函数与方程的解题思路和方法
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(1)am·an＝am＋n. (2)(am)n＝amn. (3)(ab)m＝ambm，其中，a＞0，b＞0.
(4)loga(MN)＝logaM＋logaN.(5)loga ＝logaM－logaN. (6)logaMn＝nlogaM.
(7)alogaN＝N. (8)logaN＝ ，其中，a＞0，且a≠1，b＞0且b≠1，M＞0，N＞0.
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由函数 的图象与函数 的图象关于直线 对称，得 ，
函数 是最小正周期为2的偶函数，当 时， ，
函数 有3个零点，即 有3个不同根，
画出函数 与 的图象如图：
要使函数 与 的图象有3个交点，则
，且 ，即 ．
∴实数k的取值范围是 ．
故选：B．
练习3已知定义在 上的偶函数 满足 ，且当 时， ，若方程 恰有两个根，则 的取值范围是（）
f（1.375）=-0.260
f（1.438）=0.165
f（1.4065）=-0.052
A．1.2B．1.3C．1.4D．1.5
【答案】C
【解析】
试题分析：由表中数据中结合二分法的定义得零点应该存在于区间（1.4065，1.438）中，观察四个选项，与其最接近的是C
练习2.用二分法求函数 零点的近似值时，如果确定零点所处的初始区间为 ，那么 的取值范围为（）
若 是连续函数，则根据函数的零点存在性定理，
故可得 在区间 上一定有一个实数解；
若 不是连续函数，则 在区间 上不一定有实数解.
故选：D.
三．二分法的应用
例3.求下列函数的零点，可以采用二分法的是（）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】 不是单调函数， ，不能用二分法求零点；
是单调函数， ，能用二分法求零点；
九．零点与不等式综合
十．函数性质与零点综合
【方法总结】
一．零点个数的判断
例1.．函数 的零点个数为( )
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【解析】由于函数 在 上是增函数，且 ， ，故函数在 上有唯一零点，也即在 上有唯一零点.
故选:B
练习1.若 满足 ， 满足 ，函数 ，则关于 的方程 解的个数是（）
(3)数形结合，即把函数的零点问题等价地转化为两个函数图象的交点问题，通过判断交点的个数得出函数零点的个数．
(4)利用零点存在性定理判断．
【题型归类】
一．零点个数的判断
二．零点存在定理应用
三．二分法的应用
四．零点与参数
五．复合函数零点问题
六．函数的实际应用
七、函数零点与导数的综合
八．方程的整数解问题
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】试题分析：由零点存在性定理，可知 ，即 ，解得 ．
四．零点与参数
例4．若函数 有且只有4个不同的零点，则实数 的取值范围是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】显然 是偶函数
所以只需 时， 有且只有2个零点即可
令 ，则
令 ，
递减，且
递增，且
时， 有且只有2个零点，
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意得， ，∴ 是周期函数，周期 ，且图象关于直线 对称，∴ 的图象如下图所示，若直线 与抛物线 相切，则 ，由 ，故可知实数 的取值范围是 ，故选C．
2．指数函数和对数函数的图象与性质
指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)和对数函数y＝logax(a＞0，a≠1)的图象与性质，分0＜a＜1，a＞1两种情况：当a＞1时，两函数在定义域内都为增函数，当0＜a＜1时，两函数在定义域内都为减函数．
考点二 函数的实际应用
[核心提炼]
函数的3种常见模型及求法
(1)构建二次函数模型，常用配方法、数形结合、分类讨论思想求解．
函数与方程的解题思路和方法
[高考定位]基本初等函数是高考的命题热点，相关题目多单独对其考查或结合不等式综合考查，常以选择题、填空题的形式出现，有时难度较大；对函数的应用，主要考查函数零点个数的判断、函数零点所在区间的确定等．
考点一 基本初等函数的图象与性质
[核心提炼]
1．指数式和对数式的8个运算公式
(2)构建分段函数模型，应用分段函数分段求解的方法．
(3)构建f(x)＝x＋ (a＞0)模型，常用基本不等式、导数等知识求解．
[规律方法]
判断函数零点个数的方法
(1)解方程法，即解方程f(x)＝0，方程不同的解的个数即为函数f(x)的零点的个数．
(2)图象法，画出函数f(x)的图象，图象与x轴的交点个数即为函数f(x)的零点个数．
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】∵ 满足 ， 满足 ，∴ ， 分别为函数 与函数 ， 图象交点的横坐标，由于 与 图象交点的横坐标为2，函数 ， 的图象关于 对称，∴ ，∴函数 ，当 时，关于 的方程 ，即 ，即 ，∴ 或 ，满足题意，当 时，关于 的方程 ，即 ，满足题意，∴关于 的方程 的解的个数是3，故选C.
