高中数学解析几何中求参数取值范围的方法-
解析几何中求参数取值范围的5种常用方法
解析几何中求参数取值范围的5种常用方法解析几何中求参数取值范围的5种常用方法及经典例题详细解析：一、利用曲线方程中变量的范围构造不等式曲线上的点的坐标往往有一定的变化范围，如椭圆 x2a2 + y2b2 = 1上的点P（x，y）满足-a≤x≤a，-b≤y≤b，因而可利用这些范围来构造不等式求解，另外，也常出现题中有多个变量，变量之间有一定的关系，往往需要将要求的参数去表示已知的变量或建立起适当的不等式，再来求解.这是解决变量取值范围常见的策略和方法.例1 已知椭圆 x2a2 + y2b2 = 1 （a>b>0），A，B是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P（x0，0）求证:-a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a分析:先求线段AB的垂直平分线方程，求出x0与A，B横坐标的关系，再利用椭圆上的点A，B满足的范围求解.（x1≠x2）代入椭圆方程，作差得: y2-y1x2-x1 解: 设A，B坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），=-b2a2 •x2+x1 y2+y1又∵线段AB的垂直平分线方程为y- y1+y22 =- x2-x1 y2-y1 （x-x1+x22 ）令y=0得 x0=x1+x22 •a2-b2a2又∵A，B是椭圆x2a2 + y2b2 = 1 上的点∴-a≤x1≤a，-a≤x2≤a，x1≠x2 以及-a≤x1+x22 ≤a∴ -a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a例2 如图，已知△OFQ的面积为S，且OF•FQ=1，若 12 < S <2 ，求向量OF与FQ的夹角θ的取值范围.分析:须通过题中条件建立夹角θ与变量S的关系，利用S的范围解题.解: 依题意有∴tanθ=2S∵12 < S <2 ∴1< tanθ<4又∵0≤θ≤π∴π4 <θ< p>例3对于抛物线y2=4x上任一点Q，点P（a，0）都满足|PQ|≥|a|，则a的取值范围是（）A a<0B a≤2C 0≤a≤2D 0<2< p>分析:直接设Q点坐标，利用题中不等式|PQ|≥|a| 求解.解: 设Q（ y024 ，y0）由|PQ| ≥a得y02+（ y024 -a）2≥a2 即y02（y02+16-8a）≥0∵y02≥0 ∴（y02+16-8a）≥0即a≤2+ y028 恒成立又∵ y02≥0而 2+ y028 最小值为2 ∴a≤2 选（ B ）二、利用判别式构造不等式在解析几何中，直线与曲线之间的位置关系，可以转化为一元二次方程的解的问题，因此可利用判别式来构造不等式求解.例4设抛物线y2 = 8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线L与抛物线有公共点，则直线L的斜率取值范围是（）A [-12 ，12 ]B [-2，2]C [-1，1]D [-4，4]分析:由于直线l与抛物线有公共点，等价于一元二次方程有解，则判别式△≥0解:依题意知Q坐标为（-2，0），则直线L的方程为y = k（x+2）由得 k2x2+（4k2-8）x+4k2 = 0∵直线L与抛物线有公共点∴△≥0 即k2≤1 解得-1≤k≤1 故选（C）例5 直线L: y = kx+1与双曲线C: 2x2-y2 = 1的右支交于不同的两点A、B，求实数k的取值范围.分析:利用直线方程和双曲线方程得到x的一元二次方程，由于直线与右支交于不同两点，则△>0，同时，还需考虑右支上点的横坐标的取值范围来建立关于k的不等式.解：由得（k2-2）x2 +2kx+2 = 0∵直线与双曲线的右支交于不同两点，则解得 -2<-2< p>三、利用点与圆锥曲线的位置关系构造不等式曲线把坐标平面分成三个区域，若点P（x0，y0）与曲线方程f（x，y）=0关系：若P 在曲线上，则f（x0，y0）=0;若P在曲线内，则f（x0，y0）<0;若P在曲线外，则f（x0，y0）>0;可见，平面内曲线与点均满足一定的关系。
【高中数学】解析几何中求参数取值范围的方法
公式五： 利用公式一和公式三可以得到 2π -α 与 α 的三角函数值之间的关系： sin（2π －α ）＝－sinα cos（2π －α ）＝cosα tan（2π －α ）＝－tanα cot（2π －α ）＝－cotα
sin（α ＋β ）＝sinα cosβ ＋cosα sinβ sin（α －β ）＝sinα cosβ －cosα sinβ cos（α ＋β ）＝cosα cosβ －sinα sinβ cos（α －β ）＝cosα cosβ ＋sinα sinβ tan（α ＋β ）＝(tanα +tanβ )／(1-tanα tanβ ) tan（α －β ）＝(tanα －tanβ )／(1＋tanα ²tanβ ) 二倍角公式 二倍角的正弦、余弦和正切公式（升幂缩角公式） sin2α ＝2sinα cosα cos2α ＝cos^2(α )－sin^2(α )＝2cos^2(α )－1＝1－2sin^2(α ) tan2α ＝2tanα /[1－tan^2(α )] 半角公式 半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式） sin^2(α /2)＝(1－cosα )／2 cos^2(α /2)＝(1＋cosα )／2 tan^2(α /2)＝(1－cosα )／(1＋cosα ) 另也有 tan(α /2)=(1－cosα )/sinα =sinα /(1+cosα ) 万能公式 sinα =2tan(α /2)/[1+tan^2(α /2)] cosα =[1-tan^2(α /2)]/[1+tan^2(α /2)] tanα =2tan(α /2)/[1-tan^2(α /2)] 万能公式推导
浅谈解析几何中最值和参数范围问题的求解策略
浅谈解析几何中最值和参数范围问题的求解策略作者：陆爱莲来源：《教育教学科研》2013年第03期作者简介：陆爱莲，2002年毕业于广西师范大学数学教育专业，大学本科学历，理学学士，同年9月至今任教于马山中学，2008年12月获得中学一级教师资格。
积极参加教研教改活动，所撰写的论文多次在省、国家级论文评选中获二、三等奖。
【摘要】：解析几何中的最值和参数范围问题是高中数学的重要内容.其主要特点是综合性强，在解题中几乎处处涉及函数与方程、不等式、三角等内容.因此，在教学中应重视对数学思想、方法进行归纳提炼，如方程思想、函数思想、参数思想、数形结合的思想、对称思想、整体思想等思想方法，达到优化解题思维、简化解题过程的目的.本文通过对一些典型例题的分析和解答，归纳了解析几何中常见的解决最值和参数范围问题的思想方法，总结了解答典型例题的具体规律，并提供了一些常用的解题方法、技能与技巧。
【关键词】：解析几何最值问题参数范围求解策略解析几何中涉及最值和参数范围问题常有求面积、距离最值、参数范围问或与之相关的一些问题；求直线与圆锥曲线中几何元素的最值或与之相关的一些问题。
我们可以从两个方面来研究圆锥曲线的最值和参数范围问题，一方面用代数的方法研究几何，题中涉及较多数字计算与字母运算，对运算及变形的能力要求较高，用代数的方法解决几何；另一方面要善于从曲线的定义、性质等几何的角度思考，利用数形结合的思想解决问题。
一、代数法：借助代数函数求最值和参数取值范围的方法。
运用代数法时，先要建立“目标函数”，然后根据“目标函数”的特点灵活运用求最值。
常用的方法有： 1.配方法。
由于二次曲线的特点，所求“目标函数”的表达式常常和二次函数在某一个闭区间上的最值联系紧密，这时可对二次函数进行配方，并根据顶点的横坐标结合区间的端点确定所求函数的最值。
1、已知菱形ABCD的顶点A，C在椭圆x2+3y2=4上，对角线BD所在直线的斜率为1。
求参数的取值范围(解析几何)
