弹塑性力学 第08章柱形杆的扭转
弹塑性力学扭转问题

o T q Tdx a dy b dx y d T
x
y x Tdy
z
c
简化后得
2z 2z T 2 2 q 0 x y
17
即
q z T
2
此外,薄膜在边界上的垂度显然等于零,即
zs 0
由于q/T为常量,所以以上两式可改写为
T z 1 0, q
zx
, y
zy
4
将应力分量代入不计体力的 相容方程,可见:前三式及最后 一式得到满足,其余二式要求
注:体力为零时,空间问题 应力分量表示的相容方程
2 (1 ) x 2 0 x 2 2 (1 ) y 2 0 y
0, x d y dy
b a o x y
则 成为
2 C
d C 2 dy
2
22
积分,并注意在边界上
y b
即得
应力分量为
6M zx 3 y y ab zy 0 x
0
2
C 2 b2 y 2 4
15
§9-3 薄膜比拟
由上节的例子可以看出,对于椭圆形这种简单等截面 直杆,我们给出了横截面上剪应力的计算表达式,但却没 有指出截面最大剪应力的位置及其方向;而对于矩形、薄 壁杆件这些截面并不复杂的柱体,要求出其精确解都是相 当困难的,更不用说较复杂截面的杆件了。为了解决较复 杂截面杆件的扭转问题,特提出薄膜比拟法。该方法是建 立在柱体扭转问题与受均匀侧压力而四周张紧的弹性薄膜 之间数学关系相似的基础上。 设有一块均匀薄膜,张在与扭转杆件截面相同或成比 例的边界上。当在侧面上受着微小的均匀压力时,在薄膜 内部将产生均匀的张力,薄膜的各点将发生图示 z 方向微 小的垂度。
弹塑性力学基本理论及应用

第八章能量原理及其应用第八章能量原理及其应用弹塑性力学问题实质上是边值问题,即求解满足一定边界条件的偏微分方程组。
然而只有对一些特殊的结构在特定加载条件下才能找到精确解,而对于一般的力学问题,如空间问题,泛定方程为含有 15 个未知量的 6 个偏微分方程,在给定边界条件时.求解是极其困难的,而且往往足小对能的。
因此,为了解决具体的工程结构力学问题,目前都广泛应用数值方法,如有限元法、无限元法、边界元法、无网格化法及样条元法等等。
这些解法的依据都是能量原理。
本章将讨论利用能量原理和极值原理求解弹塑性力学问题的近似解法。
本章共讨论五个能量原理。
首先是虚位移原理,由虚位移原理推导出最小势能原理,其次介绍虚应力原理,和由虚应力原理推导出最小余能原理。
另外,还简单介绍最大耗散能原理。
本章还讲述了根据上述的能量原理建立的有关弹性力学问题的数值解法。
8.1 基本概念1.1物体变形的热力学过程由第四章知,物体在外界因素影响下的变形过程,严格来说都是一个热力学过程。
因此研究物体的状态,不仅要知道物体的变形状态,而且还要知道物体中每一点的温度。
如果物体在变形过程中,各点的温度与其周围介质的温度保持平衡,则称这一过程为等温过程;若在变形过程中,物体的温度没有改变,即既没有热量损失也没有热量增加,则称这一过程为绝热过程。
物体的瞬态高频振动,高速变形过程都可视为绝热过程。
令物体在变形过程中的动能为 E,应变能为 U,则在微小的 t 时间间隔内,物体从一种状态过渡到另一种状态时,根据热力学第一定律,总能量的变化为EUWQ(a)其中, W 为作用于物体上的体力和面力所完成的功;Q 是物体由其周围介质所吸收 ( 或向外发散 ) 的热量,并以等量的功度量。
假定弹性变形过程是绝热的,则对于静力平衡问题有E 0,Q 0(b)将式 (b) 代入式 (a) ,则有U W(8.1-1)第八章能量原理及其应用1.2 应变能由第四章的式 (4.1-5b) 知,在线弹性情况下,单位体积的应变能为U 0ijijdij1(8.1-2)2ij ik对于一维应力状态,在xx 平面内,则U 0 实际上就是应力应变曲线与x轴和xx '所围成的面积 ( 图 8.1) ,即'U 0X(8.1-3)x dx其中 x ' 是物体变形过程某一指定时刻的应变,应 图 8.1 应变能与应变余能变能 U 0 表示物体在变形过程中所储存的能量。
弹性力学柱体的扭转

第九章柱体的扭转9.1 扭转问题的位移解法学习思路:本节讨论自由扭转问题的位移解法。
首先建立自由扭转的位移假设:一是刚截面假设;二是扭转的翘曲位移与轴线方向坐标无关。
通过上述假设,将柱体的扭转位移用横截面的翘曲表示,因此使得问题的基本未知量简化成为翘曲函数Φ (x,y)。
