材料力学——6简单的超静定问题

求解 线性方程
未知力
以一例说明解法
q
12 3
X1 X2 X3
• 静定基（含未知数）
1 0, 2 0, 3 0
• 位移协调条件
建立方程的过程
以1为例说明
X1 X2 X3
1
M (x)M1(x) dx EI
(M X1 M X2 M X3 M q )M1(x) dx EI
M X1M1 dx M X2 M1(x) dx M X3 M1(x) dx M qM1(x) dx
1 EI
L 0
1 2
qx 12
x1dx 1
qL4 8EI
11X1 1P 0
L3
qL4
3EI X1 8EI 0
3qL X1 8
例 A
P B
l
l
2
2
解: 1. 判定超静定度数 2. 释放多余约束, 构造静定基 3. 补充协调方程
P
A
l
l
B A
2
2
X1
x
静定基
P0 =1 B
M (x) x
在Xj处施加单位力，在Xi点处Xi方向的位移
ij ji
（位移互等定理）
q
1L
L3
A
B
11 EI 0 M(x1 ) M(x1 )dx 3EI
q
A
B
静定基
X1
M(x1
)
1 2
qx
2 1
B A
X1
A
M(x1 ) x1
X1 X1 =1
1L
1P EI 0 M(x1 ) M(x1 )dx1
M
(x)
X
1
x
X1x, P(x
x l ), 2
l 2
x
l 2
B
l 0
M
(x)M EI
( x)dx
0
如果B处支撑为弹簧 （弹簧系数K） ？
例 P
A
l
l
2
2
BA
P
B
l
l
2
2
X1
解
M
(x)
X1
x
X1x, P(x
x l ), 2
l 2
x
静定基
l 2
x
B
l 0
M (x)M EI
(x)dx
X1 K
FN1a EA1
FN 2a EA2
由变形和本构方程消除位移未知量
2T FN1 FN 2
EA1 EA2
（4）联立求解得
FN1 FN 2 33.3kN
（5）温度应力
1
FN1 A1
66.7MPa
2
FN 2 A2
33.3MPa
§6–3 扭转超静定问题
解决扭转超静定问题的方法步骤： 平衡方程； 几何方程——变形协调方程； 物理方程； 补充方程：由几何方程和物理方程得；
问题. 超静定次数 = 未知量的总数－平衡方程的个数
例:
q 12 3
如何求解？
1. 超静定问题
2. 变形方程补充--------几何相容条件（不允许一 部分脱离另一部分，也不允许一部分嵌入另 一部分）
3. 物理方程在静力平衡与变形协调之间架桥
§6.2 拉压超静定问题及其解法Statically Indeterminate
A
P0 =1 B
M (x) x
解： 协调条件——D截面转
角为零
A
静定基
D
/2
0
M
( )M
EI
()Rd
0
DX
P 2
二、装配应力
1、静定问题无装配应力
B
C
2、静不定问题存在装配应力
1
2
A
下图，3号杆的尺寸误差为，
求各杆的装配内力
解：（1）平衡方程
B
3D C
1 2
Fx FN1 sin FN 2 sin 0 Fy FN1 cos FN 2 cos FN3 0
A1
A
百度文库
（2）变形方程
( L3) cos L1
EI
EI
EI
EI
X1
M1M EI
1
dx
X
2
M2M EI
1
dx
X
3
M3M1 dx EI
M qM1 dx EI
11X1 12 X 2 13X 3 1q
1 11X1 12 X 2 13 X 3 1q
2 21X1 22 X 2 23X3 2q 3 31X1 32 X 2 33X3 3q
一、超静定问题及其处理方法
B
CB
D
C
1 2
3
1、问题的提出
1 2
两杆桁架变成
A
A
三杆桁架，缺一个
P
P
方程，无法求解
Fx 0, FN1 sin FN 2 sin 0
Fy 0, FN1 cos FN 2 cos FN3 P 0
三杆桁架是单靠静力方程求解不了的，称为 静不定（ Static indeterminate ）——静力不能确定
BA 0
③ 综合物理方程与几何方程，得补充方程：
BA
0L
T GIP
dx
02
mA 20x GIP
dx
2mA 40 GIP
0
mA 20 N m
④ 由平衡方程和补充方程得：
mB 20 N m
另:此题可由对称性直接求得结果。
A EI L
y MA
A L
A L
=
q0 Bx
§6-4 简单超静定梁
1、处理方法：变形协调方程、物理
材 料力学
Meterial mechanics
2
§6-1 概述
超静定分类：
▪外力超静定 ▪内力超静定 ▪即有内力超静定，又有外力超静定
静定问题: 未知数全部能够由平衡方程来求得的问题 超静定问题: 未知数的个数多于(独立的)平衡方程的个数, 不能够由
平衡方程来求得全部的未知数的问题,也称之为超静定
RB
补充方程
q0
qL4 RB L3 0 8EI 3EI
RB
3qL 8
B
求解其它问题（反力、应力、
变形等）
A L
f
A EI
L
A
=
=
C EA LBC
q0 x
B RB
q0 B RB
B RB
+
例10 结构如图，求B点反力。 解：建立静定基 几何方程 ——变形协调方程： yB yBq yBRB LBC
2、超静定的处理方法 平衡方程 变形协调方程 本构方程
例题
FN3
B
FN1
FN2
D
C
3
A
1 2
P
A
P
例：求三杆桁架内力
杆长 L1=L2， L3 =L
面积 A1=A2=A，A3 弹性模量 E1=E2=E，E3
解 (1)静力平衡方程——力学
