人教版重点初中数学圆的知识点归纳
人教版初中数学九年级上册第24章知识复习第一部分圆的有关概念和性质
在上图中，
D
若∠COD=∠AOB,则 CD=AB，CD=AB ；
若CD=AB，则 ∠COD=∠AOB，CD=AB；
若CD=AB，则 ∠COD=∠AOB，CD=AB，.
CAD=ACB.
(二)圆的有关性质 3、垂径定理：
•
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦 所对的两条弧。 推论：①平分弦(非直径)的直径垂直于这条弦，
(二)圆的有关性质 Q
A•
O•
•B
P
C
4、②在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的 圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的 一半；相等的圆周角所对的弧相等。
如图:∠BOC=2∠BAC=2∠BPC=2∠BQC.
(二)圆的有关性质
PQ
O •
D
A C
B
如图:若AB=CD， 则∠AOB=∠COD=2∠APB=2∠CQD.
反之，若∠APB=∠CQD，则AB=CD.
【及时巩固】
d P
P
d
O
•
r
d
P
1、设⊙O的半径为r，点P到圆心的而距离为d，
则 ①点P在⊙O上 d = r；
②点P在⊙O内 d＜ r；
③点P在⊙O外 d ＞r.
【及时巩固】
2、“经过三角形各顶点的圆叫三角形的外接圆. 外接圆的圆心叫做三角形的外心(即三角形三边 中垂线的交点),这个三角形叫圆的内接三角形.” 先分别作出锐角三角形、钝角三角形、直角三 角形的外接圆，再观察图形，填空：
并且平分弦所对的弧； ②平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦；...
(二)圆的有关性质
•
垂径定理及推论可归纳为： 一条直线若具有“①经过圆心； ②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的 优弧；⑤平分弦所对的劣弧”这五个性质 中的两个,这条直线就具有其余三个性质. 注意：①③组合有限制.
人教版初中数学圆的知识点总复习含答案解析
人教版初中数学圆的知识点总复习含答案解析一、选择题1．中国科学技术馆有“圆与非圆”展品，涉及了“等宽曲线”的知识．因为圆的任何一对平行切线的距离总是相等的，所以圆是“等宽曲线”．除了例以外，还有一些几何图形也是“等宽曲线”，如勒洛只角形(图1)，它是分别以等边三角形的征个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间画一段圆弧．三段圆弧围成的曲边三角形．图2是等宽的勒洛三角形和圆．下列说法中错误的是( )A ．勒洛三角形是轴对称图形B ．图1中，点A 到¶BC上任意一点的距离都相等 C ．图2中，勒洛三角形上任意一点到等边三角形DEF 的中心1O 的距离都相等 D ．图2中，勒洛三角形的周长与圆的周长相等【答案】C【解析】【分析】根据轴对称形的定义，可以找到一条直线是的图像左右对着完全重合，则为轴对称图形.鲁列斯曲边三角形有三条对称轴. 鲁列斯曲边三角形可以看成是3个圆心角为60°，半径为DE 的扇形的重叠，根据其特点可以进行判断选项的正误.【详解】鲁列斯曲边三角形有三条对称轴，就是等边三角形的各边中线所在的直线，故正确；点A 到¶BC上任意一点的距离都是DE ，故正确; 勒洛三角形上任意一点到等边三角形DEF 的中心1O 的距离都不相等，1O 到顶点的距离是到边的中点的距离的2倍，故错误；鲁列斯曲边三角形的周长=3×60180DE DE ππ⨯=⨯ ,圆的周长=22DE DE ππ⨯=⨯ ,故说法正确.故选C.【点睛】主要考察轴对称图形，弧长的求法即对于新概念的理解．2．如图，在平行四边形ABCD 中，BD ⊥AD ，以BD 为直径作圆，交于AB 于E ，交CD 于F ，若BD=12，AD ：AB=1：2，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．123B ．1536π-πC ．30312π-D ．48336π-π【答案】C【解析】【分析】 易得AD 长，利用相应的三角函数可求得∠ABD 的度数，进而求得∠EOD 的度数，那么一个阴影部分的面积=S △ABD -S 扇形DOE -S △BOE ，算出后乘2即可．【详解】连接OE ，OF ．∵BD=12，AD ：AB=1：2，∴AD=43 ，AB=83，∠ABD=30°，∴S △ABD =×43×12=243,S 扇形=603616,633933602OEB S ππ⨯==⨯⨯=V ∵两个阴影的面积相等，∴阴影面积=()224369330312ππ⨯--=- .故选：C【点睛】本题主要是理解阴影面积等于三角形面积减扇形面积和三角形面积．3．如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，6AB =，点P 是AB 边上的一个动点，以BP 为直径的圆交CP 于点Q ，若线段AQ 长度的最小值是3，则ABC ∆的面积为（ ）A ．18B ．27C ．36D ．54【答案】B【分析】如图，取BC的中点T，连接AT，QT．首先证明A，Q，T共线时，△ABC的面积最大，设QT=TB=x，利用勾股定理构建方程即可解决问题．【详解】解：如图，取BC的中点T，连接AT，QT．∵PB是⊙O的直径，∴∠PQB=∠CQB=90°，∴QT=12BC=定值，AT是定值，∵AQ≥AT-TQ，∴当A，Q，T共线时，AQ的值最小，设BT=TQ=x，在Rt△ABT中，则有（3+x）2=x2+62，解得x=92，∴BC=2x=9，∴S△ABC=12•AB•B C=12×6×9=27，故选：B．【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，则有中考选择题中的压轴题．4．如图，点I为△ABC的内心，AB=4，AC=3，BC=2，将∠ACB平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为（）A．4.5 B．4 C．3 D．2【答案】B【分析】连接AI 、BI ，因为三角形的内心是角平分线的交点，所以AI 是∠CAB 的平分线，由平行的性质和等角对等边可得：AD=DI ，同理BE=EI ，所以图中阴影部分的周长就是边AB 的长．【详解】连接AI 、BI ，∵点I 为△ABC 的内心，∴AI 平分∠CAB ，∴∠CAI=∠BAI ，由平移得：AC ∥DI ，∴∠CAI=∠AID ，∴∠BAI=∠AID ，∴AD=DI ，同理可得：BE=EI ，∴△DIE 的周长=DE+DI+EI=DE+AD+BE=AB=4，即图中阴影部分的周长为4，故选B ．【点睛】本题考查了三角形内心的定义、平移的性质及角平分线的定义等知识，熟练掌握三角形的内心是角平分线的交点是关键．5．如图，AC BC ⊥，8AC BC ==，以BC 为直径作半圆，圆心为点O ；以点C 为圆心，BC 为半径作»AB ，过点O 作AC 的平行线交两弧于点D 、E ，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．20833π- B ．20833π+C ．20833π D ．20433π 【答案】A【解析】【分析】 如图，连接CE ．图中S 阴影＝S 扇形BCE −S 扇形BOD −S △OCE ．根据已知条件易求得OB ＝OC ＝OD ＝4，BC ＝CE ＝8，∠ECB ＝60°，OE ＝3，所以由扇形面积公式、三角形面积公式进行解答【详解】解：如图，连接CE．∵AC⊥BC，AC＝BC＝8，以BC为直径作半圆，圆心为点O；以点C为圆心，BC为半径作弧AB，∴∠ACB＝90°，OB＝OC＝OD＝4，BC＝CE＝8．又∵OE∥AC，∴∠ACB＝∠COE＝90°．∴在Rt△OEC中，OC＝4，CE＝8，∴∠CEO＝30°，∠ECB＝60°，OE＝3∴S阴影＝S扇形BCE−S扇形BOD−S△OCE＝2260811-4-443 36042ππ⨯⨯⨯⨯=20-83 3π故选：A．【点睛】本题考查了扇形面积的计算．不规则图形的面积一定要注意分割成规则图形的面积进行计算．6．已知锐角∠AOB如图，（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作»PQ，交射线OB于点D，连接CD；（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交»PQ于点M，N；（3）连接OM，MN．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）A．∠COM=∠COD B．若OM=MN，则∠AOB=20°C．MN∥CD D．MN=3CD【答案】D【解析】【分析】由作图知CM=CD=DN，再利用圆周角定理、圆心角定理逐一判断可得．【详解】解：由作图知CM=CD=DN，∴∠COM=∠COD，故A选项正确；∵OM=ON=MN，∴△OMN是等边三角形，∴∠MON=60°，∵CM=CD=DN，∴∠MOA=∠AOB=∠BON=13∠MON=20°，故B选项正确；∵∠MOA=∠AOB=∠BON=20°，∴∠OCD=∠OCM=80°，∴∠MCD=160°，又∠CMN=12∠AON=20°，∴∠MCD+∠CMN=180°，∴MN∥CD，故C选项正确；∵MC+CD+DN＞MN，且CM=CD=DN，∴3CD＞MN，故D选项错误；故选：D．【点睛】本题主要考查作图-复杂作图，解题的关键是掌握圆心角定理和圆周角定理等知识点．7．如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O交BC于点D，连接AD，若∠DAC＝30°，DC＝1，则⊙O的半径为（）A．2 B．3C．2﹣3D．1【答案】B【解析】【分析】先由圆周角定理知∠BDA=∠ADC=90°，结合∠DAC=30°，DC=1得AC=2DC=2，∠C=60°，再由AB=ACtanC=23可得答案．【详解】∵AB是⊙O的直径，∴∠BDA＝∠ADC＝90°，∵∠DAC＝30°，DC＝1，∴AC＝2DC＝2，∠C＝60°，则在Rt△ABC中，AB＝ACtanC＝23，∴⊙O的半径为3，故选：B．【点睛】本题主要考查圆周角定理，解题的关键是掌握半圆（或直径）所对的圆周角是直角和三角函数的应用．的扇形无重叠地围成一个圆锥，则这个圆锥的高8．如图，用半径为12cm，面积272cm为（）A ．12cmB ．6cmC ．6√2 cmD ．63 cm 【答案】D【解析】 【分析】 先根据扇形的面积公式计算出扇形的圆心角，再利用周长公式计算出底面圆的周长，得出半径．再构建直角三角形，解直角三角形即可．【详解】 72π=212360n π⨯ 解得n=180°，∴扇形的弧长=18012180π⨯=12πcm ． 围成一个圆锥后如图所示：因为扇形弧长=圆锥底面周长即12π=2πr解得r=6cm ，即OB=6cm根据勾股定理得OC=22126=63-cm ，故选D ．【点睛】本题综合考查了弧长公式，扇形弧长=用它围成的圆锥底面周长，及勾股定理等知识，所以学生学过的知识一定要结合起来．