又g(0)＝1－b＜0，g(1)＝e＋2－b＞0，
根据函数的零点存在性定理可知，函数g(x)的零点所在的区间是(0，1)，
故选B.
练习1.对于函数 定义域为R，若 ，则（）
A．方程 一定有一个实数解B．方程 一定有两个实数解
C．方程 一定无实数解D．方程 可能无实数解
【答案】D
【解析】因为 ，且 的定义域为 ，
二．零点存在定理应用
例2.．已知二次函数 的部分图象如图所示，则函数 的零点所在区间为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由函数f(x)的图象可知，0＜f(0)＝a＜1，f(1)＝1－b＋a＝0，所以1＜b＜2.
又f′(x)＝2x－பைடு நூலகம்，所以g(x)＝ex＋2x－b，所以g′(x)＝ex＋2＞0，所以g(x)在R上单调递增，
不是单调函数， ，不能用二分法求零点；
不是单调函数， ，不能用二分法求零点.
故选：B
练习1.若函数f（x）=x3+x2-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：
那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似根（精确到0.1）为（）
f（1）=-2
f（1.5）=0.625
f（1.25）=-0.984
只需
故选：B
练习1．已知函数 ，且关于 的方程 有且只有一个实数根，则实数 的取值范围（）．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为条件等价于函数 的图象与直线 只有一个交点，作出图象如图，
由图可知， ，
故选：B．
练习2.已知函数 的图象与函数 的图象关于直线 对称，函数 是最小正周期为2的偶函数，且当 时， ，若函数 有3个零点，则实数k的取值范围是（）
(4)loga(MN)＝logaM＋logaN.(5)loga ＝logaM－logaN. (6)logaMn＝nlogaM.
(7)alogaN＝N. (8)logaN＝ ，其中，a＞0，且a≠1，b＞0且b≠1，M＞0，N＞0.
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由函数 的图象与函数 的图象关于直线 对称，得 ，
函数 是最小正周期为2的偶函数，当 时， ，
函数 有3个零点，即 有3个不同根，
画出函数 与 的图象如图：
要使函数 与 的图象有3个交点，则
，且 ，即 ．
∴实数k的取值范围是 ．
故选：B．
练习3已知定义在 上的偶函数 满足 ，且当 时， ，若方程 恰有两个根，则 的取值范围是（）
f（1.375）=-0.260
f（1.438）=0.165
f（1.4065）=-0.052
A．1.2B．1.3C．1.4D．1.5
【答案】C
【解析】
试题分析：由表中数据中结合二分法的定义得零点应该存在于区间（1.4065，1.438）中，观察四个选项，与其最接近的是C
练习2.用二分法求函数 零点的近似值时，如果确定零点所处的初始区间为 ，那么 的取值范围为（）
若 是连续函数，则根据函数的零点存在性定理，
故可得 在区间 上一定有一个实数解；
若 不是连续函数，则 在区间 上不一定有实数解.
故选：D.
三．二分法的应用
例3.求下列函数的零点，可以采用二分法的是（）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】 不是单调函数， ，不能用二分法求零点；
是单调函数， ，能用二分法求零点；
九．零点与不等式综合
十．函数性质与零点综合
【方法总结】
一．零点个数的判断
例1.．函数 的零点个数为( )
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【解析】由于函数 在 上是增函数，且 ， ，故函数在 上有唯一零点，也即在 上有唯一零点.
