比和比例基础知识点总结

1．比例的基本概念
表示两个比相等的式子叫做比例．组成比例的四个数，叫做比例的项，两端的两项叫做比例的 外项，中间的两项叫做比例的內项．
2．比例的基本性质
在比例中，两个外项的积等于两个內项的积．通过这个性质可进一步得知：1、交换內项或外 项的位置等式仍成立；2、內项变外项、外项变內项等式仍成立 推论 交叉相乘： a : b c : d
三、比例应用题基础—按必分配
【例 7】 某化肥厂甲、乙、丙三个车间共有工人 820 人，如果三个车间人数的比是 8:12:21，问 甲、乙、丙三个车间各有多少人？ 【真题】2008 年· 实外· 小升初考试· 6分 【答案】甲车间 160 人，乙车间 240 人，丙车间 420 人 【解析】甲车间有： 820 8 12 21 8 160 人； 乙车间有： 820 8 12 21 12 240 人； 丙车间有： 820 160 240 420 人．
【小结】化简最简比的几个技巧： (1) 小数和分数先化成整数． (2) 整数连比同时除以最大公约数． (3) 只有两项时，可将比看成除法．
3．比在生活中的应用
比在应用题中的体现了各个量的数量关系，例如 3 : 4 3:4 可表示 3 份和 4 份的倍数比例关 系．体会比在生活中的这种应用，对于今后解决分数、比例、百分数应用题打下基础有着重要的意 义。 【例 2】填空： (1) 小明的僵尸卡有 20 张，太阳卡有 10 张；小红的僵尸卡有 12 张，太阳卡有 30 张。那么小明与 小红僵尸卡之比是_______；太阳卡之比是________；总数量之比是_________。 (2) 从 A 地到 B 地，甲要 12 小时，乙要 18 小时，甲、乙两人时间之比是_________。 (3) 从 A 地到 B 地，甲乙所用时间之比是 3:4，甲用了 6 小时，那么乙用_________小时。 (4) 两个正方形边长之比是 1:2，周长之比是__________。 【答案】 (1) 5 : 3 1: 3 5 : 7；(2) 2 : 3 ；(3) 8；(2) 1: 2 【例 3】 (1) 甲数与乙数的比是 2:3，乙数与丙数的比是 4:5，则甲、乙、丙三数的比是______. 1 1 1 1 (2) 甲数与乙数的比是 : ，乙数与丙数的比是 : ，则甲、乙、丙三数的比是______. 3 4 2 4 【答案】(1) 8 :12 :15 ; (2) 8 : 6 : 3 【解析】乙是连接甲和丙的桥梁 (1) 甲:乙 2 : 3 8 :12
4:5 x :8 5 x 32 32 x 5
(2) 1 5 1 x 20 8 3 1 x 32 3 32 x 3 3 x 32
三、比和比例的区别
比是表示两个数相除的关系；比由两项组成(前项和后项) ；任意两个数都能组成比． 比例是表示两个比相等的关系；比例由四项组成，两个內项两个外形项． 【小结】
由分数、比的定义我们可以得到： a b a : b 【小结】 除法 被除数 除数 商
a b
分数 分子 分母 分数值
比 前项 后项 比值
2．比的性质与最简比
比的前项和后项同时扩大或缩小相同的倍数(零除外) ，比值不变．如， 3 4 6 8 ，即
3: 4 6 : 8 ．
【基础练习 1】填空：
3: 2 27 :
9:(
) 15

111 ( )

