11-4有电介质时的高斯定理
介质的极化和介质中的高斯定理
部电都介产质生内附部加的电总场场E强'。E
E0
E'
E0
'
'
极化电荷所产生的附加电场不足以将介质中的外电
场完全抵消，它只能削弱外电场。称为退极化场。
介质内部的总场强不为零！ 在各向同性均匀电介质中： E
E0
r
r称为相对介电常数或电容率。
3
二、介质中的高斯定理 电位移矢量
1.介质中的高斯定理
d
D2S 0S D1 D2 0 , D2 0
E2
D2
0r
0 0r
11
I区：D1
0,
E1
0 0
0
II区：D2 0 ,
②.求电容C
E2
0 0r
由C q U ab
与 U ab
Ed
高 斯
C q
0S
面
U ab E1(d d ' ) E 2d '
d' 0
D P1 P2
r
d
质中的高斯定理求场强：先根据自由电荷的分布利用 介质中的高斯定理求出电位移矢量的分布，再根据电 位移矢量与场强的关系求出场强的分布。
7
例1：将电荷 q 放置于半径为 R 相对电容率为 r 的介
质球中心，求：I 区、II区的 D、E、 及 U。
解：在介质球内、外各作半径为 r 的
高斯球面。
SD dS q0
荷密度为 0 , 其间插有厚度为 d’ 、电容率为 r 的电介质。
求 ： ①. P1 、P2点的场强E；②.电容器的电容。
解： ①. 过 P1 点作高斯柱面, 左右底面分别经过导体
和 P1 点。
D SD dS q0
有介质时的高斯定理,写出其物理意义
有介质时的高斯定理，写出其物理意义
高斯定理（也称为高斯通量定理）是电磁学中的一个基本定理，描述了电场或磁场通过一个封闭曲面的总通量与在该曲面内部源的大小之间的关系。
具体表达式为：对一个任意形状的封闭曲面，电场或磁场通过该曲面的总通量等于该曲面内部电荷或磁荷的代数和。
物理意义如下：
1. 电场或磁场通过一个封闭曲面的总通量是该曲面内部电荷或磁荷的性质之一，可以帮助我们了解场的发源和分布。
例如，通过测量通过一个闭合曲面的电场通量，可以推断该闭合曲面内部的电荷分布情况。
2. 高斯定理对于计算电场或磁场的分布以及场源的性质具有重要的应用。
通过选取适当的曲面以及利用高斯定理，可以简化计算复杂电场或磁场的过程，提高计算效率。
3. 高斯定理还有与能量和电荷守恒定律的联系。
当封闭曲面内部不存在电荷时，即电荷守恒定律成立时，通过该曲面的电场通量为零。
这可以用来推导电场能量的守恒。
总的来说，高斯定理在电磁学中具有重要的作用，它可以帮助我们理解场的分布、推断电荷或磁荷的性质，并且简化电场或磁场计算的过程。
有电介质时的高斯定理
∬ΣD→ ⋅ dS→ = Q0
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问题分析
εr− 1
由于Q = εr Q0, 真空电容率ε = ε0εr 从而：
def
定义:点位移矢量:D = ε
从而上式简化为:
有电介质时的高斯定理
Q0
∬ΣE→ ⋅ dS→ = ε0εr
∬ ∑ ΣD→ ⋅ dS→ = i=1Q0i
说明:
1. 电位移矢量D→ = ε0εrE→ = εE→ = P→ + ε0E→ 2.公式考虑了极化电荷的影响。
以充满各向同性的电介质平行板电容器为例在正极板与电介质交界处去圆柱体高斯面利用高斯定律有
有电介质时的高斯定理
问题引入：
以充满各向同性的电介质平行板电容器为例，在正极板与电介质交界处去圆柱体高斯面, 利用高斯定律有： 1
∬ΣE→ ⋅ dS→ = ε0 (Q0 − Q′)
其中，Q0表示自由电荷，Q′表示极化电荷。 可见在电介质中计算电场与Q′有关，直接计算很困难。
第四节电介质中的高斯定理
S
由 : q' = − ∫ P ⋅ d S
S
∫ (ε
S
0
E + P ) ⋅ d S = q0
高斯定理可以重新写为：
令 : D = ε0 E + P
则有 : ∫ D ⋅ d S = q0
S
《大学物理》
教师：
胡炳全
2、电位移
D = ε0 E + P
叫电位移。它是一个矢量。它没 有直接的物理意义。
若电介质是线性极化的，则有：
+
-+ E0 -+ D
