中考数学函数重点难点突破解题技巧传播十四(B)

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初中数学函数解题技巧总结

初中数学函数解题技巧总结
引言
初中数学中的函数是一个重要的概念，是解决实际问题和推理推导的重要工具之一。

本文总结了一些初中数学函数解题的技巧，希望能够帮助同学们更好地理解和应用函数。

技巧一：函数图像的认识与应用
要解决函数题，首先需要对函数图像有一个基本的认识。

函数图像的特征包括图像的形状、对称性、增减性等，通过观察和理解这些特征，可以快速推导出函数的性质。

技巧二：函数的性质与变换
函数的性质是解题过程中的关键要素，包括函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等。

对于给定的函数，要充分利用这些性质来进行推导和计算，从而得出正确的答案。

技巧三：利用函数关系解决实际问题
函数与实际问题的关系紧密，可以通过函数来解决一系列实际问题。

例如，通过建立变量之间的函数关系，可以求解两个未知数之间的关系，或者给定某些条件，可以求解函数取值的范围等。

技巧四：运用代数方法解题
解决函数题时，运用代数方法是常见且有效的途径。

通过列方程、消元、因式分解等代数方法，可以将函数问题转化为代数问题进行求解，从而得到准确的答案。

技巧五：实例分析与经验总结
要提高解题能力，不仅要理解函数的概念和性质，还需要进行实例分析和经验总结。

通过多做题目和总结经验，可以掌握更多的解题技巧，并提高解题的速度和准确性。

结论
初中数学函数解题技巧的总结包括对函数图像的认识与应用、函数的性质与变换、利用函数关系解决实际问题、运用代数方法解题以及实例分析与经验总结。

掌握这些技巧，同学们将能够更好地理解和应用函数，提高数学解题的能力。

希望本文能对同学们的学习有所帮助。

中考数学函数重点难点突破解题技巧传播十一(B)

2019-2020年中考数学函数重点难点突破解题技巧传播十一（B）1、下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )2、下列说法正确的是（）A、在一个只装有白球和红球的袋中摸球，摸出红球是必然事件B、了解湖南卫视《爸爸去哪儿》的收视率情况适合用抽样调查C、今年1月份某周，我市每天的最高气温（单位：℃）分别是10，9，10，6，11，12，13，则这组数据的极差是5℃D、若甲组数据的方差，乙组数据的方差，那么甲组数据比乙组数据稳定3、已知圆的内接正六边形的周长为36，那么圆的半径为（）A．6 B．4 C．3 D．24、如果关于x的一元二次方程kx2﹣x+1=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（）A．k＜B．k＜且k≠0C．﹣≤k＜D．﹣≤k＜且k≠05．如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型，若圆的半径为r，扇形的圆心角等于120°，则围成的圆锥模型的高为（）A．r B．2 2 r C．10 r D．3r6．从长度分别为3、5、7、9的4条线段中任取3条作边，能组成三角形的概率为（） A．B．C．D．7、如图，为☉o的直径，、为☉o上两点，，则的度数为（）A、 B、 C、 D、8.如图，在⊙中，弦=12，，垂足为，如果，那么半径R的长是（）A ．6 B. 8 C. 10 D. 12 9、将抛物线向上平移2个单位后所得的抛物线解析式为（）A 、B 、C 、D 、10、如图，将△ABC 绕点A 逆时针旋转一定角度，得到△ADE，若且AD⊥BC，的度数为（）A 、600B 、750C 、850D 、9011、有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，那么每轮传染中，平均一个人传染的人数为（）A 、8人B 、9人C 、10人D 、11人12．如图，直线l 1∥l 2，⊙O 与l 1和l 2分别相切于点A 和点B ．点M 和点N 分别是l 1和l 2上的动点，MN 沿l 1和l 2平移．⊙O 的半径为1，∠1＝60°．下列结论错误．．的是（）． A ． B ．若MN 与⊙O 相切，则C ．l 1和l 2的距离为2D ．若MN 与⊙O 相切,则∠MON ＝60°，二、填空题（每小题4分，共24分）13、若点P 的坐标为(x ＋1，y －1)，其关于原点对称的点P ′的坐标为(－3，－5)，则(x ，y )为______．14．已知关于x 的方程的一个根是1，则k =15、“明天下雨的概率为0.99”是事件.16．已知函数y=a+b+c(a ≠0)与X 轴交于A （2，0）和B （-1,0）与y 轴交于点C （0,3）.则方程a+b+c=0的解为_________17．如图，在⊙O 的内接四边形ABCD 中，∠BCD ＝130°，则∠BOD 的度数是18.如图，在中，AB =10，AC =8，BC =6，经过点C 且与边AB 相切的动圆与CA ，CB 分别相交于点P ，Q ，则线段PQ 长度的最小值是三．解答题（第19题12分，第20题8分，共20分） 19、解方程：(1)2x 2﹣4x ﹣1=0 (2)20．如图，在直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝10，将△ABC 绕点B 沿顺时针方向旋转90°得到△A 1BC 1. (1)线段A 1C 1的长度是________，∠CBA 1的度数是________；(2)连接CC 1，求证：四边形CBA 1C 1是平行四边形．四，解答题（第21、22、23题各8分；24题10分；共34分） 21．（8分）如图，AB 为⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，D 在AB 的延长线上，且∠DCB=∠A．（1）CD 与⊙O 相切吗？如果相切，请你加以证明，如果不相切，请说明理由．（2）若CD 与⊙O 相切，且∠D=30°，BD=10，求⊙O 的半径．Q P C BA E D CB A (第10题) （第17题）l 12 M N O 第12题 1 第18题 B A C O第20题第21题第23题22,（8分）已知关于X的方程+（m+2)+2m-1=0 (1)求证：方程有两个不相等的实数根；（2）当m为何值时，方程的两根互为相反数？并求此方程的解23. （本题8分）如图，AB为量角器（半圆O）的直径，等腰直角△BCD的斜边BD交量角器边缘于点G，直角边CD切量角器于读数为60°的点E处（即弧AE所对的圆心角为60°），第三边交量角器边缘于点F处．（1）求量角器在点G处的读数α（0°＜α＜90°）；（2）若AB=10cm，求阴影部分面积．24.（本题10分）“不览夜景，未到重庆。

2024年中考数学压轴题重难点知识剖析及训练—求函数的取值范围

2024年中考数学压轴题重难点知识剖析及训练—求函数的取值范围通用的解题思路：第一步:先判定函数的增减性：一次函数、反比例函数看k ，二次函数看对称轴与区间的位置关系；第二步：当a x =时，min y y =；当b x =时，max y y =；所以max min y y y ≤≤.二次函数求取值范围之动轴定区间或者定轴动区间的分类方法：分对称轴在区间的左边、右边、中间三种情况。

（1）若自变量x 的取值范围为全体实数，如图①，函数在顶点处abx 2-=时，取到最值.（2）若abn x m 2-<≤≤，如图②，当m x =时，max y y =；当n x =时，min y y =.（3）若n x m ab≤≤<-2，如图③，当m x =，min y y =；当n x =，max y y =.（4）若n x m ≤≤，且n a b m ≤-≤2，m a b a b n -->+22，如图④，当a bx 2-=，min y y =；当n x =，max y y =.1.（中考真题）设a 、b 是任意两个不等实数,我们规定：满足不等式a ⩽x ⩽b 的实数x 的所有取值的全体叫做闭区间,表示为[a,b].对于一个函数,如果它的自变量x 与函数值y 满足：当m ⩽x ⩽n 时,有m ⩽y ⩽n,我们就称此函数是闭区间[m,n]上的“闭函数”。

(1)反比例函数xy 2013=是闭区间[1,2013]上的“闭函数”吗?请判断并说明理由；(2)若一次函数y=kx+b(k≠0)是闭区间[m,n]上的“闭函数”，求此函数的解析式；(3)若二次函数5754512--=x x y 是闭区间[a,b]上的“闭函数”，求实数a ，b 的值。

