指数族和几何分布
概率论答案 - 李贤平版 - 第三章
第三章 随机变量与分布函数1、直线上有一质点,每经一个单位时间,它分别以概率p 或p -1向右或向左移动一格,若该质点在时刻0从原点出发,而且每次移动是相互独立的,试用随机变量来描述这质点的运动(以n S 表示时间n 时质点的位置)。
2、设ξ为贝努里试验中第一个游程(连续的成功或失败)的长,试求ξ的概率分布。
3、c 应取何值才能使下列函数成为概率分布:(1);,,2,1,)(N k Nck f Λ==(2),,2,1,!)(Λ==k k c k f k λ 0>λ。
4、证明函数)(21)(||∞<<-∞=-x e x f x 是一个密度函数。
5、若ξ的分布函数为N (10,4),求ξ落在下列范围的概率:(1)(6,9);(2)(7,12);(3)(13,15)。
6、若ξ的分布函数为N (5,4),求a 使:(1)90.0}{=<a P ξ;(2)01.0}|5{|=>-a P ξ。
7、设}{)(x P x F ≤=ξ,试证)(x F 具有下列性质:(1)非降;(2)右连续;(3),0)(=-∞F 1)(=+∞F 。
8、试证:若αξβξ-≥≥-≥≤1}{,1}{12x P x P ,则)(1}{21βαξ+-≥≤≤x x P 。
9、设随机变量ξ取值于[0,1],若}{y x P <≤ξ只与长度x y -有关(对一切10≤≤≤y x ),试证ξ服从[0,1]均匀分布。
10、若存在Θ上的实值函数)(θQ 及)(θD 以及)(x T 及)(x S ,使)}()()()(ex p{)(x S D x T Q x f ++=θθθ,则称},{Θ∈θθf 是一个单参数的指数族。
证明(1)正态分布),(20σm N ,已知0m ,关于参数σ;(2)正态分布),(200σm N ,已知0σ,关于参数m ;(3)普阿松分布),(λk p 关于λ都是一个单参数的指数族。
但],0[θ上的均匀分布,关于θ不是一个单参数的指数族。
第二篇,可靠性概念和指标
e
其中,μ是随机 变量t的均值, σ是随机变量t的 标准离差。
tf t dt
1
2 2 t f t dt
注:1、一种常见的分布,它具有对称性;2、零件 的应力和强度、部件的寿命为正态分布。3、均值决 定正态分布的位臵,标准差决定正态曲线的形状。
《机械可靠性 设计》讲义
特征量:数学期望μ、方差σ2
1 1 b
2
2 2 1 1 1 b b
2
其中:
s
x
s 1
e
x
dx
0
《机械可靠性 设计》讲义
讨论:
1: b它是产品一致性的的一种度量,b越大离 散越小, b越小离散越大;
2:θ反映寿命与可靠度的关系; θ较小时可靠 度下降快。
3:b<1,可以描述零件早期失效分布;b>1 =1,此时λ(t)=1/ θ=常数,曲线呈指数 分布形状。 b>1, λ(t)的形状和零件的耗 损失效期的曲线形状相似。
《机械可靠性 设计》讲义
例:某重要零件,工作时承受对称循环应力 σ1=379N/mm2。根据试验知,该零件疲劳强度服从 威布尔分布,并测得形状参数β=2.65,最小应力 σmin=344.5N/mm2 ,尺度参数σ1a=531N/mm2 , 试计算该零件的可靠度。若可靠度时R=0.999, 其工作应力σ’-1为多少?
t
1 N R t t 时刻附近单位时间失效 t 时刻附近仍正常工作的 dN
Q
的产品数 产品数
t
f t R t
dt
《机械可靠性 设计》讲义
它反映某一时刻t残存的产品在其后紧接着的一个 单位时间内失效的产品数,对t时刻的残存的产品 数之比。它直观地反映了每一时刻的失效情况。
数理统计第二章抽样分布2.6节指数族
C ( )exp{Q1 ( )T1 ( x ) Q2 ( )T2 ( x )}h( x )
7
2 其中C ( )= exp 2 , Q1 ( )= 2 , 2 2 1
Q2 ( )=
1 2
2 , T ( x )= x , T ( x ) x , h( x ) 1 1 2 2
f ( x, ) C ( )exp{Q1 ( )T1 ( x ) Q2 ( )T2 ( x )}h( x )
2 n n/ 2 n 其中C ( )=(2 ) exp 2 , Q1 ( )= 2 , 2 n n 1 Q2 ( )= 2 ,T1 ( x )= xi,T2 ( x ) xi2 , h( x ) 1 2 i 1 i 1
1 e exp{ x log } x! p( x, ) C ( )exp{Q1 ( )T1 ( x )}h( x )
其中C ( )=e , Q1 ( )= log,
T1 ( x ) x , h( x ) 1/ x !