基本未知量翘曲函数Φ (x,y)。
确定后,通过基本方程,将应力分量、应变分量用翘曲函数表示。
位移表示的平衡微分方程要求翘曲函数满足调和方程。
因此只要选取的翘曲函数是调和函数,自然满足自由扭转问题的基本方程。
自由扭转问题的边界条件,可以分为两个部分:侧面边界条件和端面边界条件。
对于自由扭转,侧面边界不受力。
根据这一条件,可以转化为翘曲函数与横截面边界的关系。
端面采用合力边界条件,就是端面应力的合力为扭矩T。
这一边界条件,采用翘曲函数表达相当复杂。
学习要点:1. 扭转位移假设;2. 扭转翘曲函数满足的基本方程;3. 扭转边界条件;4. 扭转端面边界条件;当柱体受外力矩作用发生扭转时,对于非圆截面杆件,其横截面将产生翘曲。
如果横截面翘曲变形不受限制,称为自由扭转;如果横截面翘曲变形受到限制,就是约束扭转。
本章讨论的柱体扭转问题为自由扭转。
对于柱体的自由扭转,假设柱体的位移约束为固定左端面任意一点和相应的两个微分线素,使得柱体不产生刚体位移。
柱体右端面作用一力偶T,侧面不受力。
设柱体左端面形心为坐标原点,柱体轴线为z轴建立坐标系。
柱体扭转时发生变形,设坐标为z 的横截面的扭转角为α,则柱体单位长的相对扭转角为。
而横截面的扭转角α = ϕ z。
对于柱体的自由扭转,首先考察柱体的表面变形。
观察可以发现,柱体表面横向线虽然翘曲,但是各个横向线的翘曲是基本相同的,而且横向线的轮廓线形状基本不变。
根据上述观察结论,对柱体部位移作以下的假设:1.刚截面假设。
柱体扭转当横截面翘曲时,它在Oxy平面上的投影形状保持不变,横截面作为整体绕z 轴转动,如图所示。
弹塑性力学讲义 第八章柱体的自由扭转问题

再将(x,y)代入端面上的边界条件:
S2
方向余弦 (l,m,n)=(0,0,-1), x
S0
S1
y
面力: Z z 0 满足。 在,x,y 方向面力应用圣维南原理
A
zx
dA
XdA 0 ,恒满足。
A
A
zx dA
A
y
dxdy
(
y
dy)dx
(
A
B
)dx
0
A
zy
dA
YdA 0 , 恒满足。
oT
x
小压力 q 作用,薄膜将微微凸起, T
T
dy
而形成曲面 z=z(x,y),薄膜仅承
T
y
受张力(拉力)T,下面来寻求
薄膜垂度 z=z(x,y) 所应满足的方程和边界条件。
寻求 z=z(x,y)应满足的方程,即求解方程是由薄膜微元 dxdy 的
z 方向的平衡条件来确定 (Fz = 0)。
Tdysin1 Tdysin2 Tdxsin3 Tdxsin4 qdxdy 0
dy n
y
X 0 l x m xy n zx 0
Y 0 l xy m y n zy 0 满足
Z
0
l zx
m zy
n z
lGk(
x
y)
mGk(
y
x)
或:
l(
x
y) m( y
x) 0
——边界条件用(x,y)的偏微
分表示。
由于 l cos(n, x) dx dy , m cos(n, y) dy dx
边界上。
总结薄膜比拟与杆扭转各物理量之关系
柱扭转 (x,y) 2Gk
薄膜比拟 z(x,y) q/T
弹性力学第8章—柱体扭转问题

n
n
A
扭转刚度
KT = 2G ∑ ki Ai + 2G ∫∫ ψ dxdy
i =1 A
8.2 基本方程 (3)应力函数表示的应力、应变和翘曲函数
∂ψ ∂ψ τ zx = Gθ , τ zy = −Gθ ∂y ∂x
合力
⎛ ∂ψ ⎞ ⎛ ∂ψ ⎞ 2 2 τ = τ zx + τ zy = Gθ ⎜ +⎜ ⎟ ⎟ ∂ ∂ y x ⎠ ⎝ ⎠ ⎝
8.3 矩形截面柱体的扭转
用应力函数方法求解,只要确
b/ 2
y
D
C
定应力函数,就可以进一步求出剪 应力和单位长度的相对扭转角。 应力函数方程
∇2ψ = −2
边界条件
b/ 2
O
x
B
A
a/ 2
a/ 2
b a x = ± 或 y = ± 时, ψ =0 2 2 上述问题称为泊松方程的第一边值问题,其解可由通解ψ 0和 特解 ψ 1 组成
A A
⎝ ∂x
∂y
⎠
对于柱体横截面是单连通域情况,利用斯托克斯公式,可得
⎛ ∂ψ ∂ψ ⎞ M T = −Gθ ∫∫ ⎜ x+ y ⎟ dxdy A ∂y ⎠ ⎝ ∂x ⎡∂ ⎤ ∂ = −Gθ ∫∫ ⎢ ( xψ ) + ( yψ ) ⎥ dxdy + 2Gθ ∫∫ ψ dxdy A ∂x A ∂y ⎣ ⎦ = −Gθ v ∫ ψ ( xl + ym ) ds + 2Gθ ∫∫ ψ dxdy
