关于浮点数与定点数的理解
浮点运算和定点运算
浮点运算和定点运算
随着计算机技术的不断发展，浮点运算和定点运算在计算机的数
值计算中扮演着重要的角色。
浮点运算常用于科学计算和工程等领域，而定点运算则常用于嵌入式系统和控制系统等领域。
浮点运算，顾名思义，即使用浮点数进行计算的运算方法。
浮点
数包含一个小数和指数两部分，例如1.23E-03即表示1.23乘以10的
负3次方。
浮点运算优点在于精度更高，可以进行精确的小数运算，
但同时需要更高的计算资源和运算时间。
浮点运算一般使用IEEE 754
标准进行规范和实现。
然而，对于实时性要求较高的控制系统来说，定点运算则更为适用。
定点运算即使用固定小数进行计算的运算方法。
定点数同样包含
小数和整数两部分，但是小数点的位置是固定的，例如0.05即表示5
乘以10的负2次方。
定点运算可以用较少的资源完成简单的小数运算，具有精度高、效率高的特点。
总的来说，浮点运算和定点运算相互补充，各自有其应用场景。
在实际开发中，需要根据具体的应用场景选择适合的运算方法，并结
合算法和硬件实现来提高计算性能和精度。
同时，需要注意浮点数计
算的舍入误差和定点数计算的溢出和截断误差，避免对最终计算结果
造成影响。
因此，我们需要在实际应用中进行综合分析，理解和掌握浮点运算和定点运算的原理和实现方法，选择合适的运算方式，提高计算效率和精度，从而实现更加高效、精确的计算。
什么是定点数,浮点数
C++中的浮点数有6种，分别是：
float：单精度，32位
unsigned float：单精度无符号，32位
double：双精度，64位
unsigned double：双精度无符号，64位
long double：高双精度，80位
unsigned long double：高双精度无符号，80位（嚯，应该是C++中最长的内置类型了吧！）然而不同的编译器对它们的支持也略有不同，据我所知，很多编译器都没有按照IEEE规定的标准80位支持后两种浮点数的，大多数编译器将它们视为double，或许还有极个别的编译器将它们视为128位？！对于128位的long double我也仅是听说过，没有求证，哪位高人知道这一细节烦劳告知。下面我仅以float（带符号，单精度，32位）类型的浮点数说明C++中的浮点数是如何在内存中表示的。先讲一下基础知识，纯小数的二进制表示。（纯小数就是没有整数部分的小数，讲给小学没好好学的人）
void TestDouble(double value)
...{
int count=0;
string x;
if (value>0)
...{
x+="0"; //判断符号
什么是定点数和浮点数
计算机中的数除了整数之外，还有小数。如何确定小数点的位置呢？通常有两种方法：
浮点数和定点数的区别
cloudseawang定点数与浮点数区别最近做HDR时，经常要用NV提供的16位纹理，它的说明书16位能达到24位的精度，就很奇怪？一直搞不懂浮点数的精度怎么算的？今天认真看了一下IEEE float point的标准，终于明白是什么了1. 什么是浮点数在计算机系统的发展过程中，曾经提出过多种方法表达实数。
典型的比如相对于浮点数的定点数（Fixed Point Number）。
在这种表达方式中，小数点固定的位于实数所有数字中间的某个位置。
货币的表达就可以使用这种方式，比如99.00 或者00.99 可以用于表达具有四位精度（Precision），小数点后有两位的货币值。
由于小数点位置固定，所以可以直接用四位数值来表达相应的数值。
SQL 中的NUMBER 数据类型就是利用定点数来定义的。
还有一种提议的表达方式为有理数表达方式，即用两个整数的比值来表达实数。
定点数表达法的缺点在于其形式过于僵硬，固定的小数点位置决定了固定位数的整数部分和小数部分，不利于同时表达特别大的数或者特别小的数。
最终，绝大多数现代的计算机系统采纳了所谓的浮点数表达方式。
这种表达方式利用科学计数法来表达实数，即用一个尾数（Mantissa ），一个基数（Base），一个指数（Exponent）以及一个表示正负的符号来表达实数。
比如123.45 用十进制科学计数法可以表达为1.2345 × 102 ，其中1.2345 为尾数，10 为基数，2 为指数。
浮点数利用指数达到了浮动小数点的效果，从而可以灵活地表达更大范围的实数。
