共轭梯度实验报告
共轭梯度法实验报告
共轭梯度法实验报告
实验报告：共轭梯度法
引言：
实验目的：
1.了解共轭梯度法的基本原理和步骤；
2.掌握共轭梯度法的具体实现方法；
3.比较共轭梯度法和其他方法的解的精确度和收敛速度；
4.验证共轭梯度法在求解大规模线性方程组中的优势。
实验步骤：
1.阐述共轭梯度法的原理和步骤；
2.设定一个线性方程组，并使用共轭梯度法进行求解；
3.通过计算实验结果与理论结果的误差，评估共轭梯度法的精确度；
4.将共轭梯度法与其他迭代方法进行对比，分析其收敛速度；
5.设定一个大规模的线性方程组，比较共轭梯度法在求解大规模方程组时的性能。
实验结果与分析：
根据实验步骤中的设定，实验结果显示，共轭梯度法成功求解了所设定的线性方程组，并且与理论结果的误差很小，说明共轭梯度法的精确度很高。
此外，将共轭梯度法与其他迭代方法进行对比发现，共轭梯度法的
收敛速度相对较快，需要的迭代次数较少。
在求解大规模线性方程组时，共轭梯度法表现出了较大的优势，可以显著减少计算时间。
结论：
共轭梯度法是一种求解线性方程组的高效方法，其精确度和收敛速度优于其他迭代方法。
在实际应用中，共轭梯度法可以被广泛应用于求解大规模的线性方程组，提高计算效率。
值得指出的是，共轭梯度法在求解非对称方程组时效果不佳，需要使用相关的改进方法来解决。
因此，在实际使用共轭梯度法时，需根据方程组的特点来选择合适的方法。
2. Saad Y. Iterative methods for sparse linear systems [M]. SIAM, 200
3.。
新的共轭梯度法和谱梯度法的研究的开题报告
新的共轭梯度法和谱梯度法的研究的开题报告题目：新的共轭梯度法和谱梯度法的研究背景和意义：共轭梯度法和谱梯度法是目前求解大规模稀疏线性方程组常用的方法之一，在科学计算、信号处理等领域有着广泛的应用。
然而，传统的共轭梯度法和谱梯度法在某些情况下会出现迭代次数较多，收敛速度较慢的问题。
因此，发展新的改进算法，提高求解效率，对于优化科学计算和信号处理的效率有着重要的意义。
研究内容：本研究旨在探索新的共轭梯度法和谱梯度法，改进传统算法中存在的不足之处，提高求解效率和收敛速度。
具体研究内容包括：1. 对传统的共轭梯度法和谱梯度法进行分析，探讨其存在的不足之处；2. 探索新的共轭梯度法和谱梯度法，提出改进算法，在算法收敛速度和迭代次数等方面进行优化；3. 利用数值实验对改进算法进行验证，与传统算法进行对比，并分析其优劣之处。
研究方法：本研究将采用数值分析方法，结合数值实验进行算法验证。
具体研究方法包括：1. 对传统的共轭梯度法和谱梯度法进行理论分析和数值模拟，探讨其收敛速度和迭代次数的问题；2. 基于理论分析和数值模拟结果，提出改进算法，并进行数值实验验证；3. 对改进算法和传统算法进行对比分析，评估其优劣之处。
预期成果：本研究将提出新的改进算法，提高共轭梯度法和谱梯度法的求解效率和收敛速度。
并将通过数值实验对改进算法进行验证，进一步说明其优劣之处。
预期成果包括：1. 提出改进算法，并详细说明算法原理和实现步骤；2. 完成数值实验，并比较改进算法和传统算法在迭代次数、收敛速度等方面的表现；3. 分析改进算法的优劣之处，说明该算法应用于稀疏线性方程组求解的实际效果。
预期进度安排：第一阶段：熟悉共轭梯度法和谱梯度法，对其进行理论分析和数值模拟，探讨存在的问题（2个月）。
第二阶段：根据前期研究结果，提出改进算法，并对算法进行分析和数值实验验证（4个月）。
第三阶段：对改进算法和传统算法进行对比分析，评估其优劣之处，并总结研究成果（2个月）。
梯度算法的实验报告(3篇)
第1篇一、实验目的1. 理解梯度算法的基本原理和适用场景。
2. 掌握梯度算法的编程实现。
3. 分析梯度算法在不同问题上的性能表现。
二、实验内容本次实验主要研究了梯度算法在求解凸优化问题和非线性优化问题中的应用。
实验内容包括：1. 梯度算法的基本原理和公式推导。
2. 梯度算法的编程实现。
3. 实验数据及实验结果分析。
三、实验原理1. 梯度算法的基本原理梯度算法是一种优化算法，用于求解凸优化问题和非线性优化问题。
其基本思想是：在当前点附近，沿目标函数梯度的反方向进行搜索，以寻找目标函数的最优解。
2. 梯度算法的公式推导假设目标函数为 f(x)，其中 x 是 n 维向量，梯度 g(x) 表示目标函数在 x 点的梯度。
梯度算法的迭代公式如下：x_{k+1} = x_k - α g(x_k)其中，α 为学习率，控制搜索步长。
四、实验环境1. 操作系统：Windows 102. 编程语言：Python3. 库：NumPy、SciPy、Matplotlib五、实验数据1. 凸优化问题：f(x) = (x - 2)^2 + (y - 3)^22. 非线性优化问题：f(x) = sin(x) + cos(y)六、实验步骤1. 编写梯度算法的 Python 代码。
2. 运行代码，求解凸优化问题和非线性优化问题。
3. 分析实验结果，比较不同学习率对算法性能的影响。
七、实验结果与分析1. 梯度算法在凸优化问题上的表现实验结果显示，梯度算法在求解凸优化问题时具有较高的收敛速度和精度。
随着迭代次数的增加，目标函数值逐渐减小，最终收敛到最优解。
2. 梯度算法在非线性优化问题上的表现实验结果显示，梯度算法在求解非线性优化问题时也具有较好的收敛性能。
然而，由于目标函数的非线性特性，算法的收敛速度相对较慢。
3. 学习率对算法性能的影响实验结果表明，学习率对梯度算法的性能有显著影响。
当学习率过大时，算法可能会越过最优解；当学习率过小时，算法的收敛速度会变慢。
《共轭梯度法在信号恢复问题中的应用》范文
《共轭梯度法在信号恢复问题中的应用》篇一一、引言在信号处理领域，信号恢复是一个重要的研究方向。
由于各种噪声和干扰的影响，接收到的信号往往存在失真和缺失。
如何有效地从失真和缺失的信号中恢复出原始信号，成为了信号处理领域的研究热点。
共轭梯度法作为一种有效的迭代优化算法，被广泛应用于信号恢复问题中。
本文将介绍共轭梯度法在信号恢复问题中的应用，并分析其优势和不足。
二、共轭梯度法概述共轭梯度法是一种迭代优化算法，用于求解线性方程组或最小二乘问题。
它通过利用共轭性质，加快了收敛速度，减少了计算量。
共轭梯度法的基本思想是在每次迭代过程中，根据当前解的残差和梯度信息，构造一个新的搜索方向，使得新的搜索方向与之前的搜索方向共轭。
这样，可以在较少的迭代次数内得到较高的精度。
三、共轭梯度法在信号恢复问题中的应用信号恢复问题通常可以转化为一个优化问题，即寻找一种方式使得恢复出的信号与原始信号之间的误差最小。
共轭梯度法可以有效地应用于这类问题。
在信号恢复中，共轭梯度法通过不断调整信号的参数，使得恢复出的信号与接收到的失真信号之间的误差最小。
具体来说，共轭梯度法在每次迭代过程中，根据当前的解和残差信息，计算出一个搜索方向，然后在这个方向上调整参数，使得目标函数（即误差函数）的值不断减小。
通过多次迭代，最终得到一个近似于原始信号的恢复信号。
四、共轭梯度法的优势共轭梯度法在信号恢复问题中具有以下优势：1. 收敛速度快：共轭梯度法利用了共轭性质，可以在较少的迭代次数内得到较高的精度。
这使得共轭梯度法在处理大规模信号恢复问题时具有较高的效率。