9．从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】【分析】 根据圆周角定理（直径所对的圆周角是直角）求解，即可求得答案．【详解】∵直径所对的圆周角等于直角，∴从直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是B．故选B．【点睛】本题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．10．下列命题错误的是（）A．平分弦的直径垂直于弦B．三角形一定有外接圆和内切圆C．等弧对等弦D．经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心【答案】C【解析】【分析】根据垂径定理、三角形外接圆、圆的有关概念判断即可．【详解】A、平分弦的直径一定垂直于弦，是真命题；B、三角形一定有外接圆和内切圆，是真命题；C、在同圆或等圆中，等弧对等弦，是假命题；D、经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心，是真命题；故选C．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是根据垂径定理、三角形外接圆、圆的有关概念等知识解答，难度不大．11．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于点D，连接BD，∠C=40°．则∠ABD的度数是（）A．30°B．25°C．20°D．15°【答案】B【解析】试题分析：∵AC为切线∴∠OAC=90°∵∠C=40°∴∠AOC=50°∵OB=OD ∴∠ABD=∠ODB ∵∠ABD+∠ODB=∠AOC=50°∴∠ABD=∠ODB=25°.考点：圆的基本性质.12．如图，7×5的网格中的小正方形的边长都为1，小正方形的顶点叫格点，△ABC 的三个顶点都在格点上，过点C 作△ABC 外接圆的切线，则该切线经过的格点个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】【分析】 作△ABC 的外接圆，作出过点C 的切线，两条图象法即可解决问题.【详解】如图⊙O 即为所求，观察图象可知，过点C 作△ABC 外接圆的切线，则该切线经过的格点个数是3个，选：C ．【点睛】考查三角形的外接圆与外心，切线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意.13．如图，已知ABC ∆和ABD ∆都O e 是的内接三角形，AC 和BD 相交于点E ，则与ADE ∆的相似的三角形是（ ）A ．BCE ∆B ．ABC ∆ C ．ABD ∆ D ．ABE ∆ 【答案】A【分析】根据同弧和等弧所对的圆周角相等， 则AB 弧所对的圆周角BCE BDA ∠=∠，CEB ∠和DEA ∠是对顶角，所以ADE BCE ∆∆∽．【详解】解：BCE BDA ∠=∠Q ，CEB DEA ∠=∠ADE BCE ∴∆∆∽，故选：A ．【点睛】考查相似三角形的判定定理： 两角对应相等的两个三角形相似，关键就是牢记同弧所对的圆周角相等．14．如图，点,,A B S 在圆上，若弦AB 的长度等于圆半径的2倍，则ASB ∠的度数是( )．A ．22.5°B ．30°C ．45°D ．60°【答案】C【解析】【分析】 设圆心为O ，连接OA OB 、，如图，先证明OAB V 为等腰直角三角形得到90AOB ∠=︒，然后根据圆周角定理确定ASB ∠的度数．【详解】解：设圆心为O ，连接OA OB 、，如图，∵弦AB 的长度等于圆半径的2倍，即2AB OA =，∴222OA OB AB +=，∴OAB V 为等腰直角三角形，90AOB ∠=︒ ，∴1452ASB AOB ∠=∠=°． 故选：C ．本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．15．下列命题中哪一个是假命题（ ）A ．8的立方根是2B ．在函数y ＝3x 的图象中，y 随x 增大而增大C ．菱形的对角线相等且平分D ．在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等【答案】C【解析】【分析】利用立方根的定义、一次函数的性质、菱形的性质及圆周角定理分别判断后即可确定正确的选项．【详解】A 、8的立方根是2，正确，是真命题；B 、在函数3y x 的图象中，y 随x 增大而增大，正确，是真命题；C 、菱形的对角线垂直且平分，故错误，是假命题；D 、在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，正确，是真命题，故选C ．【点睛】考查了命题与定理的知识，能够了解立方根的定义、一次函数的性质、菱形的性质及圆周角定理等知识是解题关键．16．如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，OC 交⊙O 于点D ，若∠ABD ＝24°，则∠C 的度数是（ ）A ．48°B ．42°C ．34°D ．24°【答案】B【解析】【分析】 根据切线的性质求出∠OAC ，结合∠C ＝42°求出∠AOC ，根据等腰三角形性质求出∠B ＝∠BDO ，根据三角形外角性质求出即可．【详解】解：∵∠ABD＝24°，∴∠AOC＝48°，∵AC是⊙O的切线，∴∠OAC＝90°，∴∠AOC+∠C＝90°，∴∠C＝90°﹣48°＝42°，故选：B．【点睛】考查了切线的性质，圆周角定理，三角形内角和定理，解此题的关键是求出∠AOC的度数，题目比较好，难度适中．17．如图，已知圆O的半径为10，AB⊥CD，垂足为P，且AB＝CD＝16，则OP的长为()A．6 B．6C．8 D．8【答案】B【解析】【分析】作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OP，OB，OD，首先利用勾股定理求得OM的长，然后判定四边形OMPN是正方形，求得正方形的对角线的长即可求得OP的长．【详解】作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OP，OB，OD，∵AB=CD=16，∴BM=DN=8，∴OM=ON==6，∵AB⊥CD，∴∠DPB=90°，∵OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，∴∠OMP=∠ONP=90°∴四边形MONP是矩形，∵OM=ON，∴四边形MONP是正方形，∴OP=．故选B．【点睛】本题考查的是垂径定理，正方形的判定与性质及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．18．如图，已知⊙O的半径是4，点A,B,C在⊙O上，若四边形OABC为菱形，则图中阴影部分面积为（）A．8833π-B．16833π-C．16433π-D．8433π-【答案】B【解析】【分析】连接OB和AC交于点D，根据菱形及直角三角形的性质先求出AC的长及∠AOC的度数，然后求出菱形ABCO及扇形AOC的面积，则由S扇形AOC-S菱形ABCO可得答案．【详解】连接OB和AC交于点D，如图所示：∵圆的半径为4，OB=OA=OC=4，又四边形OABC是菱形，∴OB⊥AC，OD=12OB=2，在Rt△COD中利用勾股定理可知：224223,243AC CD-===∵sin∠COD=3,2 CDOC=∴∠COD=60°，∠AOC=2∠COD=120°，∴S菱形ABCO=1144383 22OB AC⨯=⨯⨯=,∴S扇形=2 1204163603ππ⨯⨯=,则图中阴影部分面积为S扇形AOC-S菱形ABCO=1683 3π-.故选B.【点睛】考查扇形面积的计算及菱形的性质，解题关键是熟练掌握菱形的面积=12a•b（a、b是两条对角线的长度）；扇形的面积=2 360 n r π.19．如图，在圆O中，直径AB平分弦CD于点E，且CD=43，连接AC，OD,若∠A与∠DOB互余，则EB的长是（）A．3B．4 C3D．2【答案】D【解析】【分析】连接CO，由直径AB平分弦CD及垂径定理知∠COB=∠DOB，则∠A与∠COB互余，由圆周角定理知∠A=30°，∠COE=60°，则∠OCE=30°，设OE=x,则CO=2x,利用勾股定理即可求出x，再求出BE即可.【详解】连接CO，∵AB平分CD，∴∠COB=∠DOB，AB⊥CD，3∵∠A与∠DOB互余，∴∠A+∠COB=90°，又∠COB=2∠A，∴∠A=30°，∠COE=60°，∴∠OCE=30°，设OE=x,则CO=2x,∴CO 2=OE 2+CE 2即(2x)2=x 2+(23)2解得x=2，∴BO=CO=4，∴BE=CO-OE=2.故选D.【点睛】此题主要考查圆内的综合问题，解题的关键是熟知垂径定理、圆周角定理及勾股定理.20．在平面直角坐标系内，以原点O 为圆心，1为半径作圆，点P 在直线323y x =+上运动，过点P 作该圆的一条切线，切点为A ，则PA 的最小值为( )A ．3B ．2C 3D 2 【答案】D【解析】【分析】先根据题意，画出图形，令直线3x+ 23x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ，作OH ⊥CD 于H ，作OH ⊥CD 于H ；然后根据坐标轴上点的坐标特点，由一次函数解析式，求得C 、D 两点的坐标值； 再在Rt △POC 中，利用勾股定理可计算出CD 的长，并利用面积法可计算出OH 的值； 最后连接OA ，利用切线的性质得OA ⊥PA ，在Rt △POH 中，利用勾股定理，得到21PA OP =-PA 的最小值即可.【详解】如图，令直线3x+23x轴交于点C，与y轴交于点D，作OH⊥CD于H，当x=0时，y=3D（0，3当y=033，解得x=-2，则C（-2，0），∴222(23)4CD=+=，∵12OH•CD=12OC•OD，∴OH=233 4⨯=连接OA，如图，∵PA为⊙O的切线，∴OA⊥PA，∴2221PA OP OA OP=-=-当OP的值最小时，PA的值最小，而OP的最小值为OH的长，∴PA22(3)12-=故选D.【点睛】本题考查了切线的性质，解题关键是熟记切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．。
人教版初中九年级上册数学课件 《点和圆的位置关系》圆
18
A．在⊙O内 B．在⊙O外 C．在⊙O上 D．不能确定
9
8．如图，在网格(每个小正方形的边长均为 1)中选取 9 个格点(格线的交点称为 格点)，如果以点 A 为圆心，r 为半径画圆，选取的格点中除点 A 外恰好有 3 个在圆 内，则 r 的取值范围为( B )
A．2 2<r< 17 B． 17<r≤3 2 C． 17<r<5 D．5<r< 29
A． 10 C．34
B．189 D．10
12
11．【易错题】已知⊙O是△ABC的外接圆， 边BC＝4cm，且30°⊙或15O0°半径也为4cm，则∠A的度 数是____________________.
