一元六次方程解法全集
3.2 一元一次方程及其解法(第1课时一元一次方程)(课件)六年级数学上册(沪教版2024)
可以发现，平衡的天平两边物体的质量分别
变为了原来的一半，天平也保持平衡.
新知探究
等式性质2 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍成立.
如果 = ，那么 = ; 如果 = , 那么 = ≠ 0 .
求方程的解的过程叫作解方程
只含有一个未知数，且含有未知数的项是一次项的方程叫作一元一次方程
一元一次方程的形式为 + = 0 ≠ 0 .
课本例题
例1 判断下列方程是不是一元一次方程，如果不是，请说明理由：
1 4 − 36 = 0;
2 − 2 = 56;
3 4 2 − 9 = 2 − 7;
等式性质2 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍成立.
如果 = ，那么 = ; 如果 = , 那么 = ≠ 0 .
求方程的解的过程叫作解方程
只含有一个未知数，且含有未知数的项是一次项的方程叫作一元一次方程
一元一次方程的形式为 + = 0 ≠ 0 .
9 − − 9 = 5 − 9.
合并同类项，得 − = −4.
根据等式性质2，在等式两边同除以 − 1, 得
− ÷ −1 = −4 ÷ −1
解得
= 4.
所以，原方程的解是 = 4.
分层练习-基础
1．下列方程的变形正确的是( A )
A．3x－6＝0，变形为 3x＝6
B．x＋5＝3－3x，变形为 4x＝2
(1)8＋x＝－7；
解：两边减8得x＝－15；
1
(2)－ x＝16；
2
解：两边乘以－2得x＝－32；
2025届高中数学一轮复习课件《一元二次不等式的解法》ppt
高考一轮总复习•数学
第27页
对点练 3 解关于 x 的不等式 x2－ax＋1≤0.
解：由题意知，Δ＝a2－4.
①当 a2－4＞0，即 a＞2 或 a＜－2 时，方程 x2－ax＋1＝0 的两根为 x＝a± a22－4，∴
原不等式的解集为x a－
2a2－4≤x≤a＋
a2－4 2
.
②若 Δ＝a2－4＝0，则 a＝±2.
高考一轮总复习•数学
第16页
解：(1)原不等式可化为 3x2＋2x－8≤0，即(3x－4)(x＋2)≤0，解得－2≤x≤43，
所以原不等式的解集为x－2≤x≤43
.
(2)原不等式等价于xx22－－xx－－22＞≤04， ⇔xx22－－xx－－26＞≤00， ⇔xx－－23xx＋＋12＞≤00， ⇔
逆向思维，－1,2 是方程 ax2＋bx＋c＝0 的两根．
b(x－1)＋c＞2ax 的解集是( )
A．{x|0＜x＜3}
B．{x|x＜0 或 x＞3}
C．{x|1＜x＜3}
D．{x|－1＜x＜3}
高考一轮总复习•数学
第30页
解析：由 a(x2＋1)＋b(x－1)＋c＞2ax，得 ax2＋(b－2a)x＋(a＋c－b)＞0. ①
高考一轮总复习•数学
第1页
第二章 不等式
第3讲 二次函数与一元二次不等式 第2课时 一元二次不等式的解法
高考一轮总复习•数学
第2页
复习要点 1.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的 联系.2.会解一元二次不等式和分式不等式.3.了解较简单的不等式恒成立问题的解法．
高考一轮总复习•数学
当 a＞1 时，不等式的解集为x1a＜x＜1
3.2.一元一次方程及其解法(第2课时+移项、合并同类项 六年级数学上册(沪教版2024)
解： 1 不正确，改正：移项，得3 − 2 = 9 + 18.
2 正确.
课堂练习
2.解下列方程：
1 + 8 = −17;
3 + 6 = −5;
解： 1 + 8 = −17.
移项，得 = −17 − 8.
合并同类项，得 = −25,
所以，原方程的解是 = −25.
3 + 6 = −5
C. ②①③
D. ②③①
)
3. 小明在做题时不小心用墨水把方程污染了，污染后的方
程： x －3＝ x ＋
，答案显示此方程的解是 x ＝－8，
被墨水遮盖的是一个常数，则这个常数是(
2
A )
4. [2024汕头澄海区期末]甲、乙两人在300 m的环形跑道上
跑步，甲每分钟跑100 m，乙每分钟跑80 m，若他们从同
移项，得 + 5 = −6.