03求参数的取值范围一、基础知识：求参数的取值范围宏观上有两种思路：一个是通过解不等式求解，一个是利用函数，通过解函数的值域求得参数范围1、解不等式：通过题目条件建立关于参数的不等式，从而通过解不等式进行求解。
常见的不等关系如下：（1）圆锥曲线上的点坐标的取值范围① 椭圆（以()222210x y a b a b+=>>为例），则[],x a a ∈-，[],y b b ∈-② 双曲线：（以()22221,0x y a b a b-=>为例），则(],x a ∈-∞-（左支）[),a +∞（右支）y R ∈③ 抛物线：（以()220y px p =>为例，则[)0,x ∈+∞（2）直线与圆锥曲线位置关系：若直线与圆锥曲线有两个公共点，则联立消元后的一元二次方程0∆>（3）点与椭圆（以()222210x y a b a b+=>>为例）位置关系：若点()00,x y 在椭圆内，则2200221x y a b +< （4）题目条件中的不等关系，有时是解决参数取值范围的关键条件2、利用函数关系求得值域：题目中除了所求变量，还存在一个（或两个）辅助变量，通过条件可建立起变量间的等式，进而可将等式变形为所求变量关于辅助变量的函数，确定辅助变量的范围后，则可求解函数的值域，即为参数取值范围（1）一元函数：建立所求变量与某个辅助变量的函数关系，进而将问题转化为求一元函数的值域，常见的函数有：① 二次函数；②“对勾函数”()0ay x a x=+>；③ 反比例函数；④分式函数。
若出现非常规函数，则可考虑通过换元“化归”为常规函数，或者利用导数进行解决。
（2）二元函数：若题目中涉及变量较多，通过代换消元最后得到所求参数与两个变量的表达式，则可通过均值不等式，放缩消元或数形结合进行解决。
3、两种方法的选择与决策：通常与题目所给的条件相关，主要体现在以下几点：（1）若题目中含有某个变量的范围，则可以优先考虑函数的方向，将该变量视为自变量，建立所求变量与自变量的函数关系，进而求得值域 （2）若题目中含有某个表达式的范围（或不等式），一方面可以考虑将表达式视为整体，看能否转为（1）的问题进行处理，或者将该表达式中的项用所求变量进行表示，从而建立起关于该变量的不等式，解不等式即可 二、典型例题：例1：已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，1F 、2F ()3,1.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若12,A A 分别是椭圆长轴的左右端点，Q 为椭圆上动点，设直线1A Q 斜率为，且11,23k ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，求直线2A Q 斜率的取值范围；解：（1）c e a ==::a b c ∴= ∴椭圆方程为：222213x y b b+=代入()3,1可得：24b =22312a b ∴== ∴椭圆方程为：221124x y +=（2）由（1）可得：()()12,A A - 设(),Q x y ，则k =2A Q k22212A Q y k k x ∴⋅==- Q 在椭圆上 ()222211121243x y y x ∴+=⇒=-2221123A Q y k k x ∴⋅==--213A Q k k ∴=- 11,23k ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭12,133k ⎛⎫∴-∈ ⎪⎝⎭即22,13A Q k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭例2：已知椭圆()2222:10xy C a b a b+=>>，其左，右焦点分别是12,F F ，过点1F 的直线l 交椭圆C 于,E G 两点，且2EGF 的周长为 （1）求椭圆C 的方程（2）若过点()2,0M 的直线与椭圆C 相交于两点,A B ，设P 为椭圆上一点，且满足OA OB tOP +=（O 为坐标原点），当25PA PB -<时，求实数t 的取值范围 解：（1）c e a ==::a b c ∴2EGF 的周长4C a a ===1b ∴=，椭圆方程为：2212x y +=（2）设直线AB 的方程为()2y k x =-，()()1122,,,A x y B x y ，(),P x y OA OB tOP += 1212x x txy y ty +=⎧∴⎨+=⎩联立直线与椭圆方程：()()222222212882021y k x k x k x k x y ⎧=-⎪⇒+-+-=⎨+=⎪⎩()()()22228412820k k k ∴∆=-+->，解得：212k <()23121212222884,44212121k k kx x y y k x x k k k k k +=+=+-=-=-+++ ()()222821421k x t k k y t k ⎧=⎪+⎪∴⎨⎪=-⎪+⎩，代入2212x y +=可得：()()2222284222121k k t k t k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭2221612k t k∴=+，由条件25PA PB -<可得：25AB <12AB x ∴-<()()22121220149k x x x x ⎡⎤∴++-<⎣⎦，代入22121222882,2121k k x x x x k k -+==++可得： ()()()222222228822014411413021219k k k k k k k ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥+-⋅<⇒-+> ⎪++⎢⎥⎝⎭⎣⎦214k ∴> 211,42k ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，22221618=16,411232k t k k⎛⎫∴=⋅∈ ⎪+⎝⎭+262,,2t ⎛⎛⎫∴∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭例3：在平面直角坐标系中，已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为2，且在所有（1）求椭圆方程（2）若过点()0,2B 的直线l与椭圆交于不同的两点,E F （E 在,B F 之间），求三角形OBE与三角形OBF 面积比值的范围解：（1）c e a == ::a b c ∴由椭圆性质可得，焦点弦的最小值为22b a=1,b a ∴==∴椭圆方程为2212x y +=（2）设:2l y kx =+，()()1122,,,E x y F x y112211,22OBEOBFSOB x x S OB x x ∴=⋅⋅==⋅⋅= 1122OBE OBF x S xS x x ∴== 联立直线与椭圆方程：()222221286022y kx k x kx x y =+⎧⇒+++=⎨+=⎩ ()()22238241202k k k ∴∆=-+>⇒>12122286,01212k x x x x k k +=-=>++ 12,x x ∴同号 ()()22221212212212832122631212k x x x x k k x x x x k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭∴===++++232k > ()22232321164,1333122k k k ⎛⎫∴=⋅∈ ⎪+⎝⎭+，122116423x x x x <++< 设120x t x =>，所解不等式为：124111612333t t tt t t ⎧++>⇒≠⎪⎪⎨⎪++<⇒<<⎪⎩()121,11,33x x ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，即()1,11,33OBE OBF S S ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭例4：已知椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>，直线:2l y x =+与以原点为圆心，椭圆1C 的短半轴长为半径的圆相切（1）求椭圆1C 的方程（2）设椭圆1C 的左焦点为1F ，右焦点为2F ，直线1l 过点1F 且垂直于椭圆的长轴，动直线2l 垂直于直线1l ，垂足为点P ，线段2PF 的垂直平分线交2l 于点M ，求点M 的轨迹2C 的方程 （3）设2C 与x 轴交于点Q ，不同的两点,R S 在2C上，且满足0QR RS ⋅=，求QS 的取值范围解：（1）c e a a==⇒= :2l y x =+与圆222x y b +=相切，O l d b -∴==b ∴=3a c =，22222b a c c ∴=-=即21c =，解得1c =a ∴，221:132x y C ∴+=（2）由（1）可得1:1l x =- 线段2PF 的垂直平分线交2l 于点2PM MF ∴=，即12M l d MF -=M ∴的轨迹为以2F 为焦点，1l 为准线的抛物线，设为()220y px p =>()21,0F 2p ∴= 22:4C y x ∴=（3）思路：由已知可得()0,0Q ，设221212,,,44y y R y S y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则所求QS 为关于2y 的函数，只需确定2y 的范围即可，因为0QR RS ⋅=，所以有可能对2y 的取值有影响，可利用此条件得到2y 关于1y 的函数，从而求得2y 范围。
解析几何中参数取值范围问题（精）
解析⼏何中参数取值范围问题（精）解析⼏何中参数取值范围问题⼀．学习⽬标：1、掌握求参数取值范围的基本思路与⽅法，会解决⼀些简单的求参数取值问题；2、了解双参数问题的求解思路。
⼆．思想⽅法技巧1．利⽤数形结合思想求解：挖掘参数的⼏何意义，转化为直线斜率、距离等问题求解； 2．通过建⽴参数的不等式求解：（1）利⽤题设中已有的不等关系建⽴不等式；（2）利⽤判别式建⽴不等式（3）利⽤图形特征建⽴不等式 3．双参数问题求解策略：建⽴参数的不等式、⽅程的混合组，通过消元转化为⼀元不等式，或转化为求函数值域问题求解。
4、分类讨论思想的运⽤三．基础训练1．已知两点A （－3，4）．B （3，2），过点P （2，－1）的直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是（）A ．[1,3]-B ．(1,3)-C ．(,1][3,)-∞-?+∞D ．(,1)(3,)-∞-?+∞2．直线y kx =与双曲线221169x y -=不相交，则k 的取值范围是 3．已知直线l 过点），（02-，当直线l 与圆x y x 222=+有两个交点时，其斜率k 的取值范围是（）（A ）），（2222-（B ）），（22-（C ）），（4242-（D ）），（8181-⼆．典型例题1．若直线y=x+b 与曲线21y x -=恰有⼀个公共点,则有b 的取值范围是。
2．双曲线1422=+ky x 的离⼼率为e ，且e ∈(1，2)则k 的范围是________。
3．若直线y x b =+与曲线224(0)x y y +=≥有公共点，则b 的取值范围是（）A ． [2,2]-B ． [0,2]C ．D ． [-4．直线y=kx －2与焦点在x 轴上的椭圆1522=+my x 恒有公共点，求m 的取值范围5．已知椭圆C ：2214x y += 和直线:2l y x m =+，椭圆C 上存在两个不同的点A 、B 关于直线l 对称，求m 的取值范围三．巩固练习1．若平⾯上两点A （-4，1），B （3，-1），直线2+=kx y 与线段AB 恒有公共点，则k 的取值范围是。
解析几何中参数范围问题的求解策略
解析几何中参数范围问题的求解策略解析几何中确定参数的取值范围是一类转为常见的探索性问题，历年高考试题中也常出现此类问题。
很多同学在处理这类问题时无从下手，不知道确定参数范围的函数关系或不等关系从何而来，下面我通过一些实例介绍这类问题形成的几个背景及相应的解法，希望同学们能有所收获。
背景之一：题目所给的条件利用题设条件能沟通所求参数与曲线上点的坐标或曲线的特征参数之间的联系，建立不等式或不等式组求解。
这是求范围问题最显然的一个背景。
例1、椭圆),0(12222为半焦距c b c a by a x >>>=+的焦点为F 1、F 2，点P (x , y )为其上的动点，当∠F 1PF 2为钝角时，点P 的横坐标的取值范围是___。
例2、已知梯形ABCD 中，AB =2CD ，点E 分有向线段AC 所成的比为λ，双曲线过点C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点。
当4332≤≤λ时，求双曲线离心率e 的取值范围。
背景之二：曲线自身的范围圆、椭圆、双曲线及抛物线都有自身的范围，如椭圆a by a x (12222=+>b >0)中，x ,10],,[],,[<<-∈-∈e b b y a a ，利用这些范围是确定参数范围的途径之一。
例3、设点P 到点M (－1，0)、N (1，0)距离之差为2m ，到x 轴、y 轴距离之比为2，求m 的取值范围。
例4、设椭圆1122=++y m x 的两个焦点是F 1(－c , 0)与F 2(c , 0) (c > 0)，且椭圆上存在一点P ，使得直线PF 1与PF 2垂直。
(1)求实数m 的取值范围；(2)设l 相应于焦点F 2的准线，直线PF 2与l 相交于Q ，若32||2-=PF QF ，求直线PF 2的方程。
背景之三：二次方程有解的条件直线和圆锥曲线的关系，是解析几何中最常见的关系，它们联立消元后所得的判别式非负是直线和圆锥曲线有公共点的充要条件；若有限制条件，则还应考虑根的分布情况等，这是确定参数取值范围的一个常见背景。
解析几何中有关参数范围问题的求解策略
ｚ＝ １ ＋ｌ ＋ … ０ １ ＋２ ０．
旦． 凡
或 Ｊ ＝４ ｓ ．
＝丁 １
，
由 公 式 ３ 得 ， ＝
… … 鲁：
一
Ｓ ． ＝ １． １
的通 项 公 式 ．
综 上 ，口 ｔ的 通 项 为 （ ｛ Ｉ ｎ＝ １或 口 ＝ Ｔ ３ ２
一
解 条得 ・ ＝ ） ① 由件 孚 了 （ Ｓ ， 例 ５ ｛ ｝是等差数列 ， ＋口 ＋口ｌ ０， ４ 口 ６＋… ５＝１ ０， ０＋口ｌ ０ 孚孚 ＋ ② 口ｊ＋口２ ＋… ＋口” ＝３ 求 口ｌ Ｉ ＋… ＋口２的值． ２ ６ 解 设 Ａ ＝口 ｊ＋口 ６＋… ＋口５＝ １ 其 中 ＝ Ｉ ０， 出式得 一． 公 ２ ≥＝４亍 ３３ 一３ ③ ５＋６＋… ＋ｌ ；４ ＝口２ ＋… ＋口 ＝３ ， 中 ５． ＋口 ” ０其
Ｓ ＝ （ｎ ４ ）×了 Ｓ ３
，
其中 Ａ＝
Ａ ＋Ａ’ Ａ
ｌ＋Ａ
１． ５ 故 ｌ ｏ＋口Ｉ＋… ＋口０＝ １ Ｉ ２ ５
运用 ＋ ）÷ 相 同． 公式 ３要 注意公式 中互个式 子 中所 含项数 （ ×． （当 孚 ÷ ，＝了２６ １ Ｊ ＾； 时 一 ＋ｎ ）ｓ ＝ ｓ ６ 丁， ｎ２
解析几何中有关参数范 围问题的求解策略
王蓼 中
（ 肃省案 泰县第二 中学 甘 解析几何 Ｌ 的参 数范 围问题 屉一 类 综 合性 强 、 ｆ Ｊ ・
变 量 多 、 及 知 以 广 的 题 目 ， 而 也 是 解 几 中 的 一 涉 因 ．
高考数学解析几何解题技巧
配多少呢，我先配一次给大家看看
新手版：原式 ak 2 (3bk 2 4b)
1
1
( ak 2 3bk 2 4b )2
2
(4k 2 1)2 ab ab
(4k 2 1)2
1 4ab
[(a
3b)k 2 4b]2 (4k 2 1)2
只需系数对应成比例，a 3b 4b ,a 13b 41
• 方法：
• ①设参 ②联立+韦达（秒杀）
• 分类型：
• （i）单参问题：③△>0（秒杀）//解范围1
•
④由题干翻译出另一不等式（运用韦达定理）
•
//考察转换关系（秒杀），解范围2，取交集即可
• （ii）双参问题：
• ③△>0（秒杀）//一道含两个参数的不等式