2. 适用范围广：共轭梯度法可以应用于各种类型的信号恢复问题，包括线性信号恢复和非线性信号恢复。
3. 计算量小：共轭梯度法在每次迭代过程中只需要计算一个搜索方向和一个步长，因此计算量相对较小。
五、共轭梯度法的不足尽管共轭梯度法在信号恢复问题中具有诸多优势，但也存在一些不足：1. 对初始解的敏感性：共轭梯度法的收敛速度和精度受到初始解的影响较大。
数学实验线性方程组最速下降法与共轭梯度法解法实验报告范文内含matlab程序代码_
数学实验线性方程组最速下降法与共轭梯度法解法实验报告范文内含matlab程序代码_西京学院数学软件实验任务书课程名称数学软件实验班级数0901For学号07姓名实验课题线性方程组的最速下降法与共轭梯度法Forperonalueonlyintudyandreearch;notfor实验目的熟悉线性方程组的最速下降法与共轭梯度法实验要求等其中Matlab/C/C++/Java/Maple/Mathematica运用一种语言完成实验内容线性方程组的最速下降法线性方程组的共轭梯度法成绩教师实验五实验报告一、实验名称：最速下降法与共轭梯度法解线性方程组。
二、实验目的：进一步熟悉理解掌握最速下降法与共轭梯度法解法思路，提高matlab编程能力。
三、实验要求：已知线性方程矩阵，应用最速下降与共轭梯度法在相关软件编程求解线性方程组的解。
四、实验原理：1．最速下降法：从某个初始点出发，沿在点处的负梯度方向)(0)(0某某)(某f)0)((0)(0A某)f(某br求得的极小值点,即)(1某)某f()(0(0))rfmin(某0然后从出发，重复上面的过程得到。
如此下去，))2((1某某得到序列{}为A的最小,最大特征值。
最速下降法迭代格式：给定初值，)0(某按如下方法决定：)(k某(k)k(k)A某)f(某rb(k)T(k)r,r(k1)(k)(k)r某某kk(k)T)(k,Arr2．共轭梯度法其基本步骤是在点处选取搜索方向,使其与前)(k)k(d某一次的搜索方向关于共轭，即)1(kdA1)(k1)(k)(k0dd,Ad然后从点出发，沿方向求得的极小值点)(k)k(d某)(某f,即)(k1某)k((k1))f(某(某d)minf0如此下去,得到序列{}。
不难求得的)1k(k)()(k0Ad,d某解为)1k(k)((k)d)df(某1k由共轭的定义可得：)1(k)k(0Ad,d(k)(k1),rAd1k(k1)(k1)d,Ad共轭梯度法的计算过程如下：第一步：取初始向量,计算)(0某(0)(0)(0)(0)某Abf(某dr)(0)(0),Adr0(0)(0)d,Ad(1)(0)(0)d某某0第步：计算1k(k)(k)(k)某A)rbf(某(k)(k1)r,Adk1(k1)(k1),dAd)1(k)(k)k(ddr1k(k)(k)r,Adk(k)(k),Add(k1 )(k)(k)d某某0五、实验内容：%最速下降法function[某,k]=fatet(A,b,ep);某0=zero(ize(b),1);某=某0;k=0;m=1000;tol=1;whiletol>=epr=b-A某某0;q=dot(r,r)/dot(A某r,r);某=某0+q某r;k=k+1;tol=norm(某-某0);某0=某;ifk>=mdip('迭代次数太多，可能不收敛！'); ;returnendend某k%共轭梯度法function[k,某]=gong_e(A,b)ep=input('请输入允许误差ep=');某0=input('请输入初始值某0=');k=0;r0=b-A某某0;%求出dangqian梯度whilenorm(r0)>epr0=b-A某某0;k=k+1;ifk==1p0=r0;elelamda=(r0'某r0)/(p0'某A某p0);r1=r0-lamda某A某p0;p0=r0+(r0'某r0)/(r1'某r1)某p0;某1=某0+lamda某p0;某0=某1;r0=r1;endend某=r0;k;end六、实验结果：A=[520;641;125];b=[1018-14]';ep=1.0e-6;某=-0.87507.1875-5.5000k=60仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。
共轭梯度实验报告
共轭梯度实验报告共轭梯度实验报告引言：共轭梯度是一种常用的优化算法，广泛应用于数值计算和机器学习等领域。
本实验旨在探究共轭梯度算法的原理和应用，并通过实验验证其在解决线性方程组和最小二乘问题中的有效性和优越性。
一、共轭梯度算法的原理共轭梯度算法是一种迭代法，用于求解对称正定矩阵的线性方程组。
其基本思想是通过选择一组互相共轭的搜索方向，以最小化目标函数的二次型形式。
共轭梯度算法的核心步骤包括初始化、计算搜索方向、计算步长和更新解向量等。
二、共轭梯度算法在线性方程组求解中的应用共轭梯度算法在求解线性方程组方面具有独特的优势。
相比于传统的直接求解方法，共轭梯度算法不需要存储整个矩阵，仅需存储向量和少量中间变量，节省了内存空间。
同时，共轭梯度算法具有较快的收敛速度，能够在有限的迭代次数内得到较精确的解。
三、共轭梯度算法在最小二乘问题中的应用最小二乘问题是一类常见的优化问题，广泛应用于数据拟合和参数估计等领域。
共轭梯度算法在最小二乘问题中的应用主要体现在正规方程法和QR分解法的改进上。
通过共轭梯度算法，可以有效地求解最小二乘问题，得到更准确的拟合结果。
四、实验设计与结果分析本实验选择了一组线性方程组和最小二乘问题进行测试，分别使用共轭梯度算法和传统直接求解方法进行比较。
实验结果表明，共轭梯度算法在求解线性方程组和最小二乘问题时，具有更快的收敛速度和更高的精度。
尤其在大规模问题上，共轭梯度算法的优势更加明显。
结论：共轭梯度算法是一种有效的优化算法，适用于求解对称正定矩阵的线性方程组和最小二乘问题。
通过选择互相共轭的搜索方向，共轭梯度算法能够在有限的迭代次数内得到较精确的解。
在实际应用中，共轭梯度算法具有较快的收敛速度和较高的精度，是一种值得推广和应用的算法。
总结：通过本次实验，我们深入了解了共轭梯度算法的原理和应用，并通过实验验证了其在线性方程组和最小二乘问题中的有效性和优越性。
共轭梯度算法作为一种常用的优化算法，在数值计算和机器学习等领域具有广泛的应用前景。
计算方法(A)上机实验2015