( 8
)
(
) :14
【答案】 3: 2 27 : 18 9 : (6) 15 10
111 (12) (21) :14 (74) 8
利用比的性质，将比的前项和后项化为整数时若前项与后项互质则称为最简整数比，也称最简 比。通常我们在表示具体题目的结果时，若结果为比，均要求化简为最简比。 【基础练习 2】填空： (1) 将 27 : 36 化成最简单的整数比是________，读作________. 3 (2) 将 : 0.75 化成最简单的整数比是________，读作________. 8 1 1 1 (3) 将 : : 化成最简单的整数比是________。 2 3 4 【答案】(1) 3 : 4 ，3 比 4；(2) 1: 2 ，1 比 2；(3) 6 : 4 : 3
S 【解析】 t是相同，是定值， t ，则 S、v 成正比，甲与乙速度 v 之比是 4:5，则甲与乙路程 S 之 v
比是 4:5 【例 6】判断题 (1) 长方形的面积一定，长和宽成正比例． 【真题】2010 年· 成外· 小升初考试· 2分 (2) 甲、乙两数的乘积是 7，这两个数一定成反比例． （ 【真题】2013 年· 成外· 小升初考试· 外地生· 1分 【答案】错误；正确 【解析】(1) 设长方形的面积为 s，长为 a，宽为 b 可得， S ab ，其中 S 是定值，即长和宽乘积是定值，长宽成反比，故应为错误。 (2) 甲乙两数乘积是定值，则甲乙成正比，答案为正确。 ） （ ）
比和比例基础
牧童教育 4 也可以写作 3 : 4 ，读作 3 比 4．“比”表示两个数相除的关系，两个数相除又叫做两个数的 3 比．“比号”前面的数叫做前项，比号后面的数叫做后项，比的结果叫比值．例如 3 : 4 的比值是 ， 4 或 0.75
注意，比值是一个数值，可以为分数、小数、整数。 【板书】
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四、正比例和反比例
正比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果两种量中，相对应的两个 数的比值一定，两种量就叫做正比例的量，它们的关系叫做正比例关系．如果用字母 x，y 表示两 种关联的量，用 k 表示它们的比值，正比例关系可以用下面式子表示： y x k (k 是定值) 反比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果两种量中，相对应的两个 数的乘积一定，两种量就叫做发比例的量，它们的关系叫做反比例关系．如果用字母 x，y 表示两 种关联的量，用 k 表示它们的乘积，反比例关系可以用下面式子表示： xy k (k 是定值) 【基础练习 5】例如，在行程问题中我们知道存在 S vt 。 (1) 若甲乙两人速度之比是 4:5，那么两人同时从 A 地出发去 B 地，所用时间之比是？ 【答案】5:4 【解析】 S是相同，是定值，vt S ，则 v、t 成反比，如，甲与乙速度 v 之比是 4:5，则甲与乙时间 t 之比是 5:4 (2)若甲乙两人速度之比是 4:5，那么两人同时行驶 5 小时，行驶的路程之比是？ 【答案】4:5
2 : 3 4 : 6 4 : 6 2 : 3 2 : 4 3 : 6 3 : 6 2 : 4 由 2 6 3 4 可得 或 6 : 3 4 : 2 4 : 2 6 : 3 6 : 4 2 : 3 2 : 3 6 : 4
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2 4 2 1 唯一)。即 9 ， ， 和 这四个数可以组成比例。判断正确。 5 35 3 3 28 35 2 35 4 21 6 6 28 35 2 35 4 21 , , , 法二：这四个数通分写成 ，因为 ， 105 105 105 105 105 105 105 105
乙: 丙 4 : 5 12 :15 甲:乙: 丙 8 :12 :15
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1 1 2 1 甲:乙 : : 3 4 3 2 2 1 1 甲:乙 : 丙 : : 8 : 6 : 3 3 2 4
(2)
当然，也可以将两个比都化成整数比后再化连比
二、比例的认识
a c ad bc b d
【证明】根据等式的性质，等式两边同时乘以相同的数，等式不变 a c a c 即， bd bd ad bc b d b d a c 另外， ，a b c d，a : b c : d ad bc b d x 1 5x 120 1 x 24 如上面的练习题可以用下面得解法： 120 5 【基础练习 3】4 个数：2，3，4，6，能写成比例吗？如果能，请写出全部比例。 【答案】能；见解析 【解析】比例的内项之积等于外项之积，那么只要能找到两两相乘相等的关系就能找到比例
12 x 15 4 x5 (2) 14 x : 2:3 2x 1 4 3 x 21
【例 5】 解方程．(1) 4 : 5 x :8 ；(2)
1 1 5 : :x 3 20 8
【真题】2013 年·实外西区·小升初考试 【答案】(1) x 【解析】(1)
32 3 (2) x 5 32
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【解析】(1) 27 : 36 27 9 : 36 9 3: 4 ，最简整数比是 3: 4 ，读作“3 比 4” 3 3 3 (2) : 0.75 : 1: 2 ，最简整数比是 1: 2 ，读作“1 比 2” 8 8 4 1 1 1 1 1 1 (3) : : 12 : 12 : 12 6 : 4 : 3 ，最简整数比是 6 : 4 : 3 2 3 4 2 3 4 注意：比是表示两个数相除的式子，那么多个数的连比是把多个数两两之见“比”的关系表示 在了一起。在实际应用中通过连比可以清晰的看出各个量之间的大小关系，多项的连比仍然符合比 的性质，但不具备比值。化简连比，仍然要使得每一项为整数，并且各项互质（即再无公共因 数） 。 【例 1】 把下面比化成最简比： 1 (1) 72 : 45 ________ : 0.3 ________ 10
7.2 4 1 ________ :1 ________ 5 3 7 1 1 1 8 (2) 24 : 26 : 40 ________ 91: 26 : 78 ________ : : ________ 3.2 :1.6 : ________ 3 4 6 3 【答案】 (1) 8 : 5，1: 3，8 : 5，36 : 25；(2) 12 :13: 20，7 : 2 : 6，4 : 3: 2，6 : 3: 5