因此根据定义Poisson分布族是指数族.
15
双参数指数族的密度函数为 1 x p( x; , ) exp{ }I[ x ] , , 0 其中和 是两个参数,它的支撑集为
{ x : p( x; , ) 0} =( , ) 与未知参数有关,因此双参数指数分布不是指数族.
n
n
1
n exp xi I[ xi 0,i 1,2, i 1
,n]
,n ]
n n n exp xi ( 1) log xi I[ xi 0,i 1,2, n (( )) i 1 i 1
multinomial 指数族分布形式
multinomial 指数族分布形式Multinomial分布是一类离散型概率分布,它是多项式分布的推广。
在统计学中,Multinomial分布通常被用于表示一个试验能够分为多个不同类别的结果。
在自然语言处理领域中,Multinomial分布常常被用于描述文本的词频统计。
Multinomial分布可以使用指数族分布形式来表达。
指数族分布是一个常见的概率分布形式,它的特点是被一个统一的指数函数所描述,并且可以被表示为有限维空间上的正交多项式。
具体来说,一个Multinomial分布X可以被表示为:$$X \sim Multinomial(n, \boldsymbol{p})$$其中n表示试验的次数,$\boldsymbol{p}$是一个k维向量,表示各类别出现的概率。
在这种情况下,k表示试验能够分为k个不同类别。
Multinomial分布的概率质量函数可以表示为:$$P(X_1=x_1, ..., X_k=x_k) = {n \choose x_1, ..., x_k}\prod_{i=1}^k p_i^{x_i}$$其中${n \choose x_1, ..., x_k}=\frac{n!}{x_1!...x_k!}$是二项式系数。
这个例子中的多项式是二项式,因为每个试验只有两个不同类别。
为了将Multinomial分布表示为指数族分布,我们需要将其转化为类别与非类别两种结果的二分时分布。
我们可以定义一个新的二分式分布变量$Y_i$,表示一个试验是否属于类别i。
换句话说,$Y_i=1$表示第i类被抽中,$Y_i=0$表示第i类没有被抽中。
根据Multinomial分布的定义,我们可以得到:$$P(Y_1=y_1, ..., Y_k=y_k) = {n \choose \sum_{i=1}^k y_i}\prod_{i=1}^k p_i^{y_i}(1-p_i)^{n-y_i}$$其中$\sum_{i=1}^k y_i$代表被选择的类别数量。
[转载]二项分布,几何分布,帕斯卡分布,超几何分布,泊松分布之关系
[转载]⼆项分布,⼏何分布,帕斯卡分布,超⼏何分布,泊松分布之关系原⽂地址:⼆项分布,⼏何分布,帕斯卡分布,超⼏何分布,泊松分布之关系作者:百灵雀⼆项分布,⼏何分布和帕斯卡分布都是基于独⽴的伯努利试验。
⼆项分布:描述在给定的n次试验中成功x次的概率⼏何分布:描述第⼀次成功发⽣在第x次的概率帕斯卡分布:负⼆项分布的正整数形式,描述第n次成功发⽣在第x次的概率,因此⼏何分布是n=1的帕斯卡分布特例。
超⼏何分布:描述的是总体有限的⽆放回抽样问题。
总体有N个个体,其中具有某⼀特点的个体有M个,如果从中抽取n个,其中带有这⼀特点的样本为x个的概率。
超⼏何分布中我们常常希望推断的是N(已知M)或者M(已知N)。
例如要知道河⾥有多少鱼,可以打捞M条做标记,过段时间认为这些做了标记的鱼都均匀分散在⽔中以后,再打捞n条,其中具有带有标记的鱼为m条,推断鱼的总数N。
超⼏何分布 V.S. ⼆项分布:两者都是抽样,只不过超⼏何分布是⽆放回抽样,⼆项分布是有放回抽样。
当超⼏何分布中N很⼤,⽽n很⼩时,⽆放回抽样可以近似得看成有放回抽样,也就是超⼏何分布可以⽤⼆项分布近似。
泊松分布 V.S. ⼆项分布:泊松分布可以⽤来近似⼆项分布,当⼆项分布中,n很⼤,⽽p很⼩,np⼜是⼀个⼤⼩合适的数时,可以⽤Poisson(np)来近似⼆项分布。
binomial(x;n,p)=poisson(x,np)例如,⼀个城市有10万⼈,在⼀个⼩时之内,每个⼈来到某个车站的概率均为0.001,那么在⼀个⼩时之内,这个车站会有多少⼈到来呢?这是⼀个⼆项分布,n=10万,p=0.001,显然期望等于np=100⼈。
