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中考几何应用题精讲精练含答案

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2021中考冲刺- 几何形应用题(解析版)

2021中考冲刺- 几何形应用题(解析版)

几何型应用题几何应用题常常以现实生活情最为背景,考查学生识别图形的能力、动手操作图形的能力、运用几何知识解决实际问题的能力以及探索、发现问题的能力和观察、想像、分析、综合、比较、演绎、归纳、抽象、概括、类比、分类讨论、数形结合等数学思想方法。

1（2020•崇明区一模）如图1为放置在水平桌面l上的台灯，底座的高AB为5cm，长度均为20cm的连杆BC、CD与AB始终在同一平面上．（1）转动连杆BC，CD，使∠BCD成平角，∠ABC＝150°，如图2，求连杆端点D离桌面l的高度DE．（2）将（1）中的连杆CD再绕点C逆时针旋转，经试验后发现，如图3，当∠BCD＝150°时台灯光线最佳．求此时连杆端点D离桌面l的高度比原来降低了多少厘米？【点睛】（1）如图2中，作BO⊥DE于O．解直角三角形求出OD即可解决问题．（2）过C作CG⊥BH，CK⊥DE，由题意得，BC＝CD＝20m，CG＝KH，解直角三角形即可得到结论．【详解】解：（1）如图2中，作BO⊥DE于O．∵∠OEA＝∠BOE＝∠BAE＝90°，∴四边形ABOE是矩形，∴∠OBA＝90°，∴∠DBO＝150°﹣90°＝60°，∴OD＝BD•sin60°＝20√3（cm），∴DE＝OD+OE＝OD+AB＝（20√3+5）cm；（2）过C作CG⊥BH，CK⊥DE，由题意得，BC＝CD＝20m，CG＝KH，∴在Rt△CGB中，sin∠CBH=CGBC=CG20=√32，∴CG＝10√3cm，∴KH＝10√3cm，∵∠BCG＝90°﹣60°＝30°，∴∠DCK＝150°﹣90°﹣30°＝30°，在Rt△DCK中，sin∠DCK=DKDC=DK20=12，∴DK＝10cm，∴（20√3+5）﹣（15+10√3）＝10√3−10，答：比原来降低了（10√3−10）厘米．1．（2009•新华区校级一模）气象台发布的卫星云图显示，某台风在海岛A北偏西60°方向上的点B处生成，某城市（设为点C）在海岛A北偏东45°方向上，以O为原点建立如图所示的直角坐标系，点A 位于y轴上，台风生成处B和城市所在处C都在x轴上，其中点A的坐标为（0，﹣100）．（1）请在图中表示北偏东45°方向的射线AC，并标出点C的位置；（2）点B的坐标为（﹣100√3，0），点C的坐标为（100，0）；（结果保留根号）（3）若此台风中心从点B以30km/h的速度向正东方向移动，已知距台风中心30km的范围内均会受到台风的侵袭，那么台风从生成到最初侵袭C城要经过多长时间？（本问中√3取1.7）【点睛】（1）先在图中表示北偏东45°方向的射线AC，与x轴的交点即为点C的位置；（2）在Rt△AOB中根据三角函数的知识可得点B的坐标，根据等腰直角三角形的性质可求出点C的坐标；（3）先求出BC的长，根据速度求台风从生成到最初侵袭C城要经过的路程，再根据时间＝路程÷速度，列式计算即可．【详解】解：（1）如图所示：射线AC，与x轴的交点即为点C的位置．（2）∵OB＝OA•tan60°＝100√3，OC＝OA＝100，∴点B的坐标为（﹣100√3，0），点C的坐标为（100，0）；（3）∵BC＝OB+OC＝100√3+100＝270km，（270﹣30）÷30＝8小时．∴台风从生成到最初侵袭C城要经过8小时．2．（2019•苏州一模）如图，某市郊外景区内一条笔直的公路a经过A、B两个景点，景区管委会又开发了风景优美的景点C，经测量景点C位于景点A的北偏东30°方向8km处，位于景点B的正北方向，已知AB＝5km．（1）求景点B与景点为C的距离；（结果保留根号）（2）为方便游客到景点游玩，景区管委会准备由景点C向公路a修建一条距离最短的公路，不考虑其它因素，求出这条公路的长．（结果精确到0.1km．参考数据：√3=1.73，√5=2.24）【点睛】（1）过点A作AD⊥CB，交CB的延长线于点D，先解Rt△ADC，得出CD＝4√3，再解Rt△ABD，得出BD＝3，则BC＝CD﹣BD；（2）过点C作CE⊥AB于点E．在Rt△CBE中，由正弦函数的定义即可求解．【详解】解：（1）如图，过点A作AD⊥CB，交CB的延长线于点D．在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，∠ACD＝30°，∴AD=12AC=12×8＝4，∴CD=√AC2−AD2=4√3．在Rt△ABD中，BD=√AB2−AD2=√52−42=3，∴BC＝CD﹣BD＝4√3−3，答：景点B与景点为C的距离为（4√3−3）km；（2）过点C作CE⊥AB于点E．sin∠ABD=ADAB=45．在Rt△CBE中，sin∠CBE=CE CB，∵∠ABD＝∠CBE，∴sin∠CBE=4 5，∴CE＝CB•sin∠CBE＝（4√3−3）×45=16√3−125≈3.1（km）．答：这条公路长约为3.1km．3．（2019•锡山区期末）如图1是超市的手推车，如图2是其侧面示意图，已知前后车轮半径均为5cm，两个车轮的圆心的连线AB与地面平行，测得支架AC＝BC＝60cm，AC、CD所在直线与地面的夹角分别为30°、60°，CD＝50cm．（1）求扶手前端D到地面的距离；（2）手推车内装有简易宝宝椅，EF为小坐板，打开后，椅子的支点H到点C的距离为10cm，DF＝20cm，EF∥AB，∠EHD＝45°，求坐板EF的宽度．（本题答案均保留根号）【点睛】（1）如图2，过C作CM⊥AB，垂足为M，又过D作DN⊥AB，垂足为N，过C作CG⊥DN，构造Rt△AMC和Rt△CGD中，通过解这两个直角三角形求得相关线段的长度；（2）由平行线的性质知∠EFH＝∠DCG＝60°；根据题意得到CD＝50cm，DF＝20cm，FH＝20cm，如图2，过E作EQ⊥FH，垂足为Q，设FQ＝x，通过解Rt△EQF和Rt△EQH，根据等量关系HQ+FQ＝FH＝20cm列出方程√3x+x＝20，通过解方程求得答案．【详解】（1）如图2，过C作CM⊥AB，垂足为M，又过D作DN⊥AB，垂足为N，过C作CG⊥DN，垂足为G，则∠DCG＝60°．∵AC＝BC＝60cm，AC、CD所在直线与地面的夹角分别为30°、60°，∴∠A＝∠B＝30°，则在Rt△AMC中，CM=12AC=30cm．∵在Rt△CGD中，sin∠DCG=DGCD，CD＝50cm，∴DG＝CD⋅sin∠DCG＝50⋅sin60°=50×√32=25√3．又GN＝CM＝30cm，前后车轮半径均为5 cm，∴扶手前端D到地面的距离为DG+GN+5=25√3+30+5＝35+25√3（cm）；（2）∵EF∥CG∥AB，∴∠EFH＝∠DCG＝60°，∵CD＝50cm，椅子的支点H到点C的距离为10 cm，DF＝20cm，∴FH＝20cm，如图2，过E作EQ⊥FH，垂足为Q，设FQ＝x，在Rt△EQF中，∠EFH＝60°，∴EF＝2FQ＝2x，EQ=√3x，在Rt△EQH中，∠EHD＝45°，∴HQ＝EQ=√3x，∵HQ+FQ＝FH＝20cm，∴√3x+x＝20，解得x=10√3−10．∴EF＝2（10√3−10）=20√3−20．答：坐板EF的宽度为（20√3−20）cm．4．（2019•南昌模拟）在日常生活中我们经常会使用到订书机，如图MN是装订机的底座，AB是装订机的托板，始终与底座平行，连接杆DE的D点固定，点E从A向B处滑动，压柄BC可绕着转轴B旋转．已知压柄BC的长度为15cm，BD＝5cm，压柄与托板的长度相等．（1）当托板与压柄夹角∠ABC＝37°时，如图①点E从A点滑动了2cm，求连接杆DE的长度；（2）当压柄BC从（1）中的位置旋转到与底座AB的夹角∠ABC＝127°，如图②．求这个过程中点E 滑动的距离．（答案保留根号）（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8．tan37°≈0.75）【点睛】（1）作DH⊥BE于H，在Rt△BDH中用三角函数算出DH和BH，再求出EH，在三角形DEH 中用勾股定理即可求得DE；（2）作DH⊥AB的延长线于点H，在Rt△DBH和Rt△DEH中，用三角函数分别求出BH，DH，EB的长，从而可求得点E滑动的距离．【详解】解：（1）如图①，作DH⊥BE于H，在Rt△BDH中，∠DHB＝90°，BD＝5，∠ABC＝37°，∴DH 5=sin37°，BH 5=cos37°，∴DH ＝5sin37°≈5×0.6＝3（cm ），BH ＝5cos37°＝5×0.8＝4（cm ）．∵AB ＝BC ＝15cm ，AE ＝2cm ，∴EH ＝AB ﹣AE ﹣BH ＝15﹣2﹣4＝9（cm ），∴DE =2+EH 2=√32+92=3√10（cm ）．答：连接杆DE 的长度为3√10cm ．（2）如图②，作DH ⊥AB 的延长线于点H ，∵∠ABC ＝127°，∴∠DBH ＝53°，∠BDH ＝37°，在Rt △DBH 中，BH BD =BH 5=sin37°＝0.6，∴BH ＝3cm ，∴DH ＝4cm ，在Rt △DEH 中，EH 2+DH 2＝DE 2，∴（EB +3）2+16＝90，∴EB ＝（√74−3）（cm ），∴点E 滑动的距离为：15﹣（√74−3）﹣2＝（16−√74）（cm ）．答：这个过程中点E 滑动的距离为（16−√74）cm ．5．（2019•灌云模拟）如图（1）是一种简易台灯，在其结构图（2）中灯座为△ABC （BC 伸出部分不计），A 、C 、D 在同一直线上．量得∠ACB ＝90°，∠A ＝60°，AB ＝16cm ，∠ADE ＝135°，灯杆CD 长为40cm ，灯管DE 长为15cm ．（1）求DE 与水平桌面（AB 所在直线）所成的角；（2）求台灯的高（点E 到桌面的距离，结果精确到0.1cm ）．（参考数据：sin15°＝0.26，cos15°＝0.97，tan15°＝0.27，sin30°＝0.5，cos30°＝0.87，tan30°＝0.58．）【点睛】（1）直接作出平行线和垂线进而得出∠EDF的值；（2）利用锐角三角函数关系得出DN以及EF的值，进而得出答案．【详解】解：（1）如图所示：过点D作DF∥AB，过点D作DN⊥AB于点N，EF⊥AB于点M，由题意可得，四边形DNMF是矩形，则∠NDF＝90°，∵∠A＝60°，∠AND＝90°，∴∠ADN＝30°，∴∠EDF＝135°﹣90°﹣30°＝15°，即DE与水平桌面（AB所在直线）所成的角为15°；（2）如图所示：∵∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝16cm，∴∠ABC＝30°，则AC=12AB＝8cm，∵灯杆CD长为40cm，∴AD＝48cm，∴DN＝AD•cos30°≈41.76cm，则FM＝41.76cm，∵灯管DE长为15cm，∴sin15°=EFDE=EF15=0.26，解得：EF＝3.9，故台灯的高为：3.9+41.76≈45.7（cm）．6．（2019•铁西区三模）如图，一扇窗户垂直打开，即OM⊥OP，AC是长度不变的滑动支架，其中一端固定在窗户的点A处，另一端在OP上滑动，将窗户OM按图示方向内旋转35°到达ON位置，此时点A，C的对应位置分别是点B，D，测量出∠ODB＝25°，点D到点O的距离为30cm，求滑动支架BD的长．（结果精确到1cm，参考数据：sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47，sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43）【点睛】根据锐角三角函数可以求得BE的长，然后根据sin∠BDE的值即可求得BD的长，本题得以解决．【详解】解：在Rt△BOE中，∠BOE＝55°，tan55°=BE OE，∴OE=BE tan55°，在Rt△BDE中，∠BDE＝25°，tan25°=BE DE，∴DE=BE tan25°，∴DO＝30，∴DO＝DE+OE=BEtan25°+BEtan55°=30，解得，BE≈10.6，在Rt△BDE中，∠BDE＝25°，sin25°=BE BD，∴BD=BEsin25°≈25，答：滑动支架BD的长大约为25cm．7．（2019•青岛模拟）在一次综合实践课上，同学们为教室窗户设计一个遮阳篷，小明同学绘制的设计图如图所示，其中AB表示窗户，且AB＝2米，BCD表示直角遮阳蓬，已知当地一年中正午时刻太阳光与水平线CD的最小夹角∠PDN＝18.6°，最大夹角∠MDN＝64.5°请你根据以上数据，帮助小明同学计算出遮阳篷中CD的长是多少米？（结果精确到0.1）（参考数据：sin18.6°≈0.32，tan18.6°≈0.34，sin64.5°≈0.90，tan64.5°≈2.1）【点睛】解直角三角求出BC＝0.34x米，AC＝2.1x米，得出方程，求出方程的解即可．【详解】解：设CD＝x米，在Rt△BCD中，∠BCD＝90°，∠CDB＝∠PDN＝18.6°，CB＝CD×tan18.6°≈0.34x米，在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，∠CDA＝∠MDN＝64.5°，AC＝CD×tan64.5°≈2.1x米，∵AB＝2米，AB＝AC﹣BC，∴2.1x﹣0.34x＝2，解得：x≈1.1，即遮阳篷中CD的长约为1.1米．8．（2019•鼓楼区校级一模）如图是小强洗漱时的侧面示意图，洗漱台（矩形ABCD）靠墙摆放，高AD＝80cm，宽AB＝48cm，小强身高166cm，下半身FG＝100cm，洗漱时下半身与地面成80°（∠FGK＝80°），身体前倾成125°（∠EFG＝125°），脚与洗漱台距离GC＝15cm（点D，C，G，K在同一直线上）．（1）此时小强头部E点与地面DK相距多少厘米？（2）此时小强头部E点是否恰好在洗漱盆AB的中点O的正上方？若是，请说明理由；若不是，他应向前还是向后移动多少厘米，使头部E点恰好是在洗漱盆AB的中点O的正上方？（sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，√2≈1.41，结果精确到1cm）【点睛】（1）过点F作FN⊥DK于N，过点E作EM⊥FN于M．求出MF、FN的值即可解决问题；（2）求出OH、PH的值即可判断；【详解】解：（1）过点F作FN⊥DK于N，过点E作EM⊥FN于M．∵EF+FG＝166，FG＝100，∴EF＝66，∵∠FGK＝80°，∴FN＝100•sin80°≈98，∵∠EFG＝125°，∴∠EFM＝180°﹣125°﹣10°＝45°，∴FM＝66•cos45°＝33√2≈46.5，∴MN＝FN+FM≈145，∴此时小强头部E点与地面DK相距约为145cm．（2）过点E作EP⊥AB于点P，延长OB交MN于H．∵AB＝48，O为AB中点，∴AO＝BO＝24，∵EM＝66•sin45°≈46.5，∴PH≈46.5，∵GN＝100•cos80°≈17，CG＝15，∴OH＝24+15+17＝56，OP＝OH﹣PH＝56﹣46.5≈10，∴他应向前10cm．9．（2019•休宁一模）有一只拉杆式旅行箱（图1），其侧面示意图如图2所示，已知箱体长AB＝50cm，拉杆BC的伸长距离最大时可达35cm，点A、B、C在同一条直线上，在箱体底端装有圆形的滚筒⊙A，⊙A与水平地面切于点D，在拉杆伸长至最大的情况下，当点B距离水平地面38cm时，点C到水平面的距离CE为59cm．设AF∥MN．（1）求⊙A的半径长；（2）当人的手自然下垂拉旅行箱时，人感觉较为舒服，某人将手自然下垂在C端拉旅行箱时，CE为80cm，∠CAF＝64°．求此时拉杆BC的伸长距离（精确到1cm，参考数据：sin64°≈0.90，cos64°≈0.39，tan64°≈2.1）【点睛】（1）作BH⊥AF于点K，交MN于点H，则△ABK∽△ACG，设圆形滚轮的半径AD的长是xcm，根据相似三角形的对应边的比相等，即可列方程求得x的值；（2）求得CG的长，然后在直角△ACG中，求得AC即可解决问题；【详解】解：（1）作BH⊥AF于点K，交MN于点H．则BK∥CG，△ABK∽△ACG．设圆形滚轮的半径AD的长是xcm．则BKCG=ABAC，即38−x59−x=5050+35，解得：x＝8．则圆形滚轮的半径AD的长是8cm；（2）在Rt△ACG中，CG＝80﹣8＝72（cm）．则sin∠CAF=CG AC，∴AC＝80，（cm）∴BC＝AC﹣AB＝80﹣50＝30（cm）．10．（2019•锡山区一模）校车安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载，某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点C，再在笔直的车道l上确定点D，使CD与l垂直，测得CD的长等于24米，在l上点D的同侧取点A、B，使∠CAD＝30°，∠CBD＝60°．（1）求AB的长（结果保留根号）；（2）已知本路段对校车限速为45千米/小时，若测得某辆校车从A到B用时2秒，这辆校车是否超速？说明理由．（参考数据：√3≈1.7，√2≈1.4）【点睛】（1）分别在Rt△ADC与Rt△BDC中，利用正切函数，即可求得AD与BD的长，继而求得AB 的长；（2）由从A到B用时2秒，即可求得这辆校车的速度，比较与40千米/小时的大小，即可确定这辆校车是否超速．【详解】解：（1）由题意得，在Rt△ADC中，tan30°=CDAD=24AD，解得AD＝24√3．在Rt△BDC中，tan60°=CDBD=24BD，解得BD＝8√3所以AB＝AD﹣BD＝24√3−8√3=16√3（米）．（2）汽车从A到B用时2秒，所以速度为16√3÷2＝8√3≈13.6（米/秒），因为13.6（米/秒）＝48.96千米/小时＞45千米/小时所以此校车在AB路段超速．11．（2019•盘锦模拟）某数学兴趣小组，利用树影测量树高，如图（1），已测出树AB的影长AC为12√3米，并测出此时太阳光线与地面成30°夹角．（1）求出树高AB；（2）因水土流失，此时树AB沿太阳光线方向倒下，在倾倒过程中，树影长度发生了变化，假设太阳光线与地面夹角保持不变．求树与地面成45°角时的影长．（用图（2）解答）（结果保留根号）．【点睛】（1）在直角△ABC中，已知∠ACB＝30°，AC＝12√3米．利用三角函数即可求得AB的长；（2）在△AB1C1中，已知AB1的长，即AB的长，∠B1AC1＝45°，∠B1C1A＝30°．过B1作AC1的垂线，在直角△AB1N中根据三角函数求得AN，BN；再在直角△B1NC1中，根据三角函数求得NC1的长，再根据当树与地面成60°角时影长最大，根据三角函数即可求解．【详解】解：（1）AB＝AC tan30°＝12√3×√33=12（米）．答：树高约为12米．（2）如图（2），B1N＝AN＝AB1sin45°＝12×√22=6√2（米）．NC1＝NB1tan60°＝6√2×√3=6√6（米）．AC1＝AN+NC1＝6√2+6√6．当树与地面成60°角时影长最大AC2（或树与光线垂直时影长最大或光线与半径为AB的⊙A相切时影长最大）AC2＝2AB2＝24；12．（2019•衢州一模）小明想利用所学数学知识测量学校旗杆高度，如图，旗杆的顶端垂下一绳子，将绳子拉直钉在地上，末端恰好在C处且与地面成60°角，小明拿起绳子末端，后退至E处，拉直绳子，此时绳子末端D距离地面1.6m且绳子与水平方向成45°角．（1）填空：AD＝AC（填“＞”，“＜”，“＝”）．（2）求旗杆AB的高度．（参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73，结果精确到0.1m）．【点睛】设绳子AC的长为x米；由三角函数得出AB，过D作DF⊥AB于F，根据△ADF是等腰直角三角形，得出方程，解方程即可．【详解】解：（1）由图形可得：ADA＝C；（2）设绳子AC的长为x米；在△ABC中，AB＝AC•sin60°，过D作DF⊥AB于F，如图：∵∠ADF＝45°，∴△ADF是等腰直角三角形，∴AF＝DF＝x•sin45°，∵AB﹣AF＝BF＝1.6，则x•sin60°﹣x•sin45°＝1.6，解得：x＝10，∴AB＝10×sin60°≈8.7（m），答：旗杆AB的高度为8.7m．故答案为：＝．13．（2009•滦县校级模拟）气象台发布的卫星云图显示，代号为W的台风在某海岛（设为点P）的南偏东45°方向的B点生成，测得PB＝100√6km．台风中心从点B以40km/h的速度向正北方向移动，经5h 后到达海面上的点C．因受气旋影响，台风中心从点C开始以30km/h的速度向北偏西60°方向继续移动．某城市（设为点A）位于海岛P的正北方向且处于台风中心的移动路线上．（1）求台风中心大约经过多长时间移动到海岛P的正东方向？（√3≈1.7，结果取整数）（2）求台风中心从生成到A城市所经过的路线长是多少km？（3）如果距台风中心20km的范围内均会受到台风的侵袭，那么台风从生成到最初侵袭该城要经过多长时间？【点睛】（1）先根据PB＝100√6km，∠EBF＝45°求出BE的长，再根据台风中心从点B到点C的速度是40km/h求出台风到达E点所需要的时间即可；（2）过点A作AD⊥BC，则AD＝PE，在Rt△ACD中由AC=ADsin60°求出AC的长，再根据台风中心从点B以40km/h的速度向正北方向移动，经5h后到达海面上的点C得出BC的长，进而可得出结论；（3）由（2）中所求的AC的长减去20km即为台风中心从C点开始到刚侵袭该城市的路线长度，再根据台风中心移动的速度即可求出时间．【详解】解：（1）∵在Rt△PBE中，PB＝100√6km，∠EBF＝45°，∴PE＝BE＝PB•cos45°＝100√6×√22=100√3，∵台风中心从点B到点C的速度是40km/h，∴台风中心从点B到点E所用的时间=BE40=100√340=5√32≈4（小时）；（2）过点A作AD⊥BC，则AD＝PE＝100√3，在Rt△ACD中，AC=ADsin60°=√332=200km，∵台风中心从点B以40km/h的速度向正北方向移动，经5h后到达海面上的点C，∴BC＝40×5＝200km，∴BC+AC＝200+200＝400km，即台风中心从生成到A城市所经过的路线长是400km；（3）∵距台风中心20km的范围内均会受到台风的侵袭，∴从点C开始到A城市受到袭击的时间=AC−2030=200−2030=6（小时），∵台风中心从点B到点C移动的时间是5小时，∴台风从生成到最初侵袭该城要经过6+5＝11（小时）．14．（2019•简阳市模拟）在一平直河岸l同侧有A，B两个村庄，A，B到l的距离分别是3km和2km，AB ＝akm（a＞1）．现计划在河岸l上建一抽水站P，用输水管向两个村庄供水．方案设计某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案：图1是方案一的示意图，设该方案中管道长度为d1，且d1＝PB+BA（km）（其中BP⊥l于点P）；图2是方案二的示意图，设该方案中管道长度为d2，且d2＝P A+PB （km）（其中点A′与点A关于l对称，A′B与l交于点P）．观察计算（1）在方案一中，d1＝km（用含a的式子表示）（2）在方案二中，组长小宇为了计算d2的长，作了如图3所示的辅助线，请你按小宇同学的思路计算，d2＝km（用含a的式子表示）．探索归纳（1）①当a＝4时，比较大小：d1＜d2（填“＞”、“＝”或“＜”）；②当a＝6时，比较大小：d1＞d2（填“＞”、“＝”或“＜”）；（2）请你参考方框中的方法指导，就a（当a＞1时）的所有取值情况进行分析，要使铺设的管道长度较短，应选择方案一还是方案二？【点睛】观察计算：（1）由题意可以得知管道长度为d1＝PB+BA（km），根据BP⊥l于点P得出PB＝2，故可以得出d1的值为a+2．（2）由条件根据勾股定理可以求出KB的值，由轴对称可以求出A′K的值，在Rt△KBA′由勾股定理可以求出A′B的值√a2+24就是管道长度．探索归纳：（1）①把a＝4代入d1＝a+2和d2=√a2+24就可以比较其大小；②把a＝6代入d1＝a+2和d2=√a2+24就可以比较其大小；（2）分类进行讨论当d1＞d2，d1＝d2，d1＜d2时就可以分别求出a的范围，从而确定选择方案．【详解】解：（1）∵如图1，作A关于执行l的对称点A′，连接P A′，∵A和A'关于直线l对称，∴P A＝P A'，d1＝PB+BA＝PB+P A'＝a+2；故答案为：a+2；（2）因为BK2＝a2﹣1，A'B2＝BK2+A'K2＝a2﹣1+52＝a2+24所以d2=√a2+24；故答案为：√a2+24；探索归纳：（1）①当a＝4时，d1＝6，d2=√40，d1＜d2；②当a＝6时，d1＝8，d2=√60，d1＞d2；故答案为：＜，＞；（2）d12﹣d22＝（a+2）2﹣（√a2+24）2＝4a﹣20．①当4a﹣20＞0，即a＞5时，d12﹣d22＞0，∴d1﹣d2＞0，∴d1＞d2；②当4a﹣20＝0，即a＝5时，d12﹣d22＝0，∴d1﹣d2＝0，∴d1＝d2③当4a﹣20＜0，即a＜5时，d12﹣d22＜0，∴d1﹣d2＜0，∴d1＜d2综上可知：当a＞5时，选方案二；当a＝5时，选方案一或方案二；当1＜a＜5时，选方案一．15．（2019•皇姑区校级模拟）著名的恩施大峡谷（A）和世界级自然保护区星斗山（B）位于笔直的沪渝高速公路X同侧，AB＝50km，A、B到直线X的距离分别为10km和40km，要在沪渝高速公路旁修建一服务区P，向A、B两景区运送游客．小民设计了两种方案，图1是方案一的示意图（AP与直线X垂直，垂足为P），P到A、B的距离之和S1＝P A+PB，图2是方案二的示意图（点A关于直线X的对称点是A'，连接BA′交直线X于点P），P到A、B的距离之和S2＝P A+PB（1）S1＝km．S2＝km．（2）P A+PB的最小值为km．（3）拟建的恩施到张家界高速公路与沪渝高速公路垂直，建立如图3所示的直角坐标系，B到直线的距为30km，请你在X旁和P旁各修建一服务区P、Q，使P、A、B、Q组成的四边形的周长最小，（用尺画出点P和点Q的位置）这个最小值为km．【点睛】（1）根据勾股定理分别求得S1、S2的值即可；（2）在公路上任找一点M，连接MA，MB，MA'，由轴对称知MA＝MA，由三角形的三边关系得出MB+MA ＝MB+MA'＞A'B，得出S2＝BA'为最小；（3）过A作关于x轴的对称点A'，过B作关于y轴的对称点B'，连接A'B'，交x轴于点P，交y轴于点Q，求出A'B'的值即可．在公路上任找一点M，连接MA，MB，MA'，由轴对称知MA＝MA，由三角形三边关系得出MB+MA＝MB+MA'＞A'B，S2＝BA'为最小；即可得出答案．【详解】解：（1）如图1中，过B作BC⊥X于C，AD⊥BC于D，则CP＝AD，则BC＝40km，又∵AP＝10，∴BD＝BC﹣CD＝40﹣10＝30km．在△ABD中，AD=√502−302=40（km），∴CP＝40km，在Rt△PBC中，BP=√CP2+BC2=√402+402=40√2（km），∴S1＝40√2+10（km）．如图2﹣1中，过B作BC⊥AA′垂足为C，则A′C＝50km，又∵BC＝40km，∴BA'=√402+502=10√41（km），由轴对称知：P A＝P A'，∴S2＝BA'＝10√41km，故答案为：（40√2+10），10√41；（2）在公路上任找一点M，连接MA，MB，MA'，如图2﹣2所示：由轴对称知MA＝MA'，∴MB+MA＝MB+MA'＞A'B，∴S2＝BA'＝10√41km为最小，即P A+PB的最小值为10√41km；故答案为：10√41；（3）过A作关于x轴的对称点A'，过B作关y轴的对称点B'，连接A'B'，交x轴于点P，交y轴于点Q，如图3所示：则P，Q即为所求．过A'、B'分别作x轴、y轴的平行线交于点G，B′G＝40+10＝50km，A′G＝30+30+40＝100km，A'B'=√1002+502=50√5（km），∴AB+AP+BQ+QP＝AB+A′P+PQ+B′Q＝50+50√5km，∴所求四边形的周长为（50+50√5）km；故答案为：（50+50√5）．16．（2019•温岭市一模）每年的6至8月份是台风多发季节，某次台风来袭时，一棵大树树干AB（假定树干AB垂直于地面）被刮倾斜15°后折断倒在地上，树的项部恰好接触到地面D（如图所示），量得树干的倾斜角为∠BAC＝15°，大树被折断部分和地面所成的角∠ADC＝60°，AD＝4米，求这棵大树AB原来的高度是多少米？（结果精确到个位，参考数据：√2≈1.4，√3≈1.7，√6≈2.4）【点睛】过点A作AE⊥CD于点E，由∠BAC＝15°可求出∠DAC的度数，在Rt△AED中由∠ADE＝60°，AD＝4可求出DE及AE的长度，在Rt△AEC中由直角三角形的性质可得出AE＝CE，故可得出CE的长度，再利用锐角三角函数的定义可得出AC的长，进而可得出结论．【详解】解：过点A作AE⊥CD于点E，∵∠BAC＝15°，∴∠DAC＝90°﹣15°＝75°，∵∠ADC＝60°，∴在Rt△AED中，∵cos60°=DEAD=DE4=12，∴DE＝2，∵sin60°=AEAD=AE4=√32，∴AE＝2√3，∴∠EAD＝90°﹣∠ADE＝90°﹣60°＝30°，在Rt△AEC中，∵∠CAE＝∠CAD﹣∠DAE＝75°﹣30°＝45°，∴∠C＝90°﹣∠CAE＝90°﹣45°＝45°，∴AE＝CE＝2√3，∴sin45°=CEAC=2√3AC=√22，∴AC＝2√6，∴AB＝2√6+2√3+2≈2×2.4+2×1.7+2＝10.2≈10米．答：这棵大树AB原来的高度是10米．17．（2019•潮南区模拟）如图所示，巨型广告牌AB背后有一看台CD，台阶每层高0.3米，且AC＝17米，现有一只小狗睡在台阶的FG这，层上晒太阳，设太阳光线与水平地面的夹角为α，当α＝60°时，测得广告牌AB在地面上的影长AE＝10米，过了一会，当α＝45°，问小狗在FG这层是否还能晒到太阳？请说明理由（√3取1.73）．【点睛】假设没有台阶，当α＝45°时，从点B射下的光线与地面AD的交点为点H，与FC的交点为点M．由∠BF A＝45°，可得AH＝AB＝17.3米，那么CH＝AH﹣AC＝0.3米，CM＝CH＝0.3米，所以大楼的影子落在台阶FC这个侧面上，故小狗可以晒到太阳．【详解】解：当α＝45°时，小狗仍可以晒到太阳．理由如下：假设没有台阶，当α＝45°时，从点B射下的光线与地面AD的交点为点H，与FC的交点为点M．当α＝60°时，在Rt△ABE中，∵tan60°=ABAE=AB10，∴AB＝10•tan60°＝10√3≈10×1.73＝17.3（米）．∵∠BHA＝45°，∴tan45°=ABAF=1，此时的影长AH ＝AB ＝17.3米， ∴CH ＝AH ﹣AC ＝17.3﹣17＝0.3米， ∴CM ＝CH ＝0.3米，∴大楼的影子落在台阶FC 这个侧面上， ∴小狗能晒到太阳． 故答案为：能晒到太阳； 18．（2019•沈阳）阅读材料：（1）等高线概念：在地图上，我们把地面上海拔高度相同的点连成的闭合曲线叫等高线， 例如，如图1，把海拔高度是50米，100米，150米的点分别连接起来，就分别形 成50米，100米，150米三条等高线．（2）利用等高线地形图求坡度的步骤如下：（如图2）步骤一：根据两点A ，B 所在的等高线地形图，分别读出点A ，B 的高度；A ，B 两点的 铅直距离＝点A ，B 的高度差；步骤二：量出AB 在等高线地形图上的距离为d 个单位，若等高线地形图的比例尺为 1：m ，则A ，B 两点的水平距离＝dn ； 步骤三：AB 的坡度=铅直距离水平距离=点A ，B 的高度差dn1； 请按照下列求解过程完成填空．某中学学生小明和小丁生活在山城，如图3，小明每天上学从家A 经过B 沿着公路AB ，BP 到学校P ，小丁每天上学从家C 沿着公路CP 到学校P ．该山城等高线地形图的比例尺为：1：50000，在等高线地形图上量得AB ＝1.8厘米，BP ＝3.6厘米，CP ＝4.2厘米（1）分别求出AB ，BP ，CP 的坡度（同一段路中间坡度的微小变化忽略不计）； （2）若他们早晨7点同时步行从家出发，中途不停留，谁先到学校？（假设当坡度在110到18之间时，小明和小丁步行的平均速度均约为1.3米/秒；当坡度在18到16之间时，小明和小丁步行的平均速度均约为1米/秒）解：（1）AB 的水平距离＝1.8×50000＝90000（厘米）＝900（米），AB 的坡度=200−100900=19； BP 的水平距离＝3.6×50000＝180000（厘米）＝1800（米），BP 的坡度=400−2001800=19； CP 的水平距离＝4.2×50000＝210000（厘米）＝2100（米），CP 的坡度＝ ．（2）因为110＜19＜18，所以小明在路段AB ，BP 上步行的平均速度均约为1.3米/秒，因为 ，所以小丁在路段CP 上步行的平均速度约为 米/秒，斜坡AB 的距离=√9002+1002=906（米），斜坡BP 的距离=√18002+2002=1811（米），斜坡CP 的距离=√21002+3002=2121（米），所以小明从家道学校的时间=906+18111.3=2090（秒）．小丁从家到学校的时间约为 秒．因此， 先到学校．【点睛】（1）欲求CP 的坡度，在题目中已经告诉了CP 的水平距离，由图知：C 、P 的高度差为（400﹣100）米，根据公式进行计算即可；（2）根据（1）题计算出的CP 坡度，然后判断出此坡度在什么范围内，进而得到小丁的步行平均速度； 计算小明所用的时间，已知了路程为2121米，在上面求出了小明的步行速度，根据时间＝路程÷速度即可求得，进而可判断出哪个同学先到学校． 【详解】解：①由题意知：CP 的坡度为：400−1002100=17，②因为：18＜17＜16，③所用小丁的速度为1米/秒，④小丁所用的时间为：2121÷1＝2121（秒）， ⑤由于2090＜2121，所用小明先到学校．。

2023年全国中考数学试题几何知识应用专题汇编及答案

2023年全国中考数学试题几何知识应用专题汇编及答案

2023年全国中考数学试题几何知识应用专题汇编及答案简介本文档提供了2023年全国中考数学试题中涉及的几何知识应用专题的汇编及答案。

通过深入理解和掌握这些专题，考生可以更好地应对中考中与几何有关的问题，并提高数学成绩。

专题一：平行线与平行四边形题目：1. 已知△ABC中，AB∥CD，AB的延长线与CD相交于点E，若m∠ABC = 50°，求m∠ECD的度数。

答案：130°2. 在平行四边形ABCD中，AB = 10 cm，BC = 8 cm，延长线AB交CD于点E，若m∠EAD = 40°，求m∠BEC的度数。

答案：140°专题二：相似三角形与比例题目：1. 已知△ABC与△DEF相似，且AB = 6 cm，BC = 8 cm，DE = 9 cm，EF = 12 cm，求△ABC与△DEF的周长比值。

