运筹学习题集(第一章)
运筹学习题答案(1)
第一章 线性规划及单纯形法（作业）1.4 分别用图解法和单纯型法求解下列线性规划问题，并对照指出单纯形表中的各基可行解对应图解法中可行域的哪一顶点。
（1）Max z=2x 1+x 2St.⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤+0,24261553212121x x x x x x 解：①图解法：由作图知，目标函数等值线越往右上移动，目标函数越大，故c 点为对应的最优解，最优解为直线⎩⎨⎧=+=+242615532121x x x x 的交点，解之得X=(15/4,3/4)T 。
Max z =33/4. ② 单纯形法：将上述问题化成标准形式有： Max z=2x 1+x 2+0x 3+0x 4St. ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤++≤++0,,,242615535421421321x x x x x x x x x x其约束条件系数矩阵增广矩阵为：P 1 P 2 P 3 P 4⎥⎦⎤⎢⎣⎡241026150153 P 3,P 4为单位矩阵，构成一个基，对应变量向，x 3,x 4为基变量，令非基变量x 1,x 2为零，找到T 优解，代入目标函数得Max z=33/4.1.7 分别用单纯形法中的大M 法和两阶段法求解下列线性规划问题，并指出属哪一类。
（3）Min z=4x 1+x 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≥=++=-+=+)4,3,2,1(0426343342132121j xj x x x x x x x x 解：这种情况化为标准形式： Max z ＇=-4x 1-x 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≥=++=-+=+)4,3,2,1(0426343342132121j xj x x x x x x x x 添加人工变量y1,y2Max z ＇=-4x 1-x 2+0x 3+0x 4-My 1-My 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=≥=++=+-+=++0,).4,3,2,1(04263433214112321121y y j xj x x x y x x x y x x(2) 两阶段法： Min ω=y 1+y 2St.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=≥=++=+-+=++0,).4,3,2,1(04263433214112321121y y j xj x x x y x x x y x x第二阶段，将表中y 1,y 2去掉，目标函数回归到Max z ＇=-4x 1-x 2+0x 3+0x 4第二章 线性规划的对偶理论与灵敏度分析（作业）2.7给出线性规划问题：Max z=2x 1+4x 2+x 3+x 4⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≥≤++≤++≤+≤++)4,3,2,1(096628332143221421j x x x x x x x x x x x x j要求：（1）写出其对偶问题；（2）已知原问题最优解为X *=(2,2,4,0),试根据对偶理论，直接求出对偶问题的最优解。
运筹学基础及应用课后习题答案(第一二章习题解答)
运筹学基础及应用课后习题答案(第一二章习题解答)第一章：线性规划一、选择题1. 线性规划问题中，目标函数可以是（）A. 最大化B. 最小化C. A和B都对D. A和B都不对答案：C解析：线性规划问题中，目标函数可以是最大化也可以是最小化，关键在于问题的实际背景。
2. 在线性规划问题中，约束条件通常表示为（）A. 等式B. 不等式C. A和B都对D. A和B都不对答案：C解析：线性规划问题中的约束条件通常包括等式和不等式两种形式。
二、填空题1. 线性规划问题的基本假设是______。
答案：线性性2. 线性规划问题中，若决策变量个数和约束条件个数相等，则该问题称为______。
答案：标准型线性规划问题三、计算题1. 求解以下线性规划问题：Maximize Z = 2x + 3ySubject to:x + 2y ≤ 83x + 4y ≤ 12x, y ≥ 0答案：最优解为 x = 4, y = 2，最大值为 Z = 14。
解析：画出约束条件的图形，找到可行域，再求目标函数的最大值。