如果让求在⼀个⼩时之内有150⼈到来的概率,当然可以⽤⼆项分布,但⾥⾯的组合数不好计算,这时就可以⽤泊松分布近似:认为在⼀个⼩时内,这个车站到来的⼈数服从lambda=np=100的泊松分布。
也就是说泊松分布常常⽤来描述总体很⼤,对于总体中每个个体来说事件发⽣的概率很⼩(但总体中发⽣事件的概率=np,就不是⼀个⼩数字),在⼀段时间内总体中发⽣事件的次数为x的概率。
充分统计量_完备统计量_指数分布族
f ( X1,, X n )dF1( X1)dFn ( X n ) 0 f ( X (1) ,, X (n) )
定义(有界完全性):设变量 X 的样本空间为 (x, x ) ,分布族为{ p , }, t(x) 为定义
于 X 取 值 于 ( f , f ) 的 统 计 量 , 其 分 布 族 为 { pT , } , 若 对 任 何 满 足 条 件 ”
P
X
x
T
X
t
P
X P
x,T
T X
X t
t
P P T t
0.
也与 无关.因此,条件分布 f x t f x t 与无关,即T X 是的充分统计量.
必要性 设 T X 是 的充分统计量,由充分统计量的定义, P X x T X t 与
参数 无关,它是 x 的函数,记为 h x. 于是,对任意固定的 t ,当 x At 时,T x t
k
| (x) | exp{ wjTj (x)}d j 1
③ 设 X ( X1,, X n ) 是 来 自 指 数 型 分 布 标 准 形 式 的 一 个 样 本 , 则 有 统 计 量
n
n
(T1( X ),,Tk ( X )) ( T1(xi ),, Tk (xi )) 是指数型分布族的充分统计量.
记为 h x1, xn 或 h X ,令 At X :T X t,当 x At 时有
T t X1 x1,, X n xn,
故
P X1 x1,, X n xn; P X1 x1,, X n xn ,T t;
P X1 x1,, X n xn T t P T t;
其中是通过统计量的取值而依赖于样本的. 证明:一般性结果的证明超出本课程范围,此处我们将给出离散型随机变量下的证明,
《贝叶斯统计》课程教学大纲
《贝叶斯统计》课程教学大纲(2004年制定,2006年修订)课程编号:060046英文名:Bayesian Statistics课程类别:统计学专业选修课前置课:微积分、概率论与数理统计后置课:学分:3学分课时:54课时主讲教师:陈耀辉等选定教材:茆诗松,贝叶斯统计,北京:中国统计出版社,1999课程概述:贝叶斯学派是数理统计中一个重要的学派,它有鲜明的特点和独到的处理方法,在国际上贝叶斯学派与非贝叶斯学派的争论是很多的。
本课程重点介绍贝叶斯统计推断的理论、方法及其基本观点,同时对贝叶斯方法和经典方法在历史上的重大分歧也适当地予以介绍。
通过本课程的学习能系统地掌握贝叶斯统计的基本理论、方法和应用,特别是贝叶斯统计中所具特色的一些处理方法及相应的理论。
主要内容有:先验分布与后验分布的基本概念、后验分布的计算方法、估计及假设检验、贝叶斯统计决策方法等。
教学目的:通过该门课程的学习,使学生能了解贝叶斯学派的基本观点和基本思想,了解贝叶斯学派和频率学派联系和区别,了解贝叶斯统计的最新研究进展,能够系统地掌握贝叶斯统计的基本理论、基本方法,更重要的是掌握贝叶斯统计具有特色的一些处理方法以及相应的理论,用以分析问题、解决问题。
教学方法:根据该门课程的特点,在利用传统的教学方法讲授理论的同时,注重案例教学,特别是要适当地运用研讨性教学方法,而且要适时运用创新教学方法,即教师应依据教材对教学内容作合理的安排,讲透重点难点,注意本学科研究的最新成果和前沿知识,既要教学生学习知识,又要培养学生的能力,特别是要培养学生的创新意识和创新能力,争取开展一些第二课堂活动。
各章教学要求及教学要点第一章引论课时分配:2课时教学要求:通过本章的学习,要求学生掌握贝叶斯统计理论的基本观点,了解贝叶斯统计学派和经典统计学派之间的重大分歧,了解现代贝叶斯统计理论的研究现状及贝叶斯统计理论的应用,重点掌握贝叶斯统计的基本思想,深刻理解“概率”、“统计”的不同的哲学解释,学习他们各自的优点来分析问题、解决问题。
