2014高考一轮复习函数专题二-三角函数理
2014高考数学一轮复习单元练习--三角函数
高新一中2013高考数学一轮复习单元练习--三角函数I 卷一、选择题1.设,函数.的图像向右平移个单位后与原图像重合,则的最小值是( )A .B .C .D . 3【答案】C2.已知函数()sin f x x x =+,设()7a f π=,()6b f π=,()3c f π=,则,,a b c 的大小关系是( ) A .a b c << B .c a b << C .b a c << D .b c a <<【答案】B 3. 已知函数()()sin f x A x ωϕ=+(0x R A ∈>,,02πωϕ><,)的图象(部分)如图所示,则()x f 的解析式是( )A .()()2sin 6f x x x ππ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R B .()()2sin 26f x x x ππ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭RC .()()2sin 3f x x x ππ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭RD .()()2sin 23f x x x ππ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R 【答案】A 4. 已知tan()34πα-=, 则1sin cos αα=( )A .52B .75C .52-D .75-【答案】C5.()()f x 2sin x m =ω+ϕ+,对任意实数t 都有f t f t ,f 3,888πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭且则实数m 的值等于( ) A .—1 B .±5C .—5或—1D .5或1【答案】C6.已知ABC ∆中,12cot 5A =-, 则cos A =( ) A .1213B .513C .513-D . 1213-【答案】D7.函数的图象以得到的图象经过适当变换可x 2cos y x 2sin y ==,则这种变换可以是( )A .个单位轴向右平移沿4x πB . 个单位轴向左平移沿4x πC .个单位轴向左平移沿2x πD . 个单位轴向右平移沿2x π【答案】B8.在地面上某处测得山峰的仰角为θ,对着山峰在地面上前进600m 后,测得仰角为2θ,继续前进后又测得仰角为4θ,则山的高度为( )m .A .200B .300C .400D .500【答案】B9. 在ABC ∆中, 3π=∠B ,三边长a ,b ,c 成等差数列,且6=ac ,则b 的值是( )A .2B .3C .6D . 【答案】C10.已知点的终边在在第三象限,则角a a a P )cos ,(tan ( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限【答案】B11.为得到函数x y sin =的图象,只需将sin()6y x π=+函数的图像( )A .向左平移6π个长度单位 B .向右平移6π个长度单位 C .向左平移65π个长度单位D .向右平移65π个长度单位【答案】B12.要得到y =sin(2x -π3)的图象,只要将y =sin2x 的图象 ( ) A .向左平移π3个单位 B .向右平移π3个单位 C . 向右平移π6个单位 D . 向左平移π6个单位【答案】CII 卷二、填空题13.已知tan θ=2,则sin θsin 3θ-cos 3θ=________.【答案】10714. 在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别是a,b,c ,若22a b -=,sin C B =,则A=__________________ 【答案】03015.海上有A 、B 两个小岛相距10海里,从A 岛望C 岛和B 岛成 60视角,从B 望C 岛和A 岛成75视角,则B 、C 间的距离是 . 【答案】65海里16.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别是c b a ,,,73tan =C ,4715=∆ABC S , 9=+b a ,则=c ______ _____. 【答案】6三、解答题17.在锐角..ABC ∆中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,且满足C b B c a cos cos )2(=-.A .求角B 的大小及角A 的取值范围;B .设A)2cos (3,n (sinA,1),m ==,试求n m ⋅的最大值. 【答案】(1)由正弦定理得C B B C A cos sin cos )sin sin 2(=-, 所以C B C B B A sin cos cos sin cos sin 2+=, 即A C B B A sin )sin(cos sin 2=+=, 因为,0sin ≠A 所以21cos =B . 因为B 为锐角,所以 60=B又因ABC ∆是锐角三角形,所以30<A<90.(2)1sin 3sin 22cos sin 32++-=+=⋅A A A A n m =-2(817)43sin 2+-A , 因为︒<<9030A,所以1sin 21<<A , 所以n m ⋅的最大值为817. 18.解下列各题:(1)计算:429tan )329cos(629sinπππ--+; (2)求证:xxx x sin cos 1cos 1sin -=+. 【答案】(1)原式=)456tan()310cos()654sin(ππππππ+-+-++.0121214tan216sin )4tan(21)6sin(45tan 3cos 65sin=-+=-+=+-+-=-+=πππππππππ (2)证法一:右边左边=-=-=--=+=x xxx x x x x x x sin cos 1sin )cos 1(sin cos 1)cos 1(sin cos 1sin 22 , ∴等式成立.证法二:x x 22cos 1sin -= ,即)cos 1)(cos 1(sin sin x x x x -+=⋅,又0cos 10sin ≠+≠x x , ,.)cos 1(sin )cos 1)(cos 1()cos 1(sin sin sin x x x x x x x x +-+=+⋅∴即xxx x sin cos 1cos 1sin -=+ ∴等式成立.证法三:x x x x x x x x x sin )cos 1()cos 1)(cos 1(sin sin cos 1cos 1sin 2+-+-=--+ .0sin )cos 1(sin sin sin )cos 1()cos 1(sin 2222=+-=+--=x x x x x x x x19.在ABC ∆中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,2A B =,sin 3B =.(Ⅰ)求cos A 及sinC 的值;(Ⅱ)若2b =,求ABC ∆的面积.【答案】(Ⅰ)因为2A B =,所以2cos cos 212sin A B B ==-.因为sin 3B =, 所以11cos 1233A =-?. 由题意可知,(0,)2B πÎ.所以cos B =因为sin sin 22sin cos 3A B B B ===.所以sin sin[()]sin()C A B A B π=-+=+sin cos cos sin A B A B =+=(Ⅱ)因为sin sin b aB A=,2b =,3=.所以3a =.所以1sin 29ABC S ab C ∆==. 20.锐角三角形ABC 的三内角A 、B 、C 所对边的长分别为c b a ,,,设向量),(),,(c b a a b a c +=--=,且.// (1)求角B 的大小;(2)若1=b ,求c a +的取值范围。
2014高考数学一轮复习课件3.3三角函数的图象与性质
汇,在考查三角函数图象与性质的同时,注重考查三角变换
的技能,及数形结合、转化与化归等数学思想.
创新探究之四
三角函数单调性的创新应用
π (2012· 课标全国卷)已知ω>0,函数f(x)=sin(ωx+ )在 4 π ( ,π )上单调递减,则ω的取值范围是( 2 1 5 A.[ , ] 2 4 1 C.(0, ] 2 1 3 B.[ , ] 2 4 D.(0,2] )
π π kπ 【解析】 由3x≠ +kπ,k∈Z得x≠ + , 2 6 3 k∈Z,.
【答案】
D
5π 2.函数f(x)=2cos(x+ )是( 2
)
A.最小正周期为2π 的奇函数 B.最小正周期为2π 的偶函数 C.最小正周期为2π 的非奇非偶函数 D.最小正周期为π 的偶函数
π 5 【解析】 f(x)=2cos(x+ π)=2cos(x+ )=-2sin 2 2 x,故f(x)是最小正周期为2π的奇函数.
π 【解析】 f(x)=sin(πx- )-1=-cos πx-1, 2 2π 因此函数f(x)是偶函数,周期T= =2. π
【答案】
B
1.若f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω≠0),则 π (1)f(x)为偶函数的充要条件是φ= +kπ(k∈Z); 2 (2)f(x)为奇函数的充要条件是φ=kπ(k∈Z). 2.对称性:正、余弦函数的图象既是轴对称图形,又 是中心对称图形且最值点在对称轴上,正切函数的图象只 是中心对称图形.
π 设函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|< ),给出以 2 下四个论断: ①它的最小正周期为π ; π ②它的图象关于直线x= 成轴对称图形; 12 π ③它的图象关于点( ,0)成中心对称图形; 3 π ④在区间[- ,0)上是增函数. 6 以其中两个论断作为条件,另两个论断作为结论, 写出你认为正确的一个命题________(用序号表示).
2014版高考数学一轮总复习 第23讲 三角函数的性质课件 理 新人教A版
素材1
1 π 函数 y=2cos( x- )的图象的对称 2 8 5π 中心是 (2kπ+ ,0)(k∈Z) 4 .
1 π 【解析】令 2cos( x- )=0, 2 8 1 π π 得 x- =kπ+ (k∈Z), 2 8 2 5π 即 x=2kπ+ (k∈Z), 4 1 π 所以函数 y=2cos( x- )的图象的对称中心是(2kπ+ 2 8 5π ,0)(k∈Z). 4
17 要使 1≤f(x)≤ 恒成立, 4
a-4≤0 只需 3 9 a- ≥ 4 4
⇔3≤a≤4,所以 a∈[3,4]为所求.
三
三角函数的单调性与周期性
1 π 2x 【例 3】(1)求函数 y= sin( - )的最小正周期和单调区间; 2 4 3 (2)函数 y=xcosx-sinx 在下面哪个区间内是增函数( ) π 3π A.( , ) 2 2 3π 5π C.( , ) 2 2 B.(π,2π) D.(2π,3π)
x π A.y=2sin( + ) 2 3 π C.y=2sin(2x+ ) 6
2π 【解析】根据 T= ,容易得出选项 B、C 中的函数 ω π 周期均为 π, 然后可利用求对称轴的表达式 ωx+φ=kπ+ 2 (k∈Z),将选项 B、C 中的函数依次代入求解验证即可得 答案 B 符合题意.
4.将函数 f(x)= 3sinx-cosx 的图象向右平移 φ(φ>0)个 单位, 所得图象对应的函数为奇函数, φ 的最小值为( 则 π A. 6 2π C. 3 π B. 3 5π D. 6 )
1.三角函数奇偶性的判断与其他函数奇偶性 的判断步骤一致:
1 首先看定义域是否关于原点对称; 2 在满足 1 后,再看f x 与f x 的关系.
(聚焦典型)2014届高三数学一轮复习《任意角和弧度制及任意角的三角函数》理 新人教B版
[第17讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数](时间:35分钟 分值:80分)基础热身1.[2013·石家庄检测] 若α是第四象限的角,则下列函数值一定是负值的是( )A .sin α2B .cos α2C .tan α2D .cos2α2.[2013·东北师大附中检测] 已知|cos θ|=cos θ,|tan θ|=-tan θ,则θ2的终边在( )A .第二或第四象限B .第一或第三象限C .第二或第四象限或x 轴上D .第一或第四象限或x 轴上3.已知扇形的周长是6 cm ,面积是2 cm 2,则扇形的中心角的弧度数是( ) A .1 B .4C .1或4D .2或44.点P 从点(0,1)开始沿单位圆x 2+y 2=1顺时针第一次运动到点⎝ ⎛⎭⎪⎫22,-22时,转过的角是________.能力提升5.[2013·唐山检测] 已知sin θ=34,且角θ的终边在第二象限,那么2θ的终边在( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限6.[2013·山西实验中学检测] 下列说法正确的是( ) A .第二象限的角比第一象限的角大B .若sin α=12,则α=π6C .三角形的内角是第一象限角或第二象限角D .不论用角度制还是弧度制度量一个角,它们与扇形所对应的半径的大小无关 7.记a =sin(cos2 010°),b =si n(sin2 010°),c =cos(sin2 010°),d =cos(cos2 010°),则a ,b ,c ,d 中最大的是( )A .aB .bC .cD .d8.已知角α的终边上一点的坐标为sin 2π3,cos 2π3,则角α的最小正角是( )A.11π6 B.12π7 C.2π3 D.π39.已知△ABC 是锐角三角形,则点P cos B -sin A ,tan B -1tan C在第________象限.10.[2013·长春实验中学检测] 已知扇形AOB 的圆心角∠AOB 为120°,半径长为6,则弓形AOB 的面积是________.11.函数y =sin x +lg(2cos x -1)的定义域为________________.12.(13分)如图K17-1,A ,B 是单位圆O 上的点,且B 在第二象限.C 是圆与x 轴正半轴的交点,A 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35,45,△AOB 为正三角形. (1)求sin ∠COA ; (2)求cos ∠COB .难点突破13.(12分)在平面直角坐标系xOy 中,点P 12,cos 2θ在角α的终边上,点Q (sin 2θ,-1)在角β的终边上,且OP →·OQ →=-12.(1)求cos2θ的值;(2)求sin(α+β)的值.课时作业(十七)【基础热身】1.C [解析] ∵2k π+3π2<α<2k π+2π,k∈Z ,∴k π+3π4<α2<k π+π,k ∈Z ,∴α2在第二或第四象限,tan α2<0一定成立. 2.C [解析] |cos θ|=cos θ,|tan θ|=-tan θ,∴cos θ≥0,tan θ≤0,即θ的终边在第四象限或x 轴正半轴上.∴θ2在第二或第四象限或x 轴上.3.C [解析] 设此扇形的半径为r ,弧长是l ,则⎩⎪⎨⎪⎧2r +l =6,12rl =2,解得⎩⎪⎨⎪⎧r =1,l =4或⎩⎪⎨⎪⎧r =2,l =2.从而α=l r =41=4或α=l r =22=1.4.-34π [解析] 点P 转过的角的绝对值为34π,顺时针旋转应为负角,所以转过的角是-34π.【能力提升】5.C [解析] 由θ的终边在第二象限,得π2+2k π<θ<π+2k π(k ∈Z ),又sin θ=34>22,则π2+2k π<θ<3π4+2k π(k ∈Z ),∴π+4k π<2θ<3π2+4k π(k ∈Z ),即2θ的终边在第三象限,故选C.6.D [解析] 排除法可解.第一象限角370°不小于第二象限角100°,故A 错误;当sin α=12时,也可能α=5π6,所以B 错误;当三角形内角为π2时,其既不是第一象限角,也不是第二象限角.7.C [解析] 注意到2 010°=360°×5+180°+30°,因此sin2 010°=-sin30°=-12,cos2 010°=-cos30°=-32,-π2<-32<0,-π2<-12<0,0<12<32<π2,cos 12>cos 32>0,a =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫-32=-sin 32<0,b =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫-12=-sin 12<0,c =cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫-12=cos 12>0,d =cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫-32=cos 32>0,∴c >d ,因此选C. 8.A [解析] 由sin 2π3>0,cos 2π3<0知角α的终边在第四象限,又tan α=cos2π3sin2π3=-33,故α的最小正角为11π6. 9.二 [解析] ∵△ABC 为锐角三角形,∴0<A <π2,0<B <π2,0<C <π2,且A +B >π2,B +C >π2,∴π2>A >π2-B >0,π2>B >π2-C >0. ∵y =sin x 与y =t an x 在⎝⎛⎭⎪⎫0,π2上都是增函数,∴sin A >sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2-B ,tan B >tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2-C , ∴sin A >cos B ,tan B >1tan C,∴P 在第二象限.10.12π-9 3 [解析] ∵120°=120180π=23π,∴l =6×23π=4π,如图所示,∵S扇形OAB =12×4π×6=12π,S △OAB =12·OA ·OB ·sin120°=12×6×6×sin120°=93,∴S 弓形OAB =S 扇形OAB -S △OAB =12π-∴弓形AOB 的面积为12π-9 3. 11.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2k π≤x <2k π+π3,k ∈Z [解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0,2cos x -1>0,即⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0,cos x >12,∴⎩⎪⎨⎪⎧2k π≤x ≤2k π+π,2k π-π3<x <2k π+π3(k ∈Z ).∴2k π≤x <2k π+π3(k ∈Z ),故此函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2k π≤x <2k π+π3,k ∈Z .12.解:(1)因为A 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35,45,根据三角函数定义可知sin ∠COA =45. (2)因为△AOB 为正三角形,所以∠AOB =60°,sin ∠COA =45,cos ∠COA =35,所以cos ∠COB =cos (∠COA +60°)=cos ∠COA cos60°-sin ∠COA sin60°=35×12-45×32=3-4310.【难点突破】13.解:(1)因为OP →·OQ →=-12,所以12sin 2θ-cos 2θ=-12,即12(1-cos 2θ)-cos 2θ=-12,所以cos 2θ=23, 所以cos2θ=2cos 2θ-1=13.(2)因为cos 2θ=23,所以sin 2θ=13,所以点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12,23,点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫13,-1, 又点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12,23在角α的终边上, 所以sin α=45,cos α=35.同理sin β=-31010,cos β=1010,所以sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β =45×1010+35×⎝ ⎛⎭⎪⎫-31010=-1010.。
高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形2同角三角函数的基本关系及诱导公式课件新人教A版(理)
-26考点1
考点2
考点3
解析: (1)∵sin +
π
4
3
= ,
π
5
π
π
π
3
∴cos - 4 =cos + 4 - 2 =sin + 4 = 5.
