抽象函数-题型大全(例题-含答案)

高考抽象函数技巧总结

由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号f(x)的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学

生对函数概念的理解，更好地掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。现将常见解法及意义总结如下：

一、求表达式：

1. 换元法：即用中间变量匚!表示原自变量x的代数式，从而求出f(x)，这也是证某些公式或等式常用的方法，此

法解培养学生的灵活性及变形能力。

x

例 1 ：已知f ( ) =2x • 1,求f (x).

x 1

解：设—u,贝V x — f (u) = 2 —■ 1 = --------------- 二f (x)= --------

x+1 1-^ 1-u 1-u 1-x

2. 凑合法：在已知f(g(x)) =h(x)的条件下，把h(x)并凑成以g(u)表示的代数式，再利用代换即可求

f (x).此解法简洁，还能进一步复习代换法。

1 3 1

例2:已知f (x ) = x 3 ,求f (x)

x x

1 1 1 11 1 1

解：••• f (x ) =(x )(x2-1 2)= (x )((x )2-3)又••• |x —|=|x| —- 1

x x x x x x | x|

2 3

f(x) =x(x -3) =x -3x, (| x | > 1)

3. 待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。

例3.已知f (x)二次实函数，且f(x ・1) • f(x-1) =X2+2X+4,求f(x).

解：设f (x) = ax2 bx c，则f (x 1) f (x「1) = a(x 1)2 b(x 1) c a(x「1)2 b(x「1) c l2(a c) =4

2 2 1 3

= 2ax 2bx 2(a c) =x 2x 4 比较系数得2a =1 =a ,b=1,c

2 2 2b =2

1 2 丄3

f (x) = 一X x -

2 2

4. 利用函数性质法：主要利用函数的奇偶性，求分段函数的解析式•

例4.已知y = f (x)为奇函数，当x>0时，f (x) = lg(x • 1),求f (x)

解：••• f (x)为奇函数，••• f (x)的定义域关于原点对称，故先求x<0时的表达式。••• - x>0, •••

f (-x) =lg( -X 1) =lg(1 _x),

f (x)为奇函数，••• lg(1 一 x) = f (_x) - - f (x) •••当 x <0 时 f (x) - _ lg(1 - x) /.

pg(1+x),xzO f (x)二

I —lg(1—x),X£O

1

例5.—已知f (x)为偶函数,g(x)为奇函数，且有f (x) + g(x)

,求f(x),g(x).

X —1 解：T f (x)为偶函数，g(x)为奇函

数，• f (_x) = f (x), g(_x) - -g(x),

1

不妨用-x 代换f(x) + g(x)= ------------

x —1 1

二 f (-x) g(-x) 即 f (x) - g(x) 口

_x _1

x

再代入①求出g(x)二再二 -1 x -1

例6 :设f(x)的定义域为自然数集，且满足条件 f(x T)二f (x) • f (y) xy ,及f (1)=1,求f(x)

解：••• f (x)的定义域为N,取y =1,则有f (x T) = f (x) x 1 •/ f(1)=1, • f (2) = f(1)+2, f (3) = f(2)

3 ……f(n) = f (n —1) n 以上各式相加，有 f(n)=1+2+3+……+ n =凹 耳••• f(x)=[x(x 1),x N 2 2

二、禾U 用函数性质，解 f(x)的有关问题 1. 判断函数的奇偶性：

例7已知f(x y) f (^y^2f (x)f (y),对一切实数x 、y 都成立，且f(0) = 0,求证f(x)为偶 函数。

证明：令x =0,则已知等式变为f (y)

f (-y) =2f (0) f (y)............. ①

在①中令 y =0 则 2 f (0) =2 f (0) •/ f (0)丰 0「. f (0) =1 • f(y) f ( - y) = 2f (y) /. f ^yH f (y) • f (x)为偶函数。 2. 确定参数的取值范围

例&奇函数f (x)在定义域(-1，1)内递减，求满足f (1 - m) • f (1 - m 2) ：：： 0的实数m 的取值范围。

2 2 2

解：由 f (1 - m) f (1 - m ) ：： 0 得 f (1 - m) ：： - f (1 - m )，T f (x)为函数，• f (1 - m) ：： f (m -

1)

一1 v 1 - m £ 1

又T f (x)在(-1，1)内递减，•

-1 ：： m 2 -1 1- 0 ：： m 1 2

1 - m m -1

3. 解不定式的有关题目

①中的x , 显见①+②即可消去g(x),求出函数f(x)二

5.赋值法：给自变量取特殊值，从而发现规律，求出

f (x)的表达式

例9 :如果f(x) = ax2 bx c对任意的t有f (2 • t)二f2 -t),比较f (1、f (2)、f⑷的大小

解：对任意t有f (2 • t) = f 2 —t) ••• x =2为抛物线y =ax2• bx • c的对称轴

又•••其开口向上•••f (2)最小，f (1)= f(3) T在］2,+^ )上，f (x)为增函数

• f (3)< f (4), • f (2)< f (1)< f (4)

五类抽象函数解法

1、线性函数型抽象函数

线性函数型抽象函数，是由线性函数抽象而得的函数。

例1、已知函数f (x)对任意实数x, y,均有f (x+ y)= f (x) + f (y),且当x> 0时，f (x)> 0, f (- 1)=- 2,求f (x)在区间［—2, 1］上的值域。

分析：由题设可知，函数f (x)是'■■■■ ■■ 1:的抽象函数，因此求函数f (X)的值域，关键在于研

究它的单调性。

解：设孟I <比.则心-石> 0 .•当孟>0时"/(兀)》0 心-孟］)> 0 ,

・ ?

― 一；，即>「("：，••• f(X)为增函数。

在条件中，令y=—X,则「宀；•"」•：•，再令x= y = 0,则f (0)= 2 f (0 ),• f (0)= 0, 故f (—x)= f (x), f (x)为奇函数，

• f (1)=—f (—1)= 2,又f (—2)= 2 f (—1 )=—4,

•- f (x)的值域为［—4, 2］o

例2、已知函数f (x)对任意……匸二，满足条件f (x)+ f ( y)= 2 + f (x + y)，且当x> 0时，f

(x)> 2, f (3)= 5，求不等式?- ’ 的解。

分析：由题设条件可猜测：f (x)是y = x+ 2的抽象函数，且f (x)为单调增函数，如果这一猜想正确，也就可以脱去

不等式中的函数符号，从而可求得不等式的解。解：设*.：；,•.•当

孟>0时』㈤>2,.. /(比-和》2,则

jg - /［(^a -XjJ + xJ - -盂J +-2 > 2 + 3閒-2-/(帀)

即*八'I , • f (X)为单调增函数。•

/©- /(2 + 1)-/®+ /(I) - 2 = ［/(I) + /Q)- 2］ + /(I) - 2 = 3/(1)-4

又• f (3)= 5,. f (1) = 3。. ；- f - ■- - J