+
-
+
-
-+
P
+
E’
+
-σ0
+
-
-
-+
《大学物理》
教师：
胡炳全
5、电介质中高斯定理的应用 应用电介质中的高斯定理可以很方便地求解电荷和电 介质都对称分布时的电场的场强。 例题1、如图所示，一个均匀带电球体外有一个电介质球 壳。试求场强分布。 解：如图取高斯面，则有：
∫ D ⋅ d S = ∫ D ⋅ d S cosθ = ∫ D ⋅ dS = D ∫ dS
S S S S
R2 ε Q r R1
= D 4πr = q0
2
Q r3 q0 = Q 3 R1
r > R1 r < R1
Q 4πr 2 D = Qr 4πR13
r > R1 r < R1
《大学物理》 根据
教师：
胡炳全
D =εE
ε 0 , r < R1 ε = ε , R1 < r < R2 ε , r>R 2 0 Qr 4πε R 3 , r < R1 0 Q , R1 < r < R2 E= 2 4πεr Q , r > R2 2 4πε 0 r
电介质的极化和介质中的高斯定理
串联 1 1 1 C C1 C2
C C1C2 C1 C2
0S d1 d2 r1 r2
②.已知 U，求0、E、D。
0
q S
CU S
0SU
S d1 d 2
0U
r1 r2
d1 d2
r1 r2
d1 d2
r1 r2 d
22
E1
Байду номын сангаас
0 0r1
d1
r1
0U
d2
r2
0r1
1）不管是位移极化还是取向极化，其最后的宏观 效果都是产生了极化电荷。
综 2）两种极化都是外场越强，极化越厉害，所产生 述：的分子电矩的矢量和也越大。
3）极化电荷被束缚在介质表面，不能离开电介质 到其它带电体，也不能在电介质内部自由移动。它 不象导体中的自由电荷能用传导方法将其引走。
7
二、极化强度矢量
r
r 称为相对
介电常数或
电容率。
从电学性质看电介质的分子可分为两类：无极分子、
有极分子。
每个分子负电荷对外影响均可等效为 单独一个静止的负电荷 的作用。其大小为 分子中所有负电之和，这个等效负电荷的 作用位置称为分子的“负电作用中心”。
-
3
同样，所有正电荷的作用也可等效一
个静止的正电荷的作用，这个等效正电 荷作用的位置称为“正电作用中心”。
电场 E有如下关系：Pe0E
e 称为电极化率或极化率， 在各向同性线性电介质
中它是一个纯数。
14
D 在均匀0各E 向同P 性介0质E 中P e0E e 0(1 Ee)0E
r0E
r (1e) 称为相对介电常数或电
容率。
在各向同E性介质中D.rE0关称系为：介D 电常数r，0E E
电介质中的高斯定理
电介质中的高斯定理
高斯定理，也称为高斯定律或高斯定律，是电磁学中的一个重要定理，描述了电场在电介质中的性质。
其表达式为：
∮S E · da = Q / ε₀
其中，S表示闭合曲面，E表示电场强度，da表示曲面元素的面积矢量，∮表示对整个闭合曲面求面积分，Q表示闭合曲面内的电荷总量，ε₀表示真空介电常数。
高斯定理的意义是，通过对闭合曲面内的电场强度的面积分，可以得到在该闭合曲面内的电荷总量。
具体来说，如果电场强度在闭合曲面上是均匀的且垂直于曲面，那么由闭合曲面边界形成的面积矢量积分等于该电场强度乘以闭合曲面的面积。
当电场强度不均匀或者不垂直于曲面时，可以把曲面细分为小面元，在每个小面元上计算电场强度和面积矢量的点积，再对所有小面元的点积求和，得到整个曲面上电场强度和面积矢量的积分。
高斯定理的应用非常广泛，它不仅可以用于求解电场强度在特定几何形状的闭合曲面上的面积分，还可以用于确定电场强度分布以及计算电荷的总量等问题。
有电介质时的高斯定理
解：（ 1 ）求 ： D D, E , P 具有球对称性
选过场点与球面同心的 球面为S：r
S内
R
q
r
P
2 D d S D 4 r q 0
S
r
当：r R : 当： r R :
q q
0
0 q0
D=0
E=0
P=0
0
E
(1 r )q0 R P n P 2 4r R 2 (1 r )q0 q 4R R
总结
D分布
球对称 面对称 轴对称