【解答】解：（1）反比例函数y＝是闭区间[1，2013]上的“闭函数”．理由如下：反比例函数y＝在第一象限，y随x的增大而减小，当x＝1时，y＝2013；当x＝2013时，y＝1，所以，当1≤x≤2013时，有1≤y≤2013，符合闭函数的定义，故反比例函数y＝是闭区间[1，2013]上的“闭函数”；（2）分两种情况：k＞0或k＜0．①当k＞0时，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象是y随x的增大而增大，故根据“闭函数”的定义知，，解得．∴此函数的解析式是y＝x；②当k＜0时，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象是y随x的增大而减小，故根据“闭函数”的定义知，，解得．∴此函数的解析式是y＝﹣x+m+n；（3）∵y＝x2﹣x﹣＝（x﹣2）2﹣，∴该二次函数的图象开口方向向上，最小值是﹣，且当x＜2时，y随x的增大而减小；当x＞2时，y随x的增大而增大；①当b≤2时，此二次函数y随x的增大而减小，则根据“闭函数”的定义知，，解得，（不合题意，舍去）或；②当a＜2＜b时，此时二次函数y＝x2﹣x﹣的最小值是﹣＝a，根据“闭函数”的定义知，b＝a2﹣a﹣或b＝b2﹣b﹣；a）当b＝a2﹣a﹣时，由于b＝（﹣）2﹣×（﹣）﹣＝＜2，不合题意，舍去；b）当b＝b2﹣b﹣时，解得b＝，由于b＞2，所以b＝；③当a≥2时，此二次函数y随x的增大而增大，则根据“闭函数”的定义知，，解得，，∵＜0，∴舍去．综上所述，或．2．（中考真题）若关于x 的函数y ，当1122t x t -≤≤+时，函数y 的最大值为M ，最小值为N ，令函数2M N h -=，我们不妨把函数h 称之为函数y 的“共同体函数”．(1)①若函数4044y x =，当1t =时，求函数y 的“共同体函数”h 的值；②若函数y kx b =+（0k ≠，k ，b 为常数），求函数y 的“共同体函数”h 的解析式；(2)若函数21y x x=≥（），求函数y 的“共同体函数”h 的最大值；(3)若函数24y x x k =-++，是否存在实数k ，使得函数y 的最大值等于函数y 的“共同体函数”h 的最小值．若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．解析：（1）解：①当1t =时，则111122x -≤≤+，即1322x ≤≤， 4044y x =，4044k =0>，y 随x 的增大而增大，314044404422202222M N h ⨯-⨯-∴===，②若函数y kx b =+，当0k >时，1122t x t -≤≤+，∴11,22M k t b N k t b ⎛⎫⎛⎫=++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22M N k h -∴==，当0k <时，则11,22M k t b N k t b ⎛⎫⎛⎫=-+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22M N k h -∴==-，综上所述，0k >时，2k h =，0k <时，2kh =-，（2）解：对于函数()21y x x=≥， 20>，1x ≥，函数在第一象限内，y 随x 的增大而减小，112t ∴-≥，解得32t ≥，当1122t x t -≤≤+时，∴2424,11212122M N t t t t ====-+-+，()()()()()()2221221144442221212121212141t t M N h t t t t t t t +---⎛⎫∴==-=== ⎪-+-+-+-⎝⎭，∵当32t ≥时，241t -随t 的增大而增大，∴当32t =时，241t -取得最小值，此时h 取得最大值，最大值为()()4412121242h t t ===-+⨯；（3）对于函数24y x x k =-++()224x k =--++，10a =-<，抛物线开口向下，2x <时，y 随x 的增大而增大，2x >时，y 随x 的增大而减小，当2x =时，函数y 的最大值等于4k +，在1122t x t -≤≤+时，①当122t +<时，即3t 2<时，211422N t t k ⎛⎫⎛⎫=--+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，211422M t t k ⎛⎫⎛⎫=-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴h =2M N -=22111114422222t t k t t k ⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++++---+-+⎢⎥⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭=2t -，∴h 的最小值为12（当32t =时），若124k =+，解得72k =-，但32t <，故72k =-不合题意，故舍去；②当122t ->时，即5t 2>时，211422M t t k ⎛⎫⎛⎫=--+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，211422N t t k ⎛⎫⎛⎫=-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴h =2M N -=2t -，∴h 的最小值为12（当52t =时），若124k =+，解得72k =-，但52t >，故72k =-不合题意，故舍去③当11222t t -≤≤+时，即3522t ≤≤时，4M k =+，i )当112222t t ⎛⎫⎛⎫--≥+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，即322t ≤≤时，211422N t t k⎛⎫⎛⎫=--+-+ ⎪ ⎝⎭⎝⎭22114415252222228k t t k M N h t t ⎛⎫⎛⎫++---- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭===-+ 对称轴为52t =，102>，抛物线开口向上，在322t ≤≤上，当t =2时，h 有最小值18，148k ∴=+，解得318k =-；i i )当112222t t ⎛⎫⎛⎫--≤+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，即522t ≤≤时，4M k =+，N =211422t t k ⎛⎫⎛⎫-++++ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，∴2211441392222228k t t kM N h t t ⎛⎫⎛⎫+++-+- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭===-+，对称轴为32t =，102>，抛物线开口向上，在522t <≤上，当t =2时，h 有最小值18，148k ∴=+解得318k =-，综上所述，2t =时，存在318k =-．3．（中考真题）我们不妨约定：若某函数图像上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称之为“H 函数”，其图像上关于原点对称的两点叫做一对“H 点”，根据该约定，完成下列各题（1）在下列关于x 的函数中，是“H 函数”的，请在相应题目后面的括号中打“√”，不是“H 函数”的打“×”①2y x =（）②my (m 0)x=≠（）③31y x =-（）（2）若点()1,A m 与点(),4B n -关于x 的“H 函数”()20y ax bx c a =++≠的一对“H 点”，且该函数的对称轴始终位于直线2x =的右侧，求,,a b c 的值或取值范围；（3）若关于x 的“H 函数”223y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数）同时满足下列两个条件：①0a b c ++=，②(2)(23)0c b a c b a +-++<，求该H 函数截x 轴得到的线段长度的取值范围．【详解】（1）①2y x =是“H 函数”②my (m 0)x=≠是“H 函数”③31y x =-不是“H 函数”；故答案为：√；√；×；（2）∵A,B 是“H 点”∴A,B 关于原点对称，∴m=4,n=1∴A(1,4），B （-1，-4）代入()20y ax bx c a =++≠，得44a b c a b c ++=⎧⎨-+=-⎩，解得40b ac =⎧⎨+=⎩，又∵该函数的对称轴始终位于直线2x =的右侧，∴-2b a ＞2，∴-42a ＞2，∴-1＜a ＜0，∵a+c=0，∴0＜c ＜1，综上，-1＜a ＜0，b=4，0＜c ＜1；（3）∵223y ax bx c =++是“H 函数”，∴设H 点为（p,q ）和（-p,-q ）,代入得222323ap bp c qap bp c q⎧++=⎨-+=-⎩，解得ap 2+3c=0,2bp=q ，∵p 2＞0，∴a,c 异号，∴ac ＜0，∵a+b+c=0，∴b=-a-c ，∵(2)(23)0c b a c b a +-++<，∴(2)(23)0c a c a c a c a -----+<，∴(2)(2)0c a c a -+<，∴c 2＜4a 2，∴22c a＜4，∴-2＜c a ＜2，∴-2＜c a ＜0，设t=c a ，则-2＜t ＜0，设函数与x 轴的交点为（x 1,0）（x 2,0），∴x 1,x 2是方程223ax bx c ++=0的两根，∴12x x -=，又∵-2＜t ＜0，∴2＜12x x -＜4.（2022春•芙蓉区校级期末）在y 关于x 的函数中，对于实数a ，b ，当a ≤x ≤b 且b ＝a +3时，函数y 有最大值y max ，最小值y min ，设h ＝y max ﹣y min ，则称h 为y 的“极差函数”（此函数为h 关于a 的函数）；特别的，当h ＝y max ﹣y min 为一个常数（与a 无关）时，称y 有“极差常函数”．（1）判断下列函数是否有“极差常函数”？如果是，请在对应（）内画“√”，如果不是，请在对应（）内画“×”．①y ＝2x （）；②y ＝﹣2x +2（）；③y ＝x 2（）．（2）y 关于x 的一次函数y ＝px +q ，它与两坐标轴围成的面积为1，且它有“极差常函数”h ＝3，求一次函数解析式；（3）若，当a ≤x ≤b （b ＝a +3）时，写出函数y ＝ax 2﹣bx +4的“极差函数”h ；并求4ah 的取值范围．【解答】解：（1）①∵y ＝2x 是一次函数，且y 随x 值的增大而增大，∴h ＝2（a +3）﹣2a ＝6，∴y ＝2x 是“极差常函数”，故答案为：√；②∵y ＝﹣2x +2是一次函数，且y 随x 值的增大而减小，∴h ＝﹣2a +2﹣[﹣2（a +3）+2]＝6，∴y ＝﹣2x +2是“极差常函数”，故答案为：√；∵y ＝x 2是二次函数，函数的对称轴为直线x ＝0，当a +3≤0时，h ＝a 2﹣（a +3）2＝﹣9﹣6a ；当a ≥0时，h ＝（a +3）2﹣a 2＝9+6a ；∴y ＝x 2不是“极差常函数”，故答案为：×；（2）当x ＝0时，y ＝q ，∴函数与y 轴的交点为（0，q ），当y ＝0时，x ＝﹣，∴函数与x 轴的交点为（﹣，0），∴S ＝×|q |×|﹣|＝1，∴＝2，当p ＞0时，h ＝p （a +3）+q ﹣（pa +q ）＝3，∴p ＝1，∴q ＝±，∴函数的解析式为y ＝x ；当p ＜0时，h ＝pa +q ﹣[p （a +3）+q ]＝3，∴p ＝﹣1，∴q ＝±，∴函数的解析式为y ＝﹣x；综上所述：函数的解析式为y ＝x 或y ＝﹣x；（3）y ＝ax 2﹣bx +4＝a （x ﹣）2+4﹣，∴函数的对称轴为直线x ＝，∵b ＝a +3，∴x ＝＝+，∵，∴≤+≤，≤a +3≤，∵（a +3﹣﹣）﹣（+﹣a ）＝2a +2﹣，∵，∴2a +2﹣＞0，∴a +3到对称轴的距离，大于a 到对称轴的距离，∴当x ＝a +3时，y 有最大值a （a +3）2﹣（a +3）2+4，当x ＝时，y 有最小值4﹣＝4﹣，∴h ＝a （a +3）2﹣（a +3）2+4﹣4+＝（a +3）2（a ﹣1+），∴4ah ＝（2a 2+5a ﹣3）2，∵2a 2+5a ﹣3＝2（a +）2﹣，，∴≤2a 2+5a ﹣3≤9，∴≤4ah ≤81．5.（雅实）若函数1y 、2y 满足12y y y =+，则称函数y 是1y 、2y 的“融合函数”.例如，一次函数121y x =+和二次函数2234y x x =+-，则1y 、2y 的“融合函数”为21253y y y x x =+=+-.（1）若反比例函数12y x=和一次函数23y kx =-，它们的“融合函数”过点()1,5，求k 的值；（2）若21y ax bx c =++为二次函数，且5a b c ++=，在x t =时取得最值，函数2y 为一次函数，且1y 、2y 的“融合函数”为224y x x =+-，当12x -≤≤时，求函数1y 的最小值（用含t 的式子表示）；（3）若二次函数21y ax bx c =++与一次函数2y ax b =--，其中0a b c ++=且a b c >>，若它们的“融合函数”与x 轴交点为()1,0A x 、()2,0B x 12x -的取值范围.【解答】解：(1)由题意可得y 1、y 2的融合函数23y kx x=+-，将点()1,5代入，可得：523k =+-，解得6k =.