T
8.2 基本方程
8.2.1 基本关系式
位移表达式 圆柱上距离轴线为 r 的任 一点P的位移
u = − ( rθ z ) sin α = − yθ z ⎫ ⎪ v = ( rθ z ) cos α = xθ z ⎬ w = w ( x, y ) = θϕ ( x, y ) ⎪ ⎭
第八章 柱形体的扭转

§8-1 位移法的控制方程和边界条件
§8-2 应力函数解法
§8-3 剪应力分布特点 §8-4 椭圆截面杆的扭转 §8-5 等边三角形截面杆的扭转 §8-6 具有半圆形槽的圆轴的扭转
§8-7 同心圆管的扭转
设取一任意截面的柱形杆,其长度为l,一端“固定”
于xy平面,另一端作用一个力偶,其矩的大小为M,
现在来推导翘曲函数所满足的方程。将(8-1) 代入位移表示的平衡微分方程(6-2),显然该 方程组的前两式已得到满足,而最后一式要求
2 2 2 2 2 0 (在内) (8-4) x y
方程(8-4)就是扭转问题位移法求解的控制方程。
它表明,翘曲函数必须是调和函数。
的两横截面的相对转角,称为单位长度扭转角。利用
几何方程(2-11)可以得到应变分量为
x y z xy 0 zx ( y) x zy ( x) y
u yz
( x, y )
2 2
(8-7)
(8-8) 式中 已由前面微分方程(8-4)的边值问题确定, 与截面的几何形状有关,因此D表征了柱形截面抗 扭的几何特征。从物理意义上讲,GD就是扭转刚度。
对于给定的柱形杆,G和D都是已知的,故只要知道
扭矩M,即可求出;反之,知道了,也可求出M。 综上所述,柱形杆扭转的位移法可归结为:首先在 边界条件(8-5)下,由拉普拉斯方程(8-4)解出 翘曲函数;再由(8-8)式计算D,由(8-7)式算
x y
(8-19)
该组应力满足所有平衡方程,故为应力函数。 将应力分量(8-19)代入应力表示的协调方程
(6-13),其中前四个方程都得到满足,而后
弹塑性力学第08章

应力偏量不变量
§8-2 八面体应力 应力强度
1.八面体应力 2.应力强度(或等效应力)
1.八面体应力
等倾面 八面体应力:ζ 8(ζ oct) 和η 8 (η oct) 设坐标轴x、y、z与应 力主轴方向一致
2 2 2
l mn
1 3
1 8 1l 2 m 3 n 1 2 3 m ? 3 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 p8 f nx f ny f nz 1l 2 m 3 n 1 2 3
2 2 1 3 2 3 S 2 S3 2 1 2 1 1 3 1 3 S1 S 3 MP 1 M P2
§8-4 应力空间
如同在三维空间中x、y、z三 个坐标值可以确定空间一个 点的位置一样,一点的应力 状态可以用九维或六维应力 空间中的一个点来表示。应 力空间中任一点都表示一个 应力状态。由于我们讨论的 是各向同性体,与方向无关。 因此只要注意主应力的大小, 而不考虑它们在物理空间中 的方向。这样,我们就可以 采用主应力空间。
J 1 e x e y e z e1 e 2 e 3 0 1 2 2 2 2 2 2 J 2 e x e y e y e z e z e x 6 e xy e yz e zx 6 1 3 2 2 2 2 2 2 x y y z x x xy yz zx 6 2 1 2 2 2 1 2 2 3 3 1 6 e 1 e 2 e 2 e 3 e 3 e1 1 1 1 1 2 2 2 J e x e y e z xy yz zx e x yz e y zx e xy 3 4 4 4 4 e1 e 2 e 3
弹塑性力学 第08章柱形杆的扭转

⎛ ∂v ∂u ⎞ τ xy = G⎜ ⎜ ∂x + ∂y ⎟ ⎟=0 ⎝ ⎠ ⎛ ∂ϕ ⎞ ⎛ ∂v ∂w ⎞ τ yz = G⎜ ⎜ ∂y + x ⎟ ⎟ ⎜ ∂z + ∂y ⎟ ⎟ = αG⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ∂ϕ ⎞ ⎛ ∂w ∂x ⎞ − y⎟ + ⎟ = αG⎜ τ zx = G⎜ ⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂x ∂z ⎠
M = − αG ∫
S1,S 2 ,L,S n n
Φ ( xl + ym )ds + 2αG ∫∫ Φdxdy
R R
= −αG ∑ ∫ ki ( xl + ym )ds + 2αG ∫∫ Φdxdy
i =1 Si
由斯托克斯公式计算得
∫ (xl + ym)ds = − ∫ (xl + ym)ds = −2∫∫
处切应力大小应等于薄膜的斜率即由前述可知扭矩等于oxy平面与薄膜之间体设内外边界所围面积的平均值即薄壁杆截面中线所包围的面积为a于可见切应力与杆壁的厚度还成反比最大切应力发生在杆壁最薄为求单位长度上的扭转角先计算图示杆截面中心线即虚线上的应力环量以a表示中心线所包围的面积于是有为截面中心线的长度若闭口薄壁杆有凹角如上图在凹角处可能发生高度的应力集中现象
§8-1 扭转问题的位移解法·圣维南扭转函数
需要完全精确地求解柱形杆的扭转问题是十分困难的。 因为,一方面,在实际问题中,柱形杆两端面上外力分布情 况往往是不清楚的,而只知道它 们的静力效应;另外,即使知道 M 了外力在端面上的分布情况,也 很难得到一组解答能精确地满足 端面上的精确条件。但是,如果 杆足够长,就能够按局部性原理 对其端面处的边界条件进行放松, n 而使问题得到解决。 O 本章仍然采用半逆解法求解 M 柱形杆的扭转问题。
等截面柱体的弹塑性扭转

τ zx
=
∂ϕ ∂y
=
−
2MT y , πab3
τ zy
=
− ∂ϕ ∂x
=
Байду номын сангаас
2MT x πa 3b
(7.2-2)
由(7.1-12)得合剪应力为
τ=
τ2 zx
+
τ
2 zy
= 2MT πab
x2 + y2 a4 b4
(7.2-3)
由式(7.2-2)和式(7.2-3)可知,剪应力分布有如下特点:
(1)在每一点,应力比值τ zx /τ zy = −(a 2 / b2 )( y / x) ,即沿任意半径方向各点具 有相同的比值。这意味着沿同一半径方向各点剪应力相互平行,如图 7.2 所示。
A
(e)
同理,第一个积分也可写为
∫∫A
x
∂ϕ ∂x
dxdy
=
−∫∫Aϕdxdy
(f)
将式(e)、(f)代入式(d),最后得
M T = 2∫∫Aϕdxdy
(7.1-13)
上式表示,如在截面上每一点有一个ϕ(x, y) 值,则扭矩 M T 为ϕ 曲面下所包体积的 二倍。
由以上讨论得出,如能找到一个函数ϕ(x, y) ,其在边界上的值为零,在截面 内满足方程(7.1-10),则截面的剪应力分布及扭矩 M T 就都可求得。
168
ε x = ε y = ε z = 0,
γ zx
= θ (∂ψ ∂x
−
y),
γ xy = 0
⎫ ⎪
γ zy
= θ (∂ψ ∂y
+ x)⎪⎭⎬
(7.1-5)
3.广义虎克定律 对于柱体的弹性扭转,根据(7.1-5)式可得应力与应变之间的关系化为
昆明理工大学材料力学第八章 杆件的扭转.

(2)计算各段上的扭矩
M2 4.78 1 B M2 B M2
1 1
M3 4.78
2
M1 15.9 A
3
M4 6.37
(kN.m)
C T1
2 3
D
x
M3 2 T2
1
T1 M 2 0 T1 M 2 4.78kN m
x
T2 M2 M3 0
T2 M 2 M 3 9.56kN m
例1. 传动轴如图所示,已知:转速 n = 300r/min;主动 轮功率 P1= 500kW, 从动轮功率分别为P2= 150kW, P3= 150kW, P4= 200kW。 求各段的扭矩并画出轴的 扭矩图。
M2 B
M3 C
M1 A
M4
D
解: (1)计算各传动轮所受的外力偶矩
M2 4.78 B M3 4.78 C M1 15.9 A M4 6.37
2 A
基本变形公式
I p dA ——极惯性矩
● 切应力的计算式:
d G dx
d T dx GI P
T IP
T
max
( )
r
T max Tr T T max Ip I p I p Wt r IP —— 扭转截面模量(抗扭矩) Wt
D2 d 2
空心圆截面
I p dA
A
2 2 d
D d
O
D 32
4
d4
D4
32
4
1
4
32 IP D 3 Wt 14 D / 2 16
