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空间向量的数量积运算-ppt课件
空间向量的数量积运算
知识点一 空间向量的夹角 如图所示,已知平面向量a,b.
问题1:试作出向量a,b的夹角. 答案:如图,∠AOB为a和b的夹角.
问题2:若a,b为空间非零向量,两向量还有夹角吗?若有试作出.
<a,b>
∠AOB
(2)夹角的范围 空间任意两个向量的夹角 θ 的取值范围是 [0,π]
ABB1A1,▱BB1C1C的对角线都分别相互垂直且相等,若AB=a,求异面直线BA1与 AC所成的角.
方法技巧 (1)求几何体中两个向量的夹角可以把其中一个向量平移使 其起点与另一个向量的起点重合,通过解三角形得出夹角的大小,此法就 是求两个向量夹角的平移法.
(2)由两个向量的数量积定义得cos<a,b>=
,求<a,b>的大小,转化
为求两个向量的数量积及两个向量的模的大小,求出<a,b>的余弦值,进而
求<a,b>的大小.
(3)利用向量的数量积求出两向量的夹角,则这个夹角就是两异面直线所 成的角或补角(注意异面直线所成角的范围).
题型三 利用空间向量解决垂直问题
【例3】 如图,已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,且 ∠∠CC1C1CDB==∠BCD.求证:CA1 ⊥B1D1.
题型四 利用数量积求距离
方法技巧 用空间向量求两点间距离 , 首先用其他已知夹角和模的向量 表示此向量,再利用a·a= |a|2,通过向量运算求|a|.
(2)若∠BAC=90°,∠BAA1=∠CAA1=60°,AB=AC=AA1=1,求MN的长.
,
.特别地,当 θ=0时
两向量同向共线;当 θ=π时,两向量反向共线,所以若a∥b,则<a,b>=0或
知识点一 空间向量的夹角 如图所示,已知平面向量a,b.
问题1:试作出向量a,b的夹角. 答案:如图,∠AOB为a和b的夹角.
问题2:若a,b为空间非零向量,两向量还有夹角吗?若有试作出.
<a,b>
∠AOB
(2)夹角的范围 空间任意两个向量的夹角 θ 的取值范围是 [0,π]
ABB1A1,▱BB1C1C的对角线都分别相互垂直且相等,若AB=a,求异面直线BA1与 AC所成的角.
方法技巧 (1)求几何体中两个向量的夹角可以把其中一个向量平移使 其起点与另一个向量的起点重合,通过解三角形得出夹角的大小,此法就 是求两个向量夹角的平移法.
(2)由两个向量的数量积定义得cos<a,b>=
,求<a,b>的大小,转化
为求两个向量的数量积及两个向量的模的大小,求出<a,b>的余弦值,进而
求<a,b>的大小.
(3)利用向量的数量积求出两向量的夹角,则这个夹角就是两异面直线所 成的角或补角(注意异面直线所成角的范围).
题型三 利用空间向量解决垂直问题
【例3】 如图,已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,且 ∠∠CC1C1CDB==∠BCD.求证:CA1 ⊥B1D1.
题型四 利用数量积求距离
方法技巧 用空间向量求两点间距离 , 首先用其他已知夹角和模的向量 表示此向量,再利用a·a= |a|2,通过向量运算求|a|.
(2)若∠BAC=90°,∠BAA1=∠CAA1=60°,AB=AC=AA1=1,求MN的长.
,
.特别地,当 θ=0时
两向量同向共线;当 θ=π时,两向量反向共线,所以若a∥b,则<a,b>=0或
空间向量的数量积运算完整版课件
O→M、O→N、B→C，最后证O→G·B→C＝0 即可． [规范解答]连结 ON，
设∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝θ，
又设O→A＝a，O→B＝b，O→C＝c，
则|a|＝|b|＝|c|.
2分
又O→G＝12(O→M＋O→N)＝12[12O→A＋12(O→B＋O→C)]
＝14(a＋b＋c)，
B→C＝c－b. ∴O→G·B→C＝14(a＋b＋c)·(c－b)
数量 特别地：a·a＝|a|2或|a|＝ a·a
积的 性质
(3)若θ为a，b的夹角，则cos θ＝
a·b |a||b|
.