又 θ 是第四象限角,
π
∴θ-4 是第四象限角.
π
4
π
4
∴sin - 4 =-5.∴tan - 4 =-3.
(2)∵
2
5
A.-
5π
+
2
1
B.5
=
1 2 3 4 5
1
,则 cos α=(
5
1
C.
5
)
2
5
D.
关闭
∵sin
∴cos
C
5π
π
+ =sin 2 +
2
1
α= ,故选 C.
5
=cos α,
关闭
解析
答案
-8知识梳理
4.已知 x∈
A.
1
双基自测
3
5
π
- 2 ,0
B.-
,tan
3
5
2 3 4 5
4
x=-3,则 sin(x+π)等于(
(2)
1
co s 2 -si n 2
=
si n 2 +co s 2
co s 2 -si n 2
4
∵tan α=-3,
1
பைடு நூலகம்
∴co s 2 -si n 2 =
ta n 2 +1
(聚焦典型)2014届高三数学一轮复习《三角函数的图象与性质》理 新人教B版
[第19讲 三角函数的图象与性质](时间:45分钟 分值:100分)基础热身1.[2013·石家庄质检] 下列函数中,周期是π,又是偶函数的是( ) A .y =sin x B .y =cos x C .y =sin2x D .y =cos2x2.[2013·唐山模拟] 函数f (x )=3sin2x +cos2x ( )A .在⎝ ⎛⎭⎪⎫-π3,-π6单调递减B .在⎝ ⎛⎭⎪⎫π6,π3单调递增C .在⎝ ⎛⎭⎪⎫-π6,0单调递减D .在⎝⎛⎭⎪⎫0,π6单调递增3.函数f (x )=cos2x +2sin x 的最小值和最大值分别为( ) A .-3,1 B .-2,2C .-3,32D .-2,324.[2013·太原外国语学校模拟] 下列函数中,以π为最小正周期的偶函数,且在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2,π上为减函数的是( ) A .y =sin2x +cos2xB .y =|sin x |C .y =cos 2x D .y =tan x能力提升5.下列函数中,周期为π,且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4,π2上为减函数的是( ) A .y =sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x +π2 B .y =cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π2 C .y =sin ⎝⎛⎭⎪⎫x +π2D .y =cos ⎝⎛⎭⎪⎫x +π26.函数y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2上( )A .单调递增且有最大值B .单调递增但无最大值C .单调递减且有最大值D .单调递减但无最大值7.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧sin πx (0≤x ≤1),log 2 012x (x >1),若a ,b ,c 互不相等,且f (a )=f (b )=f (c ),则a +b +c 的取值范围是( )A .(2,2 013)B .(2,2 014)C .(3,2 013)D .(3,2 014)8.已知函数y =sin x 的定义域为[a ,b ],值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤-1,12,则b -a 的值不可能是( ) A.π3 B.2π3 C .π D.4π39.[2013·唐山模拟] 若x =π6是函数f (x )=3sin ωx +cos ωx 图象的一条对称轴,当ω取最小正数时( )A .f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫-π3,-π6单调递减B .f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π6,π3单调递增C .f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫-π6,0单调递减D .f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0,π6单调递增10.函数f (x )=sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x -π4-22sin 2x 的最小正周期是________.11.已知f (x )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx +π3(ω>0),f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3,且f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6,π3有最小值,无最大值,则ω=________.12.函数f (x )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π3-3cos ⎝⎛⎭⎪⎫x +π3,x ∈[0,2π]的单调递减区间是________.13.[2013·泉州四校联考] 设f (x )=a sin2x +b cos2x ,其中a ,b ∈R .若f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对一切x ∈R 恒成立,则①f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12=0;②⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12<⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5; ③f (x )既不是奇函数也不是偶函数;④f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π+π6,k π+2π3(k ∈Z ); ⑤存在经过点(a ,b )的直线与函数f (x )的图象不相交. 以上结论正确的是________(写出所有正确结论的编号).14.(10分)[2013·山西五校调研] 设函数f (x )=3cos 2x +sin x cos x -32.(1)求函数f (x )的最小正周期T ,并求出函数f (x )的单调递增区间; (2)求在[0,3π)内使f (x )取到最大值的所有x 的和.15.(13分)[2013·黄冈模拟] 已知函数f (x )=sin(ωx +φ)(ω>0,0≤φ≤π)为偶函数,其图象上相邻的两个最低点间的距离为2π.(1)求f (x )的解析式;(2)若α∈-π3,π2,f α+π3=13,求sin2α+2π3的值.难点突破16.(12分)已知函数f (x )=cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π3+2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -π4sin ⎝⎛⎭⎪⎫x +π4. (1)求函数f (x )的最小正周期和图象的对称轴方程;(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π12,π2上的值域.课时作业(十九)【基础热身】1.D [解析] 周期是π的函数是y =sin2x 和y =cos2x ,其中y =cos2x 是偶函数.2.D [解析] f (x )=3sin2x +cos2x =2⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin2x +12cos2x=2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin2x cos π6+cos2x sin π6=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π6. 由2k π-π2≤2x +π6≤2k π+π2,k ∈Z ,知f (x )的增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π-π3,k π+π6,k ∈Z , ∴f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0,π6单调递增.3.C [解析] ∵f (x )=1-2sin 2x +2sin x =-2⎝⎛⎭⎪⎫sin x -122+32,∴当sin x =12时,f (x )max =32,当sin x =-1时,f (x )min =-3;故选C.4.B [解析] 由函数为偶函数,排除A ,D ;由在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2,π上为减函数,排除C ,故选B.【能力提升】5.A [解析] 选项C ,D 中函数周期为2π,所以错误,当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4,π2时,2x +π2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π,3π2, 函数y =sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x +π2为减函数, 而函数y =cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x +π2为增函数,所以选A. 6.A [解析] 由-π2≤x -π4≤π2,得-π4≤x ≤3π4,则函数y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π4,3π4上是增函数,又⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π4,3π4,所以函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2上是增函数,且有最大值22,故选A.7.A [解析] 数形结合法,画出函数f (x )的简图,作直线y =h ,移动此直线观察直线y =h 与函数f (x )的图象有三个交点的情形,不妨设a <b <c ,则a +b 2=12,1<c <2 012,∴2<a +b +c <2 013.8.A [解析] 画出函数y =sin x 的简图,要使函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤-1,12,则函数定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π+5π6,2k π+13π6,k ∈Z 或其子集,又定义域为[a ,b ],则a ,b 在同一个k 所对应的区间内,且[a ,b ]必须含2k π+3π2,还有2k π+5π6、2k π+13π6之一,知b -a的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3,4π3,故选A.9.D [解析] f (x )=2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx +π6,由π6ω+π6=k π+π2得ω=6k +2,取最小正数为2,所以f (x )=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π6,其在⎝⎛⎭⎪⎫0,π6单调递增. 10.π [解析] f (x )=sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x +π4-2,故最小正周期为π. 11.143 [解析] 依题f (x )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx +π3(ω>0),f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3,且f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6,π3有最小值,无最大值,∴区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6,π3为f (x )的一个半周期的子区间,且知f (x )的图象关于x =π6+π32=π4对称,∴π4·ω+π3=2k π+3π2,k ∈Z ,取k =0得ω=143.12.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2,3π2 [解析] 本题主要考查两角和与差的正弦和余弦公式,y =A sin(ωx +φ)的单调性.属于基础知识、基本运算的考查.f (x )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π3-3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π3=sin x cos π3+cos x sin π3-3cos x cos π3-sin x sin π3=2sin x ,∴函数f (x )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π3-3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π3,x ∈[0,2π]的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2,3π2.13.①②③ [解析] 因为f (x )=a sin2x +b cos2x =a 2+b 2sin(2x +θ),若f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对一切x ∈R 恒成立,θ=π6,f (x )=a 2+b 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π6,①f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12=0正确;②⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12<⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5正确;③f (x )既不是奇函数也不是偶函数正确;④错误,⑤错误. 14.解:(1)f (x )=32(cos2x +1)+12sin2x -32=32cos2x +12sin2x =sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x +π3,故T =π.由2k π-π2≤2x +π3≤2k π+π2(k ∈Z ),得k π-512π≤x ≤k π+π12,所以f (x )单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π-512π,k π+π12(k ∈Z ). (2)令f (x )=1,即sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x +π3=1,则2x +π3=2k π+π2(k ∈Z ).于是x =k π+π12(k ∈Z ),∵0≤x <3π,且k ∈Z ,∴k =0,1,2,则π12+⎝ ⎛⎭⎪⎫π+π12+⎝ ⎛⎭⎪⎫2π+π12=13π4.∴在[0,3π)内使f (x )取到最大值的所有x 的和为134π.15.解:(1)因为周期为2π,所以ω=1,又因为0≤φ≤π,f (x )为偶函数,所以φ=π2,则f (x )=sin ⎝⎛⎭⎪⎫x +π2=cos x .(2)因为cos ⎝⎛⎭⎪⎫α+π3=13,又α+π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,5π6,所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α+π3=223, 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α+2π3=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π3 =2×223×13=429.【难点突破】16.解:(1)f (x )=cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π3+2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π4 =12cos2x +32sin2x +(sin x -cos x )(sin x +cos x ) =12cos2x +32sin2x +sin 2x -cos 2x =12cos2x +32sin2x -cos2x =sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x -π6. ∴周期T =2π2=π.对称轴方程为2x -π6=π2+k π,即x =π3+k π2,k ∈Z .(2)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π12,π2,∴2x -π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π3,5π6,∵f (x )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π6在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π12,π3上单调递增, 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3,π2上单调递减, ∴当x =π3时,f (x )取最大值1.又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-π12=-32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2=12, ∴当x =-π12时,f (x )取最小值-32,∴函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π12,π2上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤-32,1.。
2014版高考数学一轮总复习 第25讲 三角函数的模型及应用课件 理 新人教A版
400 3 B. 米 3 200 D. 米 3
【解析】画出示意图(如图),由题意可知,∠DAC=60° , ∠OAC=∠DAB=30° , 在△AOC 中,AO=200, 200 3 所以 OC= 3 , 200 3 而 AD=OC= 3 , 200 3 3 200 在△ABD 中,BD= 3 × 3 = 3 , 200 400 因此塔高为 200- 3 = 3 (米),故选 A.
【点评】(1)本题第(2)问求解的关键是:①认真分析问题,把实 际问题中折线段赛道 MNP 的长转化为△MNP 的两边 MN 与 NP 的边长之和;②选取参数∠PMN=θ,利用正弦定理表示出 MN 和 NP 的值. (2)在解题中要对限制条件 θ∈(0° ,60° )给予足够的重视.
素材2
以一年为一周期调查某商品的出厂价格和它的市场 销售价格时发现: 信息 1: 该商品出厂价格是在 6 元的基础上按月份随正弦 曲线波动的.已知 3 月份出厂价格最高,为 8 元,7 月份出厂 价格最低,为 4 元. 信息 2:该商品在市场销售价格是在 8 元的基础上,按月 份也是随正弦曲线波动的.已知 5 月份销售价格最高,为 10 元,9 月份销售价格最低,为 6 元. (1)根据上述信息 1 和 2,求该商品的出厂价格 y1 和销售 价格 y2 与月份 x 之间的函数关系式; (2)若某经销商每月购进该商品 m 件,且当月能售完,则 在几月份盈利最大?并说明理由.
一
解三角形的实际应用题
【例 1】如图,A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的 平面内,B,D 为两岛上的两座灯塔的塔顶.测量船于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为 75° ,30° ,于水面 C 处测得 B 点和 D 点的仰角均为 60° ,AC=0.1 km.试探究图中 B,D 间 距离与另外哪两点间距离相等,然后求 B,D 的距离(计算结果 精确到 0.01 km, 2≈1.414, 6≈2.449).
