边际函数&弹性函数
边际函数在经济管理中的应用
利润, 最大利Biblioteka 为L( 50) = 30 50 - 0. 3 502 = 750( 元)
解 法 2 因为边际费用 f ( x ) = 0. 6x - 9, 边际收益为
R ( x ) = 21, 所以边际利润为 L ( x ) = R ( x ) - f ( x ) = 3-
0. 6x 令 L ( x ) = 0 得 x = 50, 又 L ( x ) = 0. 6 < 0, 故
w as cr ying as if his hear t w ould br eak, said, w hen I spo ke
to him, that he was ver y hungr y, because he had no foo d fo r tw o days. 主句是 T he bo y said , 短短的主 干上挂 着五个分句, 它们分 别由 w ho、as if、w hen、that、because 引导。主句如同钩子 一样, 钩住各 分句。当这 个句 子翻译 成汉语时, 就变成一个个短语组成的句子: 那个男孩 哭得似 乎心都碎 了, 当 我问他时, 他说 已有两天没 吃东西了, 实在 是饿极了。
b
f ( x ) dx
a
例4
已知某产品的边际收益为 R ( x ) = 10-
1 2
x,
边
际成本是为 C ( x ) = 8- 2x , 固定成 本为 C0 = 5, 求 当 x = 4 时的毛利和纯利 。
解 因总收益 R(4) =
4
R ( x ) dx =
0
4
( 10-
0
1 2
x)dx
= ( 10x -
x ( t) = 100+ 12t( 单位 / 小时) 求由 t = 2 到 t = 4 这两小
边际函数考研真题
边际函数考研真题边际函数是微积分中的重要概念，常常出现在考研数学真题中。
本文将通过解析一道边际函数的考研真题来深入探讨该概念，并帮助读者更好地理解和应用边际函数。
题目如下：设函数 f(x) 在 [a, b] 上连续，(a, b) 内可导，f(a) = f(b) = 0，且存在 c ∈ (a, b)，使得f'(c) ≠ 0。
定义边际函数 g(x) = f(x) / x，x ∈ (a, b)。
若 x ∈ (a, b) 是 g(x) 的极小值点，那么必有（）。
题目分析：首先，我们需要理解边际函数的定义。
根据给定条件，边际函数g(x) 定义为 f(x) 除以 x，其中 x ∈ (a, b)。
根据题目给出的条件，我们需要推导出边际函数 g(x) 在极小值点上的性质。
解题思路：根据题目所给条件，我们可以使用费马引理来求解，费马引理是极值问题中非常有用的定理。
首先，假设 x0 是 g(x) 的极小值点，则必有g'(x0) = 0。
我们需要推导出 g'(x0) = 0 的条件，即 f'(x0) - f(x0)/x0 = 0。
解题步骤：Step 1: 求解 f'(x)由题意可知 f(x) 在 [a, b] 上连续，(a, b) 内可导，且 f(a) = f(b) = 0。
根据 Cauchy 中值定理，存在 c ∈ (a, b)，使得 f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a) = 0。
所以，我们可以得到 f'(x) = 0。
Step 2: 求解 f(x0)根据题目条件 g(x0) = 0，我们可以得到 f(x0) / x0 = 0。
由于x0 ≠ 0，所以得到 f(x0) = 0。
Step 3: 推导 g'(x0) = 0将 f'(x) - f(x)/x = 0 代入边际函数的定义，可以得到 f'(x) - f(x)/x = 0。
边际函数
利润是厂商出售产品得到的总收入（即总收益）和生产这些产品的总成本之间的差额。
设R 表示总收益，总收益等于出售产品的数量x 和产品价格p 的乘积，故()R x px =是产品数量x 的函数，设C 表示总成本，则 ()C C x = 也是产品数量x 的函数。
因此，利润()()()P x R x C x =- (11..1)也是产品数量x 的函数。
