线性代数工自测题1答案

江西财经大学线性代数自测题一答案

一、填空题（将正确答案写在答题纸的相应位置。答错或未答，该题不得分。本大题共5个小题，每小题3分，共15分。）

1. 0 .

2.11/81/51/2-⎡

⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 3. 2 .

4. -120 .

5.11,01⎡⎤⎢⎥

≠⎢⎥⎢⎥⎣⎦

k k

二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代号写在答题纸的相应位置。答案错选或未选者，该题不得分。本大题共5小题，每小

题3分，共15分。） 1.C

2.D

3.B

4.A.

5.C

三、计算题（请写出主要步骤及结果，本题10分）

计算行列式ax by

ay bz

az bx

D ay bz az bx ax by az bx ax by ay bz

+++=++++++的值.

+++++++=+++=++++++++++++ax by ay bz az bx

ax ay bz az bx

by ay bz az bx

D ay bz az bx ax by ay az bx ax by bz az bx ax by az bx ax by ay bz az ax by ay bz bx ax by ay bz

2分

=+ax ay az by bz bx

ay az ax bz bx by az ax ay bx by bz

4分

33=+x y z

y

z x a y

z x b z x y z

x y x y

z

6分

33()=+x

y z

a b y

z x z

x

y

8分

33333()(3)=+---a b xyz x y z 10分

四、计算题（请写出主要步骤及结果，本题10分）

已知2111011,101A AB E A B ⎡⎤

⎢⎥=+-=⎢⎥

⎢⎥⎣⎦

，求B . 解：22+-=⇒-=-AB E A B AB B A E

3分 ()()()⇒-=-+A E B A E A E

6分

由于-A E 可逆，左乘-A E 的逆得

=+B A E

9分 所以有211021102⎡⎤

⎢⎥=⎢⎥

⎢⎥⎣⎦

B

10分

五、计算题（请写出主要步骤及结果，本题10分）

A 是3阶矩阵，它的3个特征值为11λ=，21λ=-，32λ=，令324

B A A =-，

(1)求矩阵B 的特征值 (2) 求*B A +

解：（1）矩阵B 的特征值的形式为324λλ-A A ，

2分

将特征值11λ=，21λ=-，32λ=

代入得矩阵B 的特征值为13λ=-，25λ=-，38λ=-

5分

（2）*+B A 的特征值的形式为λλ+

B A

A

2分

代入得到矩阵*+B A 的特征值为15λ=-，23λ=-，39λ=- 4分

所以有*(5)(3)(9)135+=-⨯-⨯-=-B A

5分

六、计算题（请写出主要步骤及结果，本题10分）

设向量组1,3,1T a α=（），22,,3T b α=（），31,2,1T

α=（）

，42,3,1T α（）=的秩为2，求参数,a b 的值.

解：构造矩阵2123231311⎡⎤

⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎣⎦

a b ，做行初等变换 2分

2121

3113230910131102312⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦

a b b a a a 5分

由于秩为2，所以有91

20,231---==--b a a a

8分 解得2,5=-a b

10分

七、计算题（请写出主要步骤及结果，本题10分）

当,a b 取何值时，线性方程组12312312

33244

x ax x x ax x x x bx ++=⎧⎪

++=⎨⎪++=⎩有唯一解、无解、有无穷多

解？当方程组有无穷多解时，求其通解.

解：构造增广矩阵113()1214114⎡⎤

⎢⎥=⎢⎥

⎢⎥⎣⎦a A b a b ，做行初等变换 1131131214011211400(1)21⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦

a a

a b b a b a 2分

（1） 当0,1≠≠a b 时，()()3==R A R A b 唯一解 4分 （2） 当0=a 时，2()()3=<=R A R A b 无解

6分

（3） 当1=b 时，若1/2≠a ，2()()3=<=R A R A b 无解

当1=b 时，若1/2=a ，2()()==R A R A b ，无穷多解

8分

11311/213101201120102010200(1)2100000000⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦a

b a b a 通解为1202,10-⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥=+∈⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

X k k R

10分

八、计算题（请写出主要步骤及结果，本题10分）

求矩阵324202423A ⎡⎤

⎢⎥=⎢⎥

⎢⎥⎣⎦

的特征值与特征向量. 解：构造特征方程

232

4

22(1)(8)04

23λ

λλλλ

--=-+-=-

所以特征值为1231,8λλλ==-=

4分

对121λλ==-时，解()0λ-=A E X 得基础解系为 12(1,2,0),(1,0,1)αα=-=-T T 所以属于特征值121λλ==-的特征向量为 1122αα+k k ，12,k k 不全为零。

7分

对38λ=时，解()0λ-=A E X 得基础解系为

3(2,1,2)α=T

所以属于特征值121λλ==-的特征向量为33αk ，30≠k 。 10分

九、证明题（请写出推理步骤及结果，本题10分）

已知向量组(Ⅰ)123,,ααα的秩为3，向量组(Ⅱ)1234,,,αααα的秩为3，向量组(Ⅲ)1235,,,αααα的秩为4，证明向量组12354,,,ααααα-的秩为4. 证明：(Ⅰ)123,,ααα的秩为3，说明123,,ααα线性无关

2分 (Ⅱ)1234,,,αααα的秩为3，说明1234,,,αααα线性相关

4分