具体步骤如下：1) 将约束条件化为等式，画出直线；2) 找到可行域的顶点；3) 将顶点代入目标函数，求解最大值。
第二章：非线性规划一、选择题1. 以下哪个方法适用于求解非线性规划问题（）A. 单纯形法B. 拉格朗日乘数法C. 柯西-拉格朗日乘数法D. A和B都对答案：B解析：非线性规划问题通常采用拉格朗日乘数法求解，单纯形法适用于线性规划问题。
2. 非线性规划问题中，以下哪个条件不是K-T条件的必要条件（）A. 梯度条件B. 正则性条件C. 互补松弛条件D. 目标函数为凸函数答案：D解析：K-T条件包括梯度条件、正则性条件和互补松弛条件，与目标函数是否为凸函数无关。
二、填空题1. 非线性规划问题中，若目标函数和约束条件都是凸函数，则该问题称为______。
答案：凸非线性规划问题2. 非线性规划问题中，K-T条件是求解______的必要条件。
1 3 第一章线性规划与单纯形法运筹学习题集第一章线性规划与单纯形
1 3 第一章线性规划与单纯形法运筹学习题集第一章线性规划与单纯形13第一章线性规划与单纯形法运筹学习题集第一章线性规划与单纯形法复习思考题1. 试述线性规划数学模型的结构及各要素的特征。
2. 求解线性规划问题时可能出现哪几种结果?哪些结果反映建模时有错误?3. 什么是线性规划问题的标准形式?如何将一个非标准型的线性规划问题转化为标准形式?4. 试述线性规划问题的可行解、基解、基可行解、最优解的概念以及上述解之间的相互关系。
5. 试述单纯形法的计算步骤，如何在单纯形表上判别问题是具有唯一最优解、无穷多最优解、无界解或无可行解?6. 如果线性规划的标准型变换为求目标函数的极小化min z，则用单纯形法计算时如何判别问题已得到最优解?7. 在确定初始可行基时，什么情况下要在约束条件中增添人工变量?在目标函数中人工变量前的系数为(-M)的经济意义是什么?8. 什么是单纯形法计算的两阶段法?为什么要将计算分成两个阶段进行,如何根据第一阶段的计算结果来判定第二阶段的计算是否需要继续进行?9. 简述退化的含义及处理退化的勃兰特规则。
10. 举例说明生产和生活中应用线性规划的可能案例，并对如何应用进行必要描述。
11. 判断下列说法是否正确:(a) 图解法同单纯形法虽然求解的形式不同，但从几何上理解，两者是一致的;(b) 线性规划模型中增加一个约束条件，可行域的范围一般将缩小，减少一个约束条件，可行域的范围一般将扩大;(c) 线性规划问题的每一个基解对应可行域的一个顶点;(d) 如线性规划问题存在可行域，则可行域一定包含坐标的原点;(e) 对取值无约束的变量xj，通常令xj=x′j-x″j，其中x′j?0，x″j?0，在用单纯形法求得的最优解中有可能同时出现x′j,0，x″j,0;(f) 用单纯形法求解标准型的线性规划问题时，与σj,0对应的变量都可以被选作换入变量; (g) 单纯形法计算中，如不按最小比值原则选取换出变量，则在下一个解中至少有一个基变量的值为负;(h) 单纯形法计算中，选取最大正检验数σk对应的变量xk作为换入变量，将使目标函数值得到最快的增长;(i) 一旦一个人工变量在迭代中变为非基变量后，则该变量及相应列的数字可以从单纯形表中删除，而不影响计算结果;(j) 线性规划问题的任一可行解都可以用全部基可行解的线性组合表示; (k)若X1，X2分别是某一线性规划问题的最优解，则X=λ1X1+λ2X2也是该线性规划问题的最优解，其中λ1、λ2可以为任意正的实数;(l) 线性规划用两阶段法求解时，第一阶段的目标函数通常写为minz=?ixai(xai为人工变量)，但也可写为min z=?ikixai,只要所有ki均为大于零的常数;(m)对一个有n个变量、m个约束的标准型的线性规划问题，其可行域的顶点恰好为Cmn个; (n) 单纯形法的迭代计算过程是从一个可行解转换到目标函数值更大的另一个可行解; (o) 线性规划问题的可行解如为最优解，则该可行解一定是基可行解; (p) 若线性规划问题具有可行解，且其可行域有界，则该线性规划问题最多具有有限个数的最优解;(q) 线性规划可行域的某一顶点若其目标函数值优于相邻的所有顶点的目标函数值，则该顶点处的目标函数值达到最优;(r) 将线性规划约束条件的“?”号及“?”号变换成“=”号，将使问题的最优目标函数值得到改善;(s) 线性规划目标函数中系数最大的变量在最优解中总是取正的值;(t) 一个企业利用3种资源生产4种产品，建立线性规划模型求解得到的最优解中，最多只含有3种产品的组合;(u) 若线性规划问题的可行域可以伸展到无限，则该问题一定具有无界解; (v) 一个线性规划问题求解时的迭代工作量主要取决于变量数的多少，与约束条件的数量关系相对较小。