提示: 尾数有时也称为有效数字（Significand）。
尾数实际上是有效数字的非正式说法。
同样的数值可以有多种浮点数表达方式，比如上面例子中的123.45 可以表达为12.345 ×101，0.12345 × 103 或者1.2345 × 102。
因为这种多样性，有必要对其加以规范化以达到统一表达的目标。
浮点运算转定点运算
浮点运算转定点运算与afreez⼀起学习DSP中浮点转定点运算⼀：浮点与定点概述1.1相关定义说明定点数：通俗的说，⼩数点固定的数。
以⼈民币为例，我们⽇常经常说到的如123.45￥，789.34￥等等，默认的情况下，⼩数点后⾯有两位⼩数，即⾓，分。
如果⼩数点在最⾼有效位的前⾯，则这样的数称为纯⼩数的定点数，如0.12345，0.78934等。
如果⼩数点在最低有效位的后⾯，则这样的数称为纯整数的定点数，如12345，78934等。
浮点数：⼀般说来，⼩数点不固定的数。
⽐较容易的理解⽅式是，考虑以下我们⽇常见到的科学记数法，拿我们上⾯的数字举例，如123.45，可以写成以下⼏种形式：12.345x1011.2345 x1020.12345 x103xi……为了表⽰⼀个数，⼩数点的位置可以变化，即⼩数点不固定。
1.2定点数与浮点数的对⽐为了简单的把问题描述清楚，这⾥都是⼗进制数字举例，详细的分析，⼤家可以在后⾯的⽂章中看到。
(1)表⽰的精度与范围不同例如，我们⽤4个⼗进制数来表达⼀个数字。
对于定点数（这⾥以定点整数为例），我们表⽰区间[0000，9999]中的任何⼀个数字，但是如果我们要想表⽰类似1234.3的数值就⽆能为⼒了，因为此时的表⽰精度为1/100=1；如果采⽤浮点数来表⽰（以归整的科学记数法，即⼩数点前有⼀位有效位，为例），则可以表⽰[0.000，9.999]之间的任何⼀个数字，表⽰的精度为1/103=0.001，精度⽐上⼀种⽅式提⾼了很多，但是表⽰的范围却⼩了很多。
也就是说，⼀般的，定点数表⽰的精度较低，但表⽰的数值范围较⼤；⽽浮点数恰恰相反。
(2)计算机中运算的效率不同⼀般说来，定点数的运算在计算机中实现起来⽐较简单，效率较⾼；⽽浮点数的运算在计算机中实现起来⽐较复杂，效率相对较低。
(3)硬件依赖性⼀般说来，只要有硬件提供运算部件，就会提供定点数运算的⽀持（不知道说的确切否，没有听说过不⽀持定点数运算的硬件），但不⼀定⽀持浮点数运算，如有的很多嵌⼊式开发板就不提供浮点运算的⽀持。
浮点转定点运算
浮点转定点运算浮点数和定点数是计算机中常用的数值表示方法。
浮点数具有较大的动态范围和较高的精度，适用于科学计算和工程领域。
而定点数则具有固定的小数点位置和精度，适用于嵌入式系统和实时控制等领域。
浮点转定点运算是将浮点数转换为定点数的过程，常用于特定应用场景中。
在进行浮点转定点运算时，需要考虑到浮点数的表示范围和精度，以及定点数的整数部分和小数部分的位数。
我们需要确定定点数的整数部分和小数部分的位数。
整数部分的位数取决于浮点数的整数部分范围，小数部分的位数取决于浮点数的精度要求。
一般而言，整数部分需要足够大以容纳浮点数的整数部分，小数部分的位数则决定了定点数的精度。
我们需要确定定点数的表示范围。
浮点数的表示范围较大，而定点数的表示范围受限于整数部分的位数。
为了保证转换后的定点数能够准确表示原浮点数的范围，需要根据浮点数的取值范围进行合理的定点数位数设计。
接下来，我们需要确定定点数的表示方法。
定点数可以采用补码、原码或反码等表示方法。
其中，补码表示方法常用于有符号定点数的表示，而原码和反码表示方法则适用于无符号定点数的表示。
根据具体的应用场景和需求，选择合适的表示方法进行浮点转定点运算。
我们需要进行浮点转定点的具体运算。
首先将浮点数的整数部分转换为定点数的整数部分，方法是将浮点数的整数部分乘以2的整数部分的位数次方。
然后将浮点数的小数部分转换为定点数的小数部分，方法是将浮点数的小数部分乘以2的小数部分的位数次方。
需要注意的是，在浮点转定点运算过程中，可能会出现舍入误差。
舍入误差是由于浮点数和定点数的表示精度不同导致的。
为了减小舍入误差，可以采用舍入模式、舍入方向和舍入精度等方法进行控制。
浮点转定点运算是一种将浮点数转换为定点数的过程，常用于特定应用场景中。
