归纳与演绎

“归纳与演绎”是两种重要的推理思维方式，也是解决数学问题的重要方法. 请简单叙

述“归纳”与“演绎”的思维过程, 并各举一个你在数学教学中的例子

1.归纳与演绎的关系

数学中最基本的推理方法就是归纳法和演绎法.归纳推理和演绎推理是根据思维过程的不同来加以区分的.归纳是由个别到一般的推理，演绎是由一般到个别的推理.归纳和演绎是两种不同的思维过程，但它们又有着密切的联系，这种联系表现在两个方面.首先，从演绎的前提看，它最初的基础是从原始概念和数学公理开始的，而所谓的原始概念和数学公理都是在实践中归纳出来的，从演绎所要证明的定理、公式、法则来看，这些结论起初也是人们在实践中通过归纳猜想而得到的，而后才是对它们的演绎证明.因此，演绎以归纳为基础，归纳为演绎准备了条件.其次，从归纳的前提看，归纳对于所考察的每一个特殊结论一般都是经过演绎思考的，从归纳的结论来看，它的正确性也需要经过演绎证明才能确认.因此，归纳以演绎为指导，演绎为归纳提供了理论依据.

从归纳与演绎的关系我们不难看到，归纳的过程蕴含着数学问题的猜想与发现的过程，归纳法具有一定的创造性.演绎过程是对数学问题的证明、整理的过程，演绎法是扩展数学知识体系，揭示知识的内部联系的主要方法.因此，归纳和演绎在数学理论形成和发展的过程中，都起着十分重要的作用，这也意味着在数学教学中，必须正确处理好归纳与演绎的关系，使学生的归纳推理能力和演绎推理能力都得到培养.

现以“有理数加法法则”的教学为例，谈谈“归纳与演绎并用”教学原则的应用.“有理数加法法则”的教学，可以有多种不同的设计方案，大体上可分为两类：一类是较快地由教师给出法则，用较多的时间组织学生练习，以求熟练地掌握法则；另一类是注重法则归纳过程的教学，渗透数学思想方法，适当压缩应用法则的练习.第一种方案，教学的重点偏重于让学生通过练习，熟练法则的应用，这是重演绎轻归纳的表现.第二种方案，注重引导学生参与探索、归纳有理数加法法则产生的过程，主动地获取知识，学生不仅会用法则，还学懂了法则的来龙去脉，归纳推理和演绎推理能力都得到了培养.

按第二种方案，设计如下教学思路：

①提出问题：我们已经学习了有理数的一些基本知识，从今天起学习有理数的运算.首先研究两个有理数的加法.两个有理数怎样相加呢？

②给出现实模型：请大家看一个熟悉的实际问题：足球比赛中赢球数与输球数是相反意义的量.若规定赢球为“正”，输球为“负”，不赢不输则为“0”(比如赢3球记为+3，输2球记为－2).那么，学校足球队在一场比赛中的胜负可能有哪些情形？

③师生共同探讨：上半场赢了3球，下半场赢了2球，那么全场共赢了5球，也就是(+3)+(+2)=+5……(共八种情形).

④归纳有理数加法法则：上面列出了两个有理数相加的各种不同情况，并根据它们的具体意义得出了它们相加的和.但是要计算两个有理数相加的和，我们总不能一直用这种方法.师生共同归纳，得出有理数加法法则：(略)

⑤应用法则进行计算：通过口答、笔算，提醒同学们注意两点：一是判断、确定“和”的符号；二是计算“和”的绝对值.

归纳是由个别到一般的推理，演绎是由一般到个别的推理.归纳和演绎是两种不同的思维过程归纳的过程蕴含着数学问题的猜想与发现的过程，归纳法具有一定

的创造性.演绎过程是对数学问题的证明、整理的过程，演绎法是扩展数学知识体系，揭示知识的内部联系的主要方法

空间观念主要表现在哪些方面呢？《数学课程标准》对此作了具体描述：能够由实物的形状想像出几何图形，由几何图形想像出实物图形，进行几何体与其三视图、展开图之间的转化；能描述实物或几何图形的运动和变化；能采用适当的方法描述物体间的位置关系；能应用图形形象地描述问题，利用直观进行思考等。那么，如何在数学教学中培养学生的空间观念呢？

一、在学生个体生活经验中建立空间观念在教学中从学生的生活经验

入手，使学生把所学知识与生活经验联系起来，才能更好地掌握知识，内化知识。“空间观念”不是通过传授能获得的，而是要让学生自己去感知、体验，

二、在对实物、模型的观察中形成空间观念在实际观察中，亲身经历，

亲身体会，得到相关表象，建立空间观念，经历从对实物模型的直观观察到对图形的直观观察，逐步形成空间观念。

三、在动手操作中强化空间观念数学实践活动是学生主动发展的自由

天地，动手操作是新课程提倡的重要学习方式之一。空间观念的培养和发展，更离不开动手操作的实践活动。学生动手操作的过程，其实质是学生多种感官协同活动，促进知识内化的过程，通过操作活动，能够促使学生更深刻地理解数学知识，逐步形成空间观念，强化空间观念。

四、在想像、联想中发展空间观念空间想象能力是在丰富的空间感知基

础上逐步形成的想象能力，是空间观念的进一步发展。空间想象依

赖于空间感知，只有充分发挥学生的空间想像能力，学生的空间观

念才会得到升华。

在教学中要通过从具体的情景中抽象出数量关系和变化规律，并用符号表示后解决实际问题和直接列算式运算的量的对比，让学生体会到由于使用符号清楚、简便地表达了这些具体情景中的数量关系和变化规律从而简化了运算过程，使学生能体会符号的价值，感受符号对自己思维的帮助，积极发展自己的符号意识。

五、首先：要结合数学的内容，及时教学一些数学符号。

教学常用的数学符号，一方面要从具体的情景中抽象出数量关系和变化规律，并用符号表示，使学生认识符号，会用符号；另一方面还要让学生体会到由于使用符号才很清楚、很简便地表达了这些具体情景中的数量关系和变化规律。其次：培养学生的符号感还得鼓励学生创造性地使用自己的独特符号，在使用自己的符号时，最能体会符号的价值，最能感受符号对自己思维的帮助，也最能积累使用符号的经验。这正是符号感最重要的部分