运筹学习题答案(第一章)
无穷多最优解， x 1 1, x 2 1 3 , Z 3 是一个最优解
max Z 3 x 1 2 x 2 (2) 2 x1 x 2 2 st . 3 x 1 4 x 2 12 x , x 0 2 1
该问题无解
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第一章习题解答
min Z 2 x 1 2 x 2 3 x 3 (2) x1 x 2 x 3 4 st 2 x1 x 2 x 3 6 x 0 , x 0 , x 无约束 2 3 1
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第一章习题解答
max Z 3 x 1 x 2 2 x 3 12 x 1 3 x 2 6 x 3 3 x 4 9 8 x 1 x 2 4 x 3 2 x 5 10 st 3 x x6 0 1 x j 0（ j 1, , 6） , (1)
x1
x2
基可行解 x3
x4
Z
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第一章习题解答
1.4 分别用图解法和单纯形法求解下述线性规划 问题，并对照指出单纯形表中的各基可行解对应图解 法中可行域的哪一顶点。
max Z 10 x 1 5 x 2 (1) 3 x1 4 x 2 9 st . 5 x 1 2 x 2 8 x ,x 0 1 2
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第一章线性规划1．1将下述线性规划问题化成标准形式1)min z＝－3x1＋4x2－2x3＋5 x4－x2＋2x3－x4＝－24xst. x1＋x2－x3＋2 x4 ≤14－2x1＋3x2＋x3－x4 ≥2x1，x2，x3≥0，x4无约束2)min z ＝2x1－2x2＋3x3＋x2＋x3＝4－xst. －2x1＋x2－x3≤6x1≤0 ，x2≥0，x3无约束1．2用图解法求解LP问题，并指出问题具有唯一最优解、无穷多最优解、无界解还是无可行解。
1)min z＝2x1＋3x24x1＋6x2≥6st2x1＋2x2≥4x1，x2≥02)max z＝3x1＋2x22x1＋x2≤2st3x1＋4x2≥12x1，x2≥03)max z＝3x1＋5x26x1＋10x2≤120st5≤x1≤103≤x2≤84)max z＝5x1＋6x22x1－x2≥2st－2x1＋3x2≤2x1，x2≥01．3找出下述LP问题所有基解，指出哪些是基可行解，并确定最优解（1）min z＝5x1－2x2＋3x3＋2x4x1＋2x2＋3x3＋4x4＝7st2x1＋2x2＋x3 ＋2x4＝3x1，x2，x3，x4≥01．4 分别用图解法与单纯形法求解下列LP 问题，并对照指出最优解所对应的顶点。
1) maxz ＝10x 1＋5x 23x 1＋4x 2≤9 st 5x 1＋2x 2≤8 x 1，x 2≥02) maxz ＝2x 1＋x 2 3x 1＋5x 2≤15 st 6x 1＋2x 2≤24 x 1，x 2≥01．5 分别用大M 法与两阶段法求解下列LP 问题。
1) minz ＝2x 1＋3x 2＋x 3 x 1＋4x 2＋2x 3≥8 st 3x 1＋2x 2 ≥6 x 1，x 2 ，x 3≥02) max z ＝4x 1＋5x 2＋ x 3. 3x 1＋2x 2＋ x 3≥18 St. 2x 1＋ x 2 ≤4x 1＋ x 2－ x 3＝53) maxz ＝ 5x 1＋3x 2 +6x 3 x 1＋2x 2 －x 3 ≤ 18 st 2x 1＋x 2 －3 x 3 ≤ 16 x 1＋x 2 －x 3＝10 x 1，x 2 ，x 3≥01231231231231234)max 101512539561515.25,,0z x x x x x x x x x st x x x x x x =++++≤⎧⎪-++≤⎪⎨++≥⎪⎪≥⎩1．61.7某班有男生30人，女生20人，周日去植树。
运筹学1至6章习题参考答案
-0.25
1
1.5
2
C(j)-Z(j)
-1.75
0
0
1.25
0
-12.5
X1
-3
1
0
2
-1
0
2
M
X2
-5
0
1
-0.5
0.5
0
2
4
X5
0
0
0
-1.5
[0.5]
1
0
0
C(j)-Z(j)
0
0
3.5
-0.5
0
-16
X1
-3
1
0
-1
0
2
2
X2
-5
0
1
1
0
-1
2
X4
0
0
0
-3
1
2
0
C(j)-Z(j)