答案：3:42. △ABC与△DEF相似，AB = 12 cm，BC = 16 cm，DE = 3 cm，求DE的延长线与BC相交的点F到BC的距离。

答案：4 cm专题三：直角三角形与勾股定理题目：1. 在直角三角形ABC中，AC = 5 cm，BC = 12 cm，求AB的长度。

答案：13 cm2. 直角三角形ABC中，AC = 8 cm，BC = 15 cm，若AB延长线与BC延长线相交于点D，求BD的长度。

答案：7.5 cm专题四：圆的性质与应用题目：1. 在圆O中，弧 AB 的度数是 120°，则它所对的圆心角的度数为多少。

答案：240°2. 已知圆O的半径为5 cm，圆心角的度数是 60°，求弧长的长度。

答案：5π cm专题五：三角形的面积与海伦公式题目：1. △ABC中，AB = 5 cm，BC = 8 cm，CA = 7 cm，求△ABC 的面积。

答案：17.32 cm²2. △ABC中，BC = 6 cm，CA = 8 cm，AB = 10 cm，若△ABC 的面积为24 cm²，求△ABC的高。

中考数学几何图形专题训练50题含参考答案

中考数学几何图形专题训练50题含参考答案

中考数学几何图形专题训练50题含答案(单选、填空、解答题)一、单选题1．如图是一正方体展开图，则有、志、者三面的对面分别是（）A．事竟成B．事成竟C．成竟事D．竟成事2．下列四个图中，每个都是由六个相同的小正方形组成，折叠后能围成正方体的是（）A．B．C．D．3．如图，下列说法正确的是（）A．直线OM与直线MN是同一条直线B．射线MO与射线MN是同一条射线C．线段OM与线段ON是同一条线段D．射线NO与射线MO是同一条射线4．如图是某同学在数学实践课上设计的正方体纸盒的展开图，每个面上都有一个汉字，其中与“明”字相对的面上的字是（）A．诚B．信C．友D．善5．图是一个正方体的表面展开图，将它折成正方体后，“法”字在上面，那么在下面的一定是（）A ．明B ．诚C ．信D ．制 6．如图，在直线l 上的点是（ ）A ．点AB ．点BC ．点CD ．点D 7．如图，C 为线段AB 上一点，点D 为AC 的中点，且2AD =，10AB =．若点E 在直线AB 上，且1BE =，则DE 的长为（ ）A ．7B ．10C ．7或9D ．10或11 8．已知3725α∠=︒'，则α∠的补角是( )A ．14235︒'B ．15235︒'C ．14275︒'D ．15275︒' 9．能解释：“用两个钉子就可以把木条固定在墙上”这实际问题的数学知识是（ ） A ．垂线段最短B ．两点确定一条直线C ．两点之间线段最短D ．同角的补角相等10．一副直角三角板如图放置，使两三角板的斜边互相平行，每块三角板的直角顶点都在另一三角板的斜边上，则∠1的度数为（ ）A ．90°B ．75°C ．65°D ．60° 11．用度、分、秒表示21.24为（ ）A ．211424'''B ．212024'''C ．21144'''D ．2114' 12．在下面的四个几何体中，它们各自的主视图、左视图与俯视图都一样的是（ ）A ．正方体B ．正四棱台C ．有正方形孔的正方体D ．底面是长方形的四棱锥 13．有5个大小一样的正方形制成如图所示的拼接图形（阴影部分），请你在图中的拼接图形上再接一个正方形，使新拼接成的图形折叠后能成为一个封闭的正方体盒子，你不能选择图中A ，B ，C ，D 中的（ ）位置拼接正方形．A ．AB ．BC ．CD ．D14．下列立体图形中，俯视图与主视图不同的是（ ）A ．B ．C ．D ．15．下列图形中，不可以作为一个正方体的表面展开图的是A ．B ．C ．D ． 16．如图，将ABC 绕点C 顺时针旋转得到DEC ，使点A 的对应点D 恰好落在边AB 上，点B 的对应点为E ，连接BE ，下列四个结论：∠AC CD =；∠A BEC ∠=∠；∠AB EB ⊥；∠CD 平分ADE ∠；其中一定正确的是（ ）A ．∠∠∠B ．∠∠∠C ．∠∠∠D ．∠∠∠∠17．下列说法中，正确的是（ ）∠射线AB 和射线BA 是同一条射线；∠等角的余角相等；∠若AB BC =，则点B 为线段AC 的中点；∠点C 在线段AB 上，M ，N 分别是线段AC ，CB 的中点，若5MN =，则线段10AB =．A ．∠∠B ．∠∠C ．∠∠D ．∠∠ 18．已知射线OC 是∠AOB 的平分线，若∠AOC=30°，则∠AOB 的度数为（ ） A ．15 B ．30 C ．45 D ．60 19．用两把常用三角板不可能拼成的角度为（ ）A ．45B ．105C ．125D ．150 20．如图，在∠ABC 中，BF 平分∠ABC ，过A 点作AF∠BF ，垂足为F 并延长交BC 于点G ，D 为AB 中点，连接DF 延长交AC 于点E ．若AB=12，BC=20，则线段EF 的长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题21．已知2437α'∠=︒，那么α∠的补角等于______．22．已知∠α=60°，则∠α的余角等于____度．23．在空间搭4个大小一样的等边三角形，至少要_______根游戏棒.24．已知线段14cm AB =，点C 是直线AB 上一点，4cm BC =，若M 是AC 的中点，N 是BC 的中点，则线段MN 的长度是___________cm ．25．下午12:20 分，钟表上时针与分针所夹角的度数为_____度（所求夹角小于180︒）．26．和都是 的余角，则______．27．图，∠AOC =∠BOD =90°，OB 在∠AOC 的内部，OC 在∠BOD 的内部，OE 是∠AOB 的一条三等分线．请从A ，B 两题中任选一题作答．A．当∠BOC＝30°时，∠EOD的度数为__________．B．当∠BOC＝α°时，∠EOD的度数为__________（用含α的代数式表示）．28．将一副三角尺如图所示叠放在一起，则∠AEC＝______度．29．对几何体分类时，首先确定标准，即：（1）从形状方面，按柱体、________、球划分；（2）从面的方面，按组成的面有无__________划分；（3）从顶点方面，按有无________划分．30．几个同学在公园玩，发现一个漂亮的“古董”. 甲：它有10个面；乙：它有24条棱；丙：它有8个面是正方形，2个面是多边形；丁：如果把它的侧面展开，是一个长方形，这个长方形有八种颜色，挺好看. 通过这四个同学的对话，从几何体的名称来看，这个“古董“的形状是_____________.31．如图，一艘船由A港沿北偏东65︒方向航行30km至B港，然后再沿北偏西40︒方向航行至C港，C港在A港北偏东20︒方向，则A，C两港之间的距离为______km．32．如图是一个正方体的展开图，将它折叠成正方体后，字母B的对面是________．（用图中字母表示）33．甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是40m /min ，甲客轮沿北偏东30°的方向航行15min 到达点A ，乙客轮沿南偏东60°的方向航行20min 到达点B ．则A 、B 两点的直线距离为______m ．34．平行四边形ABCD 中，AE 平分∠BAD 交BC 与点E ，且将BC 分成4cm 和6cm 两部分，则平行四边形ABCD 的周长为_____________．35．如图，AB 是∠O 的直径，点C 、D 是AB 两侧∠O 上的点，若∠CAB ＝34°，则∠ADC ＝_____°．36．点C 在直线AB 上，若AB ＝3，BC ＝2，则AC 为_____．37．由O 点引出的7条射线如图，若OA OE ⊥，OC OG ⊥，BOC FOG ∠>∠，则图中以O 为顶角的锐角共有________个．38．一个由125个同样的小正方体组成的大正方体，从这个大正方体中抽出若干个正方体，把大正方体中相对的两面打通，结果如图，则图中剩下的小正方有______个．39．如图，∠α=120°，∠β=90°，则∠γ的度数是________ °．40．Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=20，BC=10，D、E分别为边AB、CA上两动点，则CD+DE的最小值为______．三、解答题41．如图，AD为△ABC的角平分线，点E在AC上，点F在BC上，连接BE交AD于点G，连接EF，∠1＝∠2.(1)求证：∠BEF与∠AGB互补；(2)若∠C＝75°，EF∠BC，求∠ABC的度数．42．如图，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．若∠BOC＝70°，∠AOC＝50°．求出∠D0E及其补角的度数.43．小明用剪刀展开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分，即图中的∠和∠．根据你所学的知识，回答下列问题：（1）小明总共剪开了条棱．（2）现在小明想将剪断的∠重新粘贴到∠上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒，请你帮助小明在∠上补全．(作图要求：先用尺和铅笔画图，再用黑色的签字笔描一遍)（3）小明说：已知这个长方形纸盒高为3cm ，底面是一个正方形，并且这个长方形纸盒所有棱长的和是92cm ，请计算，这个长方体纸盒的体积是___________cm 3．44．如图1，已知AB //CD ，点G 在AB 上，点H 在EF 上，连接CG 、CH ，CG CH ⊥，90CHE CGA ∠+∠=︒．(1)求证：AB //EF ；(2)如图2，若90BAE ∠=︒，延长HC 交BA 的延长线于点M ，请直接写出图2中所有与AGC ∠互余的角．45．如图，100AOB ∠=︒，射线OC 以2/s ︒的速度从OA 位置出发，射线OD 以10/s ︒的速度从OB 位置出发，设两条射线同时绕点O 逆时针旋转s t ．(1)当10t =时，求COD ∠的度数；(2)若015t ≤≤．∠当三条射线OA 、OC 、OD 构成的三个度数大于0︒的角中，有两个角相等，求此时t 的值；∠在射线OD ，OC 转动过程中，射线OE 始终在BOD ∠内部，且OF 平分AOC ∠，当110EOF ∠=︒，求BOE AOD∠∠的值． 46．如图：点A ，B ，E 在同一条直线上，AD AC ⊥，且BD AD AE EC ⊥⊥，，垂足分别为A ，D ，E ．(1)求证：ABD ∽CAE ；(2)若1356AB BD AC ===，，，求CE 的值．47．如图，AF BC ∥．72FAC ∠=︒，CD 平分ACB ∠，4CDE BCD ∠=∠．(1)求CDE ∠的度数．(2)求证：AED B ∠=∠．48．(1)如图1，已知点C ，D 在线段AB 上，P 是BD 的中点，线段AB ，CP 的长度m ，n 满足227(15)0m n -+-=，AD ：BC ＝5：7，求线段CD 的长度；(2)已知∠AOB ＝140°，将射线OB 绕着点O 逆时针旋转一定的角度α（0°＜α＜140°）得到射线OD ，作∠BOD 的平分线OP ，将射线OP 绕着点O 逆时针旋转60°得到射线OC ．∠AOD ：∠BOC ＝1：t ．∠如图2，若t ＜1，请直接用含有t 的式子表示出∠AOD 的度数；∠若∠COD ＝12∠AOC ，求t 的值． 49．问题提出（1）如图1，点A ，B 在直线l 的同侧，在直线l 上作一点P ，使得AP BP +的值最小．问题探究（2）如图2，正方形ABCD 的边长为6，点M 在DC 上，且2DM =，N 是AC 上的一动点，则DN MN +的最小值是_________．问题解决（3）现在各大景区都在流行“真人CS ”娱乐项目，其中有一个“快速抢点”游戏，游戏规则如图3，在用绳子围成的一个边长为12m 的正方形ABCD 场地中，游戏者从AB 边上的点E 处出发，分别先后赶往边,,BC CD DA 上插小旗子，最后回到点E ．求游戏者所跑的最少路程．50．如图，已知，在Rt ABC 中，斜边10AB =，4sin 5A = ，点P 为边AB 上一动点（不与A ，B 重合），PQ 平分CPB ∠交边BC 于点Q ，QM AB ⊥于M QN CP ⊥，于N ．(1)当AP=CP 时，求QP ；(2)若CP AB ⊥ ，求CQ ；(3)探究：AP 为何值时，四边形PMQN 与BPQ 的面积相等？参考答案：1．A【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．【详解】解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“有”与面“事”相对，面“志”与面“竟”相对，“者”与面“成”相对．故选A．【点睛】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．2．C【详解】试题解析：A、折叠后，没有上下底面，故不能围成正方体；B、折叠后，缺少一个底面，故也不能围成正方体；C、折叠后能围成正方体；D、折叠后第一行两个面无法折起来，而且下边没有面，不能折成正方体；故选C．考点：展开图折叠成几何体．3．A【分析】根据直线、射线、线段的概念求解即可【详解】解：同一条直线可由这条直线上任意两点的大写字母表示，选项A正确；同一条射线必须满足端点相同，延伸方向相同，选项B，D错误；同一条线段的两个端点相同，选项C错误.故选：A.【点睛】本题考查的知识点是线段、射线以及直线的概念，熟记概念定义是解题的关键. 4．B【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，在正方体盒子上与“明”字相对的面上的字是“信”．故选：B．【点睛】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．5．C【分析】根据正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，这一特点作答即可．【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，∠与“法”字相对的面上的汉字是“信”．故应选：C ．【点睛】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键6．B【分析】根据图像点与线的关系可直接得出答案．【详解】解：由图像可知点A 、C 、D 在直线l 外，点B 在直线l 上故选B ．【点睛】本题考查了点线关系，比较简单．7．C【分析】由题意根据线段中点的性质，可得AD 、DC 的长，进而根据线段的和差，可得DE 的长．【详解】解：∠点D 为AC 的中点，且2AD =，∠2AD DC ==，∠10AB =，∠6BC AB AD DC =--=,∠1BE =，当E 在B 左侧，2617DE DC BC BE =+-=+-=,当E 在B 右侧，2619DE DC BC BE =++=++=.∠DE 的长为7或9.故选：C.【点睛】本题考查两点间的距离，解题的关键是利用线段的和差以及线段中点的性质． 8．A【分析】根据互补两角之和180°计算即可．【详解】∠3725α∠=︒'∠α∠的补角=1803725︒-︒'=14235︒'，故选A ．【点睛】本题考查补角定义和角度计算，需要注意角度度分秒计算时进制时60． 9．B【分析】根据两点确定一条直线解答即可．【详解】解：“用两个钉子就可以把木条固定在墙上”这实际问题的数学知识是:两点确定一条直线，故选B ．【点睛】本题考查了直线的性质，熟练掌握两点确定一条直线是解答本题的关键． 10．B【分析】根据平行线的性质可得∠FDC ＝∠F ＝30°，然后根据三角形外角的性质可得结果．【详解】解：如图，∠EF ∠BC ，∠∠FDC ＝∠F ＝30°，∠∠1＝∠FDC +∠C ＝30°+45°＝75°，故选：B ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角的性质，熟知三角板各个角的度数是解本题的关键．11．A【分析】根据度、分、秒之间的进制，先将度中的小数部分转化为分，再将分的小数部分转化为秒即得．【详解】解：21.24210.2460︒'︒=+⨯2114.4︒'=+21140.460'''=︒++⨯211424'''=︒++211424'''=︒．故选：A ．【点评】本题考查了度、分、秒运算，熟练掌握度、分、秒之间的六十进制是解题关键，六十进制与十进制易混淆．12．A【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，找到三个图形一致的几何体即可．【详解】解：A、正方体的三视图是全等的正方形，符合题意；B、正四棱台的三视图分别为梯形，梯形，两个正方形的组合图形，不符合题意；C、有正方孔的正方体的左视图与主视图都是正方形里面有两条竖直的虚线，俯视图是两个正方形的组合图形，不符合题意；D、四棱锥的三视图分别是三角形，三角形，四边形及中心，不符合题意；故选A．【点睛】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意看不到的棱用虚线表示．13．A【分析】结合正方体的平面展开图的特征，只要折叠后能围成正方体即可．【详解】解：如图所示：根据立方体的展开图可知，不能选择图中A的位置接正方形．故选：A．【点睛】此题主要考查了应用与设计作图．正方体的平面展开图共有11种，应灵活掌握，不能死记硬背．14．C【分析】从正面看所得到的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上面看到的图象是俯视图．【详解】A ．俯视图与主视图都是正方形，故该选项不合题意；B ．俯视图与主视图都是矩形，故该选项不合题意；C ．俯视图是圆，左视图是三角形；故该选项符合题意；D ．俯视图与主视图都是圆，故该选项不合题意；故选C ．【点睛】此题主要考查了三视图，关键是把握好三视图所看的方向．属于基础题，中考常考题型．15．B【分析】利用不能出现同一行有多于4个正方形的情况，不能出现田字形、凹字形的情况进行判断也可．【详解】A ．可以作为一个正方体的展开图，B ．不可以作为一个正方体的展开图，C ．可以作为一个正方体的展开图，D ．可以作为一个正方体的展开图，故选B ．【点睛】本题考查了正方体的展开图，熟记展开图的11种形式是解题的关键，利用不是正方体展开图的“一线不过四、田凹应弃之”（即不能出现同一行有多于4个正方形的情况，不能出现田字形、凹字形的情况）判断也可．16．A【分析】根据旋转的性质得到AC CD =，BC CE =，A EDC ∠=∠，故∠正确；得到ACD BCE ∠=∠，CBE BEC ∠=∠，根据三角形的内角和得到1802ACD A ADC ︒-∠∠=∠=，1802BCE CBE BEC ︒-∠∠=∠=，求得A BEC ∠=∠，故∠正确；由于A ABC ∠+∠不一定等于90︒，于是得到ABC CBE ∠+∠不一定等于90︒，故∠错误，可求得ADC EDC ∠=∠，故可判定∠．【详解】解：∠ABC 绕点C 顺时针旋转得到DEC ，∠AC CD =，BC CE =，A EDC ∠=∠，ACB ECD ∠=∠，故①正确；∴A ADC EDC ∠=∠=∠，ACD DCB DCB BCE ∠+∠=∠+∠，∠CD 平分ADE ∠，ACD BCE ∠=∠，故∠正确；∠BC CE =，∠CBE BEC ∠=∠，∠根据三角形内角和定理可知1802ACDA ADC︒-∠∠=∠=，1802BCECBE BEC ︒-∠∠=∠=，∠A BEC∠=∠，故∠正确；∠A ABC∠+∠不一定等于90︒，ABC CBE∴∠+∠不一定等于90︒，故∠错误．综上，正确的由①②④，故选：A.【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质、、三角形的内角和定理、角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键．17．C【分析】根据射线及线段的定义及特点可判断各项，从而得出答案．【详解】∠射线AB和射线BA不是同一条射线，错误；∠同角的余角相等，正确；∠若AB=BC，点B在线段AC上时，则点B为线段AC的中点，错误；∠点C在线段AB上，M，N分别是线段AC，CB的中点．若MN=5，则线段AB=10，正确．故选：C．【点睛】本题考查射线及线段的知识，注意基本概念的掌握是解题的关键．18．D【分析】根据角平分线的定义即可求解．【详解】解：∠射线OC是∠AOB的平分线，∠AOC=30°，∠∠AOB=60°．故答案选：D．【点睛】此题考查了角的计算，以及角平分线的定义，关键是熟练掌握角平分线的定义．19．C【分析】根据两个三角板可拼出的角度有15°，30°，45°，60°，75°，90°，105°，120°，135°，150°，180°【详解】∠三角板的度数为30°,60°,90°;45°,45°,90°∠可拼出的角度有15°,30°,45°,60°,75°,90°105°,120°,135°,150°,180°.故答案选：C.【点睛】本题考查的知识点是角的计算，解题的关键是熟练的掌握角之间的转换.20．CAB，由角平分线的定义可证得【分析】由直角三角形的性质可求得DF=BD=12DE∠BC，利用三角形中位线定理可求得DE的长，则可求得EF的长．【详解】解:∠AF∠BF，D为AB的中点，∠DF=DB=1AB=6，2∠∠DBF=∠DFB，∠BF平分∠ABC，∠∠DBF=∠CBF，∠∠DFB=∠CBF，∠DE∠BC，∠DE为∠ABC的中位线，∠DE=1BC=10，2∠EF=DE−DF=10−6=4，故选C.【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形中位线定理.根据直角三角形斜边上的中线是斜边是斜边的一半可得∠DBF 为等腰三角形，通过角平分线的性质和等角对等边可得DF//BC，即DE为∠ABC的中位线，从而计算出DE，继而求出EF.21．155°23′【分析】根据补角的概念，直接作答即可．【详解】解：根据题意，∠α=24°37′，则∠α的补角=180°-24°37′=155°23′．故答案为：155°23′．【点睛】此题考查补角的问题．解题的关键是掌握补角的定义，涉及角度问题时，需要特别注意题干中是否带有单位．22．30【详解】∠互余两角的和等于90°，∠α的余角为：90°-60°=30°.故答案为：3023．6【分析】根据题意可知在同一平面内用游戏棒搭4个大小一样的等边三角形（两个菱形），至少要9根游戏棒，在空间搭4个大小一样的等边三角形，如三棱锥，至少要6根游戏棒．【详解】由题可知：因为4个等边三角形需12根游戏棒，但可共用3根，所以至少要9根游戏棒；因为空间可以共棱，所以至少要6根游戏棒．【点睛】此题涉及到规律型：数字的变化类．主要考查了学生的分析、总结、归纳能力，规律型的习题一般是从所给的数据和运算方法进行分析，从特殊值的规律上总结出一般性的规律．24．7【分析】本题需要分两种情况讨论，∠当点C在线段AB上时，∠当点C在线段AB的延长线上时，根据线段中点的定义，计算即可．【详解】如图，当点C在线段AB上时，则14410AC=-=∠M是AC的中点，N是BC的中点，∠1152722MN MC CN AC BC=+=+=+=；如图，当点C在线段AB的延长线上时，则14418AC=+=，∠M是AC的中点，N是BC的中点，∠1192722MN MC CN AC BC=-=-=-=，综上所述，段MN的长度是7cm，故答案为：7【点睛】本题考查了两点间的距离，关键是利用了线段的中点的定义，分情况讨论．25．110【分析】因为钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是30°，借助图形，找出时针和分针之间相差的大格数，用大格数乘30°即可．【详解】解：∠时针在钟面上每分钟转0.5°，分针每分钟转6°，∠钟表上12时20分钟时，时针与分针的夹角可以看成时针转过12时0.5°×20=10°，分针在数字4上．∠钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°，∠12时20分钟时分针与时针的夹角4×30°-10°=110°．故答案为：110．【点睛】本题考查钟表分针所转过的角度计算．在钟表问题中，常利用时针与分针转动的度数关系：分针每转动1°时针转动（112）°，并且利用起点时间时针和分针的位置关系建立角的图形．26．=【详解】解：∠α=90°-∠AOB ，∠β=90°-∠AOB ，故∠α=∠β．故答案为=． 27． 110°或130° 1203α⎛⎫-︒ ⎪⎝⎭或21503α⎛⎫-︒ ⎪⎝⎭ 【分析】A 、根据角的和差得到∠AOB =90°-30°=60°，根据OE 是∠AOB 的一条三等分线，分类讨论，当∠AOE =13∠AOB =20°，∠当∠BOE ′=13∠AOB =20°，根据角的和差即可得到结论；B 、根据角的和差得到∠AOB ，根据OE 是∠AOB 的一条三等分线，分类讨论，当∠AOE =13∠AOB ，∠当∠BOE ′=13∠AOB ，根据角的和差即可得到结论． 【详解】解：A 、如图，∠∠AOC =90°，∠BOC =30°，∠∠AOB =90°-30°=60°，∠OE 是∠AOB 的一条三等分线，∠∠当∠AOE =13∠AOB =20°， ∠∠BOE =40°，∠∠BOD=90°，∠∠EOD=∠BOD+∠BOE=130°，∠当∠BOE′=13∠AOB=20°，∠∠DOE′=90°+20°=110°，综上所述，∠EOD的度数为130°或110°，故答案为：130°或110°；B、∠∠AOC=90°，∠BOC=α°，∠∠AOB=90°-α°，∠OE是∠AOB的一条三等分线，∠∠当∠AOE=13∠AOB=30°-13α°，∠∠BOE=90°-α-（30-13α）°=60°-23α°，∠∠BOD=90°，∠∠EOD=∠BOD+∠BOE=150°-23α°，∠当∠BOE′=13∠AOB=30°-13α°，∠∠DOE′=90°+30°-13α°=120°-13α°，综上所述，∠EOD的度数为150°-23α°或120°-13α°，故答案为：150°-23α°或120°-13α°；【点睛】本题考查了余角和补角的定义，角的倍分，熟练掌握余角和补角的性质是解题的关键．28．75【分析】由∠BAC=∠ACD=90°，可得AB∠CD，所以∠BAE=∠D=30°，利用三角形的外角关系即可求出∠AEC的度数．【详解】解：∠∠BAC=∠ACD=90°，∠AB∠CD，∠∠BAE=∠D=30°，∠∠AEC=∠B+∠BAE=75°，故答案为：75.【点睛】此题主要三角形的外角的性质，平行线的性质与判定，三角板中角度的计算，判断出AB ∠CD 是解本题的关键．29． 锥体 曲的面 顶点【分析】根据不同的分类标准的要求即可求解．【详解】解：（1）从形状方面，按柱体、__锥体______、球划分；（2）从面的方面，按组成的面有无____曲的面______划分；（3）从顶点方面，按有无____顶点____划分．故答案为（1）锥体，（2）曲的面，（3）顶点．【点睛】本题考查立体图形的不同分类方法，掌握各种分类标准及要求是解题关键． 30．八棱柱【分析】棱柱有两个面互相平行，其余各面都是多边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行；据此，再结合“这个‘古董’有8个面是正方形，2个面是多边形”，即可确定答案.【详解】根据甲：它有10个面；乙：它有24条棱；丙：它有8个面是正方形，2个面是多边形；丁：如果把它的侧面展开，是一个长方形.可知它符合棱柱的特征，可知是一个八棱柱.故答案为八棱柱.【点睛】本题考查了认识立体图形，解题的关键是熟练掌握棱柱的特征.31．【分析】根据题意得，6520CAB ∠=︒-︒，402060ACB ∠=︒+︒=︒，30AB =，过B 作BE AC ⊥于E ，解直角三角形即可得到结论．【详解】解：根据题意得，652045CAB ∠=︒-︒=︒，402060ACB ∠=︒+︒=︒，30AB =， 过B 作BE AC ⊥于E ，90AEB CEB ∴∠=∠=︒，在Rt ABE ∆中，45ABE ∠=︒，30AB =，AE BE ∴== 在Rt CBE ∆中，60ACB ∠=︒，CE ∴=AC AE CE ∴=+=∴，C两港之间的距离为km，A故答案为：【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，方向角问题，三角形的内角和，是基础知识比较简单．32．D【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解答即可．【详解】解：正方体的平面展开图中，相对的面一定相隔一个正方形，所以字母B的对面是D．故答案为D．【点睛】本题考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．33．1000【分析】先画出草图，根据∠COA=30°，∠EOB=60°，∠EOC=180°，得到∠AOB=90°，根据路程=速度×时间，得到OA=40×15=600，OB=40×20=800，利用勾股定理计算AB即可．【详解】画出草图如下，∠∠COA=30°，∠EOB=60°，∠EOC=180°，∠∠AOB=90°，∠路程=速度×时间，∠OA =40×15=600，OB =40×20=800，∠AB =1000，故答案为：1000．【点睛】本题考查了方位角，勾股定理，正确理解方位角的意义，熟练掌握勾股定理是解题的关键．34．32cm 或28cm【分析】根据角平分线性质，得BAE DAE ∠=∠；根据平行四边形及平行线性质，得BEA DAE ∠=∠，从而得BAE BEA ∠=∠；根据等腰三角形性质，得BA BE =；根据题意，分两种情况分析，通过计算即可得到答案．【详解】根据题意，如图：∠AE 平分∠BAD 交BC 与点E ，∠BAE DAE ∠=∠∠平行四边形ABCD∠//AD BC∠BEA DAE ∠=∠∠BAE BEA ∠=∠∠BA BE =AE 将BC 分成4cm 和6cm 两部分，当6cm BE =时，得6cm BA BE ==∠10cm BC BE EC =+=∠平行四边形ABCD 的周长为2232cm BA BC +=当4cm BE =时，得4cm BA BE ==∠平行四边形ABCD 的周长为2228cm BA BC +=故答案为：32cm 或28cm ．【点睛】本题考查了角平分线、平行四边形、平行线、等腰三角形的知识；解题的关键是熟练掌握角平分线、平行四边形、等腰三角形的性质，从而完成求解．35．56【分析】先由圆周角定理得∠ACB ＝90°，求得∠ABC 的度数，然后由圆周角定理，即可求得∠ADC 的度数．【详解】解：∠AB 为∠O 的直径，∠∠ACB ＝90°，∠∠CAB ＝34°，∠∠ABC ＝90°﹣∠CAB ＝56°，∠∠ADC ＝∠ABC ＝56°．故答案为：56．【点睛】本题考查了圆周角定理以及直角三角形的性质等知识；熟练掌握圆周角定理是解题的关键．36．1或5【分析】分为两种情况，画出图形，根据线段的和差即可得出答案．【详解】解：当C 在线段AB 上时，AC=AB-BC=3-2=1，当C 在线段AB 的延长线时，AC=AB+BC=3+2=5，即AC=1或5，故答案为：1或5．【点睛】本题考查了线段的和差，能求出符合的所有情况是解此题的关键，注意要进行分类讨论．37．15【分析】分别以OA 、OB 、OC 、OD 、OE 、OF 为一边，数出所有角，找出其中的非锐角，相减即可得答案．【详解】解：以OA 、OB 、OC 、OD 、OE 、OF 为始边，分别有角6个，5个，4个，3个，2个，1个，图中共有角21个，OA OE ⊥，所以以OA 为边的非锐角有3个，分别为,,AOG AOF AOE ，,OC OG ,BOC FOG∠∠COF +∠BOC ＞90°，∠∠FOB ＞90°．所以以OB 为边的非锐角有2个，分别为,BOG BOF ，以OC 为边的非锐角有1个，为COG ∠．于是图中共有锐角21-（3+2+1）=15个．故答案为15．【点睛】此题考查了角的数法，要以每条边为始边，数出所有角，要注意，不能漏数，也不能多数，要注意去掉非锐角．38．73【分析】根据题意：我们把相对面打通需要去掉的小正方体分三种情况，按一定的顺序数去掉的小正方体数量，如前后面，上下面，左右面分别去数数，然后用总数125减掉数出来的三部分即可，注意：前面数过的后面的一定去掉，否则会重复的．【详解】解：前后面少(3+2)×5＝25(个)，上下面少的(去掉与前后面重复的)(5-3)+2×3+1×5＝13(个)，左右面少的(去掉与前后，上下重复的)(5-3)+(5-1)+(5-2)+(5-2-1)+(5-2)＝14(个)， 125-(25+13+14)＝73(个)，答：图中剩下的小正方体有73个．故答案为：73．【点睛】本题考查了正方体的对面上的数字，要注意不能重复和遗漏．39．150.【分析】根据周角的定义，利用360度减去∠α和∠β即可求解．【详解】由题意可得，∠γ=360°-∠α-∠β=360°-120°-90°=150°．故答案是：150．【点睛】本题考查了角度的计算，正确得到图中三个角之间的关系是解决问题的关键．40．16【分析】作点C关于AB的对称点C'，过点C'作C'E∠AC，交AB于点D'，即可确定C'E 就是CD+DE的最小值，然后运用勾股定理和相似三角形的知识求解即可．【详解】作点C关于AB的对称点C'，过点C'作C'E∠AC，交AB于点D'，则CD+DE的最小值为C'E的长；∠∠ACB=90°，AC=20，BC=10，，∠∠A=∠C'，∠''C E AC CC AB，∠C'E=16；故答案为16；【点睛】本题考查了相似三角形、勾股定理和最短距离问题，其中运用作对称点确定最短距离是解答的关键．41．(1)证明见解析(2)∠ABC=75°【分析】（1）先利用角平分线的定义得到∠DAC=∠1，则∠DAC=∠2，于是可判断。