(2)∵12y y y =+，∴()()2222124214y y y x x ax bx c a x b x c =-=+----=-+---，∵y 2为一次函数，∴20a -=，即2a =，∴212y x bx c =++在x =t 处取得最值，∴4bt =-，即4b t =-，∴5a b c ++=，即54234c t t =+-=+，∴212434y x tx t =-++，对称轴：x t =.①若1t ≤-时，即当1x =-时，min 58y t =+，②若12t -<<时，即当x t =时，2min 234y t t =-++，③若2t ≥时，即当2x =时，min 114y t =-.(3)y 1、y 2的融合函数()2y ax b a x c b =+-+-，∵与y 轴交于点()1,0A x 、()2,0B x ，∴12b a x x a -+=，12c b x x a -⋅=，∵12||x x a -==，又∵0a b c ++=，∴b a c =--，∴12x x ==，∵a b c >>∴a a c c >--<，∴122c a -<<-，当2ca=-时，12maxx x -=，当12c a =-时，12min32x x -=12x <-<.6．（立信）已知：抛物线1C ：2y ax bx c =++（0a >）．（1）若顶点坐标为(1,1)，求b 和c 的值（用含a 的代数式表示）；（2）当0c <时，求函数220221y ax bx c =-++-的最大值；（3）若不论m 为任何实数，直线()214m y m x =--与抛物线1C 有且只有一个公共点，求a ，b ，c 的值；此时，若1k x k ≤≤+时，抛物线1C 的最小值为k ，求k 的值．【解答】解：（1）∵抛物线的顶点坐标为（1，1），∴y ＝a （x ﹣1）2+1＝ax 2﹣2ax +a +1，∴b ＝﹣2a ，c ＝a +1；（2）∵y ＝ax 2+bx +c ，a ＞0，c ＜0，∴Δ＝b 2﹣4ac ＞0，∴抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ＞0）与x 轴有两个交点，∴|ax2+bx+c|≥0，∴﹣2022|ax2+bx+c|≤0，∴﹣2022|ax2+bx+c|﹣1≤﹣1，∴函数y＝﹣2022|ax2+bx+c|﹣1的最大值为﹣1；（3）∵直线与抛物线C1有且只有一个公共点，∴方程组只有一组解，∴ax2+（b﹣m）x++m+c＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝0，∴（b﹣m）2﹣4a（+m+c）＝0，整理得：（1﹣a）m2﹣2（2a+b）m+b2﹣4ac＝0，∵不论m为任何实数，（1﹣a）m2﹣2（2a+b）m+b2﹣4ac ＝0恒成立，∴，∴a＝1，b＝﹣2，c＝1．此时，抛物线解析式为y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，开口向上，∵当k≤x≤k+1时，抛物线的最小值为k，∴分三种情况：k＜0或0≤k≤1或k＞1，①当k＜0时，k+1＜1，当k≤x≤k+1时，y随着x的增大而减小，则当x＝k+1时，y的最小值为k，∴（k+1﹣1）2＝k，解得：k＝0或1，均不符合题意，舍去；②当0≤k≤1时，当x＝1时，抛物线的最小值为0，∴k＝0；③当k＞1时，y随着x的增大而增大，则当x＝k时，y的最小值为k，∴（k﹣1）2＝k，解得：k＝或，∵k＞1，∴k＝，综上所述，若k≤x≤k+1时，抛物线的最小值为k，k的值为0或．7．（长郡）对于一个函数给出如下定义：对于函数y，若当a≤x≤b，函数值y满足m≤y≤n，且满足n﹣m＝k （b﹣a），则称此函数为“k属和合函数”，例如：正比例函数y＝﹣3x，当1≤x≤3时，﹣9≤y≤﹣3，则﹣3﹣（﹣9）＝k（3﹣1），求得：k＝3，所以函数y＝﹣3x为“3属和合函数”．（1）若一次函数y＝kx﹣1（1≤x≤3）为“4属和合函数”，求k的值；（2）反比例函数kyx（k＞0，a≤x≤b，且0＜a＜b）是“k属和合函数”，且a+b＝3，请求出a﹣b的值；（3）已知二次函数y＝﹣x2+2ax+3，当﹣1≤x≤1时，y是“k属和合函数”，求k的取值范围．【详解】解：（1）当k ＞0时，y 随x 的增大而增大，∵1≤x ≤3，∴k ﹣1≤y ≤3k ﹣1，∵函数y ＝kx ﹣1（1≤x ≤3）为“k 属和合函数”，∴（3k ﹣1）﹣（k ﹣1）＝4（3﹣1），∴k ＝4；当k ＜0时，y 随x 的增大而减小，∴3k ﹣1≤y ≤k ﹣1，∴（k ﹣1）﹣（3k ﹣1）＝4（3﹣1），∴k ＝﹣4，综上所述，k 的值为4或﹣4；（2）∵反比例函数y ＝kx，k ＞0，∴在第一象限，y 随x 的增大而减小，当a ≤x ≤b 且0＜a ＜b 是“k 属和合函数”，∴k a ﹣kb＝k （b ﹣a ），∴ab ＝1，∵a +b ＝3，∴（a ﹣b ）2＝（a +b ）2﹣4ab ＝9﹣4＝5，∴a ﹣b （3）∵二次函数y ＝﹣x 2+2ax +3的对称轴为直线x ＝a ，∵当﹣1≤x ≤1时，y 是“k 属和合函数”，∴当x ＝﹣1时，y ＝2﹣2a ，当x ＝1时，y ＝2+2a ，当x ＝a 时，y ＝a 2+3，①如图1，当a ≤﹣1时，当x ＝﹣1时，有y 最大值＝2﹣2a ，当x ＝1时，有y 最小值＝2+2a ∴（2﹣2a ）﹣（2+2a ）＝k •[1﹣（﹣1）]＝2k ，∴k ＝﹣2a ，而a ≤﹣1，∴k ≥2；②如图2，当﹣1＜a ≤0时，当x ＝a 时，有y 最大值＝a 2+3，当x ＝1时，有y 最小值＝2+2a ，∴a 2+3﹣（2+2a ）＝2k ，∴k ＝2(1)2a -，∴12≤k ＜2；③如图3，当0＜a ≤1时，当x ＝a 时，有y 最大值＝a 2+3，当x ＝﹣1时，有y 最小值＝2﹣2a ，∴a 2+3﹣（2﹣2a ）＝2k ，∴k ＝2(1)2a +，∴12＜k ≤2；④如图4，当a ＞1时，当x ＝1时，有y 最大值＝2+2a ，当x ＝﹣1时，有y 最小值＝2﹣2a ，∴（2+2a ）﹣（2﹣2a ）＝2k ，∴k ＝2a ，∴k ＞2．综上所述，当﹣1≤x ≤1时，y 是“k 属和合函数”，k 的取值范围为k ≥12．8．（师大附中博才）已知a 、b 是两个不相等的实数且a b <，我们规定：满足不等式a x b ≤≤的实数x 的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[],.a b 对于一个函数，如果它的自变量x 与函数值y 满足：当a x b ≤≤时，有(ta y tb t ≤≤为正数)，我们就称此函数是闭区间[],a b 上的“t 倍函数”．例如：正比例函数2y x =，当13x ≤≤时，26y ≤≤，则2y x =是13x ≤≤上的“2倍函数”．(1)已知反比例函数4yx=是闭区间[],m n 上的“2倍函数”，且m n +=22m n +的值；(2)①已知正比例函数y x =是闭区间[]1,2023上的“t 倍函数”，求t ；②一次函数()0y kx b k =+≠是闭区间[],m n 上的“2倍函数”，求此函数的解析式．(3)若二次函数269y x x =--是闭区间[],a b 上的“7倍函数”，求实数a 、b 的值．【详解】（1）已知反比例函数4y x=是闭区间[],m n 上的“2倍函数”，∴当m x n ≤≤时，22m y n ≤≤，当x m =时，4y m =；当x n =时，4y n=，又40k => ，∴当0x >时，y 随x 的增大而减小，当0x <时，y随x 的增大而减小，42n m ∴=，且42m n=，24mn ∴=，又m n += ，()22222023m n m mn n ∴+=++=，2220232202342019m n mn ∴+=-=-=．（2）①已知正比例函数y x =，y 随x 的增大而增大，且当1x =时，1y =；当2023x =时，2023y =，∴当12023x ≤≤时，12023y ≤≤，y x ∴=是闭区间[]1,2023上的“1倍函数”，即1t =．② 一次函数0y kx b k =+≠（）是闭区间[],m n 上的“2倍函数”，∴当m x n ≤≤时，22m y n ≤≤，若0k >时，y 随x 的增大而增大，∴当x m =，则2y km b m =+=；当x n =，则2y kn b n =+=，()()2m n k m n ∴-=-，2k ∴=，将2k =代入2km b m +=，得22m b m +=，0b ∴=．∴若0k >时，函数解析式为2y x =．若0k <时，y 随x 的增大而减小，∴当x m =时，2y km b n =+=；当x n =时，2y kn b m =+=，2k ∴=-，22b m n =+．∴若0k <时，函数解析式为()22y x m n =-++，综合以上分析，函数的解析式为2y x =或()22y x m n =-++．（3）由二次函数269y x x =--解析式可知，抛物线开口向上，对称轴3x =，∴当3x <时，y 随x 的增大而减小；当3x >时，y 随x 的增大而增大，二次函数269y x x =--是闭区间[],a b 上的“7倍函数”，∴当a x b ≤≤时，()770a y b a ≤≤≠，若3b ≤时，根据增减性，当x a =时，2697y a a b =--=；当x b =时，2697y b b a =--=，两式相减得：226677a b a b b a --+=-，()()a b a b b a ∴+-=-，1b a ∴=--，将1b a =--代入2697a a b --=得：220a a +-=，2a ∴=-或1a =，当2a =-时，1b =；当1a =时，2b =-（舍去，a b <）．若3a ≥时，当x a =时，2697y a a a =--=，解得a =a =x b =时，2697y b b b =--=．解得132b =或b =均不符合a b <，舍去．若3a <，3b >时，当3x =时，236397y a =-⨯-=，187a ∴=-，则x a =时，26396949y a a =--=，若639749b =，6393343b =<，（舍去），当x b =时，2697y b b b =--=，则b =b =综上分析，2a =-，1b =或者187a =-，b =9．（长郡）定义：在平面直角坐标系中，点P （x ，y ）的横、纵坐标的绝对值的和叫做点P （x ，y ）的勾股值，记为[]P x y =+．(1)已知点A （1，3），B （2-，4），C 22），直接写出[]A，[]B ，[]C 的值；(2)已知点D 是直线2y x =+上一点，且[]4D =，求点D 的坐标；(3)若抛物线21y ax bx =++与直线y x =只有一个交点M ，已知点M 在第一象限，且[]24M ≤≤．令2242022t b a =-+，试求t 的取值范围．【详解】（1）解：∵A （1，3），B （−2，4），C ），∴[A ]=|1|+|3|=4，[B ]=|-2|+|4|=6，[C ；（2）设D (m ，n )，∵D 是直线y ＝x +2上一点，且[D ]＝4，∴42m n n m ⎧+⎨+⎩＝＝，解得13m n =⎧⎨=⎩或31m n =-⎧⎨=-⎩，∴点D 的坐标（1，3）或（-3，-1）；（3）由题意方程组21y x y ax bx =⎧⎨=++⎩只有一组实数解，消去y 得2(1)10ax b x +-+=，由题意224(1)40b ac b a -=--=，∴24(1)a b =-，∴方程可以化为()()2214140b x b x -+-+=，∴1221x x b ==-，∴22,11M b b ⎛⎫ ⎪--⎝⎭，∵[]24M ≤≤，∴2121b ≤≤-或2211b -≤≤--，解得10b -≤≤或23b ≤≤，∵点M 在第一象限，∴10b -≤≤，∵22222420222(1)202222021t b a b b b b =-+=--+=++=2(1)2020b ++，∵10b -≤≤，∴20202021t ≤≤．10．（雅礼）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（a，b）和点Q（a，b′），给出如下定义：若b′=11b ab a≥⎧⎨-⎩，，＜，则称点Q为点P的限变点．例如：点（2，3）的限变点的坐标是（2，3），点（-2，5）的限变点的坐标是（-2，-5）．（1）①点1)的限变点的坐标是；②在点A（-2，-1），B（-1，2）中有一个点是函数y＝2x图象上某一个点的限变点，这个点是；（填“A”或“B”）（2）若点P在函数y=-x+3（-2≤x≤k，k＞-2）的图象上，其限变点Q的纵坐标b′的取值范围是-5≤b′≤2，求k的取值范围；（3）若点P在关于x的二次函数y=x2-2tx+t2+t的图象上，其限变点Q的纵坐标b′的取值范围是b′≥m或b′＜n，其中m＞n．令s=m-n，求s关于t的函数解析式及s的取值范围．【详解】（1）①根据限变点的定义可知点1)1）；②（-1，-2）限变点为（-1，2），即这个点是点B．（2）依题意，y=-x+3（x≥-2）图象上的点P的限变点必在函数y=31321x xx x-+≥⎧⎨--≤⎩，，＜的图象上．∴b′≤2，即当x=1时，b′取最大值2．当b′=-2时，-2=-x+3．∴x=5．当b′=-5时，-5=x-3或-5=-x+3．∴x=-2或x=8．∵-5≤b′≤2，由图象可知，k的取值范围是5≤k≤8．（3）∵y=x2-2tx+t2+t=（x-t）2+t，∴顶点坐标为（t，t）．若t＜1，b′的取值范围是b′≥m或b′＜n，与题意不符．若t≥1，当x≥1时，y的最小值为t，即m=t；当x＜1时，y的值小于-[（1-t）2+t]，即n=-[（1-t）2+t]．∴s=m-n=t+（1-t）2+t=t2+1．∴s关于t的函数解析式为s=t2+1（t≥1），当t=1时，s取最小值2，∴s的取值范围是s≥2．。