在进行浮点转定点运算时，需要考虑到浮点数的表示范围和精度，以及定点数的整数部分和小数部分的位数。
通过合理的位数设计和运算方法，可以实现准确的浮点转定点运算。
浮点运算
简介当我们用不同的电脑计算圆周率时，会发现一台电脑的计算较另一台来讲结果更加精确。
或者我们在进行枪战游戏的时候，当一粒子弹击中墙壁时，墙上剥落下一块墙皮，同样的场面在一台电脑上的表现可能会非常的呆板、做作；而在另外一台电脑上就会非常生动形象，甚至与我们在现实中看到的所差无几。
这都是浮点运算能力的差异导致的。
定点与浮点大学计算机基础中已经了解过计算机的实数表示方法可分为两种即定点与浮点1、定点数：定点数指小数点在数中的位置是固定不变的，通常有定点整数和定点小数。
在对小数点位置作出选择之后，运算中的所有数均应统一为定点整数或定点小数，在运算中不再考虑小数问题。
（1）定义：数据中小数点位置固定不变的数（2）种类：定点整数（3）小数点在符号位与有效位之间。
注：定点数受字长的限制，超出范围会有溢出。
2、浮点数：浮点数的表示形式有点像科学计数法（*.*****×10^***），它的表示形式是0.*****×10^***，在计算机中的形式为 .***** e ±***），其中前面的星号代表定点小数，也就是整数部分为0的纯小数，后面的指数部分是定点整数。
利用这样的形式就能表示出任意一个整数和小数，例如1024就能表示成0.1024×10^4，也就是 .1024e+004，3.1415926就能表示成0.31415926×10^1，也就是 .31415926e+001，这就是浮点数。
浮点数进行的运算就是浮点运算。
注：其浮点数的精度由尾数决定，数的表示范围由阶码决定。
浮点数，这个复杂点，有三种格式单精度：_31_30________23_22___________0符号指数有效数双精度：_63_62__________52_51__________________0符号指数有效数扩展精度数：_79_78____________64_63___________________0符号指数有效数3、定点数与浮点数区别定点表示法运算直观，但数的表示范围较小，不同的数运算时要考虑比例因子的选取，以防止溢出。
DSP学习笔记（二）——DSP中浮点数与定点数格式与运算处理
DSP学习笔记（⼆）——DSP中浮点数与定点数格式与运算处理DSP学习笔记（⼆）——DSP中浮点数与定点数格式与处理1 DSP中的数据表述DSP中数据通常是有定点数与表⽰，其中可以对字长进⾏相关定义，可以选取字长为16位、24位、32位不同字长使⽤。
⽽格式与字长决定了数据的精度与动态范围，同时也⼀定程度上决定了DSP处理器的功耗、成本与编程难度。
定点数：⼩数点位置为确定的。
浮点数：⼩数点位置可以改变。
定点运算的硬件实现较为简单，功耗较⼩，主要注意的是数据的定标、溢出以及误差。
器减结构较为复杂，但是精度较⾼，⾼级语⾔容易⽀持。
2 定点数的格式与相关运算2.1 定点数格式定点数格式：Q n 格式，n为⼩数位数。
即Q15 ，⼩数点右边有15个⼩数位，如果我们定义了⼀个长度为32位的数字，那么⼩数位为15，1位符号位，16位为整数位。
整数⼩数点固定在最后，定点数⼩数位固定使⽤上⽂的Q n 格式表⽰，两者都使⽤⼆进制补码形式表⽰。
例: Q4格式：01010011b＝1·22＋1·20＋1·2-3＋1·2-4＝83/24＝5.1875对于负数（最⾼位MSB为1），要先把它转化为⽆符号⼆进制数，再进⾏计算，最后加上负号。
图2-1 ⼆进制Q格式表⽰定点数与浮点数转化时需要使⽤2n 的关系进⾏转化。
转化关系如下图：图2-2 定点数与浮点数转化关系浮点数转换为定点数时，由于⼩数点后的位数有限，会产⽣截断误差。
2.2 数值范围与精度Qn 格式，字长为N数值范围： -2N-12n~2N-1-12n精度：12n由于符号位占1位，所以数据位为N-1，n越⼤范围越⼩，但精度越⾼。
图2-3 数值范围与精度2.3 动态范围数据格式中最⼤值与最⼩值之⽐即为动态范围。
N位定点数动态范围：分贝表⽰：dsp⼤多采⽤16位定点数，动态范围为90.3db。
Dsp⼤多采⽤16为定点数，运算硬件实现较为简单，更⼤动态范围应⽤可以使⽤拓展字长⽅式。
01-3数的定点表示和浮点表示
1 1 符 号
1
0
1
1
0
1
数值位(n位)