《柱体的弹塑性扭转》课件

# 柱体的弹塑性扭转 ## 简介 介绍弹塑性扭转的概念和应用场景。
稳定性分析
1
线弹性方法
采用线弹性方法进行柱体扭转稳定性分析。
转稳定性分析的步骤。
3
数值方法
使用数值方法进行柱体扭转稳定性分析的优势和应用。
弹塑性扭转的基本理论
航空航天领域
介绍柱体弹塑性扭转在航空航天领域中的关键 应用和研究进展。
桥梁工程设计
探究柱体弹塑性扭转在桥梁工程设计中的实际 应用。
汽车工程
讲解柱体弹塑性扭转在汽车工程中的重要性和 应用示例。
解析计算
探讨使用解析方法进行弹塑性扭 转计算的理论和应用。
实验研究
1
材料试验
介绍柱体弹塑性材料试验的设计和实施。
2
试验结果分析
分析柱体弹塑性扭转试验中的结果,并与理论进行对比。
3
参数敏感性分析
讨论柱体弹塑性扭转模型中参数的敏感性和误差分析。
应用案例
高层建筑结构设计
展示柱体弹塑性扭转在高层建筑结构设计中的 应用案例。
材料的应力-应变关系
介绍弹塑性材料在扭转过程中的应力-应变关系。
截面形状对扭转刚度的影响
讲解不同截面形状对柱体扭转刚度的影响。
弹塑性扭转方程
推导弹塑性扭转方程,解释其物理意义。
弹塑性扭转的计算方法
试验数据的获取
介绍获取弹塑性扭转试验数据的 方法和注意事项。
有限元分析
讲解使用有限元分析进行弹塑性 扭转计算的步骤和技巧。
弹塑性力学第八章

在x,y方向面力应用圣维南原理
第一个方程
第二个方程
A zxdA AXdA 0
A zydA AYdA 0
A
zx
dA
A
y
dxdy
(
y
dy)dx
(
A
B
)dx
0
第一、二方程恒满足。
2020/5/6
27
§8-2 按应力函数求解
MT
x
在x,y方向面力应用圣维南原理
oX
Y
第三个方程 A (Yx Xy)dA MT
u= -Kyz , v= Kxz , (u、v与园杆扭转一致) w = K(x,y) w不能为零, 为x,y函数。而(x,y)称为
扭曲函数。
2020/5/6
3
§8-1 位移法求解
无体力等截面杆扭转位移表达式已设定。
未知量为:K和(x,y)。 u= -Kyz , v= Kxz ,
(工程)应变分量:
w= K(x,y)
x
y
2zx =0 2zy =0
2020/5/6
19
§8-2 按应力函数求解
边界条件: 在侧边:方向余弦 (l,m,n)=(l,m,0)
面力:X Y Z 0;前两个方程满足;
第三个力边界条件:lzx+mzy = 0
在端面:方向余弦 (l,m,n)=(0,0,-1)
面力:Z z 0 满足。
i 1
蜒
Ci
(xl ym)ds
si
Ci
(xdy ydx)
si
Ci (1 (1)dA Ci 2Ai
2020/5/6
30
§8-2 按应力函数求解
总结:
按应力函数(x,y)求解,(x,y)须满足 2 =-2KG= C,
7、第八章 柱形杆的弹性扭转和弯曲

位移法解等直杆扭转 应力法解等直杆扭转 薄壁杆的扭转 应力法解等直杆弯曲
6、利用所得应变和几何方程求得位移(P244式(8-12、l)) 。
位移分量 w 由如下方程确定。
w又称为截面翘曲函数。由于它的非零,平截面假 设已经不成立。
应力法的应用
思想:多用逆解法。 逆解思路: 设定应力函数 ,用协调方程2和边界条件3、4来确 定中待定常数和函数。然后5、6求应变和位移 例题:椭圆截面柱形杆受扭矩T作用,如图所示,试用应力函数
故最大剪应力在矩形截面的长边中点A上
P248式(8-19)有误
方向与扭矩T同,且形成环流(如图)。短边剪应力非常小(未给出)
8.4.2 一般矩形截面杆 显然,此时应力函数不再仅仅是y的函数。需要重 新构造 ,然后按照同样的思路求解(涉及三角级数)。
位移法解等直杆扭转 应力法解等直杆扭转 薄壁杆的扭转 应力法解等直杆弯曲
位移法解等直杆扭转 应力法解等直杆扭转 薄壁杆的扭转 应力法解等直杆弯曲
§8.2 弹性扭转问题的应力法求解
直解 1、给出用应力函数 表示的应力解(P241式(8-7)); 思路:2、为满足用应力表示的协调方程得应力函数的准单调
和控制方程(P242(8-8));
3、由侧面边界条件得应力函数 需满足的边界条件(单 连域:P242式(8-9);多连域: P243图8-3上方);
i 最大剪应力发生在杆 壁最薄之处 。
如何计算单位长度扭转角α?
