运筹学 第二章线性规划的对偶理论(研究生)

y1 min w 60 40 35 y2 y 3 5 3 3 15 y1 2 2 1 y 7 4 1 2 2 9 y3 2 4 5 12 y 0 1 y2 0 y 0 3
解：设y1,y2和y3（元/单位）分别代表乙厂收购糖、蛋 白质和脂肪的单价，乙厂收购原料付出的总费用为w元， 于是例2的数学模型为：
min w 60 y1 40 y2 35 y3 5 y1 3 y2 3 y3 15 2 y1 2 y2 y3 7 s .t . 4 y1 y2 2 y3 9 2 y 4 y 5 y 12 2 3 1 y1 , y2 , y3 0
例3：写出下列线性规划的对偶规划
min z 15 x1 24 x2 5 x3 s .t . 6 x2 x3 2 5 x1 2 x2 x3 1 x , x , x 0 2 3 1
y1 y2
解：原规划的对偶规划为
max w 2 y1 y2
5 y2 15 6 y 2 y 24 1 2 s .t . y ,y 0 1 2
得 min w 10 y1 8 y2 5 y1 2 y2 5 y1 4 y2 3 s .t . y1 3 y2 3 8 y 2 y 4 2 1 y1 , y2 无符号限制
s .t .
三、一般对偶规划
max z c j x j
不等式约束对应非负变量
二、非对称对偶规划
max z CX AX b X 0
min w Yb
YA C
叫做非对称的对偶规划。非对称的对偶规划可以由对 称对偶规划推出。 例4：写出下列线性规划问题的对偶规划。 max z 5 x1 3 x2 3 x3 4 x4
例1和例2的数学模型比较
max z 15 x1 7 x2 9 x3 12 x4 5 x1 2 x2 4 x3 2 x4 60 3 x1 2 x2 x3 4 x4 40 s .t . 3 x1 x2 2 x3 5 x4 35 x , x , x , x 0 1 2 3 4
yi 无符号限制 （i 1, 2, ... p ) （i p 1, ...m ) yi 0 m ( j 1, 2, ..., q ) aij yi c j i 1 m aij yi c j ( j q 1, ..., n) i 1
y1' y1 等式约束对应自由变量 y2' y2
' " ' " 令 y1 y1 y1 , y2 y2 y2
写出它的对偶规划
' " ' " min w 10 y1 10 y1 8 y2 8 y2 ' " ' " 5 y1 5 y1 2 y2 2 y2 5 ' " ' " y1 y1 4 y2 4 y2 3 ' " ' " y1 y1 3 y2 3 y2 3 ' " ' " 8 y1 8 y1 2 y2 2 y2 4 y' , y" , y ' , y" 0 1 1 2 2
北京物资学院运筹学教学课件
第二章
线性规划的对偶理论
北京物资学院信息学院 2010年10月
本章主要内容
第一节、对偶问题的提出 第二节、原问题与对偶问题 第三节、对偶问题的基本性质 第四节、影子价格 第五节、对偶单纯形方法
第六节、灵敏度分析
第七节、线性规划的求解软件
第一节、对偶问题的提出
例1 甲食品厂用糖、蛋白质和脂肪三种原料生产四种复 合食品A、B、C、D，复合食品中含有各种原料的数量、 复合食品的单价、三种原料的拥有量分别如下表所示， 问甲厂如何安排生产才能使总产值达到最大？
j 1 n
min w bi yi
i 1
m
(P)
n ( i 1, 2, ..., p ) aij x j bi j 1 n (D) a x b ( i p 1, ..., m ) i ij j j 1 xj 0 ( j 1, 2, ..., q ) ( j q 1, ..., n ) x j 无符号限制
例2. 假设乙食品厂欲将甲厂的原料收买过来，问乙厂至少 应付出多少代价，才能使甲厂放弃生产活动，出让原料？ 建立该问题的数学模型。
A B C D 原料拥有量 （单位）
含量（单位/公斤）
糖
蛋白质 脂肪 单价 （元/公斤）
5
3 3 15ຫໍສະໝຸດ Baidu
2
2 1 7
4
1 2 9
2
4 5 12
60
40 35
y1 y2 y3
一般对偶规划的特点
（1）原问题是“max，=,≤” 形式，对偶问题是“min， =,≥”形式 （2）原问题的每个等式约束，对应对偶问题一个自由变 量，原问题的每个不等式约束，对应对偶问题的一个非负 变量；反之亦然，即原问题中的每个非负变量对应的是对 偶问题中的一个不等式约束，而原始问题中的每个自由变 量对应对偶问题中的一个等式约束。 （3）原问题目标函数中的系数c就是对偶问题约束条件的 右端常数项，而原问题约束的右端常数项就是对偶问题目 标函数中的系数。 （4）如果用矩阵和向量形式写出问题(P)和(D)的约束， 可以看出这两个问题的约束系数矩阵互为转置。