【2021浙江中考数学】方程在几何中的应用含答案

【2021浙江中考数学】方程在几何中的应用含答案

方程在几何中的应用利用等腰三角形“等边对等角”的性质推导角度关系．例1如图S2－1，∠1＝75°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，则∠A的度数为_ __．(图S2－1)例2如图S2－2，在△ABC中，AC＝BC＝AD，EB＝EA，DB＝DE，则∠C＝__．(1)推导角度关系时，常常利用等腰三角形____的性质，也可利用三角形的外角等于____的性质．1．如图S2－3，在△ABC中，AB＝AC，点P，Q分别在AC，AB上，且AP＝PQ＝QC ＝BC，则∠A＝__．(图S2－3)2．如图S2－4，在△ABC中，AB＝BC＝CD，AD＝AE，DE＝BE，则∠C的度数为___．(图S2－4)在折叠问题中利用勾股定理构造方程．例3如图S2－5，折叠长方形的一边AD，使点D落在边BC上的点F处，若AB＝8，BC＝10，则EC的长为____．(图S2－5)例4直角三角形纸片ABC的两直角边长分别为6，8，现将△ABC按如图S2－6折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则DE的长为____．(图S2－6)(2)解决折叠问题时，我们往往将边的数量关系集中在一个__三角形，再利用___构造方程．3．如图S2－7，在Rt△ABC中，AB＝9，BC＝6，∠B＝90°，将△ABC折叠，使点A 与BC的中点D重合，折痕为MN，则BN＝____．(图S2－7)4．如图S2－8，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，P为边AD上一点，将△ABP沿BP 翻折至△EBP，PE与CD相交于点O，BE与CD相交于点G，且OE＝OD，则AP＝____．(图S2－8)图形中若有直角三角形，利用勾股定理构造方程，是求线段长度的常用方法．例5如图S2－9，已知AB＝13，BC＝14，AC＝15，AD⊥BC于点D，则AD＝____．(图S2－9)例6如图S2－10，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D在边AC上，CE⊥BD于点E，若AD＝5，CE＝12，则AB＝__．(图S2－10) (图DS2－1)(3)若两个直角三角形有公共边，则利用___可以将这两个三角形的其他边建立关系．5．将两张大小相同的纸片，每张都被分成7个大小相同的矩形，放置方式如图S2－11，重合的顶点记作A，顶点C在另一张纸的分隔线上，若BC＝28，则AB的长为_．6．如图S2－12，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在边AB，AD上，若CE＝35，且∠ECF＝45°，则CF的长为__210__．(图S2－12) (图DS2－2)寻找相似三角形，利用比例线段构造方程．例7在矩形ABCD中，由8个面积均为1的小正方形组成的L型模板如图S2－13放置，则矩形ABCD的面积为___．例8如图S2－14，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4.点P是边AC上一动点，过点P作PQ∥AB，交BC于点Q，D为线段PQ的中点，当BD平分∠ABC时，AP的长度为___．(图S2－14)(4)条件中既有平行线，又有角平分线，则一定出现_ _．7．如图S2－15，已知点C为线段AB的中点，CD⊥AB且CD＝AB＝4，连结AD，BE⊥AB，AE是∠DAB的平分线，与DC相交于点F，EH⊥DC于点G，交AD于点H，则HG的长为___．(图S2－15)8．如图S2－16，在△ABC中，AB＝6，BC＝5，AC＝4，AD平分∠BAC，AD的垂直平分线EF与AD相交于点E，与BC的延长线相交于点F，那么AF＝____．(图S2－16)在以圆为背景的问题中寻找方程．例9如图S2－17，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，点E，F分别在边AD，BC上，且BE＝EF，若EF与以CD为直径的圆恰好相切，求AE的长．(图S2－17) (图DS2－3)例10如图S2－18，已知半圆O的直径AB为12，OP＝1，C为半圆上一点，连结CP.将CP沿着射线AB方向平移至DE，若DE恰好与⊙O相切于点D，求平移的距离．(图S2－18)(图DS2－4)(5)利用____三角形或____三角形的性质构造方程是解决含圆问题的常见方法．9．如图S2－19，⊙O 是等腰直角三角形△ABC 的外接圆，点D 是AC ︵上的一点，BD 交AC 于点E ，若BC ＝4，AD ＝45，求AE 的长．(图S2－19)10．如图S2－20，在⊙O 中，弦BC ，DE 交于点P ，延长BD ，EC 交于点A ，BC ＝10，BP ＝2CP ，若BD AD ＝23，求DP 的长．1．若等腰三角形一腰上的中线把三角形的周长分为15和27的两部分，则这个等腰三角形的底边长是( A )A ．6B ．22C ．6或22D ．10或182．如图ZS2－1，点B ，C 在∠DAE 的边上，AB ＝BC ，CB ＝CD ，∠EBD ＝75°，则∠A的度数是()(图ZS2－1)A．30°B．40°C．45°D．50°3．如图ZS2－2，在直角三角形ABC中，∠C是直角，G为AB上一点，过点G分别作AC，BC的垂线，垂足分别为E，F，若四边形EGFC是正方形，AE＝4，FB＝9，则正方形EGFC的边长是________．(图ZS2－2)4．如图ZS2－3，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12，过A，D两点的⊙O与BC边相切于点E，则⊙O的半径为____．(图ZS2－3)5．如图ZS2－4，在Rt△ABC中，在∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝6，以斜边AB上的一点O为圆心所作的半圆分别与AC，BC相切于点D，E，则AD的长为____.(图ZS2－4)6．如图ZS2－5，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，使点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为___．(图ZS2－5)7．将三角形纸片ABC按如图ZS2－6的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF.已知AB＝AC＝6，BC＝8，若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，则BF的长是____．(图ZS2－6)8．如图ZS2－7，∠CAB＝90°，AB＝BD＝4，CB⊥BD交AD于点E，BE＝1，则AC＝____．(图ZS2－7)9．如图ZS2－8是由9个等边三角形拼成的六边形，若中间的小等边三角形的边长是1，则六边形的周长是___．(图ZS2－8)10．某杂志的徽标是我国古代“弦图”的变形(如图ZS2－9)，该图可由Rt△ABC绕点O同向连续旋转三次(每次旋转90°)而得，有“数学风车”的动感．假设中间小正方形的面积为1，整个徽标(含中间小正方形)的面积为92，AD＝2，则徽标的外围周长为____．(图ZS2－9)11．如图ZS2－10，在△ABC中，AC＝6，BC＝8，若AC，BC边上的中线BE，AD垂直相交于点O，则AB＝__．(图ZS2－10)12．如图ZS2－11，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，连结BE，将△ABE沿着BE 翻折得到△FBE，EF交BC于点H，延长BF，DC相交于点G，若DG＝16，BC＝24，则FH＝____．(图ZS2－11) (图DT2－2)13．如图ZS2－12，在△ABC中，D，E两点分别在边BC，AB上，DE∥AC，过点E 作EF∥DC交∠ACB的平分线于点F，连结DF，若∠EDF＝∠B，且BC＝4，BD＝1，则EF的长是___．(图ZS2－12) (图DT2－3)14．如图ZS2－13，在在边长为2的等边三角形ABC中，D，E分别在BC，AC上，且AE＝CD，AD，BE相交于点P，连结PC，若∠CPD＝∠PBD，求BD的长．(图ZS2－13)15．如图ZS2－14，已知⊙O的半径为1，AB，AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC，延长BO交AC于点D，连结OA，OC，若AD2＝AB·DC，求OD的长．(图ZS2－14)答案专题提升(二)方程在几何中的应用利用等腰三角形“等边对等角”的性质推导角度关系．例1如图S2－1，∠1＝75°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，则∠A的度数为__15°__．(图S2－1)例2如图S2－2，在△ABC中，AC＝BC＝AD，EB＝EA，DB＝DE，则∠C＝__72°__．(图S2－2)【解析】设∠BAD＝∠ABE＝x，则∠EBD＝∠BED＝2x，∠BAC＝∠ABC＝3x，∠C ＝∠ADC＝4x.在△ABC中，3x＋3x＋4x＝180°，解得x＝18°，∴∠C＝72°.(1)推导角度关系时，常常利用等腰三角形__等边对等角__的性质，也可利用三角形的外角等于__与它不相邻的两个内角的和__的性质．1．如图S2－3，在△ABC中，AB＝AC，点P，Q分别在AC，AB上，且AP＝PQ＝QC＝BC ，则∠A ＝__⎝⎛⎭⎫1807°__．(图S2－3)2．如图S2－4，在△ABC 中，AB ＝BC ＝CD ，AD ＝AE ，DE ＝BE ，则∠C 的度数为__36°__．(图S2－4)【解析】 设∠EDB ＝∠EBD ＝x ，则∠ADE ＝∠AED ＝2x ，∠C ＝∠A ＝180°－4x ，∠CDB ＝∠CBD ＝2x .∵∠ADC ＝2x ＋x ＋2x ＝180°，∴x ＝36°，∴∠C ＝36°.在折叠问题中利用勾股定理构造方程．例3 如图S2－5，折叠长方形的一边AD ，使点D 落在边BC 上的点F 处，若AB ＝8，BC ＝10，则EC 的长为__3__．(图S2－5)【解析】由折叠，得AF＝AD＝10，∴BF＝AF2－AB2＝6，∴CF＝4.设EC＝x，则EF＝DE＝8－x.在Rt△CEF中，(8－x)2＝42＋x2，解得x＝3，∴EC＝3.例4直角三角形纸片ABC的两直角边长分别为6，8，现将△ABC按如图S2－6折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则DE的长为__154__．(图S2－6)(2)解决折叠问题时，我们往往将边的数量关系集中在一个__直角__三角形，再利用__勾股定理__构造方程．3．如图S2－7，在Rt△ABC中，AB＝9，BC＝6，∠B＝90°，将△ABC折叠，使点A 与BC的中点D重合，折痕为MN，则BN＝__4__．(图S2－7)4．如图S2－8，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，P为边AD上一点，将△ABP沿BP 翻折至△EBP，PE与CD相交于点O，BE与CD相交于点G，且OE＝OD，则AP＝__4.8__．(图S2－8)【解析】由已知可得，△ODP≌△OEG，∴OP＝OG，DP＝GE，∴DG＝EP.设AP＝EP＝x，则GE＝DP＝6－x，DG＝x，∴CG＝8－x，BG＝8－(6－x)＝2＋x.在Rt△BCG中，62＋(8－x)2＝(x＋2)2，解得x＝4.8，∴AP＝4.8.图形中若有直角三角形，利用勾股定理构造方程，是求线段长度的常用方法．例5如图S2－9，已知AB＝13，BC＝14，AC＝15，AD⊥BC于点D，则AD＝__12__．(图S2－9)【解析】设BD＝x，则DC＝14－x.∵AB2－BD2＝AD2＝AC2－CD2，∴132－x2＝152－(14－x)2，解得x＝5，∴AD＝12.例6如图S2－10，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D在边AC上，CE⊥BD于点E，若AD＝5，CE＝12，则AB＝__202__．(图S2－10) (图DS2－1)【解析】如图DS2－1，补全正方形AFBC，延长CE交AF于点G.由CG⊥BD，得CD＝AG.∵DE2＝DG2－GE2＝DC2－CE2，∴DG2－AG2＝GE2－CE2，即52＝EG2－122，∴EG＝13.设AG＝CD＝x.在△ACG中，x2＋(5＋x)2＝(12＋13)2，即(x＋20)(x－15)＝0，解得x＝15或x＝－20(舍去)，故AB＝20 2.(3)若两个直角三角形有公共边，则利用__勾股定理__可以将这两个三角形的其他边建立关系．5．将两张大小相同的纸片，每张都被分成7个大小相同的矩形，放置方式如图S2－11，重合的顶点记作A，顶点C在另一张纸的分隔线上，若BC＝28，则AB的长为__72__．(图S2－11)【解析】设小矩形的宽为x，则AB＝AC＝7x，可得BC2－x2＝AC2－(6x)2，即(28)2－x2＝(7x)2－(6x)2，解得x1＝2，x2＝－2(舍去)，∴AB＝7 2.6．如图S2－12，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在边AB，AD上，若CE＝35，且∠ECF＝45°，则CF的长为__210__．(图S2－12) (图DS2－2)【解析】如图DS2－2，延长FD至点G，使得DG＝BE，连结CG，EF.可得△BCE≌△DCG，∴CG＝CE，∠DCG＝∠BCE，∴∠GCF＝45°，可得△GCF≌△ECF，∴EF＝GF＝DF＋BE.∵BE＝CE2－CB2＝3，∴AE＝3.设DF＝x，则AF＝6－x，EF＝x ＋3.在Rt△AEF中，(x＋3)2＝(6－x)2＋32，解得x＝2，∴CF＝210.寻找相似三角形，利用比例线段构造方程．例7 在矩形ABCD 中，由8个面积均为1的小正方形组成的L 型模板如图S2－13放置，则矩形ABCD 的面积为__965__．(图S2－13)【解析】 由已知可得△ABE ≌△ECF ，△ECF ∽△FDG ， ∴AB ＝CE ，BE ＝CF ，DF CE ＝FG EF ＝12，∴AB ＝2BE .设BE ＝x ，则AB ＝2x .在Rt △ABE 中，x 2＋(2x )2＝42，∴x 2＝165，∴S 矩形ABCD ＝2x ·3x ＝6x 2＝965.例8 如图S2－14，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，BC ＝4.点P 是边AC 上一动点，过点P 作PQ ∥AB ，交BC 于点Q ，D 为线段PQ 的中点，当BD 平分∠ABC 时，AP 的长度为__1513__．(图S2－14)【解析】 ∵PQ ∥AB ，∴AP BQ ＝AC BC ＝34，易证QB ＝QD ，∴QP ＝2QB .设BQ ＝x ，则AP ＝34x ，QP ＝2x ，QC ＝4－x . ∵PQ ∥AB ，∴△CPQ ∽△CAB ，∴CQ CB ＝PQ AB ，即4－x 4＝2x 5，解得x ＝2013，∴AP ＝1513.(4)条件中既有平行线，又有角平分线，则一定出现__等腰三角形__．7．如图S2－15，已知点C 为线段AB 的中点，CD ⊥AB 且CD ＝AB ＝4，连结AD ，BE ⊥AB ，AE 是∠DAB 的平分线，与DC 相交于点F ，EH ⊥DC 于点G ，交AD 于点H ，则HG 的长为__3－5__．(图S2－15)【解析】 由已知可得，GE ＝BC ＝AC ＝2，EH ∥AC ，∴AD ＝2 5.易证HA ＝HE .设HG ＝x ，则HA ＝HE ＝2＋x .∵EH ∥AC ，∴△DHG ∽△DAC ，∴DH DA ＝HG AC ，即25－（2＋x ）25＝x 2，解得x ＝3－5， ∴HG ＝3－ 5.8．如图S2－16，在△ABC 中，AB ＝6，BC ＝5，AC ＝4，AD 平分∠BAC ，AD 的垂直平分线EF 与AD 相交于点E ，与BC 的延长线相交于点F ，那么AF ＝__6__．(图S2－16) 【解析】 ∵AD 平分∠BAC ，∴CD BD ＝AC AB ＝23，∴CD ＝2，BD ＝3.∵EF 垂直平分AD ，∴AF ＝DF ，∴∠ADF ＝∠DAF ，∴∠F AC ＝∠B .∴△F AC ∽△FBA ，∴CF AF ＝AF BF .设AF ＝DF ＝x ，则CF ＝x －2，BF ＝x ＋3，∴x －2x ＝x x ＋3，解得x ＝6，∴AF ＝6.在以圆为背景的问题中寻找方程．例9 如图S2－17，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝8，点E ，F 分别在边AD ，BC 上，且BE ＝EF ，若EF 与以CD 为直径的圆恰好相切，求AE 的长．(图S2－17) (图DS2－3) 解：如图DS2－3，过点E 作EH ⊥BC 于点H .设AE ＝BH ＝x .∵BE ＝EF ，∴HF ＝BH ＝x .由切线长定理得，EM ＝ED ＝8－x ，FM ＝FC ＝8－2x .在Rt △EFH 中，42＋x 2＝(16－3x )2，解得x 1＝6－6，x 2＝6＋6(舍去)，∴AE ＝6－ 6. 例10 如图S2－18，已知半圆O 的直径AB 为12，OP ＝1，C 为半圆上一点，连结CP .将CP 沿着射线AB 方向平移至DE ，若DE 恰好与⊙O 相切于点D ，求平移的距离．(图S2－18) (图DS2－4) 解：如图DS2－4，过点O 作OM ⊥CD 于点M ，连结OD ，则CM ＝MD .由平移得CD ∥PE ，CD ＝PE ，∴∠1＝∠2.∵∠DMO ＝∠ODE ＝90°，∴△DMO ∽△ODE ，∴MD OD ＝OD OE .设CD ＝x ，则MD ＝x 2，OE ＝x ＋1，∴12x 6＝6x ＋1，解得x 1＝8，x 2＝－9(舍去)， ∴平移的距离为8.(5)利用__直角__三角形或__相似__三角形的性质构造方程是解决含圆问题的常见方法．9．如图S2－19，⊙O 是等腰直角三角形△ABC 的外接圆，点D 是AC ︵上的一点，BD 交AC 于点E ，若BC ＝4，AD ＝45，求AE 的长．(图S2－19)解：设AE ＝x ，则CE ＝4－x .∵△ADE ∽△BCE ，∴AE BE ＝AD BC ＝15， ∴BE ＝5x .在Rt △BCE 中，(4－x )2＋42＝(5x )2，解得x 1＝1，x 2＝－43(舍去)，∴AE ＝1.10．如图S2－20，在⊙O 中，弦BC ，DE 交于点P ，延长BD ，EC 交于点A ，BC ＝10，BP ＝2CP ，若BD AD ＝23，求DP 的长．(图S2－20) (图DS2－5) 解：如图DS2－5，过点C 作CH ∥DE 交AB 于点H .设DP ＝2x .∵DP CH ＝BD BH ＝BP BC ＝23，∴CH ＝3x ，AD ＝BH ，∴BD ＝AH .∵HC DE ＝AH AD ＝23，∴DE ＝92x ，∴PE ＝52x . ∵△BPD ∽△EPC ，∴PB PE ＝PD PC ，解得x 1＝2103，x 2＝－2103(舍去)， ∴PD ＝4103.1．若等腰三角形一腰上的中线把三角形的周长分为15和27的两部分，则这个等腰三角形的底边长是( A )A ．6B ．22C ．6或22D ．10或182．如图ZS2－1，点B ，C 在∠DAE 的边上，AB ＝BC ，CB ＝CD ，∠EBD ＝75°，则∠A 的度数是( B )(图ZS2－1)A ．30°B ．40°C ．45°D ．50°3．如图ZS2－2，在直角三角形ABC 中，∠C 是直角，G 为AB 上一点，过点G 分别作AC ，BC 的垂线，垂足分别为E ，F ，若四边形EGFC 是正方形，AE ＝4，FB ＝9，则正方形EGFC 的边长是__6______．(图ZS2－2)4．如图ZS2－3，在矩形ABCD 中，AB ＝8，AD ＝12，过A ，D 两点的⊙O 与BC 边相切于点E ，则⊙O 的半径为__254__．(图ZS2－3)5．如图ZS2－4，在Rt △ABC 中，在∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝6，以斜边AB 上的一点O 为圆心所作的半圆分别与AC ，BC 相切于点D ，E ，则AD 的长为__85__.(图ZS2－4)6．如图ZS2－5，在矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝4，将矩形沿AC 折叠，使点D 落在点D ′处，则重叠部分△AFC 的面积为__10__．(图ZS2－5)7．将三角形纸片ABC 按如图ZS2－6的方式折叠，使点B 落在边AC 上，记为点B ′，折痕为EF .已知AB ＝AC ＝6，BC ＝8，若以点B ′，F ，C 为顶点的三角形与△ABC 相似，则BF 的长是__4或247__．(图ZS2－6)8．如图ZS2－7，∠CAB ＝90°，AB ＝BD ＝4，CB ⊥BD 交AD 于点E ，BE ＝1，则AC ＝__152__．(图ZS2－7)【解析】 ∵AB ＝BD ，∴∠BAE ＝∠D ，∴∠CEA ＝∠DEB ＝90°－∠D ＝90°－∠BAE ＝∠CAE ，∴AC ＝EC .设AC ＝EC ＝x ，则BC ＝x ＋1.在Rt △ABC 中，x 2＋42＝(x ＋1)2，解得x ＝152.∴AC ＝152. 9．如图ZS2－8是由9个等边三角形拼成的六边形，若中间的小等边三角形的边长是1，则六边形的周长是__30__．(图ZS2－8)【解析】 如图DT2－1，设第二小的等边三角形的边长为x ，则其他等边三角形的边长分别为x ＋1，x ＋2，x ＋3，由图形，得x ＋3＝2x ，解得x ＝3，∴六边形的周长为7x ＋9＝30.(图DT2－1)10．某杂志的徽标是我国古代“弦图”的变形(如图ZS2－9)，该图可由Rt △ABC 绕点O 同向连续旋转三次(每次旋转90°)而得，有“数学风车”的动感．假设中间小正方形的面积为1，整个徽标(含中间小正方形)的面积为92，AD ＝2，则徽标的外围周长为__48__．(图ZS2－9)【解析】 设BC ＝x ，则AC ＝x ＋3.由题意，得12x (x ＋3)×4＋1＝92，∴2x 2＋6x ＝91，∴AB ＝BC 2＋AC 2＝2x 2＋6x ＋9＝100＝10，∴徽标的外围周长为(10＋2)×4＝48.11．如图ZS2－10，在△ABC 中，AC ＝6，BC ＝8，若AC ，BC 边上的中线BE ，AD 垂直相交于点O ，则AB ＝__25__．(图ZS2－10)【解析】 由题意可得，点O 为△ABC 的重心，AE ＝12AC ＝3，BD ＝12BC ＝4.设OD ＝x ，OE ＝y ，则AO ＝2x ，BO ＝2y .在Rt △BOD 中，x 2＋4y 2＝42.在Rt △AOE 中，4x 2＋y 2＝32，∴5x 2＋5y 2＝25，∴x 2＋y 2＝5.在Rt △AOB 中，AB 2＝（2x ）2＋（2y ）2＝2 5.12．如图ZS2－11，在矩形ABCD 中，点E 是AD 的中点，连结BE ，将△ABE 沿着BE 翻折得到△FBE ，EF 交BC 于点H ，延长BF ，DC 相交于点G ，若DG ＝16，BC ＝24，则FH ＝__218__．(图ZS2－11) (图DT2－2) 【解析】 如图DT2－2，连结GE .由题意可得，DE ＝AE ＝FE ，∴Rt △EFG ≌Rt △EDG (HL)，∴FG ＝DG ＝16.设DC ＝AB ＝BF ＝x ，则CG ＝16－x ，BG ＝x ＋16.在Rt △BCG 中，(x ＋16)2＝(16－x )2＋242，解得x ＝9，∴CG ＝7.∵∠BFH ＝∠BCG＝90°，∴△BFH ∽△BCG ，∴BF BC ＝FH CG ，∴FH ＝218.13．如图ZS2－12，在△ABC 中，D ，E 两点分别在边BC ，AB 上，DE ∥AC ，过点E 作EF ∥DC 交∠ACB 的平分线于点F ，连结DF ，若∠EDF ＝∠B ，且BC ＝4，BD ＝1，则EF 的长是__7－132__．(图ZS2－12) (图DT2－3) 【解析】 如图DT2－3，延长EF 交AC 于点M .设EF ＝x .∵EF ∥DC ，∴∠BDE ＝∠FED .又∵∠EDF ＝∠B ，∴△EDF ∽△DBE ，∴ED 2＝BD ·EF ，∴ED ＝x .由题意可得，四边形EMCD 是平行四边形，MF ＝MC ，∴FM ＝ED ＝x ，EM ＝CD ＝3，∴x ＋x ＝3，解得x 1＝7－132，x 2＝7＋132(舍去)，∴EF ＝7－132.14．如图ZS2－13，在在边长为2的等边三角形ABC 中，D ，E 分别在BC ，AC 上，且AE ＝CD ，AD ，BE 相交于点P ，连结PC ，若∠CPD ＝∠PBD ，求BD 的长．(图ZS2－13)解：设∠CPD ＝∠PBD ＝x ，BD ＝m .由题意可得，△BAE ≌△ACD ，∴∠DAC ＝∠ABE ＝60°－x ，AE ＝CD ＝2－m ，∴∠BAD ＝x ，∠CEP ＝120°－x ，CE ＝m .∴∠BPD ＝∠ABE ＋∠BAD ＝60°，∴∠CPE ＝120°－x ，∴∠CEP ＝∠CPE ，∴CP ＝CE ＝m ，∵∠CPD ＝∠PBC ，∴△CPD ∽△CBP ， ∴CD CP ＝CP CB ，即2－m m ＝m 2，解得m 1＝5－1，m 2＝－5－1(舍去)，∴BD ＝5－1.15．如图ZS2－14，已知⊙O 的半径为1，AB ，AC 是⊙O 的两条弦，且AB ＝AC ，延长BO 交AC 于点D ，连结OA ，OC ，若AD 2＝AB ·DC ，求OD 的长．(图ZS2－14)解：设OD ＝x ，则BD ＝1＋x .由题意可得△BOA ≌△AOC ，∴∠CAO ＝∠OBA ，∴△ADO ∽△BDA ，∴AD BD ＝OD AD ＝AO AB ，即AD 1＋x＝x AD ＝1AB ， ∴AD ＝x 2＋x ，AB ＝x 2＋x x . ∵DC ＝AC －AD ＝AB －AD ，AB ·DC ＝AD 2，∴x 2＋x x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋x x －x 2＋x＝x 2＋x ， 整理得x 2＋x －1＝0，解得x 1＝－1＋52，x 2＝－1－52(舍去)， ∴OD ＝5－12.。

中考数学几何解答题精选(含答案)

中考数学几何解答题精选(含答案)

中考数学几何解答题精选1（08浙江杭州19题）19.（本小题满分6分）在凸多边形中，四边形有2条对角线，五边形有5条对角线，经过观察、归纳，你认为凸八边形的对角线条数应该是多少条？简单扼要地写出你的思考过程。

解：（08浙江杭州19题） (本题6分)凸八边形的对角线条数应该是20. --- 2分 思考一: 可以通过列表归纳分析得到:思考二: 从凸八边形的每一个顶点出发可以作出5(8-3)条对角线, 8个顶点共40条, 但其一条对角线对应两个顶点, 所以有20条对角线. --- 4分 (如果直接利用公式: 得到20而没有思考过程, 全题只给3分)2（08浙江杭州20题）20.（本小题满分8分）如图，已知∠α，∠β，用直尺和圆规求作一个∠γ， 使得 （只须作出正确图形，保留作图痕迹，不必写出作法）解：（08浙江杭州20题） (本题8分) 作图如下, 即为所求作的.--- 图形正确4分, 痕迹2分, 结论2分2)3(-n n βαγ∠-∠=∠21BCD ∠γ∠多边形 4 5678对角线22+3 2+3+4 2+3+4+5 2+3+4+5+63（08浙江杭州23题）23.（本小题满分10分）如图，在等腰ΔABC 中，CH 是底边上的高线，点P 是线段CH 上不与端点重合的任意一点，连结AP 交BC 于点E ，连结BP 交AC 于点F 。

（1）证明：∠CAE=∠CBF； （2）证明：AE=BF ；（3）以线段AE ，BF 和AB 为边构成一个新的三角形ABG （点E 与点F 重合于点G ），记ΔABC 和ΔABG 的面积分别为S ΔABC 和S ΔABG ，如果存在点P ，能使S ΔABC =S ΔABG ，求∠C 的取值范围。

解：（08浙江杭州23题）(本题10分)(1) ∵△是等腰△，是底边上的高线，∴， 又∵, ∴△ ≌△，∴, 即; --- 3分 (2) ∵, ，,∴△ ≌△，∴; --- 3分 (3) 由(2)知△是以为底边的等腰△，∴ 等价于，1）当∠为直角或钝角时，在△中，不论点在何处，均有，所以结论不成立;2）当∠为锐角时， ∠，而，要使，只需使∠ =∠，此时，∠180°–2∠，只须180°–2∠∠，解得 60°∠ 90°. --- 4分(也可在中通过比较和的大小而得到结论)4（08浙江湖州20题）20．（本小题8分）如图，在ABC △中，D 是BC 边的中点，F E ，分别是AD 及其延长线上的点，CF BE ∥． （1）求证：BDE CDF △≌△．（2）请连结BF CE ，，试判断四边形BECF 是何种特殊四边形，并说明理由．ABC CH BCP ACP BC AC ∠=∠=,CP CP =ACP BCP CBP CAP ∠=∠CBF CAE ∠=∠BCF ACE ∠=∠CBF CAE ∠=∠BC AC =ACE BCF BF AE =ABG AB ABG ABC S S ∆∆=AC AE =C ACE P CH AC AE >C =∠A -9021C A CAE ∠<∠AC AE =C CEA =CAE C C <-9021C <C <CEA ∆C ∠CEA ∠解：（08浙江湖州20题）（本小题8分）（1）证明：CF BE ∥，EBD FCD ∴∠=∠． 又BDE CDF ∠=∠，BD CD =， BDE CDF ∴△≌△．（2）四边形BECF 是平行四边形． 由BDE CDF △≌△，得ED FD =．BD CD =，∴四边形BECF 是平行四边形．5（08浙江淮安24题）24．(本小题9分)已知；如图．矩形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，点O 关于直线AD 的对称点是E ， 连结AE 、DE ．(1)试判断四边形AODE 的形状,不必说明理由； (2)请你连结EB 、EC ．并证明EB=EC ．6（08浙江淮安26题）26．(本小题10分)如图，AB 是⊙O 的直径,BC 是⊙O 的弦，半径OD ⊥BC,垂足为E ，若，DE=3． 求：(1) ⊙O 的半径； (2)弦AC 的长；(3)阴影部分的面积．7（08浙江淮安27题）27．(本小题lO 分)我们约定,若一个三角形(记为△A 1)是由另一个三角形(记为△A)通过一次平移，或绕其任一边的中点旋转180°得到的，则称△A 1是由△A 复制的．以下的操作中每一个三角形只可以复制一次，复制过程可以一直进行下去．如图l 是由△A 复制出△A 1，又由△A l 复制出△A 2，再由△A 2复制出△A 3，形成了一个大三角形，记作△B.以下各题中的复制均是由△A 开始的，由复制形成的多边形中的任意两个小三角形(指与△A 全等的三角形)之间既无缝隙也无重叠．(1)图l 中标出的是一种可能的复制结果．它用到_____次平移．_______次旋转．小明发现△B∽△A，其相似比为_________．若由复制形成的△C 的一条边上有11个小三角形(指有一条边在该边上的小三角形)，则△C 中含有______个小三角形；(2)若△A 是正三角形，你认为通过复制能形成的正多边形是________；(3)在复制形成四边形的过程中，小明用到了两次平移一次旋转，你能用两次旋转一次平移复制形成一个四边形吗?如果能，请在图2的方框内画出草图，并仿照图1作出标记；如果不能,请说明理由； (4)图3是正五边形EFGHI ．其中心是O ．连结O 点与各顶点．将其中的一个三角形记为 △A ，小明认为正五边形EFGHI 是由复制形成的一种结果，你认为他的说法对吗?请判断并说明理由．8（08浙江嘉兴20题）20．如图，正方形网格中，ABC △为格点三角形（顶点都是格点），将ABC △绕点A 按逆时针方向旋转90得到11AB C △． （1）在正方形网格中，作出11AB C △； （2）设网格小正方形的边长为1，求旋转 过程中动点B 所经过的路径长．（第20题）解：（08浙江嘉兴20题）20．（1）如图（2）旋转过程中动点B 所经过的路径为一段圆弧．4AC =，3BC =，5AB ∴=．又190BAB ∠=，∴动点B 所经过的路径长为5π2．9（08浙江嘉兴23题）23．小丽参加数学兴趣小组活动，提供了下面3个有联系的问题，请你帮助解决： （1）如图1，正方形ABCD 中，作AE 交BC 于E ，DF AE ⊥交AB 于F ，求证：AE DF =； （2）如图2，正方形ABCD 中，点E F ，分别在AD BC ，上，点GH ，分别在AB CD ，上，且EF GH ⊥，求EFGH的值； （3）如图3，矩形ABCD 中，AB a =，BC b =，点E F ，分别在AD BC ，上，且EF GH ⊥，求EF GH的值．解：（08浙江嘉兴23题）（1）DF AE ⊥，90AEB BAE AFD ∴∠=-∠=∠，又AB AD =，90ABE DAF ∠=∠=，∴ABE DAF △≌△，AE DF ∴=．（2）作AM EF ∥交BC 于M ， （第23题图1） （第23题图2） （第23题图3）（第20题）则AM EF =，DN GH =． 由（1）知，AM DN =，EF GH ∴=，即1EFGH=． （3）作AM EF ∥交BC 于M ， 作DN GH ∥交AB 于N ， 则AM EF =，DN GH =． EF GH ⊥，AM DN ∴⊥， 90AMB BAM AND ∴∠=-∠=∠，又90ABM DAN ∠=∠=，ABM DAN ∴△∽△，AM AB a DN AD b ∴==． EF a GH b∴=．10（08浙江金华18题）18、(本题6分)如图，在ΔABC 和ΔDCB 中，AC与BD 相交于点。

几何难题精选中考压轴题带答案和详细解析30道解答题.docx

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几何难题精选解答题（共30小题）1. （2015・河南）如图 1,在 RtAABC 中，ZB=90°, BC=2AB=8，点 D 、E 分别是边 BC 、 AC 的中点，连接DE,将AEDC 绕点C 按顺时针方向旋转，记旋转角为a. （1） 问题发现①当a=0°时，—= ；②当a=180°时，—= BD BD（2） 拓展探究试判断：当0。

"<360。

时，華的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明. BD（3） 问题解决当AEDC 旋转至A, D, E 三点共线时，直接写出线段BD 的长.2. （2015・济南）如图 1,在厶ABC 中,ZACB=90°, AC=BC, ZEAC=90°，点 M 为射线 AE 上任意一点（不与A 重合），连接CM,将线段CM 绕点C 按顺时针方向旋转9（）。

得到线 段CN,直线NB 分别交直线CM 、射线AE 于点F 、D.（1） 直接写JIIZNDE 的度数；（2） 如图2、图3,当ZEAC 为锐角或钝角时，其他条件不变，（1）中的结论是否发生变 化？如果不变，选取其中一种情况加以证明；如果变化，请说明理由；（3） 如图4,若ZEAC=15°, ZACM=60°,肓线CM 与AB 交于G, BD 二匝士亜，其他条 件不变，求线段AM 的长.图1图23. （2015・岳阳）已知直线01〃山 点C 是直线m 上一点，点D 是直线n 上一点，CD 与直 线m 、n 不垂直，点P 为线段CD 的中点.（1） 操作发现：直线l±m, l±n,垂足分别为A 、B,当点A 与点C 重合时（如图①所示）, 连接PB,请直接写出线段PA 与PB 的数量关系： _______ .（2） 猜想证明：在图①的情况下，把直线1向上平移到如图②的位置，试问（1）中的PA 与PB 的关系式是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.（3） 延伸探究：在图②的情况卜把直线1绕点A 旋转，使得ZAPB=90° （如图③所示）, 若两平行线m 、n 之间的距离为2k ・求证：PA ・PB 二k ・AB.4. （2015*重庆）在厶ABC 中,AB=AC, ZA=60°，点 D 是线段 BC 的中点,ZEDF=120°, DE 与线段AB 相交于点E. DF 与线段AC （或AC 的延长线）相交于点F.（1）如图1,若DF 丄AC,垂足为F, AB=4,求BE 的长；图① …图②E（2）如图2,将（1）中的ZEDF绕点D顺时针旋转一定的介度，DF仍与线段AC相交于点F.求证：BE+CF=-AB；2（3）如图3,将（2）中的ZEDF继续绕点D顺时针旋转一定的角度，使DF与线段AC的延长线相交于点F,作DN丄AC于点N,若DN丄AC于点N,若DN=FN,求证：BE+CF二逅（BE-CF）.5.（2015•烟台）【问题提出】如图①，已知ZXABC是等腰三角形，点E在线段AB ±，点D在直线BC上，H.ED二EC, 将Z\BCE绕点C顺时针旋转60。

中考数学总复习《几何综合问题(一次函数的实际综合应用)》专项提升训练(带答案)

中考数学总复习《几何综合问题(一次函数的实际综合应用)》专项提升训练(带答案)