0
0
2
0
1
【解】设xj、yj（j＝1，2，…，6）分别为1～6月份的生产量和销售量，则数学模型为
（1）
（2）目标函数不变，前6个约束右端常数800改为1000，第7～11个约束右端常数200改为0，第12个约束“≤200”改为“＝－200”。
1.4某投资人现有下列四种投资机会,三年内每年年初都有3万元（不计利息）可供投资：
0
0
0
R. H. S.
Ratio
Basis
C(i)
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X4
0
-1
2
3
1
0
0
4
M
X5
0
[4]
运筹学习题集
2x2≥4 x1, x2≥0
x1, x2≥0
(5) max z ＝3x1＋9x2 (6) max z ＝3x1＋4x2
st. x1＋3x2≤22 st. －x1＋2x2≤8
1.11.某糖果厂用原料A、B、C加工成三种不同牌号的糖果甲、乙、丙。已知各种牌号糖果中A、B、C含量，原料成本，各种原料的每月限制用量，三种牌号糖果的单位加工费及售价如下表所示。
问该厂每月应生产这三种牌号糖果各多少千克，使该厂获利最大？试建立此问题的线性规划的数学模型。
甲 乙 丙 原料成本(元/千克) 每月限量（千克）
x1，x3≥0，x2，x4无约束
(3) min z ＝3x1＋2 x2－3x3＋4x4 (4) min z ＝－5 x1－6x2－7x3
st. x1－2x2＋3x3＋4x4≤3 st. －x1＋5x2－3x3 ≥15
x2＋3x3＋4x4≥－5 －5x1－6x2＋10x3 ≤20
5
6 8 7
3 5
1.9. 某昼夜服务的公交线路每天各时间区段内所需司机和乘务人员数如下：
班 次 时 间 所需人数
1 6:00-10:00 60
2 10:00-14:00 70
3 14:00-18:00 60
4 18:00-22:00 50
5 22:00-2:00 20
6 2:00-6:00 30
st. 8x1＋6x2≥24 st. x1＋2x2＋3x3＝15
4x1＋6x2≥－12 2x1＋ x2＋5x3＝20
2x2≥4 x1＋2x2＋ x3＋ x4＝10
x1, x2≥0 xj ≥0 （j＝1,…,4）
运筹学题库第一章
运筹学题库第⼀章1 求解下述线性规划问题≥=-≥++-=0,1524..43min21212121x x x x x x t s x x z2 设某种动物每天⾄少需要700g 蛋⽩质、30g 矿物质、100mg 维⽣素，现有五种饲料可供选择，每种饲料每公⽄营养成分的含量及单价如表所⽰。
3某医院昼夜24h 各时段内需要的护⼠数量如下：2：00—6：00 10⼈，6：00—10：00 15⼈，10：00—14：00 25⼈，14：00—18：00 20⼈，18：00—22：00 18⼈，22：00—2：00 12⼈。
护⼠分别于2：00，6：00，10：00，14：00，18：00，22：00分6批上班，并连续⼯作8⼩时。
试建⽴模型，要求既满⾜值班需要，⼜使护⼠⼈数最少。
4 某⼈有⼀笔30万元的资⾦，在今后三年内有以下投资项⽬：（1）三年内的每年年初均可投资，每年获利为投资额的20%，其本利可以起⽤于下⼀年投资；（2）只允许第⼀年年初投⼊，第⼆年年末可收回，本利合计为投资额的150%，但此类投资限额不超过15万元；（3）于三年内第⼆年初允许投资，可于第三年末收回，本利合计为投资额的160%，这类投资限额20万元。
（4）于三年内的第三年初允许投资，⼀年回收，可获利40%，投资限额为10万元。
试为该⼈确定⼀个使第三年末本利和为最⼤的投资计划。
⽹上下载部分：某航空公司为满⾜客运量⽇益增长的需要，正考虑购置⼀批新的远程、中程、短程的喷⽓式客机。
每架远程的喷⽓式客机价格670万元，每架中程的喷⽓式客机价格500万元，每架短程的喷⽓式客机价格350万元。
该公司现有资⾦15000万元可以⽤于购买飞机。
根据估计年净利润每架远程客机42万元，每架中程客机30万元，每架短程客机23万元。
设该公司现有熟练驾驶员可⽤来配备30架新的飞机。
维修设备⾜以维修新增加40架短程的喷⽓式客机，每架中程客机的维修量相当于4/3架短程客机，每架远程客机的维修量相当于5/3架短程客机。
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第一章线性规划1．1将下述线性规划问题化成标准形式1)min z＝－3x1＋4x2－2x3＋5 x4－x2＋2x3－x4＝－24xst. x1＋x2－x3＋2 x4 ≤14－2x1＋3x2＋x3－x4 ≥2x1，x2，x3≥0，x4无约束2)min z ＝2x1－2x2＋3x3＋x2＋x3＝4－xst. －2x1＋x2－x3≤6x1≤0 ，x2≥0，x3无约束1．2用图解法求解LP问题，并指出问题具有唯一最优解、无穷多最优解、无界解还是无可行解。
1)min z＝2x1＋3x24x1＋6x2≥6st2x1＋2x2≥4x1，x2≥02)max z＝3x1＋2x22x1＋x2≤2st3x1＋4x2≥12x1，x2≥03)max z＝3x1＋5x26x1＋10x2≤120st5≤x1≤103≤x2≤84)max z＝5x1＋6x22x1－x2≥2st－2x1＋3x2≤2x1，x2≥01．3找出下述LP问题所有基解，指出哪些是基可行解，并确定最优解（1）min z＝5x1－2x2＋3x3＋2x4x1＋2x2＋3x3＋4x4＝7st2x1＋2x2＋x3 ＋2x4＝3x1，x2，x3，x4≥01．4 分别用图解法与单纯形法求解下列LP 问题，并对照指出最优解所对应的顶点。
1) maxz ＝10x 1＋5x 23x 1＋4x 2≤9 st 5x 1＋2x 2≤8 x 1，x 2≥02) maxz ＝2x 1＋x 2 3x 1＋5x 2≤15 st 6x 1＋2x 2≤24 x 1，x 2≥01．5 分别用大M 法与两阶段法求解下列LP 问题。
1) minz ＝2x 1＋3x 2＋x 3 x 1＋4x 2＋2x 3≥8 st 3x 1＋2x 2 ≥6 x 1，x 2 ，x 3≥02) max z ＝4x 1＋5x 2＋ x 3. 3x 1＋2x 2＋ x 3≥18 St. 2x 1＋ x 2 ≤4x 1＋ x 2－ x 3＝53) maxz ＝ 5x 1＋3x 2 +6x 3 x 1＋2x 2 －x 3 ≤ 18 st 2x 1＋x 2 －3 x 3 ≤ 16 x 1＋x 2 －x 3＝10 x 1，x 2 ，x 3≥01231231231231234)max 101512539561515.25,,0z x x x x x x x x x st x x x x x x =++++≤⎧⎪-++≤⎪⎨++≥⎪⎪≥⎩1．61.7某班有男生30人，女生20人，周日去植树。
解答-运筹学-第一章-线性规划及其单纯形法习题
项目 X1 X2 X3 X4
X5
X4 6 (b) (c) (d) 1 0
X5 1 -1
3 (e) 0 1
Cj-ZJ
(a) -1 2
00
X1 (f) (g) 2 -1 1/2 0
X5 4 (h) (i) 1 1/2 1
Cj-ZJ
0
-7A (j) (k) (l)
25
首先由于x1、x5为基变量，故g=1, h=0, l = 0
检验数j
14M 4M-2 6M-3 2M-1 -M -M
A
0
0
18
Cj
-2 -3 -1 0 0 -M -M 比
CB XB
b x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 值
-M x6 8 1 4 2 -1 0 1 0 2
-M x7 6 3 2 0 0 -1 0 1 3
检验数j 14M 4M-2 6M-3 2M-1 -M -M 0 0
5 x2 15
s
t
.
