抽象函数-题型大全(例题-含答案)
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高考抽象函数技巧总结
由于函数概念比较抽象,学生对解有关函数记号f(x)的问题感到困难,学好这部分知识,能加深学
生对函数概念的理解,更好地掌握函数的性质,培养灵活性;提高解题能力,优化学生数学思维素质。现将常见解法及意义总结如下:
一、求表达式:
1. 换元法:即用中间变量匚!表示原自变量x的代数式,从而求出f(x),这也是证某些公式或等式常用的方法,此
法解培养学生的灵活性及变形能力。
x
例 1 :已知f ( ) =2x • 1,求f (x).
x 1
解:设—u,贝V x — f (u) = 2 —■ 1 = --------------- 二f (x)= --------
x+1 1-^ 1-u 1-u 1-x
2. 凑合法:在已知f(g(x)) =h(x)的条件下,把h(x)并凑成以g(u)表示的代数式,再利用代换即可求
f (x).此解法简洁,还能进一步复习代换法。
1 3 1
例2:已知f (x ) = x 3 ,求f (x)
x x
1 1 1 11 1 1
解:••• f (x ) =(x )(x2-1 2)= (x )((x )2-3)又••• |x —|=|x| —- 1
x x x x x x | x|
2 3
f(x) =x(x -3) =x -3x, (| x | > 1)
3. 待定系数法:先确定函数类型,设定函数关系式,再由已知条件,定出关系式中的未知系数。
例3.已知f (x)二次实函数,且f(x ・1) • f(x-1) =X2+2X+4,求f(x).
解:设f (x) = ax2 bx c,则f (x 1) f (x「1) = a(x 1)2 b(x 1) c a(x「1)2 b(x「1) c l2(a c) =4
2 2 1 3
= 2ax 2bx 2(a c) =x 2x 4 比较系数得2a =1 =a ,b=1,c
2 2 2b =2
1 2 丄3
f (x) = 一X x -
2 2
4. 利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式•
例4.已知y = f (x)为奇函数,当x>0时,f (x) = lg(x • 1),求f (x)
解:••• f (x)为奇函数,••• f (x)的定义域关于原点对称,故先求x<0时的表达式。••• - x>0, •••
f (-x) =lg( -X 1) =lg(1 _x),
f (x)为奇函数,••• lg(1 一 x) = f (_x) - - f (x) •••当 x <0 时 f (x) - _ lg(1 - x) /.
pg(1+x),xzO f (x)二
I —lg(1—x),X£O
1
例5.—已知f (x)为偶函数,g(x)为奇函数,且有f (x) + g(x)
,求f(x),g(x).
X —1 解:T f (x)为偶函数,g(x)为奇函
数,• f (_x) = f (x), g(_x) - -g(x),
1
不妨用-x 代换f(x) + g(x)= ------------
x —1 1
二 f (-x) g(-x) 即 f (x) - g(x) 口
_x _1
x
再代入①求出g(x)二再二 -1 x -1
例6 :设f(x)的定义域为自然数集,且满足条件 f(x T)二f (x) • f (y) xy ,及f (1)=1,求f(x)
解:••• f (x)的定义域为N,取y =1,则有f (x T) = f (x) x 1 •/ f(1)=1, • f (2) = f(1)+2, f (3) = f(2)
3 ……f(n) = f (n —1) n 以上各式相加,有 f(n)=1+2+3+……+ n =凹 耳••• f(x)=[x(x 1),x N 2 2
二、禾U 用函数性质,解 f(x)的有关问题 1. 判断函数的奇偶性:
例7已知f(x y) f (^y^2f (x)f (y),对一切实数x 、y 都成立,且f(0) = 0,求证f(x)为偶 函数。
证明:令x =0,则已知等式变为f (y)
f (-y) =2f (0) f (y)............. ①
在①中令 y =0 则 2 f (0) =2 f (0) •/ f (0)丰 0「. f (0) =1 • f(y) f ( - y) = 2f (y) /. f ^yH f (y) • f (x)为偶函数。 2. 确定参数的取值范围
例&奇函数f (x)在定义域(-1,1)内递减,求满足f (1 - m) • f (1 - m 2) ::: 0的实数m 的取值范围。
2 2 2
解:由 f (1 - m) f (1 - m ) :: 0 得 f (1 - m) :: - f (1 - m ),T f (x)为函数,• f (1 - m) :: f (m -
1)
一1 v 1 - m £ 1
又T f (x)在(-1,1)内递减,•
-1 :: m 2 -1 1- 0 :: m 1 2
1 - m m -1
3. 解不定式的有关题目
①中的x , 显见①+②即可消去g(x),求出函数f(x)二
5.赋值法:给自变量取特殊值,从而发现规律,求出
f (x)的表达式
例9 :如果f(x) = ax2 bx c对任意的t有f (2 • t)二f2 -t),比较f (1、f (2)、f⑷的大小
解:对任意t有f (2 • t) = f 2 —t) ••• x =2为抛物线y =ax2• bx • c的对称轴
又•••其开口向上•••f (2)最小,f (1)= f(3) T在]2,+^ )上,f (x)为增函数
• f (3)< f (4), • f (2)< f (1)< f (4)
五类抽象函数解法
1、线性函数型抽象函数
线性函数型抽象函数,是由线性函数抽象而得的函数。
例1、已知函数f (x)对任意实数x, y,均有f (x+ y)= f (x) + f (y),且当x> 0时,f (x)> 0, f (- 1)=- 2,求f (x)在区间[—2, 1]上的值域。
分析:由题设可知,函数f (x)是'■■■■ ■■ 1:的抽象函数,因此求函数f (X)的值域,关键在于研
究它的单调性。
解:设孟I <比.则心-石> 0 .•当孟>0时"/(兀)》0 心-孟])> 0 ,
・ ?
― 一;,即>「(":,••• f(X)为增函数。
在条件中,令y=—X,则「宀;•"」•:•,再令x= y = 0,则f (0)= 2 f (0 ),• f (0)= 0, 故f (—x)= f (x), f (x)为奇函数,
• f (1)=—f (—1)= 2,又f (—2)= 2 f (—1 )=—4,
•- f (x)的值域为[—4, 2]o
例2、已知函数f (x)对任意……匸二,满足条件f (x)+ f ( y)= 2 + f (x + y),且当x> 0时,f
(x)> 2, f (3)= 5,求不等式?- ’ 的解。
分析:由题设条件可猜测:f (x)是y = x+ 2的抽象函数,且f (x)为单调增函数,如果这一猜想正确,也就可以脱去
不等式中的函数符号,从而可求得不等式的解。解:设*.:;,•.•当
孟>0时』㈤>2,.. /(比-和》2,则
jg - /[(^a -XjJ + xJ - -盂J +-2 > 2 + 3閒-2-/(帀)
即*八'I , • f (X)为单调增函数。•
/©- /(2 + 1)-/®+ /(I) - 2 = [/(I) + /Q)- 2] + /(I) - 2 = 3/(1)-4
又• f (3)= 5,. f (1) = 3。. ;- f - ■- - J