复杂网络与人类动力学中的常见分布律及数据拟合、参数估计
复杂网络与人类动力学中的常见分布律及数据拟合、参数估计基本术语连续分布的概率密度函数PDF:probability density function离散分布的概率分布函数PMF:probability mass function连续分布的累积分布函数CDF:cumulative distribution function,F(a)=P(x<a)连续分布的互补累积分布函数CCDF:complementary cumulative distribution function,F(a)=P(x>a)方差:variance 标准差:standard deviation 均值:mean 期望:expectation横坐标:abscissa 纵坐标:ordinate 坐标系:coordinate system最小二乘回归:Ordinary least-square (OLS) regression 极大似然估计:Maximum likelihood estimation (MLE) K-S检验:Kolmogorov-Smirnov test 拟合优度:Goodness-of-fit 显著性水平:Significance level常见的分布律●正态/高斯分布Normal distribution / Gaussian distribution连续型正态分布是一种最重要最广泛的分布形式,和其它类型的分布(如泊松分布、二项分布等)有着密切关系。
The normal (or Gaussian) distribution is a continuous probability distribution that has a bell-shaped probability density function, known as the Gaussian function or informally the bell curve.PDF:其中为均值,为标准差。
09几何分布类解读
分布名称 01几何分布一型 02数学标记 ()Geo p 1或Geo 分布函数分布图像也可以用点连也可以用点连密度函数或()x P Xx pq ==密度图像 (质量函不分析使用也可以用竖线连也可以用竖线连特征函数,其中普母函数矩母函数,,其中生存函数离散型 自由度值位置参数成功概率服从参数为的分布成功概率(p 为成功概率)形状参数规模参数 支撑集域中位数值(若是整数,则中位数不唯一) (若是整数,则中位数不唯一)众数数值 1偏态数值峰态数值熵值数值焓值数值期望数值 ,2(),()E X q p Var X q p ==方差数值原点矩值,()(1),ln tX t E e p qe t q =-<-并且是一个p = 1/6的几何分布。
附注联系 呈几何分布的随机变量X 的呈几何分布的随机变量Y 的为的几何分布族复合几何分布二维几何分布无记忆性:P(X=k+1/X >k)=P(X=1)。
几何分布的无记忆性(即对任何正整数m,n ,有P(X>m+n/X>m)=P(X>n)),也就是说,在已经作了m 次失败试验的条件下,还需要继续作n 次以上的试验的可能性,已从一开始就需要作n 次以上试验的可能性是一致的。
这表明,几何分布在后面的计算中,把过去的m 次失败的信息遗忘了,就像刚开始计算一样。
设是取自总体X 的一个样本,总体X 服从参数为几何分布,即,其中未知,,则的最大似然估计:似然函数 ,对数似然函数,,解得的最大似然估计量为。
超几何分布类(不放回分布类)名称数学标记Hypergeometric 超几何X 分布见下面注释1密度函数第一定义第二定义,而,其中或密度图像概率质量函数n1 = 5,n2 = 20和n3 = 30所示。
概率质量函数对费舍尔的非中心超几何分布概率质量函数Wallenius 非中心的超几何分布不同的值特征函数普母函数 矩母函数生存 度值 位置参数,是人口规模成功国家人口数量(n 1, n 2, n 3),, ,,形状参数 是成功数量,N 是抽取数量 是一个二项式系数规模参数 支撑集域中位数值 众数数值,其中, ,偏态数值峰态见下面注释2 数值 期望数值 或或NnM,其中方差数值或原点矩值 中心矩值其他 性质 几何意义描述的概率成功从一个有限的不重复了的大小包含完全的成功。
