三角函数的诱导公式] · [基础] · [知识点+典型例题]

三角函数的诱导公式

知识讲解

一、同角三角函数的基本关系式

平方关系：22sin cos 1x x +=，22sec tan 1x x -=，22csc cot 1x x -= 商数关系：

sin tan cos x x x =，cos cot sin x

x x

= 倒数关系：1

1

1

sec ,csc ,tan cos cos cot x x x x x x ===

注意：①“同角”，至于角的形式无关重要，如22

sin 4cos 41αα+=等；

②这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的，如

π

tan cot 1(,)2k k ααα⋅=≠

∈Z ；

③对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用（正用、反用、变形用），如：

cos α=22sin 1cos αα=-，

sin cos tan α

αα=

等．

④特殊角的三角函数值

二、诱导公式

1.角α与2π()k k α+⋅∈Z 的三角函数间的关系

sin(2π)sin k αα+=,cos(2π)cos k αα+=,tan(2π)=tan k αα+

2.角α与α-的三角函数间的关系

sin()sin αα-=-,cos()cos αα-=,tan()tan αα-=-

3.角α与(21)π()k k α++∈Z 的三角函数间的关系

[]sin (21)πsin k αα++=-,[]cos (21)πcos k αα++=-,[]tan (21)πtan k αα++=

4.角α与

2π

α+

的三角函数间的关系

πsin cos 2αα⎛⎫+= ⎪⎝⎭,πcos sin 2αα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,πtan cot 2αα⎛

⎫+=- ⎪⎝

⎭

诱导公式的记忆方法：“奇变偶不变，符号看象限”，具体指的是对于任意三角函数，以 πsin 2y m ϕ⎛⎫=⋅+ ⎪

⎝⎭为例，若m 为π2的偶数倍，则函数名不改变，根据角ϕ所在象限判断 变换后的三角函数的符号，若m 为π

2的奇数倍，则函数名改变成余弦，符号同理仍然看

象限．

典型例题

一．选择题（共10小题）

1．（2018•甘肃模拟）已知cos（）=，则sinθ=（）

A．B．C．﹣D．﹣

【解答】解：∵cos（）=，∴cos（﹣θ）=2﹣1=﹣=sinθ，即sinθ=﹣，

故选：C．

2．（2018•南充模拟）设f（x）=asin（πx+α）+bcos（πx+β），其中a，b，α，β都是非零实数，若f（2017）=﹣1，那么f（2018）=（）

A．1 B．2 C．0 D．﹣1

【解答】解：f（x）=asin（πx+α）+bcos（πx+β），其中a，b，α，β都是非零实数，

若f（2017）=asin（2017π+α）+bcos（2017π+β）=﹣asinα﹣bcosβ=﹣1，则asinα+bcosβ=1，

那么f（2018）=asin（2018π+α）+bcos（2018π+β）=asinα+bcosβ=1，

故选：A．

3．（2018•陕西三模）计算cos2025°=（）

A．B．C．D．

【解答】解：cos2025°=cos（360°×6﹣135°）=cos（﹣135°）=cos135°=．故选：B．

4．（2018•延安模拟）已知：sin（+θ）+3cos（π﹣θ）=sin（﹣θ），则sinθcosθ+cos2θ=（）

A．B．C．D．

【解答】解：∵sin（+θ）+3cos（π﹣θ）=cosθ﹣3cosθ=﹣2cosθ=sin（﹣θ）=﹣sinθ，∴tanθ=2，

则sinθcosθ+cos2θ===，

故选：D．

5．（2018•广东二模）若，则=（）A．B．C．D．

【解答】解：若，则=﹣cos（）=﹣．

故选：D．

6．（2018春•海珠区期末）已知角θ的终边过点（4，﹣3），则cos（π﹣θ）的值为（）

A．B．﹣C．D．﹣

【解答】解：∵角θ的终边过点（4，﹣3），

∴cosθ=

∴cos（π﹣θ）=﹣cosθ=﹣，

故选：B．

7．（2017秋•通州区期末）sin 330°=（）

A．﹣B．C．﹣D．

【解答】解：sin330°=sin（360°﹣30°）=﹣sin30°=﹣，

故选：A．

8．（2017秋•东城区校级期末）cos600°等于（）

A．B．C．﹣D．﹣

【解答】解：cos600°=cos240°=cos（180°+60°）=﹣cos60°=﹣，

故选：D．

9．（2018春•桂林期末）若角A，B，C是△ABC的三个内角，则下列等式中一定成立的是（）

A．cos（A+B）=cosC B．sin（A+B）=﹣sinC

C．cos（+C）=sinB D．sin=cos

【解答】解：∵角A，B，C是△ABC的三个内角，∴A+B=π﹣C，∴cos（A+B）=cos（π﹣C）=﹣cosC，故排除A；

又sin（A+B）=sin（π﹣C）=sinC，故排除B；

∵sin=sin=cos ，故D满足条件；

由于+C有可能为钝角，故cos（+C）可能小于零，而sinB＞0，故C不一定成立；

故选：D．

10．（2017秋•西城区期末）计算sin（π﹣α）+sin（π+α）=（）

A．0 B．1 C．2sinαD．﹣2sinα