(经典整理)函数的图像变换与抽象函数问题

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函数图象变换及应用抽象函数汇总

函数图象变换及应用一个函数到另一个函数的变换，（两个函数的对称关系）1．平移：(1)y = f (x + m) (m>0)：把函数y =f (x)的图象向左平移m 的单位（如m<0则向右平移-m 个单位）。

(2)y = f (x) + m (m>0)：把函数y =f (x)的图象向上平移m 的单位（如m<0则向下平移-m 个单位）。

2．对称：✧ 关于直线对称(Ⅰ) (1)函数y = f (-x)与y = f (x)的图象关于y 轴对称。

(2)函数y = -f (x)与y = f (x)的图象关于x 轴对称。

(3)函数y = f (2a -x)与y = f (x)的图象关于直线x = a 对称。

(4)函数y = 2b -f (x)与y = f (x)的图象关于直线y = b 对称。

(Ⅱ)(7)函数y = f (|x|)的图象则是将y = f (x)的y 轴右侧的图象保留，并将y =f (x)右侧的图象沿y 轴翻折至左侧。

（实际上y = f (|x|)是偶函数）(8)函数y = |f (x)|的图象则是将y = f (x)在x 轴上侧的图象保留，并将y = f (x)在x 轴下侧的图象沿x 轴翻折至上侧。

一般地：函数y = f (a+mx)与y = f (b -mx)的图象关于直线m2a b x -=对称。

思考：函数y = f (4+2x)与y = f (2+2x)的图象关系?✧ 关于点对称(1) 函数y = - f (-x)与y = f (x)的图象关于原点对称。

(2) 函数y = 2b -f (2a -x)与y = f (x)的图象关于点(a,b)对称。

3．伸缩(1) 函数y = f (mx) (m>0)的图象可将y = f (x)图象上各点的纵坐标不变，横坐标缩小到原来的m1倍得到。

（如果0<m<1，实际上是将f (x)的图象伸展） (2) 函数y = mf (x) (m>0)的图象可将y = f (x)图象上各点的横坐标不变，纵坐标缩小到原来的m 1倍得到。

用十张动态图片总结高中数学函数图像变换问题，拿给学生看看

用十张动态图片总结高中数学函数图像变换问题，拿给学生看看“风雨送春归，飞雪迎春到。

已是悬崖百丈冰，犹有花枝俏。

”高中数学的函数本身很抽象，函数的图像也是重中之重，而函数图像变换令很多人苦不堪言，本文对所有函数图像变换进行总结归纳，用动态的形式展现函数图像变换之奥妙，看到以下函数图像动态变换过程，有助于学生理解图像变换之精髓！一、平移变换上+下-将函数y=f（x）的图像向上平移a个单位，即可得到y=f（x）+a 的图像。

将函数y=f（x）的图像向下平移a个单位，即可得到y=f（x）-a 的图像。

左+右-将函数y=f（x）的图像向左平移a个单位，即可得到y=f（x+a）的图像。

将函数y=f（x）的图像向右平移a个单位，即可得到y=f（x-a）的图像。

二、伸缩变换横坐标伸缩将函数y=f（x）的图像上各点横坐标变来原来的1/a，纵坐标不变，即可得到y=f（ax）的图像。

（a>1时缩短，0<a<1时伸长）纵坐标伸缩将函数y=f（x）的图像上各点纵坐标变来原来的A倍，横坐标不变，即可得到y=Af（x）的图像。

（A>1时伸长，0<A<1时缩短）三、对称变换将函数y=f（x）的图像关于x轴对称，得到y=-f（x）的图像。

将函数y=f（x）的图像关于y轴对称，得到y=f（-x）的图像。

将函数y=f（x）的图像关于原点对称，得到y=-f（-x）的图像。

四、翻折变换下翻上：要得到函数y=|f（x）|的图象，可将函数y=f（x）的图象位于x 轴下方的图像关于x轴对称翻折到x轴上方，其余部分不变（不保留x轴下方的部分）去左翻右：要得到函数y=f（|x|）的图象，可先做出y=f（x）的图象，去掉y轴左侧部分，再根据y=f（|x|）是偶函数的特点，将y轴右侧的部分关于y轴对称翻折到y轴左侧（保留y轴右侧的部分）。

五、反函数变换y=f（x）与其反函数y=f-1（x）的图像关于y=x对称。

函数的图像及其变换(完整版)

函数的图像及其变换(完整版)-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN函数的图像及变换一、函数图像的变换对称变换(||)翻折翻折变换|()|翻折左右平移平移变换上下平移横坐标不变，纵坐标伸缩伸缩变换纵坐标不变，横坐标伸缩y f x y f x ⎧⎪⎧=⎪⎨⎪=⎩⎪⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩关于x 轴对称：(,)(,)x y x y →- 关于y 轴对称：(,)(,)x y x y →- 关于原点对称：(,)(,)x y x y →-- 关于y x =对称：(,)(,)x y y x →关于y x =-对称：(,)(,)x y y x →-- 关于直线x a =对称：(,)(2,)x y a x y →-（轴对称）关于y x b =+对称：(,)(,)x y y b x b →-+ 关于y x b =-+对称：(,)(,)x y b y x b →--+ 关于点(,)P a b 对称：(,)(2,2)x y a x b y →--（点对称）例1：已知2()2f x x x =-，且()g x 与()f x 关于点(1,2)对称，求()g x 的解析式.（相关点法）例2：已知函数()y f x =的图像关于直线1x =-对称，且当(0,)x ∈+∞时，有1()f x x=，则当 (,2)x ∈-∞-时，()f x 的解析式是（）.A. 1x -B. 12x +C.12x -+D. 12x- 例3：下列函数中，同时满足两个条件“①x R ∀∈，()()01212f x f x ππ++-=；②当6π-<x 3π<时，'()0f x >”的一个函数是（）A.()sin(2)6f x x π=+B. ()cos(2)3f x x π=+C. ()sin(2)6f x x π=-D. ()cos(2)6f x x π=-①关于形如()y f x =的图像画法：当0x ≥时，()y f x =；当0x ≤时，()y f x =-()y f x =为偶函数，关于y 轴对称，即把0x ≥时()y f x =的图像画出，然后0x ≤时的图像与 0x ≥的图像关于y 轴对称即可得到所求图像.②关于形如()y f x =的图像画法当()0f x ≥时，()y f x =；当()0f x ≤时，()y f x =-先画出()y f x =的全部图像，然后把()y f x =的图像x 轴下方全部关于x 轴翻折上去，原x 轴上方的图像保持不变，x 轴下方的图像去掉不要即可得到所求图像.例3：画出下列函数的图像.（1）12log y x = （2）228y x x =--例4:设函数2()45f x x x =--.（1）在区间[2,6]-上，画出函数()f x 的图像；（2）设集合{}()5A x f x =≥，(,2][0,4][6,)B =-∞-+∞.试判断集合A B 、之间的关系，并给出证明；（3）当2k >时，求证：在区间[1,5]-上，3y kx k =+的图像位于函数()f x 图像的上方.①左右平移把函数()y f x =的全部图像沿x 轴方向向左（0a >）或向右（0a <）平移a 个单位即可得到函数()y f x a =+的图像②上下平移把函数()y f x =的全部图像沿y 轴方向向上（0a >）或向下（0a <）平移a 个单位即可得到函数()y f x a =+的图像例4：将函数lg(32)1y x =-+按向量(2,3)a =-平移后得到新的图象解析式为例5:把一个函数的图象按向量(,2)8a π=-平移后得到的图象的解析式为sin(2)24y x π=+-，则原来函数的解析式 .Ⅰ.将函数()y f x =的全部图像中的每一点横坐标不变，纵坐标伸长(1)a >或缩短(01)a <<为原来的a 倍得到函数()(0)y af x a =>的图像.Ⅱ. 将函数()y f x =的全部图像中的每一点纵坐标不变，横坐标伸长(1)a >或缩短(01)a <<为原来的1a倍得到函数()(0)y f ax a =>的图像. 例6：已知函数21()2lg(2)-=++x f x x ，把函数()y f x =的图像关于y 轴对称，然后向右平移1个单位，最后纵坐标保持不变，横坐标变为原来的2倍得到()g x 的图像，求()g x 的解析式.例7：已知函数2()log (1)f x x =+，将()y f x =的图像向左平移1个单位，再将图像上所有点纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数()y g x =的图像. （1）求()y g x =的解析式和定义域；（2）求函数()(1)()F x f x g x =--的最大值.【练习】1.为了得到函数321x y -=-的图像，只需要把函数2x y =的图像上所有的点（）.A.向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度B.向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度C.向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度D.向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 2.下面四个图形中，与函数22log (1)yx x =+≥的图像关于y x =对称的是（）.3.若函数()()y f x x R =∈满足(2)()f x f x +=，且[1,1]x ∈-时，()f x x=，则函数()y f x =的图像与函数4log y x =的图像的交点的个数为（）.A.3B.4C.6D.84.将函数by a x a=++的图像向右平移2个单位长度后又向下平移2个单位，所得到的函数图像与原图像如果关于直线y x =对称，那么（）.A. 1,0a b =-≠B. 1,a b R =-∈C.1,0a b =≠D. 0,a b R =∈ 5.已知21()f x x x =+，且()g x 与()f x 关于点(1,0)-对称，求()g x 的解析式.6.画出下列函数的图像.（1）ln y x = （2）26y x x =--7. 函数()2xf x =和3()g x x =的图像的示意图如图所示，设两函数的图像交于点11(,)A x y ，22(,)B x y ，且12x x <.（1）请指出示意图中曲线12,C C 分别对应于哪一个函数；（2）若12[,1],[,1]x a a x b b ∈+∈+，且{},1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12a b ∈，指出,a b 的值，并说明理由；（3）结合函数图像的示意图，判断(6),(6),(2010),(2010)f g f g 的大小关系.8.已知函数()f x 和()g x 的图像关于原点对称，且2()2f x x x =+. （1）求函数()g x 的解析式；（2）解不等式()()1g x f x x ≥--；（3）若()()()1h x g x f x λ=-+在[1,1]-上是增函数，求实数λ的取值范围.6. 已知函数()y f x =，把函数()y f x =的图像向左平移1个单位，然后横坐标保持不变，纵坐标变为原来的3倍再向下平移3个单位得到()g x 的图像，求()g x 的解析式.补充：请把相应的幂函数图象代号填入表格.①32x y =；②2-=x y；③21xy =；④1-=x y ；⑤31x y =；⑥23x y =；⑦34x y =； ⑧21-=x y ；⑨35x y =.函数代号 ①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩图象代号HI常规函数图像有：指数函数：逆时针旋转，底数越来越大 .对数函数：逆时针旋转,底数越来越小幂函数：逆时针旋转，指数越来越大。

函数的图像及其变换归纳总结

函数的图像及其变换归纳总结一、课标要求：函数是现代数学中最基本的概念，是描述客观世界中变量关系和规律的最为基本的数学语言和工具，在解决实际问题汇总发挥重要作用。

函数是贯穿高中数学课程的主线。

1．函数概念与性质本单元的学习，可以帮助学生建立完整的函数概念，不仅把函数理解为刻画变量之间依赖关系的数学语言和工具，也把函数理解为实数集合之间的对应关系；能用代数运算和函数图象揭示函数的主要性质；在现实问题中，能利用函数构建模型，解决问题。

（1）函数概念①在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念（参见案例2），体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用。

了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域。

②在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数，理解函数图象的作用。

③通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用。

（2）函数性质①借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义。

②结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义。

③结合三角函数，了解周期性的概念和几何意义。

2．幂函数、指数函数、对数函数幂函数、指数函数与对数函数是最基本的、应用最广泛的函数，是进一步研究数学的基础。

本单元的学习，可以帮助学生学会用函数图象和代数运算的方法研究这些函数的性质；理解这些函数中所蕴含的运算规律；运用这些函数建立模型，解决简单的实际问题，体会这些函数在解决实际问题中的作用。

内容包括：幂函数、指数函数、对数函数。

（1）幂函数（2）指数函数（3)对数函数二、知识梳理1.图像的变换（1）两个函数图象间的变换及函数关系：【会根据变换写解析式】平移变换：（2）翻折变换：（3）伸缩变换：（4）(对称变换)两个函数图象间的对称性及函数关系：【会根据对称性写解析式】2.函数图像的应用（1）.利用函数图像确定函数解析式利用函数图像确定函数解析式时,要注意综合应用奇偶性、单调性等相关性质，同时结合自变量与函数值的对应关系.（2）利用函数图像研究两函数图像交点的个数利用函数图像研究两函数图像交点的个数时,常将两函数图像在同一坐标系内作出,利用数形结合求解参数的取值范围.（3）利用函数图像研究不等式当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时,常将不等式问题转化为两函数图像的上、下关系问题,从而利用数形结合求解.（4）利用函数图像研究方程根的个数【会读图】读出定义域，值域，最值，极值，零点，解集，单调性，奇偶性（对称性），周期性，有界性，渐近线．【会作图】熟练掌握一些基本函数图象．作图时，抓住关键点（端点、最值点、极值点、零点、与y轴的交点、对称中心等），关键线（对称轴、渐近线），利用好函数性质（奇偶性、单调性、周期性等）．三、查缺补漏1.识图，辩图（1）从函数的定义域,判断图像左右的位置；（2）从函数的值域,判断图像的上下位置；（3）从函数的单调性,判断图像的变化趋势；（4）从函数的奇偶性,判断图像的对称性；（5）从函数的周期性,判断图像的循环往复.2.图像的变换3.图像的应用四、常用二级结论：1.函数图像对称性2. 二次函数3.经典不等式．三年真题：。