超指数分布
概率分布
01 概念
03 指数分布
目录
02 概率分布 04 概率密度
基本信息
超指数分布(hyperexponential distribution)是一种概率分布。有k个平行的服务台,服务时间均服从负 指数分布,平均服务时间分别为1/μi(i=1,2,…,k),一个顾客到达后以概率αi选取第i个服务台,但直到正 在接受服务的顾客服务完成之前,不允许新的顾客在别的服务台处接受服务,这样顾客的服务时间分布就服从k阶 超指数分布。
常用的重要概率分布有三个:高斯分布、二项分布和普阿松分布。
指数分布
指数分布
在概率理论和统计学中,指数分布(也称为负指数分布)是描述泊松过程中的事件之间的时间的概率分布, 即事件以恒定平均速率连续且独立地发生的过程。这是伽马分布的一个特殊情况。它是几何分布的连续模拟,它 具有无记忆的关键性质。除了用于分析泊松过程外,还可以在其他各种环境中找到。
概念
概念
超指数分布(hyperexponential distribution)是一种概率分布。有k个平行的服务台,服务时间均服从负 指数分布,平均服务时间分别为1/μi(i=1,2,…,k),一个顾客到达后以概率αi选取第i个服务台,但直到正 在接受服务的顾客服务完成之前,不允许新的顾客在别的服务台处接受服务,这样顾客的服务时间分布就服从k阶 超指数分布。
单纯的讲概率密度没有实际的意义,它必须有确定的有界区间为前提。可以把概率密度看成是纵坐标,区间 看成是横坐标,概率密度对区间的积分就是面积,而这个面积就是事件在这个区间发生的概率,所有面积的和为1。 所以单独分析一个点的概率密度是没有任何意义的,它必须要有区间作为参考和对比。
电 子 运 动 的 状 态 有 波 函 数 Ψ 来 描 述 , | Ψ | ²表 示 电 子 在 核 外 空 间 某 处 单 位 体 积 内 出 现 的 概 率 , 即 概 率 密 度 。 处 于 不 同 运 动 状 态 的 电 子 , 它 们 的 | Ψ | 各 不 相 同 , | Ψ | ²当 然 也 不 同 。 密 度 大 则 事 件 发 生 的 分 布 情 况 多 , 反 之 亦 然 。 若用黑点的疏密程度来表示各个电子概率密度的大小,则 |Ψ|²大的地方黑点较密,其概率密度大,反之亦然。在 原子和外分布的小黑点,好像一团带负电的云,把原子核包围起来,人们称它为电子云。
伽马分布 指数族分布
伽马分布指数族分布
伽马分布和指数族分布都是概率分布中常见的两种分布类型。
它们在
统计学、概率论、数学建模等领域中都有广泛的应用。
伽马分布是一种连续概率分布,它的概率密度函数可以表示为:
f(x) = x^(k-1) * e^(-x/θ) / (θ^k * Γ(k))
其中,k和θ是分布的两个参数,Γ(k)是欧拉伽玛函数。
伽马分布的期望和方差分别为E(X) = kθ和Var(X) = kθ^2。
伽马分布在概率论和统计学中有广泛的应用,例如在可靠性分析、生
存分析、风险管理等领域中常用于描述时间间隔、寿命等随机变量的
分布。
指数族分布是一类常见的概率分布,它的概率密度函数可以表示为:
f(x|θ) = h(x) * exp(θT * u(x) - A(θ))
其中,θ是分布的参数,h(x)是正常化常数,u(x)是充分统计量,A(θ)是对数正常化常数。
指数族分布包括了很多常见的分布,如正态分布、
泊松分布、伽马分布等。
指数族分布在统计学和机器学习中有广泛的应用,例如在广义线性模型、贝叶斯统计、深度学习等领域中常用于建模和推断。
总的来说,伽马分布和指数族分布都是概率分布中常见的分布类型,它们在不同领域中都有广泛的应用。
对于统计学和机器学习的学习者来说,了解和掌握这些分布的性质和应用是非常重要的。
指数分布与几何分布的条件可加性
1 预 备知 识
定义 1 如 果 随机变量 的密度 函数 为
l ) 』ex A> , : A-, ( A > 0
. t , ≤ 0Fra bibliotek O 则称 服从参 数为 A的指数 分布 , 记为 —ep A) x( .