6
x1 x1
2 x2 x2
24 5
x 1 , x 2 0
A
10
Cj
10 5 0 0 比
CB XB
b
x1
x2
x3
x4
值
0 x3
9
3
4
1
0 9/3=3
0 x4
8
5
20
1
8/5
检验数j 0 10 5 0 0
0 x3 21/5 0 14/5 1 -3/5 3/2
10 x1 8/5 1 2/5 0 1/5
4
x
2
12
x 1, x 2 0 无可行解
m ax Z x1 x2
运筹学习题集01
12、已知线性规划123123123max 3421022160,1,2,3jz x x x x x x x x x x j =++⎧++≤⎪++≤⎨⎪≥=⎩ 的最优解为*(6,2,0)T X =，试利用互补松弛定理，求对偶问题的最优解。
解：原问题的对偶问题为：1212121212min 1016232241,0w y y y y y y y y y y =++≥⎧⎪+≥⎪⎨+≥⎪⎪≥⎩將*(6,2,0)T X =代入原问题的约束条件，可得：*1*262*210 02*62*216 0y y ⎧+=⇒≥⎪⎨+=⇒≥⎪⎩ （1） 又由***112***212***1120 230 2240 1x y y x y y x y y ⎧>⇒+=⎪>⇒+=⎨⎪=⇒+≥⎩ （2） 将结论（1）和（2）结合起来，可解得**121y y ==。
13、已知线性规划问题12341341234max 25628..222120, 1,2,3,4jz x x x x x x x s t x x x x x j =+++⎧++≤⎪+++≤⎨⎪≥=⎩ 其对偶问题的最优解为*14y =、*21y =，试用对偶理论求解原问题的最优解。
解：原问题的对偶问题为：12122121212min 81222221..526,0w y y y y y s t y y y y y y =++≥⎧⎪≥⎪⎪+≥⎨⎪+≥⎪⎪≥⎩ 将对偶问题的最优解代入约束条件，可得：*1*2*3*42*42*1 2 02*4 1 041 5 042*1 6 0x x x x ⎧+>⇒=⎪>⇒=⎪⎨+=⇒≥⎪⎪+=⇒≥⎩（1）又由****1134*****212340 280 22212y x x x y x x x x ⎧>⇒++⎪⎨>⇒+++⎪⎩ ＝＝（2） 将结论（1）和（2）结合起来，可得：**34**348212x x x x ⎧+⎪⎨+⎪⎩＝＝，解得 *3*444x x ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 即原问题的最优解为*(0,0,4,4)T X =。
运筹学习题答案(第一章)
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第一章习题解答
对下述线性规划问题找出所有基解， 1.3 对下述线性规划问题找出所有基解，指出哪 些是基可行解，并确定最优解。 些是基可行解，并确定最优解。
max Z = 3 x1 + x 2 + 2 x 3 12 x1 + 3 x 2 + 6 x 3 + 3 x 4 = 9 8 x + x − 4 x + 2 x = 10 1 2 3 5 st 3 x1 − x 6 = 0 x j ≥ 0（ j = 1, L , 6） ,
page 6 9 April 2011
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第一章习题解答
(2) min st x 1 Z = 2 x1 − 2 x 2 + 3 x 3 − x1 + x 2 + x 3 = 4 − 2 x1 + x 2 − x 3 ≤ 6 ≤ 0 , x 2 ≥ 0 , x 3 无约束
page 12 9 April 2011
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第一章习题解答
l.5 上题 中，若目标函数变为 上题(1)中 若目标函数变为max Z = cx1 + dx2， 讨论c,d的值如何变化 的值如何变化， 讨论 的值如何变化，使该问题可行域的每个顶点依 次使目标函数达到最优。 次使目标函数达到最优。 得到最终单纯形表如下： 解：得到最终单纯形表如下： Cj→ CB d c 基 x2 x1 σj
page 4 9 April 2011
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运筹学习题答案第一章.ppt
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第一章习题解答
1.1 用图解法求解下列线性规划问题。并指出问 题具有惟一最优解、无穷多最优解、无界解还是无可 行解。
min Z 2x1 3x2
(1)
st
4 .2
x1 x1
6x2 2x2
6 4
x1, x2 0
max Z x1 x2
(3)
st
6 .