中考数学总复习《几何综合问题（一次函数的实际综合应用）》专项提升训练（带答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．点P 是平面直角坐标系中的一点且不在坐标轴上，过点P 向x 轴，y 轴作垂线段，若垂线段的长度的和为2，则点P 叫做“好垂点”．例如：如图中的()11P ，是“好垂点”．(1)在点()1，2A ，()133522B C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，，中，是“好垂点”的点为 ； (2)求函数21y x =-+的图象上的“好垂点”的坐标．(3)若二次函数223y x bx =+-的图象上存在4个“好垂点”，求b 的取值范围．(4)已知T 的圆心T 的坐标为()10-，，半径为r ． 若T 上存在“好垂点”，则r 的取值范围是 ．2．如图，在平面直角坐标系中，直线2y x =+与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，点()2,C m 为直线2y x =+上一点，直线y x b =-+过点C ．(1)求m 和b 的值；(2)直线y x b =-+与x 轴交于点D ，动点P 从点D 开始以每秒1个单位的速度向x 轴负方向运动（点P 不与点D ，点A 重合）．若点P 在线段DA 上，设点P 的运动时间为t 秒． ①若ACP △的面积为10，求t 的值；②是否存在t 的值，使ACP △是以AP 为腰的等腰三角形？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．为顶点的三角形与BCO相似？若存在，求、C分别在>．AB BC为顶点的三角形与OAC相似？两点，点(2C，(1)求m 和b 的值；(2)直线12y x b =-+与x 轴交于点D ，动点P 从点D 开始以每秒1个单位的速度向x 轴负方向运动．设点P 的运动时间为t 秒．①若点P 在线段DA 上，且ACP △的面积为10，求t 的值；②是否存在t 的值，使ACP △为等腰三角形？若存在，直接写出t 的值；若不存在请说明理由． 6．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的顶点A 为()2,0，顶点D 为()0,4．(1)直接写出直线BC 的解析式：____________；(2)点M 与点A 关于y 轴对称，点N 为正方形边上一点，且45DMN ∠=，直接写出点N 的坐标：____________；(3)将正方形沿y 轴向下平移(0)t t >个单位，直至点D 落在x 轴上．设正方形在x 轴下方的部分面积为S ，求S 关于t 的函数关系式，并写出相应自变量t 的取值范围．7．如图，在平面直角坐标系中，直线24y x =-+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，过点B 的直线交x 轴于C （点C 在A 左侧），且ABC 面积为10．(1)求点C的坐标及直线BC的解析式；(2)如图1，设点F为线段AB中点，点G为y轴上一动点，连接FG，以FG为边向FG左侧作等腰直角FGQ，其中90∠=︒，在G点的运动过程中，当顶点Q落在直线BC上时，求点G的坐FGQ标；(3)如图2，若M为线段BC上一点，且满足AMB AOB=S S△△，点E为直线AM上一动点，在x轴上是否存在点D，使以点D，E，B，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．8．在同一平面直角坐标系中，我们规定点的两种移动方式：从点(,)x y移动到点(2,1)++称为x y一次甲方式移动；从点(,)x y移动到点(1,3)x y++称为一次乙方式移动．(1)若原点O经过两次甲方式移动，得到点M；原点O经过两次乙方式移动，得到点N．设过点M，N的直线为1l，求直线1l的解析式；(2)若原点O连续移动10次（每次按甲方式或乙方式移动），最终移动到点Q．试说明：无论每次按甲方式还是乙方式移动，最终点Q都落在一条确定的直线上；设这条直线为2l，请求出直线2l的解析式；(3)将（2）中的直线2l向下平移30个单位得到直线3l．分别在上述直线1l2l3l上取点AB C设点A B C的横坐标分别为a b c且a b试探究：当A B C三点共线时a b c之间有何数量关系？说明理由．9．【问题提出】△的面积为3 则ABC的面积（1）如图①点D为ABC的边AC的中点连接BD若ABD为_______；【问题探究】（2）如图②在平面直角坐标系中点A在第一象限连接OA作AB x⊥轴于点B若2AB OB = 25OA = 过点B 的直线l 将OAB 分成面积相等的两部分 求直线l 的函数表达式；【问题解决】（3）如图③ 在平面直角坐标系中 四边形OABC 是某市将要筹建的高新技术开发区用地示意图 其中O 为坐标原点 ()()()24,728,425,0A B C ，， 为了方便驻区单位 计划过点O 修一条笔直的道路1l （路宽不计） 并且使直线1l 将四边形OABC 分成面积相等的两部分 记直线1l 与AB 所在直线的交点为D 再过点A 修一条笔直的道路2l （路宽不计） 并且使直线2l 将OAD △分成面积相等的两部分 你认为直线1l 和2l 是否存在？若存在 请求出直线1l 和2l 的函数表达式；若不存在 请说明理由．10．如图 在矩形ABCD 中 4AD = 6AB = 动点P Q 均以每秒1个单位长度的速度分别从点D 点C 同时出发 其中点P 沿折线D A B →→方向运动 点Q 沿折线C B A →→方向运动 当两者相遇时停止运动．运动时间为t 秒 PQD 的面积为y ．(1)请直接写出y 关于t 的函数表达式并注明自变量t 的取值范围；(2)在给定的直角坐标系中画出这个函数的图象 并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象 直接写出PQD 的面积大于4时t 的取值范围．11．如图 在平面直角坐标系中 直线AB 交x 轴 y 轴于(,0)A a 和(0,)B b 两点 其中a 和b 是方程212320x x -+=的两个实数根 且b a >．使PBC的面积最大？若存在PBC面积的最大值．若没有13．如图点()4,C t在第四象限段OB上．连接于点E交折线段(1)求点A B的坐标；(2)设点E F的纵坐标分别为1y2y当04≤≤时12m-为定值求t的值；y y(3)在（2）的条件下分别过点E F作EG FH垂直于y轴垂足分别为点G H当06≤≤时求长方形EGHF周长的最大值．m14．已知四边形OABC是边长为4的正方形分别以OA OC、所在的直线为x轴y轴建立如图所示的平面直角坐标系直线l经过A C、两点．(1)求直线l的函数表达式；(2)如下图若点D是OC的中点E是直线l上的一个动点求使OE DE+取得最小值时点E的坐标．(3)如下图过点O作AC的垂线垂足为点M点P是直线l上的一个点点Q是y轴上的一个点以,,O P Q为顶点的三角形与OMP全等请直接写出所有符合条件的点P的坐标．15．如图1 在平面直角坐标系xoy中等腰直角AOB的斜边OB在x轴上顶点A的坐标为()2,2与AOB重叠部分为轴对称图形时轴交于点(4,0)A-使得QAB为等腰直角三角形？若存在参考答案：5b<(4)2-或8423．(1)1 (2)4 (3)352+或352或32或3132+或3132-+4．(1)()4,8- (2)16y x=- (3)存在 ()()()()0,2,0,4,0,6,0,12---5．(1)4m = 5b = (2)①7 ②存在 4t =秒或()1242-秒或()1242+秒或8秒6．(1)214=-+y x (2)：10877，⎛⎫ ⎪⎝⎭或401877⎛⎫⎪⎝⎭， (3)当02t <≤时 254S t =；当24t <≤时 55S t =-7．(1)443y x =+ ()3,0C -； (2)1230,7G ⎛⎫ ⎪⎝⎭或()20,1G -； (3)19,03⎛⎫- ⎪⎝⎭或1,03⎛⎫ ⎪⎝⎭或31,03⎛⎫ ⎪⎝⎭． 8．(1)210y x =-+ (2)250y x =-+ (3)43b c a =-9．（1）6；（2）24y x =-+；（3）存在 直线1l 的函数表达式为17y x = 直线2l 的函数表达式为152y x =- 10．(1)()()30442847t t y t t ⎧<≤⎪=⎨-+<<⎪⎩ (2)当04x <≤时 y 随x 的增大而增大 当47x <≤时 y 随x 的增大而减小 (3)463t <<解题过程：（1）解：依题意 44614AD BC AB ++=++=则相遇时间为14711=+； DP CQ t ==当04t <≤时 点P 在AD 上 Q 在BC 上 ∴1632y t t =⨯=当47t <≤时 142PQ t =-∴()11414222y PQ AD t =⨯=⨯⨯-428t =-+4∴4a = 8b =∴224845AB =+=；（2）设OBD ∠的度数为m ︒ 而90BOE ∠=︒ ∴90BEO m ∠=︒-︒∴90FED BEO m ∠=∠=︒-︒∵DE 的垂直平分线交x 轴负半轴于点F∴FE FD =∴90FED FDE m ∠=∠=︒-︒∴()1802902DFE m m ∠=︒-︒-︒=︒；（3）如图 过B 作BQ DF ⊥于Q 过D 作DT BO ⊥于T由（2）得90FDE FED m ∠=∠=︒-︒∵BF BD =∴90BFD BDF m ∠=∠=︒-︒∴()1802902FBD m m ∠=︒-︒-︒=︒∵BF BD = BQ DF ⊥∴FBQ DBQ DBT m ∠=∠=∠=︒而DT BO ⊥ DQ BQ ⊥∴FQ DQ DT == 设FQ DQ DT x === OT y =FOD BOD S S = DFE BOE S S =2OE xy = 解得4xy OE =FOD BOD S S =可得：24xy y x ⎛⎫+ ⎪28320y +-=解得：434y =-12．(1)223y x x =--+(2)存在()1,2Q -使得QAC △的周长最小(3)存在31524P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，使得PBC 面积最大 最大为278 解题过程：（1）解：将1,0A ()3,0B -代入2y x bx c =-++中得10930b c b c -++=⎧⎨--+=⎩ ∴23b c =-⎧⎨=⎩． ∴抛物线解析式为：223y x x =--+；（2）解：∵抛物线解析式为()222314y x x x =--+=-++ ∴抛物线的对称轴为直线=1x -连接BQ由对称性可知BQ AQ =∴AQC 的周长CA AC AQ AC CQ BQ =++=++ ∵A C 为定点∴AC 为定值∴当CQ BQ +最小时 AQC 的周长最小∴当B C Q 三点共线时 CQ BQ +最小 即AQC 的周长最小在223y x x =--+中 当0x =时 2233y x x =--+=C ∴的坐标为()0,3设直线BC 解析式为y kx b '=+∴303k b b ''-+=⎧⎨=⎩∴13k b =⎧⎨='⎩3yx 3y x 中 当时 1y =-+()1,2-∴存在()1,2Q -使得QAC 的周长最小；）解：设()PBPC S S =△∴当S 四边形BPCO S ∴四边形12BE =⋅∴点P 坐标为31524⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴存在31524P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，使得PBC 面积最大 最大为278．13．(1)()0,9A ()6,0B(2)6-(3)26解题过程：（1）解：∵直线392y x =-+交y 轴于点A 交x 轴于点B∴当0y =时 得：3902x -+= 解得：6x =当0x =时 得：9y =∴()0,9A ()6,0B ；（2）设OC 的解析式为y kx = 过点()4,C t ∴4t k =∴4tk =∴OC 的解析式为()04ty x t =<∵点(),0P m 在线段OB 上 过点P 作x 轴的垂线 交边AB 于点E 交折线段OCB 于点F 且点EF 的纵坐标分别为1y 2y 04m ≤≤∴1392y m =-+ 24ty m =∴1233992424t t y y m m m ⎛⎫-=-+-=-+ ⎪⎝⎭∵12y y -为定值 即3924t m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭为定值∴3024t+=解得：6t =-；（3）①当04m ≤≤时129EF y y =-=（定长） 在点P 运动到图中点P ' 此时直线经过点C 即4m =∴044k b b=+⎧⎨=⎩ 解得14k b =-⎧⎨=⎩ 直线l 的函数表达式4y x =-+；（2）解：如图所示 连接BE BD ，由正方形的性质可得OA BA BC OC ===又∵AC AC =∴()SSS OAC BAC △≌△∴OAE BAE ∠=∠又∵AE AE =∴()SAS OAE BAE △≌△∴OE BE =∴DE OE DE BE +=+∴当B D E 、、三点共线时 DE BE +最小 即此时OE DE +取得最小值 设DB 所在直线为()1110y k x b k =+≠∵点D 是OC 的中点 ()04C ，∴()02D ，又∵()44B ，∴111442k b b =+⎧⎨=⎩∴11122k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∴直线DB 为122y x =+33⎝⎭∴()224x x +=∴422x =-在4y x =-+中 当422x =-时 22y =∴P 点坐标为()42222-，； 如图所示 当POM OPQ △≌△时同理可得PQ CQ OM CM === 24OC OM == ∴22PQ CQ OM CM ====∴422OQ =+∴P 点坐标为()22422-+，； 如图所示 当OMP PQO ≌△△时∴PM OQ OM PQ ==，同理可得2222OM CM OC === 设OQ PM x == 则4CQ PQ x ==- 242222CP CQ x CM MP x ==-=+=+ 解得422x =-直线AOB COP S S S ∆∆=-1122AM OB OP PC =⋅-⋅2111424222m m m =⨯⨯-⋅=-．当24m <<时 如图②．COB AOP S S S ∆∆=-1122PC OB OP AM =⋅-⋅114222m m m =⨯⨯-⨯=．当4m >时 如图③COP AOB S S ∆∆=-1122PC OP OB AM =-2111424222m m m =-⨯⨯=-．与AOB重叠部分为轴对称图形无重叠部分(3)Q 的坐标为(3,7)-或(7,4)-或7(2-7)2 解题过程：（1）在94y x =中 令2x =得92y =9(2,)2C ∴； 设直线1l 的解析式为y kx b =+ 把(4,0)A - 9(2,)2C 代入得： 40922k b k b -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得343k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∴直线1l 的解析式为334y x =+； （2）如图：设(,0)M m 则3(,3)4D m m + 9(,)4E m m 2DE =39|3|244m m ∴+-= 3322m ∴-=或3322m -=- 解得23m =或103m = M ∴的坐标为2(3 0)或10(3 0)； （3）在334y x =+中 令0x =得3y =(0,3)B ∴①当B 为直角顶点时 过B 作BH y ⊥轴于H 如图：QAB 为等腰直角三角形 AB QB ∴= 90QBA ∠=︒ 90ABO QBH BQH ∴∠=︒-∠=∠ 90AOB QHB ∠=︒=∠ (AAS)ABO BQH ∴≌ 4OA BH ∴== 3OB QH == 7OH OB BH ∴=+= Q ∴的坐标为(3,7)-； ②当A 为直角顶点时，过Q 作QT x ⊥轴于T ， 如图：同理可得(AAS)AQT BAO ≌ 3AT OB ∴== 4QT OA == 7OT OA AT ∴=+= Q ∴的坐标为(7,4)-； ③当Q 为直角顶点时，过Q 作WG y ⊥轴于G 过A 作AW WG ⊥于W ，如图：同理可得(AAS)AQW QBG ≌ AW QG ∴= QW BG = 设(,)Q p q ∴(4)3q p p q =-⎧⎨--=-⎩ 解得7272p q ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩Q ∴的坐标为7(2-， 7)2； 综上所述 Q 的坐标为(3,7)-或(7,4)-或7722⎛⎫- ⎪⎝⎭，。

数学几何中考试题及答案

数学几何中考试题及答案

数学几何中考试题及答案第一题：已知在平面直角坐标系中，点A(-3, 2)、B(4, 6)和C(1, -1)三点不共线，求△ABC的面积。

解答：首先，利用AB和AC的坐标差值，得到AB的斜率为(6-2)/(4-(-3))=4/7，AC的斜率为(-1-2)/(1-(-3))=-3/4。

由于任意两条直线之间的角度为：θ = arctan((k2-k1)/(1+k1*k2))其中，k1和k2分别为两条直线的斜率。

因此，∠BAC的角度为：∠BAC = arctan((4/7-(-3/4))/(1+4/7*(-3/4))) ≈ 40.1°接下来，我们可以利用三角形的面积公式来求解△ABC的面积。

首先，求得AB的长度为√[(4-(-3))^2 + (6-2)^2]=√(49+16)=√65。

然后，计算△ABC的面积：S = 1/2 * AB * AC * sin(∠BAC)= 1/2 * √65 * AC * sin(40.1°)由于我们已知△ABC的面积大于0，即三点A、B、C是按逆时针方向排列的，因此△ABC的面积为：S = 1/2 * √65 * |AC| * sin(40.1°)通过计算可得，AC的长度为√[(1-(-3))^2 + (-1-2)^2]=√(16+9)=√25=5。

代入上式，可得△ABC的面积为：S = 1/2 * √65 * 5 * sin(40.1°) ≈ 8.39因此，△ABC的面积约为8.39。

第二题：已知等腰梯形ABCD，其中AB∥CD，AB=10cm，CD=18cm，AD=BC=6cm，求该梯形的面积。

解答：首先，我们可以将等腰梯形ABCD划分为两个三角形ABC和ABD以及一个矩形BCDE。

由于等腰梯形的两腰边相等，所以∠BAC = ∠CDA。

又因为AB∥CD，所以∠BAC + ∠CDA = 180°。

根据三角形内角和定理可知，∠BAC = ∠CDA = 180°/2 = 90°。

几何难题中考压轴题带答案和详细解析精编WORD版

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几何难题中考压轴题带答案和详细解析精编W O R D版IBM system office room 【A0816H-A0912AAAHH-GX8Q8-GNTHHJ8】几何难题精选解答题（共30小题）1．（2015?河南）如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，点D、E分别是边BC、AC的中点，连接DE，将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．（1）问题发现①当α=0°时，= ；②当α=180°时，= ．（2）拓展探究试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．（3）问题解决当△EDC旋转至A，D，E三点共线时，直接写出线段BD的长．2．（2015?济南）如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∠EAC=90°，点M为射线AE上任意一点（不与A重合），连接CM，将线段CM绕点C按顺时针方向旋转90°得到线段CN，直线NB分别交直线CM、射线AE于点F、D．（1）直接写出∠NDE的度数；（2）如图2、图3，当∠EAC为锐角或钝角时，其他条件不变，（1）中的结论是否发生变化？如果不变，选取其中一种情况加以证明；如果变化，请说明理由；（3）如图4，若∠EAC=15°，∠ACM=60°，直线CM与AB交于G，BD=，其他条件不变，求线段AM的长．3．（2015?岳阳）已知直线m∥n，点C是直线m上一点，点D是直线n上一点，CD与直线m、n不垂直，点P为线段CD的中点．（1）操作发现：直线l⊥m，l⊥n，垂足分别为A、B，当点A与点C重合时（如图①所示），连接PB，请直接写出线段PA与PB的数量关系：．（2）猜想证明：在图①的情况下，把直线l向上平移到如图②的位置，试问（1）中的PA与PB的关系式是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（3）延伸探究：在图②的情况下，把直线l绕点A旋转，使得∠APB=90°（如图③所示），若两平行线m、n之间的距离为2k．求证：PA?PB=k?AB．4．（2015?重庆）在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，点D是线段BC的中点，∠EDF=120°，DE与线段AB相交于点E．DF与线段AC（或AC的延长线）相交于点F．（1）如图1，若DF⊥AC，垂足为F，AB=4，求BE的长；（2）如图2，将（1）中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，DF仍与线段AC相交于点F．求证：BE+CF=AB；（3）如图3，将（2）中的∠EDF继续绕点D顺时针旋转一定的角度，使DF与线段AC的延长线相交于点F，作DN⊥AC于点N，若DN⊥AC于点N，若DN=FN，求证：BE+CF=（BE﹣CF）．5．（2015?烟台）【问题提出】如图①，已知△ABC是等腰三角形，点E在线段AB上，点D在直线BC上，且ED=EC，将△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF连接EF试证明：AB=DB+AF【类比探究】（1）如图②，如果点E在线段AB的延长线上，其他条件不变，线段AB，DB，AF之间又有怎样的数量关系？请说明理由（2）如果点E在线段BA的延长线上，其他条件不变，请在图③的基础上将图形补充完整，并写出AB，DB，AF之间的数量关系，不必说明理由．6．（2015?莆田）在Rt△ACB和Rt△AEF中，∠ACB=∠AEF=90°，若点P是BF的中点，连接PC，PE．特殊发现：如图1，若点E，F分别落在边AB，AC上，则结论：PC=PE成立（不要求证明）．问题探究：把图1中的△AEF绕着点A顺时针旋转．（1）如图2，若点E落在边CA的延长线上，则上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（2）如图3，若点F落在边AB上，则上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）记=k，当k为何值时，△CPE总是等边三角形？（请直接写出k的值，不必说明理由）7．（2015?襄城区模拟）如图，正方形ABCO的边OA、OC在坐标轴上，点B坐标为（3，3）．将正方形ABCO绕点A顺时针旋转角度α（0°＜α＜90°），得到正方形ADEF，ED 交线段OC于点G，ED的延长线交线段BC于点P，连AP、AG．（1）求证：△AOG≌△ADG；（2）求∠PAG的度数；并判断线段OG、PG、BP之间的数量关系，说明理由；（3）当∠1=∠2时，求直线PE的解析式；（4）在（3）的条件下，直线PE上是否存在点M，使以M、A、G为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出M点坐标；若不存在，请说明理由．8．（2015?重庆校级一模）已知，四边形ABCD是正方形，点P在直线BC上，点G在直线AD上（P、G不与正方形顶点重合，且在CD的同侧），PD=PG，DF⊥PG于点H，DF交直线AB于点F，将线段PG绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，连结EF．（1）如图1，当点P与点G分别在线段BC与线段AD上时，若PC=1，计算出DG的长；（2）如图1，当点P与点G分别在线段BC与线段AD上时，证明：四边形DFEP为菱形；（3）如图2，当点P与点G分别在线段BC与线段AD的延长线上时，（2）的结论：四边形DFEP为菱形是否依然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．9．（2015?房山区二模）在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=90°，BD为斜边AC上的中线，将△ABD绕点D顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到△EFD，其中点A的对应点为点E，点B的对应点为点F．BE与FC相交于点H．（1）如图1，直接写出BE与FC的数量关系：；（2）如图2，M、N分别为EF、BC的中点．求证：MN=；（3）连接BF，CE，如图3，直接写出在此旋转过程中，线段BF、CE与AC之间的数量关系：．10．（2015?衢州校级模拟）图1是边长分别为4和2的两个等边三角形纸片ABC和ODE叠放在一起（C与O重合）．（1）操作：固定△ABC，将△0DE绕点C顺时针旋转30°后得到△ODE，连结AD、BE，CE 的延长线交AB于F（图2）；探究：在图2中，线段BE与AD之间有怎样的大小关系？试证明你的结论．（2）在（1）的条件下将的△ODE，在线段CF上沿着CF方向以每秒1个单位的速度平移，平移后的△CDE设为△PQR，当点P与点F重合时停止运动（图3）探究：设△PQR移动的时间为x秒，△PQR与△ABC重叠部分的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数自变量x的取值范围．（3）将图1中△0DE固定，把△ABC沿着OE方向平移，使顶点C落在OE的中点G处，设为△ABG，然后将△ABG绕点G顺时针旋转，边BG交边DE于点M，边AG交边DO于点N，设∠BGE=α（30°＜α＜90°）；（图4）探究：在图4中，线段ON?EM的值是否随α的变化而变化？如果没有变化，请你求出ON?EM的值，如果有变化，请你说明理由．11．（2015?武义县模拟）（1）将矩形OABC放在平面直角坐标系中，顶点O为原点，顶点C、A分别在x轴和y轴上，OA=8，OC=10，点E为OA边上一点，连结CE，将△EOC沿CE折叠．①如图1，当点O落在AB边上的点D处时，求点E的坐标；②如图2，当点O落在矩形OABC内部的点D处时，过点E作EG∥x轴交CD于点H，交BC 于点G，设H（m，n），求m与n之间的关系式；（2）如图3，将矩形OABC变为边长为10的正方形，点E为y轴上一动点，将△EOC沿CE折叠．点O落在点D处，延长CD交直线AB于点T，若=，求AT的长．12．（2015?石家庄校级模拟）如图1，在菱形ABCD中，AC=6，BD=6，AC，BD相交于点O．（1）求边AB的长；（2）如图2，将一个足够大的直角三角板60°角的顶点放在菱形ABCD的顶点A处，绕点A左右旋转，其中三角板60°角的两边分别于边BC，CD相交于E，F，连接EF与AC相交于点G．①判断△AEF是哪一种特殊三角形，并说明理由；②旋转过程中是否存在线段EF最短，若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由．13．（2015春?泰安校级期中）如图，正方形OEFG绕着边长为30的正方形ABCD的对角线的交点O旋转，边OE、OG分别交边AD、AB于点M、N．（1）求证：OM=ON；（2）设正方形OEFG的对角线OF与边AB相交于点P，连结PM．若PM=13，试求AM的长；（3）连接MN，求△AMN周长的最小值，并指出此时线段MN与线段BD的关系．14．（2014?天津）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（﹣2，0），点B（0，2），点E，点F分别为OA，OB的中点．若正方形OEDF绕点O顺时针旋转，得正方形OE′D′F′，记旋转角为α．（Ⅰ）如图①，当α=90°时，求AE′，BF′的长；（Ⅱ）如图②，当α=135°时，求证AE′=BF′，且AE′⊥BF′；（Ⅲ）若直线AE′与直线BF′相交于点P，求点P的纵坐标的最大值（直接写出结果即可）．15．（2014春?青山区期末）已知正方形ABCD和正方形EBGF共顶点B，连AF，H为AF的中点，连EH，正方形EBGF绕点B旋转．（1）如图1，当F点落在BC上时，求证：EH=FC；（2）如图2，当点E落在BC上时，连BH，若AB=5，BG=2，求BH的长；（3）当正方形EBGF绕点B旋转到如图3的位置时，求的值．16．（2013?盐城）阅读材料如图①，△ABC与△DEF都是等腰直角三角形，∠ACB=∠EDF=90°，且点D在AB边上，AB、EF的中点均为O，连结BF、CD、CO，显然点C、F、O在同一条直线上，可以证明△BOF≌△COD，则BF=CD．解决问题（1）将图①中的Rt△DEF绕点O旋转得到图②，猜想此时线段BF与CD的数量关系，并证明你的结论；（2）如图③，若△ABC与△DEF都是等边三角形，AB、EF的中点均为O，上述（1）中的结论仍然成立吗？如果成立，请说明理由；如不成立，请求出BF与CD之间的数量关系；（3）如图④，若△ABC与△DEF都是等腰三角形，AB、EF的中点均为0，且顶角∠ACB=∠EDF=α，请直接写出的值（用含α的式子表示出来）17．（2013?梅州）用如图①，②所示的两个直角三角形（部分边长及角的度数在图中已标出），完成以下两个探究问题：探究一：将以上两个三角形如图③拼接（BC和ED重合），在BC边上有一动点P．（1）当点P运动到∠CFB的角平分线上时，连接AP，求线段AP的长；（2）当点P在运动的过程中出现PA=FC时，求∠PAB的度数．探究二：如图④，将△DEF的顶点D放在△ABC的BC边上的中点处，并以点D为旋转中心旋转△DEF，使△DEF的两直角边与△ABC的两直角边分别交于M、N两点，连接MN．在旋转△DEF的过程中，△AMN的周长是否存在有最小值？若存在，求出它的最小值；若不存在，请说明理由．18．（2015?营口）如图，点P是⊙O外一点，PA切⊙O于点A，AB是⊙O的直径，连接OP，过点B作BC∥OP交⊙O于点C，连接AC交OP于点D．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若PD=，AC=8，求图中阴影部分的面积；（3）在（2）的条件下，若点E是的中点，连接CE，求CE的长．19．（2015?永州）问题探究：（一）新知学习：圆内接四边形的判断定理：如果四边形对角互补，那么这个四边形内接于圆（即如果四边形EFGH的对角互补，那么四边形EFGH的四个顶点E、F、G、H都在同个圆上）．（二）问题解决：已知⊙O的半径为2，AB，CD是⊙O的直径．P是上任意一点，过点P分别作AB，CD的垂线，垂足分别为N，M．（1）若直径AB⊥CD，对于上任意一点P（不与B、C重合）（如图一），证明四边形PMON内接于圆，并求此圆直径的长；（2）若直径AB⊥CD，在点P（不与B、C重合）从B运动到C的过程中，证明MN的长为定值，并求其定值；（3）若直径AB与CD相交成120°角．时（如图二），求MN的长；①当点P运动到的中点P1②当点P（不与B、C重合）从B运动到C的过程中（如图三），证明MN的长为定值．（4）试问当直径AB与CD相交成多少度角时，MN的长取最大值，并写出其最大值．20．（2015?盘锦）如图1，△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，点B在线段AE上，点C在线段AD上．（1）请直接写出线段BE与线段CD的关系：；（2）如图2，将图1中的△ABC绕点A顺时针旋转角α（0＜α＜360°），①（1）中的结论是否成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；②当AC=ED时，探究在△ABC旋转的过程中，是否存在这样的角α，使以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出角α的度数；若不存在，请说明理由．21．（2015?朝阳）问题：如图（1），在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=CB，∠DCE=45°，试探究AD、DE、EB满足的等量关系．[探究发现]小聪同学利用图形变换，将△CAD绕点C逆时针旋转90°得到△CBH，连接EH，由已知条件易得∠EBH=90°，∠ECH=∠ECB+∠BCH=∠ECB+∠ACD=45°．根据“边角边”，可证△CEH≌，得EH=ED．在Rt△HBE中，由定理，可得BH2+EB2=EH2，由BH=AD，可得AD、DE、EB之间的等量关系是．[实践运用]（1）如图（2），在正方形ABCD中，△AEF的顶点E、F分别在BC、CD边上，高AG与正方形的边长相等，求∠EAF的度数；（2）在（1）条件下，连接BD，分别交AE、AF于点M、N，若BE=2，DF=3，BM=2，运用小聪同学探究的结论，求正方形的边长及MN的长．22．（2015?自贡）在△ABC中，AB=AC=5，cos∠ABC=，将△ABC绕点C顺时针旋转，得到△A1B1 C．（1）如图①，当点B1在线段BA延长线上时．①求证：BB1∥CA1；②求△AB1C的面积；（2）如图②，点E是BC边的中点，点F为线段AB上的动点，在△ABC绕点C顺时针旋转过程中，点F的对应点是F1，求线段EF1长度的最大值与最小值的差．23．（2015?吉林）两个三角板ABC，DEF，按如图所示的位置摆放，点B与点D重合，边AB与边DE在同一条直线上（假设图形中所有的点，线都在同一平面内）．其中，∠C=∠DEF=90°，∠ABC=∠F=30°，AC=DE=6cm．现固定三角板DEF，将三角板ABC沿射线DE方向平移，当点C落在边EF上时停止运动．设三角板平移的距离为x（cm），两个三角板重叠部分的面积为y（cm2）．（1）当点C落在边EF上时，x= cm；（2）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（3）设边BC的中点为点M，边DF的中点为点N．直接写出在三角板平移过程中，点M与点N之间距离的最小值．24．（2015?汕尾）在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=AB=4，D，E分别是边AB，AC的中点，若等腰Rt△ADE绕点A逆时针旋转，得到等腰Rt△AD1E1，设旋转角为α（0＜α≤180°），记直线BD1与CE1的交点为P．（1）如图1，当α=90°时，线段BD1的长等于，线段CE1的长等于；（直接填写结果）（2）如图2，当α=135°时，求证：BD1=CE1，且BD1⊥CE1；（3）求点P到AB所在直线的距离的最大值．（直接写出结果）25．（2015?赤峰）如图，四边形ABCD是边长为2，一个锐角等于60°的菱形纸片，小芳同学将一个三角形纸片的一个顶点与该菱形顶点D重合，按顺时针方向旋转三角形纸片，使它的两边分别交CB、BA（或它们的延长线）于点E、F，∠EDF=60°，当CE=AF时，如图1小芳同学得出的结论是DE=DF．（1）继续旋转三角形纸片，当CE≠AF时，如图2小芳的结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由；（2）再次旋转三角形纸片，当点E、F分别在CB、BA的延长线上时，如图3请直接写出DE与DF的数量关系；（3）连EF，若△DEF的面积为y，CE=x，求y与x的关系式，并指出当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？26．（2015?海南）如图，菱形ABCD中，点P是CD的中点，∠BCD=60°，射线AP交BC 的延长线于点E，射线BP交DE于点K，点O是线段BK的中点．（1）求证：△ADP≌△ECP；（2）若BP=n?PK，试求出n的值；（3）作BM丄AE于点M，作KN丄AE于点N，连结MO、NO，如图2所示，请证明△MON是等腰三角形，并直接写出∠MON的度数．27．（2015?丹东）在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O；在Rt△PMN中，∠MPN=90°．（1）如图1，若点P与点O重合且PM⊥AD、PN⊥AB，分别交AD、AB于点E、F，请直接写出PE与PF的数量关系；（2）将图1中的Rt△PMN绕点O顺时针旋转角度α（0°＜α＜45°）．①如图2，在旋转过程中（1）中的结论依然成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；②如图2，在旋转过程中，当∠DOM=15°时，连接EF，若正方形的边长为2，请直接写出线段EF的长；③如图3，旋转后，若Rt△PMN的顶点P在线段OB上移动（不与点O、B重合），当BD=3BP时，猜想此时PE与PF的数量关系，并给出证明；当BD=m?BP时，请直接写出PE 与PF的数量关系．28．（2015?成都）已知AC，EC分别是四边形ABCD和EFDC的对角线，点E在△ABC内，∠CAE+∠CBE=90°．（1）如图①，当四边形ABCD和EFCG均为正方形时，连接BF．（i）求证：△CAE∽△CBF；（ii）若BE=1，AE=2，求CE的长；（2）如图②，当四边形ABCD和EFCG均为矩形，且==k时，若BE=1，AE=2，CE=3，求k的值；（3）如图③，当四边形ABCD和EFCG均为菱形，且∠DAB=∠GEF=45°时，设BE=m，AE=n，CE=p，试探究m，n，p三者之间满足的等量关系．（直接写出结果，不必写出解答过程）29．（2015?锦州）如图①，∠QPN的顶点P在正方形ABCD两条对角线的交点处，∠QPN=α，将∠QPN绕点P旋转，旋转过程中∠QPN的两边分别与正方形ABCD的边AD和CD交于点E和点F（点F与点C，D不重合）．（1）如图①，当α=90°时，DE，DF，AD之间满足的数量关系是；（2）如图②，将图①中的正方形ABCD改为∠ADC=120°的菱形，其他条件不变，当α=60°时，（1）中的结论变为DE+DF=AD，请给出证明；（3）在（2）的条件下，若旋转过程中∠QPN的边PQ与射线AD交于点E，其他条件不变，探究在整个运动变化过程中，DE，DF，AD之间满足的数量关系，直接写出结论，不用加以证明．30．（2014?绵阳）如图1，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，把矩形沿直线AC折叠，使点B 落在点E处，AE交CD于点F，连接DE．（1）求证：△DEC≌△EDA；（2）求DF的值；（3）如图2，若P为线段EC上一动点，过点P作△AEC的内接矩形，使其顶点Q落在线段AE上，定点M、N落在线段AC上，当线段PE的长为何值时，矩形PQMN的面积最大？并求出其最大值．几何难题精选(1) 旋转圆四边形参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．（2015?河南）如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，点D、E分别是边BC、AC的中点，连接DE，将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．（1）问题发现①当α=0°时，= ；②当α=180°时，= ．（2）拓展探究试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．（3）问题解决当△EDC旋转至A，D，E三点共线时，直接写出线段BD的长．【考点】几何变换综合题．【专题】压轴题．【分析】（1）①当α=0°时，在Rt△ABC中，由勾股定理，求出AC的值是多少；然后根据点D、E分别是边BC、AC的中点，分别求出AE、BD的大小，即可求出的值是多少．②α=180°时，可得AB∥DE，然后根据，求出的值是多少即可．（2）首先判断出∠ECA=∠DCB，再根据，判断出△ECA∽△DCB，即可求出的值是多少，进而判断出的大小没有变化即可．（3）根据题意，分两种情况：①点A，D，E所在的直线和BC平行时；②点A，D，E所在的直线和BC相交时；然后分类讨论，求出线段BD的长各是多少即可．【解答】解：（1）①当α=0°时，∵Rt△ABC中，∠B=90°，∴AC=，∵点D、E分别是边BC、AC的中点，∴，∴．②如图1，，当α=180°时，可得AB∥DE，∵，∴=．故答案为：．（2）如图2，，当0°≤α＜360°时，的大小没有变化，∵∠ECD=∠ACB，∴∠ECA=∠DCB，又∵，∴△ECA∽△DCB，∴．（3）①如图3，，∵AC=4，CD=4，CD⊥AD，∴AD==，∵AD=BC，AB=DC，∠B=90°，∴四边形ABCD是矩形，∴．②如图4，连接BD，过点D作AC的垂线交AC于点Q，过点B作AC的垂线交AC于点P，，∵AC=4，CD=4，CD⊥AD，∴AD==，∵点D、E分别是边BC、AC的中点，∴DE==2，∴AE=AD﹣DE=8﹣2=6，由（2），可得，∴BD==．综上所述，BD的长为4或．【点评】（1）此题主要考查了几何变换综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合思想的应用，要熟练掌握．（2）此题还考查了相似三角形、全等三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握．（3）此题还考查了线段长度的求法，以及矩形的判定和性质的应用，要熟练掌握．2．（2015?济南）如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∠EAC=90°，点M为射线AE上任意一点（不与A重合），连接CM，将线段CM绕点C按顺时针方向旋转90°得到线段CN，直线NB分别交直线CM、射线AE于点F、D．（1）直接写出∠NDE的度数；（2）如图2、图3，当∠EAC为锐角或钝角时，其他条件不变，（1）中的结论是否发生变化？如果不变，选取其中一种情况加以证明；如果变化，请说明理由；（3）如图4，若∠EAC=15°，∠ACM=60°，直线CM与AB交于G，BD=，其他条件不变，求线段AM的长．【考点】几何变换综合题．【专题】压轴题．【分析】（1）根据题意证明△MAC≌△NBC即可；（2）与（1）的证明方法相似，证明△MAC≌△NBC即可；（3）作GK⊥BC于K，证明AM=AG，根据△MAC≌△NBC，得到∠BDA=90°，根据直角三角形的性质和已知条件求出AG的长，得到答案．【解答】解：（1）∵∠ACB=90°，∠MCN=90°，∴∠ACM=∠BCN，在△MAC和△NBC中，，∴△MAC≌△NBC，∴∠NBC=∠MAC=90°，又∵∠ACB=90°，∠EAC=90°，∴∠NDE=90°；（2）不变，在△MAC≌△NBC中，，∴△MAC≌△NBC，∴∠N=∠AMC，又∵∠MFD=∠NFC，∠MDF=∠FCN=90°，即∠NDE=90°；（3）作GK⊥BC于K，∵∠EAC=15°，∴∠BAD=30°，∵∠ACM=60°，∴∠GCB=30°，∴∠AGC=∠ABC+∠GCB=75°，∠AMG=75°，∴AM=AG，∵△MAC≌△NBC，∴∠MAC=∠NBC，∴∠BDA=∠BCA=90°，∵BD=，∴AB=+，AC=BC=+1，设BK=a，则GK=a，CK=a，∴a+a=+1，∴a=1，∴KB=KG=1，BG=，AG=，∴AM=．【点评】本题考查的是矩形的判定和性质以及三角形全等的判定和性质，正确作出辅助线、利用方程的思想是解题的关键，注意旋转的性质的灵活运用．3．（2015?岳阳）已知直线m∥n，点C是直线m上一点，点D是直线n上一点，CD与直线m、n不垂直，点P为线段CD的中点．（1）操作发现：直线l⊥m，l⊥n，垂足分别为A、B，当点A与点C重合时（如图①所示），连接PB，请直接写出线段PA与PB的数量关系： PA=PB ．（2）猜想证明：在图①的情况下，把直线l向上平移到如图②的位置，试问（1）中的PA与PB的关系式是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（3）延伸探究：在图②的情况下，把直线l绕点A旋转，使得∠APB=90°（如图③所示），若两平行线m、n之间的距离为2k．求证：PA?PB=k?AB．【考点】几何变换综合题．【专题】压轴题．【分析】（1）根据三角形CBD是直角三角形，而且点P为线段CD的中点，应用直角三角形的性质，可得PA=PB，据此解答即可．（2）首先过C作CE⊥n于点E，连接PE，然后分别判断出PC=PE、∠PCA=∠PEB、AC=BE；然后根据全等三角形判定的方法，判断出△PAC∽△PBE，即可判断出PA=PB仍然成立．（3）首先延长AP交直线n于点F，作AE⊥BD于点E，然后根据相似三角形判定的方法，判断出△AEF∽△BPF，即可判断出AF?BP=AE?BF，再个AF=2PA，AE=2k，BF=AB，可得2PA?PB=2k．AB，所以PA?PB=k?AB，据此解答即可．【解答】解：（1）∵l⊥n，∴BC⊥BD，∴三角形CBD是直角三角形，又∵点P为线段CD的中点，∴PA=PB．（2）把直线l向上平移到如图②的位置，PA=PB仍然成立，理由如下：如图②，过C作CE⊥n于点E，连接PE，，∵三角形CED是直角三角形，点P为线段CD的中点，∴PD=PE，又∵点P为线段CD的中点，∴PC=PD，∴PC=PE；∵PD=PE，∴∠CDE=∠PEB，∵直线m∥n，∴∠CDE=∠PCA，∴∠PCA=∠PEB，又∵直线l⊥m，l⊥n，CE⊥m，CE⊥n，∴l∥CE，∴AC=BE，在△PAC和△PBE中，∴△PAC≌△PBE，∴PA=PB．（3）如图③，延长AP交直线n于点F，作AE⊥BD于点E，，∵直线m∥n，∴，∴AP=PF，∵∠APB=90°，∴BP⊥AF，又∵AP=PF，∴BF=AB；在△AEF和△BPF中，∴△AEF∽△BPF，∴，∴AF?BP=AE?BF，∵AF=2PA，AE=2k，BF=AB，∴2PA?PB=2k．AB，∴PA?PB=k?AB．【点评】（1）此题主要考查了几何变换综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合思想的应用，考查了从图象中获取信息，并能利用获取的信息解答相应的问题的能力．（2）此题还考查了直角三角形的性质和应用，要熟练掌握．（3）此题还考查了全等三角形的判定和性质的应用，以及相似三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握．4．（2015?重庆）在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，点D是线段BC的中点，∠EDF=120°，DE与线段AB相交于点E．DF与线段AC（或AC的延长线）相交于点F．（1）如图1，若DF⊥AC，垂足为F，AB=4，求BE的长；（2）如图2，将（1）中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，DF仍与线段AC相交于点F．求证：BE+CF=AB；（3）如图3，将（2）中的∠EDF继续绕点D顺时针旋转一定的角度，使DF与线段AC的延长线相交于点F，作DN⊥AC于点N，若DN⊥AC于点N，若DN=FN，求证：BE+CF=（BE﹣CF）．【考点】几何变换综合题；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义．【专题】压轴题．【分析】（1）如图1，易求得∠B=60°，∠BED=90°，BD=2，然后运用三角函数的定义就可求出BE的值；（2）过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，如图2，易证△MBD≌△NCD，则有BM=CN，DM=DN，进而可证到△EMD≌△FND，则有EM=FN，就可得到BE+CF=BM+EM+CF=BM+FN+CF=BM+CN=2BM=2BD×cos60°=BD=BC=AB；（3）过点D作DM⊥AB于M，如图3．同（1）可得：∠B=∠ACD=60°，同（2）可得：BM=CN，DM=DN，EM=FN．由DN=FN可得DM=DN=FN=EM，从而可得BE+CF=BM+EM+CF=CN+DM+CF=NF+DM=2DM，BE﹣CF=BM+EM﹣CF=BM+NF﹣CF=BM+NC=2BM．然后在Rt△BMD中，运用三角函数就可得到DM=BM，即BE+CF=（BE﹣CF）．【解答】解：（1）如图1，∵AB=AC，∠A=60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°，BC=AC=AB=4．∵点D是线段BC的中点，∴BD=DC=BC=2．∵DF⊥AC，即∠AFD=90°，∴∠AED=360°﹣60°﹣90°﹣120°=90°，∴∠BED=90°，∴BE=BD×cos∠B=2×cos60°=2×=1；（2）过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，如图2，则有∠AMD=∠BMD=∠AND=∠CND=90°．∵∠A=60°，∴∠MDN=360°﹣60°﹣90°﹣90°=120°．∵∠EDF=120°，∴∠MDE=∠NDF．在△MBD和△NCD中，，∴△MBD≌△NCD，∴BM=CN，DM=DN．在△EMD和△FND中，，∴△EMD≌△FND，∴EM=FN，∴BE+CF=BM+EM+CF=BM+FN+CF=BM+CN=2BM=2BD×cos60°=BD=BC=AB；（3）过点D作DM⊥AB于M，如图3．同（1）可得：∠B=∠ACD=60°．同（2）可得：BM=CN，DM=DN，EM=FN．∵DN=FN，∴DM=DN=FN=EM，∴BE+CF=BM+EM+CF=CN+DM+CF=NF+DM=2DM，BE﹣CF=BM+EM﹣CF=BM+NF﹣CF=BM+NC=2BM．在Rt△BMD中，DM=BM?tanB=BM，∴BE+CF=（BE﹣CF）．【点评】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、四边形的内角和定理、全等三角形的判定与性质、三角函数的定义、特殊角的三角函数值等知识，通过证明三角形全等得到BM=CN，DM=DN，EM=FN是解决本题的关键．5．（2015?烟台）【问题提出】如图①，已知△ABC是等腰三角形，点E在线段AB上，点D在直线BC上，且ED=EC，将△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF连接EF试证明：AB=DB+AF【类比探究】（1）如图②，如果点E在线段AB的延长线上，其他条件不变，线段AB，DB，AF之间又有怎样的数量关系？请说明理由（2）如果点E在线段BA的延长线上，其他条件不变，请在图③的基础上将图形补充完整，并写出AB，DB，AF之间的数量关系，不必说明理由．【考点】几何变换综合题．【专题】压轴题．【分析】首先判断出△CEF是等边三角形，即可判断出EF=EC，再根据ED=EC，可得ED=EF，∠CAF=∠BAC=60°，所以∠EAF=∠BAC+∠CAF=120°，∠DBE=120°，∠EAF=∠DBE；然后根据全等三角形判定的方法，判断出△EDB≌△FEA，即可判断出BD=AE，AB=AE+BF，所以AB=DB+AF．（1）首先判断出△CEF是等边三角形，即可判断出EF=EC，再根据ED=EC，可得ED=EF，∠CAF=∠BAC=60°，所以∠EFC=∠FGC+∠FCG，∠BAC=∠FGC+∠FEA，∠FCG=∠FEA，再根据∠FCG=∠EAD，∠D=∠EAD，可得∠D=∠FEA；然后根据全等三角形判定的方法，判断出△EDB≌△FEA，即可判断出BD=AE，EB=AF，进而判断出AB=BD﹣AF即可．（2）首先根据点E在线段BA的延长线上，在图③的基础上将图形补充完整，然后判断出△CEF是等边三角形，即可判断出EF=EC，再根据ED=EC，可得ED=EF，∠CAF=∠BAC=60°，再判断出∠DBE=∠EAF，∠BDE=∠AEF；最后根据全等三角形判定的方法，判断出△EDB≌△FEA，即可判断出BD=AE，EB=AF，进而判断出AF=AB+BD即可．【解答】证明：ED=EC=CF，∵△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF，∴∠ECF=60°，∠BCA=60°，BE=AF，EC=CF，∴△CEF是等边三角形，∴EF=EC，∠CEF=60°，又∵ED=EC，∴ED=EF，∵△ABC是等腰三角形，∠BCA=60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠CAF=∠CBA=60°，∴∠EAF=∠BAC+∠CAF=120°，∠DBE=120°，∠EAF=∠DBE，∵∠CAF=∠CEF=60°，∴A、E、C、F四点共圆，∴∠AEF=∠ACF，又∵ED=EC，∴∠D=∠BCE，∠BCE=∠ACF，∴∠D=∠AEF，在△EDB和△FEA中，（AAS）∴△EDB≌△FEA，∴DB=AE，BE=AF，∵AB=AE+BE，∴AB=DB+AF．（1）AB=BD+AF；延长EF、CA交于点G，∵△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF，∴∠ECF=60°，BE=AF，EC=CF，∴△CEF是等边三角形，∴EF=EC，又∵ED=EC，∴ED=EF，∠EFC=∠BAC=60°，∵∠EFC=∠FGC+∠FCG，∠BAC=∠FGC+∠FEA，∴∠FCG=∠FEA，又∵∠FCG=∠ECD，∠D=∠ECD，∴∠D=∠FEA，由旋转的性质，可得∠CBE=∠CAF=120°，∴∠DBE=∠FAE=60°，在△EDB和△FEA中，（AAS）∴△EDB≌△FEA，∴BD=AE，EB=AF，∴BD=FA+AB，即AB=BD﹣AF．（2）如图③，，ED=EC=CF，∵△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF，∴∠ECF=60°，BE=AF，EC=CF，BC=AC，∴△CEF是等边三角形，∴EF=EC，又∵ED=EC，∴ED=EF，∵AB=AC，BC=AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°，∴∠CAF=60°，∴∠EAF=180°﹣∠CAF﹣∠BAC=180°﹣60°﹣60°=60°∴∠DBE=∠EAF；∵ED=EC，∴∠ECD=∠EDC，∴∠BDE=∠ECD+∠DEC=∠EDC+∠DEC，又∵∠EDC=∠EBC+∠BED，∴∠BDE=∠EBC+∠BED+∠DEC=60°+∠BEC，∵∠AEF=∠CEF+∠BEC=60°+∠BEC，∴∠BDE=∠AEF，在△EDB和△FEA中，（AAS）∴△EDB≌△FEA，∵BE=AB+AE，∴AF=AB+BD，即AB，DB，AF之间的数量关系是：AF=AB+BD．【点评】（1）此题主要考查了几何变换综合题，考查了分析推理能力，考查了空间想象能力，考查了数形结合方法的应用，要熟练掌握．（2）此题还考查了全等三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握．6．（2015?莆田）在Rt△ACB和Rt△AEF中，∠ACB=∠AEF=90°，若点P是BF的中点，连接PC，PE．特殊发现：如图1，若点E，F分别落在边AB，AC上，则结论：PC=PE成立（不要求证明）．问题探究：把图1中的△AEF绕着点A顺时针旋转．（1）如图2，若点E落在边CA的延长线上，则上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（2）如图3，若点F落在边AB上，则上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）记=k，当k为何值时，△CPE总是等边三角形？（请直接写出k的值，不必说明理由）【考点】几何变换综合题．【专题】压轴题．【分析】（1）首先过点P作PM⊥CE于点M，然后根据EF⊥AE，BC⊥AC，可得EF∥MP∥CB，推得，再根据点P是BF的中点，可得EM=MC，据此推得PC=PE即可．（2）首先过点F作FD⊥AC于点D，过点P作PM⊥AC于点M，连接PD，然后根据全等三角形判定的方法，判断出△DAF≌△EAF，即可判断出AD=AE；再判断出△DAP≌△EAP，即可判断出PD=PE；最后根据FD⊥AC，BC⊥AC，PM⊥AC，可得FD∥BC∥PM，再根据点P是BF的中点，推得PC=PD，再根据PD=PE，即可推得PC=PE．（3）首先根据△CPE总是等边三角形，可得将△AEF绕着点A顺时针旋转180°，△CPE 仍是等边三角形；然后根据∠BCF=∠BEF=90°，点P是BF的中点，可得点C、E在以点P 为圆心，BF为直径的圆上；最后根据圆周角定理，求出∠CBE的度数，即可求出当△CPE 总是等边三角形时，k的值是多少．【解答】解：（1）如图2，过点P作PM⊥CE于点M，，。