以上两个线性规划分别称为线性规划的原问题和对偶问题。
第二节
原问题和对偶问题
一、对称对偶规划
二、非对称对偶规划
三、一般对偶规划 四、原问题和对偶问题的对应关系
一、对称的对偶规划
若两个线性规划分别是
Max z c1 x1 c2 x 2 ..... cn x n
Min w b1 y1 b2 y2 ..... bm ym
解 先将约束条件变形为“≤”形式 max z x1 x2 5 x3 7 x4
max z CX AX b X 0
则称它们是一对对称的对偶规划。
min w Yb YA C Y 0
对称对偶规划还可以写成表格形式，称为对偶表
Max z
原问题（求极大）
c1 x1 c2 x2
a12 a22 … am2 c2
Min w
… …
… … … … …
A B C D 含量（单位/公斤） 原料拥有量 （单位） 60 40 35
x1
糖 蛋白质 脂肪 单价 （元/公斤） 5 3 3 15
x2
2 2 1 7
x3
4 1 2 9
x4
2 4 5 12
建立其数学模型。
解：设甲厂安排A、B、C、D的产量分别为x1、 x2、 x3、 x4 公斤，总产值为z 元。于是，例1的数学模型 为：
令
60 b 40 35
Y ( y1 , y2 , y3 )
x1 x max z 15 7 9 12 2 x3 x4 5 2 4 3 2 1 3 1 2 x1 0 x 0 2 x3 0 x 0 4 x1 2 60 x2 40 4 x3 5 35 x 4
cn xn
a1n a2n … amn cn
右端 项
b1 b2 … bm
对 偶 问 题 求极小
b1 b2 … bm
y1 y2
a11 a21 …
ym
am1 c1
右端项
对偶规划中的两个问题分别称为原问题和对偶问题 （互为对偶）。
一对对称形式的对偶规划之间具有下面的对应关系。 (1)若一个模型为目标求“极大”，约束为“小于等于” 的不等式，则它的对偶模型为目标求“极小”，约束是 “大于等于”的不等式。即“max，≤”和“min，≥”相对 应。 (2) 一个模型是m个约束，n个变量，则它的对偶模型为n 个约束，m个变量。从约束系数矩阵看：一个模型中为Ａ， 则另一个模型中为AT。 (3)原问题目标函数系数是对偶问题的约束条件右端项； 原问题的约束条件右端项是对偶问题的目标函数系数。 (4)两个规划模型中的变量皆非负。
5 x1 x2 x3 8 x4 10 2 x1 4 x2 3 x3 2 x4 8 x 0 ( j 1, 2, 3, 4) j
解：将上述线性规划化成对称对偶规划的形式
max z 5 x1 3 x2 3 x3 4 x4 5 x1 x2 x3 8 x4 10 5 x1 x2 x3 8 x4 10 s .t . 2 x1 4 x2 3 x3 2 x4 8 2 x 4 x 3 x 2 x 8 1 2 3 4 x j 0 ( j 1, 2, 3, 4)
max z 15 x1 7 x2 9 x3 12 x4 5 x1 2 x2 4 x3 2 x4 60 3 x1 2 x2 x3 4 x4 40 s .t . 3 x1 x2 2 x3 5 x4 35 x , x , x , x 0 1 2 3 4
例5. 写出下面线性规划的对偶规划
max z x1 x2 5 x3 7 x4 x1 3 x2 2 x3 x4 25 2 x 7 x3 2 x4 60 1 30 s .t . 2 x1 2 x2 4 x3 5 x4 10 x1 , x2 0
C (15,7,9,12)
5 2 4 2 A 3 2 1 4 3 1 2 5
x1 x2 X x3 x 4
min w 60 y1 40 y2 35 y3 5 y1 3 y2 3 y3 15 2 y1 2 y2 y3 7 s .t . 4 y1 y2 2 y3 9 2 y 4 y 5 y 12 2 3 1 y1 , y2 , y3 0
a11 y1 a21 y2 .....am 1 ym c1 a11 x1 a12 x2 .....a1n xn b1 和 a21 x1 a22 x2 .....a2 n xn b2 a12 y1 a22 y2 .....am 2 ym c2 s .t . .................................... s .t . .................................... a x a x .....a x b a y a y .....a y c m1 1 m2 2 mn n m 2n 2 mn m n 1n 1 x j 0 j 1, 2, .....n yi 0 i 1, 2, .....m