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第一章习题解答
max Z 3x1 x2 2x3
12x1 3x2 6x3 3x4 9
(1)
st
8x1 3x1
x2 x6
4x3 0
2 x5
10
x j 0（, j 1,,6）
基可行解
x1
x2
x3
x4
x5
x6
Z
0 3 0 0 3.5 0 3
7 3
x j 0, ( j 1,4)
基可行解
x1
x2
x3
x4
Z
0
0.5
2
0
5
0
0
1
1
5
2/5
0
11/5
0
43/5
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第一章习题解答
1.4 分别用图解法和单纯形法求解下述线性规划
问题，并对照指出单纯形表中的各基可行解对应图解 法中可行域的哪一顶点。
(1)
st
8 3
x1 x1
x2 x6
4x3 0
2 x5
10
x j 0（, j 1,,6）
运筹学第一章习题完整版
-1/2 3 1/6 4 -1/3 -8
0 点（0，0，15，24）
A 点（4，0，3，0）
Zmax=8
10.解 1）要使 A（0，0）成为最优解则需 C ≤ 0 且 d ≤ 0； 2）要使 B（8/5，0）成为最优解则 C ≥ 0 且 d=0 或 C>0 且 d<0 或 C/d ≥ 5/2 且 Cd>0； 3）要使 C（1，3/2）成为最优解则 -5/2 ≤ -C/d ≤ -3/4 且 Cd>0；即 5/2 ≥ C/d ≥ 3/4 且 Cd>0； 4）要使 D（0，9/4）成为最优解则 C<0 且 d>0 或 C=0，d>0
y5=（0，0，-5/2，8，0，0）T
y6=（0，0，3/2，0，8，0）T
y7=（1，0，-1/2，0，0，3）T
y8=（0，0，0，3，5，0）T
y9=（5/4，0，0，-2，0，15/4）T
y10=（0， 3，-7/6，0，0，0）T
y11=（0，0，-5/2，8，0，0）T
y12=（0，0，-5/2，3，5，0）T
x1，x2，x3，x'4，x"4，x'5，x 6 ≥ 0
（2）
max
z'
=
2 x1'
+
2 x2
−
3x
' 3
+
3x"3
+
0x
4
st. x1'
+
x
2
+
x
' 3
−
x"3 = 4
2x1' + x2 − x'3 + x"3 +x 4 = 6
运筹学1至6章习题参考答案
-6
-7
0
0
0
0
* Big M
-2
-6
2
1
0
0
0
X2
-6
1/5
1
-3/5
-1/5
0
1/5
0
3
M
S2
0
31/5
0
32/5
-6/5
1
6/5
0
38
95/16
A3
M
4/5
0
[8/5]
1/5
0
-1/5
1
2
5/4
C(j)-Z(j)
31/5
0
-53/5
-6/5
0
6/5
0
* Big M
-4/5
-1/2
17/2
-7/4
0
0
0
-5/4
X5
0
32
0
15
0
1
11
-1
120
M
X2
1
5
1
5/2
0
0
2
-1/2
10
10
X4
5
8
0
7/2
1
0
3
-1/2
20
M
C(j)-Z(j)
-43
0
-23
0
0
-17
3
因为λ7＝3>0并且ai7<0(i=1,2,3)，故原问题具有无界解，即无最优解。
(3)
【解】
C(j)
3
2
-0.125
0
-3
1
6
0.75
C(j)-Z(j)
运筹学第1章习题
运筹学第1章习题运筹学第1章线性规划与单纯形法习题详解(习题)1.1用图解法求解下列线性规划问题，并指出问题是具有唯一最优解、无穷多最优解、无界解还是无可行解。
（1）max z x1 x25x1+10x2≤50x1+x2≥1x2≤4x1，x2≥0（2）min z=x1+1.5x2x1+3x2≥3x1+x2≥2x1，x2≥0（3）max z=2x1+2x2x1-x2≥-1-0.5x1+x2≤2x1，x2≥0（4）max z=x1+x2x1-x2≥03x1-x2≤-3x1，x2≥01.2将下列线性规划问题变换成标准型，并列出初始单纯形表。
（1）min z=-3x1+4x2-2x3+5x4运筹学4x1-x2+2x3-x4=-2x1+x2+3x3-x4 14-2x1+3x2-x3+2x4 2x1，x2，x3 0，x4无约束（2）max snmzkpkzk aikxiki 1k 1xk 1mik 1(i 1,...,n)xik 0 (i=1。
n; k=1,。
,m)1.3在下面的线性规划问题中找出满足约束条件的所有基解。
指出哪些是基可行解，并代入目标函数，确定最优解。
（1）max z=2x1+3x2+4x3+7x42x1+3x2-x3-4x4=8x1-2x2+6x3-7x4=-3x1,x2,x3,x4 0（2）max z=5x1-2x2+3x3-6x4x1+2x2+3x3+4x4=72x1+x2+x3+2x4=3x1x2x3x4 01.4分别用图解法和单纯形法求解下列线性规划问题，并指出单纯形迭代每一步相当于图形的哪一点。