部编数学九年级上册专题21.4与几何相关的应用(压轴题专项讲练)(人教版)(解析版)含答案

部编数学九年级上册专题21.4与几何相关的应用(压轴题专项讲练)(人教版)(解析版)含答案

专题21.4 与几何相关的应用【典例1】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝∠D＝90°，BC＝16，CD＝12，AD＝21．动点P从点D 出发，沿线段DA的方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长度的速度向点B运动．点P，Q分别从点D，C同时出发，当点P运动到点A时，点Q随之停止运动．设运动时间为t（s），当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形为等腰三角形？以B，P，Q为顶点的三角形为等腰三角形有三种情况：当PB＝PQ时，当PQ＝BQ时，当BP＝BQ时，由等腰三角形的性质就可以得出结论．解：如图1，当PB＝PQ时，作PE⊥BC于E，∴EQ=12 BQ，∵CQ＝t，∴BQ＝16﹣t，∴EQ＝8−12 t，∴EC＝8−12t+t＝8+12t．∴2t＝8+12 t．解得：t=16 3．如图2，当PQ＝BQ时，作QE⊥AD于E，∴∠PEQ＝∠DEQ＝90°，∵∠C＝∠D＝90°，∴∠C＝∠D＝∠DEQ＝90°，∴四边形DEQC是矩形，∴DE＝QC＝t，∴PE＝t，QE＝CD＝12．在Rt△PEQ中，由勾股定理，得PQ16﹣t=解得：t=7 2；如图3，当BP＝BQ时，作PE⊥BC于E，∵CQ＝t，∴BP＝BQ＝BC﹣CQ＝16﹣t，∵PD＝2t，∴CE＝2t，∴BE＝16﹣2t，在Rt△BEP中，（16﹣2t）2+122＝（16﹣t）2，3t2﹣32t+144＝0，△＝（﹣32）2﹣4×3×144＝﹣704＜0，故方程无解．综上所述，t=163或72时，以B，P，Q三点为顶点的三角形为等腰三角形．1．（2021春•长兴县月考）把一个边长为40cm的正方形硬纸板的四周按如图所示的方式剪掉一些长方形，将剩余部分折成一个有盖的长方体盒子，折成的一个长方体盒子的表面积为550cm2，则此时长方体盒子的体积为（ ）A．750cm3B．1536cm3C．2000cm3D．2304cm3【思路点拨】先设剪掉的长方形盒子的高为xcm，利用折成的一个长方形盒子的表面积为550cm2，列出方程，求出长方形盒子的长、宽、高，再根据长方体的体积公式进行计算即可．【解题过程】解：设剪掉的长方形盒子的高为xcm，根据题意得：2（40﹣2x）（20﹣x）+2x（20﹣x）+2x（40﹣2x）＝550，整理得：x2+20x﹣525＝0，解得：x1＝15，x2＝﹣35（不合题意，舍去），∴40﹣2x＝40﹣2×15＝10，20﹣x＝20﹣15＝5．∴长方体盒子的长为10cm，宽为5cm，高为15cm，此时长方体纸盒子的体积为：15×10×5＝750（cm3），∴此时长方体纸盒子的体积为750cm3．故选：A．2．（2021秋•江岸区校级月考）如图，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，则左右边衬的宽度为（ ）cm．A B C D【思路点拨】根据中央矩形的长＝封面的长﹣2×上下边衬的宽，中央矩形的宽＝封面的宽﹣2×左右边衬的宽，再根据矩形的面积＝长×宽列式即可；【解题过程】解：设上下边衬的宽均为9xcm，则左右边衬均为7xcm．∵一本书的封面长为27cm，宽为21cm，∴中央矩形的长为（27﹣18x）cm，宽为（21﹣14x）cm，中央矩形的面积为（27﹣18x）（21﹣14x）cm2．由题意，得（27﹣18x）（21﹣14x）＝（1−14）×27×21，解得x1x2∴，．故选：C．3．（2022•随县一模）一个矩形内放入两个边长分别为3cm和4cm的小正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为8cm2；按照图②放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为11cm2，若把两张正方形纸片按图③放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为（ ）A ．5cm 2B ．6cm 2C ．7cm 2D ．8cm 2【思路点拨】设矩形的长为xcm ，宽为ycm ，根据矩形的面积公式结合按图①②两种放置时未被覆盖部分的面积，即可得出关于x ，y 的方程组，利用（②﹣①）÷3可得出x ＝y +1③，将③代入②中可得出关于y 的一元二次方程，解之取其正值即可得出y 值，进而可得出x 的值，再利用矩形的面积公式求出按图③放置时未被覆盖的两个小矩形的面积和即可得出结论．【解题过程】解：设矩形的长为xcm ，宽为ycm ，依题意，得：xy =16+3(x−4)+8①xy =16+3(y−4)+11②，（②﹣①）÷3，得：y ﹣x +1＝0，∴x ＝y +1③．将③代入②，得：y （y +1）＝16+3（y ﹣4）+11，整理，得：y 2﹣2y ﹣15＝0，解得：y 1＝5，y 2＝﹣3（舍去），∴x ＝6．∴按图③放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为（x ﹣4）（y ﹣3）+（x ﹣3）（y ﹣4）＝2×2+3×1＝7．故选：C ．4．（2021•乐清市二模）如图是清朝李潢撰写的《九章算术细草图说》中的“勾股圆方图”，四边形ABCD ，四边形EBGF ，四边形HNQD 均为正方形，BG ，NQ ，BC 是某个直角三角形的三边，其中BC 是斜边，若HM ：EM ＝8：9，HD ＝2，则AB 的长为（ ）A ．114B ．2910C ．3D ．【思路点拨】设HM＝8x，EM＝9x，根据正方形的性质得到HD＝NQ＝2，BG＝BE，BC＝AD＝AB，由题意得，AH＝EM ＝9x，AE＝HM＝8x，根据勾股定理列方程即可得到答案．【解题过程】解：∵HM：EM＝8：9，∴设HM＝8x，EM＝9x，∵四边形ABCD，四边形EBGF，四边形HNQD均为正方形，∴HD＝NQ＝2，BG＝BE，BC＝AD＝AB，由题意得，AH＝EM＝9x，AE＝HM＝8x，∴AB＝BC＝AD＝9x+2，∴BG＝BE＝AB﹣AE＝9x+2﹣8x＝x+2，∵BG，NQ，BC是某个直角三角形的三边，其中BC是斜边，∴BG2+NQ2＝BC2，∴（x+2）2+22＝（9x+2）2，解得：x=110（负值舍去），∴AB＝9×110+2=2910，故选：B．5．（2021秋•鼓楼区校级期中）欧几里得在《几何原本》中，记载了用图解法解方程x2+ax＝b2的方法，类似地我们可以用折纸的方法求方程x2+x﹣1＝0的一个正根．如图，一张边长为1的正方形的纸片ABCD，先折出AD，BC的中点E，F，再沿过点A的直线折叠使AD落在线段AF上，点D的对应点为点H，折痕为AG，点G在边CD上，连接GH，GF，长度恰好是方程x2+x﹣1＝0的一个正根的线段为（ ）A．线段BF B．线段DG C．线段CG D．线段GF【思路点拨】首先根据方程x 2+x ﹣1＝0再判断这个数值和题目中的哪条线段接近．线段BF ＝0.5排除，其余三条线段可以通过设未知数找到等量关系．利用正方形的面积等于图中各个三角形的面积和，列等量关系．设DG ＝m ，则GC ＝1﹣m ，从而可以用m 表示等式．【解题过程】解：设DG ＝m ，则GC ＝1﹣m ．由题意可知：△ADG ≌△AHG ，F 是BC 的中点，∴DG ＝GH ＝m ，CF ＝0.5．∵S 正方形＝S △ABF +S △ADG +S △CFG +S △AGF ，∴1×1=12×1×12+12×1×m +12×12×(1−m)+12×m ，∴m ∵x 2+x ﹣1＝0的解为：x =−122，∴取正值为x =∴这条线段是线段DG ．故选：B ．6．（2021春•平桂区 期中）如图，在长20米，宽12米的长方形ABCD 空地中，修建4条宽度相等且都与长方形的各边垂直的小路，4条路围成的中间部分恰好是个正方形，且边长是路宽的2倍，小路的总面积是36平方米，则小路的宽是 1　米．【思路点拨】设小路的宽是x 米，则小路的总长为（20+12﹣2×2x ）米，利用长方形的面积计算公式，结合小路的总面积为36平方米，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解题过程】解：设小路的宽是x 米，则小路的总长为（20+12﹣2×2x ）米，依题意得：x （20+12+2×2x ）＝36，整理得：x 2+8x ﹣9＝0，解得：x 1＝1，x 2＝﹣9（不合题意，舍去）．∴小路的宽是1米．故答案为：1．7．（2021春•衢江区校级期末）如图，B 是AC 上一点，且BC ＝6cm ，AB ＝4cm ，射线BD ⊥AC ，垂足为B ，动点M 从A 出发以2cm /s 的速度沿着AC 向C 运动，同时动点N 从B 出发以3cm /s 的速度沿着射线BD 向下运动，连接MN ．当△BMN 的面积为32cm 2，两动点运动了t （s ），则t 的值为 或或　．【思路点拨】分0＜t ＜2及2＜t ≤5两种情况考虑，当0＜t ＜2时，BM ＝（4﹣2t ）cm ，BN ＝3tcm ，根据△BMN 的面积为32cm 2，即可得出关于t 的一元二次方程，解之即可得出t 值；当2＜t ≤5时，BM ＝（2t ﹣4）cm ，BN ＝3tcm ，根据△BMN 的面积为32cm 2，即可得出关于t 的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．【解题过程】解：当0＜t ＜2时，BM ＝（4﹣2t ）cm ，BN ＝3tcm ，∴12（4﹣2t ）•3t =32，整理得：2t 2﹣4t +1＝0，解得：t 1=t 2=当2＜t ≤5时，BM ＝（2t ﹣4）cm ，BN ＝3tcm ，∴12（2t ﹣4）•3t =32，整理得：2t 2﹣4t ﹣1＝0，解得：t 3=t 4=综上所述，t8．（2021春•任城区期中）如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝5，∠C ＝30°．点D 从点C 出发沿CA 方向以每秒2个单位长的速度向点A 匀速运动，同时点E 从点A 出发沿AB 方向以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D ．E 运动的时间是t 秒（t ＞0）．过点D 作DF ⊥BC 于点F ，连接DE 、EF ．则当t ＝　52　时，四边形AEFD 的面积是△ABC 面积的一半．【思路点拨】易证四边形AEFD 为平行四边形，当点D ．E 运动的时间是t 秒时，CD ＝2t ，AE ＝t ，CF =，BF ＝BC ﹣CF＝，根据四边形AEFD 的面积是△ABC 面积的一半，即可得出关于t 的一元二次方程，解之即可得出结论．【解题过程】解：∵∠C ＝30°，AB ＝5，∴DF =12CD ，CF =，BC =＝∵点E 的速度为点D 速度的一半，∴AE =12CD ＝DF ．又∵∠B ＝90°，DF ⊥BC ，∴AE ∥DF ，∴四边形AEFD 为平行四边形．当点D ．E 运动的时间是t 秒时，CD ＝2t ，AE ＝t ，CF ，BF ＝BC ﹣CF ＝，依题意，得：AE •BF =12×12AB •BC ，即t •（）=12×12×整理，得：4t 2﹣20t +25＝0，解得：t 1＝t 2=52．故答案为：5 2．9．（2022春•长兴县期中）某牧场准备利用现成的一堵“7”字形的墙面（粗线A﹣B﹣C表示墙面）建饲养场，已知AB⊥BC，AB＝3米，BC＝15米，现计划用总长为38米的篱笆围建一个“日”字形的饲养场BDEF，并在每个区域开一个宽2米的门，如图（细线表示篱笆，饲养场中间用篱笆GH隔开），点F可能在线段BC 上，也可能在线段BC的延长线上．（1）如图1，当点F在线段BC上时，①设EF的长为x米，则DE＝　（45﹣3x）　米；（用含x的代数式表示）②若围成的饲养场BDEF的面积为132平方米，求饲养场的宽EF的长；（2）如图2，当点F在线段BC延长线上，所围成的饲养场BDEF的面积能否为156平方米？如果能达到，求出EF的长；如果不能，请说明理由．【思路点拨】（1）①根据各边之间的关系，即可用含x的代数式表示出DE的长；②利用矩形的面积计算公式，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合DE不超过15米，即可得出饲养场的宽EF的长为11米；（2）不能达到，设EF的长为y米，则DE=60−3y2米，利用矩形的面积计算公式，即可得出关于y的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣16＜0，可得出该方程没有实数根，即不能达到．【解题过程】解：（1）①设EF的长为x米，则DE＝38+2+2﹣（3x﹣3）＝（45﹣3x）（米）．故答案为：（45﹣3x）．②依题意得：x（45﹣3x）＝132，整理得：x2﹣15x+44＝0，解得：x1＝4，x2＝11．当x＝4时，45﹣3x＝45﹣3×4＝33＞15，不合题意，舍去；当x＝11时，45﹣3x＝45﹣3×11＝12＜15，符合题意．答：饲养场的宽EF 的长为11米．（2）不能达到，理由如下：设EF 的长为y 米，则DE =381522−(3y−3)2=60−3y 2米，依题意得：y •60−3y 2=156，整理得：y 2﹣20y +104＝0，∵Δ＝（﹣20）2﹣4×1×104＝﹣16＜0，∴该方程没有实数根，即当点F 在线段BC 延长线上，所围成的饲养场BDEF 的面积不能达到156平方米．10．（2021秋•南安市期中）用总长680cm 的木板制作矩形置物架ABCD （如图），已知该置物架上面部分为正方形ABFE ，下面部分是两个全等的矩形DGMN 和矩形CNMH ，中间部分为矩形EFHG ．已知DG ＝60cm ，设正方形的边长AB ＝x （cm ）．（1）当x ＝72时，EG 的长为 34　cm ；（2）置物架ABCD 的高AD 的长为 （310﹣2x ）　cm （用含x 的代数式表示）；（3）为了便于置放物品，EG 的高度不小于22cm ，若矩形ABCD 的面积为12000（cm 2），求x 的值．【思路点拨】若AB ＝x （cm ），根据各边之间的关系，可得出EG ＝（250﹣3x ）（cm ）．（1）将x ＝72代入（250﹣3x ）中可求出EG 的长；（2）根据各边之间的关系，可得出AD ＝（310﹣2x ）（cm ）；（3）根据矩形ABCD 的面积为12000（cm 2），即可得出关于x 的一元二次方程，解之即可得出x 的值，再结合EG 的高度不小于22cm ，即可得出x 的值．【解题过程】解：∵矩形DGMN和矩形CNMH全等，∴MN＝CH＝DG＝60cm．若AB＝x（cm），则AE＝BF＝EF＝CD＝GH＝x（cm），∴EG=680−6x−3×602=(250−3x)（cm）．（1）当x＝72时，EG＝250﹣3x＝250﹣3×72＝34（cm）．故答案是：34；（2）依题意得：AD=680−4AB−MN2=680−4x−602=(310−2x)（cm）；故答案是：（310﹣2x）；（3）依题意得：x（310﹣2x）＝12000．整理得：x2﹣155x+6000＝0，解得：x1＝75，x2＝80．∵EG的高度不小于22cm，即250﹣3x≥22，∴x≤76，∴x2＝80不合题意，舍去．答：x的值为75cm．11．（2022•广西模拟）如图是一个五边形的空地ABCDE，∠B＝∠C＝∠D＝90°，∠A＝135°，已知AB＝4m，BC＝8m，CD＝10m，DE＝2m，准备在五边形ABCDE内按如图方式设计一个长方形FGCH铺设木地板，剩下部分铺设地砖．点F、G、H分别在边AE、BC、CD上．（1）求五边形ABCDE的面积；（2）若长方形FGCH的面积为35m2，求BG的长．（3）若铺设木地板的成本为每平方米200元，铺设地砖的成本为每平方米100元，投资7300元能否完成地面铺设？通过计算说明．【思路点拨】（1）过点E、A分别作EM⊥BC于M，作AN⊥EM于点N，将五边形ABCDE划分成一个梯形和一个矩形的，即可求解；（2）设BG＝xm，则FG＝（4+x）m，CG＝（8﹣x）m，根据题意列出方程即可求解；（3）设BG＝ym，根据“投资7300元”列出方程即可求解．【解题过程】解：（1）过点E、A分别作EM⊥BC于M，作AN⊥EM于点N，如图，则∠EAN＝∠AEN＝45°，∴AN＝EN，∵MN＝AB，EM＝CD，∴EN＝EM﹣MN＝DC﹣AB＝10﹣4＝6（m），∴AN＝6（m），∴S五边形ABCDE＝S梯形ABME+S矩形EMCD=12×（4+10）×6+2×10＝62（m2）；（2）设BG＝xm，则FG＝（4+x）m，CG＝（8﹣x）m，根据题意得，（4+x）（8﹣x）＝35，解得：x1＝1，x2＝3，答：BG的长为1m或3m；（3）设BG＝ym，且0＜BG＜6，由题意得，200（4+y）（8﹣y）+100[62﹣（4+y）（8﹣y）]＝7300，化简，得，y2﹣4y﹣21＝0，解得：y1＝7，y2＝﹣3均不符合题意，∴投资7300元不能完成地面铺设，12．（2021春•嘉兴期末）如图1，将一块形状为矩形的空地ABCD修建成一个花圃，其中AB＝12米，BC ＝20米．设计方案为：该花圃由一条宽度相等的环形小道（图2中阴影）和花卉种植区域（图2中矩形EFGH）组成．（1）若环形小道面积是花圃面积的14，求小道的宽度．（2）若花卉种植区域分割成如图3的形状，点I，J，K分别在边EH，EF，FG上，L为花圃内一点，四边形HIJL和四边形GLJK均为平行四边形．已知KG的长是小道宽度的2倍，且四边形HIJL与四边形GLJK的面积之和是花圃面积的27500，求小道的宽度．【思路点拨】（1）设小道的宽度为x米，分别用含x的式子表示出FG和HG的长度，然后利用图中面积关系列方程求解；（2）设小道的宽度为x米，用含x的式子表示出KG的长度，然后结合平行四边形的面积公式并利用图中面积关系列方程求解；【解题过程】解：（1）设小道的宽度为x米，∵AB＝12米，BC＝20米，∴FG＝（20﹣2x）米，HG＝（12﹣2x）米，又∵环形小道面积是花圃面积的1 4，∴花卉种植区域（即图2中矩形EFGH）的面积是花圃面积的3 4，∴（20﹣2x）（12﹣2x）=34×20×12，解得：x1＝1，x2＝15（不合题意，舍去），∴小道的宽度为1米；（2）延长JL交HG于点M，设小道的宽度为x米，∵四边形HIJL和四边形GLJK均为平行四边形，∴图3中KG＝JL＝2x，∴S平行四边形HIJL+S平行四边形GLJK＝KG•MG+JL•HM＝KG•MG+KG•HM＝KG（MG+HM）＝KG•HG，由题意可得：2x（12﹣2x）=27500×20×12，解得：x1＝0.6，x2＝5.4（不合题意，舍去），∴小道的宽度为0.6米．13．（2021秋•东海县期中）为了美化环境，学校准备在如图所示的矩形ABCD空地上进行绿化，规划在中间的一块四边形MNQP上种花，其余的四块三角形上铺设草坪，要求AM＝AN＝CP＝CQ．已知BC＝24米，AB＝40米．设AM＝x米．（1）当种花的面积为440平方米时，求x的值；（2）种花的面积能否达到520平方米？说明理由；（3）设种花的面积为a平方米，当x的值有且只有一个时，试求出a的取值范围．【思路点拨】（1）根据矩形面积减去四个直角三角形的面积，表示出种花的面积，使其等于440列出方程，求出方程的解即可得到x的值；（2）根据矩形面积减去四个直角三角形的面积，表示出种花的面积，使其等于520列出方程，判断方程是否有根即可；（3）根据矩形面积减去四个直角三角形的面积，表示出种花的面积，使其等于a列出方程，根据题意得到根的判别式等于0，求出a的值即可．【解题过程】解：（1）根据题意得：24×40﹣2×12（40﹣x）（24﹣x）﹣2×12x2＝440，方程整理得：x2﹣32x+220＝0，即（x﹣22）（x﹣10）＝0，解得：x1＝22，x2＝10，则x的值为22或10；（2）种花的面积不能达到520平方米，理由如下：根据题意得：24×40﹣2×12（40﹣x）（24﹣x）﹣2×12x2＝520，方程整理得：x2﹣32x+260＝0，∵b2﹣4ac＝322﹣4×260＝1024﹣1040＝﹣16＜0，∴此方程无解；（3）根据题意得：24×40﹣2×12（40﹣x）（24﹣x）﹣2×12x2＝a，方程整理得：x2﹣32x+a2=0，（i）∵x的值有且只有一个，∴b2﹣4ac＝322﹣4×a2=0，即2a＝1024，解得：a＝512；（ii）∵方程有两个不等根，0＜x＜24，a为面积，∴b2﹣4ac＝322﹣4×a2＞0，解得：0＜a＜512，解得：x1＝16+x2＝168，解得：0＜a≤384，综上，a＝512或0＜a≤384．14．（2021秋•泗阳县期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝24cm，动点P从点A出发沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，同时动点Q从点B出发沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，当P运动到B点时P、Q两点同时停止运动，设运动时间为ts．（1）BP＝　（12﹣2t）　cm；BQ＝　4t　cm；（用t的代数式表示）（2）D是AC的中点，连接PD、QD，t为何值时△PDQ的面积为40cm2？【思路点拨】（1）根据速度×时间＝路程列出代数式即可；（2）如图，过点D作DH⊥BC于H，利用三角形中位线定理求得DH的长度；然后根据题意和三角形的面积列出方程，求出方程的解即可．【解题过程】解：（1）根据题意得：AP＝2tcm，BQ＝4tcm，所以BP＝（12﹣2t）cm，故答案是：（12﹣2t）；4t；（2）如图，过点D作DH⊥BC于H，∵∠B＝90°，即AB⊥BC．∴AB∥DH．又∵D是AC的中点，∴BH=12BC＝12cm，DH是△ABC的中位线．∴DH=12AB＝6cm．根据题意，得12×12×24−12×4t×（12﹣2t）−12×（24﹣4t）×6−12×2t×12＝40，整理，得t2﹣6t+8＝0．解得：t1＝2，t2＝4，即当t＝2或4时，△PBQ的面积是40cm2．15．（2022春•福山区期中）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6cm ，BC ＝12cm ，点P 从点A 出发沿AB 以1cm /s 的速度向点B 运动，同时，点Q 从点B 出发沿BC 以2cm /s 的速度向点C 运动．设运动时间为xs ．（1）若PQ ＝，求x 的值．（2）若△DPQ 的面积为31cm 2，求x 的值．【思路点拨】（1）直接利用P ，Q 点运动方向和运动速度表示出BP 和BQ 的长，然后利用勾股定理列出方程求解；（2）直接利用S △DPQ ＝S 矩形ABCD ﹣S △ADP ﹣S △CDQ ﹣S △BPQ ，代入求出答案．【解题过程】解：（1）由题意可得：BP ＝AB ﹣AP ＝（6﹣x ）cm ，BQ ＝2xcm ，根据勾股定理得：BP 2+BQ 2＝PQ 2，即：（6﹣x ）2+（2x ）2＝（2，解得：x =25或x ＝2，答：PQ ＝，x 的值为25或2；（2）由题意可得：S △DPQ ＝S 矩形ABCD ﹣S △ADP ﹣S △CDQ ﹣S △BPQ＝AB •BC −12AD •AP −12CD •CQ −12BP •BQ ＝6×12−12×12x −12×6（12﹣2x ）−12（6﹣x ）•2x ＝x 2﹣6x +36＝31，解得：x 1＝1，x 2＝5，当△DPQ 的面积为31cm 2，则x 的值为1或5．16．（2021秋•顺德区校级月考）如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3cm ，BC ＝4cm ，动点P 从点B 出发以2cm /s 的速度向点C 移动，同时动点Q 从点C 出发以1cm /s 的速度向点A 移动，其中一点到达终点后另一点也随之停止运动，设它们的运动时间为ts ．（1）运动几秒时，△CPQ 为等腰三角形？（2）t 为何值时，△CPQ 的面积等于△ABC 面积的18？（3）在运动过程中，PQ 的长度能否为1cm ？试说明理由．【思路点拨】（1）根据PC ＝CQ 列方程求解即可；（2）根据△CPQ 的面积等于△ABC 面积的18，列出关于t 的方程，解方程即可；（3）根据勾股定理列方程，此方程无解，于是得到在运动过程中，PQ 的长度能否为1cm ．【解题过程】解：经过t 秒后，PC ＝（4﹣2t ）cm ，CQ ＝tcm ，（1）若△CPQ 为等腰三角形，则PC ＝CQ ，即4﹣2t ＝t ，解得：t =43，∴运动43秒时，△CPQ 为等腰三角形；（2）当△CPQ 的面积等于△ABC 面积的18时，即12×（4﹣2t ）•t =18×12×3×4，整理得：4t 2﹣8t +3＝0，解得：t 1=12，t 2=32，∴经过12或32秒后，△CPQ 的面积等于△ABC 面积的18；（3）∵∠C ＝90°，∴（4﹣2t ）2+t 2＝1，整理得：5t 2﹣16t +15＝0，∵Δ＝162﹣4×5×15＝256﹣300＝﹣44＜0，∴此方程无实数解，∴在运动过程中，PQ的长度不能为1cm．17．（2022春•萧山区期中）如图，在长方形ABCD中，BC＝20cm，P、Q、M、N分别从A、B、C、D出发沿AD、BC、CB、DA方向在长方形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时即停止，已知在相同时间内，若BQ＝xcm（x≠0），则AP＝2xcm，CM＝3xcm，DN＝x2cm．（1）当x为何值时，点的运动停止？（2）点P与点N可能相遇吗？点Q与点M呢？请通过计算说明理由．（3）当x为何值时，以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形？【思路点拨】（1）根据题意知，当点N运动到终点时，运动停止；（2）当点P与点N相遇时，2x+x2＝20，解得x=1或﹣1，当点Q与点M相遇时，x+3x＝20，解得x＝5＞（3）首先计算可得点Q只能在点M的左侧，然后分当点P在点N的左侧或点P在点N的右侧两种情形，分别根据PN＝QM，列方程可解决问题．【解题过程】解：（1）由题意得x2＝20，∴x＝∴当x为（2）当点P与点N相遇时，2x+x2＝20，解得x=1或﹣1当点Q与点M相遇时，x+3x＝20，解得x＝5，当x＝5时，x2＝25＞20，∴点Q与点M不能相遇；（3）∵当点N到达A点时，x2＝20，∴x＝∴BQ＝，CM＝，∵BQ+CM＝20，∴此时M点与Q点还未相遇，∴点Q只能在点M的左侧，①如图，当点P在点N的左侧时，20﹣（x+3x）＝20﹣（2x+x2），解得x＝0（舍去）或x＝2，∴当x＝2时，以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形；②如图，当点P在点N的右侧时，20﹣（x+3x）＝（2x+x2）﹣20，解得x＝4或﹣10（舍去），∴当x＝4时，以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形，综上，当x＝2或4时，以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形．18．（2022春•普陀区校级月考）如图，长方形ABCD中（长方形的对边平行且相等，每个角都是90°），AB＝6cm，AD＝2cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以2cm/s的速度向终点B移动，点Q以1cm/s的速度向点D移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动的时间为t（s），问：（1）当t＝1s时，四边形BCQP面积是多少？（2）当t为何值时，点P和点Q距离是3cm？（3）当t为何值时，以点P，Q，D为顶点的三角形是等腰三角形．【思路点拨】（1）当t＝1时，可以得出CQ＝1cm，AP＝2cm，就有PB＝6﹣2＝4（cm），由梯形的面积就可以得出四边形BCQP的面积；（2）分两种情况，如图1，当t＜2时，作QE⊥AB于E，在Rt△PEQ中，由勾股定理建立方程求出其解即可，如图2，当t＞2时，作QE⊥CD于E，在Rt△PEQ中，由勾股定理建立方程求出其解即可；（3）分情况讨论，如图3，当PQ＝DQ时，如图4，当PD＝PQ时，如图5，当PD＝QD时，由等腰三角形的性质及勾股定理建立方程就可以得出结论．【解题过程】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝6cm，AD＝BC＝2cm，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°．∵CQ＝1cm，AP＝2cm，∴PB＝6﹣2＝4（cm）．∴S=(14)×22=5（cm2）．答：四边形BCQP面积是5cm2；（2）如图1，当t＜2时，作QE⊥AB于E，∴∠PEQ＝90°，∵∠B＝∠C＝90°，∴四边形BCQE是矩形，∴QE＝BC＝2cm，BE＝CQ＝t（cm）．∵AP＝2t（cm），∴PE＝6﹣2t﹣t＝（6﹣3t）cm．在Rt△PQE中，由勾股定理，得（6﹣3t）2+4＝9，解得：t=∵t＜2，∴t=．3如图2，当t＞2时，作QE⊥CD于E，∴∠PEQ＝90°．∵∠B＝∠C＝90°，∴四边形BCQE是矩形，∴PE＝BC＝2cm，BP＝CE＝6﹣2t．∵CQ＝t，∴QE＝t﹣（6﹣2t）＝3t﹣6在Rt△PEQ中，由勾股定理，得（3t﹣6）2+4＝9，解得：t=∵t＞2，∴t综上所述：t（3）如图3，当PQ＝DQ时，作QE⊥AB于E，∴∠PEQ＝90°，∵∠B＝∠C＝90°，∴四边形BCQE是矩形，∴QE＝BC＝2cm，BE＝CQ＝t（cm）．∵AP＝2t，∴PE＝6﹣2t﹣t＝6﹣3t．DQ＝6﹣t．∵PQ＝DQ，∴PQ＝6﹣t．在Rt△PQE中，由勾股定理，得（6﹣3t）2+4＝（6﹣t）2，解得：t=如图4，当PD＝PQ时，作PE⊥DQ于E，∴DE＝QE=12DQ，∠PED＝90°．∵∠A＝∠D＝90°，∴四边形APED是矩形，∴PE＝AD＝2cm．DE＝AP＝2t，∵DQ＝6﹣t，∴DE=6−t 2．∴2t=6−t 2，解得：t=6 5；如图5，当PD＝QD时，∵AP＝2t，CQ＝t，∴DQ＝6﹣t，∴PD＝6﹣t．在Rt△APD中，由勾股定理，得4+4t2＝（6﹣t）2，解得t1=t2=综上所述：t或6 5或。

