高中数学人教版必修两点间的距离教案(系列一)

两点间的距离

教学目标

1.使学生掌握平面内两点间的距离公式及其推导过程；通过具体的例子来体会坐标法对于证明简单的平面几何问题的重要性.

2.能灵活运用此公式解决一些简单问题；使学生掌握如何建立适当的直角坐标系来解决相应问题，培养学生勇于探索，善于发现，独立思考的能力以及不断超越自我的创新品质.

重点难点

教学重点：①平面内两点间的距离公式.

②如何建立适当的直角坐标系.

教学难点：如何根据具体情况建立适当的直角坐标系来解决问题.

安排

1

教学过程

导入新课

(1)如果A、B是x轴上两点，C、D是y轴上两点，它们的坐标分别是x A、x B、y C、y D，那么|AB|、|CD|怎样求?

(2)求B(3，4)到原点的距离.

(3)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，求|AB|.

推进新课

新知探究

提出问题

①如果A、B是x轴上两点，C、D是y轴上两点，它们坐标分别是x A、x B、y C、y D，那么|AB|、|CD|怎样求?

②求点B(3，4)到原点的距离.

③已知平面上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)，如何求P1(x1,y1),P2(x2,y2)的距离|P1P2|.

④同学们已知道两点的距离公式，请大家回忆一下我们怎样知道的(回忆过程).

讨论结果：①|AB|=|x B x A|,|CD|=|y C y D|.

②通过画简图，发现一个Rt△BMO，应用勾股定理得到点B到原点的距离是5.

③

图1

在直角坐标系中，已知两点P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)，如图1,从P 1、P 2分别向x 轴和y 轴作垂线P 1M 1、P 1N 1和P 2M 2、P 2N 2，垂足分别为M 1(x 1，0)、N 1(0，y 1)、M 2(x 2，0)、N 2(0，y 2)，其中直线P 1N 1和P 2M 2相交于点Q.

在Rt △P 1QP 2中，|P 1P 2|2=|P 1Q|2|QP 2|2.

因为|P 1Q|=|M 1M 2|=|x 2x 1|,|QP 2|=|N 1N 2|=|y 2y 1|，

所以|P 1P 2|2=|x 2x 1|2|y 2y 1|2.

由此得到两点P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)的距离公式：|P 1P 2|=2

12212)()(y y x x -+-. ④(a)我们先计算在x 轴和y 轴两点间的距离.

(b)又问了B(3,4)到原点的距离，发现了直角三角形.

(c)猜想了任意两点间距离公式.

(d)最后求平面上任意两点间的距离公式.

这种由特殊到一般，由特殊猜测任意的思维方式是数学发现公式或定理到推导公式、证明定理经常应用的方法.同学们在做数学题时可以采用

应用示例

例1 如图2，有一线段的长度是13，它的一个端点是A(4，8)，另一个端点B 的纵坐标是3，求这个端点的横坐标.

图2

解:设B(x ，3)，根据|AB|=13，

即(x4)2(38)2=132，解得x=8或x=16.

点评：学生先找点，有可能找不全，丢掉点，而用代数解比较全面.也可以引至到A(4，8)点距离等于13的点的轨迹(或集合)是以A 点为圆心、13为半径的圆上与y=3的交点，应交出两个点.

例2 已知点A(1，2)，B(2，7)，在x 轴上求一点，使|PA|=|PB|,并求|PA|的值.

解:设所求点P(x ，0)，于是有2222)70()2()20()1(-+-=

-++x x .

由|PA|=|PB|,得xx5=x 24x11,解得x=1.

即所求点为P(1，0),且|PA|=22)20()11(-++=22. 拓展提升

已知0＜x ＜1,0＜y ＜1,求使不等式222222)1()1(y x y x y x +-+-+++

22)1()1(y x -+-+≥22中的等号成立的条件.

答案：x=y=

2

1. 课堂小结

通过本节学习，要求大家:

①掌握平面内两点间的距离公式及其推导过程；

②能灵活运用此公式解决一些简单问题；

③掌握如何建立适当的直角坐标系来解决相应问题.

作业

课本习题3.3 A 组6、7、8；B 组6.