合并同类项，得6 = −6.
两边同除以的系数6，得
= −1.
所以，原方程的解是 = −1.
2 4 = 20;
4 3 − 15 = − 19.
2 4 = 20.
两边同除以的系数4，得
= 5.
所以，原方程的解是 = 5;
（4 3 − 15 = − 19.
程.（重点）
3.进一步认识解方程的基本变形—移项，感悟解方程过程中的转化
思想.
新知探究
如何求方程4 = 18 − 2的解？
我们可以用等式性质将原方程转化为 = ≠ 0 的形式. 根据等式性质1，
在等式4 = 18 − 2的两边同时加上2, 得
4 + 2 = 18 − 2 + 2.
解一元二次方程公式法
公式法是这样生产的
你能用公式法解方程 2x2-9x+8=0 吗?
解 : a 2 ,b 9 ,c 8 .1.变形:化已知方程为一般形式;
b 2 4 a c 9 2 4 2 8 1 7 0 .
x b b 2 4 ac 2a
9 17
22 9 17 .
4
2.确定系数:用a,b,c写出各项系数;
九年级数学(上)第二章 一 元二次方程
3.公式法(1) 一元二次方程解法
配方法
回顾与复习 1
我们通过配成完全平方式的方法,得到了一元 二次方程的根,这种解一元二次方程的方法称为 配方法(solving by completing the square)
助手 用配方法解一元二次方程的方法的
:
平方根的意义:
公式法将从这里诞生
你能用配方法解方程 2x2-9x+8=0 吗?
解:x29x40.
2
x2 9 x 4.
x29x292924.
x
2 9
2417
.
4
4 16
1.化1:把二次项系数化为1;
2.移项:把常数项移到方程的右边;
3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值 一半的平方;
4.变形:方程左分解因式,右边合并 同类;
8.x1909..xx2714x;3;xx139 .43.273. 16x2+8x=3 ；
1
1 参 考 答 案 ：2 12
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
12
1
2
解:设这三个 一个连 直角续 三角偶 的 形三数 一 边的中 个 长x为间 ,为 根 三个据 连续题 偶 意得
x2 x 数 ,求2 这2 个三x角 形2 的2 .三边长.
一元六次方程有一种等价形式存在代数解法
作者电子邮箱：budgood@ 邓应生， 《群论基础》 。页 3. 1
y6+Py5+Qy4+Ry3+Sy2+Ty+U=0， 令 y = x−k ， 得到 x6+px5+qx4+rx3+sx2+tx+u=0 （1） 。 存在合适的 k 使得（1）是任意所指定的六次方程。对于任意的一元六 次方程（1）在理论上都有存在代数解法或者根式解的等价形式（2） 。 只要有人能确定（2）的具体形式，则（1）的根按照本文的方法必然能 够求出。
4
这 样 ， 就 用 具 有 代 数 解 法 的 形 式 把 一 般 六 次 方 程 z6+γz4+δz3+εz2+ζz+η=0 “绑架” 。 如果能够求解出该方程就可以了。 令 z = y + k ；令
k= P 6 ，则有：
z6+γz4+δz3+εz2+ζz+η =y6+Py5+(γ+15k2)y4+(δ+ 4kγ+20k3)y3 +(ε+3δk+6k2γ+15k4)y2 +(ζ+2kε+3k2δ+4k3γ+6k5)y+(η+ζk+εk2+δk3+γk4+k6) =y6+Py5+Qy4+Ry3+Sy2+Ty+U 明显：Q=γ+15k2；R=δ+ 4kγ+20k3；S=ε+3δk+6k2γ+15k4； T=ζ+2kε+3k2δ+4k3γ+6k5；U=η+ζk+εk2+δk3+γk4+k6； 只要确定 k ，也就确定了 P = 6 k 。唯一的线索是代人○ 3 、1，得到另一 个关于 P 的方程。
第08讲 一元一次方程的解法(七大题型)-2023-2024学年六年级数学下册同步学与练(沪教版)(
第08讲 一元一次方程的解法（七大题型）
1.熟悉解一元一次方程的一般步骤，理解每步变形的依据；
2.掌握一元一次方程的解法，体会解法中蕴涵的化归思想；
3.进一步熟练掌握在列方程时确定等量关系的方法.
