八年级数学(上)几何证明中的辅助线添加方法

八年级数学（上）几何证明中的辅助线添加方法

数学组 田茂松

八年级数学的几何题，有部分题需要做出辅助线才能完成。有的时候，做不出恰当的辅助线，或者做不出辅助线，就没有办法完成该题的解答。为了能够更好的让学生在做几何题时得心应手，现在将八年级数学中几何题的辅助线添加方法总结如下。

常见辅助线的作法有以下几种：

1.遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。

2.遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。

3.遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．

4.过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”。

5.截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。

6.特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答。

常见辅助线的作法举例：

例1 如图1,//AB CD ，//AD BC . 求证：AD BC =.

分析：图为四边形，我们只学了三角形的有关知识，必须把它转化为三角形来解决。 证明：连接AC （或BD ）

∵//AB CD , //AD BC （已知） ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4 （两直线平行，内错角相等） 在ABC ∆与CDA ∆中

⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠)(43)

()(21已证公共边已证CA AC ∴ABC ∆≌CDA ∆（ASA ） ∴AD BC =（全等三角形对应边相等）

例2 如图2,在Rt ABC ∆中，AB AC =，90BAC ∠=︒，12∠=∠，CE BD ⊥的延长于E .求证：2BD CE =.

分析：要证2BD CE =，想到要构造线段2CE ，同时CE 与ABC ∠的平分线垂直，想到要将其延长。

证明：分别延长BA ，CE 交于点F .

∵BE CF ⊥ （已知） ∴90BEF BEC ∠=∠=︒（垂直的定义）

在BEF ∆与BEC ∆中， ⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠)()()(21已证公共边已知BEC BEF BE BE

A B C

D 1234图1 D A

E

F 12图2

∴BEF ∆≌BEC ∆（ASA ） ∴12

CE EF CF == （全等三角形对应边相等） ∵90BAC ∠=︒, BE CF ⊥（已知）

∴90BAC CAF ∠=∠=︒, 190BDA ∠+∠=︒, 190BFC ∠+∠=︒ ∴BDA BFC ∠=∠ 在ABD ∆与ACF ∆中

⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠∠=∠)()

()(已知＝已证已证AC AB BFC BDA CAF BAC

∴ABD ∆≌ACF ∆（AAS ）∴BD CF =（全等三角形对应边相等） ∴2BD CE =.

例3 已知如图3,AC 、BD 相交于O 点，且AB CD =，AC BD =，求证：A D ∠=∠. 分析：要证A D ∠=∠，可证它们所在的三角形ABO ∆和DCO ∆全等，而只有AB CD =和对顶角两个条件，差一个条件,难以证其全等，只有另寻其它的三角形全等，由AB CD =，AC BD =，若连接BC ，则ABC ∆和DCB ∆全等，所以，证得A D ∠=∠.

证明：连接BC ，在ABC ∆和DCB ∆中

⎪⎩⎪⎨⎧===)()

()(公共边已知已知CB BC DB AC DC AB ∴ABC ∆≌DCB ∆ (SSS) ∴A D ∠=∠ (全等三角形对应边相等)

例4 如图4,AB DC =，A D ∠=∠.求证：ABC DCB ∠=∠. 分析：由AB DC =，A D ∠=∠，想到如取AD 的中点N ，连接NB ，NC ，再由SAS 公理有ABN ∆≌DCN ∆，故BN CN =，ABN DCN ∠=∠.下面只需证NBC NCB ∠=∠，再取BC 的中点M ，连接MN ，则由SSS 公理有NBM ∆≌△NCM ∆，所以NBC NCB ∠=∠.

证明：取AD ，BC 的中点N 、M ，连接NB ，MN ，NC .则AN DN =，BM CM =. 在ABN ∆和DCN ∆中 ⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=)()()(已知已知辅助线的作法DC AB D A DN AN ∴ABN ∆≌DCN ∆（SAS ）

∴ABN DCN ∠=∠, BN CN =（全等三角形对应边、角相等）

在NBM ∆与NCM ∆中

D C

B A

O 图3 D

C

B A M

N 图4

⎪⎩⎪⎨⎧)()

()(公共边＝辅助线的作法＝已证＝NM NM CM BM NC NB

∴NBM ∆≌NCM ∆(SSS) ∴NBC NCB ∠=∠（全等三角形对应角相等）

∴NBC ABN NCB DCN ∠+∠=∠+∠,即ABC DCB ∠=∠.

例5 如图5，//AB CD ，BE 平分ABC ∠，CE 平分BCD ∠，点E 在AD 上，

求证：BC AB CD =+.

分析：此题中就涉及到角平分线，可以利用角平分线来构造全等三角形， 即利用角平分线来构造轴对称图形，同时此题也是证明线段的和差倍分问题，

在证明线段的和差倍分问题中常用到的方法是延长法或截取法来证明，延长

短的线段或在长的线段长截取一部分使之等于短的线段.但无论延长还是截取

都要证明线段的相等，延长要证明延长后的线段与某条线段相等，截取要证 明截取后剩下的线段与某条线段相等，进而达到所证明的目的. 简证：在此题中可在长线段BC 上截取BF AB =，再证明CF CD =，从而达到证明的目的.这里面用到了角平分线来构造全等三角形.另外一个全等自已证明,只要证明DEC FEC ∠=∠即可.此题的证明也可以延长BE 与CD 的延长线交于一点来证明.

例6 如图6，已知AB AD >, BAC DAC ∠=∠,CD BC =.求证：180ADC B ∠+∠=︒. 分析：可由点C 向BAD ∠的两边作垂线,证明CBE ∆≌CDF ∆,进而得B CDF ∠=∠,从而得证

180ADC B ∠+∠=︒.

证明：略

例7 如图，在ABC ∆中，AD 是角平分线，AC AB BD =+, 求证:2B C ∠=∠. 分析：证法1 此题涉及到倍角关系，基本思路是构造等腰三角形，利用

等腰三角形的两个底角相等，由此可以在AC 上去一点E (如图6-1)， 使AE AB =,容易证明ADE ∆≌ADB ∆,可得B AED ∠=∠,BD ED =,

又由AC AB BD =+,可知CE DE BD ==,得2B AED C ∠=∠=∠.

证法2 可以延长AB 到F （如图6-2）,使BF BD =,连接DF .易证ACD ∆≌AFD ∆，从而C F ∠=∠,又2ABC F ∠=∠,问题得证. 证明：略

例8 如图8，ABC ∆中，AD 是中线，延长AD

到E ，使DE AD =,DF 是DCE ∆的中线.

已知ABC ∆的面积为

2，求：CDF ∆的面积.

解： 因为AD 是ABC ∆的中线，所以11212

2

ACD ABC S S ∆∆==⨯=， 又因CD 是ACE ∆的中线，故1

12

CDE ACD S S ∆∆==，因DF 是CDE ∆ 的中线，所以111

122CDF CDE S S ∆∆==⨯=. ∴CDF ∆的面积为12. C B 图7 C D C B A 图7-1 图5

B

C 图6 图8