计算方法(A) 上机实验报告一、共轭梯度法求解线型方程组 1.算法原理共轭梯度法求解关键在于搜索方向与步长，其思路是在点)(k X 处选取搜索方向)(k d , 使其与前一次的搜索方向)1(-k d 关于A 共轭，即(1)()(1),0k k k d d Ad --<>=然后从点)(k X 出发，沿方向)(k d 求得)(X f 的极小值点)1(+k X , 即)(min )()()(0)1(k d X f X f k k λλ+=>+)()1()1()()()()1(,,k k k k k k k d Ad d d AX b XX><>-<+=--+ 注意到)(k d 的选取不唯一，我们可取)1(1)()()(--+-∇=k k k k d X f d β由共轭的定义0,)1()(>=<-k k Add 可得：><><-=----)1()1()1()(1,,k k k k k Ad d Ad r β 共轭梯度法的计算过程如下： 第一步：取初始向量)0(X , 计算⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=><><-=-=-∇==(0)0(0)(1))0()0()0()0(0(0)(0)(0)(0)d X X ,,X )X (r d λλAd d Ad r A b f 第1+k 步：计算⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧+=><><-=+=><><-=-=-∇=+------(k)0(k)1)(k )()()()()1(1(k))()1()1()1()(1(k)(k)(k)d X X ,,r ,,X )X (r λλββk k k k k k k k k k k k k Ad d Ad r d d Ad d Adr A b f2. 程序框图3. 程序说明及算例程序为matlab 中的自定义函数文件，求解时调用即可，如C_gradient（[],x0,esp ）,其中矩阵为增广矩阵，迭代初值x0及精度esp 为选择性输入。
共轭梯度法的C实现
西安交通大学实验报告课程名称：数值分析上机实验实验名称：共轭梯度法学院：___数学学院______________________ 班级姓名：学号：实验日期 2015 年 05 月 26 日自评成绩：97一、实验目的(1)熟练掌握改进平方根法和共轭梯度法的迭代过程(2)尝试使用自己熟悉的计算机语言解决数学中的问题(3)通过上机实验来巩固课本中所学的知识二、实验内容与结果题目2：共轭梯度法源程序2#include <iostream>using namespace std;double f1(double a[10],double n)//构造第一个求和函数，简化主函数{double s=0;int i;for(i=0;i<n;i++){s=s+a[i]*a[i];}return s;}double f2(double r[10],double a[10][10],int n)//构造第二个求和函数，简化主函数{double b[10],m=0;int i,j;for(i=0;i<n;i++){double s=0;for(j=0;j<n;j++){s=s+r[j]*a[j][i];}b[i]=s;}for(i=0;i<n;i++){m=m+b[i]*r[i];}return m;}double *f3(double a[10][10],double b[10],int n)//构造输出列向量的函数{double *r;r=new double[10];int i,j;for(i=0;i<n;i++){double s=0;for(j=0;j<n;j++){s=s+a[i][j]*b[j];}r[i]=s;}return r;}int main(){int i,j,k,n;double a,b,e,A[10][10],B[10],r[10],r1[10],x[10],d[10];double *ax;cout<<"请输入未知数的个数和计算精度："<<endl; cin>>n>>e;cout<<"请输入起始向量"<<endl;for(i=0;i<n;i++){cin>>x[i];}cout<<"请输入右端项： "<<endl;for(i=0;i<n;i++){cin>>B[i];}cout<<"请输入矩阵： "<<endl;for(i=0;i<n;i++){for(j=0;j<n;j++){cin>>A[i][j];}}ax=f3(A,x,n);for(i=0;i<n;i++) {r[i]=B[i]-ax[i];d[i]=r[i];}if(sqrt(f1(r,n))<=e) {for(i=0;i<n;i++) {cout<<x[i]<<'\t';}}else{for(k=0;k<n;k++){a=f1(r,n)/f2(d,A,n);for(i=0;i<n;i++){x[i]=x[i]+a*d[i];}ax=f3(A,x,n);for(i=0;i<n;i++){r1[i]=B[i]-ax[i];}if(sqrt(f1(r1,n))<=e||k+1==n) {for(i=0;i<n;i++){cout<<"x["<<i<<"]="<<x[i]<<'\n'; }break;}else{b=f1(r1,n)/f1(r,n);for(i=0;i<n;i++){d[i]=r1[i]+b*d[i];r[i]=r1[i];}}}}return 0;}运行结果2三、实验总结（列出实验的结论、收获和存在的问题，必写）通过这次实验，我对简化平方根法和共轭梯度法的计算过程和迭代格式有了熟练地掌握，让我学习到了很多，同时也是一个复习的过程。
最速下降法与共轭梯度法实验
x1=a;x2=b;
Q=fsxhesse(f,x1,x2);
x0=[x1 x2]';
fx1=diff(f,'x1'); %对x1求偏导数
fx2=diff(f,'x2'); %对x2求偏导数
g=[fx1 fx2]'; %梯度
g1=subs(g); %把符号变量转为数值
a(i)=-(d(:,i)'*g1(:,i))/(d(:,i)'*G*d(:,i));
X(:,i+1)=X(:,i)+a(i)*d(:,i);
g1=[g1 subs(subs(g,x1,X(1,i+1)),x2,X(2,i+1))];
m=norm(g1(:,i+1));
i=i+1;
end
case 'WYL'
i=i+1;
end
case 'DY'
while m>=e
k(i-1)=g1(:,i)'*g1(:,i)/(d(:,i-1)'*(g1(:,i)-g1(:,i-1)));
d(:,i)=-g1(:,i)+k(i-1)*d(:,i-1);
a(i)=-(d(:,i)'*g1(:,i))/(d(:,i)'*G*d(:,i));
fxx=subs(fxx); %将符号变量转化为数值
fxy=subs(fxy);
fyx=subs(fyx);
fyy=subs(fyy);
x=[fxx,fxy;fyx,fyy]; %求hesse矩阵
运行函数
syms x1 x2;
共轭梯度法,dfp bfgs实验的心得体会
共轭梯度法,dfp bfgs实验的心得体会共轭梯度法， dfp bfgs 实验的心得体会在学习了 dfpb lg 几个实验之后，我发现 dfpb lg 实验结果与理想气体的规律并不完全符合。
而反映实际情况更加复杂，但是本着这样一种思路，即理想化只能给出定性的结论，所以通过分析实验结果，从多方面来进行讨论，希望可以给大家提供一些新的认识。
这就是我的共轭梯度法与 dfp bfgs 实验相结合的初衷。
dfpb lg 实验主要是利用空间位置和速度分布两个参量来描述系统，而在这两者中最重要的则是速度分布。
因此为了确保在观察时可以真正做到这点，使用单个分子或原子来代替整个分子来测试非常有必要。
1、选择研究对象：由于粒子数不同的原因，相同的实验中往往会采用一些不同的物质来替代对应分子或者分子团。
这也就引起了整个实验结果的差异，由此也影响到了这个实验在其他方面的应用。
因此本实验应该首先选取体积较小的物质作为研究对象。
这样既能比较清楚地反映系统内部的动态变化，又不会影响整个系统的热力学状态，这是最佳的选择。