1102或．8 【易错题】在Rt△ABC中，AB＝6， BC＝8，则这个三角形的外接圆直径是 ____________.
A．△ABE C．△ABD
B．△ACF D．△ADE
5
4．如图，点 A、B、C 在同一条直线上，点 D 在直线 AB 外，过这四个点中的 任意 3 个，能画的圆有( C )
A．1 个 C．3 个
B．2 个 D．4 个
6
Hale Waihona Puke 5．【四川雅安中考】如图，△ABC 内接于⊙O，BD 是⊙O 的直径，∠CBD＝21°， 则∠A 的度数为_____6_9_°___.
7
6．如图，已知矩形ABCD的边 AB＝3cm，BC＝4cm，以点A为圆 心，4cm为半径作⊙A，则点B、C、 D与⊙A有怎样的位置关系．
解：连接AC．∵AB＝3cm，BC ＝AD＝4cm，∴AC＝5cm，∴点B 在⊙A内，点D在⊙A上，点C在 ⊙A外．
人教版初中九年级上册数学课件 《正多边形和圆》圆
解：要使△PCD 的周长最小，即 PC＋PD 的值最小．根
据正多边形的性质，得点 C 关于 BE 的对称点为点 A，连接 AD
交 BE 于点 P，那么有 PC＋PD＝AD 最小．易知四边形 ABCD
为等腰梯形，∠BAD＝∠CDA＝60°.作 BM⊥AD 于点 M，CN
⊥AD 于点 N.∵AB＝2，∴AM＝12AB＝1，∴DN＝AM＝1，∴
能超过( A )
A．12 mm
B．12 3 mm
C．6 mm
D．6 3 mm
3．已知圆内接正三角形的面积为 3，则该圆的内接正六边形的边心距是( B )
A．2
B．1
C． 3
D．
3 2
7
4．【贵州贵阳中考】如图，正六边形 ABCDEF 内接于⊙O，连接 BD．则∠CBD 的度数是( A )
A．30° C．60°
10
8．【教材P106练习T3变式】如图，正八边 形ABCDEFGH的半径为2，求它的面积．
11
解：连接 AO、BO、CO、AC． ∵正八边形 ABCDEFGH 的半径为 2，∴AO＝ BO＝CO＝2，∠AOB＝∠BOC＝360°×18＝45°，∴∠AOC＝90°，∴AC＝2 2，此时 AC⊥BO，∴S 四边形 ABCO＝12BO·AC＝12×2×2 2＝2 2，∴正八边形 ABCDEFGH 的面 积为 2 2×4＝8 2.
B．45° D．90°
8
5．如图，正六边形 ABCDEF 内接于半径为 4 的圆，则 B、E 两点间的距离为___8___.
9
6．将一个边长为 1 的正六边形补成如图所示的矩形，则矩形的周长等于 ___4_＋__2__3____.(结果保留根号)
43 7．【山东滨州中考】若正六边形的内切圆半径为 2，则其外接圆半径为___3___.
人教版初中数学九年级上册《圆》课件
圆
24.1
圆的有关性质
24.1.1
圆
知识点一
知识点二
知识点一圆的定义
在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端
点A所形成的图形叫做圆.其固定的端点O叫做圆心,线段OA叫做半
径.
名师解读:(1)圆也可以看作“平面内到一定点的距离等于定长的
所有点组成的图形,这个定点叫做圆心.定长叫做半径”.
做直径.
(2)弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.
(3)半圆:圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条
弧都叫做半圆.大于半圆的弧叫做优弧,小于半圆的弧叫做劣弧.
(4)等圆:能够重合的圆叫做等圆.
(5)等弧:在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧.
名师解读:理解这些与圆相关的概念时,要注意数形结合,对比理
则面积是
3×42
=4
4
3平方米;当设计成正方形时,边长是 3 米,成圆时,半径是2π = π米,则面积是 π π
36
方米.∵这三个数中 最大,∴使花坛面积最大的图案是圆.
π
答案:C
36
= π平
拓展点
解答这类问题,需要熟练地运用面积公式进行计算,同时需要
记忆由此题验证的一个结论“在周长相等的所有平面图形中,
定,则不能确定圆;B,2 cm长为半径,圆心不确定,则不能确定圆;C,以
点O为圆心,以5 cm长为半径可确定圆;D,经过点A,则圆心和半径都
不能确定,则不能确定圆.
答案:C
知识点一
知识点二
理解圆的定义并且明确确定圆的两个条件缺一不
可是解答的关键.
知识点一
知识点二
知识点二圆的相关概念
数学知识点秋人教版数学九年级上册24.3.2《正多边形和圆》word教案-总结
师生行为 教师提出问题，学生进行 回答 教师可再展示一些图片让 学生欣赏．
设 计 意 图 复习正多边形的 概念，为本节课 做准备． 培养学生的思维 品质，将正多边 形与圆联系起 来．并由此引出 今天的课题． 使学生理解、体 会圆与正多边形 的内在联系． 充分发展学生的 发散思维． 教给学生等分圆 周的方法，尤其 是尺规作正六边 形．
初中数学、数学课件、数学综合练习题、数学教学教案、试卷数学
初中数学、数学课件、数学综合练习题、数学教学教案、试卷数学
作 课 类 别 教 学 媒 体 知 识 教 学 目 标 技 能 过 程 方 法 情 感 态 度 教学重点 教学难点
课 题
24.3 .2 正多边形和圆 多媒体
初中数学、数学课件、数学综合练习题、数学教学教案、试卷数学
学生根据教师提出的问题 进行思考，回忆圆的有关 知识，进而回答教师提出 的问题．即等分圆周，就 可以得到圆内接正多边 形．
Байду номын сангаас
教师提出问题后，学 生认真思考、交流，充分 发表自己的见解，并互相 补充．教师在学生归纳的 基础上进行补充，并以正 五边形为例进行证明． 教师提出问题后，学生思 考、交流自己的见解，教 师组织学生进行作图，方 法不限． 在学生作图的基础上，教 师归纳出等分圆周的方 法：1.用量角器等分圆： 依据：同圆中相等的圆心 角所对应的弧相等． 操作：两种情况：其一是 依次画出相等的圆心角来 等分圆，这种方法比较准 确，但是麻烦；其二是先 用量角器画一个圆心角， 然后在圆上依次截取等于 该圆心角所对弧的等弧， 于是得到圆的等分点，这 种方法比较方便，但画图 的误差积累到最后一个等 分点，使画出的正多边形 的边长误差较大． 2.用尺规等分圆： 教师组织学生，分析、作 图、归纳：理论上我们可 以一直画下去，但大家不 难发现，随着边数的增
人教版初中数学九年级上册第24章圆知识复习第二部分点和圆、直线和圆的位置关系
*有兴趣的同学可以尝试证明： (1)如图，正五角星中AC=a， 求该五角星外接圆的直径.(用三角函数表示) (2)圆内接四边形两组对边乘积之和等于两条对角线 的乘积。（提示：构造相似形）
(3)若圆内接四边形的对角线互相垂直，则过对角线 的交点所作任一边的垂线将对边平分. A
B
E
•
O
C
D
中考试题精选
O• 5 A 4P B
【及时巩固】
7、如图,AB是ʘO的直径,AC是弦,∠CAB=30º, 过C点作ʘO的切线交AB的延长线于D，如果 OD=12cm，那么ʘO的半径为 6 .
C
30º • 60º 30º
AO
BD
【及时巩固】
8、如图，PB、PC分别切ʘO于B、C两点，A 是ʘO上一点，∠CAB=50º，则∠P等于 80º .
6、如图，△ABC内接于⊙O，AB的延长线 与过C点的切线GC相交于点D，BE与AC相 交于点F，且CB=CE.求证：(1)BE∥DG； (2)CB2-CF2=BF·FE.