由剪应力环量定理
(4)
(3)代入(4)得
即 由(5)可得 对于等厚度的闭口薄壁杆,上式简化为 (5) (6)
(7)
基本思路总结:
1、各边剪应力等于垂度h除以壁厚δi (式(1)); 2、扭矩T 为xOy平面与薄膜曲面所围体积两倍(式(2)); 3、剪应力环量定理(式(4));
弹性和塑形力学-弹性部分-第八章
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端面处的边界条件: dxdy 0 dxdy 0 ( x y )dxdy M
R zx R zy R zy zx
(a )
R为 横 截 面 组 成 的 区 域 周 ,界为 s。 利 用(8 3b), 同 时 , 又 因 为 ( 8 - 2) , 故 有 zx dxdy G ( y )dxdy R R x G { [ x ( y )] [ x ( x )]}dxdy R x x y y
(d )
( x , y )在 区 域 R的 周 界 s上 所 需 满 足 的 边 界 条 : 件 由 于 在 柱 形 杆 的 侧 面f , n 0, x f y f z 0, 同 时 , f x x l yx m zx n 在周界 s上 有 边 界 条 件 f y xy l y m zy n f z xz l yz m z n dy dx 前 两 式 很 容 易 满 足 ,第 而三 式 , 由 于 有 l ,m ds ds d dx dy 故第三式变为 0 ds x ds y ds 则积分后得 k( 在 横 截 面 周 界 s上 ,k为 常 数 ) ( x, y ) ( 0 在横截面周界 s上 ,k为 常 数 ) (8 9) (8 10) 对于单连通域,可取 k 0, 于 是 边 界 条 件 ( 8 - 9) 最 终 可 写 成
2
(8 15)
2 -2 ( x , y ) 0
此 即 薄 膜 平 衡 时 垂 度满 所足 的 微 分 方 程 。 垂 度 在 边 界 上 显 然 为即 零Z 0 (8 16) (8 - 15, 16) 分 别 与 方 程 ( 8 - 8, 10) 比 较 , 发 现 两 者 相 , 同 都 是 泊 松 方 程 , 未 知数 函都 满 足 相 同 的 边 界件 条。
杆的扭转定理和公式

杆的扭转定理和公式(总10页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面,使用请直接删除圆截面杆的扭转外力与内力 || 圆杆扭转切应力与强度条件 || 圆杆扭转变形与刚度条件 ||圆杆的非弹性扭转1.外力与内力杆件扭转的受力特点是在垂直于其轴线的平面内作用有力偶(图2·2-1a),其变形特点是在任意两个截面绕轴线发生相对转动。
轴类构件常有扭转变形发生。
作用在传动轴上的外力偶矩m通常是根据轴所传递的功率N和转速n(r/min)来计算。
当N的单位为千瓦(kW)时当N的单位为马力(HP)时扭转时的内力为扭矩T,用截面法求得。
画出的内力图称为扭矩图(或T图),如图2·2-1b所示图2·2-1 圆杆的扭转2.圆杆扭转切应力与强度条件当应力不超过材料的剪切比例极限r p时,某横截面上任意C点(图2·2-2)的切应力公式为式中T——C 点所在横截面上的扭矩p——C点至圆心的距离L p——横截面对圆心的极惯性矩,见表2-2-1 等直杆扭转时的截面几何性质。
图2·2-2 切应力分布圆杆横截面上的切应力r沿半径呈线性分布,其方向垂直于半径(图2·3-2)。
模截面上的最大切应力在圆周各点上,其计算公式为等截面杆的最大切应力发生在T max截面(危险截面)的圆周各点(危险点)上。
其强度条件为式中,[τ]为许用扭转切应力,与许用拉应力[σ]的关系为:[τ]=(~)[σ] (塑性材料)或[τ]=(~)[σ](脆性材料)3.圆杆扭转变形与刚度条件在比弹性范围内,圆杆在扭矩T作用下,相中为L的两截面间相对扭转角为或式中G——材料的切变模量单位扭转角公式为或式中GL p——抗扭刚度圆杆上与杆轴距离为p外(图2·2-2)的切应变r为圆杆表面处的最大切应变为式中,r——圆杆的半径等截面圆杆的最大单位扭转角,发生在T max一段内,其刚度条件为式中,[θ]为圆杆的许用单位扭转角(°)/m4.圆杆的非弹性扭转讨论圆杆扭转时切应力超过材料的比例极限并进入塑性状态的情况。
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⎧ ⎞⎤ ⎫ ⎪ ∂ ⎡ ⎛ ∂ϕ ⎪ ⎞⎤ ∂ ⎡ ⎛ ∂ϕ − y ⎟ ⎥ + ⎢ x⎜ x⎜ + x⎟ ⎥ ⎬dxdy ⎢ ∫∫R τ zx dxdy = αG ∫∫R ⎨ ⎜ ⎟ ⎪ ⎠⎦ ∂y ⎣ ⎝ ∂y ⎠⎦ ⎪ ⎩ ∂x ⎣ ⎝ ∂x ⎭