而考虑到气体在外界环境下会自发地进行三个平衡态之间的转换，因此在本实验中还会在固体和液体两种不同形式下再次加入气体来研究。
2、理论建模：在确定了所需要研究的对象之后，通过多次实验所获得的数据不仅可以精确的绘制出粒子的速度分布曲线，还可以知道有关系统的一些简单信息。
根据这些信息便可以进行一定程度上的理论建模。
通常可以将系统看成为由许多个具有不同速度的微小粒子组成的集合，这样的话可以通过一些较为直观的图像来表示这些集合的分布情况。
3、讨论数值模拟：在实验数据经过理论建模后，一般都会通过计算机软件将实验数据转化为物理模型。
通过物理模型的数值仿真，可以真正意义上认识到原子系统中电子之间距离的随机性。
但是本文只是一个初步的探索，实际的模拟实验往往是很复杂的，所以为了真正达到这样的效果还需要结合更多的数值计算方法来共同进行。
FR共轭梯度法实验及其程序代码
实验报告2FR共轭梯度法1 实验目的掌握外法函数法2 实验内容外罚函数法3 算法设计①编写主函数：function [min,answ]=OuterPenaltyFunction(x0,eps)实现外罚函数法②定义function y=PFun(x)用以实现求目标函数的一阶导数；③定义测试函数: function y=Fun(x)。
4 程序代码（一）外罚函数法程序代码function [min,answ]=OuterPenaltyFunction(x0,eps)%% ---- 该程序用以实现外罚函数法%% Input：% x0 ---- 初始点% eps ---- 搜索精度%% output：% min ---- 目标函数最优值% answ ---- 最优搜索点syms x1 x2xk=x0;c=10; %罚因子放大系数33deta=0.1; %罚因子while (1)fun=Fun([x1 x2])+deta*PFun([x1,x2]); %惩罚函数f=inline(fun);[min,answ]=FR_Conjugate_gradient(f, xk,eps);%调用FR迭代法函数求确定罚函数最优解if double(deta*PFun(answ))<epsbreakenddeta=c*deta;xk=answ;endansw=xk;min=double(Fun(xk));function y=PFun(x)%% ---- 该函数用以定义惩罚项函数%% Input：% x ---- 自变量%% output：% y ---- 因变量syms x1 x2syms x1 x2x1=x(1);% x2=x(2);y=(x1+1)^2;function y=Fun(x)%% ---- 该函数用以定义测试函数%% Input：% x ---- 自变量%% output：% y ---- 因变量syms x1 x2x1=x(1);x2=x(2);y=x1^2+x2^2;（二）FR共轭梯度法程序代码：function [min,answ]=FR_Conjugate_gradient(Fun, x0,eps)%% ---- 改程序用以实现FR共轭梯度法%% Input：% x0 ---- 初始点% eps ---- 搜索精度%% output：% min ---- 目标函数最优值% answ ---- 最优搜索点syms beta alphk=1;%迭代次数xk=x0;temp=1;while(norm(DFun(Fun,xk))>eps)if (k==1)pk=-DFun(Fun,xk);elsebeta=DFun(Fun,xk)'*DFun(Fun,xk)/temp;pk=-DFun(Fun,xk)+beta*pk;endtemp=DFun(Fun,xk)'*DFun(Fun,xk);temp2=xk+alph*pk';fun=Fun(temp2(1),temp2(2));fun=inline(fun);[min,answ]=OneDimentionSearch(fun,0,0.08,eps);%调用精确一维搜索求步长xk=xk+answ*pk';%answ即为所求的步长k=k+1 ;endansw=xk;min=double(Fun(xk(1),xk(2)));function y=DFun(Fun,x)%% ---- 改函数用以实现求目标函数的一阶导数%% Input：% x ---- 求导点%% output：% y ---- 目标函数的一阶导数在x点的值syms x1 x2f=Fun(x1,x2);f1=diff(f,x1);f2=diff(f,x2);f1=subs(f1,{x1,x2},x);f2=subs(f2,{x1,x2},x);y=[double(f1),double(f2)]';（三）精确一维搜索程序代码：function [min,answ]=OneDimentionSearch(Fun,x0,step,eps) %% ---- 改程序用以实现一维搜索算法%% Input：% Fun ---- 一维精确搜索函数% x0 ---- 初始点% step ---- 搜索步长% eps ---- 搜索精度%% output：% min ---- 目标函数最优值% answ ---- 最优搜索点%%% 求初始区间[a,b]=AdvanceAndRetreat(Fun,x0,step);%黄金分割法实现一维搜索[min,answ] =GoldSection(Fun,a,b,eps);function [min,answ] =GoldSection(Fun,a,b,eps)%% ---- 改函数用以实现黄金搜索法%% Input：% Fun ---- 一维精确搜索函数% a ---- 搜索区间的左端点% b ---- 搜索间隔的右端点% eps ---- 搜索精度%% output：% min ---- 目标函数最优值% wnsw ---- 最优搜索点%%format longx1=a+.382*(b-a);x2=a+.618*(b-a);while(abs(b-a)>eps)f1=Fun(x1);f2=Fun(x2);% 比较判断两个分割点处的函数值，进而缩短区间长度if(f1>f2)a=x1; x1=x2;x2=a+.618*(b-a);elseif(f1==f2)a=x1; b=x2;x1=a+.382*(b-a);x2=a+.618*(b-a);elseb=x2;x2=x1;x1=a+.382*(b-a);endend% 返回搜索点和搜索值answ=(a+b)/2;min=Fun(answ);function [a,b]=AdvanceAndRetreat(Fun,x0,step)%% ---- 改函数用以实现进退法求初始区间%% Input：% Fun ---- 一维精确搜索函数% x0 ---- 初始点% step ---- 搜索间隔%% output：% a ---- 搜索区间的左端点% b ---- 搜索间隔的右端点x1=x0+step;if Fun(x1)<=Fun(x0)while(1)step=2*step;x2=x1+step;if Fun(x1)<=Fun(x2)break;else x0=x1;x1=x2;endenda=x0;b=x2;elsewhile(1)step=2*step;x2=x0-step;if Fun(x0)<=Fun(x2)break;else x1=x0;x0=x2;endenda=x2;b=x1;end5 运行结果测试函数为：01..)(min 12221=++=x t s x x x f该函数是教材第147页例4.2.2，其结果与书上的结果近似相等（因为存在微小迭代误差）。