九年级数学中考复习压轴题专题训练含答案解析几何图形面积问题知面积关系求坐标

九年级数学中考复习压轴题专题训练含答案解析几何图形面积问题知面积关系求坐标

微专题8 知面积关系求坐标典例精讲考点面积关系转化为线段关系【例】如图，抛物线y＝12x2＋12x－1与x轴交于B，C两点(B点在C点的右侧)，与y轴交于点A，D为第二象限内抛物线上的一点，连接AD，BD，CD，当S△ABD＝2S△ACD时，求点D的坐标．典题精练训练点面积相等得线段平行1．如图，抛物线y＝54(x－65)2－145与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D，P为抛物线上点D右侧一点，连接CP与OD交于点Q，若S△COQ＝S△PDQ，求点P的横坐标．训练点面积相等得线段平行2．（2020 遂宁改）如图，抛物线y＝2x2－8x＋6与x轴交于A，B两点，抛物线的顶点M与点N关于x 轴对称，直线AN交抛物线于点D，直线BE交AD于点E，若直线BE将△ABD的面积分为1:2两部分，求点E的坐标．微专题8 知面积关系求坐标典例精讲考点 面积关系转化为线段关系 【例】 如图，抛物线y ＝12x 2＋12x －1与x 轴交于B ，C 两点(B 点在C 点的右侧)，与y 轴交于点A ，D 为第二象限内抛物线上的一点，连接AD ，BD ，CD ，当S △ABD ＝2S △ACD 时，求点D 的坐标．【解答】易知A (0，－1)，B (1，0)，C (－2，0) 过点C 做CT ⊥AD 于点T ，过B 作BM ⊥AD 于点M ，∵S △ABD ＝2S △ACD ，∴12DA ·BM ＝2×12DA ·CT ，∴BM ＝2CT ， 设DA 交x 轴于点Q ，则CQ BQ ＝CT BM ＝12，又BC ＝3，∴CQ ＝1，∴Q (－1，0)∴AQ ：y ＝－x －1，联立2111221y x x y x ⎧=+-⎪⎨⎪=--⎩，解得x D ＝－3，∴D (－3，2)典题精练训练点 面积相等得线段平行 1．如图，抛物线y ＝54(x －65)2－145与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D ，P 为抛物线上点D 右侧一点，连接CP 与OD 交于点Q ，若S △COQ ＝S △PDQ ，求点P 的横坐标．解：易知C (0，－1)，D (65，－145)，连接OP ，CD ， ∵S △COQ ＝S △PDQ ，∴S △OCD ＝S △PDC ，∴OP ∥CD ，易求得直线CD ：y ＝－32x －1，则直线OP 解析式为y ＝－32x 联立2561445532y x y x ⎧⎛⎫=--⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎪=-⎪⎩，解得x(负值已舍)，∴点P训练点 面积相等得线段平行2．（2020 遂宁改）如图，抛物线y ＝2x 2－8x ＋6与x 轴交于A ，B 两点，抛物线的顶点M 与点N 关于x 轴对称，直线AN 交抛物线于点D ，直线BE 交AD 于点E ，若直线BE 将△ABD 的面积分为1:2两部分，求点E 的坐标．解：易知A (1，0)，B (3，0)，M (2，－2)，N (2，2)，直线AN 为：y ＝2x －2 联立，可求得点D (4，6)，∴S △ABD ＝12×2×6＝6 设点E (m ，2m －2)，则S △ABE ＝13S △ABD ＝2，或S △ABE ＝23S △ABD ＝4∴12×2×(2m －2)＝2或12×2×(2m －2)＝4，解得m ＝2或3∴点E (2，2)或(3，4)。

中考数学几何专项训练及答案

中考数学几何专项训练及答案

中考数学几何专题训练含答案1、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E为AB延长线上一点，连接ED，与BC交点H．过E作CD的垂线，垂足为CD上的一点F，并与BC交于点G．已知G为CH的中点，且∠BEH=∠HEG．（1）若HE=HG，求证：△EBH≌△GFC；（2）若CD=4，BH=1，求AD的长．2、已知，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°．分别以AB、AC为边，向形外作等边△ABD和等边△ACE．（1）如图1，连接线段BE、CD．求证：BE=CD；（2）如图2，连接DE交AB于点F．求证：F为DE中点．3、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C=90°，E 为CD 的中点，EF ∥AB 交BC 于点F（1）求证：BF=AD+CF ；（2）当AD=1，BC=7，且BE 平分∠ABC 时，求EF 的长．4、在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=AD=CD,∠ABC=60°,延长AD 到E,使DE=AD,延长DC 到F ，使DC=CF,连接BE 、BF 和EF.⑴求证：△ABE ≌△CFB;⑵如果AD=6,tan ∠EBC 的值.AB D EC F5、已知：AC是矩形ABCD的对角线，延长CB至E，使CE=CA，F是AE的中点，连接DF、CF 分别交AB于G、H点（1）求证：FG=FH；（2）若∠E=60°，且AE=8时，求梯形AECD的面积．6、如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，且CD=2AD，tan∠ABC=2，过点D作DE ∥AB，交∠BCD的平分线于点E，连接BE．（1）求证：BC=CD；（2）将△BCE绕点C，顺时针旋转90°得到△DCG，连接EG．求证：CD垂直平分EG；（3）延长BE交CD于点P．求证：P是CD的中点．7、如图，直角梯形ABCD中，∠DAB=90°，AB∥CD，AB=AD，∠ABC=60度．以AD为边在直角梯形ABCD外作等边三角形ADF，点E是直角梯形ABCD内一点，且∠EAD=∠EDA=15°，连接EB、EF．（1）求证：EB=EF；（2）延长FE交BC于点G，点G恰好是BC的中点，若AB=6，求BC的长．（1）证明：∵△ADF为等边三角形，8、已知，矩形ABCD中，延长BC至E，使BE=BD，F为DE的中点，连结AF、CF.求证：(1)∠ADF=∠BCF；(2) AF⊥CF.9、如图，在直角梯形ABCD中，AD⊥DC，AB∥DC，AB=BC，AD与BC延长线交于点F，G是DC延长线上一点，AG⊥BC于E．（1）求证：CF=CG；（2）连接DE，若BE=4CE，CD=2，求DE的长．10、如图，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、AB上两点，且BE=BF，过点B作AE的垂线交AC于点G，过点G作CF的垂线交BC于点H延长线段AE、GH交于点M．（1）求证：∠BFC=∠BEA；（2）求证：AM=BG+GM．11、直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠C=90°，AB=BC，M为BC边上一点．（1）若∠DMC=45°，求证：AD=AM．（2）若∠DAM=45°，AB=7，CD=4，求BM的值．12、如图，AC是正方形ABCD的对角线，点O是AC的中点，点Q是AB上一点，连接CQ，DP ⊥CQ于点E，交BC于点P，连接OP，OQ；求证：（1）△BCQ≌△CDP；（2）OP=OQ．中考数学几何专题训练（24）答案1、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E为AB延长线上一点，连接ED，与BC交于点H．过E作CD的垂线，垂足为CD上的一点F，并与BC交于点G．已知G为CH的中点，且∠BEH=∠HEG．（1）若HE=HG，求证：△EBH≌△GFC；（2）若CD=4，BH=1，求AD的长．（1）证明：∵HE=HG，∴∠HEG=∠HGE，∵∠HGE=∠FGC，∠BEH=∠HEG，∴∠BEH=∠FGC，∵G是HC的中点，∴HG=GC，∴HE=GC，∵∠HBE=∠CFG=90°．∴△EBH≌△GFC；（2）解：过点H作HI⊥EG于I，∵G为CH的中点，∴HG=GC，∵EF⊥DC，HI⊥EF，∴∠HIG=∠GFC=90°，∠FGC=∠HGI，∴△GIH≌△GFC，∵△EBH≌△EIH（AAS），∴FC=HI=BH=1，∴AD=4-1=3．2、已知，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°．分别以AB、AC为边，向形外作等边△ABD和等边△ACE．（1）如图1，连接线段BE、CD．求证：BE=CD；（2）如图2，连接DE交AB于点F．求证：F为DE中点．证明：（1）∵△ABD和△ACE是等边三角形，∴AB=AD，AC=AE，∠DAB=∠EAC=60°，∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，即∠DAC=∠BAE，在△DAC和△BAE中， AC=AE ∠DAC=∠BAE AD=AB ，∴△DAC≌△BAE（SAS），∴DC=BE；（2）如图，作DG∥AE，交AB于点G，由∠EAC=60°，∠CAB=30°得：∠FAE=∠EAC+∠CAB=90°，∴∠DGF=∠FAE=90°，又∵∠ACB=90°，∠CAB=30°，∴∠ABC=60°，又∵△ABD为等边三角形，∠DBG=60°，DB=AB，∴∠DBG=∠ABC=60°，在△DGB和△ACB中，∠DGB=∠ACB ∠DBG=∠ABC DB=AB ，∴△DGB≌△ACB（AAS），∴DG=AC，又∵△AEC为等边三角形，∴AE=AC，∴DG=AE，在△DGF和△EAF 中，∠DGF=∠EAF ∠DFG=∠EFA DG=EA ，∴△DGF≌△EAF（AAS），∴DF=EF，即F为DE中点．3、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，E为CD的中点，EF∥AB交BC于点F（1）求证：BF=AD+CF；（2）当AD=1，BC=7，且BE平分∠ABC时，求EF的长．（1）证明：如图（1），延长AD交FE的延长线于N∵∠NDE=∠FCE=90°∠DEN=∠FECDE=EC∴△NDE≌△FCE∴DN=CF∵AB∥FN，AN∥BF∴四边形ABFN是平行四边形∴BF=AD+DN=AD+FC（2）解：∵AB∥EF，∴∠ABN=∠EFC，即∠1+∠2=∠3，又∵∠2+∠BEF=∠3，∴∠1=∠BEF，∴BF=EF，∵∠1=∠2，∴∠BEF=∠2，∴EF=BF，又∵BC+AD=7+1∴BF+CF+AD=8而由（1）知CF+AD=BF∴BF+BF=8∴2BF=8，∴BF=4，∴BF=EF=44、在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=CD,∠ABC=60°,延长AD到E,使DE=AD,延长DC到F，使DC=CF,连接BE、BF和EF.⑴求证：△ABE≌△CFB;⑵如果AD=6,tan∠EBC的值.解：（1）证明：连结CE，在△BAE与△FCB中，∵ BA=FC，∠A=∠BCF，， AE=BC，∴△BAE≌△FCB；（2）延长BC交EF于点G，作AH⊥BG于H，作AM⊥BG，∵△BAE≌△FCB，∴∠AEB=∠FBG，BE=BF，∴△BEF为等腰三角形，又∵AE∥BC，AB DECF∴∠AEB=∠EBG ，∴∠EBG=∠FBG ，∴BG ⊥EF ，∵∠AMG=∠EGM=∠AEG=90°，∴四边形AMGE 为矩形，∴AM=EG ，在Rt △ABM 中，AM=AB •sin60°=6× 23 =33 ， ∴EG=AM=33，BG=BM+MG=6×2+6×cos60°=15，∴tan ∠EBC=531533==BG EG 5、已知：AC 是矩形ABCD 的对角线，延长CB 至E ，使CE=CA ，F 是AE 的中点，连接DF 、CF 分别交AB 于G 、H 点（1）求证：FG=FH ；（2）若∠E=60°，且AE=8时，求梯形AECD 的面积． （1）证明：连接BF∵ABCD 为矩形∴AB ⊥BC AB ⊥AD AD=BC∴△ABE 为直角三角形∵F 是AE 的中点∴AF=BF=BE∴∠FAB=∠FBA∴∠DAF=∠CBF∵ AD=BC, ∠DAF=∠CBF ,AF=BF , ∴△DAF ≌△CBF∴∠ADF=∠BCF∴∠FDC=∠FCD∴∠FGH=∠FHG∴FG=FH ；（2）解：∵AC=CE ∠E=60°∴△ACE 为等边三角形∴CE=AE=8∵AB ⊥BC∴BC=BE=CE 21=4 ∴根据勾股定理AB=34∴梯形AECD 的面积=21×(AD+CE)×CD=21×(4+8)×34=3246、如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BCD=90°，且CD=2AD ，tan ∠ABC=2，过点D 作DE ∥AB ，交∠BCD 的平分线于点E ，连接BE ．（1）求证：BC=CD ；（2）将△BCE 绕点C ，顺时针旋转90°得到△DCG ，连接EG ．求证：CD 垂直平分EG ；（3）延长BE 交CD 于点P ．求证：P 是CD 的中点．证明：（1）延长DE 交BC 于F ，∵AD ∥BC ，AB ∥DF ，∴AD=BF ，∠ABC=∠DFC ．在Rt △DCF 中，∵tan ∠DFC=tan ∠ABC=2， ∴CFCD =2， 即CD=2CF ，∵CD=2AD=2BF ，∴BF=CF ，∴BC=BF+CF=21CD+21 CD=CD ． 即BC=CD ．（2）∵CE 平分∠BCD ，∴∠BCE=∠DCE ，由（1）知BC=CD ，∵CE=CE ，∴△BCE ≌△DCE ，∴BE=DE ，由图形旋转的性质知CE=CG ，BE=DG ，∴DE=DG ，∴C ，D 都在EG 的垂直平分线上，∴CD 垂直平分EG ．（3）连接BD ，由（2）知BE=DE ，∴∠1=∠2．∵AB ∥DE ，∴∠3=∠2．∴∠1=∠3．∵AD ∥BC ，∴∠4=∠DBC ．由（1）知BC=CD ，∴∠DBC=∠BDC ，∴∠4=∠BDP ．又∵BD=BD ，∴△BAD ≌△BPD(ASA)∴DP=AD ．∵AD=21CD ，∴DP=21CD ． ∴P 是CD 的中点．7、如图，直角梯形ABCD 中，∠DAB=90°，AB ∥CD ，AB=AD ，∠ABC=60度．以AD 为边在直角梯形ABCD 外作等边三角形ADF ，点E 是直角梯形ABCD 内一点，且∠EAD=∠EDA=15°，连接EB 、EF ．（1）求证：EB=EF ；（2）延长FE 交BC 于点G ，点G 恰好是BC 的中点，若AB=6，求BC 的长．（1）证明：∵△ADF 为等边三角形，∴AF=AD ，∠FAD=60°∵∠DAB=90°，∠EAD=15°，AD=AB∴∠FAE=∠BAE=75°，AB=AF ，∵AE 为公共边∴△FAE ≌△BAE∴EF=EB（2）过C 作CQ ⊥AB 于Q ，∵CQ=AB=AD=6，∵∠ABC=60°，∴BC=6÷ 23 =34．8、已知，矩形ABCD 中，延长BC 至E ，使BE=BD ，F 为DE 的中点，连结AF 、CF.求证：(1)∠ADF=∠BCF ；(2) AF ⊥CF.证明：（1）在矩形ABCD 中，∵∠ADC=∠BCD=90°，∴∠DCE=90°，在Rt △DCE 中，∵F 为DE 中点，∴DF=CF ，∴∠FDC=∠DCF ，∴∠ADC+∠CDF=∠BCD+∠DCF ，即∠ADF=∠BCF ；（2）连接BF ，∵BE=BD ，F 为DE 的中点，∴BF ⊥DE ，∴∠BFD=90°，即∠BFA+∠AFD=90°，在△AFD 和△BFC 中 AD=BC ∠ADF=∠BCF CF=DF ，∴△ADF ≌△BCF ，∴∠AFD=∠BFC ，∵∠AFD+∠BFA=90°，∴∠BFC+∠BFA=90°，即∠AFC=90°，∴AF ⊥FC ．9、如图，在直角梯形ABCD 中，AD ⊥DC ，AB ∥DC ，AB=BC ，AD 与BC 延长线交于点F ，G 是DC 延长线上一点，AG ⊥BC 于E ．（1）求证：CF=CG ；（2）连接DE ，若BE=4CE ，CD=2，求DE 的长．解答：（1）证明：连接AC ，∵DC ∥AB ，AB=BC ，∴∠1=∠CAB ，∠CAB=∠2，∴∠1=∠2；∵∠ADC=∠AEC=90°，AC=AC ，∴△ADC ≌△AEC ，∴CD=CE ；∵∠FDC=∠GEC=90°，∠3=∠4，∴△FDC ≌△GEC ，∴CF=CG ．（2）解：由（1）知，CE=CD=2，∴BE=4CE=8，∴AB=BC=CE+BE=10，∴在Rt △ABE 中，AE= AB 2-BE 2 =6，∴在Rt △ACE 中，AC= AE 2+CE 2 =102由（1）知，△ADC ≌△AEC ，∴CD=CE ，AD=AE ，∴C 、A 分别是DE 垂直平分线上的点，∴DE ⊥AC ，DE=2EH ；（8分）在Rt △AEC 中，S △AEC =21 AE •CE=21 AC •EH ， ∴EH=AC CE AE ⋅ =10226⨯ =5103 ∴DE=2EH=2×5103=510610、如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别为BC 、AB 上两点，且BE=BF ，过点B 作AE 的垂线交AC 于点G ，过点G 作CF 的垂线交BC 于点H 延长线段AE 、GH 交于点M ．（1）求证：∠BFC=∠BEA ；（2）求证：AM=BG+GM．证明：（1）在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABC=90°，在△ABE和△CBF中，AB=BC ∠ABC=∠ABC BE=BF ，∴△ABE≌△CBF（SAS），∴∠BFC=∠BEA；（2）连接DG，在△ABG和△ADG中，AB=AD ∠DAC=∠BAC=45°AG=AG ，∴△ABG≌△ADG（SAS），∴BG=DG，∠2=∠3，∵BG⊥AE，∴∠BAE+∠2=90°，∵∠BAD=∠BAE+∠4=90°，∴∠2=∠3=∠4，∵GM⊥CF，∴∠BCF+∠1=90°，又∠BCF+∠BFC=90°，∴∠1=∠BFC=∠2，∴∠1=∠3，在△ADG中，∠DGC=∠3+45°，∴∠DGC也是△CGH的外角，∴D、G、M三点共线，∵∠3=∠4（已证），∴AM=DM，∵DM=DG+GM=BG+GM，∴AM=BG+GM．11、直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠C=90°，AB=BC，M为BC边上一点．（1）若∠DMC=45°，求证：AD=AM．（2）若∠DAM=45°，AB=7，CD=4，求BM的值．（1）证明：作AF⊥CD交延长线于点F．∵∠DMC=45°，∠C=90°∴CM=CD，又∵∠B=∠C=∠AFD=90°，AB=BC，∴四边形ABCF为正方形，∴BC=CF，∴BM=DF，在Rt△ABM和Rt△AFD中，AB=AF，∠B=∠AFD=90°，BM=DF，∴△ABM≌△AFD，∴AD=AM．（2）解：把Rt△ABM绕点A顺时针旋转90°，使AB与AE重合，得Rt△AFN．∵∠DAM=45°，∴∠BAM+∠DAF=45°，由旋转知∠BAM=∠NAF ，∴∠DAF+∠NAF=45°，即∠DAM=∠DAN ，由旋转知AM=AN ，∴△ADM ≌△ADN ，∴DM=DN ，设BM=x ，∵AB=BC=CF=7，∴CM=7-x又∵CD=4，∴DF=3，BM=FN=x ，∴MD=DN=3+x ，在Rt △CDM 中，（7-x ）2+42=（3+x ）2，解得：x=514 ∴BM 的值为514． 答：BM 的值为514．12、如图，AC 是正方形ABCD 的对角线，点O 是AC 的中点，点Q 是AB 上一点，连接CQ ，DP ⊥CQ 于点E ，交BC 于点P ，连接OP ，OQ ；求证：（1）△BCQ ≌△CDP ；（2）OP=OQ ．证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠B=∠PCD=90°，BC=CD ，∴∠2+∠3=90°，又∵DP ⊥CQ ，∴∠2+∠1=90°，∴∠1=∠3，在△BCQ 和△CDP 中，∠B=∠PCD BC=CD ∠1=∠3 ．∴△BCQ ≌△CDP ．（2）连接OB ．由（1）：△BCQ ≌△CDP 可知：BQ=PC ，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ABC=90°，AB=BC ，而点O 是AC 中点，∴BO=21AC=CO ，∠4=21∠ABC=45°=∠PCO ， 在△BCQ 和△CDP 中， BQ=CP ∠4=∠PCO BO=CO∴△BOQ≌△COP，∴OQ=OP．。