• ④由题干翻译出一道等式，用于消参
• ⑤代回③得解
• 方法： • ①设参 ②联立+韦达（秒杀） • ③△>0得到一个不等式（秒杀） • //这一步通常没什么用，仅仅用于对消参后得到的式子进行
初步判断....但几乎每道题都会满足△>0，不过既然可以秒杀，浪 费不了多少时间 • ④消参（必定可以因式分解） • ⑤一般得到两个解.....一般利用题干（例如不过顶点等条件）舍去 一解，计算定点即可
套路三：证明直线过定点问题
祭出今年的解析几何大题
20.已知椭圆C：x a
2 2
y2 b2
1(a b 0),四点P1(1,1), P2 (0,1), P3(1,
3 2
),
P4
(1,
3) 2
中恰好有三点在椭圆C上
(1)求C的方程
求参数的取值范围的两种思路
伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍方法集锦求参数的取值范围问题比较常见，常出现在函数、不等式、三角函数、解析几何、解三角形等试题中.解答这类问题的常用技巧有：分离参数和分类讨论.下面主要谈一谈如何运用这两种技巧来求参数的取值范围.一、分离参数分离参数是求参数的取值范围的常用技巧.运用该技巧解题，需先根据题意建立含有参数的关系式；然后对含有参数的关系式进行合理的变形，使参数位于等号或不等号的一侧；最后利用函数的性质、基本不等式、导数法等求得关系式另一侧式子的最值，即可求出参数的取值范围.例1.如果函数f ()x =x 3-b 2x 2+bx +c 在区间[-2,1]上为增函数，求实数b 的取值.解：因为函数f ()x =x 3-b 2x 2+bx +c 在[-2,1]上为增函数，所以对于∀x ∈[-2,1]，都有f ′()x =3x 2-bx +b ≥0,当x =1时，3x 2-bx +b ≥0，当x ∈[-2,1）时，要使3x 2-bx +b ≥0，就需使b ≥3x 2x -1，即b ≥(3x 2x -1)max ，又因为(3x 2x -1)max =0，所以b ≥0，即实数b 的取值范围为[0,+∞).当遇到含参不等式问题时，运用分离参数法求解比较有效，只需将不等式中的参数与变量分离，把含参不等式变成形如a ≥h ()x 或a ≤h ()x 的式子，即可将问题转化为函数最值问题来求解.二、分类讨论由于问题中含有参数，所以往往需要运用分类讨论思想对参数进行分类讨论，以逐步确定参数的取值范围.在运用分类讨论法求参数的取值范围时，要先根据题意确定分类讨论的对象和标准，如根据抛物线的开口方向对二次函数的二次项的系数进行讨论，根据函数的单调性对指数函数的底数进行分类讨论；然后逐层逐级进行讨论；最后综合所得的结果.例2.已知函数f ()x =ln ()x +1-x x +1，若当x ≥0时，f ()x ≤ax 2恒成立，求实数a 的取值范围.解：要使当x ≥0时，ln ()x +1-x x +1≤ax 2恒成立，需使当x ≥0时，ln ()x +1-x x +1-ax 2≤0恒成立，令g ()x =ln ()x +1-x x +1-ax 2，x ≥0，可得g ′()x =x [1-2a (x +1)2](x +1)2.（i ）当a ≤0时，1-2a (x +1)2>0，则g ′()x ≥0，则g ()x 在区间[0,+∞）上单调递增，所以当x >0时，g ()x >g ()0=0，与题意不相符.（ii ）当a ≥12时，2a ≥1，可得(x +1)2≥1，则1-2a (x +1)2≤0，所以g ′()x ≤0，则g ()x 在区间[0,+∞)上单调递减，所以g ()x ≤g ()0=0，满足题意.（iii ）当0<a <12时，1-2a (x +1)2>0，当x ∈(0，12a-1)时，g ′()x >0，所以g ()x 在区间(01)上单调递增，可得g ()x >g ()0=0，与题意不相符合.故实数a 的取值范围为[12,+∞）.因为分离参数后的式子较为复杂，所以本题需采用分类讨论法求解.由于参数a 对函数的单调性和最值影响较大，于是将a 分为a ≤0、a ≥12、0<a <12三种情况，并在每一种情况下讨论函数的单调性；然后根据导函数与函数单调性之间的关系，判断出函数的单调性，求得其最值，就能确定不等式恒成立时a 的取值范围.相比较而言，分类讨论法的适用范围较广，而分离参数法的适用范围较窄，但较为简单.所以在解题时，要首先尝试将参数分离，运用分离参数法求解，若行不通，再考虑运用分类讨论法.（作者单位：江苏省如东县马塘中学）43。
解析几何题型方法归纳(配例题)
解析几何解题方法归纳一．求轨迹方程（常出现在小题或大题第一问）： 1.【待定系数法】（1）已知焦点在x 轴上的椭圆两个顶点的坐标为（4,0±），离心率为12，其方程为 ．2211612x y += 提示：2a c =，且24,2,12a c b =∴==.（2）已知椭圆中心在原点，焦距为2倍，则该椭圆的标准方程是 ．提示：已知2222242,16b a b c a a b c⎧⎧===⎪⎪⇒⇒⇒⎨⎨=-=⎪⎪⎩⎩221164x y +=与221416x y +=为所求. (3)已知双曲线12222=-b y a x 的离心率332=e ，过),0(),0,(b B a A -的直线到原点的距离是.23求双曲线的方程； 解：∵（1）,332=a c 原点到直线AB ：1=-by a x 的距离.3,1.2322==∴==+=a b c ab b a ab d .故所求双曲线方程为 .1322=-y x2. 【定义法】由动点P 向圆221x y +=引两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，60APB ∠=︒，则动点P 的轨迹方程为 ．解：设(,)P x y ，连结OP ,则90,30PAO APO ∠=︒∠=︒, 所以22OP OA ==. 3.【几何性质代数化】与圆2240x y x +-=外切，且与y 轴相切的动圆圆心的轨迹方程是____________．y 2=8x （x >0）或y =0（x <0） 提示：若动圆在y 轴右侧，则动圆圆心到定点（2，0）与到定直线x =－2的距离相等，其轨迹是抛物线；若动圆在y 轴左侧，则动圆圆心轨迹是x 负半轴．4.【相关点法】P 是抛物线2210x y -+=上的动点，点A 的坐标为（0,1-），点M 在直线PA 上，且2PM MA =，则点M 的轨迹方程为解：设点(,)M x y ，由2PM MA =，()3,32P x y ∴+，代入2210x y -+=得22(3)3210x y --+=即218310x y --=5.【参数法】一元二次函数22()(21)1()f x x m x m m R =+++-∈的图象的顶点的轨迹方程是提示：设22(21)1()y x m x m m R =+++-∈顶点坐标为(,)x y ，则22211224(1)(21)544m x m m m y m +⎧=-=--⎪⎪⎨--+⎪==--⎪⎩，消去m ，得顶点的轨迹方程34x y -= 二．常见几何关系转化与常见问题类型 （1）中点问题：韦达定理、点差法变式：A 、B 、C 、D 共线且AB ＝CD 问题，可以转化为共中点问题，或者弦长相等； 例1:已知双曲线中心在原点且一个焦点为F，0），直线1y x =-与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为23-，则此双曲线的方程为 。
浅议解析几何中求参数范围的几种策略
浅议解析几何中求参数范围的几种策略
求参数范围的几种策略包括：
1.特殊点法：寻找几何图形的特殊点，如轴对称的点、对称轴、中心等，并利
用这些点的性质来确定参数的范围。
2.图形的性质法：利用几何图形的性质来确定参数的范围，如利用圆的对称性
可以知道圆心的横纵坐标范围。
3.定义域法：根据参数所在的定义域来确定参数的范围。
4.解不等式法：利用不等式的性质来确定参数的范围。
5.极值法：利用函数的极值来确定参数的范围。
以上策略都可以根据具体的题目来选择使用。
解析几何中参数范围的求法
ｉ Ｆ ｌ＋ ｌ Ｆ ｌ ２ １ ＯＩ ｌ ） ２ ５ ＋ Ｐ Ｐ ＝ （ Ｐ ＋ Ｏｌ ＜ （ Ｆ
