标原点到切线l 的距离为1010，若3

2=x 时，)(x f y =有极值。 （1）求c b a ,,的值；（2）求)(x f y =在[]1,3-上的最大值和最小值。

变式：已知函数32

()f x ax bx cx =++在点0x 处取得极大值5，其导函数'()y f x =的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示.求：（Ⅰ）0x 的值；（Ⅱ）,,a b c 的值.

例三、统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y （升）关于行驶速度x （千米/小时）的函数解析式可以表示为：

3138(0120).12800080y x x x =-+<≤已知甲、乙两地

相距100千米.

（I ）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ （II ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？

三、当堂检测：

1、已知函数1)6()(23++++=x a ax x x f 有极大值和极小值，则a 的取值范围是___________________________

2、已知函数2)7215()14(3

1)(223+--+--=x m m x m x x f 在（－∞，+∞）上是增函数， 则m 的取值范围是____________________

3、若函数f(x)=ax 3＋bx 2＋x ＋1在x=1与x=－1处有极值，则a= ；b= ．

4、用长为18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？

四、预习要求与预习训练：

1、理解任意角三角函数的概念，识记三角函数在各象限的符号和特殊值的三角函数值，能熟练运用同角三角函数的基本关系式。

2、已知角α终边经过点P （2，3-）.求α的正弦、余弦、正切值分别为

__________________________________.

3、确定下列三角函数值的符号.

（1）π127cos

（2）)465sin(0- （3）π3

11tan 4、已知αtan =5

12，①求αsin 、αcos 的值. ②求α

αααcos sin sin 5cos 3-+，αααα22cos 3cos sin 2sin -⋅+