高中数学-函数图象变换及经典例题练习

高中数学-函数图象变换1、平移变换（左加右减上加下减）：y=f(x)h 左移→y=f(x+h); y=f(x)h 右移→y=f(x -h); y=f(x)h 上移→y=f(x)+h; y=f(x)h 下移→y=f(x)-h.2、对称变换：y=f(x) 轴x →y= -f(x); y=f(x)轴y →y=f(-x); y=f(x) 原点→y= -f(-x). y=f(x) a x =→直线y=f(2a -x); y=f(x) x y =→直线y=f -1(x);3、翻折变换：（1）函数|()|y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像的x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方，去掉原x 轴下方部分，并保留()y f x =的x 轴上方部分即可得到；（2）函数(||)y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像右边沿y 轴翻折到y 轴左边替代原y 轴左边部分并保留()y f x =在y 轴右边部分即可得到．4、伸缩变换：y=f(x)ω⨯→x y=f(ωx ); y=f(x)ω⨯→y y=ωf(x). 经典题型：作已知函数的图像、知式选图或知图选式、图像应用例1．函数111--=x y 的图象是（）答案B例2．如图所示，)(),(),(),(4321x f x f x f x f 是定义在]1,0[上的四个函数，其中满足性质：“对]1,0[中任意的1x 和2x ，)]()([21)2(2121x f x f x x f +≤+恒成立”的只有（）答案A例3、利用函数x x f 2)(=的图象，作出下列各函数的图象：（1）)1(-x f ；（2）|)(|x f ；（3）1)(-x f ；（4）)(x f -；（5）.|1)(|-x f例4已知0>a ，且≠a 1，函数x a y =与)(log x y a -=的图象只能是图中的（）答案B例5函数)(x f y =与函数)(x g y =的图象如右上，则函数)(x f y =·)(x g 的图象是（）答案A例6 已知函数y ＝f (x )的周期为2，当x ∈[－1,1]时f (x )＝x 2，那么函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝|lg x |的图象的交点共有( )．A ．10个B ．9个C ．8个D ．1个解析：画出两个函数图象可看出交点有10个．答案 A例7．y ＝x ＋cos x 的大致图象是( )解析当x ＝0时，y ＝1；当x ＝π2时，y ＝π2；当x ＝－π2时，y ＝－π2，观察各选项可知B 正确．例8.函数cos622x xx y -=-的图象大致为（）例9．函数y ＝11－x的图象与函数y ＝2sin πx (－2≤x ≤4)的图象所有交点的横坐标之和为（）． A ．2 B ．4 C ．6 D ．8解析此题考查函数的图象、两个函数图象的交点及函数的对称性问题．两个函数都是中心对称图形．如右图，两个函数图象都关于点(1,0)成中心对称，两个图象在[－2,4]上共8个公共点，每两个对应交点横坐标之和为2，故所有交点的横坐标之和为8.例10.函数21log 1x y x+=-的图象（） A ．关于原点对称 B. 关于主线y x =-对称C. 关于y 轴对称D. 关于直线y x =对称解析设21()log 1x f x x +=-，则21()log 1x f x x --=+=()f x -，所以函数21log 1x y x+=-是奇函数，其图象关于原点对称，故选A.例11. 若方程2a ＝|a x －1|(a >0，a ≠1)有两个实数解，求实数a 的取值范围．解：当a >1时，函数y ＝|a x －1|的图象如图①所示，显然直线y ＝2a 与该图象只有一个交点，故a >1不合适；当0<a <1时，函数y ＝|a x －1|的图象如图②所示，要使直线y ＝2a 与该图象有两个交点，则0<2a <1，即0<a <12.综上所述，实数a 的取值范围为(0，12)．函数图像及图像变换练习（带答案）1. 函数)1(||>⋅=a a x x y x 的图象的基本形状是（）答案A2.方程lg x =sin x 解的个数为（）。

高考数学函数图像变换与技巧全解析

高考数学函数图像变换与技巧全解析在高考数学中，函数图像的变换与相关技巧是一个重要且具有一定难度的知识点。

掌握这部分内容，对于理解函数的性质、解决函数相关的问题以及提高数学综合解题能力都具有至关重要的意义。

一、函数图像的平移变换函数图像的平移是指将函数的图像在平面直角坐标系中沿着坐标轴进行移动。

对于形如 y ＝ f(x) 的函数，向左平移 a 个单位，得到的函数为 y ＝ f(x ＋ a)；向右平移 a 个单位，得到的函数为 y ＝ f(x a)。

向上平移 b 个单位，得到的函数为 y ＝ f(x) ＋ b；向下平移 b 个单位，得到的函数为 y ＝ f(x) b。

例如，对于函数 y ＝ x²，将其向左平移 2 个单位，得到 y ＝（x ＋2)²的图像；将其向下平移 3 个单位，得到 y ＝ x² 3 的图像。

在进行平移变换时，需要注意“左加右减，上加下减”的规律。

这个规律简单易记，但在实际应用中，同学们要理解其本质，即函数自变量 x 的变化和函数值 y 的变化。

二、函数图像的伸缩变换函数图像的伸缩变换包括沿 x 轴和 y 轴的伸缩。

沿 x 轴方向的伸缩：对于函数 y ＝ f(x)，若将其横坐标伸长或缩短到原来的 k 倍（k ＞ 0），则得到的函数为 y ＝ f(1/k x) （当 k ＞ 1 时，图像沿 x 轴缩短；当 0 ＜ k ＜ 1 时，图像沿 x 轴伸长）。

例如，函数 y ＝ sin x 的图像，将其横坐标缩短为原来的 1/2，得到y ＝ sin 2x 的图像。

沿 y 轴方向的伸缩：对于函数 y ＝ f(x)，若将其纵坐标伸长或缩短到原来的 k 倍（k ＞ 0），则得到的函数为 y ＝ kf(x) （当 k ＞ 1 时，图像沿 y 轴伸长；当 0 ＜ k ＜ 1 时，图像沿 y 轴缩短）。

比如，函数 y ＝ x 的图像，将其纵坐标伸长为原来的 2 倍，得到 y＝ 2x 的图像。

第01讲抽象函数的图像和性质问题的处理-高考数学热点

高考数学热点难点突破技巧第01讲：抽象函数的图像和性质问题的处理【知识要点】一、抽象函数的考查常常表现在求抽象函数的定义域、值域、单调性、奇偶性和周期性等方面.二、抽象函数虽然不是具体函数，但是它的图像和性质的研究方法和具体函数仍然是一样的，只不过是函数没有解析式，比较抽象，难度稍微大些.【方法点评】【例1】已知函数)(x f 的定义域是]21[，-，求函数)]3([log 21x f -的定义域.【例2】已知函数(24)y f x =+的定义域为[0,1]，求函数f （x)的定义域. 【解析】∵(24)y f x =+的定义域为[0,1]，即在(24)y f x =+中x ∈[0,1]，令24t x =+， x ∈[0,1]，则t ∈[4,6]，即在()f t 中，t ∈[4,6]∴f （x)的定义域为[4,6].【点评】（1）已知原函数()f x 的定义域为(,)a b ，求复合函数[()]f g x 的定义域：只需解不等式()a g x b <<，不等式的解集即为所求函数的定义域.例1就是典型的例子.（2）已知复合函数[()]f g x 的定义域为(,)a b ，求原函数()f x 的定义域：只需根据a x b <<求出函数()g x 的值域，即得原函数()f x 的定义域.例2就是典型的例子.【反馈检测1】若函数)1(+=x f y 的定义域为)3,2[-，求函数)21(+=xf y 的定义域. 【例3】已知函数()f x 对任意实数,x y 恒有()()+(y)f x y f x f +=，且当0x >时，()0f x <，又1=2f -（）.(1)判断()f x 的奇偶性； (2)求证：()f x 是R 上的减函数；(3)求()f x 在区间[－3,3]上的值域；(4)若x R ∀∈，不等式2()2()()4f ax f x f x -<+恒成立，求a 的取值范围．(2)证明：任取12,(,)x x ∈-∞+∞，且12x x <，则210x x ->，2121()()()0f x f x f x x +-=-<，∴21()()f x f x <--，又()f x 为奇函数，∴12()()f x f x >．∴()f x 是R 上的减函数．(3)由(2)知()f x 在R 上为减函数，∴对任意[3,3]x ∈-，恒有(3)()(3)f f x f ≤≤-，∵(3)(2)(1)(1)(1)(1)236f f f f f f =+=++=-⨯=-，∴(3)(3)6f f -=-=，()f x 在[3,3]-上的值域为[6,6]-．(4) ()f x 为奇函数，整理原式得2()(2)()(2)f ax f x f x f +-<+-，则2(2)(2)f ax x f x -<-，∵()f x 在(,)-∞+∞上是减函数，∴222ax x x ->-，当0a =时，22x x ->-在R 上不是恒成立，与题意矛盾；当0a >时，2220ax x x --+>，要使不等式恒成立，则980a ∆=-<，即98a >；当0a <时，2320ax x -+>在R 上不是恒成立，不合题意．综上所述，a 的取值范围为9+8∞（，）．【点评】（1）证明抽象函数的单调性的方法和证明具体函数的单调性方法本质上是一样的.先设1212,,x x D x x ∈<且，再利用已知条件判断12()()f x f x -的符号，如果12()()0f x f x ->，则函数是减函数；如果12()()0f x f x -<，则函数是增函数. （2）求抽象函数的值域，一般先分析出抽象函数的单调性，再求函数的值域.【反馈检测2】已知函数()f x 的定义域为[]0,1，且同时满足：(1)对任意[]0,1x ∈，总有()2f x ≥；(2)(1)3f =(3)若120,0x x ≥≥且121x x +≤，则有1212()()()2f x x f x f x +≥+-.(I)求(0)f 的值；(II)求()f x 的最大值.【例4】已知函数)0)((≠∈x R x x f ，对任意不等于零的实数21x x 、都有12()f x x ⋅12()()f x f x =+，试判断函数()f x 的奇偶性.【点评】（1）判断函数的奇偶性的方法：首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数；如果函数的定义域关于原点对称，则继续求()f x -；最后比较()f x -和()f x 的关系，如果有()f x -=()f x ，则函数是偶函数，如果有()f x -=-()f x ，则函数是奇函数，否则是非奇非偶函数.（2）抽象函数奇偶性的判断和判断具体函数的奇偶性一致，但是难度要大一点，解题过程中要找到()f x -和()f x 的关系，多用赋值法（特殊值）.【反馈检测3】定义域为R 的函数)(x f 满足：对于任意的实数,x y 都有()()()f x y f x f y +=+成立，且当0x >时)0f x <（恒成立.(1)判断函数)(x f 的奇偶性，并证明你的结论；(2)证明)(x f 为减函数；若函数)(x f 在[3,3)-上总有)6f x ≤（成立，试确定(1)f 应满足的条件.【例5】)(x f 定义在实数集上，当0>x 时，1)(>x f ，对于任意实数,x y ，有()f x y +()()f x f y =⋅，求证：)(x f 在R 上为增函数.【解析】证明：在)()()(y f x f y x f =+中取0==y x ，得2)]0([)0(f f =若0)0(=f ，令00=>y x ，，则0)(=x f ，与1)(>x f 矛盾, 所以0)0(≠f ，即有1)0(=f当0>x 时，01)(>>x f ；当0<x 时，01)(0>>->-x f x ，而1)0()()(==-⋅f x f x f 所以0)(1)(>-=x f x f【点评】（1）抽象函数虽然没有解析式，但是在判断证明函数的单调性的方法上和具体函数是一致的，同样利用函数的单调性的定义和导数.（2）利用单调性的定义时，关键在于分解化简，1211211121121()f(x )()[()]()()()()(1())f x f x f x x x f x f x f x x f x f x x -=-+-=--=--这是解答的关键，想方设法把变量1x 或2x ，按照已知条件拆开，并严格说明它的符号.【反馈检测4】已知函数()f x 的定义域为R,对任意实数,m n 都有()()()f m n f m f n +=∙,且当0x >时,0()1f x <<.(1)证明:(0)1,0f x =<且时,f(x)>1； (2)证明: ()f x 在R 上单调递减.【反馈检测5】已知函数()f x 的定义域是0x ≠的一切实数，对定义域内的任意12,x x ，都有1212()()()f x x f x f x =+，且当1x >时()0f x >，(2)1f =.（1）求证()f x 是偶函数；（2）()f x 在(0,)+∞上时增函数；（3）解不等式2(21)2f x -<.【例6】设函数'()f x 是奇函数()f x （x R ∈）的导函数，且(2)0f -=，当0x >时，'()()0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（）A ．()(),20,2-∞- B ．()()2,02,-+∞ C ．()(),22,0-∞-- D ．()()0,22,+∞ 【解析】设2()'()()()'()0,(0)()f x xf x f x g x g x x g x x x -=⇒=<>⇒在(0,)+∞上是减函数，又()f x （x R ∈）是奇函数，所以()()f x f x -=-，所以(x)()()()f f x f x g x x x x ---===--()g x ⇒是偶函数，(2)0(2)(2)022f g g -=-===-- 作出图象如下图，由00()()0()0()0x x f x xg x g x g x <>⎧⎧=>⇒⎨⎨<>⎩⎩或⇒()(),20,2x ∈-∞-，故选A.【点评】（1）这个抽象函数的单调性，不能通过单调性的定义来推导，只能通过导数的性质来推导. (2)解答本题的关键是根据已知条件'()()0xf x f x -<联想到商的导数，还原公式，再构造函数，得到新函数的单调性、奇偶性和特殊点，再作草图分析.【反馈检测6】【2017天津，理6】已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =.若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A.a b c <<B. c b a <<C.b a c <<D.b c a <<【例7】已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数,且它的图象关于直线1x =对称.(1)求(0)f 的值； (2)证明: 函数()f x 是周期函数；(3)若()(01),f x x x =<≤求当x R ∈时,函数()f x 的解析式,并画出满足条件的函数()f x 至少一个周期的图象.【解析】(1)解:∵()f x 为R 上的奇函数, ∴对任意,x R ∈都有()()f x f x -=-,令0,x =则(0)(0)f f -=- ∴(0)f =0(3)当[)1,3x ∈-时，(11)()2(13)x x f x x x -≤≤⎧=⎨-+<<⎩当4141k x k -≤≤+时，()4f x x k =-，k Z ∈当4143k x k +<<+时，()24f x x k =-+-，k Z ∈∴4(4141)(),24(4143)x k k x k f x z R x k k x k --≤≤+⎧=∈⎨-+-+<<+⎩图象如下：【点评】（1）对于抽象函数的周期性，一般如果1不是它的周期，就猜想2是它的周期，如果2不是它的周期，就猜4是它的周期（偶数倍），再证明.（2）如果函数()f x 满足()()f x a f x b +=+，则函数()f x 的周期T 为||a b -，如果函数()f x 满足()()f x a f x +=-，则函数()f x 的周期T 为2||a .【反馈检测7】已知函数()f x 满足1()(1)1()f x f x f x ++=-，若(0)2004f =，试求(2005)f .高考数学热点难点突破技巧第01讲：抽象函数的图像和性质问题的处理参考答案【反馈检测1答案】),21(]31,(+∞--∞【反馈检测1详细解析】由)1(+=x f y 的定义域为)3,2[-，知1+x 中的)3,2[-∈x ，从而411<+≤-x ，对函数)21(+=x f y 而言，有1124x-≤+<，解之得：),21(]31,(+∞--∞∈ x . 所以函数)21(+=x f y 的定义域为),21(]31,(+∞--∞ 【反馈检测2答案】（1）(0)=2f ；（2）max ()(1)3f x f ==（II ）任意[]12,0,1x x ∈且12x x <，则212101,()2x x f x x <-≤∴-≥22112111()()()()2()f x f x x x f x x f x f x ∴=-+≥-+-≥ max ()(1)3f x f ∴==【反馈检测3答案】（1）奇函数；（2）(1)2f ≥-.【反馈检测3详细解析】（1）由已知对于任意的实数,x y 都有()()()f x y f x f y +=+成立. 令0x y ==，得(00)(0)(0)f f f +=+，∴(0)0f =令x y =-，得()()()0f x x f x f x -=+-=∴对于任意x ，都有()()f x f x -=- ∴()f x 是奇函数.（2）设任意12,x x R ∈且12x x <，则210x x ->，由已知21()0f x x -<（1）又212121()()()()()f x x f x f x f x f x -=+-=-（2）由（1）（2）得12()()f x f x >,根据函数单调性的定义知)(x f 在(,)-∞+∞上是减函数. ∴)(x f 在[3,3)-上的最大值为(3f -）.要使)6f x ≤（恒成立，当且仅当(3f -≤）6，又∵(3)(3)(21)[(2)(1)][(1)(1)(1)]3(1)f f f f f f f f f -=-=-+=-+=-++-,(1)2f ∴≥-【反馈检测4答案】（1）见解析；（2）见解析.【反馈检测4详细解析】(1)证明:令0,1m n ==,则(01)(0)(1)f f f +=∙∵当0x >时,0()1f x <<,故(1)0f >,∴(0)1f =,∵当0x > 时,0()1f x << ∴当0x <时, 0x ->,则(0)1()()()()1()()f f x x f x f x f x f x f x -+=-∙⇒==>--【反馈检测5答案】（1）见解析；（2）证明见解析；（3）0,x x x <<≠≠. 【反馈检测5详细解析】12(1)1(1)(1)(1)(1)0x x f f f f ==∴=+∴=令121[(1)(1)](1)(1)02(1)(1)0x x f f f f f ==-∴-⨯-=-+-∴=-∴-=令 121[(1)]()(1)()()()x x x f x f x f f x f x f x ==-∴⨯-=+-∴-=∴令是偶函数 111212222222(2)0()()()()()()()x x x x f x f x f x f x f x f f x x x >>∴-=-=+-设 1111212222()011()0()0()()0x x x f x x x f x f f x f x x x x =>>∴>>>∴>∴->时， 0+∴∞函数在（，）上是增函数12(3)2(22)(2)(2)2(4)2x xf f f f ==∴⨯=+=∴=令2(21)2(4)()+f x f f x -<=∞是偶函数在（0，）上时增函数22x 02100,|21|<4x x x x x ≠⎧⎪∴-≠<<≠≠⎨⎪-⎩. 【反馈检测6答案】C【反馈检测6详细解析】因为()f x 是奇函数且在R 上是增函数，所以在0x >时，()0f x >， ()()()()g x xf x x f x xf x g -=--=-⋅-==（x)，所以()()g x xf x =是R 上的偶函数. 当0x >时，()()()()()g x x f x xf x f x xf x ''''=+=+ 因为()00()0f x x f x '>>> 所以()()0g (x)0f x xf x ''+>∴> 所以()g x 在[0,)+∞上是增函数，22(log 5.1)(log 5.1)a g g =-=，0.822<，又4 5.18<<，则22log 5.13<<，所以即0.8202log 5.13<<<，所以0.82(2)(log 5.1)(3)g g g <<，所以b a c <<，故选C ．【反馈检测7答案】2005(2005)2003f =-∴()f x 是以4为周期的周期函数又∵(2)2004f = ∴1(2004)(2005)(20041)1(2004)f f f f +=+=-=1(0)1(0)f f +-=1200412004+-=-20052003 ∴(2005)f =-20052003。