性 可 知 Ａ Ｃ 为等 腰 梯 形 ， Ｃ Ｄ关 于 轴 对 称 ， ＢＤ 故 、 依 题 意设 ： ～ｃ ｏ ， （ ，）ｃ ， ）Ｅ ，） Ａ（ ，）Ｂ Ｃ ｏ ， （ ＾ ， （
Ｖ
＼ ／
Ａ。 ／
・
。
。 Ｅ分
所 成 的 比为
仁 （ ２ Ａ 一 ＋ ２ １ ） Ｃ ’
黪 囊 绔
高 考 数 学
双 曲线方程 ～告 ＝１ ａ ，＞ ０ ， （ ＞０ ６ ） 则离 ｎ Ｄ—
Ｃ ｎ
Ｃ、 在 双 曲 线 上 ， Ｅ
个 例 子 谈 谈 这 类 问 题 的 常 用 解决 方 法 ．
一
、
建 立 函 数 关 系求 函数 值 域
利 用 这 种 方 法 求 范 围 时 ， 键 是 寻 找 变 量 间 关 的等 量 关 系 ， 以确 立 函数 解 析 式 、 义 域 ， 而 求 定 进 值域．
４ ８ 倍 数外学习》０８ ６ ２０年 月号中 旬刊
（ 第 ３ 期） 总 １５
＋ 一 ０对 称 的 不 同两 点 ， 实 数 ａ的 取 值 范 围 ． 求
【 析 】 方 法 （ ） 设 两 点 为 Ｐ、 则 直 线 分 一 Ｐ， Ｐ 方程可设为 ｙ Ｐ的 —ｚ＋６且 Ｐ 抛 物 线 有 两 ， Ｐ与
【 １ 已知 梯 形 ＡＢ Ｄ 中 ，ＡＢｌ ＤＩ 例 】 Ｃ Ｉ 一２ ｌ Ｃ ，
点 Ｅ分 有 向线 段
’
所 成 的 比为 ， 曲线 过 点 ｃ、 双
ｏ ０
０
Ｄ、 且 以 Ａ、 为 焦 点． 图 ， ÷ ≤ ｏ时 ， Ｅ， Ｂ 如 当 ≤ 求 其离心率 ｅ 的取 值 范 围 ． 【 】 如 图建 系 ， Ｃ ／ Ｂ及 双 曲线 的 对 称 解 由 Ｄ／Ａ
解析几何中求参数取值范围的5种常用方法
解析几何中求参数取值范围的5种常用方法及经典例题详细解析：一、利用曲线方程中变量的范围构造不等式曲线上的点的坐标往往有一定的变化范围，如椭圆x2a2 + y2b2 = 1上的点P（x，y）满足-a≤x≤a，-b≤y≤b，因而可利用这些范围来构造不等式求解，另外，也常出现题中有多个变量，变量之间有一定的关系，往往需要将要求的参数去表示已知的变量或建立起适当的不等式，再来求解.这是解决变量取值范围常见的策略和方法.例1 已知椭圆x2a2 + y2b2 = 1 （a>b>0），A，B是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P（x0，0）求证:-a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a分析:先求线段AB的垂直平分线方程，求出x0与A，B横坐标的关系，再利用椭圆上的点A，B满足的范围求解.解: 设A，B坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），（x1≠x2）代入椭圆方程，作差得: y2-y1x2-x1 =-b2a2 •x2+x1 y2+y1又∵线段AB的垂直平分线方程为y- y1+y22 =- x2-x1 y2-y1 （x-x1+x22 ）令y=0得x0=x1+x22 •a2-b2a2又∵A，B是椭圆x2a2 + y2b2 = 1 上的点∴-a≤x1≤a，-a≤x2≤a，x1≠x2 以及-a≤x1+x22 ≤a∴ -a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a例2 如图，已知△OFQ的面积为S，且OF•FQ=1，若12 < S <2 ，求向量OF与FQ的夹角θ的取值范围.分析:须通过题中条件建立夹角θ与变量S的关系，利用S的范围解题.解: 依题意有∴tanθ=2S∵12 < S <2 ∴1< tanθ<4又∵0≤θ≤π∴π4 <θ< p>例3对于抛物线y2=4x上任一点Q，点P（a，0）都满足|PQ|≥|a|，则a的取值范围是（）A a<0B a≤2C 0≤a≤2D 0<2< p>分析:直接设Q点坐标，利用题中不等式|PQ|≥|a| 求解.解: 设Q（y024 ，y0）由|PQ| ≥a得y02+（y024 -a）2≥a2 即y02（y02+16-8a）≥0∵y02≥0 ∴（y02+16-8a）≥0即a≤2+ y028 恒成立又∵ y02≥0而2+ y028 最小值为2 ∴a≤2 选（B ）二、利用判别式构造不等式在解析几何中，直线与曲线之间的位置关系，可以转化为一元二次方程的解的问题，因此可利用判别式来构造不等式求解.例4设抛物线y2 = 8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线L与抛物线有公共点，则直线L的斜率取值范围是（）A [-12 ，12 ]B [-2，2]C [-1，1]D [-4，4]分析:由于直线l与抛物线有公共点，等价于一元二次方程有解，则判别式△≥0解:依题意知Q坐标为（-2，0），则直线L的方程为y = k（x+2）由得k2x2+（4k2-8）x+4k2 = 0∵直线L与抛物线有公共点∴△≥0 即k2≤1 解得-1≤k≤1 故选（C）例5 直线L: y = kx+1与双曲线C: 2x2-y2 = 1的右支交于不同的两点A、B，求实数k 的取值范围.分析:利用直线方程和双曲线方程得到x的一元二次方程，由于直线与右支交于不同两点，则△>0，同时，还需考虑右支上点的横坐标的取值范围来建立关于k的不等式.解：由得（k2-2）x2 +2kx+2 = 0∵直线与双曲线的右支交于不同两点，则解得-2<-2< p>三、利用点与圆锥曲线的位置关系构造不等式曲线把坐标平面分成三个区域，若点P（x0，y0）与曲线方程f（x，y）=0关系：若P 在曲线上，则f（x0，y0）=0;若P在曲线内，则f（x0，y0）<0;若P在曲线外，则f（x0，y0）>0;可见，平面内曲线与点均满足一定的关系。
【高考数学】圆锥曲线中求参数范围的六种方法
【高考数学】圆锥曲线中求参数范围的六种方法解析几何中求参数范围或与参数有关的问题，往往是高考的热点之一。
本文总结出六种求解这类问题的思考途径与策略。
一、利用题设条件中的不等关系若题设条件中有不等关系，可直接利用该条件求参数的范围。
例1.双曲线的焦距为2c，直线l过点（a，0）和（0，b），且点（1，0）到直线l的距离与点（－1，0）到直线l的距离之和，求双曲线的离心率e的取值范围。
解析：直线l的方程为，即由点到直线的距离公式，且，得到点（1，0）到直线l的距离同理得到点（－1，0）到直线l的距离由，即于是得即解得由于，所以e的取值范围是[，]。
二、应用判别式建立不等式关系若题设中给出直线（或曲线）与曲线有公共点或无公共点时，可以把直线方程（或曲线方程）与曲线方程联立起来，消去某一个未知数，得到含另一个未知数的一元二次方程，就能利用判别式建立所含参数的不等式。
例2.设，两点在抛物线上，l是AB的垂直平分线。
当直线l的斜率为2时，求直线l在y轴上截距的取值范围。
解析：设直线l在y轴上的截距为b，依题意得l的方程为过点A、B的直线方程可写为由，消y得①即是方程①的两个不同的解，得，且设AB的中点N的坐标为（），则，。
由，于是。
即得直线l 在y 轴上截距的取值范围为。
点评：该题含有两个参数b ，m ，先由直线AB 与抛物线有两个不同的交点，应用判别式求出参数m 的范围，再由题意找出两个参数b ，m 之间的关系式，最后求出参数b 的取值范围。