定义 2 如果 随机 变量 的分布律 为
收 稿 日期 : 0 1 9— 6 2 1 —0 2
基金项 目:河南省教育厅 自然科 学基金资助项 目(0 9 100 ) 2 0 B 10 3 作者简介 :何朝兵 (9 5一) 男 , 17 , 河南周 口人 , 阳师范学院数学与统计学院讲 帅 , 安 硕士
第 1期
何朝兵 : 数分 布与几何 分布的条件可加性 指
关键词 : 指数分布 ; 几何分布 ; 相互独立 ; 条件分布 ; 可加性
中 图 分 类 号 :O 2 13 1 . 文 献 标 志 码 :A
指数分 布不但 在 电子元 器件 方面得 到 了普遍使 用 , 而且 可靠 性 工程 和排 队论 的丰 富实 践 又使 人 们加
深 了对 指数 分布性 质 的认识 . 几何 分 布 已经 应 用于 越 来越 多 的领 域 , 别 是 在信 息 工 程 、 特 电子 工 程 、 制 控
d ) (
F()=f f(,)y+ . dx ) )一 - c )t ) x戈Yd / ,( )d( / ,()C( . ( (
c ) (
一 l + t l x 十8 r + Xj
弓理2 设g( f A+x( l+ d A+x( k 2d … J A x I ^ ,) e 一A+ 1 x l e 一A+ + x 2 ep 1p ) +f 2p 2 ) +
指数型分布族的性质
指数型分布族的性质
指数分布族是应用十分广泛的一种概率分布类型,主要是用来描述一个大量不
断增长的随机变量的分布特性,比如连续的物理量中自由度未知的量的分布状况,还有早期建模工作。
现在指数分布族已经在多领域应用到非常广泛,通常应用在延迟行为、统计过程和反应现象的研究中。
指数分布族是一种参数丰富的概率分布,属于小概率强变分布,从而可以准确
描述一个变量的变化规律,包括它的稳定状态以及上升或者下降。
由于该族具有良好的多模性特性,所以通常被用来描述大量样本中的离散点多态性和连续度,同时也很容易用于多变量归一化处理。
指数分布族在实际应用中有着丰富的特性,它可以用于描述一个物理现象,如
几何量的变化、量子现象的影响等,也可以用于系统建模,比如模拟昆虫的发展过程等。
由于这种分布有很好的变异性、管理性和可视化性,被广泛用于有限文献中介绍研究结果,常用以模拟未知量的分配,以及估计需要非常大的样本数据才能够捕捉不同思维情况下的变化特征。
总之,指数分布族的特性使它成为各种研究的重要工具,它可以用来模拟各种
物理现象,也可以用来描述系统中未知变量的分布特征,有效捕捉稀疏的研究结果,给相关行业的研究提供了方便的工具,可以准确反应未知变量的分布情况,任一数据集中的变量都可以用指数分布族来建模,因此指数分布族可以在宽泛的行业资料中得到应用。
指数分布族
指数族3.1指数分布族对于每个感兴趣的分布都可能获得属性(例如均值、方差和极大似然估计量稍后正确的定义)。
然而,这可能是麻烦的,代数学是沉闷的并且我们无法看到重点。
反而,我们考虑到这是一个包含几个我们总所周知分布的“伞形”分布族,我们将对这样的分布得到一个均值和方差的一般式(在这个课程中,当我们考虑到这是一个广义线性模型时就将会是很有用的)。
用这些结果去表达极大似然估计就是充分统计量的函数,由此是最佳无偏估计量(在完整的假设下)。
换句话说,对于这个分布族的最大似然估计量(在之前我们已经遇到很多次)的确是最佳参数据计量(在最小方差方面)。
假设随机变量变量X t有概率分布,并且可以写成如下形式f(y;ω)=exp(s(y)η(ω)−b(ω)+c(y)) 3.1如果X t的分布(离散随机变量的概率分布函数和连续随机变量的概率密度函数)可以写成上面的形式,则称X t属于指数族分布。