初中数学函数的解题技巧归纳

初中数学函数的解题技巧归纳函数无论是在初中阶段还是高中阶段,都既是重点又是难点.学生在学习函数部分的知识时,往往是上课的时候能听懂,但是自己做题正确率却很低。

下面是小编为大家整理的关于初中数学函数的解题技巧，希望对您有所帮助!初中函数解题技巧1配方法通过把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式解决数学问题的方法，叫配方法。

配方法用的最多的是配成完全平方式，它是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。

2因式分解法因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式，是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。

因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。

3换元法换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。

通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。

4判别式法与韦达定理一元二次方程ax2bxc=0(a、b、c属于R，a≠0)根的判别，△=b2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。

韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根;已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用。

5待定系数法在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。

中考数学函数知识点精讲,中考函数知识点都在这里了.doc

中考数学函数知识点精讲，中考函数知识点都在这里了考点三、函数及其相关概念（3~8分）1、变量与常量在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。

一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说x 是自变量，y是x的函数。

2、函数解析式用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。

使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。

3、函数的三种表示法及其优缺点（1）解析法两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。

（2）列表法把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。

（3）图像法用图像表示函数关系的方法叫做图像法。

4、由函数解析式画其图像的一般步骤（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。

考点四、正比例函数和一次函数（3~10分）1、正比例函数和一次函数的概念限制条件不唯一，满足多个不等式。

求定义域要过关，四项原则须注意。

负数不能开平方，分母为零无意义。

分数指数底正数，数零没有零次幂。

限制条件不唯一，不等式组求解集。

1. 解一元一次不等式：先去分母再括号，移项合并同类项。

系数化“1”有讲究，同乘除负要变向。

先去分母再括号，移项别忘要变号。

同类各项去合并，系数化“1”注意了。

同乘除正无防碍，同乘除负也变号。

2. 解一元一次不等式组：大于头来小于尾，大小不一中间找。

大大小小没有解，四种情况全来了。

同向取两边，异向取中间。

中间无元素，无解便出现。

幼儿园小鬼当家，(同小相对取较小) 敬老院以老为荣，(同大就要取较大) 军营里没老没少。

(大小小大就是它) 大大小小解集空。

(小小大大哪有哇) 3. 解一元二次不等式：首先化成一般式，构造函数第二站。

函数重点难点突破

函数中恒成立,存在性问题主干知识整合1．在代数综合问题中常遇到恒成立问题．恒成立问题涉及常见函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法,恒成立问题的解题的基本思路是：根据已知条件将恒成立问题向基本类型转化,正确选用函数法、最小值法、数形结合法等解题方法求解．2．恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型：1x∈D,fx>C；2x∈D,fx>gx；3x1,x2∈D,|fx1－fx2|≤C；4x1,x2∈D,|fx1－fx2|≤a|x1－x2|.3．不等式恒成立问题的处理方法1转换求函数的最值①若不等式A<fx在区间D上恒成立,则等价于在区间D上A<fx min fx的下界大于A.②若不等式B>fx在区间D上恒成立,则等价于在区间D上B>fx max fx的上界小于B.2分离参数法①将参数与变量分离,即化为gλ≥fx或gλ≤fx恒成立的形式；②求fx在x∈D上的最大或最小值；③解不等式gλ≥fx max或gλ≤fx min,得λ的取值范围．3转换成函数图象问题①若不等式fx>gx在区间D上恒成立,则等价于在区间D上函数y＝fx和图象在函数y＝gx图象上方；②若不等式fx<gx在区间D上恒成立,则等价于在区间D上函数y＝fx和图象在函数y＝gx图象下方．探究点一x∈D,fx>gx的研究对于形如x∈D,fx>gx的问题,需要先设函数y＝fx－gx,再转化为x ∈D,y min>0.例1 已知函数fx＝x|x－a|＋2x.1若函数fx在R上是增函数,求实数a的取值范围；2求所有的实数a,使得对任意x∈1,2时,函数fx的图象恒在函数gx ＝2x＋1图象的下方．点评在处理fx>c的恒成立问题时,如果函数fx含有参数,一般有两种处理方法：一是参数分离,将含参数函数转化为不含参数的函数,再求出最值即可；二是如果不能参数分离,可以用分类讨论处理函数fx的最值．变式训练：已知fx＝x3－6ax2＋9a2xa∈R,当a>0时,若对x∈0,3有fx≤4恒成立,求实数a的取值范围．探究点二x1,x2∈D,|fx1－fx2|≤C的研究对于形如x1,x2∈D,|fx1－fx2|≤C的问题,因为|fx1－fx2|≤fx max－fx min,所以原命题等价为fx max－fx min≤C.例2 已知函数fx＝ax3＋bx2－3xa,b∈R,在点1,f1处的切线方程为y＋2＝0.1求函数fx的解析式；2若对于区间－2,2上任意两个自变量的值x1,x2,都有|fx1－fx2|≤c,求实数c的最小值．点评在处理这类问题时,因为x1,x2是两个不相关的变量,所以可以等价为函数fx在区间D上的函数差的最大值小于c,如果x1,x2是两个相关变量,则需要代入x1,x2之间的关系式转化为一元问题．探究点三x1,x2∈D,|fx1－fx2|≤a|x1－x2|的研究形如x1,x2∈D,|fx1－fx2|≤a|x1－x2|这样的问题,首先需要根据函数fx的单调性去掉|fx1－fx2|≤a|x1－x2|中的绝对值符号,再构造函数gx＝fx－ax,从而将问题转化为新函数gx的单调性．例3 已知函数fx＝x－1－a ln xa∈R．1求证：fx≥0恒成立的充要条件是a＝1；2若a<0,且对任意x1,x2∈0,1,都有|fx1－fx2|≤4错误!,求实数a的取值范围．点评x1,x2∈D,|fx1－fx2|≤a|x1－x2|等价为k＝错误!≤a,再进一步等价为f′x≤a的做法由于缺乏理论支持,解题时不可以直接使用．况且本题的第2问不能把|fx1－fx2|≤4错误!转化为错误!≤4,所以这类问题还是需要按照本题第2问的处理手段来处理．规律技巧提炼在处理恒成立问题时,首先应该分辨所属问题的类型,如果是关于单一变量的恒成立问题,首先考虑参数分离,如果不能参数分离或者参数分离后所形成函数不能够处理,那么可以选择分类讨论来处理；如果是关于两个独立变量的恒成立问题处理,只需要按照上探究点中所讲类型的处理方法来处理即可．存在性问题1．在代数综合问题中常遇到存在性问题．与恒成立问题类似,存在性问题涉及常见函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法．2．存在性问题在解题过程中大致可分为以下几种类型：1x∈D,fx>C；2x∈D,fx>gx；3x1∈D,x2∈D,fx1＝gx2；4x1∈D,x2∈D,fx1>gx2．3．存在性问题处理方法1转换求函数的最值；2分离参数法；3转换成函数图象问题；4转化为恒成立问题探究点一x∈D,fx>gx的研究对于x∈D,fx>gx的研究,先设hx＝fx－gx,再等价为x∈D,hx max>0,其中若gx＝c,则等价为x∈D,fx max>c.例1 已知函数fx＝x3－ax2＋10.1当a＝1时,求曲线y＝fx在点2,f2处的切线方程；2在区间1,2内至少存在一个实数x,使得fx<0成立,求实数a的取值范围点评解法一在处理时,需要用分类讨论的方法,讨论的关键是极值点与区间1,2的关系；解法二是用的参数分离,由于ax2>x3＋10中x2∈1,4,所以可以进行参数分离,而无需要分类讨论．变式训练：已知函数fx＝xx－a2,gx＝－x2＋a－1x＋a其中a为常数．1如果函数y＝fx和y＝gx有相同的极值点,求a的值；2设a>0,问是否存在x0∈错误!,使得fx0>gx0,若存在,请求出实数a的取值范围；若不存在,请说明理由探究点二x1∈D,x2∈D,fx1＝gx2的研究对于x1∈D,x2∈D,fx1＝gx2的研究,若函数fx的值域为C1,函数gx的值域为C2,则该问题等价为C1C2.例2 设函数fx＝－错误!x3－错误!x2＋错误!x－4.1求fx的单调区间；2设a≥1,函数gx＝x3－3a2x－2a.若对于任意x1∈0,1,总存在x0∈0,1,使得fx1＝gx0成立,求a的取值范围．点评对于x∈D,fx＝c要成立,c的取值集合就是函数fx的值域,对于x∈D,使得c＝gx,c应该属于gx的取值集合,所以函数fx的值域为gx的值域的子集．探究点三x1∈D,x2∈D,fx1>gx2的研究对于x1∈D,x2∈D,fx1>gx2的研究,第一步先转化为x2∈D,fx1min>gx2,再将该问题按照探究点一转化为fx1min>gx2min.例3 已知函数fx＝2|x－m|和函数gx＝x|x－m|＋2m－8.1若方程fx＝2|m|在－4,＋∞上恒有惟一解,求实数m的取值范围；2若对任意x1∈－∞,4,均存在x2∈4,＋∞,使得fx1>gx2成立,求实数m的取值范围．点评对于x∈D,fx>c,可以转化为fx min>c；x∈D,c>gx,可以转化为c>gx min,所以本问题类型可以分两步处理,转化为fx min>gx min.1．对于恒成立问题或存在性问题常见基本类型为x∈D,fx>c,可以转化为fx min>c；x∈D,c>gx,可以转化为c>gx min,x∈D,c＝gx,可以转化为c∈{y|y＝gx},对于由这些含有量词的命题组合而成的含有两个量词命题的问题,可以采取分步转化的方法来处理．2．对于含有参数的恒成立问题或存在性问题,常用的处理方法有分类讨论或参数分离,并借助于函数图象来解决问题．高考链接。