(4)|a·b|≤|a|·|b|.
想一想：类比平面向量，你能说出a·b的几何意义吗？ 提示 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影 |b|·cos θ的乘积．
名师点睛
所以O→A·B→C＝O→A·A→C－O→A·A→B
＝|O→A||A→C|cos〈O→A，A→C〉－|O→A||A→B|cos〈O→A，A→B〉
＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120°
＝－16 2＋24.
所以 cos〈O→A，B→C〉＝O|→O→AA·||B→B→CC|＝24－8×165
2＝3－52
1．空间向量夹角的理解 (1)任意两个空间向量均是共面的，故空间向量夹角范围 同两平面向量夹角范围一样，即[0，π]； (2)空间向量的夹角在[0，π]之间，但空间两异面直线夹角
π 在(0， 2 ]内，利用向量求两异面直线夹角时注意转化，两
异面直线的夹角余弦值一定为非负数．
2．平面向量与空间向量数量积的关系 由于空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空间 两个向量的夹角的定义和取值范围、两个向量垂直的定义 和表示符号、向量的模的概念和表示符号、以及运算律等 都与平面向量相同．
设∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝θ，
又设O→A＝a，O→B＝b，O→C＝c，
则|a|＝|b|＝|c|.
2分
又O→G＝12(O→M＋O→N)＝12[12O→A＋12(O→B＋O→C)]
＝14(a＋b＋c)，
B→C＝c－b. ∴O→G·B→C＝14(a＋b＋c)·(c－b)
数量 特别地：a·a＝|a|2或|a|＝ a·a
积的 性质
(3)若θ为a，b的夹角，则cos θ＝
a·b |a||b|
.
(4)|a·b|≤|a|·|b|.
想一想：类比平面向量，你能说出a·b的几何意义吗？ 提示 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影 |b|·cos θ的乘积．
名师点睛
所以O→A·B→C＝O→A·A→C－O→A·A→B
＝|O→A||A→C|cos〈O→A，A→C〉－|O→A||A→B|cos〈O→A，A→B〉
＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120°
＝－16 2＋24.
所以 cos〈O→A，B→C〉＝O|→O→AA·||B→B→CC|＝24－8×165
2＝3－52
1．空间向量夹角的理解 (1)任意两个空间向量均是共面的，故空间向量夹角范围 同两平面向量夹角范围一样，即[0，π]； (2)空间向量的夹角在[0，π]之间，但空间两异面直线夹角
π 在(0， 2 ]内，利用向量求两异面直线夹角时注意转化，两
异面直线的夹角余弦值一定为非负数．
2．平面向量与空间向量数量积的关系 由于空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空间 两个向量的夹角的定义和取值范围、两个向量垂直的定义 和表示符号、向量的模的概念和表示符号、以及运算律等 都与平面向量相同．
空间向量的数量积课件
向量点乘的坐标表示
设向量$vec{A} = (x_1, y_1, z_1)$，向量$vec{B} = (x_2, y_2, z_2)$，则$vec{A} cdot vec{B} = x_1 times x_2 + y_1 times y_2 + z_1 times z_2$。
向量的坐标表示方法是将向量的起点设在坐标原点，然后根据向量的终点坐标确 定向量的坐标。
向量点乘的几何意义
向量点乘的几何意义是表示两个向量在三维空间中投影面积 的乘积。具体来说，当两个非零向量垂直时，它们的点乘为0 ；当两个非零向量平行或同向时，它们的点乘为它们的模长 的乘积。
向量点乘在解析几何中有着广泛的应用，如计算向量的模长 、向量的投影、向量的夹角等。
03
空间向量的数量积应用
向量点乘在向量减法中的应用
向量减法的定义
两个向量的差定义为第一个向量与第二个向量的相反 向量的和。
向量点乘在向量减法中的应用
通过点乘的性质，可以推导出向量减法的几何意义。 设两个向量$mathbf{a}$和$mathbf{b}$的夹角为 $theta$，则它们的差向量$mathbf{a} - mathbf{b}$ 的模长为$|mathbf{a} - mathbf{b}| = sqrt{mathbf{a}^2 + mathbf{b}^2 - 2mathbf{a} cdot mathbf{b}}$。
02
空间向量的数量积公式
向量点乘公式
向量点乘公式
$vec{A} cdot vec{B} = |vec{A}| times |vec{B}| times cos theta$， 其中$theta$是向量$vec{A}$和 $vec{B}$之间的夹角。
空间向量的数量积运算ppt课件
g
l
m
m
存在唯一的有序数对(, )，
= + .