斯托克斯公式
⎛ ∂A ∂B ⎞ ∫c( Al + Bm)ds = ∫∫R ⎜ ⎜ ∂x + ∂y ⎟ ⎟dxdy ⎝ ⎠
S R
因 所以 显然
Φ( x, y ) = 0 (在横截面周界S上)
M = 2αG ∫∫ Φdxdy
R
D = 2∫∫ Φdxdy
R
如图,如果横截 面组成的区域为多连 通的,则可设应力函 数 Φ ( x, y ) = 0 在S0上 的值为零,而在内边 界S1,S2,S3,Sn上的 值分别为k1,k2,k3,kn, 则有
⎛ ∂v ∂u ⎞ τ xy = G⎜ ⎜ ∂x + ∂y ⎟ ⎟=0 ⎝ ⎠ ⎛ ∂ϕ ⎞ ⎛ ∂v ∂w ⎞ τ yz = G⎜ ⎜ ∂y + x ⎟ ⎟ ⎜ ∂z + ∂y ⎟ ⎟ = αG⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ∂ϕ ⎞ ⎛ ∂w ∂x ⎞ − y⎟ + ⎟ = αG⎜ τ zx = G⎜ ⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂x ∂z ⎠
Si Si
Ai
dxdy = −2 Ai
Ai 表示内边届 Si 所围成的区域面积。于是得到
M = 2αG ∫∫ Φdxdy + 2αG ∑ ki Ai
R i =1
n
D = 2 ∫∫ Φdxdy + 2∑ ki Ai
R i =1
n
Φ ( x,y ) = k (在横截面边界上)下求解方程 ∇ 2Φ = −2 求得了应力函数 Φ ( x,y ) ,再求应力分量以及D,从而确定杆
两个概念完全不同的问题,如果数学表达式相 比 同,可借助比较直观的简单问题讨论复杂的抽象的问题。 拟: 薄膜在均匀压力作用下的垂度与等截面扭杆问题的应力函 数在数学上是相似的,故可用比拟方法求扭转问题的解 答。 1)薄膜均匀张在水平边界上。 2)边界形状与扭杆横截面相同。 3)给薄膜施加均匀压力。 薄膜上的点产生垂度 q 薄膜具有柔顺性
可见,在杆内横截面内只作用有切应力 τzx 和 τzy ,而且它 们与 z 无关,即它们在所有的横截面上都相等。
下面考虑边界条件
f sj = σ ij ni
M
¾柱形杆的侧面的边界条件
n = 0 , f sx = f sy = f sz = 0
⎞ ⎛ ∂ϕ ⎞ ⎛ ∂ϕ − y ⎟l + ⎜ + x⎟ m=0 ⎜ ⎜ ⎟ ⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠
o FT z o a FT y d FT dx FT b c
q FT x 边 FT dy ad bc ab cd
x 矩形微元 abcd 的受力如图, 则 z方向所受总压力为 qdxdy 张力 FTdy FTdy FTdx FTdx 在z轴投影
∂z − FT dy ⋅ ∂x
⎛ ∂z ∂ 2 z ⎞ FT dy ⋅ ⎜ ⎜ ∂x + ∂x 2 dx ⎟ ⎟ ⎝ ⎠
M = − αG ∫
S1,S 2 ,L,S n n
Φ ( xl + ym )ds + 2αG ∫∫ Φdxdy
R R
= −αG ∑ ∫ ki ( xl + ym )ds + 2αG ∫∫ Φdxdy
i =1 Si
由斯托克斯公式计算得
∫ (xl + ym)ds = − ∫ (xl + ym)ds = −2∫∫
GD 称为抗扭刚度,D 表示截面几何特性,上式给出了柱单位 长度的扭转角与扭矩之间的关系。对于给定的柱形杆,G 和D 都是已知的,故只要知道了扭矩就可求出单位长度的扭转角, 反之,亦然。
柱形杆扭转的位移解法,归结为在给定的边界条件下, 求解拉普拉斯方程,求得了扭转函数后,再求应力分量和位移 分量。柱形杆扭转的位移解法在数学上属于 Neumann边值问 题,求解比较复杂。
条件 的单位长度的扭转角。
综上所述,如果采用应力解法求解扭转问题,则先在边界
§8-3 扭转问题的薄膜比拟法
对于截面形状比较复杂的柱体,不管采用位移法还是应力 法求解扭转问题解析解是很困难的,而普朗特(Prondtl)在 1903年提出了薄膜比拟,它利用薄膜在均匀压力下的垂度与等 截面直杆扭转问题中的应力函数在数学上的相似性,用薄膜来 比拟扭杆,它可以帮助我们寻找扭转问题的解答,尤其是对截面 较复杂的扭转可以避开数学上的困难,而采用实际薄膜比拟实 验测定,形象的获得一些有价值的解。 薄膜比拟基本思想: 作用均匀压力的薄膜与柱体扭转有着相似的微分方程和边 界条件;通过测试薄膜弯曲的情况,分析柱体扭转时横截面的 应力分布。
∂Φ τ yz = −αG ∂x
为使平衡微分方程得到满足,引入函数Φ(x,y),使得
∂Φ τ xz = αG , ∂y
将上式代入协调方程,交换求导次序,有