微专题抽象函数题型归纳总结

抽象函数常见题型归纳总结抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。

由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一。

本文就抽象函数常见题型及解法评析如下：一、定义域问题(一)已知的定义域，求的定义域解法：若的定义域为，则中，从中解得的取值范围即为的定义域。

例题1：设函数的定义域为，则（1）函数的定义域为______；（2）函数的定义域为_______解析：（1）由已知有，解得，故的定义域为（2）由已知，得，解得，故的定义域为(二)已知的定义域，求的定义域。

解法：若的定义域为，则由确定的范围即为的定义域。

例题2：函数的定义域为，则的定义域为_____。

解析：由，得，所以，故填(三)已知的定义域，求的定义域。

解法：先由定义域求定义域，再由定义域求得定义域。

例题3：函数定义域是，则的定义域是_______解析：先求的定义域，的定义域是，，即的定义域是再求的定义域，，的定义域是(四) 运算型的抽象函数求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，解法是：先求出各个函数的定义域，再求交集。

例题4：函数的定义域是，求的定义域。

解析：由已知，有，即函数的定义域由确定函数的定义域是【巩固1】已知函数的定义域是［1，2］，求f (x )的定义域。

解析：的定义域是［1，2］，是指，所以中的满足从而函数f (x )的定义域是［1，4］【巩固2】已知函数的定义域是，求函数的定义域。

解析：的定义域是，意思是凡被f 作用的对象都在中，由此可得所以函数的定义域是【巩固3】f x ()定义域为(0)，1，则y f x a f x a a =++-≤()()(||)12定义域是__。

解析：因为x a +及x a -均相当于f x ()中的x ，所以010111<+<<-<⎧⎨⎩⇒-<<-<<+⎧⎨⎩x a x a a x aa x a (1)当-≤≤120a 时，则x a a ∈-+()，1; (2)当012<≤a 时，则x a a ∈-()，1 一、解析式问题1. 换元法：即用中间变量表示原自变量x 的代数式，从而求出()f x ，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。

第4节抽象函数问题(有答案)