∴ ∙ = ∙ + ∙ .
∵ ∙ = 0， ∙ = 0
∴ ∙ = 0.∴ ⊥ .
因此直线垂直于平面内的任意一条直线，所以 ⊥ .
n
n
g
∠AOB
OB ＝b，则_______＝θ
范围：________
0≤θ≤π
B
b
b
特殊情况：
B
a
a
O
b B
O
b
a
A
B b
O
0
180
a 与 b 同向
a 与 b 反向
A
O
a
a
A
90
a 与 b 垂直，记作 a b
A
空间向量的夹角
定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作 OA ＝a，
空间向量的数量积运算
新课导入
平面向量及其线性运算
推
广
空间向量及线性运算
平面向量数量积运算
推
广
空间向量数量积运算
探 究
问题：回忆一下，我们当时是如何研究平面向量的数量积运算？
定义夹角
数量积定义
运算律
运用
知识回顾
定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作 OA ＝a，
<a,b>
叫做向量a与b的夹角．记作: ________
a
a
c
b
称为向
投影向量
向量a向直线l投影
a
a
c
l
投影向量
《空间向量的数量积》课件
节角速度等运动参数。
THANKS
感谢观看
分配律
$vec{a} cdot (vec{b} + vec{c}) = vec{a} cdot vec{b} + vec{a} cdot
vec{c}$
空间向量的数量积的运算性质
01
非零向量的数量积为0当且仅当该向量垂直于另一个向量。
02
向量$vec{a}$与自身的数量积为$vec{a} cdot vec{a} =
空间向量的数量积在工程中的应用实例
总结词
工程中涉及到空间运动、机械系统等领域都 离不开空间向量的数量积的应用。
详细描述
在工程中，空间向量的数量积可以用于分析 物体的运动轨迹、速度和加速度等运动学量 。在机械系统中，空间向量的数量积可以用 于分析机构的动力学特性，以及优化设计机 械系统。例如，在机器人学中，可以使用空 间向量的数量积来计算机器人的姿态角和关
CHAPTER
04
空间向量的数量积的应用实例
空间向量的数量积在物理中的应用实例
总结词
物理中的力、速度和加速度都可以用向 量表示，而空间向量的数量积在这些物 理量之间起着重要的作用。
VS
详细描述
在物理中，力、速度和加速度等物理量都 可以用向量表示。空间向量的数量积可以 用于计算这些物理量的合成与分解，以及 解决与这些物理量相关的实际问题。例如 ，在计算力的合成时，可以使用空间向量 的数量积来计算合力的大小和方向。
详细描述
空间向量的数量积定义为两个向量$mathbf{A}$和$mathbf{B}$的数量积为$mathbf{A} cdot mathbf{B} = |mathbf{A}| times |mathbf{B}| times cos theta$，其中$theta$是向量$mathbf{A}$ 和$mathbf{B}$之间的夹角。
THANKS
感谢观看
分配律
$vec{a} cdot (vec{b} + vec{c}) = vec{a} cdot vec{b} + vec{a} cdot
vec{c}$
空间向量的数量积的运算性质
01
非零向量的数量积为0当且仅当该向量垂直于另一个向量。
02
向量$vec{a}$与自身的数量积为$vec{a} cdot vec{a} =
空间向量的数量积在工程中的应用实例
总结词
工程中涉及到空间运动、机械系统等领域都 离不开空间向量的数量积的应用。
详细描述
在工程中，空间向量的数量积可以用于分析 物体的运动轨迹、速度和加速度等运动学量 。在机械系统中，空间向量的数量积可以用 于分析机构的动力学特性，以及优化设计机 械系统。例如，在机器人学中，可以使用空 间向量的数量积来计算机器人的姿态角和关
CHAPTER
04
空间向量的数量积的应用实例
空间向量的数量积在物理中的应用实例
总结词
物理中的力、速度和加速度都可以用向 量表示，而空间向量的数量积在这些物 理量之间起着重要的作用。
VS
详细描述
在物理中，力、速度和加速度等物理量都 可以用向量表示。空间向量的数量积可以 用于计算这些物理量的合成与分解，以及 解决与这些物理量相关的实际问题。例如 ，在计算力的合成时，可以使用空间向量 的数量积来计算合力的大小和方向。
详细描述
空间向量的数量积定义为两个向量$mathbf{A}$和$mathbf{B}$的数量积为$mathbf{A} cdot mathbf{B} = |mathbf{A}| times |mathbf{B}| times cos theta$，其中$theta$是向量$mathbf{A}$ 和$mathbf{B}$之间的夹角。
空间向量的数量积运算ppt课件
l
充要条件可知，存在唯一的有序实数对(x,y)，使 g xm yn .
