高一数学必修4课件：1-2-1单位圆中的三角函数线

第一章
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利用三角函数线，求出 θ 的取值范围． 3 (1)cosθ< 2 ________________________； (2)tanθ>－1________________________； 1 (3)sinθ≥－2__________________________.
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课前自主预习
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温故知新 1．角α的终边经过P(2,3)，则有( 2 13 A．sinα＝ 13 3 13 C．sinα＝ 13
[答案] C
[解析] sinα＝ 由三角函数的定义可知，r＝ 22＋32 ＝ 13 .∴
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过点P作x轴的垂线PM，垂足为M，过点A作单位圆的切 线交OP的延长线(或反向延长线)于T点，这样就有sinα＝ MP ， cosα＝ OM ，tanα＝ AT ．单位圆中的有向线段MP、OM、AT 分别叫做角α的 正弦 线、 余弦 线、 正切 线，统称为三角函 数线．
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3．在下列各式中填上适当的不等号： (1)sin759° 28′8″________0； (2)sin(－759° 23′8″)________0； 13 (3)tan(－ 5 π)________0； 41 (4)cos π________0. 7
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规律总结：利用三角函数线求解 sinα＝a 这样的三角方 程时，只需作直线 y＝a 与单位圆相交，连接原点和交点所得 射线即为所求角 α 的终边位置．求解 cosα＝a 这样的三角方程 时，需作直线 x＝a 与单位圆相交，连接原点和交点所得射线 即为所求角 α 的终边．求解 tanα＝a 这样的三角方程时，需作 直线 y＝a 与过点 A(1,0)的单位圆的切线 AT 相交，交点为 T， 连接原点 O 与交点 T，直线 OT 就是所求角 α 的终边位置．
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命题方向
利用三角函数线解三角不等式
[例 2] 围：
利用单位圆， 求使下列不等式成立的 x 的取值范
1 2 (1)sinx≤2；(2)tanx≤1；(3)cosx≥ 2 .
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[解析]
1 (1)如图所示，在 0～2π 内作出正弦值等于2的角：
[答案] C
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不论角 α 的终边位置如何，在单位圆中作三角函数线时， 下列说法正确的是( )
A．总能分别作出正弦线、余弦线、正切线 B．总能分别作出正弦线、余弦线、正切线，但可能不只 一条 C．正弦线、余弦线、正切线都可能不存在 D．正弦线、余弦线总存在，但正切线不一定存在
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π 5π π 所以所求的角 x 的集合为： {x|2kπ＋2<x≤ 4 ＋2kπ 或－2＋ π π π 2kπ<x≤4＋2kπ，k∈Z}＝{x|kπ－2<x≤kπ＋4，k∈Z}．
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2 π 7π (3)如图所示，在 0～2π 内作出余弦值等于 2 的角：4和 4 ， 2 则在图中所示的阴影区域内的每个角 x 均满足 cosx≥ 2 .所以 2 满足 cosx≥ 2 的角的集合为： π π {x|2kπ－ ≤x≤2kπ＋ ，k∈Z}． 4 4
1 已知角 α 的正弦值，可知 MP＝ ，则 P 点纵坐标 2
1 1 1 为2.所以在 y 轴上取点(0，2)，过这点作 x 轴的平行线 y＝2， 交单位圆于 P1、P2 两点，则 OP1、OP2 是角 α 的终边，因而角 π 5π α 的集合为{α|α＝2kπ＋6或 α＝2kπ＋ 6 ，k∈Z}，如图：
[答案] > < > >
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[解析]
(1)由题可知759° 23′8″为第一象限角，∴
sin759° 23′8″>0； －759° 23′8″为第四象限角，sin(－759° 23′8″)<0，－ 13 13π 41 41 5 π为第三象限角tan(－ 5 )>0， 7 π为第四象限角cos 7 π>0.