第4节抽象函数问题内容提要1．轴对称：如果函数()y f x =满足若122x x a +=，就有12()()f x f x =，则()f x 的图象关于直线x a =对称.记法：自变量关于a 对称，函数值相等，如图1.2．中心对称：若函数()y f x =满足若122x x a +=，就有12()()2f x f x b +=，则()f x 关于点(,)a b 对称.记法：自变量关于a 对称，函数值关于b 对称，如图2.3．函数图象的对称轴和对称中心距离（规律：x 系数相反是对称，x 系数相同是周期）()()f x a f a x +=-或(2)()f a x f x +=-()f x 关于直线x a =对称（当0a =时，()f x 即为偶函数，关于y 轴对称）()()f a x f b x +=-()f x 关于直线2a bx +=对称()()0f a x f a x ++-=()f x 关于(,0)a 对称（当0a =时，()f x 即为奇函数，关于原点对称）()()f a x b x c++-=()f x 关于点(,)22a b c+对称4．双对称的周期结论（可借助三角函数辅助理解）：（1）如果函数()f x 有两条对称轴，则()f x 一定是周期函数，周期为对称轴距离的2倍.（2）如果函数()f x 有一条对称轴，一个对称中心，则()f x 一定是周期函数，周期为对称中心与对称轴之间距离的4倍.（3）如果函数()f x 有在同一水平线上的两个对称中心，则()f x 一定是周期函数，周期为对称中心之间距离的2倍.5．原函数与导函数的对称结论：（无需死记结论，想象图象，能理解就行）（1）若()f x 存在导函数()f x '，且()f x 有对称中心(,)a b ，则()f x '必有对称轴x a =.特别地，若()f x 为奇函数，则()f x '为偶函数.（2）若()f x 存在导函数()f x '，且()f x 有对称轴x a =，则()f x '必有对称中心(,0)a .特别地，若()f x 为偶函数，则()f x '为奇函数.（3）若()f x '有对称中心(,)a b ，则()f x 不一定有对称轴x a =；但若0b =，则()f x 一定有对称轴x a =.特别地，若()f x '为奇函数，则()f x 必为偶函数.（4）若()f x '有对称轴x a =，则()f x 必有对称中心(,)a b .特别地，若()f x '是偶函数，则()f x 不一定是奇函数，只能()f x 关于(0,)b 对称，但b 不一定是0.典型例题【例1】已知函数()y f x =满足()(2)0()f x f x x --=∈R ，且在[1,)+∞上为增函数，则（）（A ）(1)(1)(2)f f f ->>（B ）(1)(2)(1)f f f >>-（C ）(1)(2)(1)f f f ->>（D ）(2)(1)(1)f f f >->答案：C解析：()(2)0()(2)()f x f x f x f x f x --=⇒=-⇒的图象关于直线1x =对称，所以(1)(3)f f -=，因为321>>，且()f x 在[1,)+∞上为增函数，所以(3)(2)(1)f f f >>，从而(1)(2)(1)f f f ->>.【反思】本题的关键是由()(2)0f x f x --=识别出()f x 的对称性.【变式1】已知函数()y f x =满足()(2)0()f x f x x +-=∈R ，且在[1,)+∞上为增函数，则（）（A ）(1)(1)(2)f f f ->>（B ）(1)(2)(1)f f f >>-（C ）(1)(2)(1)f f f ->>（D ）(2)(1)(1)f f f >>-答案：D解析：()(2)0()f x f x f x +-=⇒关于点(1,0)对称，又()f x 在[1,)+∞上，所以()f x 的草图如图，由图可知()f x 在R 上，所以(2)(1)(1)f f f >>-.【反思】本题只需由()(2)0f x f x +-=识别出()f x 的对称性，结合单调性想象图形就可以解题.【变式2】已知函数()f x 满足()(2)()f x f x x =-∈R ，若函数1()y x f x =--有3个不同的零点1x 、2x 、3x ，则123x x x ++=.答案：3解析：看到()(2)f x f x =-，马上想到()f x 的图象关于1x =对称，而要研究1()y x f x =--的零点，可以分离一下，再作图看交点，1()01()x f x x f x --=⇔-=，函数()f x 没给解析式，只能从对称的角度来看，由于()y f x =和1y x =-的图象也都于1x =对称，故它们的交点关于直线1x =对称，如图，设123x x x <<，则必有1312x x +=且21x =，故1233x x x ++=.【变式3】已知函数()f x 满足(2)2()()f x f x x -=-∈R ，若(1)(0)4f f -+=，则(2)(3)f f +=.答案：0解析：(2)2()(2)()2f x f x f x f x -=-⇒-+=，所以()f x 的图象关于点(1,1)对称，而(1)f -，(0)f ，(2)f ，(3)f 这几个函数值中，1-和3关于1对称，0和2关于1对称，所以(1)f -和(3)f 有关系，(0)f 和(2)f 有关系，抓住这点就可以求(2)(3)f f +了，在(2)()2f x f x -+=中取3x =可得(1)(3)2f f -+=，所以(3)2(1)f f =--，取2x =可得(0)(2)2f f +=，所以(2)2(0)f f =-，故(2)(3)4(1)(0)f f f f +=---，又(1)(0)4f f -+=，所以(2)(3)0f f +=.【例2】偶函数()y f x =的图象关于直线2x =对称，(3)3f =，则(1)f -=.答案：3解析：由题意，()f x 有对称轴0x =和2x =，所以()f x 的周期为4，故(1)(3)3f f -==.【反思】对称轴+对称轴=周期，周期为对称轴之间距离的2倍.【变式1】偶函数()f x 满足(2)()2f x f x -+=，且(4)1f =-，则(0)(1)f f +=.答案：0解析：由题意，(2)()2()f x f x f x -+=⇒关于点(1,1)对称，又()f x 为偶函数，所以()f x 关于y 轴对称，从而()f x 的周期为4，故(0)(4)1f f ==-，在(2)()2f x f x -+=取1x =可求得(1)1f =，所以(0)(1)0f f +=.【反思】对称轴+对称中心=周期，周期为二者之间距离的4倍.【变式2】（2018·新课标Ⅱ卷）若()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+，若(1)2f =，则(1)(2)(50)f f f ++⋅⋅⋅+=（）（A ）50-（B ）0（C ）2（D ）50答案：C解法1：首先由双对称，推出周期，下面给出结论的推导方法，因为()f x 是奇函数，且(1)(1)f x f x -=+，所以(1)(1)f x f x +=--，故(2)()f x f x +=-，所以(4)(2)()f x f x f x +=-+=，即()f x 是以4为周期的周期函数，故(3)(1)(1)2f f f =-=-=-，接下来还需计算(2)f 和(4)f ，不能只由周期来求，要结合奇函数满足(0)0f =这个隐含条件，在(1)(1)f x f x -=+中取1x =-知(2)(0)0f f ==，又(4)(0)0f f ==，所以(1)(2)(3)(4)20(2)00f f f f +++=++-+=，故(1)(2)(50)[(1)(4)][(5)(8)][(45)(48)](49)(50)f f f f f f f f f f f ++⋅⋅⋅+=+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++(49)(50)(1)(2)2f f f f =+=+=.解法2：也可以分析已知条件，举一个具体的函数来求解答案，()f x 为奇函数()f x ⇒有对称中心坐标原点，(1)(1)f x f x -=+⇒有对称轴1x =，既有对称轴又有对称中心，在三角函数中比较好找，结合(1)2f =，可取()2sin 2f x x π=，此时不难发现()f x 周期为4，(2)0f =，(3)2f =-，(4)0f =，所以(1)(2)(50)[(1)(4)][(5)(8)][(45)(48)](49)(50)f f f f f f f f f f f ++⋅⋅⋅+=+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++(49)(50)(1)(2)2f f f f =+=+=.【变式3】（2021·新高考Ⅱ卷）已知函数()f x 的定义域为R ，且(2)f x +是偶函数，(21)f x +是奇函数，则下列选项中值一定为0的是（）（A ）1()2f -（B ）(1)f -（C ）(2)f （D ）(4)f 答案：B解法1：先由题干的条件推导()f x 的对称性情况，(2)f x +是偶函数()f x ⇒关于直线2x =对称，题干给出(21)f x +是奇函数，这个条件怎么翻译？实际上，它和(1)f x +为奇函数效果一样，都能得出()f x 关于点(1,0)对称，理由如下，设()(21)v x f x =+，则()v x 是奇函数，所以()()v x v x -=-，即(2()1)(21)f x f x -+=-+，从而(21)(21)f x f x -+=-+，令2t x =，则(1)(1)f t f t -+=-+，故(1)(1)0f t f t -+++=，所以()f x 关于点(1,0)对称，从而()f x 周期为4，且(1)0f =，又()f x 的图象关于2x =对称，所以(3)0f =，故(1)(3)0f f -==，选B.解法2：也可以直接翻译已知条件，通过赋值来求解答案，但这种解法更抽象，由题意，(2)f x +是偶函数，所以(2)(2)f x f x -+=+①，又(21)f x +是奇函数，所以(21)(21)f x f x -+=-+②，在②中取0x =得(1)(1)f f =-，所以(1)0f =，已经得到一个等于0的函数值了，但没有这个选项，所以结合式①继续推理，为了在式①中构造出(1)f ，取1x =得(1)(3)f f =，故(3)0f =，选项中还是没有(3)f ，所以又结合式②继续推理，为了构造出(3)f ，在②中取1x =得(1)(3)0f f -=-=，所以选B.【反思】若()f x 的图象关于点(,)a b 对称，且()f x 在x a =处有定义，则必有()f a b =.【变式4】定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()0f x f x ++-=，当[1,0]x ∈-时，()f x x =，则9()2f =.答案：12解析：由题意，()f x 有对称中心(0,0)和(1,0)，故其周期为2，所以9111(()()2222f f f ==--=.【反思】若()f x 有位于同一水平线上的两个对称中心，则()f x 为周期函数，周期为二者之间距离的2倍.【例3】已知()f x '是函数()f x 的导函数，若(1)f x +为偶函数，且()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程为2y x =+，则(2)(2)f f '+=.答案：1解析：(1)f x +为偶函数()f x ⇒的图象关于直线1x =对称，又()f x 在(0,(0))f 处的切线方程为2y x =+，所以(0)2f =，(0)1f '=，因为()f x 的图象关于直线1x =对称，所以(2)2f =，（关于2x =对称的位置函数值相等）且(2)1f '=-（关于2x =对称的位置的切线也关于2x =对称，斜率相反，如图），故(2)(2)1f f '+=.【变式1】已知()f x '是函数()f x 的导函数，(1)f x +为奇函数，设()()g x f x '=，(4)()0()g x g x x -+=∈R ，且(2)2f =，则(1)(2)(10)f f f ++⋅⋅⋅+=.答案：2解析：先利用已知条件推出()f x 的对称性、周期性，再画草图看函数值，(1)f x +为奇函数()f x ⇒关于点(1,0)对称，所以(1)0f =，又(2)2f =，所以(0)2f =-，如图，(4)()0()g x g x g x -+=⇒关于(2,0)对称()f x ⇒关于直线2x =对称，所以()f x 周期为4，且(3)(1)0f f ==，(4)(0)2f f ==-，从而(1)(2)(3)(4)0f f f f +++=，故(1)(2)(10)[(1)(2)(3)(4)][(5)(6)(7)(8)](9)(10)f f f f f f f f f f f f f ++⋅⋅⋅+=+++++++++(9)(10)(1)(2)2f f f f =+=+=.【变式2】（2022·新高考Ⅰ卷）（多选）已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，记()()g x f x '=，若3(2)2f x -，(2)g x +均为偶函数，则（）（A ）(0)0f =（B ）1()02g -=（C ）(1)(4)f f -=（D ）(1)(2)g g -=答案：BC解析：先把已知的3(2)2f x -，(2)g x +均为偶函数翻译一下，可以翻译成()f x 和()g x 的对称性，3(2)2f x -为偶函数33(2)(2)()22f x f x f x ⇒+=-⇒的图象关于直线32x =对称，(2)g x +为偶函数()g x ⇒的图象关于直线2x =对称()f x ⇒的图象关于点(2,(2))f 对称，（此处必须通过直观想象图形的样子，用()g x 的对称性反推()f x 的对称性，否则无法求解此题）所以()f x 是以2为周期的周期函数（双对称周期结论），故()g x 也是以2为周期的周期函数，A 项，(0)(2)f f =，而(2)f 的值无法确定，故A 项错误；B 项，()g x 周期为213()()22g g ⇒-=，因为()f x 的图象关于直线32x =对称，所以3()2f 必是()f x 的极值，从而3()02f '=，故3(02g =，所以1()02g -=，故B 项正确；C 项，()f x 的图象关于直线32x =对称(1)(4)f f ⇒-=，故C 项正确；D 项，()g x 周期为2(1)(1)g g ⇒-=，又()f x 的图象关于直线32x =对称，所以()f x 的图象在1x =和2x =处的切线斜率互为相反数，从而(1)(2)g g =-，所以(1)(2)g g -=-，故D 项错误.强化训练1．（2022·成都模拟·★★★）已知函数()y f x =满足(4)()0()f x f x x +--=∈R ，且()f x 在[2,)+∞上为减函数，则（）（A ）22(log 3)(log 5.1)(3)f f f >>（B ）22(log 5.1)(log 3)(3)f f f >>（C ）22(log 5.1)(3)(log 3)f f f >>（D ）22(log 3)(3)(log 5.1)f f f >>答案：B解析：(4)()0()f x f x f x +--=⇒的图象关于直线2x =对称，结合()f x 在[2,)+∞上为减函数可得当自变量与2的距离越大时，函数值越小，如图，而22234log 32log log 43-==，225.1log 5.12log 4-=，321-=，所以225.14log log 143<<，故22(3)(log 3)(log 5.1)f f f <<.2．（2022·甘肃模拟·★★★）定义在R 上的奇函数()f x 满足(8)(4)f x f x +=--，且当[0,2]x ∈时，()13x f x =-，则(2022)f =（）（A ）8-（B ）2-（C ）2（D ）8答案：D解析：(8)(4)()f x f x f x +=--⇒关于2x =对称，()f x 为奇函数()f x ⇒关于原点对称，所以周期为8，故2(2022)(25286)(6)(2)(2)(13)8f f f f f =⨯+==-=-=--=.3．（2021·湖北模拟·★★★）（多选）设()f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R ，都有(2)(2)f x f x +=-，当[0,2]x ∈时，21()()2x f x -=，则（）（A ）()f x 是周期函数，且周期为2（B ）()f x 的最大值是1，最小值是14（C ）()f x 在[2,4]上单调递减，在[4,6]上单调递增（D ）当[2,4]x ∈时，21()()2x f x -=答案：BC解析：A 项，()f x 是偶函数()f x ⇒关于0x =对称，(2)(2)()f x f x f x +=-⇒关于2x =对称，所以()f x 是以4为周期的周期函数，故A 项错误；B 项，当[0,2]x ∈时，21()()2x f x -=，结合()f x 是周期为4的偶函数可作出()f x 的大致图象如图，由图可知min 1()(0)4f x f ==，max ()(2)1f x f ==，故B 项正确；C 项，由图可知C 项正确；D 项，由图可知()f x 在[2,4]上，而21()2x y -=在[2,4]上，故D 项错误.4．（★★★）若()f x 是定义域为R 的奇函数，(2)()f x f x +=-，若(1)1f =，则(1)(2)(2022)f f f ++⋅⋅⋅+=.答案：1解析：()f x 有对称中心(0,0)和对称轴1()x f x =⇒周期为4，在(2)()f x f x +=-中取0x =知(2)(0)0f f ==，又(3)(1)(1)1f f f =-=-=-，(4)(0)0f f ==，所以(1)(2)(3)(4)0f f f f +++=，故(1)(2)(2022)(2021)(2022)(1)(2)1f f f f f f f ++⋅⋅⋅+=+=+=.5．（★★★）已知函数())1f x x =+，定义域为R 的函数()g x 满足()()2g x g x -+=，若函数()y f x =与()y g x =的图象的交点为11(,)x y ，22(,)x y ，…，55(,)x y ，则51()i i i x y =+=∑（）（A ）0（B ）5（C ）10（D ）15答案：B解析：()g x 没给解析式，给的是()()2g x g x -+=，只能得出对称性，所以也要研究()f x 的对称性，注意到)y x =为奇函数，其图象关于原点对称，所以()f x 的图象关于点(0,1)对称，又()()2g x g x -+=，所以()g x 的图象也关于点(0,1)对称，故()f x 与()g x 的交点关于点(0,1)对称，如图，由图可知，1250x x x ++⋅⋅⋅+=，1255y y y ++⋅⋅⋅+=，所以51()5i i i x y =+=∑.6．（2022·四川模拟·★★★）奇函数()f x 满足(2)()0()f x f x x ++-=∈R ，若当01x ≤≤时，2()44f x x x =-，则函数()lg y f x x =-的零点个数为.答案：9解析：(2)()0()f x f x f x ++-=⇒的图象关于点(1,0)对称，又()f x 为奇函数，所以()f x 的图象关于原点对称，所以()f x 的周期为2，如图，lg y x =与()y f x =的图象共有9个交点，所以函数()lg y f x x =-有9个零点.7．（2022·江苏模拟·★★★）偶函数()f x 满足()(2)()f x f x x =-∈R ，当[0,1]x ∈时，2()22f x x =-，则函数4()()2log 1g x f x x =--的所有零点之和为（）（A ）4（B ）6（C ）8（D ）10答案：B解析：()(2)()f x f x f x =-⇒的图象关于1x =对称，()f x 为偶函数()f x ⇒的图象关于y 轴对称，所以()f x 的周期为2，4()0()2log 1g x f x x =⇔=-，作出图象如图，由图可知两图象有6个交点，且它们两两关于直线1x =对称，故()g x 的零点之和为6.8．（★★★）已知()f x '是函数()f x 的导函数，若(1)f x -为奇函数，且()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程为20x y ++=，则(2)(2)f f '-+-=.答案：1解析：(1)f x -为奇函数()f x ⇒的图象关于点(1,0)-对称，又()f x 在(0,(0))f 处的切线方程为20x y ++=，所以(0)2f =-，(0)1f '=-，因为()f x 的图象关于点(1,0)-对称，所以(2)2f -=，（点(2,(2))f --和(0,(0))f 关于(1,0)-对称）且(2)1f '-=-（关于(1,0)-对称的位置的切线斜率相等，如图），故(2)(2)1f f '-+-=.9．（★★★★）已知()f x '是函数()f x 的导函数，若(2)f x +和()f x '均为奇函数，且(0)2f =，则(2)(4)(2022)f f f ++⋅⋅⋅+=.答案：2-解析：先把已知条件翻译成()f x 的对称性，再利用对称性求函数值，最好画个图比较容易理解，(2)f x +为奇函数()f x ⇒的图象关于点(2,0)对称，所以(2)0f =，()f x '为奇函数()f x ⇒为偶函数()f x ⇒的图象关于y 轴对称，所以()f x 的周期为8，因为(0)2f =，且()f x 关于(2,0)对称，所以(4)2f =-，又()f x 为偶函数，且周期为8，所以(6)(2)(2)0f f f =-==，(8)(0)2f f ==，从而(2)(4)(6)(8)0(2)020f f f f +++=+-++=，故(2)(4)(2022)[(2)(4)(6)(8)][(10)(12)(14)(16)]f f f f f f f f f f f ++⋅⋅⋅+=++++++++⋅⋅⋅[(2010)(2012)(2014)(2016)](2018)(2020)(2022)f f f f f f f +++++++(2018)(2020)(2022)(2)(4)(6)2f f f f f f =++=++=-.10．（2021·新课标Ⅱ卷·★★★★）设函数()f x 的定义域为R ，(1)f x +为奇函数，(2)f x +为偶函数，当[1,2]x ∈时，2()f x ax b =+.若(0)(3)6f f +=，则9()2f =（）（A ）94-（B ）32-（C ）74（D ）52答案：D解析：(1)f x +为奇函数()f x ⇒的图象关于点(1,0)对称，所以(1)(1)f x f x +=--，(2)f x +为偶函数()f x ⇒的图象关于直线2x =对称，所以(2)(2)f x f x +=-，从而()f x 是以4为周期的周期函数，所以91()(22f f =，在(1)(1)f x f x +=--中取12x =可得13()(22f f =-，所以939(()224f f a b =-=--，还得把a 和b 求出来才能得出答案，在(1)(1)f x f x +=--中取1x =可得(0)(2)4f f a b =-=--，在(2)(2)f x f x +=-中取1x =得(3)(1)f f a b ==+，所以(0)(3)36f f a +=-=，故2a =-，在(1)(1)f x f x +=--中取0x =得(1)0f =，而(1)f a b =+，所以0a b +=，故2b =，所以995()242f a b =--=.11．（2022·全国乙卷·理·12·★★★★）已知函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，且()(2)5f x g x +-=，()(4)7g x f x --=.若()y g x =的图象关于直线2x =对称，(2)4g =，则221()k f k ==∑（）（A ）21-（B ）22-（C ）23-（D ）24-答案：D解析：要求221()k f k =∑，得研究()f x 的性质，先用已知的()(2)5()(4)7f xg x g x f x +-=⎧⎨--=⎩把()g x 有关的消掉，在()(4)7g x f x --=中将x 换成2x -可得(2)(2)7g x f x ----=，所以(2)(2)7g x f x -=--+，代入()(2)5f x g x +-=可得()(2)75f x f x +--+=，所以()(2)2f x f x +--=-，故()f x 关于(1,1)--对称，题干给出了()g x 关于2x =对称，而()g x 和()f x 显然是有关系的，可以由此条件再推导()f x 的对称性，由()(4)7g x f x --=可得(4)()7f x g x -=-，将x 换成4x +可得()(4)7f x g x =+-，从而()f x 可由()g x 左移4个单位，下移7个单位得到，故()f x 关于直线2x =-对称，所以()f x 是以4为周期的周期函数，接下来求一个周期的整点函数值，就可以算出221()k f k =∑，首先，()f x 关于(1,1)--对称，所以(1)1f -=-，故(3)1f =-，又()f x 关于2x =-对称，所以(3)(1)1f f -=-=-，结合周期为4可得(1)(3)1f f =-=-，只要求出(2)f 和(4)f ，就大功告成，条件中(2)4g =还没用，先在题干给的等式中将(2)g 构造出来，因为(2)4g =，在()(2)5f x g x +-=中取0x =可得(0)(2)5f g +=，所以(0)5(2)1f g =-=，故(4)1f =，由(0)1f =以及()f x 关于(1,1)--对称可得(2)3f -=-，结合周期为4可得(2)3f =-，所以221()5[(1)(2)(3)(4)](1)(2)5(1311)1324k f k f f f f f f ==⨯+++++=⨯---+--=-∑.12．（2022·新高考Ⅱ卷·★★★★）若函数()f x 的定义域为R ，且()()()()f x y f x y f x f y ++-=，(1)1f =，则221()k f k ==∑（）（A ）3-（B ）2-（C ）0（D ）1答案：A 解法1：本题要221()k f k =∑，应该要先求()f x 的周期，可以在()()()()f x y f x y f x f y ++-=中对y 赋值，在()()()()f x y f x y f x f y ++-=中令1y =可得(1)(1)()f x f x f x ++-=①，在①中将x 换成1x +可得(2)()(1)f x f x f x ++=+，结合式①可得(2)()()(1)f x f x f x f x ++=--，所以(2)(1)f x f x +=--，从而(3)()f x f x +=-，故(6)(3)()f x f x f x +=-+=，所以()f x 的周期为6；求出了周期，接下来需要计算一个周期内的整点函数值，问题就解决了，因为已知(1)f ，所以可以在()()()()f x y f x y f x f y ++-=通过赋值构造出(1)f 和其它的函数值，在()()()()f x y f x y f x f y ++-=中令1x =，0y =可得2(1)(1)(0)f f f =，又(1)1f =，所以(0)2f =，结合周期为6可得(6)2f =，令1x y ==可得2(2)(0)(1)f f f +=，所以2(2)(1)(0)1f f f =-=-，令2x =，1y =可得(3)(1)(2)(1)f f f f +=，所以(3)(2)(1)(1)2f f f f =-=-，在(3)()f x f x +=-中令1x =可得(4)(1)1f f =-=-，令2x =可得(5)(2)1f f =-=，所以(1)(2)(6)1121120f f f ++⋅⋅⋅+=---++=，故221()(1)(2)(3)(4)11213k f k f f f f ==+++=---=-∑.解法2：设()2cos 3f x x π=，不难验证满足题干所有条件，进一步可求得221()3k f k ==-∑.。