2022年中考解直角三角形的应用专题-含答案

2022年中考解直角三角形的应用专题-含答案

2022年中考解直角三角形的应用专题1．如图，某建筑物AC顶部有一旗杆AB，且点A，B，C在同一条直线上，小明在地面D处观测旗杆顶端B的仰角为30°，然后他正对建筑物的方向前进了20米到达地面的E处，又测得旗杆顶端B的仰角为60°，已知建筑物的高度AC＝12m，（1）求点E到建筑物AC的距离；．（2）求旗杆AB的高度．（结果精确到0.1米）．参考数据：≈1.73，≈1.41．2．某学校九年级的小红同学，在自己家附近进行测量一座楼房高度的实践活动，如图，她在山坡脚A处测得这座楼房顶B点的仰角为60°，沿山坡向上走到C处再测得B点的仰角为45°，已知OA＝200m，山坡的坡度i＝，且O、A、D在同一条直线上．求：（1）楼房OB的高度；（2）小红在山坡上走过的距离AC（结果保留根号）3．小明想利用小区附近的楼房来测同一水平线上一棵树的高度．如图，他在同一水平线上选择了一点A，使A与树顶E、楼房顶点D也恰好在一条直线上．小明测得A处的仰角为∠A＝30°．已知楼房CD高21米，且与树BE之间的距离BC＝30米，求此树的高度约为多少米．（结果保留两个有效数字，≈1.732）．4．如图，建筑物BC上有一个旗杆AB，小明和数学兴趣小组的同学计划用学过的知识测量该建筑物的高度，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量方法如下：在该建筑物底部所在的平地上有一棵小树ED，小明沿CD后退，发现地面上的点F、树顶E、旗杆顶端A恰好在一条直线上，继续后退，发现地面上的点G、树顶E、建筑物顶端B恰好在一条直线上，已知旗杆AB＝3米，DE＝4米，DF＝5米，FG＝1.5米，点A、B、C在一条直线上，点C、D、F、G在一条直线上，AC、ED均垂直于CG，根据以上信息，请求出这座建筑物的高BC．5．环球国际金融中心（图中AB所示）是目前上海市的标志性建筑、小明家住在金融中心附近的“祥和”大厦（图中CD所示），小明想利用所学的有关知识测量出环球国际金融中心的高度、他先在自己家的阳台（图中的点Q处）测得金融中心的顶端（点A）的仰角为37°，然后来到楼下，由于附近建筑物影响测量，小明向金融中心方向走了84米，来到另一座高楼的底端（图中的点P处），测得点A的仰角为45°．又点C、P、B在一条直线上，小明家的阳台距地面60米，请你在答题纸上画出示意图，并根据上述信息求出环球国际金融中心（AB）的高度．（备用数据：sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，tan37°＝0.75）6．著名的法门寺合十舍利塔由台湾建筑设计大师李祖原设计，呈双手合十状，其恢宏的气势不仅传承佛教建筑的特色，更以现代化的技术融合古今中外建筑之精华周末，小明想用所学的知识来测量该塔的高度．测量方法如下：如图，他先在B处用测倾器AB测得塔顶E的仰角为37°；再从点B沿BF方向走了97米到达D处（即BD＝97米），在D处竖立标杆CD，发现水平地面上的点M、标杆的顶端C与塔顶E恰好在一条直线上，已知AB＝CD＝1.5米，测得DM＝1米，点B、M、D、F在同一条直线上，AB⊥BF，CD⊥BF，EF⊥BF，根据测量示意图求该塔的高度EF．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）7．如图是小明同学画出的某同学放风筝的示意图，从地面A处放飞的风筝几分钟后飞至C处，此时，点B与旗杆PQ的顶部点P以及点C恰好在一直线上，PQ⊥AB于点Q．（1）已知旗杆的高为10米，在B处测得旗杆顶部点P的仰角为30°，在A处测得点P的仰角为45°，求A、B之间的距离；（2）此时，在A处测得风筝C的仰角为75°，设绳子AC在空中为一条线段，求AC的长．（结果保留根号）8．为积极参与鄂州市全国文明城市创建活动，我市某校在教学楼顶部新建了一块大型宣传牌，如下图．小明同学为测量宣传牌的高度AB，他站在距离教学楼底部E处6米远的地面C处，测得宣传牌的底部B 的仰角为60°，同时测得教学楼窗户D处的仰角为30°（A、B、D、E在同一直线上）．然后，小明沿坡度i＝1：1.5的斜坡从C走到F处，此时DF正好与地面CE平行．（1）求点F到直线CE的距离（结果保留根号）；（2）若小明在F处又测得宣传牌顶部A的仰角为45°，求宣传牌的高度AB（结果精确到0.1米，≈1.41，≈1.73）．9．如图，为了测量楼AB的高度，小明在点C处测得楼AB的顶端A的仰角为30°，又向前走了20米后到达点D，点B、D、C在同一条直线上，并在点D测得楼AB的顶端A的仰角为60°，求楼AB的高．10．如图，为测量一座地标性高楼的高度，小明在A点处测得楼顶D点的仰角为60°，在B点处测得楼顶D点的仰角为30°，A、B、C三点在一条直线上，已知AB＝40m，小明的眼睛离地面为1.6m，求楼的高度．11．小军家附近有一棵侧柏，小军和小明计划利用所学过的知识测量侧柏的高度．阳光明媚的周末，小军和小明带着测量工具来到侧柏前．测量方法如下：如图，首先，小军沿侧柏的影子BD移动，当恰好移动到C处时发现小军的影子顶端与侧柏的影子顶端D重合，测得小军身高CE＝1.6米，影长CD＝2.4米．然后，小军在C处半蹲，小明在BC上竖立高2米的标杆，并沿BC移动，当标杆移动到点H时，小军的眼睛F、标杆顶端G与侧柏顶端A恰好在一条直线上，此时测得小军眼睛到地面的距离CF＝1米，HC＝1.4米．已知点B、H、C、D在一条直线上，点E、F、C在一条直线上，AB、GH、EC均垂直于BD，请你根据题中提供的相关信息，求出这棵侧柏的高AB．12．如图，某中学数学课题学习小组在“测量物体高度”的活动中，欲测量一棵古树DE的高度，他们在这棵古树的正前方一平房顶A点处测得古树顶端D的仰角为30°，在这棵古树的正前方C处，测得古树顶端D的仰角为60°，在A点处测得C点的俯角为30°．已知BC为4米，且B、C、E三点在同一条直线上．（1）求平房AB的高度；（2）请求出古树DE的高度（根据以上条件求解时测角器的高度忽略不计）13．揽月阁是西安唐文化轴的南部重要节点和标志性建筑，与唐大雁塔今古一线、遥相呼应，联袂彰显西安具有历史文化特色的现代化国际大都市风貌．一天下午，小明和小丽来到了揽月阁广场，他们想用所学的知识，测量揽月阁的高度．如图，点A为揽月阁的顶部，点B为揽月阁的底部，小明在点C处放一水平的平面镜，然后沿着BC方向向前走0.5米，到达点D处，这时小明蹲下，恰好在镜子里看到揽月阁的顶端A的像．接下来小明不动，小丽在C处竖起一根可调节高度的测量杆，并调节测量杆的高度，使得测量杆的顶端P、揽月阁的顶端A、小明的眼睛E在一条直线上，此时测得测量杆的高度CF ＝1.98米．已知小明蹲下时，眼睛到地面的距离DE＝1米，点B、C、D在一条直线上，AB⊥BD，CF ⊥BD，DE⊥BD，求揽月阁的高度AB．（平面镜的大小忽略不计）14．如图，某中学操场边有一旗杆A，小明在操场的C处放风筝，风筝飞在图中的D处，在CA的延长线上离小明30米远的E处的小刚发现自己的位置与风筝D和旗杆的顶端B在同一条直线上，小刚在E 处测得旗杆顶点B的仰角为α，且tanα＝，小明在C处测得旗杆顶点B的仰角为45°．（1）求旗杆的高度．（2）此时，在C处背向旗杆，测得风筝D的仰角（即∠DCF）为48°，求风筝D离地面的距离．（结果精确到0.1米，其中sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11）15．小明想要测量学校食堂和食堂正前方一棵树的高度，他从食堂楼底M处出发，向前走3米到达A处，测得树顶端E的仰角为30°，他又继续走下台阶到达C处，测得树的顶端E的仰角是60°，再继续向前走到大树底D处，测得食堂楼顶N的仰角为45°．已知A点离地面的高度AB＝2米，AC的坡度i ＝1：，且B、C、D三点在同一直线上．（1）求树DE的高度；（2）求食堂MN的高度．16．如图，水库大坝的横断面为四边形ABCD，其中AD∥BC，坝顶BC＝10米，坝高20米，斜坡AB的坡度i＝1：2.5，斜坡CD的坡角为30°．（1）求坝底AD的长度（结果精确到1米）；（2）若坝长100米，求建筑这个大坝需要的土石料（参考数据：）17．如图，山区某教学楼后面紧邻着一个土坡，坡面BC平行于地面AD，斜坡AB的坡比为i＝1：，且AB＝26米．（1）求坡顶与地面的距离BE的长．（2）为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过53°时，可确保山体不滑坡．学校计划将斜坡AB改造成AF（如图所示），那么BF至少是多少米？（结果精确到1米）（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.33）．18．每逢雨季，天降大雨，山体滑坡灾害时有发生，北峰小学教学楼后面紧邻着一个土坡，坡上面是一块平地，如图所示：AF∥BC，斜坡AB长30米，坡角∠ABC＝60°．为了防止滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造，经过地质人员勘测，当坡角不超过45°时，可以确保山体不滑坡．（1）求坡顶与地面的距离AD等于多少米？（精确到0.1米）（2）为确保安全，学校计划改造时保持坡脚B不动，坡顶A沿AF削进到E点处，求AE至少是多少米？（精确到0.1米）19．如图：某水坝的横断面为梯形ABCD，坝顶宽BC为6米，坝高BH为20米，斜坡AB的坡度，斜坡CD的坡角为45°．求（1）斜坡AB的坡角；（2）坝底宽AD（精确到1米）．（参考数据：，）20．某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地，如图所示，BC∥AD，BE⊥AD，斜坡AB长为26米，斜坡AB的坡比为i＝12：5，为了减缓坡面防山体滑坡，保障安全，学校决定对该斜坡进行改造，经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡．（1）求改造前坡顶到地面的距离BE的长；（2）如果改造时保持坡脚A不动，坡顶B沿BC向左移11米到F点处，问这样改造能确保安全吗？（tan48.8°≈1.14）21．某校九年级数学兴趣小组的同学进行社会实践活动时，象利用所学的解直角三角形的知识测量某大楼高度，如图所示，大楼AB的正前方有一斜坡CD，坡长CD＝4米，坡角∠DCE＝30°，他们先在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为45°（1）求斜坡CD的高度DE；（2）求楼AB的高度（结果保留根号）．22．如图，一水库大坝的横断面为梯形ABCD，坝顶宽6米，坝高10米，斜坡AB的坡度i1＝1：3，斜坡CD的坡度i2＝1：1．（1）求斜坡AB的长（结果保留根号）；（2）求坝底AD的长度；（3）求斜坡CD的坡角α．23．如图，学校教学楼前方50米A处有一个坡度i＝1：的斜坡，为了测学校教学楼MN的高度，小明沿着斜坡向上前进了6米到达点B，在点B处用测角仪测得楼的顶部N的仰角为37°，已知测角仪BC 的高度为1.2米，求教学楼MN的高度．（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°．计算结果保留根号）24．如图，为了测量某建筑物BC的高度，小明先在地面上用测角仪A处测得建筑物顶部的仰角是30°，然后在水平地面上向建筑物前进了20m到达D处，此时遇到一斜坡，坡度i＝1：，沿着斜坡前进40m到达F处测得建筑物顶部的仰角是45°，（坡度i＝1：是指坡面的铅直高度FE与水平宽度DE 的比）．（1）求斜坡DF的端点F到水平地面AB的距离和斜坡的水平宽度DE分别为多少米？（2）求建筑物BC的高度为多少米？（3）现小亮在建筑物一楼（水平地面上点B处）乘电梯至楼顶（点C），电梯速度为2（+3）m/s，同时小明从测角仪处（点A）出发，骑摩托车至斜坡的端点F处，已知，小明在平地上的车速是上坡车速的两倍，小亮所用时间是小明所用时间的一半，求小明上坡时的车速为多少？然后在水平地面上向建筑物前进了50m到达D处，此时遇到一斜坡，坡度i＝1：，沿着斜坡前进20米到达E处测得建筑物顶部的仰角是45°，（坡度i＝1：是指坡面的铅直高度FE与水平宽度DE 的比）．请你计算出该建筑物BC的高度．（取＝1.732，结果精确到0.1m）．26．如图，AB是垂直于水平面的建筑物，为测量AB的高度，小红从建筑物底端B出发，沿水平方向行走了52米到达点C，然后沿斜坡CD前进，到达坡顶D点处，DC＝BC．在点D处放置测角仪，测角仪支架DE高度为0.8米，在E点处测得建筑物顶端A点的仰角∠AEF为27°（点A，B，C，D在同一平面内），斜坡CD的坡度（或坡比）i＝1：2.4，求建筑物AB的高度．（精确到个位）（参考数据：sin＝27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）然后在水平地面上向建筑物前进了50m到达D处，此时遇到一斜坡，坡度i＝1：，沿着斜坡前进20米到达E处测得建筑物顶部的仰角是45°，请你计算出该建筑物BC的高度．（取＝1.732，结果精确到0.1m）28．如图，AB，CD表示两栋建筑，小明想利用建筑CD玻璃幕墙的反射作用来测建筑AB的高度，首先他在建筑AB的底部A处用测角仪测得其顶部B在建筑CD玻璃幕墙上的反射点E的仰角为α，然后他沿AC前进了10米到达点F处，再用测角仪测得建筑AB的顶部B在建筑CD玻璃幕墙上的反射点G 的仰角为β，已知tanα＝，sinβ＝，测角仪置于水平高度1.5米的M、N处．试求建筑AB的高度．2022年中考解直角三角形的应用专题参考答案与试题解析一．解答题（共28小题）1．如图，某建筑物AC顶部有一旗杆AB，且点A，B，C在同一条直线上，小明在地面D处观测旗杆顶端B的仰角为30°，然后他正对建筑物的方向前进了20米到达地面的E处，又测得旗杆顶端B的仰角为60°，已知建筑物的高度AC＝12m，（1）求点E到建筑物AC的距离；．（2）求旗杆AB的高度．（结果精确到0.1米）．参考数据：≈1.73，≈1.41．【解答】解：（1）∵∠BEC＝60°，∠BDE＝30°，∴∠DBE＝60°﹣30°＝30°，∴BE＝DE＝20，∴CE＝BE＝10m；∴点E到建筑物AC的距离是10m；（2）在Rt△BEC中，BC＝BE•sin60°＝20×＝10≈17.3（米），∴AB＝BC﹣AC＝17.3﹣12＝5.3（米），答：旗杆AB的高度为5.3米．2．某学校九年级的小红同学，在自己家附近进行测量一座楼房高度的实践活动，如图，她在山坡脚A处测得这座楼房顶B点的仰角为60°，沿山坡向上走到C处再测得B点的仰角为45°，已知OA＝200m，山坡的坡度i＝，且O、A、D在同一条直线上．求：（1）楼房OB的高度；（2）小红在山坡上走过的距离AC（结果保留根号）【解答】解：（1）在Rt△ABO中，∠BAO＝60°，OA＝200m．∵tan60°＝，即＝，∴OB＝OA＝200（m）．（2）如图，过点C作CE⊥BO于E，CH⊥OD于H．则OE＝CH，EC＝OH．根据题意，知i＝＝，可设CH＝x，AH＝x．在Rt△BEC中，∠BCE＝45°，∴BE＝CE，即OB﹣OE＝OA+AH．∴200﹣x＝200+x．解得x＝200（2﹣）．在Rt△ACH中，∵AC2＝AH2+CH2，∴AC2＝（x）2+x2＝4x2．∴AC＝2x＝2×200（2﹣）＝400（2﹣）（m）．答：高楼OB的高度为200m，小玲在山坡上走过的距离AC为400（2﹣）m．3．小明想利用小区附近的楼房来测同一水平线上一棵树的高度．如图，他在同一水平线上选择了一点A，使A与树顶E、楼房顶点D也恰好在一条直线上．小明测得A处的仰角为∠A＝30°．已知楼房CD高21米，且与树BE之间的距离BC＝30米，求此树的高度约为多少米．（结果保留两个有效数字，≈1.732）．【解答】解：根据题意可得：AC＝＝21，则AB＝AC﹣BC＝21﹣30．故树高BE＝AB×tan30°＝（21﹣30）×tan30°≈3.7（米）．4．如图，建筑物BC上有一个旗杆AB，小明和数学兴趣小组的同学计划用学过的知识测量该建筑物的高度，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量方法如下：在该建筑物底部所在的平地上有一棵小树ED，小明沿CD后退，发现地面上的点F、树顶E、旗杆顶端A恰好在一条直线上，继续后退，发现地面上的点G、树顶E、建筑物顶端B恰好在一条直线上，已知旗杆AB＝3米，DE＝4米，DF＝5米，FG＝1.5米，点A、B、C在一条直线上，点C、D、F、G在一条直线上，AC、ED均垂直于CG，根据以上信息，请求出这座建筑物的高BC．【解答】解：由题意可得，∠ACF＝∠EDF＝90°，∠AFC＝∠EFD，∴△ACF∽△EDF，∴，即，∴CD＝，由题意可得，∠BCG＝∠EDG＝90°，∠BGC＝∠EGD，∴△BCG∽△EDG，∴，即，∴6.5BC＝4（CD+6.5），∴6.5BC＝4×，∴BC＝14，∴这座建筑物的高BC为14米．5．环球国际金融中心（图中AB所示）是目前上海市的标志性建筑、小明家住在金融中心附近的“祥和”大厦（图中CD所示），小明想利用所学的有关知识测量出环球国际金融中心的高度、他先在自己家的阳台（图中的点Q处）测得金融中心的顶端（点A）的仰角为37°，然后来到楼下，由于附近建筑物影响测量，小明向金融中心方向走了84米，来到另一座高楼的底端（图中的点P处），测得点A的仰角为45°．又点C、P、B在一条直线上，小明家的阳台距地面60米，请你在答题纸上画出示意图，并根据上述信息求出环球国际金融中心（AB）的高度．（备用数据：sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，tan37°＝0.75）【解答】解：过点Q作QE⊥AB，交AB于点E．根据题意，得：∠AQE＝37°，∠APB＝45°，CQ＝60，CP＝84，设AB＝x（米）．则AE＝（x﹣60），QE＝CB＝x+84．在Rt△APB中，得：PB＝AB＝x，在Rt△AQE中，AE＝QE•tan37°，即．解得：x＝492．答：环球国际金融中心（AB）的高度约为492米．6．著名的法门寺合十舍利塔由台湾建筑设计大师李祖原设计，呈双手合十状，其恢宏的气势不仅传承佛教建筑的特色，更以现代化的技术融合古今中外建筑之精华周末，小明想用所学的知识来测量该塔的高度．测量方法如下：如图，他先在B处用测倾器AB测得塔顶E的仰角为37°；再从点B沿BF方向走了97米到达D处（即BD＝97米），在D处竖立标杆CD，发现水平地面上的点M、标杆的顶端C与塔顶E恰好在一条直线上，已知AB＝CD＝1.5米，测得DM＝1米，点B、M、D、F在同一条直线上，AB⊥BF，CD⊥BF，EF⊥BF，根据测量示意图求该塔的高度EF．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）【解答】解：如图，过点C作CH⊥AB于点H，则CH＝DF，FH＝AB＝CD＝1.5米，AC＝BD＝97米，DM＝1米，∠EAH＝37°，∵CD⊥BD，EF⊥MF，∴CD∥EF，∴△CDM∽△EFM．∴＝，∴＝，∴EH＝1.5CH，在Rt△EAH中，∠EAH＝37°，∴tan37°＝，∴≈0.75，∴4EH＝291+3CH，∴4EH＝291+2EH，∴EH＝145.5（米），∴EF＝EH+HF＝145.5+1.5＝147（米），答：该塔的高度EF为147米．7．如图是小明同学画出的某同学放风筝的示意图，从地面A处放飞的风筝几分钟后飞至C处，此时，点B与旗杆PQ的顶部点P以及点C恰好在一直线上，PQ⊥AB于点Q．（1）已知旗杆的高为10米，在B处测得旗杆顶部点P的仰角为30°，在A处测得点P的仰角为45°，求A、B之间的距离；（2）此时，在A处测得风筝C的仰角为75°，设绳子AC在空中为一条线段，求AC的长．（结果保留根号）【解答】解：（1）∵PQ⊥AB，∴∠BQP＝∠AQP＝90°，在RT△BPQ中，∵PQ＝10，∠BQP＝90°，∠B＝30°，∵tan B＝，∴＝，∴BQ＝10，在RT△APQ中，∠AQP＝90°，∠P AB＝45°，∴APQ＝90°﹣∠P AB＝45°，AQ＝PQ＝10，∴AB＝BQ+AQ＝10+10．答：A、B之间的距离为（10+10）米．（2）如图作AE⊥BC于E．在RT△ABE中，∵∠AEB＝90°，∠B＝30°，AB＝10+10，∴AE＝AB＝5+5，∵∠CAD＝75°，∠B＝30°，∴∠C＝45°，在RT△CAE中，sin C＝，∴＝，∴AC＝（5+5）＝5+5，答：AC的长为（5+5）米．8．为积极参与鄂州市全国文明城市创建活动，我市某校在教学楼顶部新建了一块大型宣传牌，如下图．小明同学为测量宣传牌的高度AB，他站在距离教学楼底部E处6米远的地面C处，测得宣传牌的底部B 的仰角为60°，同时测得教学楼窗户D处的仰角为30°（A、B、D、E在同一直线上）．然后，小明沿坡度i＝1：1.5的斜坡从C走到F处，此时DF正好与地面CE平行．（1）求点F到直线CE的距离（结果保留根号）；（2）若小明在F处又测得宣传牌顶部A的仰角为45°，求宣传牌的高度AB（结果精确到0.1米，≈1.41，≈1.73）．【解答】解：（1）过点F作FG⊥EC于G，依题意知FG∥DE，DF∥GE，∠FGE＝90°，∴四边形DEGF是矩形，∴FG＝DE，在Rt△CDE中，DE＝CE•tan∠DCE＝6×tan30o＝2（米），∴点F到地面的距离为2米；（2）∵斜坡CF的坡度为i＝1：1.5．∴Rt△CFG中，CG＝1.5FG＝2×1.5＝3（米），∴FD＝EG＝（3+6）（米）．在Rt△BCE中，BE＝CE•tan∠BCE＝6×tan60o＝6（米），∴AB＝AD+DE﹣BE＝3+6+2﹣6＝6﹣≈4.3 （米）．答：宣传牌的高度约为4.3米．9．如图，为了测量楼AB的高度，小明在点C处测得楼AB的顶端A的仰角为30°，又向前走了20米后到达点D，点B、D、C在同一条直线上，并在点D测得楼AB的顶端A的仰角为60°，求楼AB的高．【解答】解：在Rt△ABC中，设AB＝x，则AC＝2x，BC＝＝x，则BD＝（x﹣20）米，在Rt△ABD中，＝tan60°，＝，∴x＝10．答：楼AB的高为10米．10．如图，为测量一座地标性高楼的高度，小明在A点处测得楼顶D点的仰角为60°，在B点处测得楼顶D点的仰角为30°，A、B、C三点在一条直线上，已知AB＝40m，小明的眼睛离地面为1.6m，求楼的高度．【解答】解：在Rt△DEF中，∵∠DFE＝60°，∴EF＝DE，在Rt△DEG中，∵∠DGE＝30°，∴EG＝DE，∴GF＝EG﹣EF＝DE﹣DE＝（﹣）DE，又∵GF＝AB＝40m，∴（﹣）DE＝40，解得：DE＝60，∴DC＝DE+EC＝60+1.6＝61.6（米），即楼的高度为61.6米．11．小军家附近有一棵侧柏，小军和小明计划利用所学过的知识测量侧柏的高度．阳光明媚的周末，小军和小明带着测量工具来到侧柏前．测量方法如下：如图，首先，小军沿侧柏的影子BD移动，当恰好移动到C处时发现小军的影子顶端与侧柏的影子顶端D重合，测得小军身高CE＝1.6米，影长CD＝2.4米．然后，小军在C处半蹲，小明在BC上竖立高2米的标杆，并沿BC移动，当标杆移动到点H时，小军的眼睛F、标杆顶端G与侧柏顶端A恰好在一条直线上，此时测得小军眼睛到地面的距离CF＝1米，HC＝1.4米．已知点B、H、C、D在一条直线上，点E、F、C在一条直线上，AB、GH、EC均垂直于BD，请你根据题中提供的相关信息，求出这棵侧柏的高AB．【解答】解：过F点作FM⊥AB于M，交HG于点N，则MF＝BC，NF＝HC＝1.4，MB＝CF＝NH＝1，NG＝HG﹣NH＝1，∵∠AMF＝∠GNF，∠AFM＝∠GFN，∴△AMF∽△GNF，∴，即，∴BC＝1.4AB﹣1.4．∵∠ABD＝∠ECD，∠ADB＝∠EDC，∴△ABD∽△ECD，∴，即，∴3AB＝2BC+4.8，∴3AB＝2（1.4AB﹣1.4）+4.8，∴AB＝10，∴这棵侧柏的高AB为10米．12．如图，某中学数学课题学习小组在“测量物体高度”的活动中，欲测量一棵古树DE的高度，他们在这棵古树的正前方一平房顶A点处测得古树顶端D的仰角为30°，在这棵古树的正前方C处，测得古树顶端D的仰角为60°，在A点处测得C点的俯角为30°．已知BC为4米，且B、C、E三点在同一条直线上．（1）求平房AB的高度；（2）请求出古树DE的高度（根据以上条件求解时测角器的高度忽略不计）【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∵BC＝4m，∠ACB＝30°，∴tan30°＝，∴AB＝m．（2）在Rt△ACB中，易知AC＝2AB＝m，在Rt△ACD中，∵∠ACD＝90°，∠DAC＝60°，∴CD＝AC＝8，在Rt△CDE中，sin60°＝，∴DE＝4m．13．揽月阁是西安唐文化轴的南部重要节点和标志性建筑，与唐大雁塔今古一线、遥相呼应，联袂彰显西安具有历史文化特色的现代化国际大都市风貌．一天下午，小明和小丽来到了揽月阁广场，他们想用所学的知识，测量揽月阁的高度．如图，点A为揽月阁的顶部，点B为揽月阁的底部，小明在点C处放一水平的平面镜，然后沿着BC方向向前走0.5米，到达点D处，这时小明蹲下，恰好在镜子里看到揽月阁的顶端A的像．接下来小明不动，小丽在C处竖起一根可调节高度的测量杆，并调节测量杆的高度，使得测量杆的顶端P、揽月阁的顶端A、小明的眼睛E在一条直线上，此时测得测量杆的高度CF ＝1.98米．已知小明蹲下时，眼睛到地面的距离DE＝1米，点B、C、D在一条直线上，AB⊥BD，CF ⊥BD，DE⊥BD，求揽月阁的高度AB．（平面镜的大小忽略不计）【解答】解：延长AE交BC的延长线于H，由题意知∠ACF＝∠ECF，∵AB⊥BD，CF⊥BD，DE⊥BD，∴∠BCF＝∠DCF＝∠ABC＝∠EDC＝90°，∴∠ACB＝∠ECD，∴△ABC∽△EDC，∴＝，∵CD＝0.5，DE＝1，∴＝，∴AB＝2BC，∵AB⊥BD，CF⊥BD，DE⊥BD，∴ED∥FC∥AB，∴△HFC∽△HAB，△HED∽△HFC，∴＝，＝，设BC＝x，HD＝y，则AB＝2x，HB＝x+y+0.5，HC＝y+0.5，，解得：x＝49.5，∴AB＝99（米）答：揽月阁的高度AB为99米．14．如图，某中学操场边有一旗杆A，小明在操场的C处放风筝，风筝飞在图中的D处，在CA的延长线上离小明30米远的E处的小刚发现自己的位置与风筝D和旗杆的顶端B在同一条直线上，小刚在E 处测得旗杆顶点B的仰角为α，且tanα＝，小明在C处测得旗杆顶点B的仰角为45°．（1）求旗杆的高度．（2）此时，在C处背向旗杆，测得风筝D的仰角（即∠DCF）为48°，求风筝D离地面的距离．（结果精确到0.1米，其中sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11）【解答】解：（1）在Rt△ABE中，∵tanα＝＝，∴设AB＝xm，则AE＝2xm，在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，∴∠ABC＝90°﹣∠ACB＝45°，∴∠ABC＝∠ACB，∴AC＝AB＝xm，∴EC＝AE+AC＝30，即：2x+x＝30，解得：x＝10，答：求得旗杆高度为10米；（2）过D作DG⊥AF于点G，在Rt△DEG中，tanα＝＝，设DG＝ym，则EG＝2ym，∴CG＝2y﹣30，∵tan∠DCG＝，∴DG＝CG×tan∠DCG，∴y＝（2y﹣30）×tan48°，∴y＝1.11×（2y﹣30），解得：y≈27.3，答：求得风筝D离地面的距离为27.3米．15．小明想要测量学校食堂和食堂正前方一棵树的高度，他从食堂楼底M处出发，向前走3米到达A处，测得树顶端E的仰角为30°，他又继续走下台阶到达C处，测得树的顶端E的仰角是60°，再继续向前走到大树底D处，测得食堂楼顶N的仰角为45°．已知A点离地面的高度AB＝2米，AC的坡度i＝1：，且B、C、D三点在同一直线上．（1）求树DE的高度；（2）求食堂MN的高度．【解答】解：（1）如图，设DE＝x米，∵AB＝DF＝2米，∠ACB＝30°，∴EF＝（x﹣2）米，AC＝2AB＝4（米），∵∠ECD＝60°，∴△ACE是直角三角形，∵AF∥BD，∴∠CAF＝30°，∴∠CAE＝60°，∠AEC＝30°，∴∠ACE＝90°，∴AE＝2AC＝8（米），在Rt△AEF中，∠EAF＝30°，∴EF＝AE＝4（米），即x﹣2＝4，解得x＝6，即树DE的高度为6米；（2）延长NM交DB延长线于点P，则AM＝BP＝3米，由（1）知CD＝CE＝×AC＝2（米），BC＝2（米），∴PD＝BP+BC+CD＝（3+2+2）米＝（3+4）米，∵∠NDP＝45°，且∠NPD＝90°，∴NP＝PD＝（3+4）米，∴NM＝NP﹣MP＝（3+4﹣2）米＝（1+4）米，即食堂MN的高度为（1+4）米．16．如图，水库大坝的横断面为四边形ABCD，其中AD∥BC，坝顶BC＝10米，坝高20米，斜坡AB的坡度i＝1：2.5，斜坡CD的坡角为30°．（1）求坝底AD的长度（结果精确到1米）；（2）若坝长100米，求建筑这个大坝需要的土石料（参考数据：）【解答】解：（1）作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，则四边形BEFC是矩形，∴EF＝BC＝10米，∵BE＝20米，斜坡AB的坡度i＝1：2.5，∴AE＝50米，∵CF＝20米，斜坡CD的坡角为30°，∴DF＝＝20≈35米，∴AD＝AE+EF+FD＝95米；（2）建筑这个大坝需要的土石料：×（95+10）×20×100＝105000米3．17．如图，山区某教学楼后面紧邻着一个土坡，坡面BC平行于地面AD，斜坡AB的坡比为i＝1：，且AB＝26米．（1）求坡顶与地面的距离BE的长．（2）为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过53°时，可确保山体不滑坡．学校计划将斜坡AB改造成AF（如图所示），那么BF至少是多少米？（结果精确到1米）（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.33）．【解答】解：（1）设AE＝5x米，∵斜坡AB的坡比为i＝1：，∴BE＝12x米，由勾股定理得，AE2+BE2＝AB2，即（5x）2+（12x）2＝262，解得，x＝2，∴BE＝12x＝24（米）；（2）过点F作FG⊥AD于G，则四边形FGEB为矩形，∴FG＝BE＝24米，BF＝GE，在Rt△AFG中，∠F AG＝53°，∴AG＝≈≈18.0（米），由（1）可知，AE＝10米，∴BF＝GE＝AG﹣AE≈8（米），答：BF至少是8米．18．每逢雨季，天降大雨，山体滑坡灾害时有发生，北峰小学教学楼后面紧邻着一个土坡，坡上面是一块平地，如图所示：AF∥BC，斜坡AB长30米，坡角∠ABC＝60°．为了防止滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造，经过地质人员勘测，当坡角不超过45°时，可以确保山体不滑坡．（1）求坡顶与地面的距离AD等于多少米？（精确到0.1米）（2）为确保安全，学校计划改造时保持坡脚B不动，坡顶A沿AF削进到E点处，求AE至少是多少米？（精确到0.1米）【解答】解：（1）在Rt△ADB中，AB＝30m，∠ABC＝60°，sin∠ABC＝，∴AD＝AB•sin∠ABC＝30×sin60°≈26.0（m）答：AD等于26.0米；（2）在Rt△ADB中，cos∠ABD＝，∴DB＝AB•cos∠ABD＝30×cos60°＝15（m），连接BE、过E作EN⊥BC于N，∵AE∥BC，∴四边形AEND为矩形，NE＝AD≈26.0，在Rt△ENB中，由已知∠EBN≤45°，当EBN＝45°时，BN＝EN＝26.0，∴AE＝ND＝BN﹣BD＝11.0（m），答：AE至少是11.0 m．19．如图：某水坝的横断面为梯形ABCD，坝顶宽BC为6米，坝高BH为20米，斜坡AB的坡度，斜坡CD的坡角为45°．求（1）斜坡AB的坡角；（2）坝底宽AD（精确到1米）．（参考数据：，）【解答】解：（1）斜坡AB的坡角是∠A，即tan∠A＝i．（1分）∵i＝1：，∴tan∠A＝．（1分）∴∠A＝30°．（1分）（2）过点C作CG⊥AD，垂足为点G．由题意可知：BH＝CG＝20（米），BC＝HG＝6（米）．（2分）。