2014届高三数学一轮复习 (基础知识+小题全取+考点通关+课时检测)3.1任意角和弧度制及任意角的三角函数
答案:4
6π
1.对任意角的理解
(1)“小于90°的角”不等同于“锐角”“0°~90°的
角”不等同于“第一象限的角”.其实锐角的集合是 {α|0°<α<90°},第一象限角的集合为 {α|k· 360°<α<k· 360°+90°,k∈Z}. (2)终边相同的角不一定相等,相等的角终边一定 相同,终边相同的角的同一三角函数值相等.
π (3)角度与弧度的换算:①1° 180 rad; = 180 π ° ②1 rad= .
(4)弧长、扇形面积的公式: 设扇形的弧长为 l,圆心角大小为 α(rad),半径为 ,扇形的面积为 S= lr= |α|·2. r 2 2
4.任意角的三角函数
3.已知在半径为 10 的圆 O 中,弦 AB 的长为 10, (1)求弦 AB 所对的圆心角 α 的大小; (2)求 α 所在的扇形弧长 l 及弧所在的弓形的面积 S.
解:(1)如图所示,过 O 作 OC⊥AB 于 点 C,则 AC=5,在 Rt△ACO 中, AC 5 1 sin∠AOC=AO= = , 10 2 ∴∠AOC=30° ,∴α=2∠AOC=60° .
式的角终边的方法:先表示角α的范围,再写出kα、
π±α等形式的角范围,然后就k的可能取值讨论所求角 的终边位置.
1.(1)给出下列四个命题: 3π 4π ①- 是第二象限角;② 是第三象限角;③-400° 4 3 是第四角限角;④-315° 是第一象限角.其中正确的 命题有 ( )
A.1个 C.3个
(2)因为M={x|x=(2k+1)×45°,k∈Z}表示的是终 边落在四个象限的平分线上的角的集合; 而集合N={x|x=(k+1)×45°,k∈Z}表示终边落在 坐标轴或四个象限平分线上的角的集合,从而:MN.
高考数学第一轮复习基础演练--三角函数(2)
高三数学第一轮复习实用知识点归纳(二)-------适用于广东考纲主要内容:三角恒等变化 一、两角和差的三角函数 命题趋向:考查运用诱导公式、倍角公式,两角和的正弦公式,以及利用三角函数的有界性来求的值的问题. 知识点归纳:两角和差1、两角和差的三角函数公式;sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±;cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=;2、公式的变形一:等。
灵活运用,如注意角的变换及公式的)2()2(2);()(2),()(2;)(βαβαβαβαββαβαβββαα---=+-++∂=∂--+=-+=3、公式的变形二: tan(α±β)=βαβαtan tan 1tan tan ±可变形为:tan α±tan β=tan(α±β)(1 tan αtan β)和±tan αtan β=1-)tan(tan tan βαβα±±两种形式。
4、公式的变形三:asin α+bcos α=22b a + (sin αcos φ+cos αsin φ)= 22b a + sin(α+φ), 其中tan φ=ab 等,有时能收到事半功倍之效.如:;__________cos sin =+αα .___________cos sin =-αα xx sin cos 3-=_____________.例题: 1、._______)cos(_______,)cos(),2,0(,53cos ),,2(,1715sin =+=-∈=∈=βαβαπββππαα那么2、若 ,则 .3、已知函数()sin sin(),2f x x x x R π=++∈. 求()f x 的最小正周期和最值;.2tan22,1312)2cos(,54)2sin(4βαβαβαβαβα+---=-=-为第三象限角,求为第二象限角,且、已知对应练习:1.设()4cos(2,53sin ),2,0(=+=∈πααπα则若 )A 、57 B 、51C 、57-D 、-512.等于( )A .B .C .D .3.若tan(α+β)=53,tan(β-4π)=41,那么tan(α+4π)的值是 ( ) A .1813 B .2213 C .237D .1834、函数x x x f cos 3sin )(+=的 ( )A .最大值为1,最小值为-1B .最大值为1,最小值为21-C .最大值为2,最小值为-2D .最大值为2,最小值为-1 5、在△ABC 中,若cos A =53,sin B =135,则cos C =________.._________15tan 3115tan 3 6=︒+︒-、7.(08年广州一模16题)已知设(1,1)a = ,(cos ,sin )b αα=,若f(a) =a b ⋅(1)求f(x) 的最小正周期; (2)求函数)(x f 的最大值,并指出此时x 的值.8.(08年江门一模)已知,a = (sin2x , sin 12π) , b =( cos12π, cos2x ),()f x a b =⋅.(1)求()f x 的最小正周期;(2)求f(x) 的单调增区间.二、二倍角的三角函数命题趋向:考查运用诱导公式、倍角公式,两角和的正弦公式,以及利用三角函数的有界性来求的值的问题. 知识点归纳: 二倍角的三角函数1、 在两角和的三角函数三角函数公式βαβαβα+++T C S ,,中,当时βα=就可以得到二倍角的三角函数公式:____;__________2sin =α____________________________________________2cos ===α;____;__________2tan =α2、 余弦二倍角公式有三种形式,可得变形公式.______________cos ____;__________sin 22==αα(即降幂公式) 【典型例题】:例一. 已知),2(,135sin ππ∈α=α,求sin2α,cos2α,tan2α的值。
2014届高三数学一轮复习 (基础知识+小题全取+考点通关+课时检测)3.3三角函数图象和性质课件 新人教A版
a, c 的大小关系是 b,
(
)
A.a<b<c C.b<a<c
B.c<a<b D.b<c<a
解析: (1)作出 y=|tan x|的图象, 观察图象可知, y=|tan x|
π 的增区间是kπ,kπ+2 ,k∈Z. π (2)f(x)=sin x+ 3cos x=2sin x+3 ,因为函数
3 答案:5 π+2kπ,k∈Z 4
1.求三角函数的单调区间时,应先把函数式化成y
=Asin(ωx+φ)(ω>0)的形式,再根据三角函数的单调
区间,求出x所在的区间.应特别注意,考虑问题应在 函数的定义域内.注意区分下列两种形式的函数单调 性的不同:
π π (1)y=sinωx-4 ;(2)y=sin4 -ωx.
1 cos x- 的定义域为________. 2 (2)函数 y=sin2x+sin x-1 的值域为
(
)
A.[-1,1]
5 C.-4,1
5 B.-4,-1 5 D.-1,4
sin x>0, [自主解答] (1)要使函数有意义必须有 1 cos x-2≥0, sin x>0, 即 1 cos x≥2, 2kπ<x<π+2kπ, 解得 π (k∈Z), π -3+2kπ≤x≤3+2kπ
π +kπ,0 2
y=tan x 奇函数
kπ ,0 2 (k∈Z)
(kπ,0)
∈Z)
(k∈Z)
函数 对称轴 方程 周期
y=sin x
y=cos x
y=tan x
π x= +kπ 2 (k∈Z) x=kπ (k∈Z)
2014届高考江苏专用(理)一轮复习第四章第3讲三角函数的图象与性质
π 2x π π 故由 2kπ- ≤ - ≤2kπ+ 2 3 4 2 3π 9π ⇒3kπ- ≤x≤3kπ+ (k∈Z), 8 8
π 2x π 3π 由 2kπ+ ≤ - ≤2kπ+ 2 3 4 2 9π 21π ⇒3kπ+ ≤x≤3kπ+ (k∈Z), 8 8 3π 9π ∴函数的递减区间为3kπ- 8 ,3kπ+ 8 (k∈Z), 9π 21π 递增区间为3kπ+ 8 ,3kπ+ 8 (k∈Z).
②作出 y=|tan x|的图象,观察图象可知,y=|tan x|的增 π π 区间是 kπ,kπ+2,k∈Z,减区间是 kπ-2,kπ,k∈ Z.最小正周期 T=π. (2)f(x)= 3sin 2x+1-2sin2x-1 π = 3sin 2x+cos 2x-1=2sin2x+6 -1. π π π π 2π 因为 x∈-6,4,所以 2x+ ∈-6, 3 , 6 π π π 所以当 2x+ =- ,即 x=- 时,f(x)min=-2; 6 6 6 π π π 当 2x+ = ,即 x= 时,f(x)max=1. 6 2 6 π π 故函数 f(x)在区间- 6,4 上的最小值为-2,最大值为 1.
π π f(x)在区间-12,2 上的范围为________.
解析 法一
(1)要使函数有意义,必须使 利用图象.在同一坐标系中
sin x-cos x≥0.
画出[0,2π]上y=sin x和y=cos x的图
象,如图所示.
π 5π 在[0,2π]内,满足 sin x=cos x 的 x 为 , ,再结合正 4 4 弦、余弦函数的周期是 2π,
式).
(3)求三角函数的定义域经常借助两个工具,即单位圆中 的三角函数线和三角函数的图象,有时也利用数轴. (4)求三角函数最值,可以转化为y=Asin(ωx+φ)或二次函 数在某个区域内的最值问题.
高考数学一轮复习三角函数的图象与性质课件理
基础诊断 考点突破
课堂总结
(3)将函数 f(x)=sin ωx 的图象向右平移4π个单位长度得到函数 y
=sinωx-π4的图象,因为所得图象经过点34π,0,则 sin
ω 2π
=0,所以ω2 π=kπ(k∈Z),即 ω=2k(k∈Z),又 ω>0,所以 ωmin
=2.
答案 (1)A (2)C (3)2
.
基础诊断 考点突破
课堂总结
(2)设 t=sin x-cos x,则 t2=sin2x+cos2x-
2sin xcos x,sin xcos x=1-2 t2,且- 2≤t≤ 2. ∴y=-t22+t+12=-12(t-1)2+1.
当 t=1 时,ymax=1; 当 t=- 2时,ymin=-12- 2.
基础诊断 考点突破
课堂总结
考点一 三角函数的定义域、值域
【例 1】 (1)函数 y=tan 1x-1的定义域为______________.
(2)函数 y=2sinπ6x-π3(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为
()
A.2- 3
B.0
C.-1
D.-1- 3
基础诊断 考点突破
课堂总结
tan x-1≠0, 解析 (1)要使函数有意义,必须有x≠π2+kπ,k∈Z, 即xx≠≠π4π2++kkππ,,kk∈∈ZZ,. 故函数的定义域为{x|x≠π4+kπ 且 x≠π2+kπ,k∈Z}.
msin ω2xcosω2x在区间-3π,π3上单调递增,则 ω 的取值范围是
()
A.0,23
B.0,32
C.3堂总结
解析 (1)由 f(x)=sin2x+sin xcos x
()
π A.2
2014高考数学一轮复习课件3.1角的概念与任意角的三角函数
2 5 y 2 5 又sin θ=- <0,∴y<0且 2=- 5 , 5 16+y 解之得y=-8.
【答案】
-8
(1)写出终边在直线y= 3x上的角的集合;
【思路点拨】 解.
(1)角的终边是射线,应分两种情况求
【尝试解答】 当角的终边在第一象限时,角的集合 π 为{α|α=2kπ+ ,k∈Z},当角的终边在第三象限时,角 3 4 的集合为{α|α=2kπ+ π,k∈Z}, 3 π 故所求角的集合为{α|α=2kπ+ ,k∈Z}∪{α|α=2k 3 π 4 π+ π,k∈Z}={α|α=kπ+ ,k∈Z}. 3 3
(1)已知角α的终边经过点P(m,-3),且cos 4 ,则m等于( ) 5 11 11 A.- B. C.-4 4 4 (2)已知角α的终边在直线3x+4y=0上,求sin α ,tan α 的值.
α =-
D.4 α ,cos
【思路点拨】
(1)求出点P到原点O的距离,根据三角
函数的定义求解.
(2)在直线上设一点P(4t,-3t),求出点P到原点O的距
(2)几何表示:三角函数线可以看作是三角函数的几何 x轴 表示,正弦线的起点都在__________上,余弦线的起点都是 原点 _______,正切线的起点都是(1,0).,
1.“角α为锐角”是“角α为第一象限角”的什么条 件? 【提示】 充分不必要条件.
2.终边在直线y=x上的角的正弦值相等吗?
【思路点拨】
度制;
(1)可直接用弧长公式,但要注意用弧
(2)可用弧长或半径表示出扇形面积,然后确定其最大 值时的半径和弧长,进而求出圆心角α; (3)利用S弓=S扇-S△,这样就需要求扇形的面积和三角 形的面积.
2014高考数学一轮复习课件3.2同角三角函数的基本关系
x与sin x+cos x的关系;(2)先利用倍角公式、商数关系式化
为角x的弦函数,再设法将所求式子用已知表示出来.
1 【尝试解答】 (1)由sin x+cos x= ,平方得 5 1 2 2 sin x+2sin xcos x+cos x= , 25 24 整理得2sin xcos x=- . 25 49 2 ∵(sin x-cos x) =1-2sin xcos x= . 25 由-π<x<0,知sin x<0. 又sin x+cos x>0,∴cos x>0,sin x-cos x<0,
sin(2nπ+π-α)=sin(π-α)=sin α. 2.sin(-π-α)如何使用诱导公式变形? 【提示】 sin(-π-α)=-sin(π+α)=sin α.
5 1.(人教A版教材习题改编)已知cos(α-π )=- ,且 13 α是第四象限角,则sin α =( ) 12 12 5 12 A.- B. C. D.± 13 13 12 13
=asin α+bcos β+4=5,
∴asin α+bcos β=1,
∴f(2 013)=asin(2 013π+α)+bcos(2 013π+β)+4
=-(asin α+bcos β)+4=-1+4=3.
【答案】 (1)B (2)A
1 (2013· 揭阳模拟)已知-π <x<0,sin x+cos x= . 5 (1)求sin x-cos x的值; sin 2x+2sin2x (2)求 的值. 1-tan x
x-cos x的符号的影 π 响.事实上根据条件可进一步判定x∈(- ,0). 2 2.对于sin α +cos α ,sin α -cos α ,sin α cos α 这三个式子,已知其中一个式子的值,其余二式的值可 求,转化公式为(sin α ±cos α )2=1± 2sin α cos α ,体现 了方程思想的应用.
