离散系统的数学模型与分析

bmr (k m)
——后向差分方程 anc(k ) b0r (k m) b1r (k m 1) bmr (k ) ——前向差分方程
2.1.2 差分方程的解法
2.2 脉冲传递函数
2.2.1 脉冲传递函数的定义 2.2.2 差分方程与脉冲传递函数
Z变换 差分方程 Z反变换 传递函数
u( z) H1 ( z ) 1 H1 ( z ) H 2 ( z )
H 2 ( z)
2.3 状态空间描述
2.3.1 离散系统的状态方程
连续系统的状态空间描述
X (k 1) FX (k ) GU (k ) Y (k ) CX (k ) DU (k )
X (k ) x1 (k ) x2 (k ) xn (k )
2.4.2 离散系统的稳定条件
系统的特征根全部位于Z平面的单位圆内
2.4.3 离散系统稳定性判据（代数判据）
1. 朱利稳定性判据 设离散系统的特征根方程为
A( z) a0 z n a1z n1
an1z an 0
若a0>0, 当且仅当朱利表中所有奇数行第1列系数均大于零时，该方程 的全部特征根才位于单位圆内。 若奇数行第1列有小于零的系数，则小于零的系数的个数等于位于单位 圆外的特征根的个数。
z 1
1 E ( z ) R( z ) C ( z ) R( z ) 1 D( z )G( z )
稳态误差
ess lim(1 z 1 )
z 1
1 R( z ) 1 D( z )G( z )
2.5.3 几点讨论 1. 系统稳定才有稳态误差
2. ess= 并非系统不稳定
3. 稳态误差
原理误差
附加误差
2.5.4 干扰作用下的稳态误差计算
N(z) 0 E(z)
D(z)
u(z)
c(z)
G1(z)
G2(z)
E ( z ) C ( z )
ess lim(1 z 1 )
z 1
G2 ( z ) N ( z) 1 D( z )G1 ( z )G2 ( z )
2.4 离散系统稳定性分析
2.4.1 S平面与Z平面的相互关系 1. S平面虚轴 S左半平面 S右半平面 Z平面单位圆 Z平面单位圆内 Z平面单位圆外
2. S平面上主带与旁带重复映射在整个Z平面上。 3. S平面上实轴平行线（等线）映射到Z平面是 从原点出发的射线。 4. S平面上虚轴平行线（等衰减系数线）映射到Z平面是 同心圆。 5. S平面上等阻尼比线映射到Z平面是螺旋线。
k
i
T
kT i )
2.6.1 极点位置与动态响应的关系 1. 极点位置位于实轴
R( z ) 1
G ( z ) ci z z pi
脉冲响应
c(k ) Z[G( z) R( z)] ci pik
例： 已知数字滤波器如下：
0.126 z 3 D( z ) ( z 1)( z 0.55)( z 0.6)( z 0.65)
s j
A( ) ( )
z e jT
A( ) ( )
2.7.2 离散系统频率特性计算
1 . 幅相特性曲线 例： 系统的开环脉冲传递函数为 试绘制开环幅相特性曲线 解： 频率特性 D(e
jT
D( z )
0.368( z 0.722) , T 1s ( z 1)( z 0.368)
2. w变换与劳斯稳定性判据 w变换
z w 1 z 1 或 w w 1 z 1
－－双线性变换
2.5 离散系统稳态误差分析
2.5.1 稳态误差的定义
r(k) e(k)
D(z)
u(k)
G(z)
c(k)
2.5.2 稳态误差的计算
E ( z ) R( z ) C ( z )
ess lim(1 z 1 ) E ( z )
2.6 离散系统时域响应特性分析
2. 极点为复数
R( z ) 1
ci 1 z ci z G( z) z pi z pi 1
k
pi,i 1 pi e ji
ci,i 1 ci e ji
脉冲响应
c(k ) Z [G( z ) R( z )] ci pi (e j ( ki i ) e j ( ki i ) ) 2 ci pi cos(
2.2.3 系统的脉冲传递函数
e( z )
H1 ( z)
u( z)
e( z )
H1 ( z ) H 2 ( z )
H1 ( z ) H 2 ( z )
u( z)
H 2 ( z)
e( z )
H1 ( z)
H 2 ( z)
H1 ( z)
u( z)
e( z )
u( z)
e( z )
u( z)
e( z )
离散系统的数学模型与分析
主要内容
• 离散系统的数学模型（差分方程，脉冲传递函数）
• 离散系统的分析方法
2.1 Z变换与差分方程
2.1.1 差分方程的一般形式
c(k ) a1c(k 1)
c(k n) a1c(k n 1)
anc(k n) b0r (k ) b1r (k 1)
T T
X AX Bu y CX Du
n维状态向量 m维控制向量
U (k ) u1 (k ) u2 (k )
um (Байду номын сангаасk )
Y (k ) y1 (k )
y2 ( k )
y p (k )
T
p维输出向量
2.3.2 由脉冲传递函数建立状态方程
Y ( z) bn z n bn1 z n1 b1 z b0 G( z ) n U ( z ) z an1 z n1 a1 z a0
估计它在单位阶跃输入下的时间响应及稳态值
例：在z平面上有4对共扼复数，试分析他们的脉冲响应。
2.7 离散系统频域分析
2.7.1 离散系统频率特性定义
连续系统 sin t 离散系统 sin kT
A sin(t ) A sin( kT )
G ( s) G( z)
频率特性 G ( j ) G ( s) 频率特性G (e jT ) G ( z )