例3已知中心在原点的双曲线C 的一个焦点是()0,31-F ，一条渐近线的方程是025=-y x ． （Ⅰ）求双曲线C 的方程；（Ⅱ）若以()0≠k k 为斜率的直线l 与双曲线C 相交于两个不同的点M ，N ，且线段MN 的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为281，求k 的取值范围． 解：（Ⅰ）设双曲线C 的方程为22221x y a b-=（0,0a b >>）．由题设得22952a b b a⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得2245a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以双曲线方程为22145x y -=． （Ⅱ）解：设直线l 的方程为y kx m =+（0k ≠）．点11(,)M x y ，22(,)N x y 的坐标满足方程组22145y kx mx y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩将①式代入②式，得22()145x kx m +-=，整理得222(54)84200k x kmx m ----=． 此方程有两个一等实根，于是2504k -≠，且222(8)4(54)(420)0km k m ∆=-+-+>．整理得22540m k +->． ③由根与系数的关系可知线段MN 的中点坐标00(,)x y 满足12024254x x km x k +==-，002554my kx m k =+=-．从而线段MN 的垂直平分线方程为22514()5454m kmy x k k k-=----． 此直线与x 轴，y 轴的交点坐标分别为29(,0)54km k -，29(0,)54mk -．由题设可得2219981||||254542km m k k ⋅=--．整理得222(54)||k m k -=，0k ≠． 将上式代入③式得222(54)540||k k k -+->，整理得22(45)(4||5)0k k k --->，0k ≠． 解得50||k <<或5||4k >． 所以k 的取值范围是5555,)(,0)(0,)(,)44(∞-+--∞U U U ． 三、根据曲线的范围建立不等关系由椭圆的简单几何性质知，椭圆上任一点的横、纵坐标是有界的，通过有界性就可能找到变量间的不等关系。
高中数学必备知识点 解析几何中求参数取值范围的5种常用方法
一、利用曲线方程中变量的范围构造不等式曲线上的点的坐标往往有一定的变化范围，如椭圆 x2a2 + y2b2 = 1上的点P（x，y）满足-a≤x≤a，-b≤y≤b，因而可利用这些范围来构造不等式求解，另外，也常出现题中有多个变量，变量之间有一定的关系，往往需要将要求的参数去表示已知的变量或建立起适当的不等式，再来求解.这是解决变量取值范围常见的策略和方法.例1 已知椭圆 x2a2 + y2b2 = 1 （a>b>0），A，B是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P（x0，0）求证:-a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a分析:先求线段AB的垂直平分线方程，求出x0与A，B横坐标的关系，再利用椭圆上的点A，B满足的范围求解.解: 设A，B坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），（x1≠x2）代入椭圆方程，作差得: y2-y1x2-x1 =-b2a2 •x2+x1 y2+y1又∵线段AB的垂直平分线方程为y- y1+y22 =- x2-x1 y2-y1 （x-x1+x22 ）令y=0得x0=x1+x22 •a2-b2a2又∵A，B是椭圆x2a2 + y2b2 = 1 上的点∴-a≤x1≤a，-a≤x2≤a，x1≠x2 以及-a≤x1+x22 ≤a∴ -a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a例2 如图，已知△OFQ的面积为S，且OF•FQ=1，若 12 < S <2 ，求向量OF与FQ的夹角θ的取值范围.分析:须通过题中条件建立夹角θ与变量S的关系，利用S的范围解题.解: 依题意有∴tanθ=2S∵12 < S <2 ∴1< tanθ<4又∵0≤θ≤π∴π4 <θ< p>例3对于抛物线y2=4x上任一点Q，点P（a，0）都满足|PQ|≥|a|，则a 的取值范围是（）A a<0B a≤2C 0≤a≤2D 0<2< p>分析:直接设Q点坐标，利用题中不等式|PQ|≥|a| 求解.解: 设Q（ y024 ，y0）由|PQ| ≥a得y02+（ y024 -a）2≥a2 即y02（y02+16-8a）≥0∵y02≥0 ∴（y02+16-8a）≥0即a≤2+ y028 恒成立又∵ y02≥0而 2+ y028 最小值为2 ∴a≤2 选（ B ）二、利用判别式构造不等式在解析几何中，直线与曲线之间的位置关系，可以转化为一元二次方程的解的问题，因此可利用判别式来构造不等式求解.例4设抛物线y2 = 8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线L与抛物线有公共点，则直线L的斜率取值范围是（）A [-12 ，12 ]B [-2，2]C [-1，1]D [-4，4]分析:由于直线l与抛物线有公共点，等价于一元二次方程有解，则判别式△≥0解:依题意知Q坐标为（-2，0），则直线L的方程为y = k（x+2）由得 k2x2+（4k2-8）x+4k2 = 0∵直线L与抛物线有公共点∴△≥0 即k2≤1 解得-1≤k≤1 故选（C）例5 直线L: y = kx+1与双曲线C: 2x2-y2 = 1的右支交于不同的两点A、B，求实数k的取值范围.分析:利用直线方程和双曲线方程得到x的一元二次方程，由于直线与右支交于不同两点，则△>0，同时，还需考虑右支上点的横坐标的取值范围来建立关于k的不等式.解：由得（k2-2）x2 +2kx+2 = 0∵直线与双曲线的右支交于不同两点，则解得 -2<-2< p>三、利用点与圆锥曲线的位置关系构造不等式曲线把坐标平面分成三个区域，若点P（x0，y0）与曲线方程f（x，y）=0关系：若P在曲线上，则f（x0，y0）=0;若P在曲线内，则f（x0，y0）<0;若P在曲线外，则f（x0，y0）>0;可见，平面内曲线与点均满足一定的关系。
解析几何中求参数取值范围的方法
解析几何中求参数取值范围的方法作者：罗奕辰来源：《环球市场信息导报》2017年第23期几何中的求解参数取值范围是高中数学学习中需要重点掌握的知识点，这不论是在平常的考试或者是高考中都占有较大的比分值。
本文从数形结合、建立不等式、几何图形的性质以及函数与方程思想四个方面对几何中求参数取值范围进行了一定的分析，以期为广大高中生提供参考。
解析几何在高中的学习知识中，涉及的范围广，且大部分具有难度性，所以学生在学习参数取值这方面的知识有一定的困难性。
这类问题考查的综合知识点强，给解题带来了很多困难。
所通过对几何中参数取值范围的解答进行归纳和总结，找出其中的方法对问题进行解决，从而激发学生的学习思维，掌握解题技巧，提高数学成绩。
数形结合求参数取值范围数与形在一定条件下是可以转化的，这也是数学中比较常见的解题方法。
以这样的方式可以使较为抽象的数学题变得更加浅显易懂，利于我们快速的掌握几何中参数取值范围。
在求解中，其基本思路就是数形的结合，重点把握点、线、面三者的性质和关系。
例如：在F（0）可以转化为3/2*sinθ+1/cosθ+2，所以将F（θ）可看为两个点，分别为A （cosθ，sin θ）和B（-2，-1），且线的斜率是3/2倍，求K的取值范围？解题分析：利用三角函数的解题思路，数形结合的即可进行解答。
首先将A（cosθ，sinθ）看做是一个单位圆，且为单位圆X2+Y2=1上的动点，B（-2，-1）为单位圆外的一点，进行作图即可得出。
如图1所示，得出当K的取值范围在[K BA1，K BA2]，kBA1等于0，假设出直线方程BA2为：y+1=k（x+2），最后结果K的是4/3，且在区域为[0，2]时，K的取值范围为[0，4/3]。
对于数形这类知识点的解答，其基本思路一定要明确已知的条件，从题中的条件和结论出发，运用圆的公式和定理进行表达，画出相符合的图形，最后得出确定的答案。
建立不等式求参数取值范围几何题中出现的不等式称之为几何不等式，可以利用题中设定的不等式关系，根据相关公式运用不等式求参数的取值范围。
谈谈解答解析几何问题的三个办法