高考第一轮复习--三角函数
三角函数考试内容:角的概念的推广.弧度制.任意角的三角函数.单位圆中的三角函数线.同角三角函数的基本关系式:sin 2α+cos 2α=1sinα/cosα=tanαtanαcotα=1 正弦、余弦的诱导公式.两角和与差的正弦、余弦、正切.二倍角的正弦、余弦、正切.正弦函数、余弦函数的图像和性质.周期函数.函数y=Asin(ωx+φ)的图像.正切函数的图像和性质.已知三角函数值求角.正弦定理.余弦定理.斜三角形解法.考试要求: (1)理解任意角的概念、弧度的意义.能正确地进行弧度与角度的换算. (2)掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义.了解余切、正割、余割的定义.掌握同角三角函数的基本关系式.掌握正弦、余弦的诱导公式.了解周期函数与最小正周期的意义. (3)掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式. (4)能正确运用三角公式,进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明. (5)了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质,会用"五点法"画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+φ)的简图,理解A ,ω,φ的物理意义. (6)会由已知三角函数值求角,并会用符号arcsinx 、arccosx 、arctanx 表示. (7)掌握正弦定理、余弦定理,并能初步运用它们解斜三角形.三角函数的概念一、 知识回顾1、角的概念:角的形成,角的始边,终边,顶点.2、正角;负角;零角.3、终边相同的角:与α角终边相同的角的集合(连同α角在内),可以记为{ββ|=k ·360+α,k ∈Z }.4、象限角:顶点在原点,始边与x 轴非负半轴重合,则终边落在第几象限,就称这个角是第几象限的角.5、(请写出各象限角的集合及各轴线角的集合 )6、区间角、区间角的集合:角的量数在某个确定的区间内(上),这角就叫做某确定区间的角.由若干个区间构成的集合称为区间角的集合.7、角度制: 8、弧度制:9、弧度与角度互换公式: 1rad =π180°≈57.30°=57°18ˊ. 1°=180π≈0.01745(rad )10、弧长公式:r l ⋅=||α. 扇形面积公式:211||22s lr r α==⋅扇形11、三角函数:设α是一个任意角,在α的终边上任取(异于原点的)一点P (x,y )P 与原点的距离为r ,则 ry =αsin ; rx =αcos ; xy =αtan ;yx =αcot ; xr =αsec ;. yr =αcsc .12、三角函数在各象限的符号:(一全二正弦,三切四余弦)13、三角函数线正弦线:MP; 余弦线:OM; 正切线: AT. 二、 基本训练1、集合},42|{Z k k x x M ∈+==ππ,},24|{Z k k x x N ∈+==ππ,则( )A 、N M =B 、N M ⊃C 、N M ⊂D 、Φ=N M2、若α是第二象限角,则2α是第_____象限角,2α的范围是________________,απ-2是第_____象限角。
2014届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)三角函数图象与性质(含解析)
第三节三角函数图象与性质[知识能否忆起]1.周期函数(1)周期函数的定义:对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有f(x +T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数.T叫做这个函数的周期.(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质[小题能否全取]1.函数y =tan ⎝⎛⎭⎫π4-x 的定义域是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠π4,x ∈R B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠-π4,x ∈R C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠k π-3π4,k ∈Z ,x ∈R D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠k π+3π4,k ∈Z ,x ∈R 解析:选D ∵x -π4≠k π+π2,∴x ≠k π+3π4,k ∈Z .2.(教材习题改编)下列函数中,最小正周期为π的奇函数是( ) A .y =cos 2x B .y =sin 2x C .y =tan 2xD .y =sin ⎝⎛⎭⎫2x -π2 解析:选B 选项A 、D 中的函数均为偶函数,C 中函数的最小正周期为π2,故选B.3.函数y =|sin x |的一个单调增区间是( ) A.⎝⎛⎭⎫-π4,π4 B.⎝⎛⎭⎫π4,3π4 C.⎝⎛⎭⎫π,3π2D.⎝⎛⎭⎫3π2,2π解析:选C 作出函数y =|sin x |的图象观察可知,函数y =|sin x |在⎝⎛⎭⎫π,3π2上递增. 4.比较大小,sin ⎝⎛⎭⎫-π18________sin ⎝⎛⎭⎫-π10. 解析:因为y =sin x 在⎣⎡⎦⎤-π2,0上为增函数且-π18>-π10,故sin ⎝⎛⎭⎫-π18>sin ⎝⎛⎭⎫-π10. 答案:>5.(教材习题改编)y =2-3cos ⎝⎛⎭⎫x +π4的最大值为________.此时x =________. 解析:当cos ⎝⎛⎭⎫x +π4=-1时,函数y =2-3cos ⎝⎛⎭⎫x +π4取得最大值5,此时x +π4=π+2k π,从而x =34π+2k π,k ∈Z .答案:5 34π+2k π,k ∈Z1.求三角函数的单调区间时,应先把函数式化成y =A sin(ωx +φ)(ω>0)的形式,再根据三角函数的单调区间,求出x 所在的区间.应特别注意,考虑问题应在函数的定义域内. 注意区分下列两种形式的函数单调性的不同:(1)y =sin ⎝⎛⎭⎫ωx -π4;(2)y =sin ⎝⎛⎭⎫π4-ωx . 2.周期性是函数的整体性质,要求对于函数整个定义域内的每一个x 值都满足f (x+T )=f (x ),其中T 是不为零的常数.如果只有个别的x 值满足f (x +T )=f (x ),或找到哪怕只有一个x 值不满足f (x +T )=f (x ),都不能说T 是函数f (x )的周期.典题导入[例1] (1)(2013·湛江调研)函数y =lg(sin x )+cos x -12的定义域为________.(2)函数y =sin 2x +sin x -1的值域为( ) A .[-1,1] B.⎣⎡⎦⎤-54,-1 C.⎣⎡⎦⎤-54,1D.⎣⎡⎤-1,54 [自主解答] (1)要使函数有意义必须有⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0,cos x -12≥0, 即⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0,cos x ≥12,解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π<x <π+2k π,-π3+2k π≤x ≤π3+2k π(k ∈Z ), ∴2k π<x ≤π3+2k π,k ∈Z ,∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π<x ≤π3+2k π,k ∈Z .(2)y =sin 2x +sin x -1,令sin x =t ,则有y =t 2+t -1,t ∈[-1,1],画出函数图象如图所示,从图象可以看出,当t =-12及t =1时,函数取最值,代入y =t 2+t -1可得y ∈⎣⎡⎦⎤-54,1. [答案] (1)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π<x ≤π3+2k π,k ∈Z (2)C若本例(2)中x ∈⎣⎡⎦⎤0,π2,试求其值域. 解:令t =sin x ,则t ∈[0,1]. ∴y =t 2+t -1=⎝⎛⎭⎫t +122-54. ∴y ∈[-1,1].∴函数的值域为[-1,1].由题悟法1.求三角函数定义域实际上是解简单的三角不等式,常借助三角函数线或三角函数图象来求解.2.求解涉及三角函数的值域(最值)的题目一般常用以下方法: (1)利用sin x 、cos x 的值域;(2)形式复杂的函数应化为y =A sin(ωx +φ)+k 的形式逐步分析ωx +φ的范围,根据正弦函数单调性写出函数的值域(如本例以题试法(2));(3)换元法:把sin x 或cos x 看作一个整体,可化为求函数在给定区间上的值域(最值)问题(如例1(2)).以题试法1.(1)函数y =2+log 12x +tan x 的定义域为________.(2)(2012·山西考前适应性训练)函数f (x )=3sin ⎝⎛⎭⎫2x -π6在区间⎣⎡⎦⎤0,π2上的值域为( )A.⎣⎡⎦⎤-32,32B.⎣⎡⎦⎤-32,3 C.⎣⎡⎦⎤-332,332 D.⎣⎡⎦⎤-332,3 解析:(1)要使函数有意义则⎩⎪⎨⎪⎧2+log 12x ≥0,x >0,tan x ≥0,x ≠k π+π2,k ∈Z⇒⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤4,k π≤x <k π+π2(k ∈Z ). 利用数轴可得 函数的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪0<x <π2,或π≤x ≤4.(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0,π2时,2x -π6∈⎣⎡⎦⎤-π6,5π6,sin ⎝⎛⎭⎫2x -π6∈⎣⎡⎦⎤-12,1, 故3sin ⎝⎛⎭⎫2x -π6∈⎣⎡⎦⎤-32,3即此时函数f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤-32,3. 答案:(1)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪0<x <π2,或π≤x ≤4 (2)B典题导入[例2] (2012·华南师大附中模拟)已知函数y =sin ⎝⎛⎭⎫π3-2x ,求: (1)函数的周期;(2)求函数在[-π,0]上的单调递减区间.[自主解答] 由y =sin ⎝⎛⎭⎫π3-2x 可化为y =-sin ⎝⎛⎭⎫2x -π3. (1)周期T =2πω=2π2=π.(2)令2k π-π2≤2x -π3≤2k π+π2,k ∈Z ,得k π-π12≤x ≤k π+5π12,k ∈Z .所以x ∈R 时,y =sin ⎝⎛⎭⎫π3-2x 的减区间为⎣⎡⎦⎤k π-π12,k π+5π12,k ∈Z .从而x ∈[-π,0]时,y =sin ⎝⎛⎭⎫π3-2x 的减区间为 ⎣⎡⎦⎤-π,-7π12,⎣⎡⎦⎤-π12,0.由题悟法求三角函数的单调区间时应注意以下几点:(1)形如y =A sin(ωx +φ)(A >0,ω>0)的函数的单调区间,基本思路是把ωx +φ看作是一个整体,由-π2+2k π≤ωx +φ≤π2+2k π(k ∈Z )求得函数的增区间,由π2+2k π≤ωx +φ≤3π2+2k π(k ∈Z )求得函数的减区间.(2)形如y =A sin(-ωx +φ)(A >0,ω>0)的函数,可先利用诱导公式把x 的系数变为正数,得到y =-A sin(ωx -φ),由-π2+2k π≤ωx -φ≤π2+2k π(k ∈Z )得到函数的减区间,由π2+2k π≤ωx -φ≤3π2+2k π(k ∈Z )得到函数的增区间.(3)对于y =A cos(ωx +φ),y =A tan(ωx +φ)等,函数的单调区间求法与y =A sin(ωx +φ)类似.以题试法2.(1)函数y =|tan x |的增区间为________.(2)已知函数f (x )=sin x +3cos x ,设a =f ⎝⎛⎫π7,b =f ⎝⎛⎫π6,c =f ⎝⎛⎫π3,则a ,b ,c 的大小关系是( )A .a <b <cB .c <a <bC .b <a <cD .b <c <a解析:(1)作出y =|tan x |的图象,观察图象可知,y =|tan x |的增区间是⎣⎡⎭⎫k π,k π+π2,k ∈Z .(2)f (x )=sin x +3cos x =2sin ⎝⎛⎭⎫x +π3,因为函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0,π6上单调递增,所以f ⎝⎛⎭⎫π7<f ⎝⎛⎭⎫π6,而c =f ⎝⎛⎭⎫π3=2sin 2π3=2sin π3=f (0)<f ⎝⎛⎭⎫π7, 所以c <a <b .答案:(1)⎣⎡⎭⎫k π,k π+π2,k ∈Z (2)B典题导入[例3] (2012·广州调研)已知函数f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫2x +3π2(x ∈R ),给出下面四个命题: ①函数f (x )的最小正周期为π;②函数f (x )是偶函数;③函数f (x )的图象关于直线x =π4对称;④函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0,π2上是增函数.其中正确命题的个数是( )A .1B .2C .3D .4[自主解答] 函数f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫2x +3π2=-cos 2x ,则其最小正周期为π,故①正确;易知函数f (x )是偶函数,②正确;由f (x )=-cos 2x 的图象可知,函数f (x )的图象不关于直线x =π4对称,③错误;由f (x )的图象易知函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0,π2上是增函数,故④正确.综上可知,选C.[答案] C由题悟法1.三角函数的奇偶性的判断技巧首先要对函数的解析式进行恒等变换,再根据定义、诱导公式去判断所求三角函数的奇偶性;也可以根据图象做判断.2.求三角函数周期的方法 (1)利用周期函数的定义;(2)利用公式:y =A sin(ωx +φ)和y =A cos(ωx +φ)的最小正周期为2π|ω|,y =tan(ωx +φ)的最小正周期为π|ω|;(3)利用图象. 3.