杨辉三角及其空间拓展

杨辉三角及其空间拓展

株洲市二中G0216 刘子儒郭时伟

摘要

本文首先对杨辉三角中特有的数学规律作了初步探索，发现了其奇偶排列的等边三角形现象。然后，在研究中，我们在空间杨辉三角的问题上迈出了第一步——由平面杨辉三角走向三维杨辉三角。我们在研究过程中推导出了三维杨辉三角数坐标公式，并总结出其与三项式系数的关系。在三维杨辉三角模型的基础上我们又续而导出四维杨辉三角和N维杨辉三角。经过努力的研究，最后归纳出了四维及N维杨辉三角数坐标公式。由此得出了N项式展开项系数定理。在研究过程中我们还有机地结合现代计算机技术协助公式的推导，并将其付之实用，进一步完善了课题的研究。对此,还有几名著名的数学教授提出了宝贵的意见。

这些都是前人从未涉足过的领域，而这篇论文把这次研究的新颖性给淋漓尽致地体现出来了。

关键词：杨辉三角空间公式系数

杨辉三角，作为中国古代数学中的奇迹。在数学计算中，日常生活中，无时不刻地展示着自己的魅力。从古至今，从中国到外国，有无数的学者为之着迷。

但是，以往的学者们的研究只限于平面内的杨辉三角。如果考虑到空间上的拓展，那在学术上是突破性的。所以我们决定对杨辉三角进行全面、深刻地分析，将其拓展到三维、四维乃至N维。

研究杨辉三角，是在偶然中想到的。对于多次出现在数学课本上的“杨辉三角”，不对其有些想法才是奇怪了。而恰好我的母亲又叫“杨辉”。所以，小时候第一次在《十万个为什么》中看到时就留下了深刻的印象。再加上多次、再次地在高中数学课本中“相遇”，

愈发觉得亲切。

一．杨辉三角的相关信息

看似简单的一个数字列表，却蕴藏着很深的奥秘。这无疑是我国古代劳动人民智慧的结晶，也集中地体现了数学的奥妙无穷。有了它，我们可以轻易地计算两个数的和的几次方，甚至用来开一个数的几次方。

杨辉（约十三世纪）字谦光，钱塘（今浙江杭州）人，是我国南宋时的数学家，杨辉的数学著作有《讲解九章算法》十二卷，流传至今的只是其中的一部分，其中“开方作法本源”载有二项式系数三角形，后人称为杨辉三角形，此外，他还著有《日用算法》二卷，《乘除通变算宝》三卷，《田亩比类乘除捷法》二卷、《续古摘奇算法》二卷等。

二项式展开的系数，按（图1.1）排列成一个三角形。这里每一行的外侧的两数都是1，中间的数字等于两肩的数的和。这一三角形最早发现于我国南宋数学家杨辉所著《详解九章算法》一书（1261年），在我国通常称为杨辉三角形，杨辉在书中指出“一出《释锁》算书，贾宪用此术”，可见更早时代的贾宪已知道这一三角形了。并且，当时不仅用这一三角来求二项展开式的系数，还用于对一个数开n 次方。在西方，十五世纪和十六世纪时，也有多人发现了这一三角形。国外却把它叫做帕斯卡三角形。而法国数学家帕斯卡（Blaise Pascal ，1623~1662）发现这一三角形却是十七世纪的事，比我国杨辉晚了五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的。

首先，让我们来看看杨辉三角的某些性质。 1.项数:在杨辉三角的第n 行的项数为(n+1)。

2.系数:在杨辉三角形的第n 行，各项的系数分别为：

C 2n 、C 1

n 、C 2n ……C n n （n=1、2、3……）

这与二项式定理有密切的联系：

1 ／＼ 1 ／＼／＼ ／＼／＼／＼ (a+b) 0 1 1 1

2 ／＼／＼／＼／＼

3 1 3 ／＼／＼／＼／＼／＼ 6 1

4 10 1

5 1

10 5 1 1 4 (a+b) 1 (a+b) 2 (a+b) 3 (a+b) 4 (a+b) 5

20

图 1.1

＼／

(a+b)n

=C 0n a n

+C 1n a n-1b 1

+…+C r n a n-r b r

+…+C n

n b n

（n ∈N *

）

在其中令a=b=1则 C 0n +C 1n +C 2n +…+C n n =2n

所以，可推出杨辉三角形的第n 行的系数和为2n

。

3.总项数:在杨辉三角形的n 行及以上，总的项数K=

2

1

(n+1)(n+2)

4.通项公式:

令C m

n 表示第几行第(m+1)个数，则这个数的系数为C m

n =

!

)(!!

m n m n -

所以这个数为M= C m

n ·a n-m b m

=!

)(!!m n m b a n m m n --

5.最大值：

在杨辉三角的第几行中（m ∈N*）,当 n=2m ， K m = C n/2

n ，即中间的一项 当n=2m+1，K m =C 1)/2

-(n n

，或K m = C 1)/2

(n +n

，即中间的两项。

以上是我们查阅的资料，再来看看我们自己的发现。

如果用笔将杨辉三角中的偶数与奇数分别标出，便又会出现一种奇特的现象，所有的偶数都会呈现出倒立的等边三角形状排列，而奇数都成正立三角形排列，且等边三角形（偶数）的边长依次为：

3、7、15、31、63……

经过反复思考比对，我们又发出现了其中的规律即：

3=22-1 7=23-1 15=24

-1

31=25

-1

即所有的偶数依次排出以（2n -1）（n N *

）的长度为边长的倒立的等边三角形。

以上种种的性质都向我们展示了杨辉三角独特的魅力，那么，它在解题中有哪些运用呢？

例：如图5.1，有一只猫在A 点，它要跑到老鼠所在的B 点，要求它只能向上或向右跑，问有几种跑法。

如图，本题的背景正是著名的杨辉三角形，只需以A 点为顶点，依次排出杨辉三角，容易解得共有35种走法。

这是信息学中典型的有向图的问题，或许信息学的朋友对信息题的数学解法并不陌生，但想不到还可以用杨辉三角解有向图吧！

A

B

图 5.1