将上式两边分别与向量 l 作数量积运算，得
l
g
l g xl m yl n.
n
l m 0, l n 0
l g 0即l g
m
g
l g
这就证明了直线l垂直于平面内的任意一条直线
当a与c不共线时, ( a b )c a( b c )
因此, ( a b )c a( b c )不一定成立。
结论: 数量积①不可约分、 ②不可作商、 ③不满足结合律。
典例解析
例2 如图示, 在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中, AB=5, AD=3, AA′=7, ∠BAD=60°,
a
a
a
c
(1)
A
a
b
B
a
c
(2)
a
A
c B
l
(3)
如 图 （ 3 ）向
, 量 a向 平 面 投 影 , 就 是 分 别 由 向 量 a的 起 点 A 和 终 点 B 作 平 面 的 垂 线 ,
垂 足 分 别 为 A , B , 得 到 向 量 A B , 向 量 A B 称 为 向 量 a 在 平 面 上 的 投 影 向 量 .
2
2
2
CA AB BD 2(CA AB CA BD AB BD )
c 2 a 2 b 2 2(0 0 0)
c 2 a 2 b2
CD c 2 a 2 b2
A
b
a
B
D
巩固练习
充要条件可知，存在唯一的有序实数对(x,y)，使 g xm yn .
将上式两边分别与向量 l 作数量积运算，得
l
g
l g xl m yl n.
n
l m 0, l n 0
l g 0即l g
m
g
l g
这就证明了直线l垂直于平面内的任意一条直线
当a与c不共线时, ( a b )c a( b c )
因此, ( a b )c a( b c )不一定成立。
结论: 数量积①不可约分、 ②不可作商、 ③不满足结合律。
典例解析
例2 如图示, 在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中, AB=5, AD=3, AA′=7, ∠BAD=60°,
a
a
a
c
(1)
A
a
b
B
a
c
(2)
a
A
c B
l
(3)
如 图 （ 3 ）向
, 量 a向 平 面 投 影 , 就 是 分 别 由 向 量 a的 起 点 A 和 终 点 B 作 平 面 的 垂 线 ,
垂 足 分 别 为 A , B , 得 到 向 量 A B , 向 量 A B 称 为 向 量 a 在 平 面 上 的 投 影 向 量 .
2
2
2
CA AB BD 2(CA AB CA BD AB BD )
c 2 a 2 b 2 2(0 0 0)
c 2 a 2 b2
CD c 2 a 2 b2
A
b
a
B
D
巩固练习
空间向量的数量积运算 课件
[证明] 不妨设正方体的棱长为 1，
→ AB
＝
a，A→D＝
b，A→A1＝
c，
则 |a|＝ |b|＝ |c|＝ 1， a·b＝ b·c＝ a·c＝ 0.
由图形得：P→A＝P→D＋D→A＝ －12A→A1 －A→D
＝－ b－12c，P→C＝ P→D＋D→C
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
＝－12A→A1＋A→B ＝ a－12c，
B→1O＝B→1B＋B→O＝－ c＋12(－ a＋ b) ＝－12a＋12b－ c.
∴〈G→F，A→C 〉＝ 180°.
∴G→F·A→C＝1a·a·cos180°＝－1a2.