三角函数的对称性正、余弦函数的图象既是中心对称图形,又是轴对称图形.正切函数的图象只是中心对称图形,应熟记它们的对称轴和对称中心,并注意数形结合思想的应用.以题试法3.(1)(2013·青岛模拟)下列函数中,周期为π,且在⎣⎡⎦⎤π4,π2上为减函数的是( ) A .y =sin ⎝⎛⎭⎫2x +π2B .y =cos ⎝⎛⎭⎫2x +π2C .y =sin ⎝⎛⎭⎫x +π2D .y =cos ⎝⎛⎭⎫x +π2 (2)(2012·遵义模拟)若函数f (x )=sin ax +cos ax (a >0)的最小正周期为1,则它的图象的一个对称中心为( )A.⎝⎛⎭⎫-π8,0 B .(0,0) C.⎝⎛⎭⎫-18,0D.⎝⎛⎭⎫18,0解析:(1)选A 对于选项A ,注意到y =sin ⎝⎛⎭⎫2x +π2=cos 2x 的周期为π,且在⎣⎡⎦⎤π4,π2上是减函数.(2)选C 由条件得f (x )=2sin ⎝⎛⎭⎫ax +π4,又函数的最小正周期为1,故2πa=1,∴a =2π,故f (x )=2sin ⎝⎛⎭⎫2πx +π4.将x =-18代入得函数值为0.1.函数y = cos x -12的定义域为( )A.⎣⎡⎦⎤-π3,π3 B.⎣⎡⎦⎤k π-π3,k π+π3,k ∈Z C.⎣⎡⎦⎤2k π-π3,2k π+π3,k ∈Z D .R解析:选C ∵cos x -12≥0,得cos x ≥12,∴2k π-π3≤x ≤2k π+π3,k ∈Z .2.已知函数f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫x -π2(x ∈R ),下面结论错误的是( ) A .函数f (x )的最小正周期为2π B .函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0,π2上是增函数 C .函数f (x )的图象关于直线x =0对称 D .函数f (x )是奇函数解析:选D ∵y =sin ⎝⎛⎭⎫x -π2=-cos x ,∴T =2π,在⎣⎡⎦⎤0,π2上是增函数,图象关于y 轴对称,为偶函数.3.已知函数f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫2ωx -π3(ω>0)的最小正周期为π,则函数f (x )的图象的一条对称轴方程是( )A .x =π12B .x =π6C .x =5π12D .x =π3解析:选C 由T =π=2π2ω得ω=1,所以f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫2x -π3,则f (x )的对称轴为2x -π3=π2+k π(k ∈Z ),解得x =5π12+k π2(k ∈Z ),所以x =5π12为f (x )的一条对称轴.4.(2012·山东高考)函数y =2sin ⎝⎛⎭⎫πx 6-π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( ) A .2- 3 B .0 C .-1D .-1- 3解析:选A 当0≤x ≤9时,-π3≤πx 6-π3≤7π6,-32≤sin ⎝⎛⎭⎫πx 6-π3≤1,所以函数的最大值为2,最小值为-3,其和为2- 3.5.已知函数f (x )=-2sin(2x +φ)(|φ|<π),若f ⎝⎛⎭⎫π8=-2,则f (x )的一个单调递减区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤-π8,3π8 B.⎣⎡⎦⎤π8,9π8 C.⎣⎡⎦⎤-3π8,π8D.⎣⎡⎦⎤π8,5π8解析:选C 由f ⎝⎛⎭⎫π8=-2,得f ⎝⎛⎭⎫π8=-2sin ⎝⎛⎭⎫2×π8+φ=-2sin ⎝⎛⎭⎫π4+φ=-2,所以sin ⎝⎛⎭⎫π4+φ=1.因为|φ|<π,所以φ=π4.由2k π-π2≤2x +π4≤2k π+π2,k ∈Z ,解得k π-3π8≤x ≤k π+π8,k ∈Z . 6.已知函数f (x )=2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤-π3,π4上的最小值是-2,则ω的最小值等于( )A.23B.32 C .2D .3解析:选B ∵x ∈⎣⎡⎦⎤-π3,π4,则ωx ∈⎣⎡⎦⎤-π3ω,π4ω,要使函数f (x )在⎣⎡⎦⎤-π3,π4上取得最小值-2,则-π3ω≤-π2或π4ω≥3π2,得ω≥32,故ω的最小值为32.7.函数y =cos ⎝⎛⎭⎫π4-2x 的单调减区间为________.解析:由y =cos ⎝⎛⎭⎫π4-2x =cos ⎝⎛⎭⎫2x -π4得 2k π≤2x -π4≤2k π+π(k ∈Z ),故k π+π8≤x ≤k π+5π8(k ∈Z ).所以函数的单调减区间为⎣⎡⎦⎤k π+π8,k π+5π8(k ∈Z ) 答案:⎣⎡⎦⎤k π+π8,k π+5π8(k ∈Z ) 8.已知函数f (x )=5sin (ωx +2)满足条件f (x +3)+f (x )=0,则正数ω=________. 解析:f (x +3)+f (x )=0⇒f (x +6)=f (x ),故f (x )以6为最小正周期,故2π|ω|=6.又ω>0,∴ω=π3.答案:π39.如果函数y =3cos(2x +φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3,0中心对称,那么|φ|的最小值为________.解析:∵y =cos x 的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π+π2,0(k ∈Z ), ∴由2×4π3+φ=k π+π2(k ∈Z ),得φ=k π-13π6(k ∈Z ).∴当k =2时,|φ|min =π6.答案:π610.设f (x )=1-2sin x . (1)求f (x )的定义域;(2)求f (x )的值域及取最大值时x 的值.解:(1)由1-2sin x ≥0,根据正弦函数图象知:定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π+56π≤x ≤2k π+13π6,k ∈Z . (2)∵-1≤sin x ≤1,∴-1≤1-2sin x ≤3, ∵1-2sin x ≥0,∴0≤1-2sin x ≤3,∴f (x )的值域为[0,3],当x =2k π+3π2,k ∈Z 时,f (x )取得最大值.11.已知函数f (x )=2sin(π-x )cos x . (1)求f (x )的最小正周期;(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤-π6,π2上的最大值和最小值. 解:(1)∵f (x )=2sin(π-x )cos x =2sin x cos x =sin 2x ,∴函数f (x )的最小正周期为π.(2)∵-π6≤x ≤π2, ∴-π3≤2x ≤π,则-32≤sin 2x ≤1. 所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤-π6,π2上的最大值为1,最小值为-32. 12.(2012·北京高考)已知函数f (x )=(sin x -cos x )sin 2x sin x. (1)求f (x )的定义域及最小正周期;(2)求f (x )的单调递增区间.解:(1)由sin x ≠0得x ≠k π(k ∈Z ),故f (x )的定义域为{x ∈R |x ≠k π,k ∈Z }.因为f (x )=(sin x -cos x )sin 2x sin x=2cos x (sin x -cos x )=sin 2x -cos 2x -1=2sin ⎝⎛⎭⎫2x -π4-1, 所以f (x )的最小正周期T =2π2=π. (2)函数y =sin x 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π-π2,2k π+π2(k ∈Z ). 由2k π-π2≤2x -π4≤2k π+π2,x ≠k π(k ∈Z ), 得k π-π8≤x ≤k π+3π8,x ≠k π(k ∈Z ). 所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎭⎫k π-π8,k π和⎝⎛⎦⎤k π,k π+3π8(k ∈Z ).1. (2012·新课标全国卷)已知ω>0,0<φ<π,直线x =π4和x =5π4是函数f (x )=sin(ωx +φ)图象的两条相邻的对称轴,则 φ=( ) A.π4B.π3C.π2D.3π4解析:选A 由于直线x =π4和x =5π4是函数f (x )=sin(ωx +φ)图象的两条相邻的对称轴,所以函数f (x )的最小正周期T =2π,所以ω=1,所以π4+φ=k π+π2(k ∈Z ), 又0<φ<π,所以φ=π4. 2.函数y =f (cos x )的定义域为⎣⎡⎦⎤2k π-π6,2k π+2π3(k ∈Z ),则函数y =f (x )的定义域为________.解析:由2k π-π6≤x ≤2k π+2π3(k ∈Z ), 得-12≤cos x ≤1. 故所求函数的定义域为⎣⎡⎦⎤-12,1. 答案:⎣⎡⎦⎤-12,1 3. (2012·汕头模拟)已知a >0,函数f (x )=-2a sin ⎝⎛⎭⎫2x +π6+2a +b ,当x ∈⎣⎡⎦⎤0,π2时,-5≤f (x )≤1.(1)求常数a ,b 的值;(2)求f (x )的单调区间.解:(1)∵x ∈⎣⎡⎦⎤0,π2,∴π6≤2x +π6≤76π, ∴-12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x +π6≤1, 又∵a >0,-5≤f (x )≤1,∴⎩⎪⎨⎪⎧ -2a +2a +b =-5,a +2a +b =1,即⎩⎪⎨⎪⎧a =2,b =-5. (2)f (x )=-4sin ⎝⎛⎭⎫2x +π6-1, 由-π2+2k π≤2x +π6≤π2+2k π得 -π3+k π≤x ≤π6+k π,k ∈Z , 由π2+2k π≤2x +π6≤3π2+2k π得 π6+k π≤x ≤23π+k π,k ∈Z , ∴f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤π6+k π,2π3+k π(k ∈Z ),单调递减区间为⎣⎡⎦⎤-π3+k π,π6+k π(k ∈Z ).1.(2012·湖南高考)函数f (x )=sin x -cos ⎝⎛⎭⎫x +π6的值域为( ) A .[-2,2]B .[-3, 3 ]C .[-1,1] D.⎣⎡⎦⎤-32,32 解析:选B 因为f (x )=sin x -32cos x +12sin x =3⎝⎛⎭⎫ 32sin x -12cos x =3sin ⎝⎛⎭⎫x -π6,所以函数f (x )的值域为[-3, 3 ].2.(2012·温州模拟)已知函数y =2sin(ωx +φ)(ω>0)为偶函数(0<φ<π),其图象与直线y =2某两个交点的横坐标分别为x 1,x 2,若|x 2-x 1|的最小值为π,则该函数的一个递增区间可以是( )A.⎝⎛⎭⎫-π2,-π4 B.⎝⎛⎭⎫-π4,π4 C.⎝⎛⎭⎫0,π2 D.⎝⎛⎭⎫π4,3π4解析:选A 由函数为偶函数知φ=π2+k π(k ∈Z ),又因为0<φ<π所以φ=π2,从而y =2cos ωx .又由条件知函数的最小正周期为π,故ω=2,因此y =2cos 2x .经验证知A 满足条件.3.设函数f (x )=sin(ωx +φ)⎝⎛⎭⎫ω>0,|φ|<π2,给出以下四个论断: ①它的最小正周期为π;②它的图象关于直线x =π12成轴对称图形; ③它的图象关于点⎝⎛⎭⎫π3,0成中心对称图形;④在区间⎣⎡⎭⎫-π6,0上是增函数. 以其中两个论断作为条件,另两个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题________(用序号表示即可).答案:①②⇒③④(或①③⇒②④)4.已知函数f (x )=sin(ωx +φ)⎝⎛⎭⎫0<φ<2π3的最小正周期为π. (1)求当f (x )为偶函数时φ的值; (2)若f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π6,32,求f (x )的单调递增区间.解:∵由f (x )的最小正周期为π,则T =2πω=π,∴ω=2. ∴f (x )=sin(2x +φ).(1)当f (x )为偶函数时,f (-x )=f (x ).∴sin(2x +φ)=sin(-2x +φ),展开整理得sin 2x cos φ=0, 由已知上式对∀x ∈R 都成立,∴cos φ=0,∵0<φ<2π3,∴φ=π2. (2)f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π6,32时,sin ⎝⎛⎭⎫2×π6+φ=32,即sin ⎝⎛⎭⎫π3+φ=32. 又∵0<φ<2π3,∴π3<π3+φ<π. ∴π3+φ=2π3,φ=π3. ∴f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫2x +π3. 令2k π-π2≤2x +π3≤2k π+π2,k ∈Z , 得k π-5π12≤x ≤k π+π12,k ∈Z . ∴f (x )的递增区间为⎣⎡⎦⎤k π-5π12,k π+π12,k ∈Z .。
2014届高三数学一轮复习 (基础知识+小题全取+考点通关+课时检测)3.2同角三角函数的基本关系与诱导公式
3.在三角形ABC中,
(1)求证:cos
(2)若
2A+B
2
+cos =1; 2
(C-π)<0,求证:三角
2C
π 3 cos2 +Asin2π+Btan
形 ABC 为钝角三角形.
A+B π C 证明:(1)在△ABC中,A+B=π-C,则 = - , 2 2 2
[例 3]
在△ABC 中,若 sin(2π-A)=- 2sin(π-B),
3cos A=- 2cos (π-B),求△ABC 的三个内角.
[自主解答] 由已知得 sin A= 2sin B, 3cos A
= 2cos B 两式平方相加得 2cos2A=1, 2 2 即 cos A= 或 cos A=- . 2 2
1.(1)(2013· 长沙模拟)若角 α 的终边落在第三象限,则 cos α 2sin α 2 + 2 的值为 1-sin α 1-cos α ( )
A.3 C.1
B.-3 D.-1
(2)(2012· 厦门模拟)已知 sin αcos α 等于
2 A.- 5 2 2 C. 或- 5 5
π sin(3π-α)=-2sin2+α,则
(sin α+cos α)2+(sin α-cos α)2=2,问题迎刃而解.
2.对所求式子进行恒等变形时,注意式子正、负号的讨 论与确定.