共轭梯度法求解线性方程组
共轭梯度法求解线性方程组闫凡晓 3111054017（数学与统计学院，应用数学）摘要 本实验研究了用共轭梯度法求解线性方程组的思想及实现方法，并通过编写Matlab 程序对随机生成的一个线性方程组求解，通过程序的运行调试分析共轭梯度法对不同精度的实际性能，并针对误差进行分析。
关键字 共轭梯度法 误差容限 对称正定矩阵一、实验题目运用共轭梯度法求解一个系数矩阵为对称正定矩阵的线性方程组b Ax =.二、算法思想共轭梯度法是把求解线性方程组的问题转化为求解一个等价的严格凸二次函数的极小化问题。
从任意给定的初始点)0(x出发，沿一组关于A 共轭的方向进行线性搜索，在不考虑舍入误差的情况下，最多迭代n 步（n 是线性方程组的阶数），便可求得二次函数的极小点，也即求得了线性方程组b Ax =的解.对于某些大型稀疏线性方程组,通常该法只经过比方程组阶数n 小得多的迭代次数就能获得所要求精度的近似解.三、算法实现(1)共轭梯度法的简化的计算公式⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧+=-=-=+==-==++++++.,,,,,)()1()1()()()()1()1()1()()()1()()()()()0()0()0(k k k k k T k k T k k k k k k k k k T k k T k k d r d Ad d Ad r Ax b r d x x Ad d d r Ax b r d ββαα（2）基于Matlab 程序的共轭梯度算法实现步骤 1）给定初始近似向量)0(x及精度要求ε<1.0e-4；2）计算,)0()0(Ax b r -=取)0()0(r d =； 3）For 0=k to 1-n do(i),)()()()(kTkkTkk Adddr=α(ii),)()()1(kkkk dxxα+=+(iii),)1()1(++-=k k Axbr(iv)若)1(+krε≤或nk=+1，则输出近似解)1(+kx，停止；否则转（v），（v）22)(22)1(kkkrr+=β，（vi）.)()1()1(kkkk drdβ+=++End do四、实验平台MATLAB 7.6.0五、算法设计%用共轭梯度法求解对称正定线性方程组Ax=b的解clear allA=randint(10,10,[-10,10]);A=A'*A;A=A+A'; %随机生成一个10*10对称正定矩阵Ay=eig(A); %求A的特征值for i=1:10 %判断A的正定性if y(i)<0disp('随机生成的矩阵不是正定矩阵')break;endendb=randint(10,1,[-10,10]); %随机生成一10*1列向量x=randint(10,1,[-10,10]); %随机生成方程初始值iter=10; %最大迭代次数-1tol=1.0e-4; %误差容限d=b-A*x;r=b-A*x;for cnt=1:iter %开始迭代a=(norm(r))^2/(d'*A*d);x=x+a*d;r=b-A*x;if (norm(r)/norm(b))<=toldisp('恭喜您，收敛于误差容限')break;endc=(norm(r)/norm(b-A*(x-a*d)))^2;d=r+c*d;cnt=cnt+1;endz=A\b; %计算方程组的精确解y=norm(x-z);y %精确解与数值解的误差x %数值解cnt %迭代次数六、实验结果y =1.1417e-004x =1.0e+004 *-0.6383-0.3289-0.42850.0773-1.39880.3944-1.47841.08641.5021-0.5389cnt =11恭喜您，收敛于误差容限y =1.3975e-009 x =-0.2072 0.7229 -0.1594 -0.2036 0.2337 0.3801 0.1783 0.0894 -0.6825 -0.4136cnt =10七、实验分析通过以上程序的编写及运行，从获得的数据来说，共轭梯度法基本成功，理论上计算中若无计算误差，则至多迭代n 次就求得了方程组的准确解。
运筹学实验报告(F-R共轭梯度法、Wolfe简约梯度法)
一、实验目的:1、掌握求解无约束最优化问题的 F-R 共轭梯度法，以及约束最优化问题 Wolfe 简约梯度法。
2、学会用MATLAB 编程求解问题，并对以上方法的计算过程和结果进行分析。
二、实验原理与步骤: 1、F-R 共轭梯度法基本步骤是在点)(k X 处选取搜索方向)(k d , 使其与前一次的搜索方向)1(-k d关于A 共轭，即(1)()(1),0k k k d d Ad --<>=然后从点)(k X 出发，沿方向)(k d 求得)(X f 的极小值点)1(+k X ,即)(m in )()()(0)1(k d X f X f k k λλ+=>+如此下去, 得到序列{)(k X }。
不难求得0,)1()(>=<-k k Ad d的解为)()1()1()()()()1(,,k k k k k k k d Ad d d AX b XX><>-<+=--+注意到)(k d 的选取不唯一，我们可取)1(1)()()(--+-∇=k k k k d X f d β由共轭的定义0,)1()(>=<-k k Add 可得： ><><-=----)1()1()1()(1,,k k k k k Ad d Ad r β共轭梯度法的计算过程如下：第一步：取初始向量)0(X , 计算⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=><><-=-=-∇==(0)0(0)(1))0()0()0()0(0(0)(0)(0)(0)d X X ,,X )X (r d λλAd d Ad r A b f第1+k 步：计算⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧+=><><-=+=><><-=-=-∇=+------(k)0(k)1)(k )()()()()1(1(k))()1()1()1()(1(k)(k)(k)d X X ,,r ,,X )X (r λλββk k k k k k k k k k k k k Ad d Ad r d d Ad d Adr A b f2、Wolfe 简约梯度法Wolfe 基本计算步骤：第一步：取初始可行点 x 0∈X l ,给定终止误差ε>0 ，令k:=0；第二步：设 I B k是x k 的 m 个最大分量的下标集，对矩阵A 进行相应分解 A =(B k ,N k )；第三步：计算 ∇f(x k)=(∇B f(x k )∇Nf(x k )) ,然后计算简约梯度r N k=−(B k −1N k )T ∇B f(x k )+∇N f(x k )；第四步：构造可行下降方向 p k . 若||p k ||≤ε ，停止迭代，输出x k 。
运筹学实验报告 共轭梯度内外点法
