7数据的统计描述与分析

天数
3
9
13
22
32
35
20
15
8
2
假设
报童天购进量为n, 平均每天收入为G(n). 设报纸每份的购进价为b，零售价为 a，退回价为c. 报纸每天的需求量r是随机的, 概率为f(r).
模型建立
报童每天购进n份报纸时的平均收入为G(n)，如果这天 的需求量r≤n，则他售出r份，退回n-r份；如果这天的 需求量r>n，则n份将全部售出．考虑到需求量为r的概 率是f(r)，所以
ex , x 0
f (x)
0,
x0
指数分布
2
则称随机变量x服从参数为λ的 1.8
指数分布，其期望为1/λ，
1.6 1.4
标准差为(1/λ)。
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
二项分布（Binomial Distribution），
重复n次的伯努力试验, 用ξ表示随机试验的结果. 如果每一次事件发生的概率是p, 不发生的概率q=1-p， 则ξ发生k次的概率
对于一个容量为n的样本(即一组数据)x=(x1,x2,…,xn)， 为了从样本推断总体, 常常要构造样本的某种函数, 这种 函数称为统计量.
统计量
平均值(期望):
x
1 n
n i 1
xi
中位数: 排序后位于中间的数
1
标准差:
s
1 n 1
n i 1
( xi
x)2
2
方差:
s 2
1 n 1
n i 1
第n次伯努利试验，才得到第一次成功的机率。详细的
说，是：n次伯努利试验，前n-1次皆失败，第n次才成功
的概率。概率密度函数为P(x=k)=(1-p)(k-1)p。
几何分布 0.5
0.45
0.4
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
常见概率分布
指数分布
设连续型随机变量x的概率密度函数为
布可以用它来近似；还有一些常用的概率分布是由它直 接导出的，例如对数正态分布、t分布、F分布等.
1.伯努利试验（或称贝努里试验）概念：是在同样的条件下重复
几何分布地2（.特、G征各e：次o这之m种间e试t相ri验互c中独d，i立s每t地ri一进b次u行t试i的o验一n只）种有试两验种。结果，即某事件A要么 几何分发布生是，要离么散不发型生概。并率且分每次布发。生其的概中率一都是种相定同的义。为：在
1 n
n
( xi
i 1
x)k
反映随机变量与中 心的距离
常见概率分布
均匀分布 设连续型随机变量x的分布函数为
F(x)=(x-a)/(b-a), a≤x≤b 则称随机变量x服从[a, b]上的均匀分布,记为x~U(a,b).
若[x1,x2]是[a,b]的任一子区间, 则 P{x1≤x≤x2}=(x2-x1)/(b-a)
P( k ) Cnk pk qnk
二项分布
称该随机变量服从二项分布。 0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
常见概率分布
泊松分布
设离散型随机变量x的概率为
P(x k) ke , k 0,1,2,
k! 泊松分布 0.35
则称随机变量x服从参数为λ的 0.3
泊松分布，其期望和方差均为λ。0.25
例 报童的决策
报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有卖掉的 报纸退回．设报纸每份的购进价为0.8，零售价为 1，退 回价为0.75. 每天报纸的需求量是随机的. 假设已经得到 159天报纸的需求量情况(如下表). 为了获得最大的利润, 该报童每天应购进多少份报纸?
159天报纸需求量的分布情况
需要量 100~119 120~139 140~159 160~179 180~199 200~219 220~239 240~259 260~279 280~∞
这表明x落在[a,b]的子区间内的概率只与子区间长度有关, 而与子区间位置无关, 因此x落在[a,b]的长度相等的子区间 内的可能性是相等的, 所谓的均匀指的就是这种等可能性.
常见概率分布
正态分布
设连续型随机变量x的概率密度函数为
f (x)
1
e
(
x )2 2 2
2
0.4
标准正态分布
则称随机变量x服从期望值为μ， 0.35
0.3
标准差为σ的正态分布，
0.25
记为x~N(μ, σ2). 当μ=0，σ2 =1时，
0.2 0.15
称为标准正态分布，记为N(0,1)。 0.1 0.050-3ຫໍສະໝຸດ -2-10
1
2
3
正态分布有极其广泛的实际背景，生产与科学实验
中很多随机变量的概率分布都可以近似地用正态分布来 描述。例如，在生产条件不变的情况下，产品的强力、 抗压强度、口径、长度等指标；同一种生物体的身长、 体重等指标；同一种种子的重量；测量同一物体的误差 ；弹着点沿某一方向的偏差；某个地区的年降水量；以 及理想气体分子的速度分量，等等。一般来说，如果一 个量是由许多微小的独立随机因素影响的结果，那么就 可以认为这个量具有正态分布（见中心极限定理）。从 理论上看，正态分布具有很多良好的性质 ，许多概率分
( xi
x)2
极差: 最大值与最小值之差
表示分布的中 心位置
表示随机变量 与中心的距离
统计量
偏度:
g1
1 s3
n
(xi x)3
i 1
反映分布的对称性
峰度:
g2
1 s4
n
(xi x)4
i 1
反映分布的集中程度
k阶原点矩: k阶中心矩:
Vk
1 n
n i 1
xik
反映随机变量与原点 的距离
U k
7 数据的统计描述与分析
在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象称为 随机现象. 随机变量表示随机现象各种结果的变量。
研究对象全体的集合称为总体, 总体的一个基本组 成单位, 即每一个数据称为个体, 总体可以认为包含无穷 多个个体. 若干个个体称为样本, 若样本包含n个个体, 称 n为样本容量.
总体可看作一个随机变量，记作x，每个个体作为这 个随机变量的一个实现，记作xi(i=1,2,…,n), 看作与总体 有相同分布的随机变量, 样本则是一组相互独立的、同 分布的随机变量，记作x=(x1,x2,…,xn).
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
泊松分布适合于描述单位时间（或空间）内随机事
件发生的次数。如某一服务设施在一定时间内到达的人 数，电话交换机接到呼叫的次数，汽车站台的候客人数 ，机器出现的故障数，自然灾害发生的次数，一块产品 上的缺陷数，显微镜下单位分区内的细菌分布数等等。