2-n |N| 1－2－n
纯小数
小数点 1 1 符 号 1 0 1 1 0 1
1 |N| 2n
数值位(n位) 小数点
纯整数
定点机中，一切参加运算的数及最后结果， 都不能超出其域范围，否则会出现错误结果。
若运算数(或结果)小于2－n (或1) 则计算机
作0处理；若大于1－2－n (或2n )。机器作溢出处 理，迫使机器停止运行或转入出错处理程序。
1.3.2 数的浮点表示
受机器数位的限制，定点数的数域
较小。若既要能表示较小的数，又能表 示很大的数，定点表示不适合了，应采 用浮点表示的数。
浮点数表示法 先以十进制数为例：
N = 25.0 = 100×25.0 = 101×2 . 5 = 102×0 . 25
指数部 尾数部 分10J 分S
浮点数由两部分组成：N = 10J×S
其中：S为数N的尾数，即它的符号和有 效数位。指数10 J ，其中10为十进制数的基数， J为其指数(或称J为N的阶)，10J决定小数点浮 动的位置。J为正数小数点左移。反之右移。
类此，二进制浮点数的表示形式为：
N = 2J × S 此中，J若以二进制代码表示，则J称N的阶 码。
1.3.3 浮点数与定点数的比较
• 浮点数的表示范围比定点数大 • 浮点数的运算精度比定点数高 • 浮点数的运算比定点数复杂。
(要分阶码和尾数两部分进行运算)
小型机－－采用定点数
大、中型机－－采用浮点数
欢迎进入1.4学习。
1.3
数的定点表示与浮点表示
数的定点表示 数的浮点表示 浮点数与定点数的比较
MySQL浮点数和定点数
MySQL浮点数和定点数
MySQL 分为两种⽅式：浮点数和定点数。
浮点数包括 float（单精度）和 double（双精度），⽽定点数则只有 decimal ⼀种表⽰。
定点数在 MySQL 内部以字符串形式存放，⽐浮点数更精确，适合⽤来表⽰货币等精度⾼的数据。
浮点数和定点数都可以⽤类型名称后加“(M,D)”的⽅式来进⾏表⽰，“(M,D)”表⽰该值⼀共显⽰ M 位数字（整数位+⼩数位），其中 D 位位于⼩数点后⾯，M 和 D ⼜称为精度和标度。
例如，定义为 float(7,4)的⼀个列可以显⽰为-999.9999。
MySQL 保存值时进⾏四舍五⼊，因此如果在 float(7,4)列内插⼊ 999.00009，近似结果是 999.0001。
值得注意的是，浮点数后⾯跟“(M,D)”的⽤法是⾮标准⽤法，如果要⽤于数据库的迁移，则最好不要这么使⽤。
float 和 double 在不指定精度时，默认会按照实际的精度（由实际的硬件和操作系统决定）来显⽰，
⽽ decimal 在不指定精度时，默认的整数位为 10，默认的⼩数位为 0。
CREATE TABLE `t1` (
`id1` float(5,2) default NULL,
`id2` double(5,2) default NULL,
`id3` decimal(5,2) default NULL
)
insert into t1 values(1.23,1.23,1.23);
insert into t1 values(1.234,1.234,1.23);
insert into t1 values(1.234,1.234,1.234);。
2定点数和浮点数
(1). 定点整数——小数点位置固定在数的最低位之后 如： Dn-1 Dn-2 • • • • • • D1 D0 . பைடு நூலகம்围： 2n-1 -1 ~ -2n-1 (采用字长n=16位补码时其 值为32767 ~ -32768) (2). 定点小数——小数点位置固定在数的符号位之后、数值
5
2. 求Y= -256.5 的第一种浮点表示格式
Y=-(256. 5)10 =-(100000000.1)2 =-0.1000000001 x2+9 8位阶码为：(+9)补=0000 1001 24位尾数为：(-0.10 0000 0001)补 =1.011 1111 1110 0000 0000 0000 所求-256.5的浮点表示格式为： 0000 1001 1011 1111 1110 0000 0000 0000 用16进制表示此结果则为：(09BFE000)16
X D2
尾数值
① ②
J
阶符
Em-2…….E0
阶码值
J
S
数符
D-1……D-(n-1)
. .