A
O•
E
FB
G CD
中考试题精选
7、如图，PC为⊙O的切线，C为切点, PAB是过O点的割线，CD⊥AB于点D，
若 tan B 1，PC=10cm,求△BCD的面积. 2
A
对应的一个基本图
E O• C D
P
形，其中有很多关
系，你能找出多少？
B
弦切角：圆的切线和过切点的弦所夹的角。 P
O•
O•
B
A
M
(5)弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对 的圆周角.
推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么 这两个弦切角也相等.
(6)和三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆。 内切圆的圆心是三角形的内心(即三角形三内角 平分线的交点)。各边都和圆相切的三角形叫圆 的外切三角形。
最新人教版初中九年级上册数学《圆》精品课件
7.已知：如图，在△ABC中，∠C=90°， 求证：A、B、C三点在同一个圆上.
证明：作AB的中点O，连接OC.
∵△ABC是直角三角形.
∴OA=OB=OC=
AB.
1 2
∴A、B、C三点在同一个圆上.
拓展延伸
8.求证：直径是圆中最长的弦. 证明：如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，半径是r. CD是不同于AB的任意一条弦. 连接OC、OD， 则OA+OB=OC+OD=2r,即AB=OC+OD. 在△OCD中，OC+OD＞CD， ∴AB＞CD.即直径是圆中最长的弦.
知识点2 与圆有关的概念
弦和直径的定义 连接圆上任意两点的线段叫做弦，如图中的 AC． 经过圆心的弦叫做直径，如图中的 AB．
B
O
A
C
半径是弦吗？
弧
圆上任意两点间的部分叫
B
做圆弧，简称弧．以 A、B 为
端点的弧记作AB，读作“圆
O
弧 AB”或“弧 AB”．
圆的任意一条直径的两个 A
C
端点把圆分成两条弧，每一条
∴OA=OC=1 AC,OB=OD=1 BD.
又∵AC=BD2，
2
∴OA=OC=OB=OD.
∴A、B、C、D四个点在以点O为
圆心，OA为半径的圆上.
随堂演练
基础巩固
1.下列说法正确的是( ) D A.直径是弦，弦是直径 B.半圆是弧，弧是半圆 C.弦是圆上两点之间的部分 D.半径不是弦，直径是最长的弦
形成性定义(动态)：在一个平面内，线段 OA 绕它 固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的图 形叫做圆．
集合性定义(静态)：圆心为 O、 半径为 r 的圆可以看成是所有到定点 O 的距离等于定长 r 的点的集合．
新人教版初中数学——圆的性质及与圆有关的位置关系-知识点归纳及中考典型题解析
人教版初中数学——圆的性质及与圆有关的位置关系知识点归纳及中考典型例题解析一、圆的有关概念1．与圆有关的概念和性质（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．（2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦．（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧．（4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．（5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角．（6）弦心距：圆心到弦的距离．2．注意（1）经过圆心的直线是该圆的对称轴，故圆的对称轴有无数条；（2）3点确定一个圆，经过1点或2点的圆有无数个．（3）任意三角形的三个顶点确定一个圆，即该三角形的外接圆．二、垂径定理及其推论1．垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形．2．推论（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．三、圆心角、弧、弦的关系1．定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．圆心角、弧和弦之间的等量关系必须在同圆等式中才成立．2．推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．四、圆周角定理及其推论1．定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．2．推论（1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．（2）直径所对的圆周角是直角．圆内接四边形的对角互补．在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化．比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等．五、与圆有关的位置关系1．点与圆的位置关系设点到圆心的距离为d．(1)d<r⇔点在⊙O内；(2)d=r⇔点在⊙O上；(3)d>r⇔点在⊙O外．判断点与圆之间的位置关系，将该点的圆心距与半径作比较即可．2．直线和圆的位置关系位置关系相离相切相交图形公共点个数0个1个2个数量关系d>r d=r d<r由于圆是轴对称和中心对称图形，所以关于圆的位置或计算题中常常出现分类讨论多解的情况．六、切线的性质与判定1．切线的性质（1）切线与圆只有一个公共点．（2）切线到圆心的距离等于圆的半径．（3）切线垂直于经过切点的半径．利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题．2．切线的判定（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）．（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线．（3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．切线判定常用的证明方法：①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径．七、三角形与圆1．三角形的外接圆相关概念经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形．外心是三角形三条垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等．2．三角形的内切圆与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形的三条边的距离相等．考向一圆的基本认识1．在一个圆中可以画出无数条弦和直径．2．直径是弦，但弦不一定是直径．3．在同一个圆中，直径是最长的弦．4．半圆是弧，但弧不一定是半圆．弧有长度和度数，规定半圆的度数为180°，劣弧的度数小于180°，优弧的度数大于180°．5．在同圆或等圆中能够互相重合的弧是等弧，度数或长度相等的弧不一定是等弧．典例1下列命题中正确的有①弦是圆上任意两点之间的部分；②半径是弦；③直径是最长的弦；④弧是半圆，半圆是弧．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】A【解析】①弦是圆上任意两点之间所连线段，所以①错误；②半径不是弦，所以②错误；③直径是最长的弦，正确；④只有180°的弧才是半圆，所以④错误，故选A．1．把圆的半径缩小到原来的14，那么圆的面积缩小到原来的A．12B．14C．18D．1162．半径为5的圆的一条弦长不可能是A．3 B．5 C．10 D．12考向二垂径定理1．垂径定理中的“弦”为直径时，结论仍然成立．2．垂径定理是证明线段相等、弧相等的重要依据，同时也为圆的计算和作图问题提供了理论依据．典例2如图，已知⊙O的半径为6 cm，两弦AB与CD垂直相交于点E，若CE=3 cm，DE=9 cm，则AB=A3cm B．3cm C．3D．3【答案】D【解析】如图，连接OA，∵⊙O的半径为6 cm，CE+DE=12 cm，∴CD是⊙O的直径，∵CD⊥AB，∴AE=BE，OE=3，OA=6，∴AE=2233OA OE-=，∴AB=2AE=63，故选D．典例3如图，将半径为2 cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为A．2 cm B．3cmC．23cm D．25cm【答案】C【解析】在图中构建直角三角形，先根据勾股定理得AD的长，再根据垂径定理得AB的长．作OD⊥AB于D，连接OA．根据题意得OD=12OA=1cm，再根据勾股定理得：AD3，根据垂径定理得AB3．故选C．3．如图，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为4，则弦AB的长是A．3 B．6 C．4 D．84．如图，某菜农在蔬菜基地搭建了一个横截面为圆弧形的蔬菜大棚，大棚的跨度弦AB的长为8515米，大棚顶点C离地面的高度为2.3米．（1）求该圆弧形所在圆的半径；（2）若该菜农的身高为1.70米，则他在不弯腰的情况下，横向活动的范围有几米？考向三弧、弦、圆心角、圆周角1．圆心角的度数等于它所对弧的度数，把顶点在圆心的周角等分成360份，每一份的圆心角是1°的角，1°的圆心角对着1°的弧．2．圆周角要具备两个特征：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交，二者缺一不可．典例4如图，在⊙O中∠O=50°，则∠A的度数为A．50°B．20°C．30°D．25°【答案】D【解析】∠A=12BOC=12×50°=25°．故选D．典例5如图，AB是⊙O的直径，△ACD内接于⊙O，延长AB，CD相交于点E，若∠CAD=35°，∠CDA=40°，则∠E的度数是A．20°B．25°C．30°D．35°【答案】B【解析】如图，连接BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，由三角形内角和定理得，∠ACD=180°﹣∠CAD﹣∠CDA=105°，∴∠ABD=180°﹣∠ACD=75°，∴∠BAD=90°﹣∠ABD=15°，∴∠E=∠CDA﹣∠DAB=25°，故选B．5．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠OCA=50°，AB=4，则BC的长为A．103πB．109πC．59πD．518π6．如图，AB是⊙O的直径，=BC CD DE，∠COD=38°，则∠AEO的度数是A．52°B．57°C．66°D．78°考向四点、直线与圆的位置关系1．点和圆的位置关系：①在圆上；②在圆内；③在圆外．2．直线和圆的位置关系：相交、相切、相离．典例6已知⊙O的半径是5，点A到圆心O的距离是7，则点A与⊙O的位置关系是A．点A在⊙O上B．点A在⊙O内C．点A在⊙O外D．点A与圆心O重合【答案】C【解析】∵O的半径是5，点A到圆心O的距离是7，即点A到圆心O的距离大于圆的半径，∴点A在⊙O外．故选C．【点睛】直接根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．