数学建模新产品销量预测问题

销量预测问题

一、 摘要

本文通过建立微分方程模型,探讨了新产品进入市场后销售量变化的情况。模型由简单到复杂、由理想到现实,逐步利用广告对市场的限制探讨了产品销售量变化的情况,分析了广告费用对销售量产生的影响,建立比较符合现实的模型。

问题一中,新产品的投入,没有市场竞争,有良好的市场环境,也有良好的口碑,故属于较为简单的微分方程模型,可直接建立模型。

问题二中,产品销售存在一定的市场容量N , 统计表明dt

dx 与该产品的潜在容量)(t x N -成正比,故建立阻滞增长模型求解。

问题三中,则考虑了广告费用对产品销量的影响,分析了广告费用与销售速率之间的关系,建立数学微分方程模型,并运用了Matlab 软件编程求解。

二、 问题提出

一种新产品问世,经营者自然要关心产品的卖出情况。如何采取有效措施,使得产品销量大,获取更大的利润,这就是每个经营者最为关注的问题。

1、设t 时刻产品销量的增长率dx

dt 与)(t x 成正比, 预测t 时的产品销量()t x ;

2、设考虑到产品销售存在一定的市场容量N, 统计表明dt dx

与该产品的潜在容量)(t x N -成正比, 预测t 时的产品销量()t x ;

3、试考虑影响产品销量的广告因素,并建立模型,预测t 时的产品销量()t x 、

三、 模型假设与符号系统

模型假设:

模型基本假设:;

假设1:在考虑影响商品销售的因素时,不考虑偶然因素,如经济、战争因素、政治干预等;

假设2:产品的销售量符合产品的生命周期;

假设3:产品为日常用品,不就是耐用品,每个人都需要。

符号系统:

x(t) 为t 时刻新产品的销售量

a 为每件新产品的宣传效率

N 为市场的销售容量

b 为产品销售量的增长率与潜在容量的比例系数

s(t) 为商品t 时刻的销售量(即新产品在此时刻一段时间的销售量,如七月份,八月份的销售量,而不就是总销售量)

M(t) 为t 时刻的广告费用

θ 为销售量本身的衰减系数

∂ 为广告宣传对销售速率的影响

T 为商品销售速率最大的时刻

四、 模型的建立与求解

问题一模型的建立与求解:

模型的建立:

t 时刻时,新产品的销售量为x(t),把x(t)当做连续、可微函数处理。

每件新产品都就是宣传品,且单位时间内每件新产品能够使a 件新产品被销售。 由假设可知:

x(t+∆t)-x(t)=ax(t)

即:

dx ax dt =

开始时有0x 件新产品被销售

x(0)= 0x

整理得:

(0)0dx ax dt x x ⎧=⎪⎨⎪=⎩

求解得:

()0at x t x e =

问题二模型的建立与求解:

模型的建立: 事实上,()t x 往往就是有上界的。针对模型上述欠缺,我们来修改模

型,统计表明dt

dx 与该产品的潜在销量成正比,且设b 为销售量的增长率与潜在销售量的比例系数

则:

(())dx b N x t dt =-

用matlab 软件求解得:

(1)0()bt bt N e x x t e --= 问题三模型的建立与求解:

模型的建立:与实际情况比较,所得结果与真实销售量的增长情况比较相符。然而事实上,厂家在产品销售之初,往往就是通过广告、宣传等各种方式来推销其产品的。因此我们需要做一下在广告干预下的模型。

另由图像分析可知

商品的销售速度与广告费用成正比,即

()ds M t dt ∝ 但就是在市场趋于饱与,销售量趋于极限值N 时,销售速度将会下降(广告作

用下降,当s(t)趋近于N,广告作用趋近于零)。

产品生命周期一般分为四个阶段:

引入期:指新产品投入市场的初期阶段,也叫投入期。因这一阶段,用户对产品不太了解,需要做大量的广告宣传工作,向用户推荐介绍产品,所以这一时期也叫做介绍期。

成长期:市场销售量迅速增长的阶段。

成熟期:销售量很大,而且稳定,增减幅度不大。销售量最高点也就是在这一时期。 衰退期:产品已经陈旧老化,销售量下降很快。

由产品的生命周期可知,自然衰退就是商品销售速度的一种性质,即产品销售速度随销售量的增加而下降。

()1ds s t dt N ∝- 由于商品本质属性中销售衰减期的存在,所以我们建立模型如下:

()()()(1)()ds t s t M t s t dt N θβ=∂--+ 特别:M(t)=0,s(t)=N 时,得到

()()ds t s t dt θ=- 若M(t)复杂,则方程难以解出。考虑到销售速度与广告宣传的关系,当销售

进行到一定时刻,无论如何做广告,销售速度都将下降。故设广告总费用为m,为讨论方便,设在T 时间内做广告且取M(t)=m/T,即取广告策略为:

(0)()0()m t T M t T t T ⎧<<⎪=⎨⎪>⎩

相当于在开始到T 时间内,平均投入广告费用,时间T 后不再作广告。 代入方程:

当0

()()(1)()ds t m s t s t dt T N θβ=∂--+

()()m m s t T TM θ=∂-+∂(0

令

m

p TM

θ=+∂

m

q T =∂

则方程化为一阶非齐次线性方程

()()ds t ps t q dt +=

得: ()pt q s t ce p -=+

若s(0)=s0,则c=s0-q/p, 从而 ()(0)pt q q s t s e p p -=-+

(1)0pt pt q e s e p --=

-+

当t>T 时,由 s'(t)=-θs(t)

得:,

s(t)= pt ce - 当t=T 时,由s=s(T)=N s ,由(1)算出得

即 )

()(t T n e s t s -=θ