2024年中考数学压轴题重难点知识剖析及训练—求函数的解析式(含解析)

2024年中考数学压轴题重难点知识剖析及训练—求函数的解析式（含解析）通用的解题思路：求一次函数解析式：①老方法：已知两个点的坐标，一令b kx y +=，二代：将两个点的坐标代入，计算出b k 、，三作答；②压轴题中的新方法，用求k 公式2121x x y y k --=来先求出k ，再代入一个点来求出b ，当求垂线的解析式或者点的坐标含参数时，用新方法更合适。

求二次函数解析式：①一般式：c bx ax y ++=2，压轴题中一般不用一般式来求二次函数解析式；②顶点式：()k h x a y +-=2，告诉二次函数的顶点时，优先选用顶点式；③一般式：()()21x x x x a y --=，告诉二次函数与x 轴的两交点时，优先选用交点式。

1．（长沙中考）若抛物线L ：y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，abc≠0）与直线l 都经过y 轴上的一点P ，且抛物线L 的顶点Q 在直线l 上，则称此直线l 与该抛物线L 具有“一带一路”关系．此时，直线l 叫做抛物线L 的“带线”，抛物线L 叫做直线l 的“路线”．（1）若直线y=mx+1与抛物线y=x 2﹣2x+n 具有“一带一路”关系，求m ，n 的值；（2）若某“路线”L 的顶点在反比例函数y=6x的图象上，它的“带线”l 的解析式为y=2x ﹣4，求此“路线”L 的解析式；（3）当常数k 满足12≤k≤2时，求抛物线L ：y=ax 2+（3k 2﹣2k+1）x+k 的“带线”l 与x 轴，y 轴所围成的三角形面积的取值范围．【详解】解：（1）令直线y=mx+1中x=0，则y=1，即直线与y 轴的交点为（0，1）；将（0，1）代入抛物线y=x 2﹣2x+n 中，得n=1．∵抛物线的解析式为y=x 2﹣2x+1=（x ﹣1）2，∴抛物线的顶点坐标为（1，0）．将点（1，0）代入到直线y=mx+1中，得：0=m+1，解得：m=﹣1．（2）将y=2x﹣4代入到y=6x中有，2x﹣4=6x，即2x2﹣4x﹣6=0，解得：x1=﹣1，x2=3．∴该“路线”L的顶点坐标为（﹣1，﹣6）或（3，2）．令“带线”l：y=2x﹣4中x=0，则y=﹣4，∴“路线”L的图象过点（0，﹣4）．设该“路线”L的解析式为y=m（x+1）2﹣6或y=n（x﹣3）2+2，由题意得：﹣4=m（0+1）2﹣6或﹣4=n（0﹣3）2+2，解得：m=2，n=﹣2 3．∴此“路线”L的解析式为y=2（x+1）2﹣6或y=﹣23（x﹣3）2+2．（3）令抛物线L：y=ax2+（3k2﹣2k+1）x+k中x=0，则y=k，即该抛物线与y轴的交点为（0，k）．抛物线L：y=ax2+（3k2﹣2k+1）x+k的顶点坐标为（﹣23212k ka-+，()2243214ak k ka--+），设“带线”l的解析式为y=px+k，∵点（﹣23212k ka-+，()2243214ak k ka--+）在y=px+k上，∴()2243214ak k ka--+=﹣p23212k ka-++k，解得：p=23212k k-+．∴“带线”l的解析式为y=23212k k-+x+k．令∴“带线”l：y=23212k k-+x+k中y=0，则0=23212k k-+x+k，解得：x=﹣22k3k2k1-+．即“带线”l与x轴的交点为（﹣22k3k2k1-+，0），与y轴的交点为（0，k）．∴“带线”l与x轴，y轴所围成的三角形面积S=12|﹣22k3k2k1-+|×|k|，∵12≤k≤2，∴12≤1k≤2，∴S=222 211==321211312 kk kk k k-+⎛⎫⎛⎫-+-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当1k=1时，S有最大值，最大值为12；当1k=2时，S有最小值，最小值为13．故抛物线L：y=ax2+（3k2﹣2k+1）x+k的“带线”l与x轴，y轴所围成的三角形面积的取值范围为13≤S≤12．2.（青竹湖）规定：我们把一个函数关于某条直线或者某点作对称后形成的新函数，称之为原函数的“对称函数”．（1）已知一次函数y＝﹣2x+3的图象，求关于直线y＝﹣x的对称函数的解析式；（2）已知二次函数y＝ax2+4ax+4a﹣1的图象为C1；①求C1关于点R（1，0）的对称函数图象C2的函数解析式；②若两抛物线与y 轴分别交于A 、B 两点，当AB ＝16时，求a 的值；（3）若直线y ＝﹣2x ﹣3关于原点的对称函数的图象上的存在点P ，不论m 取何值，抛物线y ＝mx 2+（m ﹣23）x ﹣（2m ﹣38）都不通过点P ，求符合条件的点P 坐标．【详解】（1）取y =-2x +3上两点（0，3），（32，0）两点关于y =-x 对称点为（-3，0），（0，-32）设y =x +b ，则0332k b b =-+⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得1232k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则1322y x =--，（2）①设C 2上的点为（x ，y ），其关于（1，0）的对称点为（2-x ，-y ），(2-x ，-y )在C 1上，则()()224241y a x a x a -=-+-+-，C2:28161y ax ax a =-+-+，②C 1关于y 轴交于（0，4a -1），C 2关于y 轴交于（0，-16a +1），AB =｜(4a -1)-(-16a +1)｜=16，｜2a -2｜=16，解得a =910或-710，（3）y =-2x -3关于原点对称函数为y =-2x +3，抛物线:()222323223838y mx m x m x x m x ⎛⎫⎛⎫=+---=+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令220x x +-=，得x 1=1，x 2=-1，则抛物线经过（1，7-24），（-2，4124），令x =1，y =-2x -3=1，令x =-2，y =-2x +3=7，点（1，1）（-2，7）在y =-2x +3上，由于函数值的唯一性，上述两点不可能在抛物线上，故P 为(1，1)或(-2，7)．3.（青竹湖）定义：将点P 关于原点对称的点绕原点顺时针旋转90︒后得到的点'P 称为P 的反转点，连接'PP 形成的直线称为反转线，当直线'PP 与函数L 的图象有交点时的反转线称为完美直线，它们的交点Q 叫完美点.（1）已知函数L 的觝析式为6y x=，点P 的坐标为(5,0)，试求出点P 变换后得到的反转线；（2）已知函数L 的解析式为8y x =+，点P 为x 轴上异于原点的一点，经过变换后可以得到完美直线，且完美点Q与原点间的距离为（3）已知P 为直线3y x =上一动点，函数L 的解析式为213122y x x =+-，点P 经过变换后得到的反转线是完美直线，且有两个完美点1Q ，2Q ，当12Q Q 时，求点P 横坐标的取值范围.【解答】解：（1）∵点P 的坐标为（5，0），关于原点的对称点坐标是（﹣5，0），∴点P 的反转点P ′的坐标是（0，5），设反转线的解析式是y ＝kx +b ，把P （5，0），P ′（0，5）代入y ＝kx +b ，得，∴，∴点P 变换后得到的反转线的解析式是y ＝﹣x +5．（2）设P （m ，0）（m ≠0）则它的反转点P ′（0，m ），∴直线PP ′的解析式是y ＝﹣x +m ，解方程组得，∴点Q 的坐标是（，），∴+＝OQ 2＝＝40，∴m ＝4或m ＝﹣4，∴完美直线的解析式是y ＝﹣x +4或y ＝﹣x ﹣4．（3）∵P 是直线y ＝3x 上的一点，∴设P （n ，3n ）（n ≠0），∴P ′的坐标是（﹣3n ，n ），设完美直线PP ′的解析式是y ＝ux +v ，把P （n ，3n ），P ′（﹣3n ，n ）代入得，∴，∴PP ′的解析式是y ＝x +n ，由得x 2+2x ﹣2﹣5n ＝0，∵P 经过变换后得到的反转线是完美直线，且有两个完美点Q 1，Q 2，∴Δ＝22﹣4×（﹣2﹣5n ）＝12+20n＞0，∴n ＞﹣，设Q 1（x 1，y 1），Q 2（x 2，y 2），∴x 1+x 2＝﹣2，x 1x 2＝﹣2﹣5n ，y 1﹣y 2＝（x 1﹣x 2），∴Q 1Q 2＝＝＝，∴Q 1Q 2＝＝，∵≤Q 1Q 2≤2，∴≤≤2，∴﹣≤n ≤，∴点P 横坐标的取值范围是﹣≤n ≤．4.（博才）规定：我们把直线:l y ax b =+叫做抛物线2:L y ax bx =+的“温暖直线”.若该直线与该抛物线的图象还有两个不同的交点，则两个交点叫做“幸福点”，并且称直线l 与抛物线L 具备“温暖而幸福关系”，否则称直线l 与抛物线L 不具备“温暖而幸福关系”.（1）已知直线:4l y ax =-是抛物线2:2L y x bx =+的“温暖直线”，请判断直线l 与抛物线L 是否具备“温暖而幸福关系”，若具备，请求出“幸福点”的坐标，若不具备，请说明理由；（2）已知直线:l y ax b =+与抛物线2:L y ax bx =+不具备“温暖而幸福关系”，当02x ≤≤时，抛物线2:L y ax bx =+的最小值是6-，求直线l 的解析式；（3）已知直线:l y ax b =+是抛物线L 的“温暖直线”.将抛物线L 进行左右平移得到新抛物线1L ，抛物线1L 满足：对于抛物线上的任意两点()11,M x y ，()22,N x y ，若1255022x x ⎛⎫⎛⎫--> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则12y y ≠始终成立.抛物线1L 与直线l 相交于()1,1A ，B 两点，若以AB 为直径的圆恰好与x 轴相切，求a 的值.【解答】解：（1）∵直线l ：y ＝ax ﹣4是抛物线L ：y ＝2x 2+bx 的“温暖直线”，∴a ＝2，b ＝﹣4，∴直线l ：y ＝2x ﹣4，抛物线L ：y ＝2x 2﹣4x ，由2x ﹣4＝2x 2﹣4x ，得：x ＝1或x ＝2，∴“幸福点”的坐标为（1，﹣2），（2，0）；（2）∵直线l 与抛物线L 不具备“温暖而幸福关系”，∴方程ax +b ＝ax 2+bx ，即ax 2+（b ﹣a ）x ﹣b ＝0无解或有两个相等的实数根，∴（b ﹣a ）2+4ab ＝（a +b ）2≤0，∴b ＝﹣a ，∴直线l ：y ＝ax ﹣a ，抛物线L ：y ＝ax 2﹣ax ＝a （x ﹣）2﹣a ，当a ＞0时，抛物线开口向上，∴当0≤x ＜时，y 随x 的增大而减小，当＜x ≤2时，y 随x 的增大而增大，∴﹣a ＝﹣6，解得：a ＝24，∴b ＝﹣24，∴直线l 的解析式为y ＝24x ﹣24；当a ＜0时，抛物线开口向下，∴当0≤x ＜时，y 随x 的增大而增大，当＜x ≤2时，y 随x 的增大而减小，∴当x ＝2时，y 最小值＝4a ﹣2a ＝﹣6，解得：a ＝﹣3，∴b ＝3，∴直线l 的解析式为y ＝﹣3x +3；∴直线l 的解析式为y ＝24x ﹣24或y ＝﹣3x +3；（3）∵（x 1﹣）（x 2﹣）＞0，则y 1≠y 2始终成立，∴x ＝是L 1的对称轴，∵y ＝ax 2+bx ＝a （x +）2﹣，平移后变为y ＝a （x ﹣）2﹣，将点A （1，1）代入y ＝a （x ﹣）2﹣，∴a ﹣＝1①，∵A （1，1）在直线y ＝ax +b 上，∴a +b ＝1②，由①②解得设B （c ，d ），联立方程组，∴ax 2﹣6ax +a ﹣b ﹣＝0，∴6＝1+c ，∴c ＝5，∴d ＝5a +b ，∵A （1，1），B （5，5a +b ），∴AB 的中点（3，），AB ＝＝，∵以AB为直径的圆恰好与x轴相切，∴＝，∴5a+b＝4，∵5a+b＝a（5﹣）2﹣，∴a﹣＝4②，联立①②得a＝．