典例7在△ABC中，AB=AC=2，∠A=150°，那么半径长为1的⊙B和直线AC的位置关系是A．相离B．相切C．相交D．无法确定【答案】B【解析】过B作BD⊥AC交CA的延长线于D，∵∠BAC=150，∴∠DAB=30°，∴BD=11222AB=⨯=1，即B到直线AC的距离等于⊙B的半径，∴半径长为1的⊙B和直线AC的位置关系是相切，故选B．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系的应用，过B作BD⊥AC交CA的延长线于D，求出BD和⊙B的半径比较即可，主要考查学生的推理能力．7．如图，⊙O的半径为5cm，直线l到点O的距离OM=3cm，点A在l上，AM=3．8cm，则点A与⊙O的位置关系是A．在⊙O内B．在⊙O上C．在⊙O外D．以上都有可能8．如图，⊙O的半径OC=5cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A、B两点，AB=8cm，则l沿OC 所在直线向下平移__________cm时与⊙O相切．考向五切线的性质与判定有圆的切线时，常常连接圆心和切点得切线垂直半径，这是圆中作辅助线的一种方法．典例8如图，⊙O以AB为直径，PB切⊙O于B，近接AP，交⊙O于C，若∠PBC=50°，∠ABC=A．30°B．40°C．50°D．60°【答案】B【解析】∵⊙O以AB为直径，PB切⊙O于B，∴∠PBA=90°，∵∠PBC=50°，∴∠ABC=40°．故选B．典例9如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，点E在中线AD上，以E为圆心的⊙E分别与AB、BC相切，则⊙E的半径为A．78B．67C．56D．1【答案】B【解析】作EH⊥AC于H，EF⊥BC于F，EG⊥AB于G，连接EB，EC，设⊙E的半径为r，如图，∵∠C=90°，AB=5，AC=3，∴BC22AB AC-，而AD为中线，∴DC=2，∵以E为圆心的⊙E分别与AB、BC相切，∴EG=EF=r，∴HC=r，AH=3–r，∵EH∥BC，∴△AEH∽△ADC，∴EH∶CD=AH∶AC，即EH=233r-（），∵S △ABE +S △BCE +S △ACE =S △ABC ， ∴()1112154333422232r r r ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯-=⨯⨯，∴67r =．故选B ．9．已知四边形ABCD 是梯形，且AD ∥BC ，AD <BC ，又⊙O 与AB 、AD 、CD 分别相切于点E 、F 、G ，圆心O 在BC 上，则AB +CD 与BC 的大小关系是 A ．大于 B ．等于C ．小于D ．不能确定10．如图，以等腰△ABC 的腰AB 为⊙O 的直径交底边BC 于D ，DE AC ⊥于E ．求证：（1）DB DC =； （2）DE 为⊙O 的切线．1．下列关于圆的叙述正确的有①圆内接四边形的对角互补； ②相等的圆周角所对的弧相等；③正多边形内切圆的半径与正多边形的半径相等； ④同圆中的平行弦所夹的弧相等．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点（A 、B 除外），∠AOD =136°，则∠C 的度数是A ．44°B ．22°C ．46°D ．36°3．如图，半径为5的⊙A 中，弦BC ，ED 所对的圆心角分别是∠BAC ，∠EAD ，已知DE =6，∠BAC ＋∠EAD =180°，则弦BC 的长等于A ．41B ．34C ．8D ．64．如图，在平面直角坐标系中，过格点A ，B ，C 作一圆弧，则圆心坐标是A ．点（1，0）B ．点（2，1）C ．点（2，0）D ．点(2．5，1)5．如图，O 的直径8AB =，30CBD ∠=︒，则CD 的长为A ．2B ．3C ．4D ．36．如图，一圆内切四边形ABCD ，且BC =10，AD =7，则四边形的周长为A ．32B ．34C ．36D ．387．已知在⊙O 中，AB =BC ，且34AB AMC =∶∶，则∠AOC =__________．8．如图，A 、B 、C 、D 都在⊙O 上，∠B =130°，则∠AOC 的度数是__________．9．如图，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B ，并与圆O 的切线DC 分别相交于D 、C ．已知△PCD 的周长等于14 cm ，则PA =__________cm ．10．如图，在⊙O 的内接四边形ABCD 中，AB AD =，120C ∠=︒，点E 在弧AD 上．若AE 恰好为⊙O的内接正十边形的一边，DE 的度数为__________．11．如图，半圆O 的直径是AB ，弦AC 与弦BD 交于点E ，且OD ⊥AC ，若∠DEF =60°，则tan ∠ABD =__________．12．如图，AB为⊙O的直径，C、F为⊙O上两点，且点C为弧BF的中点，过点C作AF的垂线，交AF 的延长线于点E，交AB的延长线于点D．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）如果半径的长为3，tan D=34，求AE的长．13．如图，在△ABC中，∠C=90°，点O在AC上，以OA为半径的⊙O交AB于点D，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AC=6，BC=8，OA=2，求线段DE的长．14．如图1，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，D是⊙O外一点且满足∠DCA=∠B，连接AD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AD⊥CD，CD=2，AD=4，求直径AB的长；（3）如图2，当∠DAB=45°时，AD与⊙O交于E点，试写出AC、EC、BC之间的数量关系并证明．1．如图，在O 中，AB 所对的圆周角50ACB ∠=︒，若P 为AB 上一点，55AOP ∠=︒，则POB ∠的度数为A ．30°B ．45°C ．55°D ．60°2．如图，AD 是O 的直径，AB CD =，若40AOB ∠=︒，则圆周角BPC ∠的度数是A ．40︒B ．50︒C ．60︒D ．70︒3．如图，AB ，AC 分别是⊙O 的直径和弦，OD AC ⊥于点D ，连接BD ，BC ，且10AB =，8AC =，则BD 的长为A ．25B ．4C ．213D ．4.84．如图，PA 、PB 为圆O 的切线，切点分别为A 、B ，PO 交AB 于点C ，PO 的延长线交圆O 于点D ，下列结论不一定成立的是A ．PA =PB B ．∠BPD =∠APDC ．AB ⊥PDD ．AB 平分PD5．如图，PA 、PB 是⊙O 切线，A 、B 为切点，点C 在⊙O 上，且∠ACB =55°，则∠APB 等于A ．55°B ．70°C ．110°D ．125°6．如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，A 为切点，若∠C =40°，则∠B 的度数为A ．60°B ．50°C ．40°D ．30°7．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、D 是圆上两点，且∠AOC =126°，则∠CDB =A ．54°B ．64°C ．27°D ．37°8．如图，AB 为O 的直径，BC 为O 的切线，弦AD ∥OC ，直线CD 交的BA 延长线于点E ，连接BD ．下列结论：①CD 是O 的切线；②CO DB ⊥；③EDA EBD △∽△；④ED BC BO BE ⋅=⋅．其中正确结论的个数有A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个9．如图，C 、D 两点在以AB 为直径的圆上，2AB =，30ACD ∠=︒，则AD =__________．10．如图，△ABC 内接于⊙O ，∠CAB =30°，∠CBA =45°，CD ⊥AB 于点D ，若⊙O 的半径为2，则CD 的长为__________．11．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=AC，AC⊥BD，垂足为E，点F在BD的延长线上，且DF=DC，连接AF、CF．（1）求证：∠BAC=2∠CAD；（2）若AF=10，BC=45，求tan∠BAD的值．12．如图，在△ABC中，BA=BC，∠ABC=90°，以AB为直径的半圆O交AC于点D，点E是BD上不与点B，D重合的任意一点，连接AE交BD于点F，连接BE并延长交AC于点G．（1）求证：△ADF≌△BDG；（2）填空：①若AB=4，且点E是BD的中点，则DF的长为__________；②取AE的中点H，当∠EAB的度数为__________时，四边形OBEH为菱形．1．【答案】D【解析】设原来的圆的半径为r ，则面积S 1=πr 2， ∴半径缩小到原来的14后所得新圆的面积22211π()π416S r r ==， ∴22211π116π16rS S r ==，故选D ． 2．【答案】D【解析】∵圆的半径为5，∴圆的直径为10，又∵直径是圆中最长的弦，∴圆中任意一条弦的长度10l ≤，故选D ． 3．【答案】B【解析】如图，连接OA ，∵O 的直径为10，5OA ∴=，∵圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为4， 由垂径定理知，点M 是AB 的中点，12AM AB =， 由勾股定理可得，3AM =，所以6AB =．故选B ．4．【解析】（1）如图所示：CO ⊥AB 于点D ，设圆弧形所在圆的半径为xm ，根据题意可得：DO 2+BD 2=BO 2， 则（x –2．3）2+851×12）2=x 2，解得x =3． 变式训练答：圆弧形所在圆的半径为3米；（2）如图所示：当MN =1.7米，则过点N 作NF ⊥CO 于点F ，可得：DF =1.7米，则FO =2.4米，NO =3米，故FN =223 2.4-=1.8（米）， 故该菜农身高1.70米，则他在不弯腰的情况下，横向活动的范围有3．6米． 5．【答案】B【解析】根据题意可知：∠OAC =∠OCA =50°，则∠BOC =2∠OAC =100°，则弧BC 的长度为：100π210π1809⨯=，故选B ．6．【答案】B【解析】∵=BC CD DE =，∴∠BOC =∠DOE =∠COD =38°， ∴∠BOE =∠BOC +∠DOE +∠COD =114°，∴∠AOE =180°–∠BOE =66°， ∵OA =OE ，∴∠AEO =（180°–∠AOE ）÷2=57°，故选B ． 7．【答案】A【解析】如图，连接OA ，则在直角△OMA 中，根据勾股定理得到OA =223 3.823.445+=<． ∴点A 与⊙O 的位置关系是：点A 在⊙O 内．故选A ．8．【答案】2【解析】连接OA ．∵直线和圆相切时，OH =5，又∵在直角三角形OHA 中，HA =AB ÷2=4，OA =5，∴OH =3． ∴需要平移5–3=2（cm ）．故答案为：2．【点睛】本题考查垂径定理及直线和圆的位置关系．注意：直线和圆相切，应满足d =R ． 9．【答案】B【解析】如图，连接OF ，OA ，OE ，作AH ⊥BC 于H ．