（1）解方程时，表中有些变形步骤可能用不到，而且也不一定要按照自上而下的顺序，有些步骤可以合并简化．
(2) 去括号一般按由内向外的顺序进行，也可以根据方程的特点按由外向内的顺序进行.
（3）当方程中含有小数或分数形式的分母时，一般先利用分数的性质将分母变为整数后再去分母，注意去分母的依据是等式的性质，而分母化整的依据是分数的性质，两者不要混淆．
知识点二、解特殊的一元一次方程
1.含绝对值的一元一次方程
解此类方程关键要把绝对值化去，使之成为一般的一元一次方程，化去绝对值的依据是绝对值的意义．要点：此类问题一般先把方程化为的形式，再分类讨论：
(1)当时，无解；（2）当时，原方程化为：；（3）当时，原方程可化为：
或.
2.含字母的一元一次方程
此类方程一般先化为最简形式ax＝b，再分三种情况分类讨论：
（1）当a≠0时，；（2）当a＝0，b＝0时，x为任意有理数；（3）当a＝0，b≠0时，方程无解．
ax b c
+=
c<0
c=0
ax b
+=0
c>ax b c
+= ax b c
+=-
b
x
a
=
．．
-+
21
x x
三、解答题
21．解下列方程：
224-+=+时，发现常数被污染了；嘉淇猜是212--=+，求被污染的常数．■”中的■没印清，小聪问老师，老师只是说：。
1.2一元二次方程的解法(四)(解析版)
1.2一元二次方程的解法（四）【推本溯源】1.用配方法解一元二次方程0x x 2=-2.那还有其他方法解0x x 2=-吗？我们可以对x x 2-进行因式分解，()1x x x x 2-=-，所以只需要()01x x =-即可，所以要么x=0，要么x-1=0，所以解出来x=0或x=1.因此，当一个一元二次方程的一边为0，另一边能分解成为两个一次因式的乘积时，就可以把解这样的一元二次方程转化为解两个一元一次方程，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
3.常见的因式分解法的类型方法常见类型因式分解的形式方程的解提公因式法x ²±bx=0x （x ±b ）=0X 1=0，x 2=±b 平方差法x ²-a ²=0（x+a ）（x-a ）=0X 1=-a ，x 2=a 完全平方法x ²±2ax+a ²=0（x ±a ）²=0X 1=x 2=±a十字相乘法x ²±（a+b ）x+ab=0（x ±a ）（x ±b ）=0X 1=±a ，x 2=±b4.因式分解法的步骤（1）移项：将方程的右边化为0；（2）化积：将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；（3）转化：令两个一次因式分别为0，转化为两个一元一次方程；（4）求解：分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。
5.用对应的因式分解法解下列方程（1）（提公因式法）x x 32=（2）()（平方差法）091x 2=-+4x 2x 21-==，（3）()（完全平方法））（011x 21x 2=+---0x x 21==（4）（十字相乘法）03x 2x 2=--1x 3x 21-==，【解惑】【摩拳擦掌】【答案】10【分析】根据给定的图找出其中的规律，列一元二次方程，求解即可．【详解】解：第1个图有7个棋子，第2个图有11个棋子，第3个图有17个棋子，第图有25个棋子，第5个图有35个棋子，⋯⋯第n 个图有215()()5n n n n ++=++个棋子，【详解】（1）解：260x x --=，()()320x x -+=，∴30x -=或20x +=，∴13x =，22x =-；（2）解∶()221180x --=，()219x -=，∴13x -=±，∴14x =，22x =-．【点睛】此题考查利用因式分解法和直接开平方法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法．10．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）解下列方程：(1)2450x x +-=(2)()()22452x x -=-【答案】(1)11x =，25x =-(2)13x =，21x =【分析】（1）利用因式分解法解方程；（2）先移项得到()()224520x x ---=，然后利用因式分解法解方程．【详解】（1）2450x x +-=()()150x x -+=∴10x -=或50x +=∴解得11x =，25x =-；（2）22(4)(52)x x -=-()()224520x x ---=()()4524520x x x x --+-+-=【知不足】【详解】解：∵分式21x x x --的值为0，∴2010x x x ⎧-=⎨-≠⎩，解得0x =，故选A ．