2
2
(4)|E→F |＝ 12a， |B→C |＝ a，又E→F ∥B→D，
∴〈E→F ，B→C 〉＝〈B→D，B→C 〉 ＝ 60°.
∴E→F·B→C＝1a·a·cos60°＝1a2.
2
4
[点评] 本题主要考查空间向量数量积的定义及其 运算，要求大家在熟练掌握的基础上能灵活运用．
4．两个向量数量积的运算律 空间向量的数量积满足如下的运算律： ①(结合律)(λa)·b＝λ(a·b)； ②(交换律)a·b＝b·a； ③(分配律)a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
思考感悟 类比平面向量，你能说出 a·b 的几何意义吗？ 提示：数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的 方向上的投影|b|·cosθ 的乘积．
再用公式．
类型四 利用数量积证明垂直问题 [例4] 如图10，正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为 DD1的中点，O是底面ABCD的中心．求证：B1O⊥平 面PAC.
图 10
[分析] 本题考查利用 a⊥b⇔a·b＝0 求证线 面垂直，关键是在面 PAC 中找出两相交向量与向 量B→1O垂直．
空间向量的数量积最完美版课件
数量积满足非负性，即$mathbf{a} cdot mathbf{b} geq 0$，当且仅当 $mathbf{a}$与$mathbf{b}$同向时 取等号。
02 空间向量向量的数量积定义为它们的 模长之积与它们夹角的余弦值的乘积 ，记作a·b。
当两个向量垂直时，它们的数量积为 0；当两个向量同向时，它们的数量 积为它们的模长之积。
空间向量的数量积最 完美版课件
目录
CONTENTS
• 空间向量的数量积定义 • 空间向量的数量积运算 • 空间向量的数量积的应用 • 空间向量的数量积的习题解析 • 空间向量的数量积的扩展知识
01 空间向量的数量积定义
定义
空间向量的数量积定义为两个向量的模长之积与它们夹角的 余弦值的乘积，记作：$mathbf{a} cdot mathbf{b} = |mathbf{a}| times |mathbf{b}| times cos theta$。
题目8： 已知空间向量 $overset{longrightarrow}{a} = (x,y,z)$， $overset{longrightarrow}{b} = (x + y - z,y - x - z,z - x - y)$，且 $overset{longrightarrow}{a}$与 $overset{longrightarrow}{b}$的数 量积为$0$，求$x^{2} + y^{2} + z^{2}$的值。
高级习题解析
题目7： 已知空间向量 $overset{longrightarrow}{a} = (x,y,z)$， $overset{longrightarrow}{b} = ( 2y + z,x + y, - x + z)$，且 $overset{longrightarrow}{a}$与 $overset{longrightarrow}{b}$的数 量积为$5$，求$x^{2} + y^{2} + z^{2}$的值。
02 空间向量向量的数量积定义为它们的 模长之积与它们夹角的余弦值的乘积 ，记作a·b。
当两个向量垂直时，它们的数量积为 0；当两个向量同向时，它们的数量 积为它们的模长之积。
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目录
CONTENTS
• 空间向量的数量积定义 • 空间向量的数量积运算 • 空间向量的数量积的应用 • 空间向量的数量积的习题解析 • 空间向量的数量积的扩展知识
01 空间向量的数量积定义
定义
空间向量的数量积定义为两个向量的模长之积与它们夹角的 余弦值的乘积，记作：$mathbf{a} cdot mathbf{b} = |mathbf{a}| times |mathbf{b}| times cos theta$。
题目8： 已知空间向量 $overset{longrightarrow}{a} = (x,y,z)$， $overset{longrightarrow}{b} = (x + y - z,y - x - z,z - x - y)$，且 $overset{longrightarrow}{a}$与 $overset{longrightarrow}{b}$的数 量积为$0$，求$x^{2} + y^{2} + z^{2}$的值。
高级习题解析
题目7： 已知空间向量 $overset{longrightarrow}{a} = (x,y,z)$， $overset{longrightarrow}{b} = ( 2y + z,x + y, - x + z)$，且 $overset{longrightarrow}{a}$与 $overset{longrightarrow}{b}$的数 量积为$5$，求$x^{2} + y^{2} + z^{2}$的值。
《3.1.3空间向量的数量积运算》ppt课件
(4)错误.在△ABC中,向量 BA，BC 的夹角为∠B,而向量 AB，BC 的夹角与向量 BA，BC 的夹角互补,故此等式不正确. 答案:(1)× (2)× (3)× (4)×
2.做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)若向量a与b满足|a|=1,|b|=2且a与b的夹角为 ,则
3
a·b=
.