2020高一数学必修一：函数周期性及其图像变换(1对1讲义)

函数周期性及其图像变换一、知识梳理1.周期函数对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．2．最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．【例题精讲】例1、设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式．【归纳总结】1. 周期性常用的结论：对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a；(2)若f(x＋a)＝1f x，则T＝2a；(3)若f (x ＋a )＝－1f x，则T ＝2a .2．周期性与奇偶性相结合的综合问题中，周期性起到转换自变量值的作用，奇偶性起到调节符号作用．变式训练：设函数f (x )是定义在R 上的周期为2的偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ＋1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝________.例2、已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且它的图象关于直线x ＝1对称． (1)求证：f (x )是周期为4的周期函数；(2)若f (x )＝x (0<x ≤1)，求x ∈[－5，－4]时，函数f (x )的解析式．例3、设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎨⎧ax ＋1，－1≤x ＜0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R.若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，则a ＋3b 的值为________．题型二、函数的图像及变换(一)、利用描点法作函数图象其基本步骤是列表、描点、连线，首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性)；其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点)；最后：描点，连线．(二)、利用基本函数的图象作图1．平移变换(1)水平平移：y＝f(x±a)(a>0)的图象，可由y＝f(x)的图象向左(＋)或向右(－)平移a个单位而得到．(2)竖直平移：y＝f(x)±b(b>0)的图象，可由y＝f(x)的图象向上(＋)或向下(－)平移b个单位而得到．2．对称变换(1)y＝f(－x)与y＝f(x)的图象关于y轴对称．(2)y＝－f(x)与y＝f(x)的图象关于x轴对称．(3)y＝－f(－x)与y＝f(x)的图象关于原点对称．(4)要得到y＝|f(x)|的图象，可将y＝f(x)的图象在x轴下方的部分以x 轴为对称轴翻折到x轴上方，其余部分不变．(5)要得到y＝f(|x|)的图象，可将y＝f(x)，x≥0的部分作出，再利用偶函数的图象关于y轴的对称性，作出x＜0时的图象．3．伸缩变换(1)y＝Af(x)(A>0)的图象，可将y＝f(x)图象上所有点的纵坐标变为原来的A倍，横坐标不变而得到．(2)y＝f(ax)(a>0)的图象，可将y＝f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的1a倍，纵坐标不变而得到．根据解析式作函数的图象例1、作出下列函数的图象：(1) y＝x3|x|； (2) y＝x＋2x－1；变式训练：1、画出函数y＝x2－2|x|－1的图象：2、函数y＝x|x|的图象大致是( )识图与辩图例2、已知定义在区间[0,2]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝－f(2－x)的图象为( )【总结归纳】“看图说话”常用的方法(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题．(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题．(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．变式训练：1、如图，函数f (x )的图象是曲线OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f ⎝⎛⎭⎪⎫1f 3的值等于________．函数图象的应用例3、已知函数y ＝|x 2－1|x －1的图象与函数y ＝kx －2的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是________．【题后悟道】所谓数形结合思想，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．解答本题利用了数形结合思想，本题首先作出y ＝|x 2－1|x －1的图象，然后利用图象直观确定直线y ＝kx －2的位置．作图时应注意不包括B 、C 两点，而函数y ＝kx －2的图象恒过定点A (0，－2)，直线绕A 点可以转动，直线过B 、C 两点是关键点．变式训练：1．设函数f (x )＝|x ＋a |，g (x )＝x －1，对于任意的x ∈R ，不等式f (x )≥g (x )恒成立，则实数a 的取值范围是________．题型三、抽象函数问题1．抽象函数的函数值例1、已知定义在R上的单调函数f(x)满足：存在实数x0，使得对于任意实数x，x2，总有f(x0x1＋x0x2)＝f(x0)＋f(x1)＋f(x2)恒成立．1求：(1)f(1)＋f(0)；(2)x0的值．[题后悟道] 抽象函数求函数值往往要用赋值法，需要结合已知条件，通过观察和多次尝试寻找有用的取值，挖掘出函数的性质，特别是借助函数的奇偶性和函数的周期性来转化解答．2．抽象函数的奇偶性函数的奇偶性就是要判断－x对应的函数值与x对应的函数值之间的关系，从而得到函数图象关于原点或y轴对称，结合函数的图形作出进一步的判断．例2、已知函数f(x)对任意x，y∈R，都有f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)·f(y)，且f(0)≠0，求证：f(x)是偶函数．[题后悟道] 在利用奇偶函数的定义进行判断时，等式中如果还有其他的量未解决，例如本题中的f(0)，还需要令x，y取特殊值进行求解．3．抽象函数的单调性与抽象不等式高考对于抽象函数的单调性的考查一直是个难点，常出现一些综合性问题，利用单调性定义进行判断求解，并对所含的参数进行分类讨论或者根据已知条件确定出参数的范围，再根据单调性求解或证明抽象不等式问题．例3、设f(x) 定义于实数集上，当x＞0时，f(x)＞1 ，且对于任意实数x、y，有f(x + y) =f(x)·f(y)，求证：f(x) 在R上为增函数．[题后悟道]一般地，抽象函数所满足的关系式，应看作给定的运算法则，而变量的赋值或变量及数值的分解与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的结果相关联．4．抽象函数的周期性有许多抽象函数都具有周期性，特别是在求自变量值较大的函数值时，就要考虑寻找函数的周期，从而利用周期把函数值转化为已知求出．例4、已知函数f (x )满足：f (1)＝14，4f (x )f (y )＝f (x ＋y )＋f (x －y )(x ，y ∈R)，则f (2 014)＝________【课堂练习】1、函数对于x>0有意义，且满足条件减函数。