【点睛】本题主要考查了分式值为0的条件，熟知分式值为0的条件是分子为0，分母不为0是解题的关键．2．（2023·全国·九年级假期作业）若关于x 的一元二次方程()230x k x k +++=的一个根是2-，则另一个根是()A ．1B ．1-C ．3-D ．2【答案】A 【分析】将2x =-代入方程得：()4230k k -++=，解得：2k =-，再把2k =-代入原方程求解．【详解】解：将2x =-代入方程得：()4230k k -++=，解得：2k =-，∴原方程为：220x x +-=，则()2(1)0x x +-=，解得：2x =-或1x =，∴另一个根为1．故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的根，因式分解法解一元二次方程，属于基础题．3．（2023·辽宁沈阳·沈阳市第一二六中学校考三模）方程()()230x x -+=的解是（）A ．2x =B ．3x =-C ．12x =，23x =D ．12x =，23x =-【答案】D【分析】直接利用因式分解法解一元二次方程即可．【详解】解：()()230x x -+=，可得：20x -=或30x +=，【答案】27【分析】过C作CG得四边形ABCG为正方形，证明=，从而证明BE GF在直角梯形ABCD中， ∴∠=∠=︒，A B90=又90CGA，AB BC∠=︒∴四边形ABCG为正方形．键．【一览众山小】故选：D ．【点睛】本题考查了新定义，一元二次方程的解法，理解题意，得到方程并求解是解决本题的关键．3．（2022秋·广东茂名·八年级校联考期末）如图，直线:l y x m =-+交x 轴于点A ，交y 轴于点()0,3B ，点(),5P n 在直线l 上，已知M 是x 轴上的动点，当以A ，P ，M 为顶点的三角形是直角三角形时，点M 的坐标为（）A ．()2,0-B ．()5,0-C ．()2,0-或()7,0-D ．()2,0-或()5,0-【答案】C 【分析】根据题意求出A 、P 坐标，然后根据等腰直角三角形的性质进行分类讨论求解即可．【详解】解：由题意，将()0,3B 代入直线:l y x m =-+，得：3m =，∴直线:3l y x =-+，令0y =，得：3x =，则A 点坐标为()3,0A ，将(),5P n 代入3y x =-+，得：2n =-，∴P 点坐标为()2,5P -，∵3OA OB ==，90BOA ∠=︒，∴45BAO ∠=︒，设(),0M a ，①若90AMP ∠=︒，则 AMP 为等腰直角三角形，MP MA =，∵5MP =，3MA a =-，∴35a -=，解得：2a =-，∴M 点的坐标为()12,0M -；②若90APM ∠=︒，则此时，点A 和点M 关于点∴322a +=-，解得：③∵M 是x 轴上的动点，∴45PAM ∠=︒或135︒，不存在综上，满足条件的点M 的坐标为A ．(3,0)-B ．【答案】Dx A ．()4,4B ．【答案】D【分析】根据(0k y k x =≠()2,E x x +，代入解析式计算即可．k（1）四边形DCEB的面积为___________（2）k的值为___________；（3）若A，B两点的横坐标恰好是方程距离为___________．【答案】183/223∴1812232OAE S h ⨯==⨯⋅ =123【答案】8∵正方形ABCD 的边长为1∴33=1=88ABFE S ⨯四边形，设CF x =，则DH x =，则∴()1=2ABFE AE BF S +⨯四边形即()131128AE x +-⨯=根据图中棋子的排列规律解决下列问题：(1)第4个图中有__________颗棋子，第5个图中有(2)写出你猜想的第n个图中棋子的颗数（用含n【规律发现】请用含n的式子填空：(1)第n个图案中“”的个数为；12⨯★”的个数可表示为“”个，个，9个，12个，个，”的个数可表示为个，（舍去）或。
5.2一元一次方程的解法(第2课时移项法解一元一次方程)(课件)-七年级数学上册(北师大版2024)
5 x – 2 = 8.
5x = 8 + 2
概念归纳
把原方程中的某一项改变符号后，从方程的一边移
到另一边，这种变形称为移项.
因此，解方程的过程可以可以化简为：
移项，得
5x = 8 + 2
化简，得
5x = 10
方程两边都除以 5，得
x=2
课本例题
例3 解方程
（1）2x + 6 = 1；
解：（1）移项，得
解方程7 x ＋4 m ＝8 x ＋2得 x ＝4 m －2.
因为方程的解相同，
所以2－4 m ＝4 m －2.
所以 m ＝ .
将 m ＝ 代入 x ＝2－4 m ，得 x ＝0.