（1）max z=2x1+x23x1+5x2 15运筹学6x1+2x2 24x1，x2 0（2）max z=2x1+5x2x1 42x2 123x1+2x2 18x1，x2 01.5以1.4题（1）为例，具体说明当目标函数中变量的系数怎样变动时，满足约束条件的可行域的每一个顶点，都可能使得目标函数值达到最优。
运筹学1至6章习题参考答案
运筹学1至6章习题参考答案第1章 线性规划工厂每月生产A 、B 、C 三种产品 ,单件产品的原材料消耗量、设备台时的消耗量、资源限量及单件产品利润如表1－23所示．表1－23310和130.试建立该问题的数学模型,使每月利润最大．【解】设x 1、x 2、x 3分别为产品A 、B 、C 的产量，则数学模型为123123123123123max 1014121.5 1.2425003 1.6 1.21400150250260310120130,,0Z x x x x x x x x x x x x x x x =++++≤⎧⎪++≤⎪⎪≤≤⎪⎨≤≤⎪⎪≤≤⎪≥⎪⎩ 建筑公司需要用5m 长的塑钢材料制作A 、B 两种型号的窗架．两种窗架所需材料规格及数量如表1－24所示：表1－24 窗架所需材料规格及数量【解】 第一步：求下料方案，见下表。
设x j （j =1,2,…，10）为第j 种方案使用原材料的根数，则 （1）用料最少数学模型为10112342567368947910min 28002120026002239000,1,2,,10jj j Z x x x x x x x x x x x x x x x x x x j ==⎧+++≥⎪+++≥⎪⎪+++≥⎨⎪+++≥⎪⎪≥=⎩∑L （2）余料最少数学模型为2345681012342567368947910min 0.50.50.52800212002*********0,1,2,,10j Z x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x j =++++++⎧+++≥⎪+++≥⎪⎪+++≥⎨⎪+++≥⎪⎪≥=⎩L某企业需要制定1～6月份产品A 的生产与销售计划。
已知产品A 每月底交货，市场需求没有限制，由于仓库容量有限，仓库最多库存产品A1000件，1月初仓库库存200件。
1～6月份产品A 的单件成本与售价如表1－25所示。
运筹习题（n）[最新]
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第一章 线性规划习题1. 将下列线性规划问题变换成标准型，并列出初始单纯形表。
1) min Z ＝－3x 1＋4x 2－2x 3＋5x 4s.t.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥+-+-≤-++-=-+-.,0,,22321432244321432143214321无约束x x x x x x x x x x x x x x x x2) max S ＝z x ／p ks.t.⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==≥=-=-=∑∑∑===).,...,2,1;,...,2,1(0),,...,2,1(1,111m k n i x n i x x a z ik mk ik n i mk ik ik k 2. 分别用单纯法中的大M 法和两阶段法求解下述线性规划问题：min Z ＝2x 1＋3x 2＋x 3s.t.⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+≥++.0,,,623,82432121321x x x x x x x x并指出该问题的解属哪一类解。
3. 【表1-6】是某求极大化线性规划问题计算得到单纯形表。
表中无人工变量，a 1, a 2, a 3, d , c 1, c 2为待定常数。
试说明这些常数分别取何值时，以下结论成立。
1) 表中解为唯一最优解；2) 表中解为最优解，但存在无穷多最优解；3) 该线性规划问题具有无界解；4) 表中解非最优，为对解进行改进，换入变量为x 1，换出变量为x 6。
表1-64. 某饲料厂用原料A 、B 、C 加工成三种不同牌号的饲料甲、乙、丙。
已知各种牌号饲料中A 、B 、C 含量，原料成本，各种原料的每月限制用量，三种牌号的饲料的单位加工费及售价如【表1-7】所示。
表1-7问该厂每月应生产这三种牌号饲料各多少千克，使该厂获利最大？试建立这个问题的的线性规划的数学模型。
5. 考虑下列问题⎩⎨⎧≥≥≤-+=0,01.42)(max 212121x x x x tS x x x f 1) 建立此问题的对偶问题，然后以观察法求出其最优解。
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判断题
判断正误，如果错误请更正
第1章线性规划
1.任何线形规划一定有最优解。
2.若线形规划有最优解，则一定有基本最优解。
3.线形规划可行域无界，则具有无界解。
4.在基本可行解中非基变量一定为0。
5.检验数λj表示非基变量Xj增加一个单位时目标函数值的改变量。
6.minZ=6X1+4X2
｜X1-2X｜︳<=10 是一个线形规划模型
X1+X2=100
X1>=0,X2>=0
7.可行解集非空时,则在极点上至少有一点达到最优解.