在实际经济生活中。
利润是影响企业家行为的非常重要的因素，厂商决策的原则之一被假定是获取尽可能多的利润，也就是说，厂商的目的之一是最大化利润。
经济学家根据各种可选择的机会对厂商利润的作用来预测厂商的行为，他们首先研究各种机会对利润的作用，然后预测长撒好难过将选择可产生最大利润的那种可选择方案，以利润最大化假定为基础的理论，所得出的大量预测与观察到的现实基本上是一致的。
本课题将探讨微观经济学中的利润最大化基本法则的数学原理。
首先我们先引入边际收益和边际利润的概念。
收益函数()R x 的导数称为边际收益函数，它表示收益函数的变化率。
问题11.1 假设某种音响系统的单价 p (单位：元)与它的需求量x 之间的关系为0.24000p x =-+ ()020000x ≤≤（1） 求收益函数R 和边际收益函数R '；（2） 求()2000R '，并对结果加以解释。
利润函数()P x 的变化率（即导数）称为边际利润函数，它表示已经卖出x 个产品，再卖出第1x +个产品的实际利润（或亏损）的近似值。
问题11.2 在问题11.1的假设下，再设该种音响系统的成本函数为 ()10002000000C x x =+（1） 求利润函数P 和边际利润函数 P '；（2） 求()2000P '并对结果加以解释下面介绍微观经济学中利润最大化的两个基本法则：（1） 法则1. 利润最大化的第一个条件是产出量x 的边际收益等于其边际成本，即dR dC dx dx=； （2） 法则 2. 利润最大化的第二个条件是边际成本曲线穿过边际效益曲线。
边际函数考研真题及答案
边际函数考研真题及答案边际函数考研真题及答案在经济学中，边际函数是一个重要的概念。
它描述了某一变量随着另一变量的微小变动而引起的变化。
在考研经济学中，边际函数也是一个常见的考点。
下面我们将通过一些真题来探讨边际函数的应用和解答方法。
题目一：某企业的生产函数为Q=8K^0.5L^0.5，其中Q为产量，K为资本投入，L为劳动投入。
求边际产量函数。
解答一：边际产量函数描述的是单位资本或单位劳动投入增加时，产量的变化情况。
根据生产函数，我们可以求得边际产量函数的表达式。
首先，对生产函数分别对K和L求一阶偏导数，得到边际产量函数的一般表达式：∂Q/∂K = 4K^-0.5L^0.5∂Q/∂L = 4K^0.5L^-0.5这就是边际产量函数的一般形式。
在具体计算时，可以将K和L的数值代入，得到具体的边际产量。
题目二：某企业的生产函数为Q=10K^0.3L^0.7，其中Q为产量，K为资本投入，L为劳动投入。
求当资本投入为1时，边际产量函数的数值。
解答二：根据题目给出的生产函数，我们可以得到边际产量函数的一般表达式：∂Q/∂K = 3K^-0.7L^0.7∂Q/∂L = 7K^0.3L^-0.3要求当资本投入为1时，边际产量函数的数值，即∂Q/∂K的数值。
将K=1代入边际产量函数的一般表达式，得到：∂Q/∂K = 3(1)^-0.7L^0.7 = 3L^0.7所以，当资本投入为1时，边际产量函数的数值为3L^0.7。
通过这个例子，我们可以看到边际产量函数的数值与劳动投入L有关。
当L增加时，边际产量也会增加，但增加的速度会逐渐减缓。
题目三：某企业的生产函数为Q=20K^0.5L^0.5，其中Q为产量，K为资本投入，L为劳动投入。
已知资本投入为10，劳动投入为16，求边际产量函数的数值。
解答三：根据题目给出的生产函数，我们可以得到边际产量函数的一般表达式：∂Q/∂K = 10K^-0.5L^0.5∂Q/∂L = 10K^0.5L^-0.5要求边际产量函数的数值，即∂Q/∂K和∂Q/∂L的数值。
《微积分上》的经济数学汇总
一、常用的经济函数1、总成本函数、总收入函数、总利润函数总成本函数是指在一定时期内，生产产品时所消耗的生产费用之总和。
常用C 表示，可以看作是产量x 的函数，记作()C C x =总成本包括固定成本和可变成本两部分，其中固定成本F 指在一定时期内不随产量变动而支出的费用，如厂房、设备的固定费用和管理费用等；可变成本V 是指随产品产量变动而变动的支出费用，如税收、原材料、电力燃料等。
固定成本和可变成本是相对于某一过程而言的。