知识点3
移项法解一元一次方程的实际应用
7. 【新考向数学文化2024西安铁一中月考】《九章算术》中
“盈不足术”有这样的问题：“今有共买羊，人出六，不
整式 my3＋ ny ＋1的值.
解：(3)把 y ＝ a ＝7代入 my3＋ ny ＋1＝5，
得73 m ＋7 n ＋1＝5，则73 m ＋7 n ＝4.
当 y ＝－ a ＝－7时，
my3＋ ny ＋1＝(－7)3 m ＋(－7) n ＋1
＝－(73 m ＋7 n )＋1
＝－4＋1
＝－3.
分层练习-拓展
- x=16
方程两边都除以- 得
x=-32
1- =3x+
(4)移项得
- -3x= -1
合并同类项得
- x=
六年级解方程运算知识点
六年级解方程运算知识点解方程运算是数学中重要的一部分，它涉及到数的运算、代数表达式以及方程的求解。
在六年级，学生将进一步学习解一元一次线性方程，掌握一些基本的解方程运算知识点是至关重要的。
以下是六年级解方程运算的主要知识点：1. 解方程的基本概念解方程是指找到使得方程两边相等的未知数的值。
解方程的过程主要包括推导、化简和代入验证。
2. 一元一次线性方程一元一次线性方程是指方程中只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为1。
六年级主要学习如下形式的一元一次线性方程：ax + b = c，其中a、b、c为已知数，a ≠ 0。
3. 解方程的基本步骤解一元一次线性方程的基本步骤如下：a) 将方程中的常数项移到方程左边，使等式成立；b) 合并同类项，将未知数项移到方程右边，并化简；c) 通过系数的倒数和倍数关系，将未知数的系数化为1；d) 验证所得的解是否满足方程。
4. 解方程的基本运算规则在解方程过程中，需要运用一些基本的运算规则来简化方程。
主要的运算规则有：a) 加减法原则：可以对方程的两边同时加减同一个数；b) 乘除法原则：可以对方程的两边同时乘除同一个非零数。
5. 解方程的特殊情况在解方程的过程中，可能会遇到一些特殊情况，需要注意处理。
这些特殊情况包括：a) 无解的情况：当方程的系数和常数不满足一定条件时，方程可能无解；b) 无穷解的情况：当方程的系数和常数满足一定条件时，方程可能有无穷多个解。
6. 解方程的应用解方程在实际生活中有广泛的应用。
例如，可以通过解方程来解决物体运动中的速度、时间和距离等问题，还可以用来解决商业利润、成本和销售量等问题。
综上所述，六年级解方程运算是数学学习中的重要内容。
通过掌握解方程的基本概念、步骤和运算规则，学生可以有效地解决一元一次线性方程，并将其应用于实际生活中的问题中。
灵活运用解方程的知识，将帮助学生培养逻辑思维和问题解决能力。
在学习过程中，学生可以通过大量的练习和实例来提高解方程的能力，为日后的数学学习奠定坚实的基础。
解六元一次方程组
解六元一次方程组首先，我们定义一个六元一次方程组：\begin{align*}a_1x+b_1y+c_1z+d_1w+e_1u+f_1v&=g_1\\a_2x+b_2y+c_2z+d_2w+e_2u+f_2v&=g_2\\a_3x+b_3y+c_3z+d_3w+e_3u+f_3v&=g_3\\a_4x+b_4y+c_4z+d_4w+e_4u+f_4v&=g_4\\a_5x+b_5y+c_5z+d_5w+e_5u+f_5v&=g_5\\a_6x+b_6y+c_6z+d_6w+e_6u+f_6v&=g_6\end{align*}为了解这个方程组，我们可以使用消元法来逐步消去变量，直到最后一个变量解出为止。
首先，可以从第一个方程开始，将其乘以一个适当的系数然后与其他方程相加，以消去$x$的系数。
这样，我们可以消去$x$变量在第2至6个方程中的系数。
这个步骤的主要目标是将第2至6个方程中的$x$系数变为零，这样我们就可以得到一个只包含$y,z,w,u,v$的新方程组。
接下来，我们继续消去$y,z,w,u$的系数，最终得到一个只含有变量$v$的方程，我们可以从这个方程中解出$v$的值。
再将其代入之前的方程组，逆向代入法得到其他变量的值。
让我们详细步骤来解这个方程组。
首先，将第一个方程乘以 $-\frac{a_2}{a_1}$，然后加到第二个方程上，得到新方程 $(-a_2a_1 + a_1a_2)x + (-a_2b_1 + b_2a_1)y + (-a_2c_1 + c_2a_1)z + (-a_2d_1 + d_2a_1)w + (-a_2e_1 + e_2a_1)u + (-a_2f_1 + f_2a_1)v = (-a_2g_1 + g_2a_1)$. 这里，我们可以看到新方程的 $x$ 系数已经变为零。
同样的方法可以应用到第三、四、五、六个方程上。
鲁教版六年级下册第六讲第六章 一元一次方程的解法和应用讲义无答案
（1）两车分别从两地同时出发，相向而行，几小时相遇？
3、长方形的长比宽多 5 厘米,周长是 22 厘米,它的宽是_______厘米;
（2）两车分别从两地同时出发，同向而行（快车在后），几小时相遇？
二、解答题
7、环形跑道长 400 米，甲乙两人练习跑步，速度分别为 3 米/秒和 2 米/秒.