[巧思妙解]
π C. 6
(
π B.- 3 π D. 3
)
解析:∵sin(π+θ)=- 3cos(2π-θ), ∴-sin θ=- 3cos θ,∴tan θ= 3. π π ∵|θ|< ,∴θ= . 2 3 答案: D
3.已知tan
π sin2+θ-cosπ-θ θ=2,则 =( π sin2-θ-sinπ-θ
山东省2014届理科一轮复习试题选编10三角函数的图像及性质
山东省2014届理科数学一轮复习试题选编10:三角函数的图像及性质一、选择题1 .(山东省潍坊市2013届高三上学期期末考试数学理A .)函数x x y sin =在[]ππ,-上的图象是【答案】A【解析】函数x x y sin =为偶函数,所以图象关于y 对称,所以排除 D .当2x π=时,02y π=>,排除 B .当34x π=时,3sin 44422y πππππ===<,排除C,选A .2 .(山东省潍坊市2013届高三第一次模拟考试理科数学)设曲线sin y x =上任一点(,)x y 处切线斜率为()g x ,则函数2()y x g x =的部分图象可以为.【答案】C 'cos y x =,即()cos g x x =,所以22()cos yx g x x x ==,为偶函数,图象关于y 轴对称,所以排除A, B .当2cos 0y x x ==,得0x =或,2x k k Z ππ=+∈,即函数过原点,所以选C .3 .(山东省德州市乐陵一中2013届高三十月月考数学(理)试题)已知a 是实数,则函数ax a x f sin 1)(+=的图象不可能是【答案】D 【解析】A 中,周期22T aππ=>,所以1a <,函数的最大值为12a +<,所有的图象有可能.B 周期22T aππ=<,所以1a >,函数的最大值为12a +>,所以B 的图象有可能.C 中当0a =时,函数为()1f x =,所以C 的图象有可能.D 周期22T aππ=>,所以1a <,函数的最大值为12a +<,而D 的图象中的最大值大于2,所以D 的图象不可能,综上选 D . 4 .(山东省兖州市2013高三9月入学诊断检测数学(理)试题)函数π)0(sin ln <<=x x y 的大致图象是【答案】C5 .(山东威海市2013年5月高三模拟考试数学(理科))函数)2ln(sin)(+=x xx f 的图象可能是( )A .B .C .D .【答案】A . 6 .(2013山东高考数学(理))函数cos sin y x x x =+的图象大致为【答案】 D 【解析】函数y=xcosx + sinx 为奇函数,所以图象关于原点对称,所以排除B,C .当x π=时,()0f ππ=-<,排除A,选D .7 .(山东省淄博市2013届高三复习阶段性检测(二模)数学(理)试题)函数()2tan 22f x x x ππ⎛⎫=--⎪⎝⎭在,上的图象大致为【答案】C 函数()2tan f x x x =-为奇函数,所以图象关于原点对称,所以排除A,B .当2x π→时,0y <,所以排除D,选 C .8 .(2013届山东省高考压轴卷理科数学)已知函数4sin(2)y x π=-,则其图象的下列结论中,正确的是( )y1 1 -1 -2xy11 -1 O xO y11 -1 O xy1 -1-1 -2xOA .关于点()8,1π-中心对称 B .关于直线8x π=轴对称 C .向左平移8π后得到奇函数D .向左平移8π后得到偶函数【答案】C 【解析】对于A:sin(2)sin 244y x x ππ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭-,其对称中心的纵坐标应为0,故排除A;对于B:当8x π=时,y=0,既不是最大值1,也不是最小值-1,故可排除B;对于C:sin(2)sin 244y x x ππ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭-,向左平移8π后得到: sin 2sin 284y x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦为奇函数,正确;可排除D .故选 C .9 .(山东省青岛即墨市2013届高三上学期期末考试数学(理)试题)函数x xy sin 3+=的图象大致是【答案】C【 解析】函数()sin 3xy f x x ==+为奇函数,所以图象关于原点对称,排除B .当x →+∞时,0y >,排除D .1'()cos 3f x x =+,由1'()cos 03f x x =+=,得1cos 3x =-,所以函数()sin 3xy f x x ==+的极值有很多个,所以选C . 10.(山东省济南市2013届高三4月巩固性训练数学(理)试题)函数)22sin(2x y-=π是( )A .最小正周期为π的奇函数B .最小正周期为π的偶函数C .最小正周期为2π的奇函数 D .最小正周期为2π的偶函数 【答案】B11.(2011年高考(山东理))若函数()sin (0)f x x ωω=>在区间[0,]3π上单调递增,在区间[,]32ππ上单调递减,则ω= ( )A .8B .2C .32D .23【答案】解析:函数()sin (0)f x x ωω=>在区间[0,]2πω上单调递增,在区间3[,]22ππωω上单调递减, 则23ππω=,即32ω=,答案应选C . 另解1:令[2,2]()22x k k k ππωππ∈--∈Z 得函数()f x 在22[,]22k k x ππππωωωω∈-+为增函数,同理可得函数()f x 在223[,]22k k x ππππωωωω∈++为减函数,则当0,23k ππω==时符合题意,即32ω=,答案应选C .另解2:由题意可知当3x π=时,函数()sin (0)f x x ωω=>取得极大值,则)03f π'=,即cos03πωω=,即()32k k ππωπ=+∈Z ,结合选择项即可得答案应选C .另解3:由题意可知当3x π=时,函数()sin (0)f x x ωω=>取得最大值,则2()32k k ππωπ=+∈Z ,36()2k k ω=+∈Z ,结合选择项即可得答案应选C . 12.(山东省莱钢高中2013届高三4月模拟检测数学理试题 )函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的图像关于直线3π=x 对称,它的最小正周期为π,则函数)(x f 图像的一个对称中心是 ( )A .)0,12(πB .)1,3(πC .)0,125(πD .)(0,12-π 【答案】A13.(山东省文登市2013届高三3月二轮模拟考试数学(理))设函数()sin(2)6f x x π=+,则下列结论正确的是( )A .()f x 的图像关于直线3x π=对称 B .()f x 的图像关于点(,0)6π对称C .()f x 的最小正周期为π,且在[0,]12π上为增函数D .把()f x 的图像向右平移12π个单位,得到一个偶函数的图像【答案】C14.(山东省济南市2012届高三3月高考模拟题理科数学(2012济南二模))函数)2sin(sin x x y +=π的最小正周期是 ( )A .π2B .πC .2πD .4π【答案】B【解析】函数x x x x x y 2sin 21cos sin )2sin(sin ==+=π,所以周期为π,选 B .15.(山东省泰安市2013届高三第一轮复习质量检测数学(理)试题)当4x π=时,函数()()()s i n 0fx A xA ϕ=+>取得最小值,则函数34y f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭是( )A .奇函数且图像关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称 B .偶函数且图像关于点(),0π对称C .奇函数且图像关于直线2x π=对称D .偶函数且图像关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称【答案】C当4x π=时,函数()()()s i n 0fx A xA ϕ=+>取得最小值,即2,42k k Z ππϕπ+=-+∈,即32,4k k Zπϕπ=-+∈,所以()()3si n ()4fx A xA π=->,所以333()s in ()s i n 444y f x A x A x πππ=-=--=-,所以函数为奇函数且图像关于直线2x π=对称,选C .16.(山东省德州市2013届高三3月模拟检测理科数学)函数2cos ()4y x π=+的图象沿x 轴向右平移a 个单位(0)a >,所得图象关于y 轴对称,则a 的最小值为 ( )A .πB .34πC .2πD .4π【答案】D 21cos(2)1sin 2112cos ()sin 242222x x y x x ππ++-=+===-,函数向右平移a 个单位得到函数为1111sin 2()sin(22)2222y x a x a =--=--,要使函数的图象关于y 轴对称,则有2,2a k k Z ππ-=+∈,即,42k a k Z ππ=--∈,所以当1k =-时,得a 的最下值为4π,选 D .17.(山东济南外国语学校2012—2013学年度第一学期高三质量检测数学试题(理科))已知函数()2sin(),,f x x x R ωϕ=+∈其中0,.ωπϕπ>-<≤若()f x 的最小正周期为6π,且当2x π=时,()f x 取得最大值,则( ) A .()f x 在区间[2,0]π-上是增函数 B .()f x 在区间[3,]ππ--上是增函数 C .()f x 在区间[3,5]ππ上是减函数 D .()f x 在区间[4,6]ππ上是减函数【答案】A 【解析】由26T ππω==,所以13ω=,所以函数1()2sin()3f x x ϕ=+,当2x π=时,函数取得最大值,即12322k ππϕπ⨯+=+,所以23k πϕπ=+,因为πϕπ-<≤,所以3πϕ=,1()2sin()33f x x π=+,由1222332k x k πππππ-+≤+≤+,得56622k x k ππππ-+≤≤+,函数的增区间为5[6,6]22k k ππππ-++,当0k =时,增区间为5[,]22ππ-,所以()f x 在区间[2,0]π-上是增函数,选A18.(山东师大附中2013届高三第四次模拟测试1月理科数学)已知ω>0,0ϕπ<<,直线x =4π和x =54π是函数()sin()f x x ωϕ=+图象的两条相邻的对称轴,则ϕ= ( )A .4π B .3π C .2πD .34π【答案】A 【解析】由题意可知5244T πππ=-=,所以函数的周期为2T π=.即22T ππω==,所以1ω=,所以()sin()f x x ϕ=+,所以由()sin()144f ππϕ=+=,即242k ππϕπ+=+,所以24k πϕπ=+,所以当0k =时,4πϕ=,所以选A .19.(山东师大附中2013届级高三12月第三次模拟检测理科数学)设函数()()()s i nc o s fx x x ωϕωϕ=+++0,||2πωϕ⎛⎫><⎪⎝⎭的最小正周期为π, 且()()f x f x -=,则( )A .()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 B .()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 C .()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增D .()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增【答案】A 【解析】因为()()()sin cos )4f x x x x πωϕωϕωϕ=+++=++且函数的最小正周期为π,所以2T ππω==,所以2ω=,即函数())4f x x πϕ=++,又函数()()f x f x -=,所以函数为偶函数,所以,42k k Z ππϕπ+=+∈,即,4k k Z πϕπ=+∈,因为||2πϕ<,所以当0k =时,4πϕ=,所以()s i n (2)2s i 2)2co s 2442fx x x x πππ=+++=,当02x π<<时,02x π<<,此时函数()2f x x =单调递减,选( )A .20.(山东省青岛市2013届高三上学期期中考试数学(理)试题)已知函数()sin()f x A x ωϕ=+(其中0,2A πϕ><)的图象如图所示,则函数()f x 的解析式为( )A .()sin(2)3f x x π=- B .()sin(2)6f x x π=+ C .()sin(2)3f x x π=+D .()sin(4)6f x x π=+【答案】C21.(山东省菏泽市2013届高三5月份模拟考试数学(理)试题)已知函数①sin cos ,y x x =+②cos y x x =,则下列结论正确的是 ( )A .两个函数的图象均关于点(,0)4π-,成中心对称B .①的纵坐标不变,横坐标扩大为原来的2倍,再向右平移4π个单位即得② C .两个函数在区间(-4π,4π)上都是单调递增函数 D .两个函数的最小正周期相同 【答案】C22.(山东省烟台市2013届高三3月诊断性测试数学理试题)若函数f(x)=2sin )0(>ωωx 在区间]4,3[ππ-上单调递增,则ω的最大值等于 ( )A .32B .23 C .2 D .3 【答案】B 因为函数在[,]44T T -上递增,所以要使函数f(x)=2sin )0(>ωωx 在区间]4,3[ππ-上单调递增,则有34T π-≥-,即43T π≥,所以243T ππω=≥,解得32ω≤,所以ω的最大值等于23,选 B . 二、填空题23.(山东省烟台市2013届高三上学期期中考试数学试题(理科))函数)(ππ2,0),3sin(2∈-=x x y 的单调递增区间为______________【答案】]61165[ππ, 【解析】由)3sin(2)3sin(2ππ--=-=x x y 知当≤-≤+322πππx k ππk 223+即)(2611265Z k k x k ∈+≤≤+ππππ时,y 为增函数. )2,0(π∈x ,∴函数的增区间为]611,65[ππ.24.(山东省青岛即墨市2013届高三上学期期末考试数学(理)试题)已知函数2()2sin ()21,,442f x x x x πππ⎡⎤=+--∈⎢⎥⎣⎦,则)(x f 的最小值为_________.【答案】1【解析】2()2sin ()211cos 2()2144f x x x x x ππ=+-=-+--cos(2)2sin 222sin(2)23x x x x x ππ=-+-==-,因为42x ππ≤≤,所以22633x πππ≤-≤,所以sin sin(2)sin 632x πππ≤-≤,即1sin(2)123x π≤-≤,所以12sin(2)23x π≤-≤,即1()2f x ≤≤,所以)(x f 的最小值为1.25.(山东省济南市2013届高三3月高考模拟理科数学)函数sin()(0)2yx πϕϕ=+>的部分图象如图所示,设P 是图象的最高点,,A B 是图象与x 轴的交点,则tan APB ∠_______________.【答案】2-函数的最大值是1,周期242T ππ==,则14TAD ==,3,1BD PD ==,则tan 1,tan 3,AD BDAPD BPD PD PD∠==∠==所以tan tan()APB APD BPD ∠=∠+∠ tan tan 1321tan tan 113APD BPD APD BPD ∠+∠+===--∠⋅∠-⨯. 26.(山东省枣庄市2013届高三3月模拟考试数学(理)试题)设()y f t =是某港口水的深度y(米)关于时间t(时)的函数,其中0≤t≤24.下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t 与水深y 的关系:经长期观察,函数y=f(t)的图象可以近似地看成函数sin()y h A x ωφ=++的图象.最能近似表示表中数据间对应关系的函数是_______.【答案】 5.0 2.5sin6y t π=+由数据可知函数的周期12T =,又212T πω==,所以6πω=.函数的最大值为7.5,最小值为2.5,即7.5, 2.5h A h A +=-=,解得 5.0, 2.5h A ==,所以函数为() 5.0 2.5sin()6y f x t πφ==++,又(3) 5.0 2.5sin(3)7.56y f πφ==+⨯+=,所以sin()cos 12πφφ+==,即2,k k Z φπ=∈,所以最能近似表示表中数据间对应关系的函数是 5.0 2.5sin6y t π=+.27.(山东省济宁邹城市2013届高三上学期期中考试数学(理)试题)已知函数()3sin(2)3f x x π=-的图象为C,关于函数()f x 及其图象的判断如下: ①图象C 关于直线112x π=对称; ②图象C 关于点2(,0)3π对称; ③由3sin 2y x =得图象向右平移3π个单位长度可以得到图象C; ④函数f(x)在区间(5,1212ππ-)内是增函数; ⑤函数|()1|f x +的最小正周期为2π. 其中正确的结论序号是_________.(把你认为正确的结论序号都填上) 【答案】①②④三、解答题28.(山东省济南市2013届高三4月巩固性训练数学(理)试题)已知函数)()4sin cos 03f x x x πωωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭的最小正周期为π.⑴求)(x f 的解析式;(2)求)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-6,4ππ上的最大值和最小值及取得最值时x 的值. 【答案】解()4sin cos cos sin sin 33f x x x x ππωωω⎛⎫=- ⎪⎝⎭22sin cos x x x ωωω=-+sin 22x x ωω=+2sin 23x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2,12T ππωω==∴=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∴32sin 2)(πx x f(2)46x ππ-≤≤,22633x πππ∴-≤+≤1sin 2123x π⎛⎫∴-≤+≤ ⎪⎝⎭,即()12f x -≤≤, 当2,36x ππ+=-即4x π=-时,()min 1f x =-,当2,32x ππ+=即12x π=时,()max 2f x =29.