在短期生产中，固定成本是不变的，可变成本是产量x 的函数，所以()()C x F V x =+，在长期生产中，支出都是可变成本，此时0F =。
实际应用中，产量x 为正数，所以总成本函数是产量x 的单调增加函数，常用以下初等函数来表示：（1）线性函数 C a bx =+, 其中0b >为常数.（2）二次函数 2C a bx cx =++,其中0,0c b ><为常数.（3）指数函数 ax C be =, 其中,0a b >为常数. 平均成本：每个单位产品的成本，即 ()C x C x=. 总收益函数是指生产者出售一定产品数量（x ）所得到的全部收入，常用R 表示，即 ()R R x =其中x 为销售量. 显然，0(0)0Q R R ===，即未出售商品时，总收益为０.若已知需求函数()Q Q p =，则总收益的为1()()R R Q P Q Q p Q -==⋅=⋅ 平均收益：()R x R x=，若单位产品的销售价格为p ，则R p x =⋅，且R p =. 总利润函数是指生产中获得的纯收入，为总收益与总成本之差，常用L 表示，即 ()()()L x R x C x =-例 某工厂生产某产品，每日最多生产100个单位。
日固定成本为130元，生产每一个单位产品的可变成本为6元，求该厂每日的总成本函数及平均单位成本函数.解 设每日的总成本函数为C 及平均单位成本函数为C ，因为总成本为固定成本与可变成本之和，据题意有()1306(0100)130()6(0100)C C x xx C C x x x==+≤≤==+<≤ 例 设某商店以每件a 元的价格出售商品，若顾客一次购买50件以上，则超出部分每件优惠10%，试将一次成交的销售收入R 表示为销售量x 的函数。
边际函数
品成本增加50元，设该产品的市场需求规律为Q = 1100 – 10P(P为
价格)，产销平衡，试求：
(1)产量为100吨时的边际利润；
(2)产量为多少吨时利润最大？
解
由于
P
110
Q 10
,
故总收入为
Q2 R PQ 110 Q
10
C 2000 50Q L R C 60Q Q2 2000
f1 (x) f1x f 2 (x) f2x
f1(x) f2 (x)
弹性运算
n
推论
设
fi
(x)
在
x
处的弹性为
n
fi x
(i
1,2,
n
,
n)
，则
y
i 1
fi
(x)
在 x 处的弹性为 yx fi (x) fix
fi (x)
i 1
i 1
(2) 设 f1(x) 与 f2 (x) 于 x 处 的 弹 性 为 f1x 与 f2x ， 则
yx
x f (x)
f (x)
函数弹性
函数在点 x 的弹性 yx 反映了 f (x) 对 x 的变化反映的强烈
程度或灵敏度．
yx 的表达式可改写为
yx
dy dx
y x
边际函数 平均函数
故在经济学中，弹性又可解释为边际函数与平均函数之比．
在经济学的常用到需求弹性．“需求”是指在一定价格条件下，
y
f
(x) 在 (x0, x0
x) 内的平均变化率为 y ， x
如我们常用到年产量的平均变化率、成本的平均变化率、利
边际与弹性
解
dP Q ( P ) 2 P , 当P 4时 的 边 际 需 求 为 dQ Q ( P ) P 4 8
它的经济意义时价格为4时，价格上涨（或下 降）1个单位，需求量将减少（或增加）8个单位.
三、弹性的概念
1. 弹性的定义
定义 设函数 y f ( x ) 在点 x0 处可导，且 x0 0 ，
例1 设函数 y x 2，试求 y 在 x 5 时的边际函数值． 解 因为 y 2 x ，所以 y x5 10．
该值表明：当 x 5 时，x 改变 1 个单位（增加 或减少 1 个单位） ，y 改变 10 个单位（增加或 减少 10 个单位） ．
二、 经济学中常见的边际函数
设在点 x x0 处， x 从 x0 改变一个单位时 y 的增量 y 的准确值为 y x 1 ，当 x 改变量很小时，则由微分的应用 知道， y 的近似值为
x x0
y x 1 dy f ( x )x
x x0
x x0 x 1
f ( x 0 )
当 x 1时，标志着 x 从 x0 减小一个单位.