(2)已知|a|=
2 ,|b|=
2 2
,a·b=-
2 2
,则a与b的夹角
为
.
(3)已知a,b是空间两个向量,若|a|=2,|b|=2,|a-b|= 7 ,
则cos<a,b>=
.
【解析】(1)a·b=|a||b|cos〈a，b〉=1×2× 1 =1.
2
答案：1
(2)由a·b=|a||b|cos〈a，b〉= 2 2 ×cos〈a，b〉
【解析】EF
FC1
[1 2
c
a
1 2
b]
(1 2
b
a)
1 (a b c) (1 b a)
2
2
1 a 2 1 b 2 2. 24
【方法技巧】 1.空间向量运算的两种方法 (1)利用定义：利用a·b=|a||b|cos〈a，b〉并结合运算律进 行计算. (2)利用图形：计算两个向量的数量积，可先将各向量移到同 一顶点，利用图形寻找夹角，再代入数量积公式进行运算．
形△OAB，△BOC求 OE与 BF 的模.
2. PC
2
PC .
【自主解答】(1)设 OA=a，OB =b，
OC =c且|a|＝|b|＝|c|＝1，
易知∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝ ，
空间向量的数量积运算 课件
[精解详析] ∵ AC1 ＝ AB＋ AD＋ AA1 ， ∴| AC1 |2＝ AC1 2＝( AB＋ AD＋ AA1 )2 ＝ AB2＋ AD2＋ AA1 2＋2( AB ·AD＋ AB ·AA1 ＋ AD·AA1 ) ＝1＋1＋1＋2(cos 60°＋cos 60°＋cos 60°)＝6.
∴| AC1 |＝ 6，即对角线 AC1 的长为 6.
[精解详析] ∵ BA1 ＝ BA ＋ AA1 ＝ BA ＋ BB1 ， AC ＝
BC － BA，且 BA·BC ＝ BB1 ·BA＝ BB1 ·BC ＝0,
∴ BA1 ·AC ＝－ 2 ＝－1.
又| AC |＝ 2，|BA1 |＝ 1＋2＝ 3,
∴cos〈
BA1
，
AC
〉＝ |
BA1 ·AC ＝－1＝－ BA1 || AC | 6
＝12×1×1×cos〈 CA， CB 〉 ＝12×1×1×cos 60°＝14. (3)( OA＋OB)·(CA＋CB)＝(OA＋OB)·(OA－OC ＋OB－ OC ) ＝(OA＋OB)·(OA＋OB－2OC ) ＝OA2＋OA·OB－2OA·OC ＋OB·OA＋OB2－2OB·OC ＝1＋12－2×12＋12＋1－2×12＝1.
空间向量的数量积运算
1.空间向量的夹角
2．空间向量的数量积
定 已知两个非零向量a，b，则|a|·|b|·cos〈a，b〉叫
义 做a，b的数量积，记作 a·b
数乘向量与向量 运
数量积的结合律 算
交换律 律
分配律
(λa)·b＝λ(a·b)
a·b＝ b·a a·(b＋c)＝ a·b＋a·c
已知两个非零向量a，b，则|a|·|b|·cos〈a，b〉叫做a， 定义
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而向量的夹角必须是同起点，其取值范围[0°,180°]
3.空间两个向量的数量积：
已知两个非零向量,，则|
Ԧ
|
Ԧ ||cos<,>叫做
Ԧ
,的
Ԧ
数量积，记作Ԧ ∙ ，即Ԧ ∙ = ||
Ԧ ||cos<,>
Ԧ
特别地: （1）零向量与任意向量的数量积为0.