高斯面 同心球面 垂直于板的和中心 面对称的封闭柱面 同轴封闭园柱面
由于导体为等势体:
例：设无限长同轴电缆的芯线半径为R1，外皮 的内半径为R2。芯线与外皮之间充入两层绝缘 的均匀电介质，其相对电容率分别为εr1和εr2。 两层电介质的分界面半径为R，如图。求单位 长度的电容。 解： (1) 先求 ： D R2 εr1 设单位长芯线、外皮 R R1 分别带电λ、-λ εr2 D, E 具有轴对称性 选过场点与电缆同轴的单位长封闭园柱 面为高斯面：r
§9-4 有介质时的高斯定理
一、有介质时的环路定理和高斯定理：
E E0 E
L
有介质时的环路定理：
E d l 0
有介质时的高斯定理：
q内
E d S
S
q
S内
q
S
0
0
q0
1 1 S内 ) ( q0 q内 P dS 0 S内 0 0 S ( E P ) d S q 0 0
D, E , P
40 r r
有介质时的高斯定理
无极分子在电场中, 正负电荷中心会被
拉开一段距离,产生 感应电偶极矩，这
称为位移极化。
无极分子
l
q q
p ql
感应电偶极矩
（2）分子中的正电荷等效中心 与负电荷等效中心 不重合的称为有极分子（如 HCl、H2O、NH3 ）
例如左图的左右表面 上就有极化电荷。
正是这些极化电荷 的电场削弱了电介 质中的电场。
电介质的击穿
当外电场很强时，电介质的正负电中心 有可能进一步被拉开,出现可以自由移动的 电荷,电介质就变为导体了，这称为击穿。
电介质能承受的最大 电场强度称为该电介质 的击穿场强, 或介电强度。
例如. 空气的击穿场强 约 3 kV/mm.
介质中的高斯定理又写为： sD dS q内
… 的高斯定理
即通过任意封闭面的电位移的通量等于 该封闭面所包围的自由电荷的代数和。
说明： 1.它比真空中的E 的高斯定律更普遍,当没有电介质
时, 即r=1, 就过渡到真空中的高斯定律了。
2.如果电场有一定的对称性,我们就可以先从 D 的高
斯定理求出 D 来；然后再求出 来。
实验：插入电介质后，电压变小
U U0
r
Q Q Q Q
r>1……介质的
相对介电常数 （相对电容率）
r 随介质种类和
状
U
为什么插入电介质 会使电场减弱？
1电介质的极化
电介质这类物质中，没有自由电子, 不导电， 但可以极化。 电介质分子可分为有极和无极两类:
有极分子在电场中， 固有电偶极矩会转向 电场的方向，这称为 转向极化。
有电介质时的高斯定理
有电介质时的高斯定理
有电介质时的高斯定理是电学中的一个重要定理，它描述了电场的分布与电荷分布的关系。
此定理的公式表述为：电场穿过一个封闭曲面的通量等于该曲面内部的电荷总量的比例，即ΦE=Q/ε0，其中ΦE为电场的通量，Q为曲面内部的电荷总量，ε0为真空中的电介质常数。
在有电介质时，电场的分布受到电介质的影响。
电介质的存在会使电场强度发生改变，这是因为电介质的分子会被电场极化，从而产生极化电荷。
这些极化电荷会改变电场的分布，使电场在电介质中的强度比在真空中的强度小。
因此，在有电介质时，要考虑电介质对电场的影响，才能准确地计算电荷的分布。
在应用高斯定理时，通常需要选择一个适当的曲面来计算电场的通量。
曲面的选择应当考虑到电荷分布的对称性，以便简化计算。
在有电介质时，曲面的选择也需要考虑到电介质的影响。
如果曲面穿过电介质，那么在计算电荷总量时，需要将电介质中的极化电荷也计算在内。
高斯定理的应用范围很广，包括电场的计算、电容器的设计、电荷分布的测量等。
在电场的计算中，高斯定理可以用来求解各种电场分布，例如电偶极子、均匀带电球面等。
在电容器的设计中，高斯定理可以用来计算电容器的电容量，从而确定电容器的电荷储存能
力。
在电荷分布的测量中，高斯定理可以用来测量电荷的总量，从而确定电荷的分布情况。
有电介质时的高斯定理是电学中的一个重要定理，它描述了电场的分布与电荷分布的关系。
在应用该定理时，需要考虑到电介质的影响，并选择适当的曲面来计算电场的通量。
高斯定理的应用范围很广，包括电场的计算、电容器的设计、电荷分布的测量等。
电介质中高斯定理
1
r r 1 Q Q r 0 0
)