4、由于经济危机,某公司裁员 20%后还剩员工 96 人,求裁员前公司有多少人?
5、商店将某种商品按进价加 20%作为售价，为了促销以售价打 9 折售出，这样这件商品相对进价获利 48 元，求 这件商品的进价.
第 3页
一、填空题一元一次方程的应用（2）
1、利息=_________×_________×_________;
2、税后利息=________-__________;
3、税后本利和=______________+_______________;
二、解答题
4、为支援灾区,小明将已经到期的存在银行里 2 年的 2019 元压岁钱取出,交纳了 20%的利息税之后，得到税后本 利和为 2072 元，求他存款的年利率.
6、解方程:
(1) 1（2x 6） 1（3x 12）;
2
3
(2) 6x 5 2x （4 x 1）.
7、一个数减去 3 的差的 2 倍等于它与 1 的和,求这个数.
三、提高题
8、方程（2 x 1） x 3 与关于 x 的方程 3x 2a （4 x 1）解相同,求 a 的值.
一元一次方程的解法（3）
3
二、解答题
4、判断下列方程是不是一元一次方程,如果不是,请说明理由:
(1) 2x 1 0 ;
(2) x y 5 ;
(3) x 2 x 2 0
一元四次方程求根公式笛卡尔法
一元四次方程是指形式为ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0的方程，其中a、b、c、d、e为实数且a≠0。
一元四次方程的求根问题是代数学中的重要问题之一，其解的存在性和求解方法一直备受关注。
而笛卡尔在16世纪提出了一元四次方程的求根公式，被称为笛卡尔法，成为了解决一元四次方程的重要方法之一。
二、笛卡尔法的描述笛卡尔法是一种较为复杂的求根方法，其描述如下：1. 将一元四次方程ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0转化为y^4+py^2+qy+r=0的方程，令x^2=y。
2. 令y=z+u/z，其中u是待定常数，z是变数，代入原方程中得到关于z的方程。
3. 再次变形，得到关于z的代数方程，求解该方程得到z的值。
4. 根据y=z+u/z和x^2=y，解出x的值得到一元四次方程的解。
三、笛卡尔法的优缺点1. 优点：a. 笛卡尔法能够有效地求解一元四次方程的根，为代数方程的求解提供了一种新的思路和方法。
b. 笛卡尔法的解法相对严谨，能够得到准确的根值。
2. 缺点：a. 笛卡尔法求解过程繁琐，需要经过多次复杂的变形和代数运算，b. 笛卡尔法难以直观地解释，不易理解和掌握。
四、使用笛卡尔法求解一元四次方程的示例为了更直观地展示笛卡尔法的具体求解过程，我们选取一个具体的一元四次方程进行求解。
设一元四次方程为2x^4-3x^3+4x^2-5x+6=0。
1. 根据笛卡尔法的描述，首先将方程转化为y^4+py^2+qy+r=0的形式，得到y^4-3y^2+4y-5=0。
2. 令y=z+u/z，代入等价方程中得到z^4+u^2/z^2-3z^2-2u+4+u^2/z^2-5=0。
3. 化简合并同类项得到z^4+z^2(u^2-3)+(-2u+4+u^2/z^2-5)=0。
4. 求解得到z的值，再根据y=z+u/z和x^2=y，解出x的值。
5. 最终得到一元四次方程的解。
五、总结笛卡尔法作为一种传统的求根方法，对于一元四次方程的解法具有一定的重要性。
数学方程知识点
数学方程知识点关于数学方程知识点1、表示相等关系的式子叫做等式。
2、含有未知数的等式是方程。
3、方程一定是等式;等式不一定是方程。
等式＞方程4、等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果仍然是等式。
这是等式的性质。