S
J Em-2
…….E0
D-1……D-(n-1)
尾数值
数符 阶符
阶码值
通常，阶码为补码或移码定点整数，尾数为补码或原码 定点小数。
2
（2）浮点数的规格化
目的：字长固定的情况下提高表示精
度的措施： 1 增加尾数位数（但数值范围减小） 2 采用浮点规格化形式
最高位之前。
如：D0. D-1 • • • • • • D-(n-2) D-(n-1) 范围：1 - 2-(n-1) ~ -1 (采用字长n=16位时其值为 32767/32768 ~ -1) 其中n表示字长多少位
2.4 定点数和浮点数的表示方法
明德
浮点数在计算机中的表示格式：
博学
日新
笃行
用定点小数表示，给出有 效数字的位数决定了浮点 数的表示精度
表达指数部分
用整数形式表示，指明小数 点在数据中的位置决定浮点 数的表示范围
河南科技大学
浮点数的表示范围
明德
博学
日新
笃行
假设尾数和阶码均用补码表示，阶码的位数为k+1位，尾数的位数为 n+1位
河南科技大学
浮点数的规格化
明德
博学
日新
笃行
3. 浮点数的规格化： 存储在计算机中的浮点数以及运算结果的浮点数都应为规
格化数,如果尾数不是规格化数,要用移位方法把它变为规格化数, 这种处理过程,称为规格化。
河南科技大学
IEEE754标准
明德
博学
日新
笃行
IEEE754标准定义了四种浮点数的基本格式：单精度格式、 双精度格式、扩展精度格式。
（11001.001）2=（25.125）10
河南科技大学
1111111+110=10000101 该数的单精度数的存浮点数格式即为：
0 10000101 10010001000000000000000 表示成十六进制数：42C88000H
日新
笃行
河南科技大学
IEEE754标准
明德
博学
日新
笃行
例2. 将单精度浮点数C1C90000H转换成十进制数。
解：1）将十六进制数转换成二进制数
C1C90000H=11000001110010010000000000000000
符号位S=1，阶码=10000011
尾数=10010010000000000000000
2.4数的定点与浮点表示
卢婷婷
2.4.1 定点表示法
定点表示法是将小数点的位置固定不变，约定在数值 的某个位置上。
(1)约定小数点隐含在最低数值位后，这使得所有的
数值位表示的数为整数，称为 。
(2)约定小数点隐含在最高数值位之前和符号位之后，
这使得所有的数值位表示的数为小数，称为 。
2.4.2 浮点表示法
当两数相减时，同样需要对阶。 两个浮点数的乘除法：两个浮点数相乘(除) 只需阶码相加(减)，尾数相乘(除)即可。
浮点运算方法复杂，操作控制线路也很复杂， 成本高，顾一般微型计算机很少采用。
这是一个非规格化数。这时只要调整阶码数值即可。将N1改 写为N1=210×0.1010，则N1即为规格化数，其表示形式为：
0 阶码符号 10 阶码 0 数符 1010 尾数
练习
将下列浮点数进行规格化尾数，并用浮点机形 式表示出来。 1、N=211×0.0001110 2、N=210×(-1101.1) 3、N=201×100.1 4、N=210×0.001101 5、N=2110×(-0.00001001) 6、N=201×0.00001011
Pf
阶码符号 阶码Leabharlann Sf数符 尾数2.4.3 定点表示和浮点表示的比较
(1)用相同的字长表示二进制数，浮点数表示的 范围比定点数表示的范围大。
假定用32位二进制来表示数。对定点机，用定点整数表示范 围为： +(231-1)~-(231-1)(机器数) 对浮点机，字长32位，其中8位表示阶码(含阶码符号)，24位 表示尾数(含数符)，它能表示的范围为： +(2(2^7-1)×(223-1)~-(2(2^7-1)×(223-1) +2127×(223-1)~-2127×(223-1) 显然，对于相同位数的数，浮点数的表示范围比定点数的表 示范围大得多，而且阶码位数适当多一些，所能表示数的范围会 更大些，但尾数有效数字却减少了，会影响运算精度。因此阶码 的位数和尾数的位数应根据使用要求来确定。
定点数与浮点数
第3章 DSP 芯片的定点运算3.1 数 的 定 标在定点DSP 芯片中，采用定点数进行数值运算，其操作数一般采用整型数来表示。
一个整型数的最大表示范围取决于DSP 芯片所给定的字长，一般为16位或24位。
显然，字长越长，所能表示的数的范围越大，精度也越高。
如无特别说明，本书均以16位字长为例。
DSP 芯片的数以2的补码形式表示。
每个16位数用一个符号位来表示数的正负，0表示数值为正，1则表示数值为负。
其余15位表示数值的大小。
因此二进制数0010000000000011b ＝8195 二进制数1111111111111100b ＝-4对DSP 芯片而言，参与数值运算的数就是16位的整型数。