Q Q0 (1
1
)
⑤极化电荷密度 与
E 0 rE
1 0 P ( 1 ) ( r 1 ) 0 0 0E 0 ( r 1 ) 0E 0E
r
r
R2
R1
r
R2
解（1）
R1
d S l D
S
D 2 π rl l
D
E ( R r R ) 1 2 r 2 π rr 0 0
D 2π r
r
R2
R1
( R r R ) （2）由（１）可知 E 1 2 2π 0r r R R d r 2 U E d r ln R 2 π r 2 π 0r R 0 r 1
2.极化电荷与电极化强度之间的关系 （以位移极化为例） 电场中每个分子产生电矩：
++++-
++++-
++++-
++++-
均匀介质
E
++++-
pe ql
单位体积中分子电矩 的矢量和为：
p P V
nql
e
npe
式中 n 为介质中单位体积的分子数。
电极化强度和极化电荷面密度的关系
6 2 P ( ε 1 ) ε E 5 . 89 10 C m r 0 6 2 σ ε E 8 . 85 10 C m 0 00 6 2 σ ' P 5 . 89 10 C m 6 2 D ε ε E ε E σ 8 . 85 10 C m 0 r 0 0 0
有电介质时的高斯定理 电位移
内外筒电势差
U
R1
E
dl
R2
dr ln R2
R2
R1 20 r r
20 r R1
代入得到电场的分0布为： r R1
r ln( R2 / R1)
E
U
R1 r R2 沿半径向里
0 r R2
有电介质时的高斯定理 电位移
由 P 0(r 1)E0得电极r化强度R1矢量的分布
束缚电荷在介质内表面为正，外表面为负。
有电介质时的高斯定理 电位移
例2. 一平板电容器板间为真空时，两极板上所带电荷
的面密度分别为+和-，，电压U0=200V。撤去充 电电源，在板间按图示充以三种介质，介质1充满一
半空间，介质2和3的厚度相同。求介质表面的束缚
电荷。（忽略边缘效应）
解：忽略 边缘效应，板间各
容器两极板的表面相平行）。
有电介质时的高斯定理 电位移
（2）正、负两极板A、B间的电势差为
VA－VB＝E1d1
E2d2
d1
1
d2
2
q S
d1
1
d2
2
q=σS是每一极板上的电荷，这个电容器的电容为
q
S
C VA－VB d1 d 2
1 2
D dS D 2rl
S
0
q0
S内 r
D
R1
1
2rl
q0
S内
2r
D
0
R1 r R2
r R2
有介质时的高斯定理公式
有介质时的高斯定理公式有介质时的高斯定理公式是物理学中的基本定理之一，它描述了电场、重力场等物理场在有介质的情况下的分布规律。
本文将介绍有介质时的高斯定理公式及其应用。
高斯定理公式指出，电场的通量与电荷量成正比，与介质极化强度成反比。
在有介质的情况下，电荷会在介质中引起电极化，从而影响电场的分布。
因此，高斯定理公式在描述有介质中电场分布时变得更加复杂。
在有介质时，高斯定理公式可以表示为：$$ \oint_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{S} = \frac{1}{\epsilon_0}\int_V \rho dV - \oint_S \mathbf{P} \cdot d\mathbf{S} $$其中，S是一个封闭曲面，V是该曲面所围成的空间区域，$\mathbf{E}$表示电场强度，$\rho$表示电荷密度，$\mathbf{P}$表示介质的极化强度，$\epsilon_0$为真空介电常数。
公式右边第一项表示电荷在该区域内总共产生的电场通量，第二项表示介质极化所产生的电场通量。
公式左边的积分表示电场穿过曲面S的总通量。
在应用高斯定理公式时，需要注意几个关键点。
首先，曲面S需要是一个封闭曲面，而不是一个任意的曲面。
其次，积分中包含的介质极化强度需要根据具体情况进行计算。
最后，公式只适用于稳态电场的情况，不适用于变化的电场。
高斯定理公式在物理学中有着广泛的应用，特别是在电学、磁学、地球物理学等领域。