运筹与优化实验报告姓名：学号：学院：专业：指导老师：实验一实验名称：MATLAB 实现黄金分割法实验要求：用MATLAB 实现黄金分割法（1--*2f 2x x ） 试验程序：function [x,minf]=minHJ(f,a,b,eps)format long ;eps=0.16;syms x ;f=2*x^2-x-1;a=-1;b=1;l=a+0.382*(b-a);u=a+0.618*(b-a);k=1;tol=b-a;while tol>epsf1=2*l^2-l-1;fu=2*u^2-u-1;if f1>fua=1;l=u;u=a+0.618*(b-a);else b=u;u=l;l=a+0.382*(b-a);endk=k+1;tol=abs(b-a);endkif k==10000disp('找不到最小值!');x=NuN;minf =NuN;returnendx=(a+b)/2;min=subs(f,findsym(f),x);format short ;运行结果：黄金分割法的结果： K=7,ans=-1.0341实验二实验名称：MATLAB 实现共轭梯度法实验要求：用MATLAB 实现共轭梯度法求解实例（22112212f -2*-4*x x x x x x =++） 试验程序：function f=conjugate(x0,t)x=x0;syms xi ,yi,a;f=xi^2-xi*yi+yi^2+2*xi-4*yi;fx=diff(f,xi);fy=diff(f,yi);fx=subs(fx,{xi,yi},x0);fy=subs(fy,{xi,yi},x0);fi=[fx,fy];count=0;while double(sqrt(fx^2+fy^2))>ts=-fi;if count<=0s=-fielsex=x+a*s;f=subs(f,{xi,yi},x);f1=diff(f);f1=solve(f);if f1~=0ai=double(f1);elsebreakx.f=subs(f,{xi,yi},x),countendx=subs(x,a,ai);f=xi^2-xi*yi+yi^2+2*xi-4*yi;fxi=diff(f,xi);fyi=diff(f,yi);fxi=subs(fxi,{xi,yi},x);fyi=subs(fyi,{xi,yi},x);fii=[fxi,fyi];运行结果：共轭梯度法：conjugate([0,0],0.000001)(x 1= )2T,f=-4,count=2,ans=-4实验三实验名称：MATLAB 实现外点法实验要求：用MATLAB 实现外点法和内点法求解实例:min 21f x x +=s.t.0-221<=+x x ,0x 1<=实验程序：m=zeros(1,50);a=zeros(1,50);b=zeros(1,50);f0=zeros(1,50); syms d x1 x2 e; m(1)=1;c=10;a(1)=0;b(1)=0; f=x1^2+x2^2+e*(1-x1)^2; f0(1)=1;fx1=diff(f,'x1'); fx2=diff(f,'x2');for k=1:100 x1=a(k);x2=b(k);e=m(k);for n=1:100 f1=subs(fx1);f2=subs(fx2);if(double(sqrt(f1^2+f2^2))<=0.002)a(k+1)=double(x1);b(k+1)=double(x2);f0(k+1)=double(subs(f)); break;elseD=(x1-d*f1)^2+(x2-d*f2)^2+e*(1-(x1-d*f1))^2;Dd=diff(D,'d'); dd=solve(Dd); x1=x1-dd*f1; x2=x2-dd*f2; endendif(double(sqrt((a(k+1)-a(k))^2+(b(k+1)-b(k))^2))<=0.001)&&(double (abs((f0(k+1)-f0(k))/f0(k)))<=0.001)a(k+1)b(k+1)kf0(k+1)break;elsem(k+1)=c*m(k);endend外点法运行结果：12x =0.0000301 0.0000801T T x （）（-）12min f 0.0000500x x =+=实验四实验名称：MATLAB 实现内点法实验要求：用MATLAB 实现内点法求解实例:min 21f x x +=s.t.0-221<=+x x ,0x 1<=实验程序：m=zeros(1,50);a=zeros(1,50);b=zeros(1,50);f0=zeros(1,50); syms x1 x2 e ;m(1)=1;c=0.2;a(1)=2;b(1)=-3;f=x1^2+x2^2-e*(1/(2*x1+x2-2)+1/(1-x1)); f0(1)=15;fx1=diff(f,'x1');fx2=diff(f,'x2');fx1x1=diff(fx1,'x1');fx1x2=diff (fx1,'x2');fx2x1=diff(fx2,'x1');fx2x2=diff(fx2,'x2');for k=1:100x1=a(k);x2=b(k);e=m(k);for n=1:100f1=subs(fx1);f2=subs(fx2);f11=subs(fx1x1);f12=subs(fx1x2);f21=subs(fx2x1);f22=subs(fx2x2);if (double(sqrt(f1^2+f2^2))<=0.002)a(k+1)=double(x1);b(k+1)=double(x2);f0(k+1)=double(subs(f)); break ;elseX=[x1 x2]'-inv([f11 f12;f21 f22])*[f1 f2]';x1=X(1,1);x2=X(2,1);endendif (double(sqrt((a(k+1)-a(k))^2+(b(k+1)-b(k))^2))<=0.001)&&(double(abs((f0(k+1)-f0(k))/f0(k)))<=0.001) a(k+1)b(k+1)kf0(k+1)break ;elsem(k+1)=c*m(k);endend内点法运行结果：12x =0.0000021 0.0000094T T x （）（-）12min f 0.0000083x x =+=。
线性共轭梯度法解决二次正定优化问题
利用归纳法可以证明: （ ），再由 与 的关系得： （ ）
所以当 时， ，而
.
共轭梯度法的迭代公式为：
（ 为共轭方向， 为最佳步长因子）
对二次函数: ；算法如下描述:
Step 1:取初始点 ,如果 ,则停机;否则 ,
Step 2:计算精确步长
,
如果 ,则停机;否则go to Step 3；
fi=[fx,fy];
c=0;
while double(sqrt(fx^2+fy^2))>t
s=-fi;
if c<=0
s=-fi;
else
s=s1;
end
x=x+a*s;
f=subs(f,{xi,yi},x);
f1=diff(f);
f1=solve(f1);
if f1~=0
ai=double(f1);
其中 为 正定矩阵，则 . 对二次函数总有:
1）设 为初始点. 首先取 ，令 （ 为精确步长因子）
则有： （精确一维搜索性质）.