大量的众所周知的概率分布都属于这个分布族。
因此通过理解指数组的性质,我们可以得到大量分布函数的总结。
例 3.1.1(a)指数分布X~Exp(λ),因此概率密度函数f(y;λ)=λe−λy可以写成logf(y;λ)=(−yλ+logλ)因此s(y)=−y,η(λ)=λ(b)二项分布P(X=y)=C n yπk(1−π)n−y可以被写成logP(y;λ)=ylog(π1−π)+nlog(1−π)+logC n y因此s(y)=y,η(π)= log(π1−π),b(π)=nlog(1−π),c(y)=logC n y 应该提到的是当θ是一个向量的维度大于1时,可以简单的概括指数族。
假设θ是一个P维向量。
P属于指数族,当分布族满足f(y;ω)=exp(s(y)′θ(ω)−b(ω)+c(y))此时s(y)=(s1(y),···,s p(y))({s i}线性无关),θ(ω)=(θ1(ω),···,θp(ω))3.1.1 自然指数分布族若我们让θ=η(ω),并且η是一个可逆函数(因此空间包含ω和θ呈一对一对应关系),然后我们重写3.1得f(y;θ)=exp(s(y)η(ω)−k(θ)+c(y))此时k(θ)=b(η−1(θ)),当s(y)=y时成为自然指数分布族。
指数分布和几何分布的关系
指数分布和几何分布的关系指数分布和几何分布都是常见的离散概率分布,它们在实际生活中有广泛的应用,如在可靠性分析、排队论、风险管理等方面。
虽然这两种分布有着不同的特征和参数设定,但它们之间存在一定的联系和相互影响。
指数分布是一种连续概率分布,其随机变量服从指数分布的概率密度函数是f(x)=λe^(-λx)(x>=0),其中λ>0为指数分布的参数,表示单位时间内事件发生的平均次数。
指数分布在可靠性分析中常用来描述设备的故障时间,其累积分布函数F(x)=1-e^(-λx)表示设备正常运转x时间的概率。
几何分布是一种离散概率分布,其随机变量表示试验中获得第一个成功的次数,其概率质量函数是P(X=k)=(1-p)^(k-1)*p(k>=1),其中p(0<p<=1)表示成功的概率。
几何分布在排队论中常用来描述顾客在队列中等待的次数,其累积分布函数F(k)=1-(1-p)^k表示顾客在等待k次之前被服务的概率。
从定义和公式上看,指数分布和几何分布在形式上有很大的差异,但它们有着相同的本质特征-无记忆性。
无记忆性是指,一个事件的发生时间和上一次发生时间之间的时间间隔(或试验次数)与上一次时间间隔(或试验次数)没有关系,即其分布函数只与时间间隔(或试验次数)的长短有关系,而与时间间隔(或试验次数)的具体取值无关系。
这种性质是指数分布和几何分布在实际应用中具有一定的相关性。
具体来说,当试验次数(或时间间隔)很小时,几何分布可以近似为指数分布。
这是因为在一个相对短的时间内,设备的故障次数很小,每次试验的成功概率p接近于0,从而几何分布可近似为1次伯努利试验的二项分布,其成功概率为p,失败概率为1-p。
这时,几何分布的期望E(X)=1/p和方差Var(X)=(1-p)/p^2较小,与指数分布具有相似的性质。
当时间间隔或试验次数很大时,指数分布可以近似为几何分布。
这是因为在大规模的试验中,设备的故障次数变多,且每次试验的成功概率p不再很小,此时几何分布的期望和方差较大,呈现出长尾分布的特征,而指数分布可以近似为连续无限次贝努利试验的次数分布,其成功概率为λt,失败概率为1-λt。
指数族mgf通式
指数族mgf通式指数族mgf通式在统计学中,指数族是一类经典的概率分布族,它包括了很多著名的概率分布,如正态分布、泊松分布、伽玛分布等。