常见的几个抽象函数问题及其求解策略

常见的几个抽象函数问题及其求解策略杜红全(甘肃省康县教育局教研室㊀７４６５００)摘㊀要:抽象函数问题是高中数学的一个重点问题ꎬ也是一个难点问题ꎬ对初学者来说有一定困难.本文举例说明抽象函数问题的求解策略:赋值法ꎬ转化法ꎬ迭代法ꎬ性质法ꎬ定义法ꎬ换元法等.关键词:常见ꎻ抽象函数ꎻ问题ꎻ求解策略中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２０)１９－０００２－０３收稿日期:２０２０－０４－０５作者简介:杜红全(１９６９.９－)ꎬ男ꎬ甘肃省康县人ꎬ中学高级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀抽象函数是相对个体的函数而言的ꎬ是指没有给出具体的函数解析式或对应关系ꎬ只是给出函数所满足的一些条件或性质的一类函数.抽象函数问题一般是由所给的条件或性质ꎬ讨论函数的其他性质ꎬ下面举例说明.㊀㊀一㊁根据条件等式求解析式例１㊀已知３ｆ(ｘ)＋２ｆ(－ｘ)＝ｘ＋３ꎬ求ｆ(ｘ).分析㊀ｘꎬ－ｘ同时使得ｆ(ｘ)有意义ꎬ用－ｘ代替ｘ建立关于ｆ(ｘ)ꎬｆ(－ｘ)的两个方程即可求得ｆ(ｘ).解㊀因为３ｆ(ｘ)＋２ｆ(－ｘ)＝ｘ＋３ꎬ㊀①用－ｘ代替ｘꎬ得３ｆ(－ｘ)＋２ｆ(ｘ)＝－ｘ＋３.㊀②联立①②解得ｆ(ｘ)＝ｘ＋３５.点评㊀求解本题的策略是利用方程消元法ꎬ所谓方程消元法就是指利用方程组通过消参㊁消元的途径达到求函数解析式的目的.㊀㊀二㊁求抽象函数的值例２㊀已知ｆ(ｘ)对于任意实数ｘɪＲ＋ꎬ都有ｆ(ｘ１ｘ１)＝ｆ(ｘ１)＋ｆ(ｘ２)ꎬ且ｆ(８)＝３ꎬ求ｆ(２)的值.分析㊀根据已知条件ｆ(ｘ１ｘ１)＝ｆ(ｘ１)＋ｆ(ｘ２)ꎬ寻找ｆ(８)与ｆ(２)之间的关系.解㊀因为ｆ(８)＝ｆ(２ˑ４)＝ｆ(２)＋ｆ(２ˑ２)＝３ｆ(２)＝３ｆ(２ˑ２)＝６ｆ(２)ꎬ所以ｆ(８)＝６ｆ(２)＝３ꎬ所以ｆ(２)＝１２.点评㊀本题求值策略是利用迭代法.求抽象函数的值还有赋值法㊁代换法等.㊀㊀三㊁求抽象函数的定义域例３㊀已知函数ｆ(ｘ＋１)的定义域为[－２ꎬ３]ꎬ求函数ｆ(２＋１ｘ)的定义域.分析㊀由ｆ(ｘ＋１)的定义域求ｆ(ｘ)的定义域ꎬ然后由ｆ(ｘ)的定义域求出ｆ(２＋１ｘ)的定义域ꎻ要注意函数ｆ(ｘ＋１)ꎬｆ(ｘ)ꎬｆ(２＋１ｘ)中的ｘ并不是同一个量ꎬ当ｆ(ｘ)的定义域为[－１ꎬ４]时ꎬｆ(ｘ＋１)与ｆ(２＋１ｘ)分别是中间变量(ｘ＋１)和(２＋１ｘ)的函数ꎬｆ(２＋１ｘ)的定义域由中间变量(２＋１ｘ)ɪ[－１ꎬ４]求得.解㊀由题意知－２ɤｘɤ３ꎬ则－１ɤｘ＋１ɤ４ꎬ所以ｆ(ｘ)的定义域为[－１ꎬ４].由－１ɤ２＋１ｘɤ４得－３ɤ１ｘɤ２ꎬ则有０<１ｘɤ２ꎬ或－３ɤ１ｘ<０ꎬ解得ｘ的取值范围是ｘȡ１２或ｘɤ－１３.所以函数ｆ(２＋１ｘ)的定义域为(－¥ꎬ－１３]ɣ[１２ꎬ＋¥).点评㊀求抽象函数的定义域的策略是利用函数的概念ꎬ即由ｆ(ｘ)的定义域[ａꎬｂ]ꎬ求ｆ[ｇ(ｘ)]的定义域的方法:由ａɤｇ(ｘ)ɤｂꎬ求出ｘ的取值范围ꎬ即为函数ｙ＝ｆ[ｇ(ｘ)]的定义域ꎻ由ｆ[ｇ(ｘ)]的定义域[ａꎬｂ]ꎬ求ｆ(ｘ)的定义域的方法:由ａɤｘɤｂꎬ求出ｇ(ｘ)的取值范围即可ꎬ２即与由ｆ(ｘ)的定义域[ａꎬｂ]ꎬ求ｙ＝ｆ[ｇ(ｘ)]的定义域恰好相反.㊀㊀四㊁求抽象函数的值域例４㊀已知函数ｆ(ｘ)的值域是[３８ꎬ４９]ꎬ求函数ｙ＝ｆ(ｘ)＋１－２ｆ(ｘ)的值域.分析㊀利用换元法求解.解㊀设ｔ＝１－２ｆ(ｘ)ꎬ则ｆ(ｘ)＝１－ｔ２２ꎬ因为ｆ(ｘ)的值域是[３８ꎬ４９]ꎬ所以１－２ｆ(ｘ)ɪ[１３ꎬ１２]ꎬ即ｔɪ[１３ꎬ１２].又因为ｙ＝ｆ(ｘ)＋１－２ｆ(ｘ)ꎬ所以ｙ＝１－ｔ２２＋ｔ＝－１２ｔ２＋ｔ＋１２(１３ɤｔɤ１２)ꎬ所以７９ɤｙɤ７８.所以函数ｙ＝ｆ(ｘ)＋１－２ｆ(ｘ)的值域为[７９ꎬ７８].点评㊀求解本题的策略是利用换元法ꎬ但必须把新元的取值范围弄清楚.㊀㊀五㊁求抽象函数单调区间例５㊀若函数ｆ(ｘ)在(－¥ꎬ＋¥)上是减函数ꎬ求函数ｆ(２ｘ－ｘ２)单调递增区间.分析㊀用复合函数的单调性来求.解㊀因为ｆ(ｘ)在(－¥ꎬ＋¥)上是减函数ꎬ所以ｆ(２ｘ－ｘ２)单调递增区间应是ｕ＝２ｘ－ｘ２单调递减区间ꎬ又ｕ＝２ｘ－ｘ２的单调递减区间是[１ꎬ＋¥)ꎬ所以函数ｆ(２ｘ－ｘ２)单调递增区间是[１ꎬ＋¥).点评㊀求解本题的策略是利用复合函数单调性的求法.㊀㊀六㊁比较抽象函数值的大小例６㊀已知偶函数ｆ(ｘ)在[２ꎬ４]上单调递减ꎬ比较ｆ(ｌｏｇ８)与ｆ(３ｌｏｇ)的大小.分析㊀首先化简ｌｏｇ８与３ｌｏｇꎬ然后再根据函数的奇偶性和单调性ꎬ将函数值的比较大小问题转化为自变量值的比较大小问题.解㊀ｌｏｇ８＝－３ꎬ３ｌｏｇ＝π２４ꎬ因为ｆ(ｘ)是偶函数ꎬ所以ｆ(－３)＝ｆ(３)ꎬ又３>π２４ꎬｆ(ｘ)在[２ꎬ４]上单调递减ꎬ所以ｆ(３)<ｆ(π２４)ꎬ即ｆ(ｌｏｇ８)<ｆ(３ｌｏｇ).点评㊀求解本题的关键是把对应的两个变量的值转化到同一个单调区间内ꎬ求解策略是利用函数的单调性和转化思想.㊀㊀七㊁抽象函数图象问题例７㊀由函数ｙ＝ｆ(ｘ－１)的图象ꎬ通过怎样的图象变换可得函数ｙ＝ｆ(－ｘ＋２)的图象.分析㊀解答此题须综合应用函数图象的变换的对称㊁平移变换.解㊀将函数ｙ＝ｆ(ｘ－１)的图象向左平移１个单位ꎬ得到函数ｙ＝ｆ(ｘ)的图象ꎬ将函数ｙ＝ｆ(ｘ)的图象沿ｙ轴翻折ꎬ得到函数ｙ＝ｆ(－ｘ)的图象ꎬ将函数ｙ＝ｆ(－ｘ)的图象向右平移２个单位ꎬ就可以得到函数ｙ＝ｆ(－ｘ＋２)的图象.点评㊀求解本题的策略是利用函数图象变换的规律.㊀㊀八㊁解抽象不等式例８㊀已知ｆ(ｘ)在(０ꎬ＋¥)上单调递增ꎬ解不等式ｆ(ｘ)>ｆ８(ｘ－２)[].分析㊀求解本题的关键在于由ｆ(ｘ)>ｆ８(ｘ－２)[]去掉函数关系符号ｆ ꎬ使抽象的不等式问题转化为具体不等式问题ꎬ注意函数的定义域也是一个限制条件.解㊀由ｆ(ｘ)>ｆ８(ｘ－２)[]和ｆ(ｘ)在(０ꎬ＋¥)上是增函数ꎬ得ｘ>０ꎬ８(ｘ－２)>０ｘ>８(ｘ－２)ꎬìîíïïïꎬ解不等式组ꎬ得２<ｘ<１６７ꎬ所以原不等式的解集为{ｘ｜２<ｘ<１６７}.点评㊀单调性定义要能够逆用ꎬｆ(ｘ)是[ａꎬｂ]上的增函数ꎬ则ｆ(ｘ１)<ｆ(ｘ２)⇒ｘ１<ｘ２ꎻ求解此类问题的策略是运用了单调性的定义和转化思想.㊀㊀九㊁证明等式例９㊀设函数ｆ(ｘ)是定义在Ｒ＋上的增函数ꎬ且ｆ(ｘｙ)＝ｆ(ｘ)－ｆ(ｙ)ꎬ求证:ｆ(１)＝０ꎬｆ(ｘｙ)＝ｆ(ｘ)＋ｆ(ｙ).分析㊀对ｆ(ｘｙ)＝ｆ(ｘ)－ｆ(ｙ)中的ｘꎬｙ赋值即可求出ｆ(１)＝０ꎬ利用ｆ(ｘ)＝ｆ(ｘｙｙ)即可证明ｆ(ｘｙ)＝ｆ(ｘ)＋ｆ(ｙ).证明㊀因为ｆ(ｘｙ)＝ｆ(ｘ)－ｆ(ｙ)ꎬ令ｘ＝ｙ＝１ꎬ所以ｆ(１)＝ｆ(１)－ｆ(１)ꎬ即ｆ(１)＝０.因为ｆ(ｘｙ)＝ｆ(ｘ)－ｆ(ｙ)ꎬ所以ｆ(ｘ)＝ｆ(ｘｙｙ)＝ｆ(ｘｙ)－ｆ(ｙ)ꎬ所以ｆ(ｘｙ)＝ｆ(ｘ)＋ｆ(ｙ).点评㊀求解此类问题的策略是适当的赋值(代入特殊值).３㊀㊀十㊁抽象函数的综合问题例１０㊀函数ｆ(ｘ)的定义域为Ｒꎬ且对任意ｘꎬｙɪＲꎬ有ｆ(ｘ＋ｙ)＝ｆ(ｘ)＋ｆ(ｙ)ꎬ又当ｘ>０时ꎬｆ(ｘ)<０ꎬｆ(１)＝－２.(１)证明ｆ(ｘ)是奇函数ꎻ(２)证明ｆ(ｘ)在Ｒ上是减函数ꎻ(３)求ｆ(ｘ)在区间[－３ꎬ３]的最大值和最小值.分析㊀给出函数满足的条件关系式而未给出解析式ꎬ要证明函数的奇偶性与单调性ꎬ关键是紧扣条件ｆ(ｘ＋ｙ)＝ｆ(ｘ)＋ｆ(ｙ)ꎬ且当ｘ>０时ꎬｆ(ｘ)<０ꎬ对其中的ｘꎬｙ不断赋值ꎬ根据ｆ(ｘ)在Ｒ上是减函数求出最值.解㊀(１)令ｙ＝－ｘꎬ得ｆ[ｘ＋(－ｘ)]＝ｆ(ｘ)＋ｆ(－ｘ)ꎬ所以ｆ(ｘ)＋ｆ(－ｘ)＝ｆ(０).又因为ｆ(０＋０)＝ｆ(０)＋ｆ(０)ꎬ所以ｆ(０)＝０ꎬ所以ｆ(ｘ)＋ｆ(－ｘ)＝０ꎬ即ｆ(－ｘ)＝－ｆ(ｘ)ꎬ所以ｆ(ｘ)是奇函数.(２)任取ｘ１ꎬｘ２ɪＲꎬ且ｘ１<ｘ２ꎬ则ｆ(ｘ１)－ｆ(ｘ２)＝ｆ(ｘ１)－ｆ[ｘ１＋(ｘ２－ｘ１)]＝ｆ(ｘ１)－[ｆ(ｘ１)＋ｆ(ｘ２－ｘ１)]＝－ｆ(ｘ２－ｘ１).因为ｘ１<ｘ２ꎬ所以ｘ２－ｘ１>０.又因为当ｘ>０时ꎬｆ(ｘ)<０ꎬ所以ｆ(ｘ２－ｘ１)<０ꎬ所以－ｆ(ｘ２－ｘ１)>０ꎬ即ｆ(ｘ１)>ｆ(ｘ２)ꎬ所以ｆ(ｘ)在Ｒ上是减函数.(３)因为ｆ(ｘ)在Ｒ上是减函数ꎬ所以ｆ(ｘ)在区间[－３ꎬ３]上的最大值是ｆ(－３)ꎬ最小值是ｆ(３).ｆ(３)＝ｆ(１)＋ｆ(２)＝３ｆ(１)＝３ˑ(－２)＝－６ꎬ所以ｆ(－３)＝－ｆ(３)＝６.从而ｆ(ｘ)在区间[－３ꎬ３]上的最大值是６ꎬ最小值是－６.点评㊀求解此类问题的策略是利用赋值法ꎬ即对抽象函数的奇偶性与单调性的证明ꎬ围绕证明奇偶性与单调性所需要的关系式ꎬ对所给的函数关系式赋值.㊀㊀参考文献:[１]杜红全ꎬ黄海虹.例谈抽象函数定义域的求法[Ｊ].数理天地(高中版)ꎬ２０１９(１０):１３－１４.[责任编辑:李㊀璟]等差乘等比型数列求和的另类解法构造数列法赵圣涛㊀武金仙(山东省淄博中学㊀２５５０００)摘㊀要:等差乘等比型数列的求和一般使用错位相减法ꎬ但在求解过程中ꎬ学生出错率一直很高ꎬ基于此ꎬ笔者从构造数列的角度探索出两种求和方法ꎬ进一步拓宽了该类问题的研究思路.关键词:数列ꎻ解题ꎻ构造数列法中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２０)１９－０００４－０２收稿日期:２０２０－０４－０５作者简介:赵圣涛(１９８４.１０－)ꎬ男ꎬ山东省淄博人ꎬ硕士ꎬ中学一级教师ꎬ从事高中数学教学研究.武金仙(１９８４.４－)ꎬ女ꎬ河北省张家口人ꎬ硕士ꎬ中学一级教师ꎬ从事高中数学教学研究.基金项目:本文系淄博市十二五重点课题«基于学情的国家课程校本化研究»的研究成果ꎬ课题编号:２０１５ＺＪＺ０２４.㊀㊀已知数列ａｎ{}满足ａｎ＝ｂｎｃｎꎬ其中ｂｎ{}是等差数列ꎬｃｎ{}是公比不为１的等比数列.数列ａｎ{}通常称为等差乘等比型数列.该类数列求和的常规方法是错位相减法ꎬ除此之外ꎬ文献[１]中笔者从构造常数列的角度另辟蹊径ꎬ为该类问题的求解提供了一个新思路ꎬ本文分别从构造常数列和等比数列的角度ꎬ又探索出了两种求和方法ꎬ现将其介绍如下:㊀㊀一㊁方法介绍不失一般性ꎬ设等差乘等比型数列ａｎ{}的通项公式为ａｎ＝(ｋｎ＋ｂ)ｑｎꎬ(其中ｋꎬｂꎬｑ均为常数ꎬ且ｑʂ１)ꎬ其前ｎ项和记为Ｓｎ.方法１:构造常数列{Ｓｎ＋(ｘｎ＋ｙ)ｑｎ}.对数列ａｎ{}ꎬ由ａｎ＝(ｋｎ＋ｂ)ｑｎ(ｑʂ１)得ａｎ＋１＝[ｋ(ｎ４。

