(经典整理)函数的图像变换与抽象函数问题

函数的图象

〖考纲要求〗能利用函数的性质与图象的对称性描绘简单函数的图象

〖复习要求〗掌握用描点法和图象变换法描绘函数的草图，能利用函数图象解决有关问题. 〖复习建议〗记住基本初等函数的图象特征，能利用函数图象研究函数的定义域、值域、单

调性、奇偶性、周期性、对称性以及一些特殊函数值等，掌握函数图象的三种基本变换：平移变换、对称变换、伸缩变换，要能运用数形结合的思想方法解决有关问题（讨论函数的性质、确定方程解的个数、解不等式……）

〖双基回顾〗

1、将函数)(x f y =的图象平移a 个单位，求所得的函数解析式： ⑴向右平移 ⑵向左平移 ⑶向上平移 ⑷向下平移

2、函数)(x f y =的图象关于下列元素对称的图象对应函数解析式： ⑴x 轴 ⑵y 轴 ⑶原点 ⑷()y f x = ⑸()y f x = .

一、基础知识训练

1、 函数y =)(x f 的图象如下，那么下列对应错误的是………………………（ ）

2

3、函数1

12-+=

x x y 图象的对称中心为

.

4、函数)(x f =log 2|ax －1|的图象关于直线x =2对称，那么实数a = .

|

x x )(x

二、典型例题分析：

1、函数)(a x f y -=与函数)(x a f y -=的图象关于……………………（ ）对称 (A )x 轴 (B )y 轴 (C )直线x =a (D )直线y =a .

2、方程2x +x 3=0的实数解的个数为………………………………………（ ） (A )0 (B )1 (C )2 (D )3

3、作下列函数的图象，并且根据图象说出其单调区间

⑴1

+=x x y ⑵y =x (|x |-2) ⑶y =|x -1|+|2x +3|

4、讨论方程kx x =-|1|的实数根的个数.

5、方程sinx=lgx 的实根个数是 .

6、（二次函数问题）关于x 的方程：3x 2－5x ＋a =0的一根在(－2，0)内，另一根在(1，3)内，求实数a 的取值范围.

7、（二次函数问题）函数)(x f =x 2－2x ＋2在区间[t ，t ＋1]上的最小值为)(t g ，求)(t g 的表达式及其最值.

抽象函数综合问题

〖考纲要求〗理解函数及其有关概念.

〖复习要求〗掌握函数的有关概念，会求简单函数的解析式，掌握函数解析式的一些形式变

换，理解抽象函数的关系式的意义.

〖复习建议〗掌握一次、二次函数解析式，会用待定系数法求之，会用适当的方法研究抽象

函数.

〖双基回顾〗求函数解析式的方法有：直接法、待定系数法、解方程组法、换元法、归纳猜

想法…….

一、知识点训练：

1、f (x ＋1)=2x ＋1,则f (x )= .

2、如果函数f (x )满足：f (x ＋y )=f (x )·f (y )，f (x )恒不为0，那么f (0)= .

3、f (x )=2x ＋3,g (x ＋2)=f (x ),则g (x )=………………………………………………………………（ ）

(A )2x ＋1 (B )2x －1 (C )2x －3 (D )2x ＋7 4、函数y =)(x g 的图象关于直线x =－1对称，且x ∈（0，＋∞）时，)(x g =x

1，那么x

∈（－∞，－2）时)(x g = .

5、如果函数f (x )的定义域为R +且满足：f (xy )=f (x ) ＋f (y )，f (8)=3，那么f (2)= .

6、已知⎪⎩

⎪

⎨⎧<+≥-=6)

2(65)(x x f x x x f ，那么f （3）=……………………………………（ ）

（A ）5 （B ）4 （C ）3 （D ）2

二、典型例题分析：

1、 ⑴如果2

2

1

)1

(x x x x f +

=-

，求函数f (x )的表达式.

⑵如果2

1)11(x

x

x f -=+，求函数f (x )的表达式.

2、二次函数y =f (x )满足：f (x )=f (2－x )并且x >1时f (x )为增函数，如果a =f (0)，b =)4

1

(log

2

f ，

c =)(log

3

πf ，试比较a 、b 、c 的大小

3、对一切实数x 、y ，关系式：f (x －y )=f (x )－(2x －y ＋1)y ，且1)0(=f ，求函数f (x )的表达式.

4、定义在（0，+∞）上的增函数f （x ）满足：)()()(y f x f y x

f -=

⑴求证：f （1）=0

⑵求证：f （x n ）=nf （x ）

⑶如果f （3）=1，解不等式：2)5

1(

)(≥--x f x f

4、设函数f （x ）的定义域为R 且满足x 1≠x 2则f （x 1）≠f （x 2），又对任何实数x 、y 总有：f (x ＋y )=f (x ) f (y )，证明：⑴f （0）=1 ⑵f （x ）＞0恒成立.

5、对一切非0实数x 、y 满足：f (xy )=f (x ) ＋f (y ) ⑴求证：f (1)=f (－1)=0 ⑵判断f (x )的奇偶性

⑶如果f (x )在(0,＋∞)上递增，解不等式0)21()(≤-

+x f x f

6、对任意实数x ，若y =f （x ）是y =2－x 2和y =x 这两个函数中的较小者，求函数y =f （x ）的解析式.