解析几何是高中数学中的重要模块，解析几何问题的分值在高考试卷中占比较大.解析几何问题的常见命题形式有：求曲线的方程、求曲线中线段的最值、求参数的取值范围、判断点的存在性等.解析几何问题对同学们的逻辑思维和运算能力有较高的要求.下面介绍三个解答解析几何问题的技巧，以帮助同学们简化问题，提高解题的效率.一、巧用参数法有些解析几何问题较为复杂，涉及了较多的变量，为了便于解题，我们可引入合适的参数，设出相关点的坐标、直线的斜率、方程、曲线的方程等，然后将其代入题设中进行运算、推理，再通过恒等变换，消去参数或求得参数的值，便可求得问题的答案.例1.已知过椭圆C ：x 29+y 2=1左焦点F 1的直线交椭圆于M ,N 两点，设∠F 2F 1M =α(0≤α≤π).当α的值为何时，|MN |为椭圆C 的半长轴、半短轴长的等差中项？解：设过F 1的直线参数方程为：{x =-22+t cos α，y =t sin α，将其代入椭圆方程中可得()1+8sin 2αt 2-()42cos αt-1=0.则t 1+t 2=,t 1t 2=-11+8sin 2α，所以||MN =||t 1-t 2=()t 1+t 22-4t 1t 2=61+8sin 2α=2，可得sin 2α=14，解得α=π6或5π6.要求得|MN |，需知晓直线的方程，于是引入参数t 、α，设出直线MN 的参数方程，然后将其与椭圆的方程联立，构建一元二次方程，根据韦达定理和弦长公式求得|MN |，再根据等差中项的性质建立关系，求得α的值.运用参数法解题，只需引入参数，根据题意建立关系式，这样能有效地降低解题的难度.二、妙用射影性质射影性质是图形经过任何射影对应(变换)都不变的性质.若遇到涉及多条共线线段或平行线段的解析几何问题，我们可以巧妙利用射影性质来解题.首先根据题意画出相应的图形，然后在x 轴或y 轴上画出各条线段的射影，如此便可将问题中线段的长度、数量问题转化为x 轴或y 轴上的点或线段问题，进而简化运算.例2.已知椭圆的方程为x 224+y 216=1，点P 是直线l ：x 12+y 8=1上的任意一点，OP 的延长线交椭圆于点R ，点Q 在OP 上，且||OQ ∙||OP =|OR |2，求点Q 的轨迹方程.解：设P (x p ,y p )，Q (x ,y )，R (x R ,y R )在x 轴上的射影分别为P 0,Q 0,R 0，由||OQ ∙||OP =|OR |2可得x ∙x P =x 2R ，①当点P 不在y 轴上时，设OP :y =kx ，由ìíîïïy =kx ，x 224+y 216=1，可得x 2R =483k 2+2，②由ìíîïïy =kx ，x 12+y 8=1，可得x P =243k +2，③由①②③可得：(x -1)252+(y -1)253=1(y ≠0).当点P 在y 轴上时，Q 点的坐标为(0,2)，满足上式.所以点Q 的轨迹方程为(x -1)252+(y -1)253=1(y ≠0)，该方程表示的是中心为(1,1)，长轴长为10，短轴长为的椭圆(去除原点).找到P 、Q 、R 在x 轴上的射影，利用射影性质得到x ∙x P =x 2R ，然后通过联立方程求得x 、x P 、x 2R ，建立关系式，即可通过消元求得点Q 的轨迹方程.巧妙利用射影性质来解题，能有效简化运算，提升解题的效率.高双云图1思路探寻47探索探索与与研研究究三、建立极坐标系对于一些与线段长度有关的问题，我们可以结合图形的特征，建立极坐标系，通过极坐标运算来求得问题的答案.一般地，可将直角坐标系的原点看作极坐标系的原点，将直角坐标系的x 轴看作极坐标系的极轴，把线段用极坐标表示出来，这样便可将问题简化.以例2为例.图2解：以原点O 为极点，以Ox 轴的正半轴为极轴，建立如图2所示的极坐标系.则椭圆的极坐标方程为：ρ2=482+sin 2θ,直线l 的极坐标方程为：ρ=242cos θ+3sin θ，设P (ρP ,θ),Q (ρ,θ),R (ρR ,θ),因为||OQ ∙||OP =|OR |2，所以ρ∙ρP =ρ2R .即24ρ2cos θ+3sin θ=482+sin 2θ，可得ρ2()2+sin 2θ=4ρcos θ+6ρsin θ，而x =ρcos θ，y =ρsin θ，可得2x 2+3y 2-4x -6y =0(其中x ,y 不同为零),所以点Q 的轨迹是中心为(1,1)，长轴长为10，短轴长为的椭圆(去除原点).建立极坐标系后，分别求出椭圆的极坐标方程和直线的极坐标方程，再根据极坐标方程表示出点P 、Q 、R 的坐标，并根据几何关系||OQ ∙||OP =|OR |2建立关系式，最后将其转化为标准方程即可.运用极坐标法解题，需熟练地将极坐标方程与普通方程进行互化.可见，利用参数法、射影性质、极坐标系法，都能巧妙地简化运算，提升解题的效率.相比较而言，参数法的适用范围较广，另外两个技巧具有一定的限制.同学们在解题时，可根据解题需求，引入参数、画出射影、建立极坐标系，这样便可让解题变得更加高效.本文系江苏省教育科学“十三五”规划2020年度重点自筹课题“新课标下提升高中生数学学习力的实践研究”（课题编号：B-b/2020/02/158）阶段研究成果.（作者单位：江苏省泰兴中学）在教学中，细心的教师会发现，教材中的很多习题具有一定的代表性和探究性，且其解法非常巧妙.对于此类习题，教师可以将其作为重要的教学资源，在课堂教学中引导学生对其进行深入的探究、挖掘，以便学生掌握同一类题目的通性通法，帮助他们提升学习的效率.本文主要对人教A 版选择性必修第二册《一元函数的导数及其应用》的一道课后习题进行了探究.一、对习题及其解法的探究人教A 版选择性必修第二册第99页的第12题：利用函数的单调性，证明下列不等式，并通过函数图象直观验证：（1）e x >1+x ,x ≠0；（2）ln x <x <e x ,x >0.证明:（1）设f (x )=e x -1-x ,∴f ′(x )=e x-1，∴f ′(x )=e x -1=0,∴x =0，∵f ′(x )>0,∴x >0,f ′(x )<0,∴x <0，∴函数f (x )在(0,+∞)为单调递增，在(-∞,0)为单调递减，∴函数在x =0处取得最小值，∴f (x )>f (0)=0，∴f (x )=e x -1-x >0,即e x >1+x .事实上，这个结论经常出现在很多试题中，不少教师在教学中也将该结论列为常用结论，并要求学生加以记忆.于是，笔者引导学生对该结论的背景和几何意义进行推导和探究.引理：（泰勒公式）若函数f (x )在包含x 0的某个区间[a ,b ]上具有n 阶导数，且在开区间(a ,b )上具有n +1阶导数，则对于闭区间[a ,b ]上的任意一点x =x 0，有f (x )=f (x 0)+f '(x 0)1!(x -x 0)+f ''(x 0)2!(x -x 0)2+f '''(x 0)3!(x -x 0)3+⋯+f n (x 0)n !(x -x 0)n +R n (x ).其中，f n (x 0)表示函数f (x )在x 0处的n 阶导数，上式称为函数f (x )在x =x 0处的泰勒公式，R n (x )称为泰勒公式的余项.特别地，当x 0=0时，若f (x )在x =0处n 阶连续可导，则称f (x )=周建韩丹娜48。
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高中数学解析几何中求参数取值范围的方法近几年来，与解析几何有关的参数取值范围的问题经常出现在高考考试中，这类问题不仅涉及知识面广，综合性大，应用性强，而且情景新颖，能很好地考查学生的创新能力和潜在的数学素质，是历年来高考命题的热点和重点。
学生在处理这类问题时，往往抓不住问题关键，无法有效地解答，这类问题求解的关键在于根据题意，构造相关的不等式，然后求出不等式的解。