5.（2022•庐阳区三模）在数学活动课上，小明兴起小组对二次函数的图象进行了深入的探究，如果将二次函数，y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上的点A（x，y）的横坐标不变，纵坐标变为A点的横、纵坐标之和，就会得到的一个新的点A1（x，x+y）．他们把这个点A：定义为点A的“简朴”点．他们发现：二次函数y ＝ax2+bx+c（a≠0）所有简朴点构成的图象也是一条抛物线，于是把这条抛物线定义为y＝ax2+bx+c（a≠0）的“简朴曲线”．例如，二次函数y＝x2+x+1的“简朴曲线”就是y＝x2+x+1+x＝x2+2x+1，请按照定义完成：（1）点P（1，2）的“简朴”点是；（2）如果抛物线y＝ax2﹣7x+3（a≠0）经过点M（1，﹣3），求该抛物线的“简朴曲线”；（3）已知抛物线y＝x2+bx+c图象上的点B（x，y）的“简朴点”是B1（﹣1，1），若该抛物线的“简朴曲线”的顶点坐标为（m，n），当0≤c≤3时，求n的取值范围．【解答】解：（1）由题意得点P（1，2）的“简朴”点是（1，1+2），即（1，3），故答案为：（1，3）．（2）将（1，﹣3）代入y＝ax2﹣7x+3得﹣3＝a﹣7+3，解得a＝1，∴y＝x2﹣7x+3，∴抛物线y＝x2﹣7x+3的“简朴曲线”为y＝x2﹣7x+3+x＝x2﹣6x+3．（3）∵点B（x，y）的“简朴点”是B（﹣1，1），∴，解得，∴点B坐标为（﹣1，2），∴1﹣b+c＝2，即b＝c﹣1，∴y＝x2+（c﹣1）x+c，∴该抛物线的“简朴曲线”为y＝x2+cx+c＝（x+）2+c﹣，∵该抛物线的“简朴曲线”的顶点坐标为（m，n），∴m＝﹣，n＝c﹣＝﹣（c﹣2）2+1，∴c＝2时，n＝1为最大值，把c＝0代入n＝c﹣得n＝0，把c＝3代入n＝c﹣得n＝，∴当0≤c≤3时，0≤n≤1．6．（2022•岳麓区校级模拟）我们定义：若点P在一次函数y＝ax+b（a≠0）图象上，点Q在反比例函数（c≠0）图象上，且满足点P与点Q关于y轴对称，则称二次函数y＝ax2+bx+c为一次函数y＝ax+b与反比例函数的“衍生函数”，点P称为“基点”，点Q称为“靶点”．（1）若二次函数y＝x2+2x+1是一次函数y＝ax+b与反比例函数的“衍生函数”，则a＝，b＝，c＝；（2）若一次函数y＝x+b和反比例函数的“衍生函数”的顶点在x轴上，且“基点”P的横坐标为1，求“靶点”的坐标；（3）若一次函数y＝ax+2b（a＞b＞0）和反比例函数的“衍生函数”经过点（2，6）．①试说明一次函数y＝ax+2b图象上存在两个不同的“基点”；②设一次函数y＝ax+2b图象上两个不同的“基点”的横坐标为x1、x2，求|x1﹣x2|的取值范围．【解答】解：（1）由定义可知，a＝1，b＝2，c＝1，故答案为：1，2，1；（2）由题意可知，“衍生函数”为y＝x2+bx+c，∵顶点在x轴上，∴4c＝b2，∴一次函数为y＝x+b，∵“基点”P的横坐标为1，∴P（1，1+b），∵点P与点Q关于y轴对称，∴Q（﹣1，1+b），∵反比例函数为y＝，∴﹣b2＝1+b，解得b＝﹣2，∴“靶点”的坐标（﹣1，﹣1）；（3）证明：①由题意可知“衍生函数”为y＝ax2+2bx﹣2，∵经过点（2，6），∴a+b＝2，∵a＞b＞0，∴a＞2﹣a＞0，∴1＜a＜2，设“靶点”Q（t，﹣），则P（﹣t，﹣），∴﹣＝at+2（2﹣a），整理得at2﹣4t+2at﹣2＝0，∴Δ＝4（a﹣1）2+12＞0，∴方程有两个不同的实数根，∴一次函数y＝ax+2b图象上存在两个不同的“基点”；②解：由①可知，at2﹣4t+2at﹣2＝0，∴x1+x2＝﹣2，x1•x2＝﹣，∴|x1﹣x2|＝＝，∵1＜a＜2，∴2＜＜4，∴2＜|x1﹣x2|＜2．8．定义：将函数C1的图象绕点P（m，0）旋转180o，得到新的函数C2的图象，我们称函数C2是函数C1关于点P的相关函数．例如：当m＝1时，函数y＝（x﹣3）2+9关于点P（1，0）的相关函数为y＝﹣（x+1）2﹣9．（1）当m＝0时，①一次函数y＝﹣x+7关于点P的相关函数为．②点A（5，﹣6）在二次函数y＝ax2﹣2ax+a（a≠0）关于点P的相关函数的图象上，求a的值．（2）函数y＝（x﹣2）2+6关于点P的相关函数是y＝﹣（x﹣10）2﹣6，则m＝．（3）当m﹣1≤x≤m+2时，函数y＝x2﹣6mx+4m2关于点P（m，0）的相关函数的最大值为8，求m的值．【解答】解：（1）①根据相关函数的定义，y＝﹣x+7关于点P（0，0）旋转变换可得相关函数为y＝﹣x﹣7，故答案为：y＝﹣x﹣7；②y＝ax2﹣2ax+a＝a（x﹣1）2，∴y＝ax2﹣2ax+a关于点P（0，0）的相关函数为y＝﹣a（x+1）2，∵点A（5，﹣6）在二次函数y＝﹣a（x+1）2的图象上，∴﹣6＝﹣a（5+1）2，解得：a＝；（2）y＝（x﹣2）2+6的顶点为（2，6），y＝﹣（x﹣10）2﹣66的顶点坐标为（10，﹣6）；∵两个二次函数的顶点关于点P（m，0）成中心对称，∴m＝＝6，故答案为：6；（3）y＝x2﹣6mx+4m2＝（x﹣3m）2﹣5m2，∴y＝x2﹣6mx+4m2关于点P（m，0）的相关函数为y＝﹣（x+m）2+5m2．①当﹣m≤m﹣1，即m≥时，当x＝m﹣1时，y有最大值为8，∴﹣（m﹣1+m）2+5m2＝8，解得m1＝﹣2﹣（不符合题意，舍去），m2＝﹣2+；②当m﹣1＜﹣m≤m十2，即﹣1≤m＜时，当x＝﹣m时，y有最大值为8，∴5m2＝8，解得：m＝±（不合题意，舍去）；③当﹣m＞m+2，即m＜﹣1时，当x＝m+2，y有最大值为8，∴﹣（m+2+m）2+5m2＝8，解得：m＝4﹣2或，m＝4+2（不符合题意，舍去），综上，m的值为﹣2+或4﹣2．9.（2022•武侯区校级模拟）【阅读理解】定义：在平面直角坐标系xOy中，对于一个动点P（x，y），若x，y都可以用同一个字母表示，那么点P 的运动路径是确定的．若根据点P坐标求出点P运动路径所对应的关系式是函数，则称由点坐标求函数表达式的过程叫做将点“去隐”．例如，将点M（m+1，﹣m+1）（m为任意实数）“去隐”的方法如下：设x＝m+1①，y＝﹣m+1②由①得m＝x﹣1③将③代入②得y＝﹣（x﹣1）+1，整理得y＝﹣x+2则直线y＝﹣x+2是点M的运动路径．【迁移应用】在平面直角坐标系xOy中，已知动点Q（﹣a，﹣a2﹣a+3）（a为任意实数）的运动路径是抛物线．（1）请将点Q“去隐”，得到该抛物线表达式；（2）记（1）中抛物线为W（如图），W与x轴交于点A，B（A在B的左侧），其顶点为点C，现将W 进行平移，平移后的抛物线W'始终过点A，点C的对应点为C'．ⅰ）试确定点C'运动路径所对应的函数表达式；ⅱ）在直线x＝﹣2的左侧，是否存在点C'，使△ACC'为等腰三角形？若存在，求出点C'的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）设x＝﹣a①，y＝﹣a2﹣a+3②，由①得a＝﹣x③，∴y＝﹣x2+x+3；（2）∵y＝﹣x2+x+3＝﹣（x﹣2）2+4，∴C（2，4），令y＝0，则﹣x2+x+3＝0，解得x＝﹣2或x ＝6，∴A（﹣2，0），B（6，0），ⅰ）设抛物线W '的解析式为y ＝﹣（x ﹣h ）2+k ，∴C '（h ，k ），∵经过点A （﹣2，0），∴k ＝（2+h ）2，令x ＝h ，y ＝k ＝（2+h ）2，∴y ＝（x +2）2；ⅱ）存在点C '，使△ACC '为等腰三角形，理由如下：∵C （2，4）在y ＝（x +2）2上，∴C 点关于直线x ＝﹣2的对称点为C '（﹣6，4），此时AC ＝AC '，△ACC '为等腰三角形；设C '（m ，m 2+m +1），当AC '＝CC '时，（m +2）2+（m 2+m +1）2＝（m ﹣2）2+（m 2+m +1﹣4）2，解得m ＝﹣4﹣2或m ＝﹣4+2（舍），∴C （﹣4﹣2，6+2）；当CA ＝CC '时，C '只能在x ＝﹣2右侧，此时不符合题意；综上所述：（﹣6，4）或（﹣4﹣2，6+2）．10．（立信）关于x 的方程20ax bx c ++=（0a ≠）两根分别为x 1和x 2，若一个根是另一个根的两倍，则称这样的方程为“立信二倍方程”，若直线l 与抛物线C 相交于A 、B 两点，其中一点的横坐标等于另一点横坐标的2倍，则称这样的直线l 与抛物线C 互为“立信二倍函数”.（1）若(1)(2)0x x k +-=是“立信二倍根方程”，求k 的值；（2）直线l ：1y mx =+与抛物线22y x mx m =-+互为“立信二倍函数”求抛物线的解析式；（3）直线l ：y tx d =+与抛物线L ：22y x px q =++（q d ≠）互为“立信二倍函数”，若直线l 与抛物线L 相交于1(A x ，1)y 、2(B x ，2)y 两点，且2222233t AB t ++ ，求||p t -的取值范围．【解答】解：（1）11x =-，212x k =，当122x x =时，即1122k -=⨯，解得：1k =-，当212x x =时，即()1221k =⨯-，解得：4k =-，故1k =-或-4；（2）由题意得：221x mx m mx -+=+，整理得：22012x mx m --+=，则11x m =+，21x m =-，①当122x x =，解得：3m =，抛物线解析式为239y x x =-+.①当212x x =，解得：3m =，抛物线解析式为239y x x =++（3）22tx d x px q +=++，整理得：22()()0x p t x q d +-+-=，121()2x x t p +=-，121()2x x q d =-，设：122x x x ==，整理得：6t p x -=，24q d x -=，11y tx d =+，22y tx d =+，则222221212()()(1)AB x x y y x t =-+-=+，2222233t AB t ++ ，即223x ，即22(36t p - ，即||p t -。