但在许多情况下，数学运算过程中的数不一定都是整数。
那么，DSP 芯片是如何处理小数的呢？应该说，DSP 芯片本身无能为力。
那么是不是说DSP 芯片就不能处理各种小数呢？当然不是。
这其中的关键就是由程序员来确定一个数的小数点处于16位中的哪一位。
这就是数的定标。
通过设定小数点在16位数中的不同位置，就可以表示不同大小和不同精度的小数了。
数的定标有Q 表示法和S 表示法两种。
表3.1列出了一个16位数的16种Q 表示、S 表示及它们所能表示的十进制数值范围。
从表3.1可以看出，同样一个16位数，若小数点设定的位置不同，它所表示的数也就不同。
例如：16进制数2000H ＝8192，用Q0表示 16进制数2000H ＝0.25，用Q15表示但对于DSP 芯片来说，处理方法是完全相同的。
从表3.1还可以看出，不同的Q 所表示的数不仅范围不同，而且精度也不相同。
Q 越大，数值范围越小，但精度越高；相反，Q 越小，数值范围越大，但精度就越低。
例如，Q0的数值范围是-32768到+32767，其精度为1，而Q15的数值范围为-1到0.9999695，精度为 1/32768 = 0.00003051。
因此，对定点数而言，数值范围与精度是一对矛盾，一个变量要想能够表示比较大的数值范围，必须以牺牲精度为代价；而想提高精度，则数的表示范围就相应地减小。
定点整数,定点小数,浮点数,指数的关系
定点整数、定点小数、浮点数和指数是数学中常见的概念，它们在数字表示和运算中都起着重要的作用。
本文将介绍它们的定义、区别和通联，希望读者通过本文的阐述能够更加深入地理解这些概念。
一、定点整数定点整数是指在固定的位置表示的整数。
在计算机中，定点整数是直接表示整数值的，通常使用一个固定的位数来表示整数部分和小数部分。
8位的定点整数表示形式为sxxxxxxx，其中s表示正负号，x表示整数部分。
由于定点整数的位数是固定的，所以它能够表示的范围是有限的，但在一定的范围内可以得到较高的精度。
二、定点小数定点小数是指小数点位置固定的数。
它和定点整数相似，但是它的小数点位置是固定的，即小数点后面的位数是固定的。
三、浮点数浮点数是指用科学记数法来表示的数。
它由一个有效数字部分和一个指数部分组成。
有效数字部分是一个带小数点的十进制数，指数部分是一个用科学记数法表示的整数。
浮点数的特点是可以表示很大或很小的数，并且对于一些小数运算有比较好的精度。
但是由于浮点数的表示形式是二进制的，所以在表示某些十进制小数时会有精度损失的问题。
四、指数指数是表示数的次方的方法。
指数可以为整数、小数或者是分数。
当指数为整数时，结果很容易计算；当指数为小数或者分数时，结果需要通过计算机程序或者数学公式来计算。
定点整数、定点小数、浮点数和指数的关系可以从以下几个方面来看：1. 表示范围。
定点整数和定点小数的表示范围是固定的，而浮点数的表示范围是可以很大或者很小的。
指数的作用就是可以表示很大或者很小的数。
2. 表示精度。
定点整数和定点小数在一定范围内有较高的表示精度，而浮点数的精度会受到位数限制和表示问题的影响。
指数的作用是可以通过乘方运算来得到某些较大或者较小的数。
3. 表示方法。
定点整数和定点小数使用固定的位数来表示，而浮点数使用科学记数法来表示。
在实际的计算中，需要根据具体的需求来选择合适的表示方法。
在一些要求较高的计算中，可以使用浮点数来表示或者计算；在一些对精度要求较高的计算中，可以使用定点整数和定点小数来进行计算。
定点数与浮点数
小数点的表示为了节省内存，计算机中数值型数据的小数点的位置是隐含的，且小数点的位置既可以是固定的，也可以是变化的。
定点数与浮点数如果小数点的位置事先已有约定，不再改变，此类数称为“定点数”。
相比之下，如果小数点的位置可变，则称为“浮点数”。
⑴定点数。
常用的定点数有两种表示形式：如果小数点位置约定在最低数值位的后面，则该数只能是定点整数；如果小数点位置约定在最高数值位的前面，则该数只能是定点小数。
例如，假定用两个字节存放一个定点数，则以定点方式表示的十进制整数195为：这里，(-0.6876)10=(-0.10110000000001101…)2，转换为无限循环小数，存储时多余的位被截断。
如果知道一个定点数的小数点位置约定和占用存储空间大小，那么很容易确定其表示数的范围。
⑵浮点数。
浮点数表示法来源于数学中的指数表示形式，如193可以表示为0.193x103或1.93x102等。
一般地，数的指数形式可记作：N=M x RC其中，M称为“尾数”，C称为“阶码”。
在存储时，一个浮点数所占用的存储空间被划分为两部分，分别存放尾数和阶码。
尾数部分通常使用定点小数方式，阶码则采用定点整数方式。