(山东省莱钢高中2013届高三4月模拟检测数学理试题 )已知函数. (1)求函数的最小正周期; (2)求函数在上的最大值和最小值,并求函数取得最大值和最小值时的自变量的值. (3)已知ABC ∆中,角C B A ,,的对边分别为.,,c b a 若3(),2f A = 2.b c +=求边a 的最小值.【答案】(1)的最小正周期(2)∴当,即时,当或时,即或时,435)(min +=x f(3)2345)62sin(21)(=++=πA A f 21)62sin(=+∴πA),6136(62πππ∈+A 6562ππ=+∴A 3π=∴A∵b+c=2∴1)2(34343)(22222=+-≥-=-+=-+=c b bc bc c b bc c b a 当且仅当b=c 时取等号∴a 的最小值是130.(山东省枣庄三中2013届高三上学期1月阶段测试理科数学)设x x x x f cos sin 32cos 6)(2-=.(Ⅰ)求)(x f 的最小正周期及单调递增区间;4x π=12x π=2263x ππ+=263x ππ+=max 157()244f x =+=6x π=262x ππ+=22[,]633x πππ∴+∈[,]124x ππ∈ 22T ππ==()f x 15sin(2)264x π=++15cos 2244x x =+21()cos cos 12f x x x x =+x [,]124ππ()f x ()fx 21()cos cos 1,22f x x x x x R =++∈(Ⅱ)将函数)(x f 的图象向右平移3π个单位,得)(x g y =的图象,求x x g x F 323)()(-=在4π=x 处的切线方程.【答案】解:(Ⅰ)(1cos 2)()62)326x f x x x π+==++,故f (x )的最小正周期π=T , 由ππππk x k 2622≤+≤+-得f (x )的单调递增区间为()Z k k k ∈--]12,127[ππππ(Ⅱ)由题意:())]32336g x x x ππ=-++=+, x xxx g x F 2sin 323)()(=-=, 2'2sin 2cos 2)(x xx x x F -=, 因此切线斜率2'16)4(ππ-==F k ,切点坐标为)4,4(ππ,故所求切线方程为)4(1642πππ--=-x y ,即08162=-+ππy x 31.(山东省德州市乐陵一中2013届高三十月月考数学(理)试题)已知函数()()x xf x cos sin x 2424ππ⎛⎫⎛⎫=++-+π ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(I)求()f x 的最小正周期;www.(Ⅱ)若将()f x 的图象按向量a =(6π,0)平移得到函数g(x)的图象,求函数g(x)在区间[]0,π上的最大值和最小值. 【答案】32.(山东省日照市2013届高三12月份阶段训练数学(理)试题)已知向量)(),0,0,sin a x b x ==,记函数()()22f x a b x =++.求:(I)函数()f x 的最小值及取得小值时x 的集合;(II)函数()f x 的单调递增区间.【答案】解:(Ⅰ)x x f 2sin 3)()(2++=b a212cos 2cos 222x x x x =++=+ =2)6π2sin(2++x , 当且仅当23ππ26π2+=+k x ,即32ππ+=k x )(Z ∈k 时,()0f x =min , 此时x 的集合是⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k x x π,32π| (Ⅱ)由)(2ππ26π22ππ2Z ∈+≤+≤k k x k -,所以)(6ππ3ππZ ∈+≤≤k k x k -, 所以函数()f x 的单调递增区间为)](6ππ,3ππ[Z ∈+k k k - 33.(山东师大附中2013届高三第四次模拟测试1月理科数学)已知函数ππ1()cos()cos()sin cos 334f x x x x x =+--+ (1)求函数)(x f 的最小正周期和最大值;(2)求函数()f x 单调递增区间【答案】【解析】:(Ⅰ)ππ11()cos()cos()sin 23324f x x x x =+--+131311(cos sin )(cos sin )sin 2222224x x x x x =-+-+221311cos sin sin 24424x x x =--+1cos 233cos 211sin 28824xxx +-=--+1(cos 2sin 2)2x x =-2cos 224x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭函数)(x f 的最小正周期为 T π=,函数)(x f 的最大值为22(II)由 222,4k x k k z ππππ-≤+≤∈得 5,88k x k k z ππππ-≤≤-∈函数)(x f 的 单调递增区间为5[,],88k k k z ππππ--∈34.(山东省济宁邹城市2013届高三上学期期中考试数学(理)试题)已知向量21cos 213(sin ,sin ),(cos 2sin 2,2sin )222x m x x n x x x +=+=-,设函数(),.f x m n x =⋅∈R(I)求函数f(x)的最小正周期及单调增区间;(Ⅱ)若[0,],()2x f x π∈求函数值域.【答案】。
2014届高考数学一轮复习 第3章《三角函数、解三角形》(第3课时)知识过关检测 理 新人教A版
2014届高考数学(理)一轮复习知识过关检测:第3章《三角函数、解三角形》(第3课时)(新人教A 版)一、选择题1.若cos α=-45,α是第三象限的角,则sin(α+π4)=( )A .-7210B.7210 C .-210D.210解析:选A.由于α是第三象限角且cos α=-45,∴sin α=-35,∴sin(α+π4)=sin αcos π4+cos αsin π4=22(-45-35)=-7102.2.(2013·青岛质检)cos42°cos78°+sin42°cos168°等于( )A .-12 B.12C .-32 D.32 解析:选A.cos42°cos78°+sin42°cos168° =cos42°cos78°-sin42°sin78°=cos120°=-12.3.在△ABC 中,tan A +tan B +3=3tan A ·tan B ,则C 等于( ) A.π3 B.2π3 C.π6 D.π4 解析:选A.由题意得,tan A +tan B =-3(1-tan A tan B ), ∴tan A +tan B 1-tan A tan B=-3, 即tan(A +B )=-3,又tan C =tan[π-(A +B )]=-tan(A +B )=3,∴C =π3.4.若α∈(π2,π),且sin α=45,则sin(α+π4)-22cos α=( )A.225 B .-225C.425D .-425解析:选 A.sin(α+π4)-22cos α=sin αcos π4+cos αsin π4-22cos α=45×22=225.故选A. 5.已知cos α=13,cos(α+β)=-13,且α、β∈⎝⎛⎭⎪⎫0,π2,则cos(α-β)的值等于( )A .-12 B.12C .-13 D.2327解析:选D.∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0,π2,2α∈(0,π).∵cos α=13,∴cos2α=2cos 2α-1=-79,∴sin2α=1-cos 22α=429,而α,β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2,∴α+β∈(0,π),∴sin(α+β)=1-cos2α+β=223, ∴cos(α-β)=cos[2α-(α+β)]=cos2αcos(α+β)+sin2αsin(α+β) =⎝ ⎛⎭⎪⎫-79×⎝ ⎛⎭⎪⎫-13+429×223=2327. 二、填空题6.化简:cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3+α+sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6+α=________. 解析:cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3+α+sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6+α =cos π3cos α-sin π3sin α+sin π6cos α+cos π6sin α=12cos α-32sin α+12cos α+32sin α=cos α. 答案:cos α7.tan20°+t an40°+3tan20°tan40°=________. 解析:tan20°+tan40°+3tan20°tan40°=tan60°(1-tan20°tan40°)+3tan20°tan40° =tan60°-3tan20°tan40°+3tan20°tan40° = 3. 答案: 38.已知cos(α+π3)=sin(α-π3),则tan α=________.解析:∵cos(α+π3)=sin(α-π3),∴cos αcos π3-sin αsin π3=sin αcos π3-cos αsin π3,∴tan α=1. 答案:1 三、解答题9.求值:(1)2cos10°-sin20°sin70°;(2)tan(π6-θ)+tan(π6+θ)+3tan(π6-θ)tan(π6+θ).解:(1)原式=--sin20°sin70°=3cos20°+sin20°-sin20°sin70°=3cos20°sin70°= 3.(2)原式=tan[(π6-θ)+(π6+θ)][1-tan(π6-θ)·tan(π6+θ)]+3tan(π6-θ)tan(π6+θ)= 3.10.已知α∈(π2,π),且sin α2+cos α2=62.(1)求cos α的值;(2)若sin(α-β)=-35,β∈(π2,π),求cos β的值.解:(1)因为sin α2+cos α2=62,两边同时平方得sin α=12.又π2<α<π,所以cos α=-32. (2)因为π2<α<π,π2<β<π,所以-π<-β<-π2,得-π2<α-β<π2.又sin(α-β)=-35,知cos(α-β)=45.所以cos β=cos[α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)=-32×45+12×(-35)=-43+310.一、选择题1.在△ABC 中,C =120°,tan A +tan B =233,则tan A tan B 的值为( )A.14B.13C.12D.53 解析:选B.tan(A +B )=-tan C =-tan120°=3,∴tan(A +B )=tan A +tan B1-tan A tan B =3,即2331-tan A tan B = 3.解得tan A tan B =13,故选B.2.(2013·潍坊调研)设α,β都是锐角,那么下列各式中成立的是( ) A .sin(α+β)>sin α+sin β B .cos(α+β)>cos αcos β C .sin(α+β)>sin(α-β) D .cos(α+β)>cos(α-β) 解析:选C.∵sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β, sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β, 又∵α、β都是锐角,∴cos αsin β>0, 故sin(α+β)>sin(α-β). 二、填空题3.设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4,3π4,β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π4,cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α-π4=35,sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4+β=513,则sin(α+β)=________.解析:α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4,3π4,α-π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2,又cos ⎝⎛⎭⎪⎫α-π4=35, ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α-π4=45. ∵β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π4,∴3π4+β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4,π.∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4+β=513,∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4+β=-1213, ∴sin(α+β)=sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α-π4+⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4+β-π2 =-cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α-π4+⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4+β =-cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α-π4·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4+β+sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α-π4·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4+β =-35×⎝ ⎛⎭⎪⎫-1213+45×513=5665, 即sin(α+β)=5665.答案:56654.(2013·大连质检)已知:0°<α<90°,0°<α+β<90°,3sin β=sin(2α+β),则tan β的最大值是________.解析:由3sin β=sin(2α+β)得3sin(α+β-α)=sin(α+β+α),化简得sin(α+β)cos α=2cos(α+β)sin α, ∴tan(α+β)=2tan α,∴tan β=tan(α+β-α)=α+β-tan α1+α+βα=tan α1+2tan 2α=11tan α+2tan α,∵1tan α+2tan α≥22, ∴tan β的最大值为122=24. 答案:24三、解答题5.(2013·东营质检)已知a =(sin ωx ,-2cos ωx ),b =(2cos ωx ,3cos ωx )(ω>0),设函数f (x )=a ·b +3,且函数f (x )图象上相邻两条对称轴之间的距离是π2.(1)求f (x )的解析式;(2)若f (A )=-1,其中A 是△ABC 的内角,求A 的值;(3)若f (α)=-65,α∈⎝⎛⎭⎪⎫0,π2,求sin2α的值.解:(1)f (x )=2sin ωx cos ωx -23cos 2ωx + 3=sin2ωx -3cos2ωx =2sin(2ωx -π3),由条件知函数f (x )的周期为π,∴2π2ω=π,∴ω=1,∴f (x )=2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x -π3. (2)由(1)知,f (A )=2sin(2A -π3)=-1,∴sin(2A -π3)=-12,∵A 是△ABC 的内角,∴0<A <π,∴-π3<2A -π3<5π3,∴2A -π3=-π6或7π6,∴A =π12或3π4.(3)由f (α)=-65,知2sin(2α-π3)=-65,∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α-π3=-35, ∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0,π2,∴2α-π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-π3,2π3,而sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α-π3<0,∴2α-π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-π3,0, ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α-π3=45, sin2α=sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2α-π3+π3 =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α-π3cos π3+cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α-π3sin π3 =-35×12+45×32=43-310.。