中考数学几何图形专题训练50题-含答案

中考数学几何图形专题训练50题-含答案

中考数学几何图形专题训练50题含答案(单选、填空、解答题)一、单选题1．如图，是某个几何体的展开图，该几何体是（ ）A ．三棱柱B ．三棱锥C ．球D ．圆锥 2．如图，把一块三角板ABC 的直角顶点B 放在直线EF 上，30C ∠=︒，AC ∥EF ，则1∠=（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°3．如图是每个面上都标有一个汉字的正方体的表面展开图，在此正方体上与“爱”字相对的面上的汉字是（ ）A ．保B ．定C ．古D ．城 4．如图，已知AC BC ⊥，190A ∠+∠=︒，则2∠与A ∠的关系是（ ）A．2∠大C．相等D．无法确定∠大B．A5．若一个锐角的余角比这个角大30°，则这个锐角的度数是（）A．30︒B．150︒C．60︒D．155︒6．图中的立方体展开后，应是下图中的（）A．B．C．D．7．如图，直线与相交于点，，则与（）A．是对顶角B．相等C．互余D．互补8．如图由四个相同的小立方体组成的立体图像，它的主视图是（）．A ．B ．C ．D ． 9．如图，钟表上10点整时，时针与分针所成的角是（ ）A ．30︒B ．60︒C ．90︒D ．120︒ 10．如图，将直角三角形绕其一条直角边所在直线l 旋转一周，得到的几何体是（ ）A ．B ．C ．D ． 11．如图，在长方形ABCD 中，点E ，点F 分别为BC 和AB 上任意一点，点B 和点M 关于EF 对称，EN 是MEC ∠的平分线，若60BFE ∠=︒，则MEN ∠的度数是( )A ．30︒B ．60︒C ．45︒D ．50︒12．如图是正方形纸盒展开图，那么在原正方体中，与“沉”字所在面相对面的汉字是（）A．冷B．静C．应D．考13．如图是一块带有圆形空洞和矩形空洞的小木板，则下列物体中最有可能既可以堵住圆形空洞，又可以堵住矩形空洞的是（）A．正方体B．球C．圆锥D．圆柱体14．如图，用平面去截一个正方体，所得截面的形状应是（）A．A B．B C．C D．D15．如图，点O在直线AB上，∠COE=90°，OD平分∠AOE，∠COD=25°，则∠BOD=（）A．110°B．115°C．120°D．135°16．下列说法正确的是（）A．射线PA和射线AP是同一条射线B．射线OA的长度是3cmC．直线,AB CD相交于点P D．两点确定一条直线17．如图，一个底面直径为30cm，高为20cm的糖罐子，一只蚂蚁从A处沿着糖罐的表面爬行到B处，则蚂蚁爬行的最短距离是（）A ．24cmB ．C ．25cmD ．30cm 18．如图，等边ABC 的边长为1，过点B 的直线l AB ⊥，且ABC 与A BC ''△关于直线l 对称，D 为线段BC '上的一个动点，则AD CD +的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．419．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，30B ∠=︒，如图：（1）以A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB 、AC 于点M 和N ；（2）分别以M 、N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ；（3）连结AP 并延长交BC 于点D ．根据以上作图过程，下列结论中错误的是（ ）A ．AD 是BAC ∠的平分线B ．60ADC ∠=︒ C ．点D 在AB 的中垂线上 D ．:1:3DAC ABD S S =△△20．如图，在Rt 直角△ABC 中，45B ∠=︒，AB =AC ，点D 为BC 中点，直角MDN ∠绕点D 旋转，DM ，DN 分别与边AB ，AC 交于E ，F 两点，下列结论：△△DEF 是等腰直角三角形；△ AE =CF ；△△BDE △△ADF ；△ BE +CF =EF ，其中正确结论是（ ）A ．△△△B ．△△△C ．△△△D ．△△△△二、填空题21．在_______内填上适当的分数：135等于________平角．22．如图，AB △CD ，CB 平分△ABD ，若△ABC ＝40°，则△D 的度数为_______．23．如果△α＝26°，那么△α的余角等于__________．24．如图，点A在点O北偏东32︒方向上，点B在点O南偏东43︒方向上，则AOB∠= ______．25．如图，是一副三角板拼成的图案，则AED=∠____．26．如图是一个正方体的表面展开图，则原正方体中与“建”字所在的面相对的面上标的字是___________．27．如图是一个长方体的表面展开图，每个面上都标注了字母和数据，请根据要求回答（1）如果A面在长方体的底部，那么_________面会在上面；（2）这个长方体的体积为_________米3．28．若α∠的补角是它的3倍，则α∠的度数为________________．29．两根长度分别为8cm 和10cm 的直木条，将它们一端重合且放在同一条直线上，此时两根木条中点之间的距离为________．30．已知，如图4090COD AOC BOD ∠∠∠=︒==︒，，则AOB ∠=_______度．31．若一个直棱柱共有10个面，所有侧棱长的和等于64，则每条侧棱的长为______．32．小红从O 点出发向北偏西32°17＇方向走到A 点，小明从O 点出发向南偏西54°28＇方向走到B 点，则∠AOB 的度数是_____．33．如图是一个正方体的展开图，它的六个面上分别写有“构建和谐社会”六个字，将其围成正方体后，与“社”在相对面上的字是_____．34．5400秒化成度数是____________度35．如图，OA 的方向是北偏东20°，OC 的方向是北偏西40°，若AOC AOB ∠=∠，则OB 的方向是______．36．已知，如图，A 、O 、B 在同一直线上，OF 平分AOB ∠，12∠=∠，3=4∠∠．（1）射线OD 是_______的角平分线；（2）AOC ∠的补角是_______；（3）AOC ∠的余角是_______；（4）_______是2∠的余角；（5）DOB ∠的补角是_______；（6）_______是COF ∠的补角．37．线段AB ＝12cm ，点C 在线段AB 上，且AC ＝13BC ，M 为BC 的中点，则AM 的长为_______cm.38．如图，在△O 中，AB 是△O 的直径，10,AB AC CD DB ===，点E 是点D 关于AB 的对称点，M 是AB 上的一动点，下列结论：△60BOE ︒∠=；△12CED DOB ∠=∠；△DM CE ⊥；△CM DM +的最小值是10．上述结论中正确的个数是_________．39．如图，在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，以AC 为边，作ACD ，满足AD AC =，点E 为BC 上一点，连接AE ，12BAE CAD ∠=∠，连接DE ．下列结论中正确的是__________．（填序号）△AC DE ⊥；△ADE ACB ∠=∠；△若//CD AB ，则AE AD ⊥；△2DE CE BE =+．40．如图，在△ABC 中，AB = AC = 8，S △ABC = 16，点P 为角平分线AD 上任意一点，PE △AB ，连接PB ，则PB+PE 的最小值为_____．三、解答题41．线段4AB =cm ，延长线段AB 到C ，使BC =14AB ，再反向延长AB 到D ，使AD=3cm ，E 是AD 中点，F 是CD 的中点，求EF 的长度．42．已知图为一几何体从不同方向看的图形．(1)写出这个几何体的名称；(2)任意画出这个几何体的一种表面展开图；(3)若长方形的高为10厘米，三角形的边长为4厘米，求这个几何体的侧面积． 43．如图△，点O 为直线MN 上一点，过点O 作直线OC ，使60NOC ︒∠=．将一把直角三角尺的直角顶点放在点O 处，一边 OA 在射线OM 上，另一边OB 在直线AB 的下方，其中30OBA ︒∠=()1将图△中的三角尺沿直线OC 翻折至''A B O ∆， 求'A ON ∠的度数；()2将图△中的三角尺绕点O 按每秒10︒的速度沿顺时针方向旋转，旋转角为()0360αα︒︒<<， 在旋转的过程中，在第几秒时，直线OA 恰好平分锐角NOC ∠． ()3将图△中的三角尺绕点O 顺时针旋转；当点A 点B 均在直线MN 上方时(如图△所示)，请探究MOB ∠与AOC ∠之间的数量关系，请直接写出结论，不必写出理由．44．如图，在直线AB 上，线段20AB =，动点P 从A 出发，以每秒2个单位长度的速度在直线AB 上运动，M 为AP 的中点，N 为BP 的中点，设点P 的运动吋间为t 秒．(1)若点P 在线段AB 上运动，当7MP =时，NP = ；(2)若点P 在射线AB 上运动，当2MP NP =时，求点P 的运动时间t 的值；(3)当点P 在线段AB 的反向延长线上运动时，线段AB 、MP 、NP 有怎样的数量关系？请写出你的结论，并说明你的理由．45．已知：点M ，N ，P 在同一条直线上，线段MN a =，线段()PN b a b =>，点A 是MP 的中点．求线段MP 与线段AN 的长．（用含a ，b 的代数式表示） 46．如图所示，l 为河岸，B 处为草地，牧马人要将A 处的马牵到河边喝水，再牵到B 地吃草，问怎样走路程最短？47．如图，在ABC 中，CD 、CE 分别是ABC 的高和角平分线，,()BAC B ∠α∠βαβ==>．(1)若70,40αβ=︒=︒，求DCE ∠的度数；(2)试用α、β的代数式表示DCE ∠的度数_________．48．某产品的形状是长方体，长为8cm ，它的展开图如图所示，求长方体的体积．49．如图，已知线段AB 上有两点C ，D ，且AC△CD△DB ＝2△3△4，E ，F 分别为AC ，DB 的中点，EF ＝2.4 cm ，求线段AB 的长．50．综合与探究已知△AOB 、△BOC ，△AOB ＝90°，(1)若△BOC 为锐角，OE 、OD 分别平分△AOB 和△BOC ，△如图1，当射线OC 在△AOB 外部，△BOC ＝40°时，求△EOD 的度数；△当△BOC ＝α(090α︒<<︒)时，则△EOD 的度数是_____；(2)若△AOC 和△BOC 均为小于平角的角，OE 、OD 分别平分△AOC 和△BOC ，△当△BOC ＝40°，OC 位置如图2所示时，求△EOD 的度数．△当△BOC ＝α时（0°＜α＜180°），则△EOD 的度数是_____．参考答案：1．A【分析】侧面为三个长方形，底面为三角形，故原几何体为三棱柱．【详解】解：观察图形可知，这个几何体是三棱柱，故A 正确．故选：A ．【点睛】本题考查的是三棱柱的展开图，熟练掌握三棱柱的展开图，是解题的关键． 2．C【分析】根据三角板的角度，可得60A ∠=︒，根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：30C ∠=︒，9060A C ∴∠=︒-∠=︒AC ∥EF ，160A ∴∠=∠=︒故选C【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．3．A【分析】本题考查了正方体的平面展开图，对于正方体的平面展开图中相对的面一定相隔一个小正方形，据此作答．【详解】正方体的表面展开图中，相对的面之间一定相隔一个正方形，所以在此正方体上与“爱”字相对的面上的汉字是“保”，故选A ．【点睛】本题考查正方体的展开图，解题的关键是掌握正方体相对两个面上的文字的知识．4．C【分析】由190A ∠+∠=︒，1290∠+∠=︒，可知2A ∠=∠，进而可得答案．【详解】解：△190A ∠+∠=︒，1290∠+∠=︒△2A ∠=∠故选C ．【点睛】本题考查了余角．解题的关键在于明确同角的余角相等．5．A【分析】根据余角的定义解决此题．【详解】解：设这个角的度数为x ．由题意得，9030x x -=+︒︒．△30x =︒．△这个角的度数为30︒．故选：A ．【点睛】本题主要考查余角，熟练掌握余角的定义是解决本题的关键．6．D【详解】由正方体的展开图可知，D 项符合题意，故选D ．7．C【详解】试题分析：因为CD 是一条直线，又，所以△AOE=90°所以△1+△2=180°-90°=90°，所以他们的关系是互余考点：角的互余关系点评：难度小，理解角与角的各种的关系是关键．8．A【分析】从正面看作出相应图象即可得.【详解】解：从正面看，共2列，左边是1个正方形，右边是2个正方形，且下齐．故选A.【点睛】题目主要考查小正方体的主视图的作法，理解题意，掌握视图的作法是解题关键. 9．B【分析】根据钟面分成12个大格，每格的度数为30°即可解答．【详解】解：△钟面分成12个大格，每格的度数为30°，△钟表上10点整时，时针与分针所成的角是60°故选B ．【点睛】考核知识点：钟面角.了解钟面特点是关键.10．B【分析】根据直角三角形绕直角边旋转是圆锥，即可解得．【详解】将直角三角形绕其一条直角边所在直线l 旋转一周，得到的几何体是圆锥；故答案为：B．【点睛】本题考查了点、线、面、体，熟记各种平面图形旋转得到的立体图形是解题的关键．11．B∠的平分线，可算出△MEN 【分析】根据对称的性质可得△MEF的度数，再由EN是MEC的度数.【详解】解：由题意可得：△B=90°，△△BFE=60°，△△BEF=30°，△点B和点M关于EF对称，△△BEF=△MEF=30°，△△MEC=180-30°×2=120°，∠的平分线，又△EN是MEC△△MEN=120÷2=60°.故选B.【点睛】本题考查了轴对称的性质和角平分线的性质，根据已知角利用三角形内角和、角平分线的性质计算相关角度即可，难度不大.12．B【分析】根据正方体的展开图的特点，确定出相对的面即可．【详解】解：根据正方体表面展开图可知，与“沉”字所在面相对面的汉字是“静”．故答案为B．【点睛】本题考查正方体的表面展开图的特征，掌握正方体展开图的对面的判定方法是解答本题的关键．13．D【分析】本题中，圆柱的俯视图是个圆，可以堵住圆形空洞，它的正视图和左视图是个矩形，可以堵住方形空洞．【详解】根据三视图的知识来解答．圆柱的俯视图是一个圆，可以堵住圆形空洞，而它的正视图以及侧视图都为一个矩形，可以堵住方形的空洞，故圆柱是最佳选项．故选D．【点睛】此题考查立体图形，本题将立体图形的三视图运用到了实际中，只要弄清楚了立体图形的三视图，解决这类问题其实并不难．14．B【详解】试题解析：正方体的截面，经过正方体的四个侧面，正方体中，对边平行，故可确定为平行四边形，交点垂直于底边，故为矩形．故选B．点睛：截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关．15．B【分析】先根据△COE=90°，△COD=25°，由角的和差关系求得△DOE=90°﹣25°=65°，再根据OD平分△AOE，由角平分线的定义得出△AOD=△DOE=65°，最后根据邻补角的定义得出△BOD=180°﹣△AOD=115°．【详解】△△COE=90°，△COD=25°，△△DOE=90°﹣25°=65°．△OD平分△AOE，△△AOD=△DOE=65°，△△BOD=180°﹣△AOD=115°．故选B．【点睛】本题考查了角的计算以及角平分线的定义的综合应用，解决问题的关键是运用角平分线以及直角的定义，求得△AOD的度数，再根据邻补角进行计算．16．D【分析】根据直线、射线、线段的性质对各选项分析判断后利用排除法．【详解】解：A、射线PA和射线AP不是同一条射线，故本选项错误；B、射线是无限长的，故本选项错误；C、直线AB、CD可能平行，没有交点，故本选项错误；D、两点确定一条直线是正确的．故选：D．【点睛】本题主要考查了直线、射线、线段的特性，是基础题，需熟练掌握．17．C【分析】根据题意首先将此圆柱展成平面图，根据两点间线段最短，可得AB最短，由勾股定理即可求得需要爬行的最短路程．【详解】解：将此圆柱展成平面图得：△有一圆柱，它的高等于20cm ，底面直径等于30πcm ， △底面周长＝3030ππ⋅=cm ，△BC ＝20cm ，AC ＝12×30＝15（cm ），△AB 25=（cm ）．答：它需要爬行的最短路程为25cm ．故选：C ．【点睛】本题主要考查平面展开图求最短路径问题，将圆柱体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理解答是解题关键．18．B【分析】连接CA '交BC '于点E ，C ，A '关于直线BC '对称，推出当点D 与B 重合时，AD CD +的值最小，最小值为线段AA '的长2=．【详解】解：连接CA '交BC '于点E ，直线l AB ⊥，且ABC ∆与△A BC ''关于直线l 对称，A ∴，B ，A '共线，60ABC A BC ∠=∠''=︒，60CBC ∴∠'=︒，C BA C BC ∴∠''=∠'，BA BC '=，'BE CA ∴⊥，CD DA ='，C ∴，A '关于直线BC '对称，∴当点D与B重合时，AD CD+的值最小，最小值为线段AA'的长2=，故选B．【点睛】本题考查轴对称-最短问题，等边三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．19．D【分析】根据作图的过程可以判定AD是△BAC的角平分线；利用角平分线的定义可以推知△CAD=30°，则由直角三角形的性质来求△ADC的度数；利用等角对等边可以证得△ADB的等腰三角形，由等腰三角形的“三线合一”的性质可以证明点D在AB的中垂线上；利用30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式来求两个三角形的面积之比．【详解】解：A、根据作图方法可得AD是△BAC的平分线，正确；B、△△C=90°，△B=30°，△△CAB=60°，△AD是△BAC的平分线，△△DAC=△DAB=30°，△△ADC=60°，正确；C、△△B=30°，△DAB=30°，△AD=DB，△点D在AB的中垂线上，正确；D、△△CAD=30°，△CD=12AD，△AD=DB，△CD=12DB，△CD=13 CB，S△ACD=12CD•AC，S△ACB=12CB•AC，△S△ACD：S△ACB=1：3，△S△DAC：S△ABD≠1：3，错误，故选：D．【点睛】本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及作图—基本作图．解题时，需要熟悉等腰三角形的判定与性质．20．C【分析】根据等腰直角三角形的性质可得△CAD=△B=45°，根据同角的余角相等求出△ADF=△BDE，然后利用“角边角”证明△BDE和△ADF全等，判断出△正确；根据全等三角形对应边相等可得DE=DF、BE=AF，从而得到△DEF是等腰直角三角形，判断出△正确；再求出AE=CF，判断出△正确；根据BE+CF=AF+AE，利用三角形的任意两边之和大于第三边可得BE+CF＞EF，判断出△错误．【详解】△△B=45°，AB=AC，△△ABC是等腰直角三角形，△点D为BC中点，△AD=CD=BD，AD△BC，△CAD=45°，△△CAD=△B，△△MDN是直角，△△ADF+△ADE=90°，△△BDE+△ADE=△ADB=90°，△△ADF=△BDE，在△BDE和△ADF中，CAD BAD BDADF BDE∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，△△BDE△△ADF（ASA），故△正确；△DE=DF、BE=AF，又△△MDN是直角，△△DEF是等腰直角三角形，故△正确；△AE=AB-BE，CF=AC-AF，△AE=CF，故△正确；△BE+CF=AF+AE＞EF，△BE+CF＞EF，故△错误；综上所述，正确的结论有△△△；故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、同角的余角相等的性质、三角形三边的关系；熟练掌握等腰直角三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．21．3 4【分析】根据一平角等于180°解答即可.【详解】△135÷180=34，△135等于34平角．故答案为3 4 .【点睛】本题考查了平角的定义，熟练掌握一平角等于180°是解答本题的关键. 22．100°【分析】根据角平分线定义和平行线的性质即可求出△D的度数．【详解】解：△CB平分△ABD，△ABC＝40°，△△ABD＝2△ABC＝80°，△AB△CD，△△ABD+△D＝180°，△△D＝180°﹣80°＝100°，则△D的度数为100°．故答案为：100°．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质，熟练掌握角平分线的定义，平行线的性质是解题的关键．23．64°【详解】△△α＝26°，△△α的余角=90°-26°=64°．故答案为：64°【点睛】本题考查了余角的定义，是基础题，熟记互为余角的两个角的和等于90°是解题的关键．24．105°【分析】直接利用方向角结合互补的性质得出答案．【详解】解：如图所示：由题意可得，△1=32°，△2=43°，则△AOB=180°-△1-△2=105°．故答案为：105°．【点睛】此题主要考查了方向角，正确把握方向角的定义是解题关键．25．135°【详解】本题主要考查了三角板的知识及平角的定义根据三角板的知识可知△DEC的度数，再根据平角的定义即可求得结果．由题意得△DEC=45°，则△AED=180°-△DEC=135°.思路拓展：解答本题的关键是掌握好三角板的知识及平角的定义．26．明【分析】这种展开图是属于“1，4，1”的类型，其中，上面的1和下面的1是相对的2个面.【详解】由正方体的展开图特点可得：“建”和“明”相对；“设”和“丽”相对；“美”和“三”相对；故答案为：明.【点睛】此题考查正方体相对两个面上的文字的知识；掌握常见类型展开图相对面上的两个字的特点是解决本题的关键.27．F6【分析】（1）根据展开图，可得几何体，、、A B C 是邻面，D F E 、、是邻面，根据A 面在底面，F 会在上面，可得答案；（2）由体积计算公式解答．【详解】解：（1）如图所示，A 与F 是对面，所以如果A 面在长方体的底部，那么 F 面会在上面；故答案是：F ；（2）这个长方体的体积是：1236⨯⨯=（米3）．故答案是：6【点睛】本题考查了几何体的展开图，利用了几何体展开图组成几何体时面与面之间的关系．28．45︒##45度【分析】设α∠为x ，根据互为补角的两个角的和等于180︒表示出这个角的补角，然后列出方程求解即可．【详解】解：设α∠为x ，则α∠的补角为180x ︒-，根据题意得1803x x ︒-=，解得45x =︒，故答案为：45︒．【点睛】本题考查了互为补角的定义，根据题意表示出这个角的补角，然后列出方程是解题的关键．29．1cm 或9cm##9cm 或1cm【分析】设较长的木条为AB ，较短的木条为BC ，根据中点定义求出BM 、BN 的长度，然后分两种情况：BC 不在AB 上和BC 在AB 上时，分别代入数据进行计算即可得解．【详解】解：设较长的木条为AB =10cm ，较短的木条为BC =8cm ，△M 、N 分别为AB 、BC 的中点，△BM =5cm ，BN =4cm ，△如图1，BC 不在AB 上时，MN =BM +BN =5+4=9(cm)，△如图2，BC 在AB 上时，MN =BM −BN =5−4=1(cm)，综上所述，两根木条的中点间的距离是1cm 或9cm ，故答案为：1cm 或9cm ．如图，【点睛】本题考查了两点间的距离，主要利用了线段的中点定义，难点在于要分情况讨论，作出图形更形象直观．30．140【分析】利用角的和差关系先求出50COB ∠=︒，，再利用角的和差关系求出AOB ∠的度数．【详解】解：△4090COD AOC BOD ∠∠∠=︒==︒，，△ 50COB BOD COD ∠∠∠=-=︒，△ 140AOB AOC COB ∠∠∠=+=︒．故答案为：140．【点睛】本题主要考查了角的和差，关键是熟练掌握角的运算中的和差关系．31．8【分析】先根据这个棱柱有10个面，求出这个棱柱是8棱柱，有8条侧棱，再根据所有侧棱的和为64cm ，即可得出答案．【详解】解：△这个棱柱有10个面，△这个棱柱是8棱柱，有8条侧棱，△所有侧棱的和为64cm ，△每条侧棱长为64÷8=8（cm ）；故答案为：8【点睛】本题主要利用了棱柱面的个数比侧棱的条数多２的关系求解，是一道基础题． 32．93°15＇【分析】利用平角的定义计算即可．【详解】△从O 点出发向北偏西32°17＇方向走到A 点，小明从O 点出发向南偏西54°28＇方向走到B 点，△∠AOB =180°-54°28＇-32°17＇=93°15＇．【点睛】本题考查了方位角，平角，角的和与差，熟练掌握方位角和平角的定义是解题的关键．33．和．【分析】本题考查了正方体的展开图，一般从相对面入手进行分析与解答；【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，所以“建”与“谐”是相对面，“社”与“和”是相对面，“会”与“构”是相对面，由此可知与“社”相对的面上的字是“和”．【点睛】本题主要考查学生对正方体展开图形的理解和掌握，解答本题的关键是根据相对的面相隔一个面得到相对的两个面．34．1.5【详解】试题解析：△5400÷60=90，90÷60=1.5，△5400″=1.5°．35．北偏东80°【分析】先根据角的和差得到△AOC 的度数，根据△AOC =△AOB 得到△AOB 的度数，再根据角的和差得到OB 的方向．【详解】解：△OA 的方向是北偏东20°，OC 的方向是北偏西40°，△△AOC =20°+40°=60°，△△AOC =△AOB ，△△AOB =60°，20°+60°=80°，故OB 的方向是北偏东80°．故答案为：北偏东80°．【点睛】考查了方位角，方位角是表示方向的角；以正北，正南方向为基准，来描述物体所处的方向．利用角的和差得出OB 与正北方的夹角是解题关键．36． AOC ∠ COB ∠ 3∠和4∠ DOF ∠ 1∠和2∠ EOA ∠【分析】由角平分线的定义，补角、余角的定义，分别进行计算，即可得到答案．【详解】解：根据题意，（1）△12∠=∠△射线OD 是AOC ∠的角平分线；（2）△180AOC BOC ∠+∠=︒，△AOC ∠的补角是COB ∠；（3）△OF 平分AOB ∠，180AOB ∠=︒，△90AOF BOF ∠=∠=︒，△390AOC ∠+∠=︒，△3=4∠∠，△490AOC ∠+∠=︒；△AOC ∠的余角是3∠和4∠；（4）△12∠=∠，190DOF ∠+∠=︒，△290DOF ∠+∠=︒，△DOF ∠是2∠的余角；（5）△1180DOB ∠+∠=︒，12∠=∠△2180DOB ∠+∠=︒，△DOB ∠的补角是1∠和2∠；（6）△4180AOE ∠+∠=︒，4COF ∠=∠，△180COF EOA ∠+∠=︒，△EOA ∠是COF ∠的补角．故答案为：AOC ∠；COB ∠；3∠和4∠；DOF ∠；1∠和2∠；EOA ∠．【点睛】本题考查了角平分线的定义，补角、余角的定义，解题的关键是熟练掌握几何图形中角的运算．37．7.5【分析】可先作出简单的图形，进而依据图形分析求解．【详解】解：如图，△点C 在AB 上，且AC=13BC ， △AC=14AB=3cm ，△BC=9cm ，又M 为BC 的中点， △CM=12BC=4.5cm ，△AM=AC+CM=7.5cm ．故答案为7.5.【点睛】本题考查的是两点间的距离的计算，掌握线段中点的定义、灵活运用数形结合思想是解题的关键．38．3【分析】△根据点E 是点D 关于AB 的对称点可知BD BE ，进而可得1180603DOB BOE COD ︒︒∠=∠=∠=⨯=； △根据一条弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可得结论；△根据等弧对等角，可知只有当M 和A 重合时，60,30MDE CED ︒︒∠=∠=，DM CE ⊥； △作点C 关于AB 的对称点F ，连接CF ，DF ，此时CM DM +的值最短，等于DF 的长，然后证明DF 是O 的直径即可得到结论．【详解】解：AC CD DB ==，点E 是点D 关于AB 的对称点，BD BE ∴=， 1180603DOB BOE COD ︒︒∴∠=∠=∠=⨯=，△正确；1116030222CED COD DOB ︒︒∠=∠=⨯==∠，△△正确； BE 的度数是60°，AE ∴的度数是120°，△只有当M 和A 重合时，60,︒∠=MDE ，30︒∠=CED△只有M 和A 重合时，DM CE ⊥，△错误；作C 关于AB 的对称点F ，连接CF ，交AB 于点N ，连接DF 交AB 于点M ，此时CM DM +的值最短，等于DF 的长．连接,CD AC CD DB AF ===，并且弧的度数都是60°，1112060,6030,22︒︒︒︒∴∠=⨯=∠=⨯=D CFD 180603090,︒︒︒︒∴∠=--=FCDDF ∴是O 的直径，即10DF AB ==，△当点M 与点O 重合时，CM DM +的值最小，最小值是10，△△正确．故答案为：3．【点睛】本题考查了圆的综合知识，涉及圆周角、圆心角、弧、弦的关系、最短距离的确定等，掌握圆的基本性质并灵活运用是解题关键．39．△△△【分析】因为12BAE DAC ∠=∠，且90ABC ∠=︒，所以需要构造2倍的BAC ∠，故延长EB 至G ，使BE BG =，从而得到GAE CAD ∠=∠，进一步证明GAC EAD ∠=∠，且AE AG =，接着证明GAC EAD ≌，则ADE ACG ∠=∠，DE CG =，所以△是正确的，也可以通过线段的等量代换运算推导出△是正确的，设BAE x ∠=，则2DAC x ∠=，因为//CD AB ，所以90BAC ACD x ∠=∠=︒-，接着用x 表示出EAC ∠，再计算出=90DAE ∠︒，故△是正确的，当CAE BAE ∠=∠时，可以推导出AC DE ⊥，否则AC 不垂直于DE ，故△是错误的．【详解】解：如图，延长EB 至G ，使BE BG =，设AC 与DE 交于点M ，90ABC ∠=︒，AB GE ∴⊥，AB ∴垂直平分GE ，AG AE ∴=，12GAB BAE DAC ∠=∠=∠， 12BAE GAE ∠=∠， GAE CAD ∴∠=∠，GAE EAC CAD EAC ∴∠+∠=∠+∠，GAC EAD ∴∠=∠，在GAC 与EAD 中，AG AE GAC EAD AC AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，GAC EAD ∴≌（SAS ），G AED ∴∠=∠，ACB ADE ∠=∠，故△是正确的；AG AE =，G AEG AED ∴∠=∠=∠，AE ∴平分BED ∠，当BAE EAC ∠=∠时，90AME ABE ∠=∠=︒，则AC DE ⊥，当BAE EAC ∠≠∠时，AME ABE ∠≠∠，则无法说明AC DE ⊥，故△是不正确的； 设BAE x ∠=，则2CAD x ∠=，1802902x ACD ADC x ︒-∴∠=∠==︒-， //AB CD ，90BAC ACD x ∴∠=∠=︒-，90902CAE BAC EAB x x x ∴∠=∠-∠=︒--=︒-，902290DAE CAE DAC x x ∴∠=∠+∠=︒-+=︒，AE AD ∴⊥，故△是正确的；GAC EAD ≌，CG DE ∴=，2CG CE GE CE BE =+=+，2DE CE BE ∴=+，DE BE BE CE ∴-=+，2DE CE BE ∴=+，故△是正确的．故答案为：△△△．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，角度的计算，构造两倍的BAE ∠，是本题解题的关键．40．4【分析】利用角平分线定理确定当BF△AC 时，PB+PE 的值最小，再利用三角形面积公式，即可求得.【详解】如图，△AB = AC = 8，AD 平分CAB ∠△'''P E P F =△当BF△AC 时，PB+PE 的值最小=BF1162ABC S AC BF ∆== △BF=4 △PB+PE 的最小值为4.【点睛】本题考查了轴对称-最短路径问题，也可以用角平分线定理考虑，找到PE+PB 最小值的情况并画出图形，是解题的关键.41．2.5cm ．【分析】结合图形和题意，利用线段的和差知CD ＝AD ＋AB ＋BC ，即可求CD 的长度；再利用中点的定义，求得DF 和DE 的长度，又EF ＝DF−DE ，即可求得EF 的长度．【详解】△4AB =cm ，BC =14AB ， △BC=1cm ，△CD ＝AD ＋AB ＋BC ＝3＋4＋1＝8cm ；△E 是AD 中点，F 是CD 的中点，△DF ＝12CD ＝8×12＝4cm ，DE ＝12AD ＝12×3＝1.5cm ．△EF ＝DF−DE ＝4−1.5＝2.5cm ．【点睛】本题主要考查了两点间的距离和中点的定义，解题的关键是运用数形结合思想． 42．(1)直三棱柱(2)见解析(3)这个几何体的侧面积为120cm 2【分析】（1）只有棱柱的主视图和左视图才能出现长方形，根据俯视图是三角形，可得到此几何体为直三棱柱；（2）画出三个长方形，两个三角形；（3）侧面积为长方形，计算出3个长方形的面积求和即可．【详解】（1）解：由主视图和左视图都是长方形，且俯视图是三角形，故该立体图形是直三棱柱；（2）解：展开图如图所示：；（3）解：这个几何体的侧面积23104120cm ⨯⨯＝．【点睛】本题主要考查了由三视图判断几何体、几何体的展开图、棱柱的侧面积等知识点，根据题意得到该几何体是直三棱柱是解答本题的关键．43．（1） '60A ON ︒∠=；（2）15秒或33秒；（3）30MOB AOC ︒∠-∠=或30MOB AOC ︒∠+∠=【分析】（1）如图△中，延长CO 到C′．利用翻折不变性求出△A′O′C′即可解决问题； （2）设t 秒时，直线OA 恰好平分锐角△NOC ．构建方程即可解决问题；（3）分两种情形分别求解即可解决问题，△当OB ，OA 在OC 的两旁时，△当OB ，OA 在OC 的同侧时，求出MOB ∠与AOC ∠之间的数量关系即可.【详解】解：（1）如图△中，延长CO 到C′，△三角尺沿直线OC 翻折至△A′B′O ，△△A′OC′=△AOC′=△CON=60°，△△A′ON=180°-60°-60°=60°；（2）设t 秒时，直线OA 恰好平分锐角△NOC ，由题意10t=150或10t=330，解得t=15或33s ，则第15或33秒时，直线OA 恰好平分锐角△NOC ；（3）△当OB ，OA 在OC 的两旁时，△△AOB=90°，△120°-△MOB+△AOC=90°，△△MOB-△AOC=30°；△当OB ，OA 在OC 的同侧时，△MOB+△AOC=120°-90°=30°.综上，30MOB AOC ︒∠-∠=或30MOB AOC ︒∠+∠=.【点睛】本题考查翻折变换，旋转变换，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．44．(1)3； (2)203或20； (3)12NP MP AB -=，理由见解析． 【分析】（1）由中点的含义先求解7AM MP ==，证明12PN BN BP ==，再求解6PB AB AB =-=，从而可得答案；（2）△当点P 在线段AB 上，2MP NP =， △当点P 在线段AB 的延长线上，2MP NP =，再建立方程求解即可；（3）先证明12MP AP t ==，()1102NP AB AP t =+=+，可得()1010NP MP t t -=+-=，从而可得结论．【详解】（1）解：△M 为AP 的中点，N 为BP 的中点，7MP =，△7AM MP ==，12PN BN BP ==， △14AP =，。

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中考几何应用题精讲精练
【重点、难点、考点】
重点：运用几何知识解决实际问题 难点：将实际问题抽象为几何问题
考点:此类问题的表现形式是:由几何图形的性质通过计算、推理来说明某种几何设计是否最优,或是设计出符合要求的几何方案，除能有效地考查有关几何知识之外，更注重考查学生抽象、转化的思维能力，在中考试卷的主、客观题中均有出现，分值在12%左右. 【经典范例引路】
例 在直径为AB 的半圆内，划出一块三角形区域,使三角形的一边为AB,顶点C 在半圆上，其它两边分别为6和８，现要建造一个内接于△ABC 的矩形水池DEFN,其中，DE 在ＡB 上，如图的设计方案是使AC ＝8， B Ｃ=6 （1）求△ ABC 中 AB 边上的高 h
（2）设ＤN ＝x,当x 取何值时,水池DEFN 的面积最大？
（３）实际施工时,发现在AB 上距Ｂ点1。

8５的M 处有一棵大树,问:这棵大树是否位于最大矩形水池的边上?如果在,为保护大树，请设计出另外的方案,使内接于满足条件的三角形中欲建的最大矩形水池能避开大树.（１９99,云南)
解：(1)由S=
21AB·h=21AB·ＢＣ得 h=AB BC AC •=10
86⨯＝４。

8 （2)∵NＦ∥AB,∴△ＣNF∽△CAB ，∴
h DN h -=AB
NF
∴ＮF=8.4)8.4(10x -，S ＤE ＦＮ=x·
8.410(4。

8－ｘ)= -12
25x ２＋１0x
∴当x ＝2。

4时,S ＤE ＦＮ的值最大．
(3）当ＳDE ＦN 最大时ｘ=2。

4，此时Ｆ为ＢC 中点. 在Ｒt△ＦEB 中,E Ｆ＝2.4，BF=３， ∴BE=22EF BF -=224.23-=1.8
又B Ｍ－1.８5＞B Ｅ，故大树必位于欲修建的水池边上,应重新设计方案 又∵当x ＝２。

４时,ＤE ＝5,∴ＡD ＝３.２
由圆的对称性知满足题设条件的另外设计方案是如图（２）,此时，AC ＝６，AD=1.8，BD=8。

２,此方案满足条件且能避开大树.
【解题技巧点拨】
解此类问题经常要通过计算线段长和面积来确定设计方案及其是否最优,因此有关面(体）积公式要非常熟练,同时要熟悉解直角三角形的有关知识和技巧,并会将有关图形转化为直角三角形再计算有关线段或面积；有时还要利用轴对称及其性质解题。

【综合能力训练】
１。

天河宾馆在重装修后,准备在大厅的主楼梯上铺设某种红色地毯,已知这种地毯每平方米售价３０元，主楼梯道宽２米,其侧面如图所示,则购买地毯至少需要元。

２。

某班在布置新年联欢会会场时,需要将直角三角形彩纸裁成长度不等的矩形彩条，如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°,AC＝30cｍ， AB＝50ｃｍ,依次裁下宽为１ｃm的矩形纸条ａl,a2,ａ3……，若使裁得的矩形纸条的长都不小于５ｃm，则每张直角三角形彩纸能裁成的矩形纸条总数是。

3。

目前,全国人民都在积极支持北京的申奥活动，你们知道吗?国际奥委会会旗上的图案是由代表五大洲的五个圆环组成(如右图),每个圆环的内、外圆直径分别为8和1０，图中两两相交成的小曲边四边形（黑色部分）的面积相等,已知五个圆环覆盖的面积是122。

5平方单位,请你们计算出每个小曲边四边形的面积为平方单位(π取3。

1４）．(２001，济南市)
４.如图,A、B两个村子在河ＣＤ的同侧,A、B两村到河的距离分别为AC＝1ｋm，ＢD＝３km，ＣD=3km,现要在河边CＤ上建一水厂向A、B两村输送自来水,铺设水管的工程费用为每公里20000元,请你在ＣＤ上选择水厂位置O,使铺设水管的费用最省,并求出铺设水管的总费用Ｆ．
５．某县为加固长90米，高５米，坝顶宽为４米,迎水坡和背水坡的坡度都是1∶1的横断面是梯形的防洪大坝，要将大坝加高1米,背水坡坡度改为1∶1。

5,已知坝顶宽不变.(1)求大坝横截面积增加多少平方米？(2)要在规定时间内完成此项工程,如果甲队单独做将拖延1Ｏ天完成,乙队单独做将拖延6天完成，现在甲队单独工作２天后,乙队加入一起工作,结果提前4天完成,求原来规定多少天完成和每天完成的土方数。

6。

武当山奶制品公司有两种不同大小的奶粉盒,其形状都是高相等的圆柱形，第一种奶粉盒可装奶粉500克，底面是半径为R１的⊙O1（如图甲）;第二种奶粉盒可装奶粉1000克,底面是半径为R2的⊙Ｏ２(如图乙）,根据市场调查,还需设计一种装1５00克奶粉的圆柱形盒子,并要求此盒底面圆的面积等于⊙Ｏ１、⊙Ｏ2面积之和,其高与前两种奶粉盒的高相等,请你画出符合要求的奶粉盒底面圆的大小，并证明你的结论.(２0０1,十堰市)
7.国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状,目前正在全国各地农村进行电网改造,莲花村有四个村庄A、B、C、D，正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路,他们设计了四种架设方案，如图中的实线部分,请你帮助计算一下,
哪种架设方案最省电线?(以下数据可供参考：2=1.４１4，3=1.7３2, 5＝2。

2３6)
8。

如图所示，某海域为直径30海里的暗礁区中心有一哨所A,值班人员发现有一轮船从哨所正西方向４５海里的B处向哨所驶来,哨所及时向轮船发出危险信号:
（1)若轮船收到此次危险信号,为避免触礁，船向改变至少为东偏北α度,求sinα的值;(2)若轮船没有收到危险信号，又继续前进了15海里到达C处,才收到此时哨所第二次发出的紧急危险信号,为避免触礁，航向改变角最少应为东偏南多少度?(3)若轮船一直没有收到信号,且该轮船的安全转向角度为60°,为避免触礁,轮船至少应在暗礁区外多少海里收到信号?
9。

如图所示,一艘轮船以20里／时的速度由西向东航行,途中接到台风警报,台风中心正以４0里/时的速度由南向北移动,距台风中心2010里的圆形区域(包括边界)都属台
风区，当轮船到A处时，测得台风中心移到位于点A正南方向Ｂ处,且AB=1００里(１）若这艘轮船自A处按原速继续航行，在途中会不会遇到台风？若会,试求船最初遇到台风的时间;若不会，请说明理由；
（2)现轮船自A处立即提高船速,向位于东偏北3０°方向,相距６0里的D港驶去，为使台风到来之前到达D港，问船速至少要提高多少(提高的船速取整数，13≈3.６）?
【创新备考训练】
１０。

如图,某斜拉桥的一组钢索ａ,b,c,d，ｅ共五条,它们相互平行，钢索与桥面的固定点P1,P2,P３,P４,P５中,每相邻两点等距离.
(1）问至少需知道几条钢索的长，才能计算出其余钢索的长?
（2)请你对(１)中需知道的这几条钢索长给出具体数值,并由此计算出其余钢索的长.(2002,绍兴市)
1１。

如图是某学校田径体育场部分的示意图，第一条跑道每圈为４00米．跑道分直道和弯道,直道为长相等的平行线段，弯道为同心的半圆形,弯道与直道相连接．已知直道BC的长86.96米,跑道的宽为1米.(π≈３.14,结果精确到0.０1)
（1)求第一条跑道的弯道部分(
⌒
AB）的半径.
（２）求一圈中第二条跑道比第一条跑道长多少米？
(3)若进行200米比赛,求第六道的起点Ｆ与圆心Ｏ的连线FO与OＡ的夹角∠ＦOA的度
数．(2002，淮坊市)
12。

我们常见到如图4那样图案的地面,他们分别是全用正方形或全用正六边形形状的材料铺成的,这样形状的材料能铺成平整、无空隙的地面，现在，问:
(1)像上面那样铺地面,能否全用正五边形的材料?为什么？
（２）你能不能另外想出一个用一种多边形（不一定是正多边形）的材料铺地的方案?把你想到的方案画成草图。

（３)请你再画出一个用两种不同的正多边形材料铺地的草图。

(2０00，安徽省）
13。

如图,是某工厂生产留下的大量三角形废料,量得∠A=75°,∠B=60°,AＢ=6０cm,该厂决定利用这些废铁料，焊成各边都相等的多边形铁块，用作广告牌，请计算你设计的所有焊接铁块的面积（不计焊接间隙的面积）．
14.如图(１）所示是某立式家俱(角书橱）的横断面,请你设计一个方案（角书橱高2米,
房间高2.6米,所以不必从高度方面考虑方案的设计),按此方案，可使该家俱通过图（２）中的长廊搬入房间,在图（2)中把你设计的方案画成草图，并说明按此方案可把家俱搬入房间的理由.（注：搬运过程中不准拆卸家俱,不准损坏墙壁）.(2002，济南市)
参考答案
【综合能力训练】
1。

5０4 ２。

26 3.2。

35 4．在Ｃ点经过A 关于CD 的对称点Ａ′Ａ′Ｂ交CD 于D ，9２２00元 ５.(1)24ｍ２ (2）18天,120m 3 ６.作Rt△ACB,使A Ｃ=R 1,BC=R ２，∠ＡCB ＝９0°,则ＡB 为符合要求的圆的半径 7。

第四种 8。

(1）
3
1 (2）30° （3)1０3－1５ 9．(１）会,1小时后 (2)6里/时 10．(1)2条 (2)取ａ=２0ｍ,b=3０m,由梯形中位线定理得,c=４0ｍ．同理,d ＝50m ，e =60ｍ． 11.(1)３6(2)６。

28 （3)∠FOA=２１．９5° 12.（１）不能,正五边形每一个内角为108°,而n×108°=3６0°无正整数解 （２）任何全等的正四边形均可 （3)略 １3．固定点B 或点C,然后将△ABC 连续翻折Ｓ=8Ｓ△ABＣ或Ｓ＝６S △ABＣ 14。

方案如图所示,如图(２）ＣE=0。

5，DE=2,D Ｈ＝2〈1。

45。

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