故选:B
练习1.若 满足 ， 满足 ，函数 ，则关于 的方程 解的个数是（）
(3)数形结合，即把函数的零点问题等价地转化为两个函数图象的交点问题，通过判断交点的个数得出函数零点的个数．
(4)利用零点存在性定理判断．
【题型归类】
一．零点个数的判断
二．零点存在定理应用
三．二分法的应用
四．零点与参数
五．复合函数零点问题
六．函数的实际应用
七、函数零点与导数的综合
八．方程的整数解问题
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】试题分析：由零点存在性定理，可知 ，即 ，解得 ．
四．零点与参数
例4．若函数 有且只有4个不同的零点，则实数 的取值范围是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】显然 是偶函数
所以只需 时， 有且只有2个零点即可
令 ，则
令 ，
递减，且
递增，且
时， 有且只有2个零点，
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意得， ，∴ 是周期函数，周期 ，且图象关于直线 对称，∴ 的图象如下图所示，若直线 与抛物线 相切，则 ，由 ，故可知实数 的取值范围是 ，故选C．
2．指数函数和对数函数的图象与性质
指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)和对数函数y＝logax(a＞0，a≠1)的图象与性质，分0＜a＜1，a＞1两种情况：当a＞1时，两函数在定义域内都为增函数，当0＜a＜1时，两函数在定义域内都为减函数．
考点二 函数的实际应用
[核心提炼]
函数的3种常见模型及求法
(1)构建二次函数模型，常用配方法、数形结合、分类讨论思想求解．
函数与方程的解题思路和方法
[高考定位]基本初等函数是高考的命题热点，相关题目多单独对其考查或结合不等式综合考查，常以选择题、填空题的形式出现，有时难度较大；对函数的应用，主要考查函数零点个数的判断、函数零点所在区间的确定等．
考点一 基本初等函数的图象与性质
[核心提炼]
1．指数式和对数式的8个运算公式
(2)构建分段函数模型，应用分段函数分段求解的方法．
(3)构建f(x)＝x＋ (a＞0)模型，常用基本不等式、导数等知识求解．
[规律方法]
判断函数零点个数的方法
(1)解方程法，即解方程f(x)＝0，方程不同的解的个数即为函数f(x)的零点的个数．
(2)图象法，画出函数f(x)的图象，图象与x轴的交点个数即为函数f(x)的零点个数．
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】∵ 满足 ， 满足 ，∴ ， 分别为函数 与函数 ， 图象交点的横坐标，由于 与 图象交点的横坐标为2，函数 ， 的图象关于 对称，∴ ，∴函数 ，当 时，关于 的方程 ，即 ，即 ，∴ 或 ，满足题意，当 时，关于 的方程 ，即 ，满足题意，∴关于 的方程 的解的个数是3，故选C.
又g(0)＝1－b＜0，g(1)＝e＋2－b＞0，
根据函数的零点存在性定理可知，函数g(x)的零点所在的区间是(0，1)，
故选B.
练习1.对于函数 定义域为R，若 ，则（）
A．方程 一定有一个实数解B．方程 一定有两个实数解
C．方程 一定无实数解D．方程 可能无实数解
【答案】D
【解析】因为 ，且 的定义域为 ，
二．零点存在定理应用
例2.．已知二次函数 的部分图象如图所示，则函数 的零点所在区间为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由函数f(x)的图象可知，0＜f(0)＝a＜1，f(1)＝1－b＋a＝0，所以1＜b＜2.
又f′(x)＝2x－பைடு நூலகம்，所以g(x)＝ex＋2x－b，所以g′(x)＝ex＋2＞0，所以g(x)在R上单调递增，
不是单调函数， ，不能用二分法求零点；
不是单调函数， ，不能用二分法求零点.
故选：B
练习1.若函数f（x）=x3+x2-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：
那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似根（精确到0.1）为（）
f（1）=-2
f（1.5）=0.625
f（1.25）=-0.984
只需
故选：B
练习1．已知函数 ，且关于 的方程 有且只有一个实数根，则实数 的取值范围（）．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为条件等价于函数 的图象与直线 只有一个交点，作出图象如图，
由图可知， ，
故选：B．
练习2.已知函数 的图象与函数 的图象关于直线 对称，函数 是最小正周期为2的偶函数，且当 时， ，若函数 有3个零点，则实数k的取值范围是（）