量子力学测试题2010参考答案【免费】

量子力学测试题2010参考答案

1、一质量为m 的粒子沿x 正方向以能量E 向x=0处势垒运动。当0≤x 时，势能为零；当

0>x 时，势能为E V 4

3

0=。问在x=0处粒子被反射的几率多大？

解：S-eq 为 ⎩⎨⎧≥=+''≤=+''0

000

22

221211x k x k ψψψψ 其中221/2 mE k = 4//)(221202

2k V E m k =-= 由题意知 0≤x 区域 既有入射波，又有反射波；0≥x 区域仅有透射波

故方程的解为

x ik x ik re e 111-+=ψ 0≤x

x ik te 22=ψ 0≥x

在x=0处，ψ及ψ'都连续，得到 t r =+1 t k r k 2

)1(11=- 由此解得912

==r R

注意 透射率2

t T ≠ 因为12k k ≠

将 x ik e 1，x ik re 1-，x ik te 2分别代入几率流密度公式 ⎪⎭

⎫

⎝⎛∂∂-∂∂-

=**2ψψψψ

x x m i j 得 入射粒子流密度 m

k j 1

0 =

反射粒子流密度 2

1r m k j R -=

透射粒子流密度 2

2t m

k j T =

由此得 反射率 9

12

0===

r j j R R 透射率 9

8

2120===t k k j j T T 1=+T R 2、计算

（1）?],[2

=r L

（2）设),(p x F 是p x ,的整函数，则?],[=F p

解：（1）0],[],[],[],[2=+=+==βγαβγγβαβγββαβαβββααεεx x i x x i x x L x L x x x L r L

因为将第二项哑标作更换γβ↔

γβαβγγβαγββγαβγεεεx x i x x i x x i -==

所以 0],[2=r L

（2）先由归纳法证明 n

n n x x

i nx i x p ∂∂-=-=-

1],[（·）式

1=n 上式显然成立；设k n =时上式成立，即 1],[--=k k kx i x p

则 k k k k k k x k i x i kx i x p x x x p x p )1(],[],[],[1+-=--=+=+ 显然，1+=k n 时上式也成立，（·）式得证。 因为 ∑==

,),(n m n m mn

p x C

p x F

则 F x

i p mx C i p x p C p x p C F p n

m n

m n

m n m mn n m mn n m mn ∂∂

-=-===∑∑∑-

,,,1],[],[],[ 3、试在氢原子的能量本征态nlm ψ下，计算1-r 和2-r 的平均值。 解：处于束缚态nlm ψ下的氢原子的能量

2

2224

122n a e n e E n -=-= μ 22

e

a μ = 1++=l n n r （1）计算><-1r

方法1 相应的维里定理为 n l m n l m

V T ><-=><21 n l m n V E ><=2

1

所以 2

211

2an e E r n =-

>=<- 方法2 选Z 为参量 相应的F-H 定理

nlm n

e

H e E >∂∂=<∂∂2

2 r e H 2

222-

∇-=μ nlm r an ><-=-

112 2

1

1an

r >=<- （2）计算><-2r

等效的一维哈密顿量

2

2

22222)1(2r

l l r e dr d H μμ ++--= 取l 为参量 相应的F-H 定理

n l m l n l

H l E >∂∂=<∂∂ 注意1++=l n n r >

<+=-2

23

22)12(r l an e μ 322)2/1(1n a l r +>=<- 4、有一个二能级体系，哈密顿量为H H H '+=0， 0H 和微扰算符H '的矩阵表示为

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=21

00

0E E H ⎪⎪⎭⎫

⎝⎛='0110λH 其中λ表征微扰强度，21E E ≤。用微扰法求H 的本征值和本征态。 解：由于是对角化的，可见选用表象为0H 表象 对于21E E <，由非简并微扰论计算公式

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-''+=+-''+'+=∑∑ )0()

0()0()0()

0()0(2)

0(||m m n mn m n n m n nm m

nn n n E E H E E H H E E ψψψ

得 0)1(1

=E

2

12

)

0(2

)0(12

12

)2(1

E E E E H E

-=

-'=

λ ⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-=-'=

1021)

0(2)

0(2)0(121)1(1E E E E H λψψ 0)1(2

=E

1

22

)

0(1)

0(22

12

)2(2

E E E E H E

-=

-'=

λ ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=-'=0112)

0(1)0(1)0(212)

1(2

E E E E H λψψ

所以 ，二级近似能量和一级近似态矢为

212

1E E E -+λ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10012

1E E λ；122

2E E E -+λ，⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛01102

1E E λ。 对于21E E =，由简并微扰论计算得一级近似能量和零级近似态矢为

λ+1E ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1121；λ-1E ，⎪⎪⎭⎫

⎝⎛-1121。 5、自旋投影算符n S n ⋅=

σ2

，σ 为泡利矩阵，n

为单位矢量（θϕθϕθcos ,sin sin ,cos sin ）。 （1）对电子自旋向上态)2/( =+z s χ，求n S 的可能值及相应几率； （2）对n σ的本征值为1的本征态，求y σ的可能值及相应几率。

解：（1）由⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-∧θθθθ

ϕ

ϕcos sin sin cos 2i i n e

e S ⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--b a m b a e e s i i θθθθ

ϕ

ϕcos sin sin cos 2得 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ϕθθχi n e s 2sin 2cos )(21 ⎪⎪⎪⎪

⎭⎫ ⎝

⎛

-=-ϕθθχi n e s 2cos 2sin )(21 对于电子自旋向上态⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛===+01)2/(αχ z s ，n S 取值2

±的几率分别为