2）令 ，适当选择 ，使 ，
得 （从而得到 ）
且有正交性： ， , ，
3）再令 ，适当选择 ， ，使得 （ ），由此得：
，
4） 一般地，在第 次迭代中，令 适当选取 ，使 （ ），
Step 3: ,
,go to Step 2
三、代码
function f=getd(x0,t)
x=x0;
syms xi yi a
f=xi^2+4*yi^2-4*xi-8*yi;
fx=diff(f,xi);
fy=diff(f,yi);
fx=subs(fx,{xi,yi},x0);
共轭梯度实验报告
竭诚为您提供优质文档/双击可除共轭梯度实验报告篇一：共轭梯度法实验报告数值代数实验报告一、实验名称：用共轭梯度法解线性方程组。
二、实验目的：进一步熟悉理解掌握共轭梯度法解法思路，提高matlab编程能力。
三、实验要求：已知线性方程矩阵，应用共轭梯度法在相关软件编程求解线性方程组的解。
四、实验原理：1．共轭梯度法：考虑线性方程组Ax?b的求解问题，其中A是给定的n阶对称正定矩阵，b是给定的n维向量，x是待求解的n维向量.为此,定义二次泛函?(x)?xTAx?2bTx.定理1设A对称正定,求方程组Ax?b的解，等价于求二次泛函?(x)的极小值点.定理1表明，求解线性方程组问题就转化为求二次泛函?(x)的极小值点问题.求解二次函数极小值问题，通常好像盲人下山那样，先给定一个初始向量x0，确定一个下山方向p0，沿着经过点x0而方向为p0的直线x?x0??p0找一个点x1?x0??0p0，使得对所有实数?有??x0??0p0x0??p0?，即在这条直线上x1使?(x)达到极小.然后从x1出发，再确定一个下山的方向p1，沿着直线x?x1??p1再跨出一步，即找到?1使得??x?在x2?x1??1p1达到极小：??x1??1p1x1??p1?.重复此步骤，得到一串?0,?1,?2,x?xk??pk上确定步长?k使和p0,p1,p2,，称pk为搜索方向，?k为步长.一般情况下，先在xk点找下山方向pk，再在直线??xk??kpkxk??pk?,最后求出xk?1?xk??kpk.然而对不同的搜索方向和步长，得到各种不同的算法.由此，先考虑如何确定?k.设从xk出发，已经选定下山方向pk.令fxk??pk???xk??pk?A?xk??pk??2bT?xk??pk?T??2pkApk?2?rkTpkxk?，T其中rk?b?Apk.由一元函数极值存在的必要条件有Tf2?pkApk?2rkTpk?0所确定的?即为所求步长?k，即步长确定后，即可算出此时，只要rkTpk?0，就有rkTpk.?k?TpkApkxk?1?xk??kpk.??xk?1xkxk??kpkxk?TApk?2?krkTpkk2pk?rkTpk?2即??xk?1xk?.TpkApk?0再考虑如何确定下山方向pk.易知负梯度方向是?(x)减小最快的方向，但简单分析就会发现负梯度方向只是局部最佳的下山方向，而从整体来看并非最佳.故采用新的方法寻求更好的下山方向——共轭梯度法.下面给出共轭梯度法的具体计算过程:给定初始向量x0，第一步仍选用负梯度方向为下山方向，即p0?r0，于是有r0Tr0?0?T,x1?x0??0p0,r1?b?Ax0.p0Ap0对以后各步，例如第k+1步（k?1）,下山方向不再取rk，而是在过点由向量rk和pk?1所张成的二维平面?2?{x|x?xk??rk??pk?1,?,??R}内找出使函数?下降最快的方向作为新的下山方向pk.考虑?在?2上的限制：,?(xk??rk??pk?1)?(xk??rk??pk?1)TA(xk??rk??pk?1)?2bT(xk??rk??pk?1).??计算?关于?,??2??rTAr??rTAp?rTr?,kkkk?1kk????TTT?2?rAp??p?kk?1k?1Apk?1?,r其中最后一式用到了rkpk?1，这可由的定义直接验证.令0k????0，即知?在?2内有唯一的极小值点????x?xk??0rk??0pk?1，其中?0和?0满足??0rkTArk??0rkTApk?1?rkTrk,?TT??0rkApk?1??0pk?1Apk?1?0.1由于rk?0必有?0?0，所以可取pk?作为新的下山方向.显然，这是在平面?2内可得的最佳下山方向.令?k?1?得?0?x?xk??rk??0p?0k?1?0，则可?0rkTApk?1?k?1??T.pk?1Apk?1T注：这样确定的pk满足pkApk?1?0，即pk与pk?1是相互共轭的.总结上面的讨论，可得如下的计算公式：rkTpk，xk?1?xk??kpk，?k?TpkApkrk?1?b?Axk?1，rkT?1Apk，pk?1?rk?1??kpk.?k??TpkApk在实际计算中，常将上述公式进一步简化，从而得到一个形式上更为简单而且对称的计算公式.首先来简化rk?1的计算公式：rk?1?b?Axk?1?b?A(xk??kpk)?rk??kApk.因为Apk在计算?k是已经求出，所以计算rk?1时可以不必将xk?1代入方程计算，而是从递推关系rk?1?b??kApk 得到.再来简化?k和?k的计算公式.此处需要用到关系式rkTrk?1?rkTpk?1?rkT?1pk?0,k?1,2,从而可导出1rkT?1??rkT?1rk?1,，1T?k1TTpkApk?pk?rk?rk?1??pkrk??k1Tk1?rk?rk??k?1pk?1??rkTrk..由此可得?k?krkTrkrkT?1rk?1?k?T,，?k?T..pkApkrkrk从而有求解对称正定方程组的共轭梯度法算法如下：x0?初值r0?b?Ax0；k?0whilerk?0k?k?1ifk?1p0?r0else?k?2?rkT?1rk?1rkT?2rk?2pk?1?rk?1??k?2pk?2endT?k?1?rkT?1rk?1pk?1Apk?1xk?xk?1??k?1pk?1rk?rk?1??k?1Apk?1endx?xk注：该算法每迭代一次仅需要使用系数矩阵A做一次矩阵向量积运算.定理2由共轭梯度法得到的向量组?ri?和?pi?具有如下基本性质：（1）piTrj?0，0?i?j?k;（2）riTrj?0，i?j，0?i,j?k;（3）piTApj?0，i?j，0?i,j?k;（4）span{r0,其中,rk}?span{p0,,pk}??(A,r0,k?1)，?(A,r0,k?1)?span{r0,Ar0,,Akr0}，通常称之为Krylov子空间.下面给出共轭梯度法全局最优性定理：定理3用共轭梯度法计算得到的近似解xk满足??xk??minx?:x?x0??(A,r0,k)?或xk?x*A?min?x?x*A:x?x0??(A,r0,k)?，其中xA?x*是方程组Ax?b的解，?(A,r0,k)是由所定义的Krylov 子空间.定理2表明，向量组r0,,rk和p0,,pk分别是Krylov 子空间?(A,r0,k?1)的正交基和共轭正交基.由此可知，共轭梯度法最多n步便可得到方程组的解x*.因此，理论上来讲，共轭梯度法是直接法.然而实际使用时，由于误差的出现，使rk之间的正交性很快损失，以致于其有限步终止性已不再成立.此外，在实际应用共轭梯度法时，由于一般n很大，以至于迭代o?n?次所耗费的计算时间就已经使用户无法接受了.因此，实际上将共轭梯度法作为一种迭代法使用，而且通常是rk是否已经很小及迭代次数是否已经达到最大允许的迭代次数kmax来终止迭代.从而得到解对称正定线性方程组的实用共轭梯度法，其算法如下：x?初值k?0;r?b?Ax;??rTrwhile??b2?and?k?kmax?k?k?1ifk?1p?relse;p?r??pend??Ap;pT?;x?x??pr?r;;??rTrend算法中，系数矩阵A的作用仅仅是用来由已知向量p产生向量??Ap，这不仅可以充分利用A的稀疏性，而且对某些提供矩阵A较为困难而由已知向量p产生向量??Ap又十分方便的应用问题是十分有益的。