中考函数重难点突破

k y y=— x
y=x
0
12
x
九、正比例与反比例函数的联系与区别
函数正比例函数 y=kx ( k≠0 ) 直线
位置
反比例函数
k y = x ( k是常数,k≠0 )
填表分析正比例函数和反比例函数的区别
解析式
图象形状
双曲线一三象限
y随x的增大而减小
K>0
一三象限
y随x的增大而增大
x 4, x 2, 解得或 y 2; y 4.
M O
B
x
A(2,4), B(4,2).
(2)解法一 : y x 2,当y 0时, x 2, M (2,0).
OM 2.
作AC x轴于C, BD x轴于D.
AC 4, BD 2,
减小 ⑵当k<0时，y随x的增大而_________。
⑶根据下列一次函数y=kx+b(k ≠ 0)的草图回答出各图中k、b的符号：
> > k___0，b___0
> < k___0，b___0
< > k___0，b___0
< < k___0，b___0
中考真题解析柴油机在工作时油箱中的余油量Q(千克）
向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
增减性最值
当x=h时,最小值为k.
当x=h时,最大值为k.
十二、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
１.顶点坐标与对称轴
２.位置与开口方向
３.增减性与最值根据图形填表：抛物线

中考复习初中数学中的函数知识点

中考复习初中数学中的函数知识点函数是数学中的重要概念之一，也是中考数学考试中的重点内容之一。

掌握函数的定义、性质和应用是理解和解决各种函数相关问题的基础。

本文将针对中考复习初中数学中的函数知识点进行详细论述，帮助同学们加深对函数的理解和掌握。

一、函数的定义函数是一个或多个自变量与一个因变量之间的一种特殊关系。

常用函数的定义形式是：y = f(x)，其中 x 是自变量，y 是因变量，f(x) 表示函数关系。

函数的定义域和值域分别表示自变量和因变量的取值范围。

二、函数的表示方法在数学中，函数可以有多种表示方法，下面介绍几种常见的函数表示方法：1. 显式函数表示法：y = f(x)显式函数是最常见的函数表示方法，其中 y 表示因变量，x 表示自变量，f(x) 表示函数关系。

2. 隐式函数表示法：F(x,y) = 0隐式函数表示方法常用于无法直接解出 y 的情况，其中 F(x,y) 表示函数关系。

3. 参数方程表示法：x = φ(t), y = ψ(t)参数方程表示方法常用于描述曲线，其中 x 和 y 都是 t 的函数，通过参数 t 的取值可以确定曲线上的点。

4. 函数图像表示法通过绘制函数的图像可以直观地展示函数的性质和特点。

函数图像可以用图形计算器或计算机绘制，也可以手工绘制。

三、函数的性质1. 定义域和值域定义域是函数自变量的取值范围，值域是函数因变量的取值范围。

在解题过程中，需要注意确定函数的定义域和值域。

2. 奇偶性若对于定义域内的任意 x，有 f(-x) = f(x)，则函数为偶函数；若对于定义域内的任意 x，有 f(-x) = -f(x)，则函数为奇函数。

3. 单调性和极值函数的单调性描述了函数在定义域内的增减趋势。

若对于定义域内的任意 x1 < x2，有 f(x1) < f(x2)，则函数在该区间上是增函数；若对于定义域内的任意 x1 < x2，有 f(x1) > f(x2)，则函数在该区间上是减函数。

中考数学函数重点难点突破解题技巧传播十三(B)

2019-2020年中考数学函数重点难点突破解题技巧传播十三（B ）1、若二次函数的与的部分对应值如下表：A. B. C. D ．【答案】A【解析】试题分析：根据图表可得：对称轴x=-3，∴横坐标为1的对称点与横坐标为-7的点对称，∴当x=1时，y=-27．故选A考点: 二次函数的图像2．若关于y 的一元二次方程ky 2-4y-3=3y+4有实根,则k 的取值范围是( )A ．k>-B ．k ≥- 且k ≠0C ．k ≥-D ．k>且k ≠0【答案】B ．【解析】试题分析：整理方程得：ky 2-7y-7=0由题意知k≠0，方程有实数根．∴△=b 2-4ac=49+28k≥0∴k≥-且k≠0．故选B ．考点：1．根的判别式；2．一元二次方程的定义．3已知二次函数的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是（）A 、B 、且C 、D 、且【答案】B【解析】试题分析：∵二次函数的图象与x 轴有交点∴kx 2-5x-5=0有实数解且k ≠0故△=25+20k ≥0且k ≠0∴且k ≠0故选B考点:二次函数与坐标轴的交点情况4若A （），B （），C （）为二次函数的图象上的三点，则的大小关系是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B ．【解析】试题分析：∵二次函数2245(2)9y x x x =+-=+-，∴该二次函数的抛物线开口向上，且对称轴为：．∵点A （）在二次函数的图象上，点A （）关于直线的对称点A ′（）也在抛物线上，∵，∴．故选B．考点：二次函数图象上点的坐标特征．5已知函数，则使成立的值恰好有四个，则的取值为．【答案】．【解析】试题分析：函数的图象为：当﹣时，函数图象与直线有四个公共点，故满足条件的k的取值范围是，故答案为：．考点：二次函数的性质．6已知二次函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）A、 B、且 C、 D、且【答案】B【解析】试题分析：∵二次函数的图象与x轴有交点∴kx2-5x-5=0有实数解且k≠0故△=25+20k≥0且k≠0∴且k≠0故选B考点:二次函数与坐标轴的交点情况7如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB经过点A（6，0）、B（0，6），⊙O的半径为2（O为坐标原点），点P是直线AB上的一动点，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为（）A． B．3 C． D．【答案】D．【解析】试题分析：连接OP．根据勾股定理知，当OP⊥AB时，线段OP最短，即线段PQ最短．试题解析：连接OP、OQ．∵PQ 是⊙O 的切线，∴OQ ⊥PQ ；根据勾股定理知，∵当PO ⊥AB 时，线段PQ 最短；又∵A （﹣6，0）、B （0，6），∴OA=OB=6，∴AB=，∴OP=AB=，∵OQ=2，∴PQ=2222OP OQ (32)214-=-=，故选D ．考点：圆的综合题．8如图⊙O 的半径为5，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的动点,则线段OM 长的最小值为（）A. 5B. 4C. 3D. 2【答案】C【解析】试题分析：根据垂线段最短知，当OM ⊥AB 时，OM 有最小值．由垂径定理知，点M 是AB 的中点，连接OA ，AM=AB=4，由勾股定理知，OM=3．故选C ．考点：勾股定理，垂径定理9如图，PA 、PB 分别切⊙O 于点A 、B ，若∠P=70°，点C 为⊙O 上任一动点，则∠C 的大小为 °．【答案】55°或125°．【解析】试题分析：连接OA，OB，∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，∴OA⊥PA，OB⊥PB，即∠PAO=∠PBO=90°，∴∠AOB=360°﹣∠PAO﹣∠P﹣∠PBO=360°﹣90°﹣70°﹣90°=110°，∴∠C=∠AOB=55°．同理可得：当点C在上时，∠C=180°﹣55°=125°．故答案为：55°或125．考点：切线的性质．10如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB=30°，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF 与⊙O交于G、H两点.若⊙O的半径为7，则GE+FH的最大值为__________ .【答案】10.5【解析】试题分析：如图，连接OA、OB，∵∠ACB=30°，∴∠AOB=60°又∵OA=OB，∴△OAB是等边三角形，AB=OB=7∵E、F是AC、BC的中点∴EF= AB=3.5GE+FH的值是当GH取最大值14时最大，14—3.5=10.5 .故答案为10.5考点：1、圆周角定理；2、等边三角形的判定；3、三角形中位线.27251 6A73 橳31631 7B8F 箏33502 82DE 苞z25465 6379 捹36458 8E6A 蹪r 23679 5C7F 屿A29930 74EA 瓪+21893 5585 喅Z20469 4FF5 俵。