图象变换及抽象函数

图象变换及抽象函数教学目标：理解图形变换的意义，能够根据条件进行图形变换；掌握赋值思想在解抽象函数题型中的应用。

知识点回顾：1.图形变换：①函数()a x f y +=的图象是把函数()x f y =的图象沿x 轴向左)0(>a 或向右)0(<a 平移a 个单位得到的。

②函数()x f y =+a 的图象是把函数()x f y =助图象沿y 轴向上)0(>a 或向下)0(<a 平移a 个单位得到的；③函数()ax f y =)0(>a 的图象是把函数()x f y =的图象沿x 轴伸缩为原来的a1得到的。

④函数()x af y =)0(>a 的图象是把函数()x f y =的图象沿y 轴伸缩为原来的a 倍得到的.2．抽象函数（借鉴模型函数进行类比探究）①正比例函数型：()(0)f x kx k =≠ ------()()()f x y f x f y ±=±；②幂函数型：2()f x x = ---()()()f xy f x f y =，()()()x f x f y f y =； ③指数型：()x f x a = ()()()f x y f x f y +=，()()()f x f x y f y -=； ④对数型：()log a f x x = -()()()f xy f x f y =+，()()()xf f x f y y =-；⑤三角函数型：()tan f x x =----- ()()()1()()f x f y f x y f x f y ++=-。

赋值思想是解抽象函数题的灵魂。

1．已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，且为周期函数，若它的最小正周期为T ，则=-)2(T f __2.要得到)3lg(x y -=的图像，只需作x y lg =关于_____轴对称的图像，再向____平移3个单位而得到。

3.将函数a ax b y ++=的图象向右平移2个单位后又向下平移2个单位,所得图象如果与原图象关于直线x y =对称,那么 a=_______.4.将函数()y f x =的图像上所有点的横坐标变为原来的13（纵坐标不变），再将此图像沿x 轴方向向左平移2个单位，所得图像对应的函数为_____5.如若函数(21)y f x =-是偶函数，则函数(2)y f x =的对称轴方程是_______6.已知f(x+1)的定义域是 [0，2)，则y=f(x-2)的定义域是_______________7.已知定义在[-2，2]上的偶函数，f (x)在区间[0，2]上单调递减，若f (1-m)<f (m),求实数m 的取值范围？8.设y=f(x)的定义域为自然数集，且满足条件f(x+1)=f(x)+f(y)+xy ，f(1)=1，求f(x)的解析式？9.确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)，已知加密规则为：明文a ，b ，c ，d 对应密文a +2b ，2b +c ，2c +3d ，4d 。

函数图像的变换技巧例题和知识点总结

函数图像的变换技巧例题和知识点总结函数图像是研究函数性质的重要工具，通过对函数图像进行变换，可以更直观地理解函数的特点和规律。

下面我们将介绍一些常见的函数图像变换技巧，并通过例题来加深理解。

一、平移变换1、水平平移对于函数\（y ＝ f(x)＼），将其图像向左平移\（h\）个单位，得到\（y ＝ f(x ＋ h)＼）；向右平移\（h\）个单位，得到\（y ＝ f(x h)＼）。

例如，函数\（y ＝ x^2\）的图像向左平移\（2\）个单位，得到\（y＝（x ＋ 2)＾2\）的图像；向右平移\（3\）个单位，得到\（y ＝（x 3)＾2\）的图像。

例题：将函数\（y ＝ 2x ＋ 1\）的图像向左平移\（3\）个单位，求平移后的函数表达式。

解：将\（x\）替换为\（x ＋ 3\），得到平移后的函数为\（y ＝ 2(x＋ 3) ＋ 1 ＝ 2x ＋ 7\）2、竖直平移函数\（y ＝ f(x)＼）的图像向上平移\（k\）个单位，得到\（y ＝ f(x) ＋ k\）；向下平移\（k\）个单位，得到\（y ＝ f(x) k\）。

例如，函数\（y ＝＼sin x\）的图像向上平移\（1\）个单位，得到\（y ＝＼sin x ＋ 1\）的图像；向下平移\（2\）个单位，得到\（y ＝＼sin x 2\）的图像。

例题：将函数\（y ＝＼log_2 x\）的图像向下平移\（2\）个单位，求平移后的函数表达式。

解：平移后的函数为\（y ＝＼log_2 x 2\）二、伸缩变换1、水平伸缩对于函数\（y ＝ f(x)＼），将其图像上所有点的横坐标伸长（或缩短）到原来的\（＼omega\）倍（＼（＼omega ＞0\）），纵坐标不变，得到\（y ＝ f(＼frac{1}｛＼omega}x)＼）。

当\（＼omega ＞ 1\）时，图像沿\（x\）轴缩短；当\（0 ＜＼omega ＜ 1\）时，图像沿\（x\）轴伸长。

例如，函数\（y ＝＼sin x\）的图像横坐标缩短到原来的\（＼frac{1}｛2}＼），得到\（y ＝＼sin 2x\）的图像；横坐标伸长到原来的\（2\）倍，得到\（y ＝＼sin ＼frac{1}｛2}x\）的图像。

《函数图像的变换》知识解读

《函数图像的变换》知识解读1.函数图像的平移变换函数()y f x =的图像与函数()(0)y f x a a =+≠及()y f x =+(0)b b ≠的图像有怎样的关系呢?我们先来看一个例子:作出函数22,(1),y x y x y ==+=21x -的图像,观察它们之间有怎样的关系. 在同一平面直角坐标系中,它们的图像如图所示.观察图像,可知2(1)y x =+的图像可由2y x =的图像向左平移1个单位长度得到,21y x =-的图像可由2y x =的图像向下平移1个单位长度得到.由此得到如下规律:(1)函数()(0)y f x a a =+≠的图像是由函数()y f x =的图像向左(0)a >或向右(0)a <平移||a 个单位长度得到的,即“左加右减”;(2)函数()(0)y f x b b =+≠的图像是由函数()y f x =的图像向上(0)b >或向下(0)b <平移||b 个单位长度得到的,即“上加下减”.2.函数图像的对称变换函数()y f x =的图像与函数()y f x =-及()y f x =-的图像又有怎样的关系呢?我们来看一个例子: 作出函数111,,111y y y x x x ===-+-+-+的图像,观察它们之间有怎样的关系. 在同一平面直角坐标系中,作出①y =11x +,②11y x =-+与③11y x =--+的图像的一部分,如图所示.观察图像,可知11y x =-+的图像可由y =11x +的图像作关于y 轴的对称变换得到,11y x =--+的图像可由11y x =-+的图像作关于x 轴的对称变换得到,11y x =--+的图像可由y =11x +的图像作关于原点的对称变换得到. 由此可得如下规律:①()y f x =-的图像可由()y f x =的图像作关于y 轴的对称变换得到;②()y f x =-的图像可由()y f x =的图像作关于x 轴的对称变换得到;③()y f x =--的图像可由()y f x =的图像作关于原点的对称变换得到.3.函数图像的翻折变换函数()y f x =的图像与函数|()|y f x =及(||)y f x =的图像又有怎样的关系呢?我们再来看一个例子: 作出函数22223,23,2||3y x x y x x y x x =--=--=--的图像,观察它们之间有怎样的关系.事实上,()22223,13,2323,13,x x x x y x x x x x ⎧---⎪=--=⎨----<<⎪⎩或22223,0,2||323,0.x x x y x x x x x ⎧--=--=⎨+-<⎩在不同的平面直角坐标系中,分别作出2223,|23|,y x x y x x =--=--22||3y x x =--的图像,如图所示.通过观察三个图像,可知223y x x =--的图像可由2y x =-23x -的图像经过下列变换得到:223y x x =--的图像在x 轴及x 轴上方的部分保持不变,x 轴下方的部分沿x 轴翻折上去,即可得到223y x x =--的图像;22||3y x x =--的图像可由223y x x =--的图像经过下列变换得到:223y x x =--的图像在y 轴及y 轴右侧的部分保持不变,再将y 轴右侧的部分图像沿y 轴翻折过去,即可得到22||3y x x =--的图像.由此可得如下规律: 函数图像的翻折变换是指()y f x =的图像与|()|,y f x y ==(||)f x 的图像间的关系.①要作|()|y f x =的图像,可先作y =()f x 的图像,然后将x 轴及x 轴上方的部分保持不变,再将x 轴下方的部分沿x 轴翻折上去即可;②要作(||)y f x =的图像,可先作()y f x =的图像,然后将y 轴及y 轴右侧的部分保持不变,再将y 轴右侧的部分图像沿y 轴翻折过去即可.。

高考抽象函数知识点

高考抽象函数知识点在高考数学考试中，抽象函数是一个重要的知识点。

抽象函数是指一种基于已知函数或关系的新函数或关系，通过对已知函数或关系进行适当的变换和组合得到。

了解抽象函数的概念和相关性质，能够帮助我们更好地理解函数的运算规律和求解问题的方法。

本文将介绍高考中常见的抽象函数知识点，以帮助同学们复习和备考。

一、抽象函数的定义及性质抽象函数的定义：已知函数f(x)，通过对其进行变换得到一个新函数g(x)，则我们称g(x)为f的抽象函数。

常见的抽象函数形式包括：f(ax+b)，f(g(x))，f(x)+g(x)，f(x)g(x)等。

其中，a和b是常数，g(x)是另外一个函数。

抽象函数的性质：1. 抽象函数的定义域和值域：对于抽象函数g(x)，如果f(x)的定义域为D，那么g(x)的定义域也是D。

同样地，如果f(x)的值域为R，那么g(x)的值域也是R。

2. 抽象函数的奇偶性：对于抽象函数g(x)，如果f(x)是奇函数，那么g(x)也是奇函数；如果f(x)是偶函数，那么g(x)也是偶函数。

3. 抽象函数的图像变换：对于抽象函数g(x)，如果f(x)的图像关于y轴对称，那么g(x)的图像关于y轴对称；如果f(x)的图像关于x轴对称，那么g(x)的图像关于x轴对称。