∂ 2 ∇ Φ = 0, ∂x
∂ 2 ∇ Φ=0 ∂y
(其中 C 为常数,可以证明 C = -2)
∇ 2Φ = C
即
∇ 2Φ = −2
这是泊松方程,它表示函数Φ(x,y)在柱形杆横截面所组成的区 域 R 内所必须满足的方程。函数Φ(x,y)称为普朗特应力函数。 现在推导Φ(x,y) 在区域 R 的周界 S 上所需满足的边界条件
由位移分量可得
⎧ ∂u ∂v ∂w θ = + + =0 ⎪ ∂x ∂y ∂z ⎪ ⎪ 2 2 u 0 , v=0 ∇ = ∇ ⎨ ⎪ 2 2 ⎛ ϕ ϕ⎞ ∂ ∂ 2 ⎪∇ w = α ⎜ + 2⎟ 2 ⎟ ⎜ ⎪ x y ∂ ∂ ⎠ ⎝ ⎩
⎧ ∂θ 2 ( ) + + ∇ G G u + Fbx = 0 λ ⎪ ∂x ⎪ ∂θ ⎪ 2 ( ) + + ∇ G G v + Fby = 0 λ ⎨ ∂y ⎪ ⎪ ∂θ 2 ( ) + + ∇ G G w + Fbz = 0 λ ⎪ ∂z ⎩
§8-2 扭转问题的应力解法·普朗特应力函数
以应力为基本未知量,设
σ x = σ y = σ z = τ xy = 0
于是平衡微分方程和以应力表示的应变协调方程分别简化为
∂τ zx = 0, ∂z ∇ 2τ xz = 0,
∂τ zy ∂z
= 0,
∂τ xz ∂τ yz + =0 ∂x ∂y
∇ 2τ yz = 0
dΦ ∂Φ dx ∂Φ dy = + =0 ds ∂x ds ∂y ds
积分得
Φ = k (在横截面周界S上)
这里 k 为常数。对于单连通区域,可取 k = 0。 于是 上)Φ(x,y) 表示的扭矩 M 和 D 的计算。 下面推导用应力函数 先假定横截面组成的区域R为单连通的。将以下应力分量
Φ( x, y ) = 0 (在横截面周界S
∂Φ τ xz = αG , ∂y
∂Φ τ yz = −αG ∂x
代入 M =
∫∫ (xτ
R
zy
− yτ zx )dxdy 并利用斯托克斯公式,有
⎛ ∂Φ ∂Φ ⎞ ⎟ +y M = −αG ∫∫ ⎜ x dxdy ⎜ ⎟ R ∂y ⎠ ⎝ ∂x ⎡∂ ⎤ ∂ = −αG ∫∫ ⎢ ( xΦ ) + ( yΦ )⎥dxdy + 2αG ∫∫ Φdxdy R ∂x R ∂y ⎣ ⎦ = −αG ∫ Φ ( xl + ym )ds + 2αG ∫∫ Φdxdy
第八章 柱形杆的扭转
§8-1 扭转问题的位移解法·圣维南扭转函数 §8-2 扭转问题的应力解法·普朗特应力函数 §8-3 扭转问题的薄膜比拟法 §8-4 椭圆截面杆的扭转 §8-5 带半圆形槽的圆轴的扭转 §8-6 厚壁圆筒的扭转 §8-7 三角形截面杆的扭转 §8-8 矩形截面杆的扭转 §8-9 薄壁杆的扭转
因
n M O
∂ϕ ∂ϕ dϕ l+ m= ∂x ∂y dn
dϕ = yl − xm dn
在横截面的边界S上
¾柱形杆的端面的边界条件
在端面处,应用局部性原理,有
M
⎧ τ zx dxdy = 0 ⎪∫∫R ⎪ ⎨∫∫R τ zy dxdy = 0 ⎪ ⎪∫∫ (xτ zy − yτ zx )dxdy = M ⎩ R
设有横截面为任意形状的柱形杆,不计体力,在两端面 上受大小相等而转向相反的扭矩M 作用,如图所示。坐标建 立如图。 在前面章节,已经求出了圆柱形 杆扭转时的位移分量为 M
u = −αyz, v = αxz, w = 0
上面第三式表示,在圆柱体情 况下,变形前的横截面在扭转 变形后仍保持为平面;但对于 n O
⎛ ∂ϕ ⎞ ∂ϕ ∫∫R τ zx dxdy = αG ∫S x⎜ ⎜ ∂x l + ∂y m − yl + xm ⎟ ⎟ds ⎝ ⎠ ⎛ dϕ ⎞ = αG ∫ x⎜ − yl + xm ⎟ds = 0 S ⎝ dn ⎠
同理
∫∫ τ
R
zy
dxdy = 0
由端面处边界条件的第三式及应力分量可得
M = ∫∫ (xτ zy − yτ zx )dxdy
非圆截面杆,扭转变形后,横 截面将产生翘曲,不再保持为 平面。所以假设z, w = αϕ ( x, y )
这里的 α 为杆的单位长度的扭转角,ϕ 扭转函数,反映了截面翘曲情况。 下面分析 ϕ 拉梅方程
(x, y ) 称为圣维南
(x, y ) 所应满足的条件,为此将位移分量代入
§8-1 扭转问题的位移解法·圣维南扭转函数
需要完全精确地求解柱形杆的扭转问题是十分困难的。 因为,一方面,在实际问题中,柱形杆两端面上外力分布情 况往往是不清楚的,而只知道它 们的静力效应;另外,即使知道 M 了外力在端面上的分布情况,也 很难得到一组解答能精确地满足 端面上的精确条件。但是,如果 杆足够长,就能够按局部性原理 对其端面处的边界条件进行放松, n 而使问题得到解决。 O 本章仍然采用半逆解法求解 M 柱形杆的扭转问题。