2021年中考数学备考-函数解法汇总答题技巧

2021年中考数学备考:函数解法汇总答题技巧
要想中考数学成绩拿高分，一定要掌握好数学函数知识，那么初中数学函数解题技巧有哪些?
注重“类比”思想
不同的事物往往具有一些相同或相似的属性，人们正是利用相似事物具有的这种属性，通过对一事物的认识来认识与它相似的另一事物，这种认识事物的思维方法就是类比法。

初中学习的正比例函数、一次函数、反比例函数、二次函数在概念的得来、图象性质的研究、及基本解题方法上都有着本质上的相似。

采用类比的方法不但省时、省力，还有助于学生的理解和应用。

是一种既经济又实效的教学方法。

注重“数形结合”思想
数形结合的思想方法是初中数学中一种重要的思想方法。

数学是研究现实世界数量关系和空间形式的科学。

而数形结合就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题。

它包含以形助数和以数解形两个方面，利用它可使复杂问题简单化，抽象问题具体化，它兼有数的严谨与形的直观之长。

数学必备技巧解决初中函数题的常用思路

数学必备技巧解决初中函数题的常用思路函数作为数学中的重要概念，在初中阶段是一个关键的学习内容。

解决初中函数题需要一些常用的思路和技巧，本文将介绍一些数学必备的技巧来解决初中函数题。

1. 理解函数的定义在解决函数题之前，首先要对函数的定义有清晰的理解。

函数是一种特殊的关系，它将自变量和因变量联系起来，即每个自变量对应唯一的因变量。

理解函数的定义是解决函数题的基础。

2. 确定函数表达式解决函数题的关键是确定函数的表达式。

通过题目所给的信息，可以利用数学模型建立函数表达式。

常见的函数类型有线性函数、二次函数、指数函数和对数函数等。

根据题目所给的条件和函数的特点，选择适当的函数类型，并求出函数的表达式。

3. 分析函数的性质函数的性质在解决函数题中起到重要的作用。

例如，要判断函数的单调性，可以求导数或绘制函数图像来分析；要确定函数的定义域和值域，可以考虑函数的定义和特点。

对函数性质的深入了解可以帮助解决各种函数题。

4. 特殊取值法特殊取值法是解决函数题的常用方法之一。

通过让自变量取一些特殊的值，如0、1、-1等，来推测函数的性质和函数值。

特殊取值法可以帮助我们更好地理解函数的行为和规律，从而解决函数题。

5. 利用函数的图像函数的图像是解决函数题的有力工具。

通过绘制函数的图像，可以直观地了解函数的性质和特点。

例如，通过观察函数的图像，可以判断函数的单调性、零点和极值等。

因此，在解决函数题时，我们可以通过绘制函数的图像来辅助分析和推断。

6. 利用代数方法在解决函数题时，代数方法是常用的思路之一。

通过代数方法，可以利用方程和不等式来解决函数题。

例如，要求函数的零点或者判定函数的符号，可以通过方程或不等式来求解。

掌握代数方法可以帮助我们更好地解决各种函数题。

7. 注意问题的隐含条件在解决函数题时，有时需要注意问题的隐含条件。

问题中可能存在一些未明确说明的条件，需要我们根据函数的特点进行推测和分析。

注意隐含条件可以帮助我们解决一些比较复杂的函数题。

初中数学函数的解题技巧

初中数学函数的解题技能函数不论是在初中阶段还是高中阶段,都既是重点又是难点.学生在学习函数部分的知识时,常常是上课的时候能听懂,但是自己做题正确率却很低。

下面是作者为大家整理的关于初中数学函数的解题技能，期望对您有所帮助!初中函数解题技能1配方法通过把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和情势解决数学问题的方法，叫配方法。

配方法用的最多的是配成完全平方式，它是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的运用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都常常用到它。

2因式分解法因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的情势，是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起侧重要的作用。

3换元法换元法是数学中一个非常重要而且运用十分广泛的解题方法。

通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造本来的式子，使它简化，使问题易于解决。

4判别式法与韦达定理一元二次方程ax2bxc=0(a、b、c属于R，a≠0)根的判别，△=b2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的运用。

韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根;已知两个数的和与积，求这两个数等简单运用外，还可以求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的运用。

5待定系数法在解数学问题时，若先判定所求的结果具有某种肯定的情势，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。

人教版初三数学二次函数知识点及难点总结

人教版初三数学二次函数知识点及难点总结初三数学二次函数知识点总结二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小。

当a>0时，二次函数图像向上开口；当a<0时，抛物线向下开口。

|a|越大，则二次函数图像的开口越小。

1、决定对称轴位置的因素一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

当a与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左；因为对称轴在左边则对称轴小于0，也就是-b/2a0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab<0），对称轴在y轴右。

事实上，b有其自身的几何意义：二次函数图像与y轴的交点处的该二次函数图像切线的函数解析式（一次函数）的斜率k的值，可通过对二次函数求导得到。

2、决定二次函数图像与y轴交点的因素常数项c决定二次函数图像与y轴交点。

二次函数图像与y轴交于(0.c)。

一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如y=ax^2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a≠0，而b，c可以为零。

二次函数的定义域是全体实数。

2.二次函数y=ax^2+bx+c的结构特征：⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2.⑵a，b，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。

二、二次函数的基本形式1.二次函数基本形式：y=ax^2的性质：a的绝对值越大，抛物线的开口越小。

a的符号决定开口方向，顶点坐标对称。

性质：当a>0时，开口向上（顶点在下方），当a<0时，开口向下（顶点在上方）。

向y轴的距离随着x的增大而增大或减小，当x=0时，函数值为0.2.y=ax^2+c的性质：上加下减。

a的符号决定开口方向，顶点坐标对称。

性质：当a>0时，开口向上（顶点在下方），当a<0时，开口向下（顶点在上方）。

向y轴的距离随着x的增大而增大或减小，当x=0时，函数值为c。

3.y=a(x-h)^2的性质：左加右减。

2023年中考数学专项突破之函数的图象与性质课件 52张PPT

(5)与二次函数有关的还有二次三项式,二次三项式ax2+bx+c﹙a≠0﹚本身
就是含有字母x的二次函数.
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例题3
已知,点M为二次函数y=-(x-b)2+4b+1图象的顶点,直线y=mx+5分别交x轴、y轴于点
A,B.
(1)判断顶点M是否在直线y=4x+1上,并说明理由;
(2)如图1,若二次函数图象也经过点A,B,且mx+5>-(x-b)2+
即为所求;(3)根据反函数的图象和性质,当点P在第一象限时,p>0;当点P在第三象限
时,p≤-2.

解析：(1)把A(2,m),B(n,-2)代入y= 得k2=2m=-2n,即m=-n,则A(2,-n),

如图,过A作AE⊥x轴于E,过B作BF⊥y轴于F,延长AE,BF交于D,
∵A(2,-n),B(n,-2),
方法点拨
解答此类问题需要掌握二次函数的概念、图象和性质,画出草图观察分析,将函数
的平移、最值、增减性等贯穿在草图中,此类问题就会迎刃而解.
解题技巧
解决这类问题一般遵循这样的方法:
(1)求二次函数的图象与x轴的交点坐标,需将二次函数转化为一元二次方
程;
(2)求二次函数的最大(小)值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶
点入口.两车距学校的路程s(单位:km)和行驶时间t(单位:min)之间的函数关系如
图所示.
请结合图象解决下面问题:
(1)学校到自然保护区的路程为 40 km,大客车途中停留了
5min, a=
;15
(2)在小轿车司机驶过自然保护区入口时,大客车离景点入口还有多远?
(3)小轿车司机到达自然保护区入口时发现本路段限速80 km/h,请你帮助小轿车司

中考数学函数重点难点突破解题技巧传播十四(B)

函数重点难点突破解题技巧传播十四（B ）1若关于x 的方程2(2)(4)0x x x m --+=有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，则m 的取值范围是 . 【答案】3＜m ≤4【解析】根据原方程可知x-2=0，和x 2-4x+m=0，因为关于x 的方程（x-2）（x 2-4x+m ）=0有三个根，所以x 2-4x+m=0的根的判别式△＞0，然后再由三角形的三边关系来确定m 的取值范围解：∵关于x的方程（x-2）（x 2-4x+m）=0有三个根， ∴①x-2=0，解得x 1=2； ②x 2-4x+m=0， ∴△=16-4m≥，即m≤4，∴x 2=2+x 3=2-又∵这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，且最长边为x 2， ∴x 1+x 3＞x 2；解得3＜m≤4， ∴m的取值范围是3＜m≤4．故答案为：3＜m ≤42如图，已知线段OA 交⊙O 于点B ，且OB ＝AB ，点P 是⊙O 上的一个动点，那么∠OAP 的最大值是A.90°B.60°C.45°D.30°【答案】A 【解析】试题分析：如图，当点P 运动到点P ′，即AP ′与⊙O 相切时，∠OAP 最大。

连接O P ′，则A P ′⊥O P ′，即△AO P ′是直角三角形。

∵OB=AB ，OB= O P ′，∴OA=2 O P ′。

OAP ′=300，即∠OAP 的最大值是=300。

故选A 。

3如图，⊙O 是Rt △ABC 的外接圆，∠ABC=90°，弦BD=BA ，AB=12，BC=5，BE ⊥DC 交DC 的延长线于点E.（1）求证：∠BCA=∠BAD；（2）求DE的长；（3）求证:BE是⊙O的切线。

【答案】解：（1）证明：∵BD=BA，∴∠BDA=∠BAD。

∵∠BCA=∠BDA（圆周角定理），∴∠BCA=∠BAD。

（2）∵∠BDE=∠CAB（圆周角定理），∠BED=∠CBA=90°，∴△BED∽△CBA∵BD=BA =12，BC=5，∴根据勾股定理得：AC=13。

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