简谐振动的能量、单摆和复摆

θ < 5 时 , sinθ ≈ θ M = − mgl sin θ ≈ − mglθ 2 dθ − mglθ = J 2 dt 2 dθ g g 2 =− θ 令ω = 2 dt 2 l l d θ 2 = −ω θ 2 dt
单摆
A
θ l
F m T
o
P
θ = θ m cos( ω t + ϕ )
T = 2π l g
d x k + x=0 2 dt m
2
（33）简谐振动的能量、单摆和复摆 33）简谐振动的能量、
机械振动
作简谐运动， 作简谐运动，其最大加速度为 4.0m ⋅ s −2 ，求： （1）振动的周期； ）振动的周期； （2）通过平衡位置的动能； ）通过平衡位置的动能； （3）总能量； ）总能量； （4）物体在何处其动能和势能相等？ ）物体在何处其动能和势能相等？
1 E = kA 2
2
机械振动
简谐运动能量守恒， 简谐运动能量守恒，振幅不变 简谐运动势能曲线
Ep
C
E
−A
B
Ek
Ep
O
x
+A
x
（33）简谐振动的能量、单摆和复摆 33）简谐振动的能量、
能量守恒 推导 简谐运动方程
机械振动
1 2 1 2 E = mv + kx = 常量 2 2
d 1 2 1 2 ( mv + kx ) = 0 mv dt 2 2 dv dx mv + kx =0 dt dt
0.10kg 的物体，以振幅 1.0 ×10 −2 m 的物体， 因 质量为
amax = Aω
T= 2π
2
amax ω= A
= 20s
−1
ω
= 0.314s
（2）通过平衡位置的动能； ）通过平衡位置的动能；
Ek ,max
1 2 1 2 2 −3 = mvmax = mω A = 2.0 ×10 J 2 2
（33）简谐振动的能量、单摆和复摆 33）简谐振动的能量、
（3）总能量； ）总能量；
机械振动
E = Ek ,max= 2.0 × 10 J
（4）物体在何处其动能和势能相等？ ）物体在何处其动能和势能相等？
−3
Ep1 = Ek1 = =
E 2
kA2 4
Ep1 = kx
1 2
2 1

ω
简谐运动能量图
o
能量
x−t
T
ϕ =0 t x = A cosωt v − t v = − Aω sin ω t
1 E = kA 2 2 1 2 2 E p = kA cos ω t 2
o
T 4
T 2
3T 4
T
t
1 2 2 2 Ek = mω A sin ωt 2
（33）简谐振动的能量、单摆和复摆 33）简谐振动的能量、
J = ml
2
（33）简谐振动的能量、单摆和复摆 33）简谐振动的能量、
二 复摆
机械振动
Leabharlann Baidu
d θ − mgl θ = J 2 dt mgl 2 令 ω = J 2 dθ 2 = −ω θ 2 dt θ = θ m cos(ωt + ϕ )
2
(θ < 5 ) M ≈ − mgl θ
o
转动正向
θ l *
C
P
（ C点为质心） 点为质心）
T = 2π
J
mgl
ω = k /m
1 2 2 （振幅的动力学意义） E = Ek + Ep = kA ∝ A 振幅的动力学意义） 2
线性回复力是保守力， 简谐运动的系统机械能守恒 线性回复力是保守力，作简谐运动的系统机械能守恒 保守力 运动的系统
（33）简谐振动的能量、单摆和复摆 33）简谐振动的能量、
机械振动
x, v
2
3E Ek = E − Ep = 4
（33）简谐振动的能量、单摆和复摆 33）简谐振动的能量、
动 E = 1m 2 v k 2 能
1 2 Ekmax = kA 2
机械振动
Ekmin = 0
1 2 2 = kA sin (ω t +ϕ0 ) 2
1 t +T 1 2 Ek = ∫ Ekdt = kA T t 4
（33）简谐振动的能量、单摆和复摆 33）简谐振动的能量、
【复习】 复习】 简谐运动的描述和特征 1）物体受线性回复力作用
机械振动
F = − kx 平衡位置 x = 0
2
d x 2）简谐运动的动力学描述 = −ω 2 x 2 dt 3）简谐运动的运动学描述 x = A cos(ωt + ϕ )
v = − A ω sin( ω t + ϕ )
4）加速度与位移成正比而方向相反 弹簧振子
ω= k m 复摆 ω =
a = −ω x 单摆 ω = g l
2
mgl J
（33）简谐振动的能量、单摆和复摆 33）简谐振动的能量、 简谐运动的能量
以弹簧振子为例
机械振动
x = A cos( ω t + ϕ ) F = − kx v = − A ω sin( ω t + ϕ ) 1 2 1 Ek = mv = mω 2 A2 sin 2 (ωt + ϕ ) 2 2 1 2 1 2 Ep = kx = kA cos 2 (ωt + ϕ ) 2 2 2
− 2A/ 2
2 x1 = ± A 2
O
2A/ 2
x
x1 = ±7.07×10 m
−3
（33）简谐振动的能量、单摆和复摆 33）简谐振动的能量、
机械振动
（5）当物体的位移为振幅的一半时动能、势能 ）当物体的位移为振幅的一半时动能、 各占总能量的多少? 各占总能量的多少
1 2 1 A E Ep = kx = k = 2 2 2 4
0.10kg 的物体，以振幅 1.0 ×10 −2 m 的物体， 例 质量为
（5）当物体的位移为振幅的一半时动能、势能 ）当物体的位移为振幅的一半时动能、 各占总能量的多少? 各占总能量的多少
（33）简谐振动的能量、单摆和复摆 33）简谐振动的能量、
解 （1）振动的周期 ）
机械振动
作简谐运动， 作简谐运动，其最大加速度为 4.0m ⋅ s −2 ，故：
势 能
1 kx2 Ep = 2
1 2 = kA cos2(ωt +ϕ0 ) 2
Epmax , Epmin , Ep
情况同动能。 情况同动能。
机械能
1 2 E = Ek + Ep = kA 2
简谐振动系统机械能守恒
（33）简谐振动的能量、单摆和复摆 33）简谐振动的能量、 单摆和复摆
一
机械振动 转动 正向