8.任何线形规划都可以化为下列标准型
Min Z=∑C j X j
∑a ij x j=b1, i=1,2,3……，m
X j>=0,j=1,2,3,……，n:b i>=0,i=1,2,3,……m
9.基本解对应的基是可行基.
10.任何线形规划总可用大M 单纯形法求解.
11.任何线形规划总可用两阶段单纯形法求解。
12.若线形规划存在两个不同的最优解，则必有无穷多个最优解。
13.两阶段中第一阶段问题必有最优解。
14.两阶段法中第一阶段问题最优解中基变量全部非人工变量，则原问题有最优解。
15.人工变量一旦出基就不会再进基。
16.普通单纯形法比值规则失效说明问题无界。
17.最小比值规则是保证从一个可行基得到另一个可行基。
18.将检验数表示为λ=C B B-1A-的形式，则求极大值问题时基本可行解是最优解的充要
条件为λ》=0。
19.若矩阵B为一可行基，则｜B｜≠0。
20.当最优解中存在为0的基变量时，则线形规划具有多重最优解。
选择题
在下列各题中，从4个备选答案中选出一个或从5个备选答案中选出2~5个正确答案。
第1章线性规划
1.线形规划具有无界解是指：A可行解集合无界B有相同的最小比值C存在某个检验
数λk>0且a ik<=0（i=1，2，3，……，m） D 最优表中所有非基变量的检验数非0。
2.线形规划具有多重最优解是指：A 目标函数系数与某约束系数对应成比例B最优表中
存在非基变量的检验数为0 C可行解集合无界D存在基变量等于0
3.使函数Z=-X1+X2-4X3增加的最快的方向是：
A （-1，1，-4）B（-1，-1，-4）C（1，1，4）D（1，-1，-4-）
4.当线形规划的可行解集合非空时一定A包含原点X=（0，0，0……）B有界C 无界
D 是凸集
5.线形规划的退化基本可行解是指A基本可行解中存在为0的基变量B非基变量为C
非基变量的检验数为0 D最小比值为0
6.线形规划无可行解是指A进基列系数非正B有两个相同的最小比值C第一阶段目标
函数值大于0 D用大M法求解时最优解中含有非0的人工变量E可行域无界
7.若线性规划存在可行基，则A一定有最优解B一定有可行解C可能无可行解D可能
具有无界解E全部约束是〈=的形式
8.线性规划可行域的顶点是A可行解B非基本解C基本可行解D最优解E基本解
9.minZ=X1-2X2，-X1+2X2〈=5，2X1+X2〈=8，X1，X2〉=0，则A有惟一最优解B有
多重最优解C有无界解D无可行解E存在最优解
10.线性规划的约束条件为X1+X2+X3=3
2X1+2X2+X4=4
X1，X2，X3，X4〉=0 则基本可行解是A（0，0，4，3）B（0，0，3，4）C（3，4，0，0）D（3，0，0，-2）
计算题
1.1 对于如下的线性规划问题
MinZ= X1+2X2
s.t. X1+ X2≤4
-X1+ X2≥1
X2≤3
X1, X2≥0
的图解如图所示。
三个约束对应的松弛变量分别为
x3、x4、x5，请选择一个正确的答案填在相应括号中。
1、这个问题的可行域为（）；
A、（OCBA）
B、（EFH）
C、（FGB）
D、（BCEF）
2、该问题的最优解为（）；
A、（F）
B、（G）
C、（H）
D、（C）
3、这个问题的基础解为（）；
A、（OABCDEFGH）
B、（ABCDEH）
C、（OABCEFGH）
D、（CEFB）
4、这个问题的基础可行解为（）；
A、（HEF）
B、（BCEF）
C、（FGB）
D、（OABC）
5、A点对应的解中，小于零的变量为（）；
A、（x2）
B、（x4）
C、（x3）
6、F点对应的基变量为（）；
A、（x1 x2 x4）
B、（x2 x3 x4）
C、（x1 x4 x5）
D、（x1 x3 x5）
7、F点对应的非基变量为（）；
A、（x1 x3）
B、（x3 x5）
C、（x2 x3）
D、（x2 x4）
8、从O到C的单纯形叠代，进基变量为（），离基变量为（）；
A、（x1、x2）
B、（x2、x3）
C、（x2、x4）
D、（x2、x5）
解答：1、D 2、D 3、A 4、B 5、B 6、A 7、B 8、C。