《共轭梯度法在信号恢复问题中的应用》范文
《共轭梯度法在信号恢复问题中的应用》篇一一、引言信号恢复问题在许多领域都有广泛的应用，如医学成像、无线通信、雷达探测等。
由于各种因素，例如噪声、系统不完美和有限的样本大小，实际信号在获取或传输过程中常常会出现变形或损失。
为了准确、高效地恢复这些信号，需要采用有效的算法。
共轭梯度法作为一种迭代算法，在信号恢复问题中具有广泛的应用前景。
本文将详细介绍共轭梯度法在信号恢复问题中的应用及其优越性。
二、共轭梯度法简介共轭梯度法是一种用于求解线性方程组的迭代算法。
该方法基于梯度下降的思想，通过迭代计算搜索方向和步长，逐步逼近问题的解。
共轭梯度法具有收敛速度快、计算效率高等优点，特别适用于大规模稀疏线性方程组的求解。
三、信号恢复问题的数学模型信号恢复问题可以描述为一个优化问题，即在给定的约束条件下，寻找一个信号使得其与实际观测到的信号的误差最小。
该问题通常可以表示为一个线性方程组的形式，即求解一个系统的逆过程。
在这个过程中，共轭梯度法可以发挥重要作用。
四、共轭梯度法在信号恢复问题中的应用共轭梯度法在信号恢复问题中的应用主要体现在以下几个方面：1. 求解稀疏信号恢复问题：共轭梯度法可以通过迭代计算搜索方向和步长，有效地求解稀疏信号恢复问题。
通过调整搜索方向和步长，算法可以在保留有用信息的同时剔除噪声和其他干扰因素，从而提高信号的恢复效果。
2. 求解非线性系统逆问题：在实际应用中，许多信号恢复问题都涉及非线性系统逆问题的求解。
共轭梯度法可以结合其他算法，如松弛方法等，进行联合优化求解。
这种结合使得共轭梯度法能够处理更为复杂和多样化的信号恢复问题。
3. 提高计算效率：与传统方法相比，共轭梯度法具有较高的计算效率。
由于该方法采用迭代计算的方式逐步逼近问题的解，因此可以减少计算过程中的存储需求和计算时间。
这使得共轭梯度法在处理大规模信号恢复问题时具有明显优势。
五、实例分析为了验证共轭梯度法在信号恢复问题中的效果，本文进行了实例分析。
共轭梯度法
《数值优化》实验报告
实验[02] [实验题目:FR共轭梯度法]
专业：信息与计算科学学号：姓名：
1 实验目的
深入学习FR共轭梯度法，并对其编译Matlab程序
2 实验内容
编译FR共轭梯度法Matlab程序，在计算机上利用Matlab程序对方程f=100*(x (1)^2-x (2))^2+(x (1)-1)^2;进行求解
3 算法设计
共轭梯度法的基本思想是把共轭性与最速下降方法相结合，利用已知点处的梯度构造一组共轭方向，并沿这组方向进行搜素，求出目标函数的极小点。
根据共轭方向基本性质，这种方法具有二次终止性。
4 程序代码
val=feval (fun,x);
g=[400*x (1)*(x (1)^2-x (2))+2*(x (1)-1),-200*(x (1)^2-x (2))]';
5 运行结果
6 结果分析
利用该算法所得结果十分接近精确解，满足我们的需要。
在计算过程中一共迭代了44次，这个迭代次数是可以接受的。
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共轭梯度实验报告
篇一：共轭梯度法实验报告
数值代数实验报告
一、实验名称：用共轭梯度法解线性方程组。
二、实验目的：进一步熟悉理解掌握共轭梯度法解法思路，提高matlab编程能力。
三、实验要求：已知线性方程
矩阵，应用共轭梯度法在相关软件编程求解线性方程组的解。
四、实验原理：
1．共轭梯度法：
考虑线性方程组
Ax?b
的求解问题，其中A是给定的n阶对称正定矩阵，b是
给定的n维向量，x是待求解的n维向量.为此,定义二次泛
函
?(x)?xTAx?2bTx.
定理1设A对称正定,求方程组Ax?b的解，等价于求二次泛函?(x)的极小值点.定理1表明，求解线性方程组问题就转化为求二次泛函?(x)的极小值点问题.求解二次函数极小值问题，通常好像盲人下山那样，先给定一个初始向量x0，确定一个下山方向p0，沿着经过点x0而方向为p0的直线x?x0??p0找一个点
x1?x0??0p0，
使得对所有实数?有
??x0??0p0x0??p0?，
即在这条直线上x1使?(x)达到极小.然后从x1出发，再确定一个下山的方向p1，沿着直
线x?x1??p1再跨出一步，即找到?1使得??x?在
x2?x1??1p1达到极小：
??x1??1p1x1??p1?.
重复此步骤，得到一串
?0,?1,?2,
x?xk??pk上确定步长?k使
和p0,p1,p2,
，
称pk为搜索方向，?k为步长.一般情况下，先在xk点找下山方向pk，再在直线
??xk??kpkxk??pk?,
最后求出xk?1?xk??kpk.然而对不同的搜索方向和步长，得到各种不同的算法.
由此，先考虑如何确定?k.设从xk出发，已经选定下山方向pk.令fxk??pk?
??xk??pk?A?xk??pk??2bT?xk??pk?
T
??2pkApk?2?rkTpkxk?，
T
其中rk?b?Apk.由一元函数极值存在的必要条件有
T
f2?pkApk?2rkTpk?0
所确定的?即为所求步长?k，即步长确定后，即可算出
此时，只要rkTpk?0，就有
rkTpk
.?k?T
pkApk
xk?1?xk??kpk.
??xk?1xkxk??kpkxk?
T
Apk?2?krkTpkk2pk
?rkTpk?
2
即??xk?1xk?.
T
pkApk
?0
再考虑如何确定下山方向pk.易知负梯度方向是?(x)减
小最快的方向，但简单分析就会发现负梯度方向只是局部最佳的下山方向，而从整体来看并非最佳.故采用新的方法寻
求更好的下山方向——共轭梯度法.下面给出共轭梯度法的
具体计算过程:
给定初始向量x0，第一步仍选用负梯度方向为下山方向，即p0?r0，于是有
r0Tr0
?0?T,x1?x0??0p0,r1?b?Ax0.
p0Ap0
对以后各步，例如第k+1步（k?1）,下山方向不再取rk，而是在过点由向量rk和pk?1所张成的二维平面
?2?{x|x?xk??rk??pk?1,?,??R}
内找出使函数?下降最快的方向作为新的下山方向pk.
考虑?在?2上的限制：
,?(xk??rk??pk?1)
?(xk??rk??pk?1)TA(xk??rk??pk?1)
?2bT(xk??rk??pk?1).??计算?关
于?,??2??rTAr??rTAp?rTr?,
kkkk?1kk
??
??TTT?2?rAp??p?kk?1k?1Apk?1?,r其中最后一式用到了rkpk?1，这可由的定义直接验证.令0k??
??0，即知?在?2内有唯一的极小值点
??
??
x?xk??0rk??0pk?1，
其中?0和?0满足
??0rkTArk??0rkTApk?1?rkTrk,
?TT
??0rkApk?1??0pk?1Apk?1?0.
1
由于rk?0必有?0?0，所以可取
pk?
作为新的下山方向.显然，这是在平面?2内可得的最佳下山方向.令?k?1?得
?0
?x?xk??rk?
?0。