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[答案]
π 11π (1)6＋2kπ， 6 ＋2kπ(k∈Z)
π π 3π 3π π π (2)－4＋2kπ，2＋2kπ∪ 4 ＋2kπ， 2 ＋2kπ＝－4＋nπ，2＋ nπ(k∈Z，n∈Z) π 7π (3)(2kπ－6，2kπ＋ 6 )
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③三角函数线的正负：三条有向线段凡与x轴正方向或y轴 正方向同向的为正值，与x轴正方向或y轴正方向反向的为负 值． ④三角函数线的书写：有向线段的起点字母在前，终点 字母在后． ⑤三角函数线的意义：三角函数线的方向表示三角函数 值的符号；三角函数线的长度等于所表示的三角函数值的绝 对值．
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新课引入
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摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，上面挂在轮 边缘的是供乘客乘搭的座舱．乘客坐在摩天轮上慢慢往上 转，可以从高处俯瞰四周景色．假设摩天轮的中心离地面的 高度为h，它的直径为2R，逆时针方向匀速转动，转动一周需 360秒． 若你坐在座舱中，从水平位置向上开始转动，经过30秒 后，你离地面的高度为多少？
π 11π 值范围为6＋2kπ， 6 ＋2kπ(k∈Z)．
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π 3π － ＝tan ＝－1，且 (2)∵tan 4 4
tanθ>－1，
π π 3π ∴由图所示 θ 的取值范围为－ ＋2kπ， ＋2kπ∪ ＋2kπ， 4 2 4 3π π π ＋2kπ＝－4＋nπ，2＋nπ(k∈Z，n∈Z)． 2
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如图所示，P是角α的终边与单位圆的交点，PM⊥x轴于 M，AT和A′T′均是单位圆的切线，则角α的( )
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A．正弦线是PM，正切线是A′T′ B．正弦线是MP，正切线是A′T′ C．正弦线是MP，正切线是AT D．正弦线是PM，正切线是AT
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[解析]
在单位圆中画出符合条件的角 θ 终边所在范围(用
阴影表示)，根据图形写出 θ 的取值范围．
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π 11π 3 3 (1)∵cos ＝cos ＝ ，且 cosθ< ，∴由图所示 θ 的取 6 6 2 2
π 5 6和6π.在图中所示的阴影区域内的每一个角 x，其正弦值都满 1 1 5π 13 足 sinx≤2，所以不等式 sinx≤2的解集为：{x| 6 ＋2kπ≤x≤ 6 π ＋2kπ，k∈Z}．
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π 5π (2)如图所示，在 0～2π 内作出正切值等于 1 的角：4和 4 ， 则在图中所示的阴影区域内的每个角 x(不包括终边在 y 轴上的 角)均满足 tanx≤1.
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路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
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第一章
1.2 任意角的三角函数
第一章 三角函数
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1．2.1 单位圆中的三角函数线
第一章 三角函数
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课前自主预习 随堂应用练习 思路方法技巧 课后强化作业 名师辨误做答
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[点评]
3 (1)中 cosθ＝ 2 对应的角 θ 的两条终边 OA、OB，
3 使 cosθ< 2 成立的角 θ 的终边所在区域为图中阴影部分，由逆 π 11π π 时针旋转角变大知，OA 取6时，OB 应取 6 而不是－6，这是 3 极易出错的地方，若改为 cosθ> 2 ，则角 θ 终边所在区域应为
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π 7 1 π 7 (3)由于 sin(－ )＝sin π＝－ ， 则在坐标系中画出－ 和 π， 6 6 2 6 6 确定 α 的终边位置．
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1 如图所示， 作直线 y＝－2交单位圆于 A、 两点， B 则∠xOA 7π π ＝ 6 ，∠xOB＝－6.过在直线 AB 上方的圆弧上任一点 P 作 PM ⊥x 轴于 M，则 MP＝sinα. 则 α 的终边不能与直线 AB 下方的圆弧有交点，则有 2kπ π 7π －6≤α≤2kπ＋ 6 (k∈Z)． π 7 即原不等式的解集是{α|2kπ－ ≤α≤2kπ＋ π，k∈Z}． 6 6
[答案]
D
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思路方法技巧
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命题方向
利用三角函数线解三角方程
[例 1]
1 已知 sinα＝ ，求出角 α 的取值集合． 2
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[解析]
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[破疑点]①三角函数线的位置：正弦线为α的终边与单位 圆的交点到x轴的垂直线段；余弦线在x轴上；正切线在过单位 圆与x轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中正弦线和余 弦线在单位圆内，正切线在单位圆外． ②三角函数线的方向：正弦线由垂足指向α的终边与单位 圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向单位 圆与α的终边(或反向延长线)的交点．
Байду номын сангаас
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解方程：tanα＝－1.
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[解析]
因为角 α 的正切值等于－1，所以 AT＝－1.在单位
圆上过点 A(1,0)的切线与直线 y＝－1 交于点 T，连接 OT，OT 所在直线与单位圆交于 P1、P2 两点 OP1、OP2 是角 α 的终边， 3π 7 则角 α 的取值集合是{α|α＝2kπ＋ 4 或 α＝2kπ＋4π， k∈Z}＝{α|α 3π ＝nπ＋ 4 ，n∈Z}，如图.
)
13 B．cosα＝ 2 2 D．tanα＝3
3 3 13 ＝ 13 ，故选C. 13
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25π 2．sin 6 等于( 1 A.2 1 C．－ 2
[答案] A
) 3 B. 2 3 D．－ 2
[解析]
25π π π 1 由诱导公式(可知)sin 6 ＝sin(4π＋6)＝sin6＝2.
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自主预习 认真阅读教材P15～17回答下列问题． 三角函数线 (1)有向线段：带有方向 的线段叫做有向线段． (2)定义：如图，设单位圆与x轴的正半轴交于点A，与角α 的终边交于点P(角α的顶点与原点重合，角α的始边与x轴的非 负半轴重合)．
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4．若750° 角的终边上有一点(4，a)，则a的值是_____．
[答案]
4 3 － 3
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[解析]
∵tan750° ＝tan(360° ×2＋30° )
3 a ＝tan30° ＝ ＝ . 3 4 3 4 3 ∴a＝ 3 ×(4)＝ 3 .
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