尾数的长度影响该数的精度，而阶码则决定该数的表示范围。
同样大小的空间中，可以存放远比定点数取值范围大得多的浮点数，但浮点数的运算规则比定点数更复杂。
1. 什么是浮点数在计算机系统的发展过程中，曾经提出过多种方法表达实数。
典型的比如相对于浮点数的定点数（Fixed Point Number）。
在这种表达方式中，小数点固定的位于实数所有数字中间的某个位置。
货币的表达就可以使用这种方式，比如99.00 或者00.99 可以用于表达具有四位精度（Precision），小数点后有两位的货币值。
由于小数点位置固定，所以可以直接用四位数值来表达相应的数值。
SQL 中的NUMBER 数据类型就是利用定点数来定义的。
还有一种提议的表达方式为有理数表达方式，即用两个整数的比值来表达实数。
浮点转定点运算
浮点转定点运算
浮点转定点运算是指将浮点数转换为定点数进行运算。
浮点数是一种表示实数的方法，能够表示很大或很小的数，并具有一定的精度。
而定点数是指小数点固定在某个位置的数，一般用于实现整数运算。
浮点转定点运算的具体步骤如下：
1. 确定定点数的小数点位置：根据具体情况，确定定点数的小数点位置。
一般情况下，可以将小数点放在整数的最低位。
2. 将浮点数乘以一个倍数：将浮点数乘以一个适当的倍数，使得小数部分变为整数。
乘法的倍数应根据具体情况来确定，一般选择一个与浮点数小数位数相对应的倍数。
3. 取整操作：对乘法结果进行取整操作，得到定点数。
4. 考虑符号位：根据实际需要，添加符号位。
5. 进行运算：进行定点数的运算。
6. 结果转换：将计算结果转换为浮点数表示，即将小数点恢复到原来的位置并
进行取位操作。
需要注意的是，在浮点转定点运算过程中，会引入一定的误差，因为定点数的精度是固定的，而浮点数的精度是可变的。
因此，在进行精确计算时，需要注意误差的累积问题。
计算机中数值的表示
数值型数据由数字组成，表示数量，用于算术操作中。
3.5.1 定点数和浮点数的概念在计算机中，数值型的数据有两种表示方法，一种叫做定点数，另一种叫做浮点数。
所谓定点数，就是在计算机中所有数的小数点位置固定不变。
定点数有两种：定点小数和定点整数。
定点小数将小数点固定在最高数据位的左边，因此，它只能表示小于1的纯小数。
定点整数将小数点固定在最低数据位的右边，因此定点整数表示的也只是纯整数。
由此可见，定点数表示数的范围较小。
为了扩大计算机中数值数据的表示范围，我们将12.34表示为0.1234×102，其中0.1234叫做尾数，10叫做基数，可以在计算机内固定下来。
2叫做阶码，若阶码的大小发生变化，则意味着实际数据小数点的移动，我们把这种数据叫做浮点数。
由于基数在计算机中固定不变，因此，我们可以用两个定点数分别表示尾数和阶码，从而表示这个浮点数。
其中，尾数用定点小数表示，阶码用定点整数表示。
在计算机中，无论是定点数还是浮点数，都有正负之分。
在表示数据时，专门有1位或2位表示符号，对单符号位来讲，通常用“1”表示负号；用“0”表示正号。
对双符号位而言，则用“11”表示负号；“00”表示正号。
通常情况下，符号位都处于数据的最高位。
3.5.2 定点数的表示一个定点数，在计算机中可用不同的码制来表示，常用的码制有原码、反码和补码三种。
不论用什么码制来表示，数据本身的值并不发生变化，数据本身所代表的值叫做真值。
下面，我们就来讨论这三种码制的表示方法。
1. 原码原码的表示方法为：如果真值是正数，则最高位为0，其它位保持不变；如果真值是负数，则最高位为1，其它位保持不变。
【例1】写出13和–13的原码(取8位码长)解：因为13=(1101)2，所以13的原码是00001101，-13的原码是10001101。
采用原码，优点是转换非常简单，只要根据正负号将最高位置0或1即可。
但原码表示在进行加减运算时很不方便，符号位不能参与运算，并且0的原码有两种表示方法：+0的原码是00000000，-0的原码是10000000。
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定点数与浮点数
计算机处理的数值数据多数带有小数，小数点在计算机中通常有两种表示方法，一种是约定所有数值数据的小数点隐含在某一个固定位置上，称为定点表示法，简称定点数；另一种是小数点位置可以浮动，称为浮点表示法，简称浮点数。
1. 定点数表示法(fixed-point)
所谓定点格式，即约定机器中所有数据的小数点位置是固定不变的。
在计算机中通常采用两种简单的约定：将小数点的位置固定在数据的最高位之前，或者是固定在最低位之后。
一般常称前者为定点小数，后者为定点整数。
定点小数是纯小数，约定的小数点位置在符号位之后、有效数值部分最高位之前。