那么，如何构造不等式呢？本文介绍几种常见的方法：一、利用曲线方程中变量的范围构造不等式曲线上的点的坐标往往有一定的变化范围,如椭圆x2a2 + y2b2 = 1上的点P(x,y)满足-a≤x≤a,-b≤y≤b,因而可利用这些范围来构造不等式求解,另外,也常出现题中有多个变量,变量之间有一定的关系,往往需要将要求的参数去表示已知的变量或建立起适当的不等式,再来求解.这是解决变量取值范围常见的策略和方法.例1 已知椭圆x2a2 + y2b2 = 1 (a>b>0), A,B是椭圆上的两点,线段AB的垂直平分线与x 轴相交于点P(x0 , 0)求证:-a2-b2a ≤x0 ≤a2-b2a分析:先求线段AB的垂直平分线方程,求出x0与A,B横坐标的关系,再利用椭圆上的点A,B 满足的范围求解.解: 设A,B坐标分别为(x1,y1) ,(x2,y2),(x1≠x2)代入椭圆方程,作差得: y2-y1x2-x1 =-b2a2 •x2+x1 y2+y1又∵线段AB的垂直平分线方程为y- y1+y22 =- x2-x1 y2-y1 (x-x1+x22 )令y=0得x0=x1+x22 •a2-b2a2又∵A,B是椭圆x2a2 + y2b2 = 1 上的点∴-a≤x1≤a, -a≤x2≤a, x1≠x2 以及-a≤x1+x22 ≤a∴-a2-b2a ≤x0 ≤a2-b2a例2 如图,已知△OFQ的面积为S,且OF•FQ=1,若12 < S <2 ,求向量OF与FQ的夹角θ的取值范围.分析:须通过题中条件建立夹角θ与变量S的关系,利用S的范围解题.解: 依题意有∴tanθ=2S∵12 < S <2 ∴1< tanθ<4又∵0≤θ≤π∴π4 <θ< p>例3对于抛物线y2=4x上任一点Q,点P(a,0)都满足|PQ|≥|a|,则a的取值范围是( )A a<0B a≤2C 0≤a≤2D 0<2< p>分析:直接设Q点坐标,利用题中不等式|PQ|≥|a| 求解.解: 设Q( y024 ,y0) 由|PQ| ≥a得y02+( y024 -a)2≥a2 即y02(y02+16-8a) ≥0∵y02≥0 ∴(y02+16-8a) ≥0即a≤2+ y028 恒成立又∵y02≥0而2+ y028 最小值为2 ∴a≤2 选( B )二、利用判别式构造不等式在解析几何中,直线与曲线之间的位置关系,可以转化为一元二次方程的解的问题,因此可利用判别式来构造不等式求解.例4设抛物线y2 = 8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线L与抛物线有公共点,则直线L的斜率取值范围是( )A [-12 ,12 ]B [-2,2]C [-1,1]D [-4,4]分析:由于直线l与抛物线有公共点,等价于一元二次方程有解,则判别式△≥0解:依题意知Q坐标为(-2,0) , 则直线L的方程为y = k(x+2)由得k2x2+(4k2-8)x+4k2 = 0∵直线L与抛物线有公共点∴△≥0 即k2≤1 解得-1≤k≤1 故选(C)例5 直线L: y = kx+1与双曲线C: 2x2-y2 = 1的右支交于不同的两点A、B，求实数k的取值范围.分析:利用直线方程和双曲线方程得到x的一元二次方程,由于直线与右支交于不同两点,则△>0,同时,还需考虑右支上点的横坐标的取值范围来建立关于k的不等式.解：由得(k2-2)x2 +2kx+2 = 0∵直线与双曲线的右支交于不同两点，则解得-2<-2< p>三、利用点与圆锥曲线的位置关系构造不等式曲线把坐标平面分成三个区域，若点P(x0,y0)与曲线方程f(x,y)=0关系：若P在曲线上，则f(x0,y0)=0;若P在曲线内，则f(x0,y0)<0;若P在曲线外，则f(x0,y0)>0;可见，平面内曲线与点均满足一定的关系。
故可用这些关系来构造不等式解题.例6已知椭圆2x2 + y2 = a2 (a>0)与连结两点A(1,2)、B(2,3)的线段没有公共点，求实数a 的取值范围.分析:结合点A,B及椭圆位置,可得当AB两点同时在椭圆内或同时在椭圆外时符合条件.解：依题意可知，当A、B同时在椭圆内或椭圆外时满足条件。
当A、B同时在椭圆内，则解得a >17当A、B同时在椭圆外，则解得0<6< p>综上所述，解得0<6 或a>17例7若抛物线y2=4mx (m≠0)的焦点在圆(x-2m)2+(y-1)2=4的内部，求实数m的取值范围.分析:由于焦点(m,0)在圆内部,则把(m,0)代入可得.解：∵抛物线的焦点F(m,0)在圆的内部，∴(m-2m)2+(0-1)2<4 即m2<3又∵m≠0∴-3 <0或0<3< p>四、利用三角函数的有界性构造不等式曲线的参数方程与三角函数有关，因而可利用把曲线方程转化为含有三角函数的方程，后利用三角函数的有界性构造不等式求解。
例8 若椭圆x2+4(y-a)2 = 4与抛物线x2=2y有公共点,求实数a的取值范围.分析: 利用椭圆的参数方程及抛物线方程,得到实数a与参数θ的关系,再利用三角函数的有界性确定a的取值情况.解：设椭圆的参数方程为(θ为参数)代入x2=2y 得4cos2θ= 2(a+sinθ)∴a = 2cos2θ-sinθ=-2(sinθ+ 14 )2+ 178又∵-1≤sinθ≤1，∴-1≤a≤178例9 已知圆C：x2 +(y-1)2= 1上的点P(m,n)，使得不等式m+n+c≥0恒成立，求实数c 的取值范围分析:把圆方程变为参数方程,利用三角函数的有界性,确定m+n的取值情况,再确定c的取值范围.解：∵点P在圆上，∴m = cosβ,n = 1+sinβ(β为参数)∵m+n = cosβ+1+sinβ= 2 sin(β+ π4 )+1∴m+n最小值为1-2 ，∴-(m+n)最大值为2 -1又∵要使得不等式c≥-(m+n) 恒成立∴c≥2 -1五、利用离心率构造不等式我们知道，椭圆离心率e∈(0,1)，抛物线离心率e = 1，双曲线离心率e>1，因而可利用这些特点来构造相关不等式求解.例10已知双曲线x2-3y2 = 3的右焦点为F，右准线为L，直线y=kx+3通过以F为焦点,L 为相应准线的椭圆中心，求实数k的取值范围.分析:由于椭圆中心不在原点,故先设椭圆中心,再找出椭圆中各量的关系,再利用椭圆离心率0<1,建立相关不等式关系求解.< p>解：依题意得F的坐标为(2,0)，L:x = 32设椭圆中心为(m,0)，则m-2 =c和m-32 = a2c两式相除得: m-2m-32 = c2a2 = e2∵0<1，∴0<1,解得m>2，又∵当椭圆中心(m,0)在直线y=kx+3上，∴0 = km+3 ,即m = - 3k ,∴- 3k >2，解得-32 <0< p>上面是处理解析几何中求参数取值范围问题的几种思路和求法，希望通过以上的介绍，能让同学们了解这类问题的常用求法，并能认真体会、理解掌握，在以后的学习过程中能够灵活运用。
华罗庚的退步解题方法我国已故著名的数学家华罗庚爷爷出生在一个摆杂货店的家庭，从小体弱多病，但他凭借自己一股坚强的毅力和崇高的追求，终于成为一代数学宗师。
少年时期的华罗庚就特别爱好数学，但数学成绩并不突出。
19岁那年，一篇出色的文章惊动了当时著名的数学家熊庆来。
从此在熊庆来先生的引导下，走上了研究数学的道路。
晚年为了国家经济建设，把纯粹数学推广应用到工农业生产中，为祖国建设事业奋斗终生！华爷爷悉心栽培年轻一代，让青年数学家茁壮成儿使他们脱颖而出，工作之余还不忘给青多年朋友写一些科普读物。
下面就是华罗庚爷爷曾经介绍给同学们的一个有趣的数学游戏：有位老师，想辨别他的3个学生谁更聪明。
他采用如下的方法：事先准备好3顶白帽子，2顶黑帽子，让他们看到，然后，叫他们闭上眼睛，分别给戴上帽子，藏起剩下的2顶帽子，最后，叫他们睁开眼，看着别人的帽子，说出自己所戴帽子的颜色。
3个学生互相看了看，都踌躇了一会，并异口同声地说出自己戴的是白帽子。
聪明的小读者，想想看，他们是怎么知道帽子颜色的呢？“为了解决上面的伺题，我们先考虑“2人1顶黑帽，2顶白帽”问题。
因为，黑帽只有1顶，我戴了，对方立刻会说自己戴的是白帽。
但他踌躇了一会，可见我戴的是白帽。
这样，“3人2顶黑帽，3顶白帽”的问题也就容易解决了。
假设我戴的是黑帽子，则他们2人就变成“2人1顶黑帽，2顶白帽”问题，他们可以立刻回答出来，但他们都踌躇了一会，这就说明，我戴的是白帽子，3人经过同样的思考，于是，都推出自己戴的是白帽子。
看到这里。
同学们可能会拍手称妙吧。
后来，华爷爷还将原来的问题复杂化，“n个人，n-1顶黑帽子，若干（不少于n）顶白帽子”的问题怎样解决呢？运用同样的方法，便可迎刃而解。
他并告诫我们：复杂的问题要善于“退”，足够地“退”，“退”到最原始而不失去重要性的地方，是学好数学的一个诀窃。