第二节函数的和、差、积、商的求导法则

(loga
x)
1 (a y )
1 a y ln a
1. x ln a
特别地
(ln x) 1 . x
10/21
三、常数和基本初等函数的导数公式
(1) (C ) 0;
(2) ( x ) x 1 ( 0);
(3) (sinx) cos x;
(4) (cos x) sin x;
(5) (tan x) sec2 x;
v( x0 x) v( x0 ) x
lim
u( x0
x) x
u( x0 )
v( x0 )
u( x0 )
v( x0
x) x
v( x0 )
x 0
v( x0 x) v( x0 )
u( x0 )
v( x0 ) u( x0 ) [v( x0 )]2
v( x0 )
f ( x) 在 x0 处可导且(3)成立.
(1) [u( x) v( x)] / x x0 u( x0 ) v( x0 );
(2) [u( x) v( x)] / x x0 u( x0 ) v( x0 ) u( x0 ) v( x0 );
(
3)
[
u( v(
x) x)
]
/
x
x
0
u( x0 ) v( x0 ) u( x0 ) v( x0 ) v2( x0 )
8/21
例5 求 y arcsin x 的导数.
解
y sin x 在
Ix
(
2
,
2
)
内单调、可导
,
且 (sin x) cos x 0, 在 I y (1,1) 内有
(arcsin y) 1 (sin x)
1 cos x
即
1
1 sin2 x
1 1 y2
(arcsin x)
1 . 同理可得 (arccos x)
3x2 4x cos x. f (0) 1.
例3 求 y sin 2x ln x 的导数 . 解 y 2sin x cos x ln x y 2((sinx) cos x ln x sin x (cos x) ln x
sin x cos x (ln x))
2(cos x cos x ln x sin x (sin x) ln x sin x cos x 1 ) x
证毕
3/21
推论 (1) [C f ( x)] C f ( x);
(2) [au( x) bv( x)] au( x) bv( x).
例1 由定义得 (sin x) cos x , (cos x) sin x ,
(tanx) ( sin x ) cos x
cos x cos x sin x (sin cos2 x
x f 1( y) 在 I y 内也可导, 且
( f 1 )( y0 )
1, f ( x0 )
即
dx dy
y y0
1 dy
,
dx x x0
其中 y0 f ( x0 ), x0 I x .
即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数.
*证 y f ( x) 在 Ix 内单调、可导,
x f 1( y) 在 I y 内单调、连续。
1 x2
1 .
1 x2
(arctan
x
)
1
1 x
2
;
(
arccot
x)

1
1 x
2
.
我们知道了所有基本初等函数的导数。
9/21
*例6 再求 y loga x 的导数.
解 x a y 在 I y (, ) 内单调、可导,
且 (a y ) a y ln a 0, 在 I x (0,) 内有,
(v( x0 ) 0).
注意 一般地说, 乘积的导数 = 导数的乘积; 商的导数 = 导数的商.
2/21
证(3)：记
f
( x)
u( x) v( x)
,
(v( x0 )
0) ,
u( x0 x) u( x0 )
则
f ( x0 )
lim
x 0
f ( x0
x) x
f ( x0 )
lim
x 0
于是，对y 0，有x 0, 且y 0时，有x 0，得
dx dy
y y0
lim x y0 y
lim
x 0
1 y
1 dy
. 证毕
x
dx x x0
7/21
y Iy y0
y=f(x) x=f--1 (y )
(x0 , y0)
y x
O
x
x0 Ix
(f--1 ) ´ (y0) = tan y = cot x =1/ tan x=1/f ´(x0)
v( x0
x) x
v( x0 )
lim u( x0 x) v( x0 ) u( x0 ) v( x0 x)
x 0
v( x0 x) v( x0 ) x
lim [u( x0 x) u( x0 )] v( x0 ) u( x0 ) [v( x0 x) v( x0 )]
x 0
1
lim ln(1
x
1 x
) x
1;
x0 x
1 x 1 x x0
1 x 1 x
当 x 0时,
f(0)
lim
x0
x ln1 x0
1,
f(0)
lim
x0
ln(1
x
x) 0
ln1
1,
f (0) 1.
f
(
x)
1
1, 1
x
,
x0 x0.
6/21
二、反函数的导数
定理 如果 y f ( x) 在 I x 内单调、可导且 f ( x) 0 ，则
第二节 函数的求导法则
一、和、差、积、商的求导法则 二、反函数的求导法则 三、常数和基本初等函数的导数公式 四、复合函数的求导法则 五、小结、作业
1/21
一、和、差、积、商的求导法则
定理 如果 u( x)、v( x) 在点 x0 处可导, 则它们的和、差、
积、商(分母在 x0 不为零时)在点 x0 处也可导，并且
x)
1 cos2
x
sec2
x
,
（tan x） sec2 x ,
同理可得 (cot x) csc2 x ,
(sec x) secx tan x ,
(csc x) csc x cot x.
4/21
例2 求 f ( x) x3 2x2 sin x 在 x 0时的导数.
解 f ( x) ( x3 ) 2( x2 ) (sin x)
2 cos 2x ln x 1 sin 2x. x
5/21
例4 设
f
(
x)
x, ln(1
x),
x0 ,
求
f ( x) .
x0
解 当 x 0 时, f ( x) x 1;
当 x 0 时,
f ( x) lim ln(1 x x) ln(1 x)
x 0
x
lim 1 ln(1 x )