若数据x 的形式为x = x0.x1x2…x n( 其中x0为符号位，x1～x n是数值的有效部分，也称为尾数，x1为最高有效位)，则在计算机中的表示形式为：
一般说来，如果最末位x n = 1，前面各位都为0 ，则数的绝对值最小，即|x|mi n = 2-n。
如果各位均为1，则数的绝对值最大，即|x|ma x =1-2-n 。
所以定点小数的表示范围是：
2- n ≤ | x| ≤ 1 - 2- n
定点整数是纯整数，约定的小数点位置在有效数值部分最低位之后。
若数据x 的形式为x = x0x1x2…x n ( 其中x0为符号位，x1～x n是尾数，x n为最低有效位)，则在计算机中的表示形式为：
定点整数的表示范围是：
1≤ | x| ≤ 2n - 1
当数据小于定点数能表示的最小值时，计算机将它们作0处理，称为下溢；大于定点数能表示的最大值时，计算机将无法表示，称为上溢，上溢和下溢统称为溢出。
计算机采用定点数表示时，对于既有整数又有小数的原始数据，需要设定一个比例因子，数据按其缩小成定点小数或扩大成定点整数再参加运算，运算结果，根据比例因子，还原成实际数值。
若比例因子选择不当，往往会使运算结果产生溢出或降低数据的有效精度。
用定点数进行运算处理的计算机被称为定点机。
2. 浮点数表示法(floating-point number)
4与科学计数法相似，任意一个J进制数N，总可以写成
N = J E × M
式中M称为数N 的尾数(mantissa)，是一个纯小数；E为数N 的阶码(e x ponent)，是一个整数，J称为比例因子J E 的底数。
这种表示方法相当于数的小数点位置随比例因子的不同而在一定范围内可以自由浮动，所以称为浮点表示法。
底数是事先约定好的(常取2)，在计算机中不出现。
在机器中表示一个浮点数时，一是要给出尾数，用定点小数形式表示。
尾数部分给出有效数字的位数，因而决定了浮点数的表示精度。
二是要给出阶码，用整数形式表示，阶码指明
小数点在数据中的位置，因而决定了浮点数的表示范围。
浮点数也要有符号位。
因此一个机器浮点数应当由阶码和尾数及其符号位组成：
其中E S 表示阶码的符号，占一位，E1～E n为阶码值，占n位，尾符是数N 的符号（注意此处不是尾数的符号），也要占一位。
当底数取2 时，二进制数N 的小数点每右移一位，阶码减小1，相应尾数右移一位；反之，小数点每左移一位，阶码加1，相应尾数左移一位。
若不对浮点数的表示作出明确规定，同一个浮点数的表示就不是唯一的。
例如11.01 也可以表示成0.011012-3，0.1101×2-2等等。
为了提高数据的表示精度，当尾数的值不为0 时，其绝对值应大于等于0.5，即尾数域的最高有效位应为1，否则要以修改阶码同时左右移小数点的方法，使其变成这一要求的表示形式，这称为浮点数的规格化表示。
当一个浮点数的尾数为0 时，不论其阶码为何值，或者当阶码的值遇到比它能表示的最小值还小时，不管其尾数为何值，计算机都把该浮点数看成0 值，称为机器零。
浮点数所表示的范围比定点数大。
假设机器中的数由8 位二进制数表示(包括符号位)：在定点机中这8 位全部用来表示有效数字(包括符号)；在浮点机中若阶符、阶码占 3 位，尾符、尾数占 5 位，在此情况下，若只考虑正数值，定点机小数表示的数的范围是0.0000000 到0.1111111，相当于十进制数的0 到127／128，而浮点机所能表示的数的范围则是 2 - 11×0.0001 到211×0.1111
（此处不用考虑符号位），相当于十进制数的1／128 到7.5 。
显然，都用8 位，浮点机能表示的数的范围比定点机大得多。
尽管浮点表示能扩大数据的表示范围，但浮点机在运算过程中，仍会出现溢出现象。
下面以阶码占 3 位，尾数占 5 位(各包括 1 位符号位)为例，来讨论这个问题。
图2-1 给出了相应的规格化浮点数的数值表示范围。
图2-1 规格化浮点数分布示意图（图中的3是二进制的11，尾数包括符号位一共是5位，因为有一位是整个数N的符号位，所以，尾数的小数点后面只
有4位；正数和负数的原理相同）
图2-1 中，“可表示的负数区域”和“可表示的正数区域”及“0”（注意机器也可以表示0），是机器可表示的数据区域；上溢区是数据绝对值太大，机器无法表示的区域；下溢区是数据绝对值太小，机器无法表示的区域。
若运算结果落在上溢区，就产生了溢出错误，使得结果不能被正确表示，要停止机器运行，进行溢出处理。
若运算结果落在下溢区，也不能正确表示之，机器当0 处理，称为机器零。
（总之，上溢机器停止运行，下溢当机器零处理）
一般来说，增加尾数的位数，将增加可表示区域数据点的密度，从而提高了数据的精度；增加阶码的位数，能增大可表示的数据区域。
（阶码增加位数提高了能表示的数据范围，尾数增加位数提高了数值得精度，因为小数点后面的位数更多了）。