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第四章 单元测试一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.每小题中只有一项符合题目要求)1. 集合M ={x |x =sin n π,n ∈Z },N ={x |x =cos n π,n ∈N },则M ∩N 等于( )A .{-1,0,1}B .{0,1}C .{0}D .∅答案 C解析 ∵M ={x |x =sin n π3,n ∈Z }={-3,0,3}, N ={-1,0,1}, ∴M ∩N ={0}.应选C.2.已知α∈(π2,π),sin α=35,则tan(α+π4)等于( )A.17 B .7 C 17 D .-7答案 A解析 ∵α∈(π2,π),∴tan α=-34. ∴tan(α+π4)=-34+11+34=17. 3. 已知函数f (x )=sin(πx -π2)-1,则下列命题正确的是 ( )A .f (x )是周期为1的奇函数B .f (x )是周期为2的偶函数C .f (x )是周期为1的非奇非偶函数D .f (x )是周期为2的非奇非偶函数 答案 B解析 f (x )=-cos πx -1,周期为2,且为偶函数,故选B.4.把函数y =sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2)的图像向左平移π3个单位,所得曲线的一部分如图所示,则ω、φ的值分别为( )A .1,π3 B .1,-π3 C .2π3 D .2,-π3答案 D解析 由题知,14×2πω=7π12-π3,∴ω=2,∵函数的图像过点(π3,0),∴2(π3+π3)+φ=π.∴φ=-π3.故选D.5.函数y =2sin(x -π6)+cos(x +π3)的一条对称轴为( )A .x π3 B .x =π6 C .x =-π3 D .x =-5π6答案 C解析 y =2sin(x -π)+cos(x +π) =2sin(x -π6)+sin[π2-(x +π3)] =2sin(x -π6)+sin(π6-x )=sin(x -π6). 方法一 把选项代入验证.方法二 由x -π6=k π+π2,得x =k π+23π(k ∈Z ). 当k =-1时,x =-π3.6.如图,一个大风车的半径为8 m ,每12 min 旋转一周,最低点离地面为2 m .若风车翼片从最低点按逆时针方向开始旋转,则该翼片的端点P 离地面的距离h (m)与时间t (min)之间的函数关系是( )A .h =8cos π6t +10 B .h =-8cos π3t +10 C .h =-8sin πt +10 D .h =-8cos πt +10答案 D解析 排除法,由T =12,排除B ,当t =0时,h =2,排除A 、C.故选D. 7.设a >0,对于函数f (x )=sin x +asin x (0<x <π),下列结论正确的是 ( )A .有最大值而无最小值B .有最小值而无最大值C .有最大值且有最小值D .既无最大值也无最小值 答案 B解析 令t =sin x ,则函数f (x )=sin x +a sin x x <π)的值域为函数y =1+at ,t ∈(0,1]的值域,又a >0,所以y =1+at ,t ∈(0,1]是一个减函数.故选B.8.甲船在岛A 的正南B 处,以4 km/h 的速度向正北航行,AB =10 km ,同时乙船自岛A 出发以6 km/h 的速度向北偏东60°的方向驶去,当甲、乙两船相距最近时,它们所航行的时间为( )A.1507 min B.157 h C .21.5 min D .2.15 h答案 A解析 如右图:设t 小时甲行驶到D 处AD =10-4t , 乙行驶到C 处AC =6t ,∵∠BAC =120°, DC 2=AD 2+AC 2-2AD ·AC ·cos120°=(10-4t )2+(6t )2-2×(10-4t )×6t ×cos120°=28t 2-20t +100. 当t =514 h 时DC 2最小,DC 最小,此时t =514×60=1507 min.9.在△ABC 中,已知sin C =2sin(B +C )cos B ,那么△ABC 一定是 ( ) A .等腰直角三角形 B .等腰三角形 C .直角三角形 D .等边三角形答案 B解析 C =π-(A +B ),B +C =π-A .有sin(A +B )=2sin A cos B ,sin A cos B +cos A sin B =2sin A cos B . 即sin A cos B -cos A sin B =0,sin(A -B )=0,则A =B . ∴△ABC 为等腰三角形.故选B.10.已知函数f (x )=sin(2x +φ),其中φ为实数,若f (x )≤|f (π6)|对x ∈R 恒成立,且f (π2)>f (π),则f (x )的单调递增区间是( )A .[k ππ3,k π+π6](k ∈Z ) B .[k π,k π+π2](k ∈Z )C .[k π+π6,k π+2π3](k ∈Z ) D .[k ππ2,k π](k ∈Z ) 答案 C解析 因为当x ∈R 时,f (x )≤|f (π6)|恒成立,所以f (π6)=sin(π3+φ)=±1,可得φ=2k π+π6或φ=2k π-5π6.因为f (π2)=sin(π+φ)=-sin φ>f (π)=sin(2π+φ)=sin φ,故sin φ<0,所以φ=2k π-5π6,所以f (x )=sin(2x -5π6),函数的单调递增区间为-π2+2k π≤2x -5π6≤π2+2k π,所以x ∈[k ππ6,k π+2π3](k ∈Z ),故选C.二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分,把答案填在题中横线上)11.已知角θ的顶点与原点重合,始边与x 轴的正半轴重合,终边在直线y =2x 上,则cos 2θ=________.答案 35解析 由角θ的终边在直线y =2x 上可得tan θ=2,cos 2θ=cos 2θ-sin 2θ=cos 2θ-sin 2θcos 2θ+sin 2θ=1-tan 2θ1+tan 2θ=-35. 12.函数f (x )=sin 4x +cos 2x 的最小正周期为________. 答案 π2解析 法一:f (x )=(1-cos 2x )2+cos 2x =1+cos 4x -cos 2x =1+cos 2x (cos 2x -1)=1-cos 2x ·sin 2x =1-14sin 22x =114(1-cos4x 2)=78+18cos4x . 法二:f (x )=(sin 2x )2+cos 2x =(1-cos2x 2)2+1+cos2x234+14cos 22x =78+18cos4x .13.已知等腰△ABC 的三个内角A ,B ,C 所对边的长分别为a ,b ,c ,设向量p =(a +c ,b ),q =(b +a ,c -a ),若p ∥q ,则角A 的大小为________.答案 30°解析 由p ∥q ,得(a +c )(c -a )=b (b +a ),即-ab =a 2+b 2-c 2,由余弦定理,得cos C =a 2+b 2-c 22ab =-ab 2ab =-12.因为0°<C <180°,所以C =120°.又由△ABC 为等腰三角形得A =12(180°-120°)=30°.141+tan α1-tan α=2 012,则1cos2α+tan2α=________.答案 2 012解析 1cos2α+tan2α=1cos2α+sin2αcos2α=(sin α+cos α)2cos 2α-sin 2αsin α+cos αcos α-sin α=tan α+11-tan α=2 012. 15.在△ABC 中,D 为BC 边上一点,BC =3BD ,AD =2,∠ADB =135°.若AC =2AB ,则BD =________.答案 2 5解析 如图,设AB =c ,AC =b ,BC =a ,则由题可知BD =13a ,CD =23a ,所以根据余弦定理可得b 2=(2)2+(23a )2-2×2×23a cos45°,c 2=(2)2+(13a )2-2×2×13a cos135°,由题意知b =2c ,可解得a =6+35,所以BD =13a =2+ 5.16.下面有五个命题:①函数y =sin 4x -cos 4x 的最小正周期是π.②终边在y 轴上的角的集合是{α|α=k π2,k ∈Z }.③在同一坐标系中,函数y =sin x 的图像和函数y =x 的图像有三个公共点. ④把函数y =3sin(2x +π3)的图像向右平移π6得到y =3sin2x 的图像. ⑤函数y =sin(x -π2)在[0,π]上是减函数.其中,真命题的编号是________.(写出所有真命题的编号) 答案 ①④解析 考查①y =sin 2x -cos 2x =-cos2x ,所以最小正周期为π. ②k =0时,α=0,则角α终边在x 轴上.③由y =sin x 在(0,0)处切线为y =x ,所以y =sin x 与y =x 图像只有一个交点. ④y =3sin(2x +π3)图像向右平移π6个单位得 y =3sin[2(x -π6)+π3]=3sin2x .⑤y =sin(x -π)=-cos x 在[0,π]上为增函数,综上知①④为真命题. 三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知函数f (x )=6cos 4x +5sin 2x -4cos2x ,求f (x )的定义域,判断它的奇偶性,并求其值域.解析 由cos2x ≠0,得2x ≠k π+π2,解得x ≠k π2+π4,k ∈Z . 所以f (x )的定义域为{x |x ∈R 且x ≠k π2+π4,k ∈Z }. 因为f (x )的定义域关于原点对称, 且f (-x )=6cos 4(-x )+5sin 2(-x )-4cos (-2x )6cos 4x +5sin 2x -4cos2x =f (x ), 所以f (x )是偶函数. 当x ≠k π2+π4,k ∈Z 时,f (x )=6cos 4x +5sin 2x -4cos2x =(2cos 2x -1)(3cos 2x -1)cos2x =3cos 2x -1,所以f (x )的值域为{y |-1≤y <12或12<y ≤2}.18.(本小题满分12分)已知函数f (x )=2sin x cos x +sin(π2-2x ).求: (1)f (π4)的值;(2)f (x )的最小正周期和最小值; (3)f (x )的单调递增区间.答案 (1)1 (2)π,-2 (3)ëêéûúù-3π8+k π,π8+k π(k ∈Z )解析 (1)f (π4)=2sin π4cos π4+sin(π2-2×π4) =22×2+0=1.(2)f (x )=sin2x +cos2x =2(2sin2x +2cos2x ) 2(sin2x cos π+cos2x sin π)=2sin(2x +π). 所以最小正周期为π,最小值为- 2. (3)π2+2k π≤2x +π4≤π2+2k π(k ∈Z ), 3π+k π≤x ≤π+k π(k ∈Z ).所以函数的单调递增区间为ëêéûúù-3π8+k π,π8+k π(k ∈Z ).19.(本小题满分12分)在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知B =C,2b =3a .(1)求cos A 的值; (2)求cos(2A +π4)的值. 答案 (1)13 (2)8+7218解析 (1)由B =C,2b =3a ,可得c =b =32a . 所以cos A =b 2+c 2-a 2=34a 2+34a 2-a 22×32a ×32a=1. (2)因为cos A =1,A ∈(0,π),所以 sin A =1-cos 2A =22,cos 2A =2cos 2A -1=-79.故sin2A =2sin A cos A =429.所以cos(2A +π4)=cos 2A cos π4-sin 2A sin π4 =(79)22-429×22=-8+7218.20.(本小题满分12分)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且满足ac =a 2+c 2-b 2.(1)求角B 的大小;(2)若|BA→-BC →|=2,求△ABC 面积的最大值. 答案 (1)π3 (2) 3解 (1)∵在△ABC 中,ac =a 2+c 2-b 2, ∴cos B =a 2+c 2-b 22ac =12.∵B ∈(0,π),∴B =π3.(2)∵|BA →-BC →|=2,∴|CA →|=2,即b =2. ∴a 2+c 2-ac =4.∵a 2+c 2≥2ac ,当且仅当a =c =2时等号成立. ∴4=a 2+c 2-ac ≥2ac -ac =ac ,即ac ≤4. ∴△ABC 的面积S =1ac sin B =3ac ≤ 3.∴当a =b =c =2时,△ABC 的面积取得最大值为 3.21.(本小题满分12分)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对边长分别为a ,b ,c ,AB→·AC →=8,∠BAC =θ,a =4. (1)求bc 的最大值及θ的取值范围.(2)求函数f (θ)=23sin 2(π4+θ)+2cos 2θ-3的最值. 解析 (1)∵AB→·AC →=8,∠BAC =θ,∴bc ·cos θ=8.又∵a =4,∴b 2+c 2-2bc cos θ=42,即b 2+c 2=32. 又b 2+c 2≥2bc ,∴bc ≤16,即bc 的最大值为16. 而bc =8cos θ,∴8cos θ≤16. ∴cos θ≥12.又0<θ<π,∴0<θ≤π3. (2)f (θ)=23sin 2(π4+θ)+2cos 2θ- 3 =3·[1-cos(π2+2θ)]+1+cos2θ- 3 3sin2θ+cos2θ+1=2sin(2θ+π6)+1. ∵0<θ≤π3,∴π6<2θ+π6≤5π6.∴12≤sin(2θ+π6)≤1.当2θ+π6=5π6,即θ=π3时,f (θ)min =2×12+1=2;当2θ+π6=π2,即θ=π6时,f (θ)max =2×1+1=3.22.(本小题满分12分)已知函数f (x )=(1+1tan x )sin 2x +m sin(x +π4)sin(x -π4).(1)当m =0时,求f (x )在区间[π8,3π4]上的取值范围;(2)当tan α=2时,f (α)=35,求m 的值.解析 (1)当m =0时,f (x )=sin 2x +sin x cos x12(sin2x -cos2x )+12=2sin(2x -π4)+12.又由x ∈[π8,3π4],得2x π4∈[0,5π4],所以sin(2x -π4)∈[-22,1],从而f (x )22sin(2x -π4)+12∈[0,1+22].(2)f (x )=sin 2x +sin x cos x -m 2x =1-cos2x 2+12sin2x -m 2x =12[sin2x -(1+m )cos2x ]+12,由tan α=2,得sin2α=2sin αcos αsin 2α+cos 2α=2tan α1+tan 2α=4, cos2α=cos 2α-sin 2αsin 2α+cos 2α=1-tan 2α1+tan 2α=-35. 35=12[45+(1+m )35]+12,得m =-2.1.(2011·上海)若三角方程sin x =0与sin 2x =0的解集分别为E ,F ,则 ( )A .E ∩F =EB .E ∪F =EC .E =FD .E ∩F =∅答案 A 2.下列函数中,其中最小正周期为π,且图像关于直线x =π3对称的是 ( )A .y =sin(2x -π3)B .y =sin(2x -π6)C .y =sin(2x +π6)D .y =sin(x 2+π6)答案 B解析 ∵T =π,∴ω=2,排除D ,把x =π3代入A 、B 、C 只有B 中y 取得最值,故选B.3.函数y =tan(πx -π)的部分图像如图所示,则(OA →+OB →)·AB →= ( )A .6B .4C .-4D .-6答案 A解析 由tan(π4x -π2)=0,得π4x -π2=k π(k ∈Z ),x =4k +2(k ∈Z ),结合图形可知A (2,0),由tan(π4x -π2)=1,得π4x -π2=π4+k π(k ∈Z ),∴x =3+4k (k ∈Z ),结合图形可知B (3,1),∴(OA →+OB →)·AB →=(5,1)·(1,1)=6.4.(本小题满分12分)如图(a ),一辆汽车在一条水平的公路上向正西方向行驶.在A 处分别测得山顶上铁塔的塔顶E 的仰角为θ和山脚点O (点O 是点E 在公路所在平面上的射影)的方位角是西偏北φ,再行驶a km 到达B 处,测得山脚点O 的方位角是西偏北β.(1)设计一个方案,用测量的数据和有关公式写出计算OE 的步骤;(2)函数f (x )=a sin(βx +φ)的部分图像如图(b )所示,θ=π6,求塔顶E 到公路的距离.解析 (1)第一步:求OA ,在△AOB 中,∠ABO =π-β,∠AOB =β-φ,AB =a ,由正弦定理,得OA =a sin (π-β)sin (β-φ)=a sin βsin (β-φ);第二步:求OE ,在Rt △EOA 中,∠EAO =θ,∠EOA =90°,则OE =OA tan θ=a sin βtan θsin (β-φ). (2)由图像易得a =3,β=π3,φ=π6,又θ=π6,则OE 3sin π3tan π6sin (π3-π6)= 3.过点E 作EF ⊥直线AB 于点F ,连接OF ,因为AB ⊥OE ,又OE ∩EF =E ,所以AB ⊥平面EOF ,所以AB ⊥OF .在△AOB 中,∠OAB =∠AOB =π6,则OB =AB=a 3,在Rt △BFO 中,∠OBF =π3,则OF =OB sin π3=3×32=32,又在Rt △EOF 中,OE =3,所以EF =OE 2+OF 2=(3)2+(32)2=212.5.(本小题满分12分)(2010·福建文)设函数f (θ)=3sin θ+cos θ,其中,角θ的顶点与坐标原点重合,始边与x 轴非负半轴重合,终边过点P (x ,y ),且0≤θ≤π.(1)若点P 的坐标为(12,32),求f (θ)的值;(2)若点P (x ,y )为平面区域Ω:îíìx +y ≥1,x ≤1,y ≤1上的一个动点,试确定角θ的取值范围,并求函数f (θ)的最小值和最大值. 答案 (1)2 (2)0≤θ≤π2,f (θ)最大值2,最小值1解析 (1)由点P 的坐标和三角函数的定义可得îïíïìsin θ=32,cos θ=12.于是f (θ)=3sin θ+cos θ=3×32+12=2.(2)作出平面区域Ω(即三角区域ABC )如图所示,其中A (1,0),B (1,1),C (0,1).于是0≤θ≤π2.又f (θ)=3sin θ+cos θ=2sin(θ+π6),且π6≤θ+π6≤2π3,故当θ+π6=π2,即θ=π3时,f (θ)取得最大值,且最大值等于2;当θ+π6=π6,即θ=0时,f (θ)取得最小值,且最小值等于1.。