（2）Ԧ ⊥ ⟺ Ԧ ∙ =0
k
a
b
②若 a b k
,则
(结合律)
③ ( a b) c a ( b c )
D1
A1
a
A
C1
B1
D
C
B
6.空间两个向量数量积的性质:
(1) ∙ =||cos<, >
(2) ⊥ ⟺ ∙ =0
(3)||2 = ∙
(4)| ∙ |≤ ||||
（3）Ԧ ∙ Ԧ = |||
Ԧ |
Ԧ
< Ԧ ∙ Ԧ >=||
Ԧ2
注:两个向量的数量积是数量，而不是向量.
4.投影向量
向量在向量上的投影向量
量 = ,
称为向量在向上的投影向量.
5.空间向量数量积的运算律:
（1）（ ） ∙ =（） ∙
（2） ∙ = ∙
（3）（ + ） ∙ = ∙ + ∙
注意： (1)数量积不满足结合律即( ∙ ) ∙ ≠ ∙ ( ∙ )
(2) ∙ =�� ∙ ⇏ =
(3) ∙ =0⇏ = 或 =
对于空间向量下列命题成立吗?
①若 a b a c ,则 b c
空间向量的数量积课件
同理，MN CD
空间向量数量 积的定义
空间向量数量积 的性质
a b (1) cos a , b ab (2)a b a b 0
空间向量的夹角
2 2 (3) a a a a
空间向量数量积 的运用
(2)用a b 0判断垂直
(×) (× ) (×) (√ )
B C
E
F D
3.如图：已知空间四边形 ABCD的每条边和对角线长都 等于1，点E、F 分别是AB、AD的中点。 计算： （ 1 ） EF BA (2) EF BD (3) EF DC (4) EF AC
例题讲解
例 1、在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条 斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直. PA 分别是平面 的垂线、 已知:如图, PO 、 斜线， AO 是 PA 在平面 内的射影， l ，且 l OA ， 求证： l PA 分析： 用向量来证明两直线 垂直， 只需证明两直线的方 P 向向量的数量积为零即可！
另：对空间中任意一点O，有 OP xOA yOB zOC ( x y z 1)
讲授新课 1.空间两个向量的夹角 已知两个非零向量 a, b , 作 OA a, OB b, 则
A
AOB 叫做a 与b 向量的夹角.记作: a , b
a
g xm yn , l g xl m yl n , l l m 0, l m 0 , g l l g 0, 即l g.
n
m
m
l g, 即l 垂直于平面内任一直线. l .
n g
课堂练习
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r 与b
2
的夹角大小为_1_3__5_o.
2.判断真假:
rr
r rr r
1)若
r
ar
b
r
0,r则
ar
r0,
b
0
2) (a b) c a (b c)
( ) ()
3)
ur 2 p
r2 q
ur (p
r q)2
( )
ur r ur r ur2 r2 4) p q p q p q
( )
3.设 a , b , c 是任意的非零空间向量,且相互不共线, 则：
uuuur uuuur
AA ' CC'
C
uuuur uuuur AA ' C' B
B
几何意义
a
b
a
b
cos
a,
b
rr r
rr
数r 量积
a
b
等于
a
的长度 r
|
a
|与
b
在
a 的方向上的投影 | b | cos 的乘积。
B
r b
θ O
r aA
B1
3)空间两个向量的数量积性质
rr r 显然,对于非零向量 a 、b , e 是单位向
①( a · b ) c ( c · a ) b =0
②| a |-| b |<| a b |
③( b · c ) a ( c · a ) b 不与 c 垂直
D ④(3
a
+2
b
)·(3
a
2
b
)=9|
a
|2-
4
b
2 中,真命题是(
)
(A)①② (B)②③ (C)③④ (D)②④
43..如图：已知空间四边形ABCD的每条边和对
若(ab)c a(bc). 对于向量 a,b,c,
(ab)c a(bc)成立吗？也就
是说，向量的数量积满足结
合律吗？
不成立，左边是一个与向量
r c
共
线的向量，右边是一个与向量
r a
共
线的向量，而向量
r c
与
r a
连是否共线
都是一个未知数.
r
r
1.已知 a 2 2 , b
2
rr ,ab
2,
则
r a
果不能，请举出反例.
不直能 时， ，例 有如ab向 量aca,而与未向必量有b,bc都c垂.
对于三个均不为0的数a,b, c,
若ab c, 则 a
对于向量
a,
b,
c .(或b c )
b
若
a b
k
a
能否
写成
a
k(或b b
ak) ? 也就是说
向量有除法吗？
不能，向量没有除法.