二、抽象函数的应用抽象函数在高考数学中有许多应用，下面列举几个典型例子。

1. 抽象函数与复合函数：已知f(x) = x^2，求g(x) = f(2x+1)的解析式。

根据抽象函数的定义，将f(x) = x^2代入g(x) = f(2x+1)中，得到g(x) = (2x+1)^2。

2. 抽象函数与乘积：已知f(x) = x^2，g(x) = 3x，求h(x) = f(x)g(x)的解析式。

将f(x)和g(x)代入h(x) = f(x)g(x)中，得到h(x) = x^2 * 3x =3x^3。

3. 抽象函数与复合关系式：已知f(x) = x^2，g(x) = 3x，求f(g(2))的值。

函数图像变换知识点总结

函数图像变换知识点总结一、基本概念1. 函数图像的平移函数图像的平移是指将原函数图像沿横轴或纵轴方向平移一定的距离。

平移的方向和距离可以是正数也可以是负数。

- 沿横轴方向平移：对于函数y=f(x)，如果在横轴方向上平移了a个单位，新函数表示为y=f(x-a)。

- 沿纵轴方向平移：对于函数y=f(x)，如果在纵轴方向上平移了b个单位，新函数表示为y=f(x)+b。

2. 函数图像的伸缩函数图像的伸缩是指将原函数图像沿横轴或纵轴方向进行拉伸或压缩。

伸缩的方向和比例可以是正数也可以是负数。

- 沿横轴方向伸缩：对于函数y=f(x)，如果在横轴方向上进行了伸缩，新函数表示为y=f(kx)。

- 沿纵轴方向伸缩：对于函数y=f(x)，如果在纵轴方向上进行了伸缩，新函数表示为y=kf(x)。

3. 函数图像的翻转函数图像的翻转是指对原函数图像进行镜像操作，可以分为关于横轴翻转和关于纵轴翻转两种情况。

- 关于横轴翻转：对于函数y=f(x)，进行横轴翻转后，新函数表示为y=-f(x)。

- 关于纵轴翻转：对于函数y=f(x)，进行纵轴翻转后，新函数表示为y=f(-x)。

二、函数图像变换的特点1. 平移：平移不改变函数的基本形状，只是改变了函数的位置；2. 伸缩：伸缩可以改变函数的斜率和幅度，但不改变函数的形状；3. 翻转：翻转改变了函数的整体形状，使得原函数变为其镜像；4. 组合变换：可以将多种变换进行组合，得到更复杂的函数图像变换。

三、函数图像变换的应用函数图像变换不仅仅是数学中的一种抽象概念，还可以应用到具体的问题中，如物理、经济等领域。

1. 物理问题：在物理学中，函数图像变换可以用来描述物体的运动、变形等。

例如，对于速度-时间图像，进行平移可表示物体的起始位置不同；进行伸缩则可以描述加速度的变化；进行翻转可以描述反向运动等情况。

2. 经济问题：在经济学中，函数图像变换可以用来描述经济模型的变化。

例如，对于需求-价格图像，进行平移可以表示需求量或价格的变化；进行伸缩可以描述需求的弹性；进行翻转可以描述替代品或补充品的关系等情况。

高考数学全部函数图像及图像变换整理，一定要弄清楚！

⾼考数学全部函数图像及图像变换整理，⼀定要弄清楚！很多同学碰到函数题都很茫然，各种函数傻傻分不清。

有的题⽬要求对函数图像进⾏各种变换，更是让同学们摸不清头脑。

匠匠今天就把⾼中数学⾥⽤到的函数都整理出来给⼤家，图⽂并茂便于记忆。

基本初等函数的图像基本的函数图像是同学们必须记清楚的，只有记清楚了基本的函数图像，才能应对各种变换要求。

跟匠匠⼀起来看看，下⾯这些基本的函数图像你都记清楚了没！1⼀次函数性质：⼀次函数图像是直线。

当k>0时，函数单调递增；当k<>2⼆次函数性质：⼆次函数图像是抛物线。

a决定函数图像的开⼝⽅向，判别式b^2-4ac决定了函数图像与x轴的交点，对称轴两边函数的单调性不同。

3反⽐例函数性质：反⽐例函数图像是双曲线。

当k>0时，图像经过⼀、三象限；当k<>4指数函数当0<><><><><>不同底的指数函数图像在同⼀个坐标系中时，⼀般可以做直线 x = 1，与各函数的交点，根据交点纵坐标的⼤⼩，即可⽐较底数的⼤⼩。

5对数函数当底数不同时，对数函数的图像是这样变换的6幂函数性质：先看第⼀象限，即x>0时，当a>1时，函数越增越快；当0<><><><>7对勾函数对于函数y=x+k/x，当k>0时，才是对勾函数，可以利⽤均值定理找到函数的最值。

函数图像的变换1平移变换（1）⽔平平移：函数 y = f（x + a）的图像可以把函数 y = f（x）的图像沿x轴⽅向向左（a＞0）或向右（a＜0）平移｜a｜个单位即可得到；（2）竖直平移：函数 y = f（x） + a 的图像可以把函数 y = f（x）的图像沿x轴⽅向向上（a＞0）或向下（a＜0）平移｜a｜个单位即可得到。

2对称变换（1）函数 y = f（-x）的图像可以将函数 y = f（x）的图像关于y轴对称即可得到；（2）函数 y = - f（x）的图像可以将函数 y = f（x）的图像关于x轴对称即可得到；（3）函数 y = - f（-x）的图像可以将函数 y = f（x）的图像关于原点对称即可得到；3翻折变换（1）函数 y =｜ f（x）｜的图像可以将函数 y = f（x）的图像的x轴下⽅部分沿x轴翻折到x轴上⽅，去掉x轴下⽅部分，并保留 y = f（x）的x轴上⽅部分即可得到；（2）函数 y = f（｜x｜）的图像可以将函数 y = f（x）的图像的右边沿y轴翻折到y轴左边替代原y轴左边部分并保留 y = f（x）在y轴右边部分即可得到。

(经典整理)函数的图像变换与抽象函数问题.docx

函数的图象K 考纲要求为能利用函数的性质与图象的对称性描绘简单函数的图象K 复习要求》掌握用描点法和图象变换法描绘函数的草图，能利用函数图象解决有关问题. K 复习建议［记住基本初等函数的图象特征，能利用两数图彖研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性以及一些特殊函数值等，掌握函数图象的三种基木变换：平移变换、对称变换、伸缩变换，要能运用数形结合的思想方法解决有关问题(讨论函数的性质、确定方程解的个数、解不等式……)K 双基回顾》1、将函数y = /(x)的图象平移a 个单位，求所得的函数解析式：⑴向右平移 _______________⑶向上平移 _______________⑵向左平移 ______________ ⑷向下平移 ______________2、函数y = /(兀)的图象关于下列元素对称的图象对应函数解析式：⑴无轴 _______________ ⑵)，•轴 _____________ ⑶原点 __________________ ⑷ y = /(|x|) ____________________ ⑸ y = |/(x)| ________________________一、基础知识训练1、函数y=f(x)的图象如下，那么下列对应错误的是 ...................... ()4、函数f (x) =log2|a¥— 11的图象关于直线x=2对称，那么实数a二__________二、典型例题分析：1、函数y= f\x-a)与函数y = j\a - x)的图彖关于 .................... ( )对称(4)兀轴(B)y轴(C)直线x=a(D)直线y=a.2、方程2鼻？=0的实数解的个数为............................... ( )(A)0 (B)l (。

2 (D)33、作下列函数的图彖，并且根据图彖说出其单调区间(1) y =二一(2)y=x(*|・2) (3)j=|x-l|+|2x+3|14、讨论方程^\\-x\=kx的实数根的个数.5、方程sinx=lgx的实根个数是6、(二次函数问题)关于兀的方程:3x2—5x+a=0的一根在(一2, 0)内,另一根在(1, 3)内, 求实数a的取值范围.7、(二次函数问题)函数/(x) =X2-2X+2在区间［t, t+1］上的最小值为g(t)f求g⑴的表达式及其最值.抽象函数综合问题K 考纲要求为理解函数及其有关概念.K 复习要求力掌握函数的有关概念，会求简单函数的解析式，掌握函数解析式的一些形式变换，理解抽象函数的关系式的意义.K 复习建议》掌握一次、二次函数解析式，会用待定系数法求Z,会用适当的方法研究抽象函数.K 双基回顾为求函数解析式的方法有：直接法、待定系数法、解方程组法、换元法、归纳猜想法……・—、知识点训练：1、 J(x+\ )=2x+1，贝lj /(x)= __________ .2、如果函数/(兀)满足：fix+y)=f(x) Vy), /U)恒不为0,那么人0)= _________ .3、yU)=2x+3,g(x+2)g),贝I 」g (兀戶 ................................................( )(A)2x+1 (B)2x-1 (C)2x-3 (D)2x+7 4、函数y=g(x)的图象关于直线x=—1对称，且兀丘(0, +°°)时，g(x)=—,那么兀三(—°°, —2)吋g(x)二 __________________ .5、如果函数.心)的定义域为甘且满足：几刊)=心)+旳)，/⑻二3,那么.AV2)= __________ . x>6 ,那么/(3)= x< 6二、典型例题分析：1 ° 11、⑴如果/(兀一一) = x 2+—,求函数几r)的表达式.X 厂1 X⑵如果广(1 +丄)=二可，求函数/U)的表达式.X 1-x"2、二次函数尸几r)满足：心)刁(2—兀)并且X>1时7(x)为增函数，如果a 次0), z?=/(log 2-^-),c= /(log 3 71),试比较a 、b 、c 的大小3^对一-切实数兀、y,关系式：J(x —y)=J(x)—(2x —y+ l)y,且/(0) = 1 ,求函数几兀)的表达式.6、/(x+2) (A) 5 (B) (C) 3 CD) 2X4、定义在(0, +8)上的增函数f(X)满足：/(-) = /(x)-/(y)⑴求证：/ (1) =0⑵求证：f (x w) =nf (兀)(3)如果/(3) =1,解不等式：f(x)-/(—)>2 x-54、设函数/(x)的定义域为R且满足qH兀2则/(七)工/(疋)，又对任何实数兀、)，总有:J(x+y)=J(x)J(y)f证明：(iy (0) =1 ⑵/(兀)>0 恒成立.5^ 对一切非0 实数x、y 满足：fixy)=J(x) +fiy)⑴求证：久1)祕一1)=0⑵判断./U)的奇偶性(3)如果沧)在(0,+ oo)上递增，解不等式f(x) + /(x-^)<06、对任意实数兀，若y=f (x)是严2—/和这两个函数中的较小者，求函数y=f (x)的解析式.再作关于直线尸兀对称的图象，可得到函数y = log 2Cr+,)的图象2、 y =Ax+l)-l 的图象可由函数尸叭兀)的图象经过下述哪一种变换得到 ........... ()(A)向左再向上各平行移动一个单位式各样 (B)向左再向下各平行移动一个单位(C)向右再向上各平行移动一个单位 (D)向右再向下各平行移动一个单位3、函数y=/(x)的图象与一条直线兀二a 有交点个数是 ......................... () (A)至少有一个 (B)至多有一个 (C)必有一个 (D)有一个或两个4、在同一直角坐标系中，图象是同一条曲线的是 ............................. () (心 =/(兀)与歹=广35、方程広丫+〒=2(0vaHl)的解的个数 ....................................(A)0 个7、函数与函数兀)的定义域都为R ，这两个函数图象Z 间 ......................... ()(4)关于y 轴对称(B)关于直线对称(C)关于直线尸土对称(D)关于直线x=2a 对称 1、将〉，=2"的图象3)先向上平行移动一个单位 (C)先向左平行移动一个单位函数的图像(B) 先向右平行移动一个单位(D)先向下平行移动一个单位(O y = fM^x = f~\y)(D) y = fM^x = f(y) ) (B) 1 个(C)2 个 (D)无法确定? 08^函数y=7U)的图象关于直线A-1对称，当兀W1时,fix) =x2+l,则兀＞1时，J(x)= _______ .9、y= f(x)满足/(2-x) = /(2 + x),且f(x) =0有且只有17个根,则这些实数根的和10、定义在R上的奇函数尸几r)满足当兀＜0时，./W=x+1,解不等式：沧一1)＜0。

函数图象变换

周期问题:
若函数f (x) 的最小正周期为T f (x) 的最小正周期为T .
,则函数
练习：1. 若函数f(2x)的一条对称轴为x=1,则函数 f(3-x)的一条对称轴为________.
2. 若函数f(2x)的一个对称中心为（1，0），则函数f(3-2x)的一个对称中心为_______.
3. 若函数f(x-1)的最小正周期为4,则函数f(32x)
问题4：若函数f(3-x)的最小正周期为2，则函数
f(2x-1)的最小正周期为______.
课堂小结：
对称轴问题:
若函数 f (x)
则函f数(x)
为
.
的一条对称轴为x
的一条对称轴x
aa
,
伸
缩变换
对称中心问题:若则函数f函(f数(xx))
为
.
的一个对称中心为(a,0) ,
的一个对称中( 心a ,0)
f(2x-1)的一条对称轴为________.
分析思路：
抽象函数具体化
数形结合
构造具体函数模型
从两个函数的对称关系出发，平移图象
一般到特殊
直译法
转移为特殊点的对称
从一个函数的对称关系出发，代入公式
问题3：若函数f(3-x)的一个对称中心为（2， 0）,则
函数f(2x-1)的一个对称中心为________.
二、具体函数的变换
问题1：已知函数f (x) 4 x2 的图像如图所示，画出
（1）
y下列f函(2数x)的图像：
（2） y
f
(1 3
x)
（3） y 3 f (x)
（4） y
1 2
f (x)
y