等式两边同时乘或除以同一个不等于0的数，所得结果仍然是等式。
这也是等式的性质。
5、求方程中未知数的过程，叫做解方程。
解方程时常用的关系式：一个加数二和-另一个加数减数二被减数-差被减数=减数+差一个因数二积♦另一个因数除数二被除数+商被除数二商X除数注意：解完方程，要养成检验的好习惯。
6、五个连续的自然数（或连续的奇数，连续的偶数）的和，等于中间的一个数的5倍。
奇数个连续的自然数（或连续的奇数，连续的偶数）的和+个数二中间数7、4个连续的自然数（或连续的奇数，连续的偶数）的和，等于中间两个数或首尾两个数的和X个数+ 2（高斯求和公式）8、列方程解应用题的思路：A、审题并弄懂题目的已知条件和所求问题。
B、理清题目的等量关系。
C、设未知数，一般是把所求的数用X 表示。
D、根据等量关系列出方程E、解方程F、检验G、作一.列方程解应用题的一般步骤:1.认真审题：分析题中已知和未知，明确题中各数量之间的关系；3.设未知数：用字母表示题目中的未知数时一般采用直接设法，当直接设法使列方程有困难可采用间接设法；4.列方程：根据这个相等关系列出所需要的代数式，从而列出方程注意它们的量要一致，使它们都表示一个相等或相同的量；列方程应满足三个条件：方程各项是同类量，单位一致，左右两边是等量；5.解方程:解所列出的方程，求出未知数的值；6.写出答案：检查方程的解是否符合应用题的实际意义，进行取舍，并注意单位。
简记为六个字：审、找、设、歹U、解、答。
二.列一元一次方程解应用题的几点注意：1.注意语言与解析式的互化：如，“多”、“少”、“增加了”、“增加为（到）”、“同时”、“扩大为（到）”、“扩大了”、……2.注意从语言叙述中写出相等关系：如，x 比 y 大 3,则 x-y=3 或 x=y+3 或 x-3=y。
若干六次方程的代数解法
若干六次方程的代数解法¶1六次多项式一般形式的结构对于f (x)=(x -r 1)*(x -r 2)*(x -r 3)*(x -r 4)*(x -r 5)*(x -r 6)，其一般式本文记作f (x)=x 6+px 5+qx 4+rx 3+sx 2+tx+u ；方程f(x)=0的根为r 1、r 2、r 3、r 4、r 5、r 6。
令：x 3+Bx 2+Cx +D=x 3_(r 1+r 2+r 3)x 2+（r 1*r 2+r 3*r 2+r 1*r 3）x -r 1*r 2*r 3x 3+Ex 2+Fx+G =x 3_(r 4+r 5+r 6)x 2+(r 4*r 6+r 5*r 6+r 4*r 5)x -r 4*r 5*r 6……f(x)的拆分形式表达式记为3232(x +Bx +Cx+D)*(x +Ex +Fx+G)……B 、C 、D 和E 、F 、G 各有36C 种，所以，两个三次多项式拆分表达式共有6种不同的组合。
令:e f g ===E-B,F-C,G-D ;3232f(x)=(x +Bx +Cx+D)*(x +Ex +Fx+G)即形式上成为3232g(x)=(x +Bx +Cx+D)*[x +(B+e)x +(C+f)x+(D+g)]我们看一下e 的特性：g(x)=(x 3+bx 2+c x +d)*[x 3+(b+e)x 2+(c+f)x+（d+g)]=(x 3+bx 2+c x +d)2+(x 3+bx 2+c x +d)(ex 2+fx+g)g(y+k)=[(y+k )3+b(y+k)2+c(y+k)+d ]2+[(y+k )3+b(y+k)2+c(y+k)+d ]*[ey 2+(2ke+f )y+(ek 2+2k f +g)]可以看出,对于一个六次方程g(y+k)=0，k 的数值对e 没有影响；e 在任何情况下都是不会改变的。
为降低求解难度，六次方程一般式通过6p x y =−变换化为f(6p y −)=y 6+Qy 4+Ry 3+Sy 2+Ty+U 的形式。