对于三个均不为0的数 a, b, c,
量有下列性质: r r r rr
① a e a cos a, e ；
②
r a
r b
r a
r b
0
;
r2 r r
r
③ a a a 也就是说 a
r2 a
.
注：
性质②是证明两向量垂直的依据；
性质③是求向量的长度（模）的依据.
4)空间向量的数量积满足的运算律
r r rr
⑴(a) b (a b)
r b
0
(3) | ar |2 ar ar ar2
(4)cos a b
ab
4 平面向量数量积的运算律
(1) a b b a（交换律）
(2)( a) b (a b) a( b)（数乘结合律）
(3)(a b) c a c b c（分配律）
二 新课
因为向量可以自由平移，所以空间中任意两 个向量可以平移到同一平面内，即空间任意两个 向量共面. 因此，平面中两个向量的夹角及数量 积等相关概念、性质可以推广到空间.
rr rr ⑵ a b b a (交换律)
r r r rr rr ⑶ a (b c) a b a c (分配律)
注： 向量的数量积运算类似于多项式运算,平方
差公式、完全平方公式、十字相乘等均成立。
对于三个均不为 0 的数
a对ab,于ba,向cc,量能若a得a,b到b=,bacc,,c由则吗b？= 如c.
与
b
的夹角.
b
b
B
A
为即2 平a,我b面=们向|把ar量|||数brar| 量c||aobrs积| c:.o已s 知叫两做个向非量零aOr向, br量的ar数a, br量,它积们,记的做夹a角 b ,
3 平面向量数量积的性质
(1)ar er er ar | ar | cos
(2)ar
r b
ar
注:（1）两个向量的数量积是数量，而不是向量. （2）规定:零向量与任意向量的数量积等于
零. （3）点乘符号“· ”在向量运算中不是乘
号，既不能省略，也不能用“×”代替.
D' A'
D A
C'
B'
◆练习 已知正方体AC'边长
为1,求：AuuAuur'
uuuur AD '
uuuur uur
AA ' BD
角线长都等于1，点E、F 分别是AB、AD的中点。
uuur uuur uuur uuur 计算：（1）EF BA (2) EF BD
A
uuur uuur uuur uuur
(3) EF DC (4) EF AC E
F
B
D
C
rr
rr
小结：空间两个非零向量 a 、b 的数量积 a b :
r r rr rr a b a b cos a, b
空间向量的数量积运算
回顾
ur F
ur S
W= |F| |s| cos
根据功的计算,我们定义了平面两向量的 数量积运算.一旦定义出来,我们发现这种运 算非常有用,它能解决有关长度和角度问题.
一 复习引入
1
向量的夹角:已知两个非零向量
a,
b ,
作
OA
a,
OB b
则 AOB
(0o
180o)
叫做向量a
r a
rr
rr
rA a
a, b =0 时, a 与 b 同向;
rr
rr
a, b =π 时, a 与 b 反向.
r b
O
r
B
b
rr rr
⑵ a, b＝b, a ，两个向量的夹角是惟一确定的！
rr ⑶如果 a, b
r ,则称 a
r 与b
r 垂直,记为 a
r b
2
角度 〈a,b〉=0 〈a,b〉是锐角 〈a,b〉是直角 〈a,b〉是钝角 〈a,b〉=π
表示
思考：
下列式子表示什么意思？他们之间有什么关系？
a,
b
b ,
a
a,
b
a,b
a,
b
=
b ,
a
=
a,
b
= a,b2）两个向量的数积rr已知空间两个非零向量 a 、b ,则
rr rr
rr
rr
a b cosa, b 叫做 a 、b 的数量积,记作 a b
r r rr rr 即 a b a b cosa, b .
r a
r a
知 新 类似地，可以定义空间向量的
1)两个向量的夹角的定义:
数量积
rr
如图,已知两个非零向量 a 、b ,在空间任取
uuur r uuur r
一点 O ,作 OA a , OB b ,则角 AOB 叫做向
rr
rr
量 a 与 b 的夹角,记作: a, b .
rr
⑴范围: 0 ≤ a, b ≤ .