∵AD 是切线，∴OF ⊥AD ，易证四边形AHOF 是矩形，∴AH =OF =OE ， ∵S △AOB =12•OB •AH =12•AB •OE ，∴OB =AB ，同理可证：CD =CO ， ∴AB +CD =BC ，故选B ．【点睛】本题考查了切线的性质，切线垂直于过切点的半径，正确作出辅助线是关键． 10．【解析】（1）如图，连AD ，∵AB 是直径，∴90ADB ∠=︒，AD BC ⊥， 又AB AC =，∴D 为BC 中点，DB DC =； （2）连OD ，∵D 为BC 中点，OA OB =， ∴OD 为ABC △中位线，OD AC ∥， 又DE AC ⊥于,E ∴90ODE DEC ∠=∠=︒， ∴DE 为⊙O 的切线．1．【答案】B【解析】①圆内接四边形的对角互补；正确；②相等的圆周角所对的弧相等；错误；③正多边形内切圆的半径与正多边形的半径相等；错误；④同圆中的平行弦所夹的弧相等；正确； 正确的有2个，故选B ． 2．【答案】B【解析】∵∠AOD =136°，∴∠BOD =44°，∴∠C =22°，故选B ． 3．【答案】C【解析】如图，延长CA ，交⊙A 于点F ，考点冲关∵∠BAC+∠BAF=180°，∠BAC+∠EAD=180°，∴∠BAF=∠DAE，∴BF=DE=6，∵CF是直径，∴∠ABF=90°，CF=2×5=10，∴BC=228CF BF-=．故选C．4．【答案】C【解析】根据勾股定理可知A、B、C点到（2，0）的距离均为5，然后可知圆心为（2，0）或者通过AB、BC的垂直平分线求解也可以．故选C．5．【答案】C【解析】如图，作直径DE，连接CE，则∠DCE=90°，∵∠DBC=30°，∴∠DEC=∠DBC=30°，∵DE=AB=8，∴12DC DE==4，故选C．6．【答案】B【解析】由题意可得圆外切四边形的两组对边和相等，所以四边形的周长=2×（7+10）=34．故选B．7．【答案】144°【解析】根据AB=BC可得：弧AB的度数和弧BC的度数相等，则弧AMC的度数为：(360°÷10)×4=144°，则∠AOC =144°． 8．【答案】100°【解析】∵∠B =130°，∴∠D =180°－130°=50°，∴∠AOC =2∠D =100°．故答案为100°． 9．【答案】7【解析】如图，设DC 与⊙O 的切点为E ；∵PA 、PB 分别是⊙O 的切线，且切点为A 、B ，∴PA =PB ； 同理，可得：DE =DA ，CE =CB ；则△PCD 的周长=PD +DE +CE +PC =PD +DA +PC +CB =PA +PB =14（cm ）； ∴PA =PB =7cm ，故答案是：7． 10．【答案】84︒【解析】如图，连接BD ，OA ，OE ，OD ，∵四边形ABCD 是圆的内接四边形，∴180BAD C ∠+∠=︒， ∵120C ∠=︒，∴60BAD ∠=︒，∵AB AD =，∴ABD △是正三角形，∴60ABD ∠=︒，2120AOD ABD ∠=∠=︒， ∵AE 恰好是⊙的内接正十边形的一边，∴3603610AOE ︒∠==︒， ∴1203684DOE ∠=︒-︒=︒，∴DE 的度数为84°．故答案为：84°．113【解析】∵OD ⊥AC ，∠DEF =60°， ∴∠D =30°，∵OD=OB，∴∠ABD=∠D=30°，∴tan∠ABD=33，故答案为：33．12．【解析】（1）连接OC，如图．∵点C为弧BF的中点，∴弧BC=弧CF，∴∠BAC=∠FAC．∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC，∴∠OCA=∠FAC，∴OC∥AE．∵AE⊥DE，∴OC⊥DE，∴DE是⊙O的切线；（2）在Rt△OCD中，∵tan D=34OCCD=，OC=3，∴CD=4，∴OD=22OC CD+=5，∴AD=OD+AO=8．在Rt△ADE中，∵sin D=35OC AEOD AD==，∴AE=245．13．【解析】（1）直线DE与⊙O相切，理由如下：如图，连接OD，∵OD=OA，∴∠A=∠ODA，∵EF是BD的垂直平分线，∴EB=ED，∴∠B=∠EDB，∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，∴∠ODA+∠EDB=90°，∴∠ODE=180°–90°=90°，∴直线DE与⊙O相切；（2）连接OE，设DE=x，则EB=ED=x，CE=8–x，∵∠C=∠ODE=90°，∴OC2+CE2=OE2=OD2+DE2，∴42+（8–x）2=22+x2，解得：x=4.75，则DE=4.75．14．【解析】（1）如图1，连接OC．∵OB=OC，∴∠OCB=∠B，∵∠DCA=∠B，∴∠DCA=∠OCB，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠DCA+∠ACO=∠OCB+∠ACO=90°，即∠DCO=90°，∴CD是⊙O的切线．（2）∵AD⊥CD，CD=2，AD=4．∴222425AC=+=由（1）可知∠DCA=∠B，∠D=∠ACB=90°，∴△ADC∽△ACB，∴AD ACAC AB=2525=，∴AB=5．（3）2AC BC EC=+，如图2，连接BE，在AC上截取AF=BC，连接EF．∵AB 是直径，∠DAB =45°， ∴∠AEB =90°，∴△AEB 是等腰直角三角形， ∴AE =BE ，又∵∠EAC =∠EBC ，∴△ECB ≌△EFA ，∴EF =EC ， ∵∠ACE =∠ABE =45°， ∴△FEC 是等腰直角三角形， ∴2FC EC =，∴2AC AF FC BC EC =+=．1．【答案】B【解析】∵∠ACB =50°，∴∠AOB =2∠ACB =100°，∵∠AOP =55°，∴∠POB =45°，故选B ． 2．【答案】B【解析】∵AB CD =，40AOB ∠=︒，∴40COD AOB ∠=∠=︒， ∵180AOB BOC COD ∠+∠+∠=︒，∴100BOC ∠=︒， ∴1502BPC BOC ∠=∠=︒，故选B ． 3．【答案】C【解析】∵AB 为直径，∴90ACB ∠=︒，∴22221086BC AB AC =--=，∵OD AC ⊥，∴142CD AD AC ===， 直通中考在Rt CBD △中，2246213BD =+=．故选C ．4．【答案】D【解析】∵PA ，PB 是⊙O 的切线，∴PA =PB ，所以A 成立；∠BPD =∠APD ，所以B 成立； ∴AB ⊥PD ，所以C 成立；∵PA ，PB 是⊙O 的切线，∴AB ⊥PD ，且AC =BC ，只有当AD ∥PB ，BD ∥PA 时，AB 平分PD ，所以D 不一定成立，故选D ． 5．【答案】B【解析】如图，连接OA ，OB ，∵PA ，PB 是⊙O 的切线，∴PA ⊥OA ，PB ⊥OB ，∵∠ACB =55°，∴∠AOB =110°， ∴∠APB =360°-90°-90°-110°=70°．故选B ．6．【答案】B【解析】∵AC 是⊙O 的切线，∴AB ⊥AC ，且∠C =40°，∴∠ABC =50°，故选B ． 7．【答案】C【解析】∵∠AOC =126°，∴∠BOC =180°-∠AOC =54°，∵∠CDB =12∠BOC =27°．故选C ． 8．【答案】A【解析】如图，连接DO ．∵AB 为O 的直径，BC 为O 的切线，∴90CBO ∠=︒，∵AD OC ∥，∴DAO COB ∠=∠，ADO COD ∠=∠． 又∵OA OD =，∴DAO ADO ∠=∠，∴COD COB ∠=∠．在COD △和COB △中，CO CO COD COB OD OB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴COD COB △≌△，∴90CDO CBO ∠=∠=︒．又∵点D 在O 上，∴CD 是O 的切线，故①正确，∵COD COB △≌△，∴CD CB =，∵OD OB =，∴CO 垂直平分DB ，即CO DB ⊥，故②正确； ∵AB 为O 的直径，DC 为O 的切线，∴90EDO ADB ∠=∠=︒，∴90EDA ADO BDO ADO ∠+∠=∠+∠=︒，∴ADE BDO ∠=∠， ∵OD OB =，∴ODB OBD ∠=∠，∴EDA DBE ∠=∠， ∵E E ∠=∠，∴EDA EBD △∽△，故③正确；∵90EDO EBC ∠=∠=︒，E E ∠=∠，∴EOD ECB △∽△， ∴ED ODBE BC=，∵OD OB =， ∴ED BC BO BE ⋅=⋅，故④正确，故选A ． 9．【答案】1【解析】∵AB 为直径，∴90ADB ∠=︒，∵30B ACD ∠=∠=︒，∴112122AD AB ==⨯=． 故答案为：1． 10．【答案】2【解析】如图，连接CO 并延长交⊙O 于E ，连接BE ，则∠E =∠A =30°，∠EBC =90°，∵⊙O 的半径为2，∴CE =4，∴BC =12CE =2， ∵CD ⊥AB ，∠CBA =45°，∴CD =22BC =2，故答案为：2． 11．【解析】（1）∵AB =AC ，∴AB AC =，∠ABC =∠ACB ，∴∠ABC =∠ADB ，∠ABC =（180°-∠BAC ）=90°-∠BAC ，∵BD⊥AC，∴∠ADB=90°-∠CAD，∴12∠BAC=∠CAD，∴∠BAC=2∠CAD．（2）∵DF=DC，∴∠DFC=∠DCF，∴∠BDC=2∠DFC，∴∠BFC=12∠BDC=12∠BAC=∠FBC，∴CB=CF，又BD⊥AC，∴AC是线段BF的中垂线，AB=AF=10，AC=10．又BC=45，设AE=x，CE=10-x，由AB2-AE2=BC2-CE2，得100-x2=80-（10-x）2，解得x=6，∴AE=6，BE=8，CE=4，∴DE=648AE CEBE⋅⨯==3，∴BD=BE+DE=3+8=11，如图，作DH⊥AB，垂足为H，∵12AB·DH=12BD·AE，∴DH=11633105 BD AEAB⋅⨯==，∴BH2244 5BD DH-=，∴AH=AB-BH=10-446 55=，∴tan∠BAD=331162 DHAH==．12．【解析】（1）∵BA=BC，∠ABC=90°，∴∠BAC=45°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=∠AEB=90°，∴∠DAF+∠BGD=∠DBG+∠BGD=90°，∴∠DAF=∠DBG，∵∠ABD+∠BAC=90°，∴∠ABD=∠BAC=45°，∴AD=BD，∴△ADF≌△BDG．（2）①如图2，过F作FH⊥AB于H，∵点E是BD的中点，∴∠BAE=∠DAE，∵FD⊥AD，FH⊥AB，∴FH=FD，∵FHBF=sin∠ABD=sin45°2，∴22FDBF=BF2FD，∵AB=4，∴BD=4cos45°2，即BF+FD22+1）FD2，∴FD=2221=4-22，故答案为：4-22．②连接OH，EH，∵点H是AE的中点，∴OH⊥AE，∵∠AEB=90°，∴BE⊥AE，∴BE∥OH，∵四边形OBEH为菱形，∴BE=OH=OB=12 AB，∴sin∠EAB=BEAB=12，∴∠EAB=30°．故答案为：30°．31。
人教版初中九年级上册数学精品课件 第二十四章 圆 点和圆、直线和圆的位置关系 点和圆的位置关系
拓广探索题
某地出土一明代残破圆形瓷盘，如图所示．为复制该瓷盘要确定 其圆心和半径,请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心．
解：(1)在圆形瓷盘的边缘选A、B、C三点；
(2)连接AB、BC；
B
C
A
(3)分别作出AB、BC的垂直平分线；
(4)两垂直平分线的交点就是瓷盘的圆心.