指数族在概率论和统计学中都有着重要的应用,因此在指数族分布的研究中,我们需要掌握指数族mgf(Moment Generating Function)通式。
下面就来介绍一下指数族mgf通式以及其在指数族分布中的应用。
首先,我们来看一下什么是mgf。
mgf是概率分布中的一个重要概念,它是一个实数t对应的随机变量X的期望值exp(tx)的函数。
即mgf的表达式为:M(t)=E[exp(tx)]其中,E代表取期望值操作。
在指数族分布中,若随机变量X属于一个指数族,那么它的mgf有一个通式,我们就称之为指数族mgf通式。
假设X属于指数族,即它的概率密度函数可以写成如下形式:f(x)=h(x)exp{ϕ(θ)Tx-g(θ)}其中,h(x)是非负的函数,ϕ(θ)和g(θ)是关于参数θ的已知函数。
如果我们能够确定出mgf的通式M(t),那么我们就可以根据mgf的性质来求解各种统计量,如随机变量X的期望、方差等。
指数族mgf的通式可以写成如下形式:M(t)=exp{ϕ(θ+Tt)-ϕ(θ)-g(θ+Tt)+g(θ)}其中,Tt是一个常向量,它的每个元素都是t。
这个通式看起来有些复杂,其实它的物理意义非常简单,就是将指数族参数从θ变成θ+Tt后再求mgf。
接下来我们来看一下指数族mgf通式在一些常见的指数族分布中的应用。
正态分布是一种非常常见的指数族分布,它的概率密度函数可以写作:f(x)= (2πσ2)-1/2exp{-1/2[(x-μ)/σ]2}其中,μ和σ是正态分布的均值和标准差。
我们可以将正态分布转写成指数族的形式,即:f(x)=exp{[xTμ-μTμ]/(2σ2) - xT/σ2} / [2πσ2]1/2对于正态分布,其μ和σ2分别对应着指数族的ϕ和g函数,因此指数族mgf通式可以写作:M(t)=exp{μT(t+ϕ)/σ2+(σ2/2)[t+ϕ]2}通过指数族mgf通式,我们可以轻松地求出正态分布的一阶和二阶矩,即期望和方差。
指数分布的指数分布族形式
指数分布的指数分布族形式指数分布是概率论和统计学中的一种重要分布,它在模型拟合、过程建模及可靠性分析等领域广泛应用。
指数分布的概率密度函数为:$$f(x; \theta) = \frac{1}{\theta}\exp(-\frac{x}{\theta})$$其中,$x \geq 0$,$\theta > 0$。
指数分布有许多实际意义,比如描述时间间隔、等待时间和服务时间等。
指数分布常常被用作各种连续时间概率过程的基础分布。
其中,$\theta > 0$,$h(x)$ 是定义在 $x$ 上的正的连续函数,$g(\theta)$ 是关于 $\theta$ 的单调递增函数。
从指数分布的概率密度函数可以看出,它满足指数分布族形式的定义。
令 $h(x) = 1$,$g(\theta)=-\ln\theta$,则:指数分布族形式的优点在于它们的参数空间是凸的,因此可以使用凸优化的技术进行估计。
此外,它们具有许多统计性质,例如封闭性、共轭性、似然的单调性等,这使得指数分布族形式在统计学中的应用非常广泛。
在估计指数分布的参数时,可以使用最大似然估计法或贝叶斯推断等方法。
最大似然估计法是一种经典的参数估计方法,它的基本思想是寻找使样本观察到的概率最大的参数值。
贝叶斯推断则是根据贝叶斯定理,将先验信息与样本信息结合,得到后验概率分布,从而对参数进行估计。
总之,指数分布族形式是一种常见的概率分布族,它包括许多常用的分布,如高斯分布、泊松分布、伽马分布和负二项分布等。
指数分布族形式的优点在于它们的参数空间是凸的,且比较容易处理。
因此,在统计学和概率论中应用非常广泛。