在电学中，高斯定理公式可以用于计算电容器的电容量；在磁学中，可以用于计算磁通量；在地球物理学中，可以用于计算地球重力场分布。
有介质时的高斯定理公式是物理学中一个非常基础和重要的定理，描述了物理场在有介质时的分布规律。
在实际应用中，需要注意公式的条件和具体计算方法，才能得到准确的结果。
电介质的高斯定理
电介质的高斯定理
高斯定理又称为电通量定理，是描述电场分布的一条基本定理，它是高斯定律的一部分。
高斯定理是指在电介质中，通过一个闭合曲面的电通量与该曲面所包围电荷的代数和成正比。
具体而言，电介质的高斯定理可以用如下公式表示：
∮E·dA = Q/ε
其中，∮E·dA表示通过闭合曲面的电场E与面元dA的点积之和，Q表示该闭合曲面所包围的电荷量，ε表示电介质的介电常数。
高斯定理表明，电场通过一个闭合曲面的总电通量与这个曲面所包围的总电荷成正比关系。
通过这个定理，可以方便地计算电场分布及电荷分布之间的关系。
在应用高斯定理时，需要注意以下几点：
1. 选择合适的闭合曲面：闭合曲面可以是球面、柱面、平面等等，具体的选择要根据实际情况来确定。
一般来说，如果电
荷分布比较对称，选择球面作为闭合曲面较为方便。
2. 计算电场通量：通过选择的闭合曲面计算电场与面元的点积之和，即计算∮E·dA。
这一步需要根据具体的电场分布来进行计算，可以利用库仑定律等来求解。
3. 计算电荷量：根据实际情况确定闭合曲面所包围的电荷量Q。
如果已知电荷分布，可以直接计算；如果未知，则需要根据已知的电场分布来进行推导。
4. 确定介电常数：介电常数ε是电介质的一个属性，它反映了电场在电介质中的传播速度和电荷分布的影响程度。
不同的介电常数对应不同的电介质材料，可以通过实验测量或者查找资料获得。
通过以上步骤，可以利用高斯定理计算电场的分布以及与电荷之间的关系。
高斯定理不仅适用于电介质，还可以用于真空中的电场分布计算，只是在真空中介电常数ε的值为真空介电常数ε0。
4介质中的高斯定理
=
Dv
ε
介质中的高斯定理
例 自由电荷面密度为σ0的平行板电容器，其极化电荷面密度
为多少？
解: 由介质中的高斯定理
-+σσ´0
D⋅S =σ0S D = σ0
D +σ´
E = D = σ0
- σ0
ε 0ε r ε 0ε r
σ0 = σ0 −σ′
E0
=
σ0 ε0
E′ = σ′ ε0
E = E0 − E′
介质中的高斯定理
大学物理
静电场中的导体和电介质
第4讲 介质中的高斯定理
介质中的高斯定理
一、有介质时的高斯定理
真空中的高斯定理: 介质中的高斯定理: 以导体平板为例:
∫∫SSEEvv⋅⋅ddSvSv==ε1ε010(∑∑qqii+ ∑ qi′)
∫SPv
⋅
v dS
移出S面
∫=
Pv
⋅
v dS
S′
∫= σ ′dS S′
v P
=
ε
0
v E
∫ ∫ ∫ v D
⋅
v dS
=
ε
S
S
3.
电位移矢量
v D
量是电场强度
v 0E
⋅
v dS
=
∑
qi
v E
⋅
v dS
=
1
S
ε0
是E.v一个辅助量.描写电场的基本物理
∑
qi
介质中的高斯定理
对于各向同性的电介质:
v P
=
χ
eε
0
v E
( ) v
D
=
ε
0
v E
介质中的高斯定理
v E
D
介质中的高斯定理
例 自由电荷面密度为0的平行板电容器，其极化电荷面密度
为多少？
解: 由介质中的高斯定理
-+´0
DS 0S D 0
D +´
E
D
0r
0 0 r
- 0
0 0
E0
0 0
E 0
E E0 E
0 r 0 0
1
1
r
0
E
dS S
++++++
-q - - - - - -
移出S面
qi
留在S面内
介质中的高斯定理
v v E dS
S
1
0
qi
1
0
vv P dS
S
S 0E P dS qi
定义电位移矢量: D 0 E P C m2
介质中的高斯定理: 在任何静电场中，通过任意闭合曲面 的电位移通量等于该曲面所包围的自由电荷的代数和.
D S
dS
qi
说明:
D S
dS
qi
介质中的高斯定理
1. 介质中的高斯定理虽说是从平板电容器这一特例推 导出，但它却有普适性.
2. 介质中的高斯定理包含了真空中的高斯定理.