课堂小结
点与圆的 位置关系
作 圆
三角形的内角和为180度 矛盾．假设不成立．
△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.
．
巩固练习
6. 利用反证法证明“在直角三角形中，至少有一个 锐角不大于45°”时，应先假设（ D ）
A.有一个锐角小于45° B.每一个锐角都小于45° C.有一个锐角大于45° D.每一锐角都大于45°
巩固练习
探究新知
点和圆的位置关系
P
d
d
Pd
r
r
P
r
点P在⊙O内
d<r 点P在⊙O上 d=r 点P在⊙O外
d>r
数形结合： 位置关系
数量关系
探究新知
素养考点 1 判定点和圆的位置关系
例1 如图，已知矩形ABCD的边AB=3，AD=4.
（1）以A为圆心，4为半径作⊙A，则点B、C、D与
⊙A的位置关系如何？
A
解：(1)∵∠ADO＝∠ABO＝60°， ∠DOA＝90°，
∴∠DAO＝30°；
探究新知 (2)求点A的坐标和△AOB外接圆的面积．
∵点D的坐标是(0，3)，∴OD＝3.
在Rt△AOD中，∵∠DOA＝90° ，
∴AD为直径. 又∵∠DAO=30°，∴AD＝2OD＝6， OA＝ 3 3
因此圆的半径为3．点A的坐标( 3 3， 0) ∴△AOB外接圆的面积是9π. 解题妙招：图形中求三角形外接圆的面积时，关键是确定外 接圆的直径(或半径)长度．
初中数学人教九年级上册第二十四章 圆 圆周角定理PPT
(2)∵BA=BC，∴∠A=∠C. 由圆周角定理得∠A=∠E， ∴∠C=∠E，∴DC=DE.
27
28
知识点三：圆周角定理的推论
合作探究
先独立完成导学案互动探究1、3， 再同桌相互交流，最后小组交流；
1.如图，在⊙O中，弦AB＝3cm，点C在 ⊙O上，∠ACB＝30°.求⊙O直径. 2.如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦 ，延长BD到点C，使AC＝AB，BD与CD的 大小有什么关系?为什么?
B A
O A
O B
知识点三：圆周角定理的推论
学以致用
1、如图，AB是半圆的直径，点D是AC的中
点，∠ABC＝50°，则∠DAB等于( ) C
A.55°B.60°C.65°D.70°
B
A
O
2.如图，⊙O的半径为1，AB是⊙O的一条
弦，且AB＝ 3，则弦AB所对的圆周角的度 A
数为( )D A.30º B.60º C.30º或150 º D.60º或120º
如果AB＝CD，那么∠E和∠F是什么关系？ O1 D
反过来呢？
C
A
F
结合⑴、⑵你能得到什么结论？
O2
B
21
知识点三：圆周角定理的推论
归纳总结
圆周角定理推理1
同弧或等弧所对的圆周角相等； 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.
∵ AB=CD ∴∠E=∠F
在⊙O中∵∠E=∠F ∴AB=CD
E
A
F
O D
对的弧也相等；②两条弦相等，弦所对的弧也相等；③弦
心距弦心距所对的弦相等；④两个圆周角相等，圆周角所
对的弧相等；⑤弧相等弧所对的弦相等；
C
⑥弧相等弧所对的圆周角也相等。
人教版初中数学总复习第六章圆第20课时圆的有关概念及性质课件
角形,外接圆的圆心叫做三角形的外心.外心是三角形三边垂直平分线的交
点.锐角三角形的外心在三角形的内部;直角三角形的外心是斜边的中点;
钝角三角形的外心在三角形的外部.
3.圆内接多边形
如果一个多边形的所有顶点都在一个圆上,那么这个多边形叫做圆内接多
边形,这个圆叫做多边形的外接圆.圆内接四边形的对角互补.
第20课时 圆的有关概念及性质
基础自主导学
考点一 圆的有关概念及其对称性
1.圆的定义
(1)圆是平面内到一定点的距离等于定长的所有点组成的图形,这个定点叫
做圆心,定长叫做半径;
(2)平面内一条线段绕着它一个固定端点旋转一周,另一个端点所形成的图
形叫做圆,固定的端点叫做圆心,这条线段叫做半径.
2.弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧;弧用符号“ ”表示.圆的任意
答案:A
)
命题点2
圆心(周)角、弧、弦之间的关系
【例2】 如图,已知A,B,C,D是☉O上的四个点,AB=BC,BD交AC于点E,连接
CD,AD.
(1)求证:DB平分∠ADC;
(2)若BE=3,ED=6,求AB的长.
(1)证明:∵AB=BC,∴ = .
∴∠ADB=∠BDC,∴DB平分∠ADC.
1.定理
在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等.
2.推论
在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弦
相等;在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角相等,所对
的优弧和劣弧分别相等.
考点三 垂径定理及推论
1.垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.
周角.
2.圆周角定理及推论
最新人教版初中九年级上册数学【圆全章复习】教学课件
E
C
6
4
4D
H4
A
O
BF
10
综合运用
小结：
E
E
C
C
D
D
3
3
1 A2
O
BF
A
12
O
BF
综合运用
小结：
E
E
C D
C D
G
H
A
O
BF
A
O
BF
知识梳理
圆的对称性
圆的有关性质 弧、弦、圆心角之间的关系
同弧上的圆周角和圆心角的关系
圆 点、直线和圆的位置关系
点和圆的位置关系 直线和圆的位置关系
综合运用
例 如图，⊙O是△ABC的外接圆，若AB=6cm，∠C=60°，则⊙O的半径为 ________cm.
C
O
A
B
综合运用
方法1：作OD⊥AB于D，连接OA，OB.
∵∠C=60°，
∴∠AOB=2∠C=120°.
∵OA=OB，OD⊥AB于D， AB=6 cm，
∴△AOD中，∠ADO=90°，
知识梳理
圆的有关性质
圆的对称性 垂径定理 弧、弦、圆心角之间的关系 定理 同弧上的圆周角和圆心角的关系
圆周角定理
初中数学
重点回顾
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
A2 A1
A3
O
B
C
重点回顾
圆周角定理的推论 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等. 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径. 推论3：圆内接四边形的对角互补.
切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这 条半径的直线是圆的切线.