Fx FN1 sin FN 2 sin 0 Fy FN1 cos FN 2 cos FN3 P 0
利用协调条件：
11X1 12 X 2 13 X 3 1q 21X1 22 X 2 23X 3 2q 31X1 32 X 2 33X 3 3q
协调方程的矩阵形式 （力法正则方程）
11 21 31
12 22 32
132333
X1 X2 X3
1q 2q 3q
影响系数 ij (i 1,2,3; j 1,2,3)
三 、温度应力
B
C
1、静定问题无温度应力。
1
2
A
2、静不定问题存在温度应力。
下图，1、2号杆的尺寸及材
B
D
C
3
1 2
A
L2 L3
L1
A1
料都相同，当结构温度由T1变到 T2时,求各杆的温度内力（各杆线
膨胀系数分别为i ; △T= T2 -T1)
解：
（1）平衡方程
B
D
C
Fx FN1 sin FN2 sin 0
q0
A
B
A y
A
A
C 物理方程——变形与力的关系
EA LBC q0
qL4 y Bq 8EI
; yBRB
RB L3 3EI
x
B
L
RB
LBC
RB LBC EA
=
补充方程
+
qL4 RB L3 RB LBC
B
8EI 3EI EA
RB
RB
8I
(
qL4 LBC
L3
)
q0
A 3EI 求解其它问题（反力、应力、
3
1 2
FY FN1 cos FN2 cos FN3 0
（2）变形方程
A
L2 L3
L1
L1 L3 cos
（3）本构方程
A1
FN3
FN1
FN2
Li
FN i Li Ei Ai
Ti Li
A
(i 1, 2, 3)
P
由变形和本构方程消除位移未知量
FN1L1 E1 A1
T1L1
( FN 3L3 E3 A3
B
变形等）
§6-5 用力法求解超静定系统、力法正则方程 （Canonical Equations of Force Method)
• 思想是十分简单易懂的
解除
1
结构静定化
杆件或支座
静定基（不唯一，以 方便为准）
2 在未知力处
建立
变形协调条件
3 变形条件 4 力法方程
借助 补充方程（力法） Mohr积分
FN3
FN1 FN2
A1
L3 A1
L1
L2
A
（3） 本构方程
( FN 3L3 ) cos FN1L1
E3 A3
E1 A1
（4）联立求解
FN 1
FN 2
L3
1
E1A1 cos2 2 cos3 E1A1 /
E3 A3
FN 3
L3
1
2E1A1 cos3 2 cos3 E1A1 / E3 A3
解由平衡方程和补充方程组成的方程组。
[例]长为 L=2m 的圆杆受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，如图，
若杆的内外径之比为 =0.8 ，外径 D=0.0226m ，G=80GPa，
试求固端反力偶。
解：①杆的受力图如图示，
这是一次超静定问题。
平衡方程为：
mA 2m mB 0
②几何方程——变形协调方程
超静定问题（Hyperstatic ）——超出了静力范围 其实我们在拉压杆应力遇到过这类问题
拉压杆截面上有无穷个应力，单凭静力平衡方程 不能求解 —— 超静定问题： 补充变形协调方程
建立本构（或物理）方程予以沟通 结合平衡方程联立求解
个性：杆件，桁架（杆件组合）
共性：超静定问题——单凭静平衡方程不能确定出 全部未知力（外力、内力、应力）
FN 1
FN 2
E1A1P cos2 2E1A1 cos3 E3 A3
;
FN 3
2E1 A1
E3 A3P
cos3
E3 A3
解法二——混合法：a、由几何和物理方程消除FN1和FN2； b、解3个方程（含1个力未知量，2个位移未知量）
3、超静定问题的解法
（1）静力平衡方程——力学——原有基地 （2）变形协调方程——几何——新开方向 （3）材料本构方程——物理——构筑桥梁 （4）方程联立求解——代数——综合把握
方程与平衡方程相结合，求全部未
q0 知力。
B 解：建立静定基
确定超静定次数，用反力
q0 代替多余约束所得到的结构—
B
—静定基。（变形比较法）
RB
A L
A A
+
=
q0 几何方程——变形协调方程
B RB
yB yBq yBRB 0
物理方程——变形与力的关系
B
y Bq
qL4 8EI
; yBRB
RB L3 3EI
T3L3) cos
B
D
C
联立求解得
3
1
2
FN 1
FN 2
E1A1(1 3 cos2 )T 1 2 cos3 E1A1 / E3 A3
A
L2 L3
L1
FN 3
2E1A1(1 3 cos2 )T cos 1 2 cos3 E1A1 / E3 A3
A1
a
例 阶梯钢杆的上下两端在T1=5℃时被固
B
D
C (2)变形协调方程——几何
3
1 2
A
L1 L3 cos
(3) 本构方程——物理
L1
FN1L1 E1 A1
L3
FN 3L3 E3 A3
L2 L3
L1
（4）联立求解——代数
解法一——力法：a、由几何和物理方程消除位移
FN1L1 FN 3L3 cos
A1
E1 A1
E3 A3
b、此方程与平衡方程是3个方程（含3个力未知量），解得
定,上下两段的面积为 =cm2 ， =cm2，
当温度升至T2=25℃时,求各杆的温度应力
弹性模量E=200GPa，线膨胀系数 =12.5×
a
FN1 解：（1）平衡方程
106 1 C
a
a
Fy FN1 FN 2 0
（2）变形方程
L LT LN 0
FN2
（3）本构方程
LT 2aT ;
LN