真空中: P 0 所以: D 0E P 0E
v D dS
S
S 0E dS qi
vv E dS
S
1
0
qi
3. 电位移矢量D 是一个辅助量.描写电场的基本物理
介质中的高斯定理
大学物理
静电场中的导体和电介质
第4讲 介质中的高斯定理
介质中的高斯定理
有电介质的高斯定理
有电介质的高斯定理好的，那我们就开始聊聊有电介质的高斯定理吧。
电介质的高斯定理啊，听起来就很厉害的样子呢。
其实啊，它就像是一个超级智慧的小管家，管理着电场在电介质中的那些事儿。
你想啊，电场这个东西本来就很神秘，看不见摸不着的，就像一个调皮的小精灵到处乱窜。
但是有了这个高斯定理呢，就好像给这个小精灵套上了一个小缰绳，能让我们更好地去把握它。
在电介质里啊，电荷可不像在真空中那么自由自在了。
电介质会对电场产生影响，就像是给电场设置了一些小障碍一样。
而高斯定理呢，它就像一个聪明的侦探，能透过这些复杂的情况，找到电场和电荷之间的关系。
比如说吧，当有个电介质放在电场里的时候，电介质里的分子会被电场影响，它们会发生极化现象。
这极化就像一群小士兵，被电场这个将军指挥着，重新排列队形。
那高斯定理是怎么做到看透这一切的呢？它通过巧妙地选择一个高斯面，就像在电介质的世界里圈出了一块特殊的领地。
然后呢，根据穿过这个高斯面的电通量，就能知道这个领地里面电荷的情况啦。
这电通量就像是经过这个领地边界的某种流量一样，它能告诉我们很多秘密哦。
你要是把电场想象成水流，那电介质就像是水里的一些小障碍物，会让水流改变方向。
而高斯定理就是那个能算出水流到底是怎么变化的神奇法则。
而且啊，这个定理不仅仅是个干巴巴的公式，它背后有着很多有趣的物理故事呢。
就像每一个科学发现都是人类探索未知的小冒险一样，这个定理的诞生也是科学家们不断思考、不断实验的成果。
理解电介质的高斯定理其实也不是特别难啦，只要你愿意去想象，把那些抽象的东西变成生活中的场景，就像我们刚刚说的小精灵、小士兵、水流这些。
这样的话，这个定理就不再是高高在上、让人望而生畏的东西了，而是像一个可爱的小伙伴，可以跟我们愉快地聊天，告诉我们电介质和电场之间那些有趣的互动呢。
你看，科学有时候就是这么有趣，只要我们换个角度去看，那些看似枯燥的定理也能变得生动起来，就像电介质的高斯定理一样，充满了魅力。
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(2) 说明:
1)有介质存在时的高斯定理是静电场的更 普遍、更一般的规律，它包括了真空的情形. 2)此时的高斯定理中不出现 q ,因而在 q 0 的分 布具有一定的对称性时，可由 q 0 求出 D 、 等量. E
3)高斯面上任一点的 D
q 与空间所有的 q 、 0 的分
' '
布有关，不能认为仅由面内的 q 0 决定。
§10.4 电位移矢量
有介质存在时的高斯定理
1.有介质存在时的高斯定理
(1) 推导: 有电介质时应同时考虑自由电荷和束缚电荷.则有
1 E dS
S
0
(q
S内
0
q)
++++++++++++
S
以平板电容器为例 根据真空中的高斯定理，有
----------------
有因为
在球外以r为半径作一个与带电金属球同心的球面 为高斯面，如图所示。 根据高斯定理
D dS
S
q
内
0
D 4 r
所以
D q0 4 r
2
q0
故球外任一点处的电场强度为
2
又因为
D E r 0 E
E
q0 4 r
2
q0 4 r 0 r
2
（3）有电介质存在时，应用高斯定理解题的一般思路：
1)分析自由电荷q0 分布的对称性，选择适当的闭合曲面，应用 高斯定理求出电位移矢量 D 。 2)根据电位移矢量 D与场强E 的关系，求出场强E 。
例11.4.1 一半径为R的金属球带有电荷量为 q 0 的自由电荷，该 金属球周围是均匀无限大的电介质（相对电容率为 r ），求球 外任意一点处的电场强度。
S
1 E 0 dS
E0
0
Q
内
0Hale Waihona Puke E r代入
S
1 r E dS
0
Q
内
0
定义：电位移矢量
D r 0E
代入后可得到有介质存在时的高斯定理:
即
D dS
S
q
S内
0
通过任一闭合曲面的电位移通量等于包围在该曲面 内自由电荷的代数和.