人教版初中数学九(下)第24章圆第1节圆
人教版初中数学九(下)第24章圆第一节、圆（一）圆的有关概念：(1)圆的定义：①在一个平面内，线段OA绕其固定的端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫圆。
固定的端点O叫圆心，线段OA叫半径。
【圆心定位置，半径定大小】以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作”圆O”. 同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆；等圆：能够重合的两个圆。
②在平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。
练习：有两个同心圆，小圆的半径为2cm，大圆的半径为3cm，大圆上一点P与小圆上一点Q的距离PQ的取值范围是 .(2)圆的确定：不在同一条直线上的三个点确定．．一个圆。
【两点定线，三点定圆】(3)概念：①弦：连结圆上任意两点的线段。
其中，过圆心的弦叫直径。
如图中的弦AB、AC、BC.其中，弦AB经过了圆心O，为直径。
②弧：圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，用“”表示。
圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
大于半圆的弧叫做优弧，如图中的ABC和BAC；小于半圆的弧叫劣弧，如图中的AC和BC。
*同圆或等圆（半径相等的圆）中，能够互相重合．．的弧叫等弧。
《弧的相等要区别于线段的相等；在同圆或等圆中，弧与弧之间才能加减。
》③弦心距：圆心到弦的距离，如图中的OM。
④圆心角：顶点在圆心的角，如图中的∠AOC,∠BOC等。
《圆心角的度数和它所对的弧的度数相等》⑤圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角，如图∠ABC,∠BAC,∠ACB. （二）圆的有关性质：（1）对称性：★圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任意角度都能与自身重合。
★圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴。
（2）在一个圆中，①如果圆心角相等，那么它所对的弧相等，所对的弦相等；②如果弧相等，那么它所对的圆心角相等，所对的弦相等；③如果弦相等，那么它所对的圆心角相等，圆心角．．．所对的弧相等《或者等弦所对的优弧和劣弧分别相等》。
人教版初中九年级上册数学课件 《圆周角》圆(第2课时圆内接四边形的性质)
基础过关
1．【甘肃兰州中考】如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，若∠A＝40°，则∠C＝( D )
A．110° C．135°
B．120° D．140°
6
2．如图，四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形，AD 与 BC 的延长线交于点 E， BA 与 CD 的延长线交于点 F，∠DCE＝80°，∠F＝25°，则∠E 的度数为( C )
证明：∵DB＝DC，∴∠DBC＝∠DCB．∵
四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠DAE＝
∠DCB，∴∠DAE＝∠DBC∵∠DAC＝
12
能力提升
8．【山东德州中考】如图，O 为线段 BC 的中点，点 A、C、D 到点 O 的距离相 等，若∠ABC＝40°，则∠ADC 的度数是( B )
A．130° C．150°
19
解：(2)∵∠A＝55°，∠E＝30°，∴∠ABE＝180°－∠A－∠E＝95°，∴∠ADF ＝180°－∠ABE＝85°，∴∠F＝180°－∠ADF－∠A＝40°.
(3)∵∠ADC＝180°－∠A－∠F，∠ABC＝180°－∠A－∠E，∠ADC＋∠ABC＝ 180°，∴180°－∠A－∠F＋180°－∠A－∠E＝180°，∴2∠A＋∠E＋∠F＝180°，∴ ∠A＝90°－∠E＋2 ∠F＝90°－α＋2 β.
B．140° D．160°
13
9．如图，已知⊙O 的半径为 2，△ABC 内接于⊙O，∠ACB＝135°，则 AB＝ ___2__2___.
14
︵ 10．如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，AB 为⊙O 的直径，C 为BD的中点．若∠ A＝40°，则∠B＝____7_0___度．
11．【易错题】在⊙O 中，弦 AB 等于半径，则 AB 所对的圆周角的度数为 ____3_0_°__或__1_5__0_°______.
新人教版九年级上册数学[弧、弦、圆心角、圆周角--知识点整理及重点题型梳理](基础)
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新人教版九年级上册初中数学重难点有效突破知识点梳理及重点题型巩固练习弧、弦、圆心角、圆周角--知识讲解（基础）【学习目标】1.了解圆心角、圆周角的概念；2.理解圆周角定理及其推论，能灵活运用圆周角的定理及其推理解决有关问题；3.掌握在同圆或等圆中，三组量：两个圆心角、两条弦、两条弧，只要有一组量相等，就可以推出其它两组量对应相等，及其它们在解题中的应用．【要点梳理】要点一、弧、弦、圆心角的关系1.圆心角定义如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．2.定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．3.推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等．在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．要点诠释：(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；(2)注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.要点二、圆周角1.圆周角定义：像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．2.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．3.圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．要点诠释：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.4.圆内接四边形：（1）定义: 圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形．（2）性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）．5.弦、弧、圆心角、弦心距的关系：在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等)。
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圆知识点归纳
一、圆的定义。
1、以定点为圆心，定长为半径的点组成的图形。
2、在同一平面内，到一个定点的距离都相等的点组成的图形。
二、圆的各元素。
1、半径：圆上一点与圆心的连线段。
2、直径：连接圆上两点有经过圆心的线段。
3、弦：连接圆上两点线段（直径也是弦）。
4、弧：圆上两点之间的曲线部分。
半圆周也是弧。
（1）劣弧：小于半圆周的弧。
（2）优弧：大于半圆周的弧。
5、圆心角：以圆心为顶点，半径为角的边。
6、圆周角：顶点在圆周上，圆周角的两边是弦。
7、弦心距：圆心到弦的垂线段的长。
三、圆的基本性质。
1、圆的对称性。
（1）圆是轴对称图形，它的对称轴是直径所在的直线。
（2）圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。
（3）圆是旋转对称图形。
2、垂径定理。
（1）垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧。
（2）推论：
?平分弦（非直径）的直径，垂直于弦且平分弦所对的两条弧。
?平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。
3、圆心角的度数等于它所对弧的度数。
圆周角的度数等于它所对弧度数的一半。
（1）同弧所对的圆周角相等。
（2）直径所对的圆周角是直角；圆周角为直角，它所对的弦是直径。
4、在同圆或等圆中，两条弦、两条弧、两个圆周角、两个圆心角、两条弦心距五对量中只要有一
对量相等，其余四对量也分别相等。
5、夹在平行线间的两条弧相等。
6、设⊙O 的半径为r ，OP=d 。
7、（1）过两点的圆的圆心一定在两点间连线段的中垂线上。
（2）不在同一直线上的三点确定一个圆，圆心是三边中垂线的交点，它到三个点的距离相等。
（直角三角形的外心就是斜边的中点。
）8、直线与圆的位置关系。
d 表示圆心到直线的距离，r 表示圆的半径。
直线与圆有两个交点，直线与圆相交；直线与圆只有一个交点，直线与圆相切；
直线与圆没有交点，直线与圆相离。
2
9、平面直角坐标系中，A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）。
则AB=221221)
()(y y x x 10、圆的切线判定。
d =r 直线与圆相切。
d <r （r >d ）直线与圆相交。
d >r （r <d ）直线与圆相离。
d =r 点P 在⊙O 上d <r （r >d ）点P 在⊙O 内d >r （r <d ）点P 在⊙O 外
（1）d=r 时，直线是圆的切线。
切点不明确：画垂直，证半径。
（2）经过半径的外端且与半径垂直的直线是圆的切线。
切点明确：连半径，证垂直。
11、圆的切线的性质（补充）。
（1）经过切点的直径一定垂直于切线。
（2）经过切点并且垂直于这条切线的直线一定经过圆心。
12、切线长定理。
（1）切线长：从圆外一点引圆的两条切线，切点与这点之间连线段的长叫这个点到圆的切线长。
（2）切线长定理。
∵PA 、PB 切⊙O 于点A 、B ∴PA=PB ，∠1=∠2。
13、内切圆及有关计算。
（1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。
（2）如图，△ABC 中，AB=5，BC=6，AC=7，⊙O 切△ABC 三边于点D 、E 、
F。
求：AD 、BE 、CF 的长。
分析：设AD=x ，则AD=AF=x ，BD=BE=5－x ，CE=CF=7－x.
可得方程：5－x ＋7－x=6，解得x=3
（3）△ABC 中，∠C=90°，AC=b ，BC=a ，AB=c 。
求内切圆的半径r 。
分析：先证得正方形ODCE ，得CD=CE=r AD=AF=b －r ，BE=BF=a －r
b －r ＋a －r=
c 得r=2
c b a （4）S △ABC =)
(21c b a r 14、（补充）
（1）弦切角：角的顶点在圆周上，角的一边是圆的切线，另一边是圆的弦。
如图，BC 切⊙O 于点B ，AB 为弦，∠ABC 叫弦切角，∠ABC=∠D 。
（2）相交弦定理。
圆的两条弦AB 与CD 相交于点P ，则PA ·PB=PC ·PD 。
（3）切割线定理。
如图，PA 切⊙O 于点A ，PBC 是⊙O 的割线，则PA 2=PB ·PC 。
（4）推论：如图，PAB 、PCD 是⊙O 的割线，则PA ·PB=PC ·PD 。
15、圆与圆的位置关系。
（1）外离：d >r 1＋r 2，交点有0个；12（2）图1
A P
B ·O 2 13(2)x 5-x
A
B C
D E F 5 6 7
x 5-x 7-x
7-x O a-r b-r r A
B
C D E F O r r
r b-r
a-r
BC O
AD （1） C B A P O D （2）（3）P B A
C D
O （4）图D
C
B A P
O 相相离
外切：d=r 1＋r 2，交点有1个；
相交：r 1－r 2<d <r 1＋r 2，交点有2个；
内切：d=r 1－r 2，交点有1个；
内含：0≤d <r 1－r 2，交点有0个。
（2）性质。
相交两圆的连心线垂直平分公共弦。
相切两圆的连心线必经过切点。
16、圆中有关量的计算。
（1）弧长有L 表示，圆心角用n 表示，圆的半径用R 表示。
L=R n 2360180
R
n
（2）扇形的面积用S 表示。
S=3603602
2R n R n S=lR R
R n 212
180（3）圆锥的侧面展开图是扇形。
r 为底面圆的半径，a 为母线长。
扇形的圆心角α=0
360a r
S 侧=arS 全=ar ＋r 2。