3 弹性的四则运算
f1 ( x) E f 2 ( x) Ef1 ( x) Ef 2 ( x) (3) Ex Ex Ex
4 函数弹性的图解方案
即 tan( m ) tan m (图2 2)
边际函数 y f ( x )的 几 何 意 义 为 所 示 曲 上 线各 点 的 切 线 斜 率 ，
Ef1 ( x) Ef 2 ( x) f ( x ) f ( x ) 1 2 E f1 ( x) f 2 ( x) Ex Ex (1) Ex f1 ( x) f 2 ( x) (2) E f1 ( x) f 2 ( x) Ex Ef1 ( x) Ef 2 ( x) Ex Ex
边际函数考研真题及答案
边际函数考研真题及答案边际函数是微积分中的一个重要概念，广泛应用于经济学、物理学等各个领域。
在考研数学中，边际函数也是一个考察的重点内容。
本文将结合考研真题，对边际函数的相关问题进行探讨，并提供详细的解答策略。
一、边际及边际函数的概念边际是指一定范围内变量变化的极小量。
在微积分中，我们可以通过导数的概念来理解边际。
对于一个函数f(x)，其边际函数f'(x)表示函数f(x)关于自变量x的变化率。
在经济学中，边际分析是指考察某一决策或行为对最终结果产生的影响。
边际函数的应用可以帮助我们理解各个决策点的效果，并做出合理的选择。
二、考研真题解析为了更好地理解和应用边际函数的概念，我们将结合考研数学真题进行解析。
【例题】（2020年考研数学一真题）设函数f(x)满足f'(x)>0，且当x<0时，f''(x)>0；当x>0时，f''(x) <0。
则函数y=f(x)的下列说法正确的是：A. 函数y=f(x)是减函数；B. 函数y=f(x)在x = 0处取得极小值；C. 函数y=f(x)在x = 0处取得最大值；D. 函数y=f(x)在x = 0处取得极大值；解析：根据题目给出的条件，我们可以知道函数f(x)在x<0时是递增的，即f'(x)>0，而在x>0时是递减的，即f'(x)<0。
因此，可以推断函数在x = 0的局部极小值点。
所以，选项B“函数y=f(x)在x = 0处取得极小值”是正确的。
由此可见，边际函数的理解和应用在解题过程中起到了关键的作用。
三、边际函数的应用1. 边际成本与边际收益在经济学中，边际成本和边际收益是常用的概念。
边际成本指的是生产单位产品时增加的总成本与增加的产量之间的比值，而边际收益是指增加一单位产品时带来的收益。
我们可以通过计算边际成本和边际收益的关系来判断是否继续生产或投资。
边际函数的名词解释
边际函数的名词解释边际函数是经济学中一个重要的概念，用于描述某一变量随另一变量的变化而发生的变动。
它核心的思想是，在某种限制条件下，改变一个变量会对另一个变量产生的额外效应。
边际函数通常用数学符号来表示，例如，对于一个变量X，它的边际函数可以表示为M(X)。
其中，M代表边际，X代表某一变量。
边际函数的值表示的是当变量X发生变动时，所产生的额外效应。
边际函数常用于经济学中的许多领域，包括微观经济学和宏观经济学。
在微观经济学中，边际函数经常用于分析个体行为和决策。
在宏观经济学中，边际函数则用于分析整体经济变动和政策效果。
边际函数的重要性在于它可以帮助我们理解经济中的一些关键概念和现象。
例如，边际效用就是一个常用的概念，用于解释消费者在满足一种需求后，对更多单位的此类产品的边际满足程度递减的现象。
边际效应可以帮助消费者在做出决策时权衡成本和效益，从而使他们能够更好地分配资源。
另一个例子是边际成本，它用于分析企业生产中的经济效益。
边际成本是指在产品数量增加时，为生产额外的一单位产品而增加的成本。
通过分析边际成本和边际收益之间的关系，企业可以确定最优的生产量，以最大化利润。
边际函数还在公共政策制定中起到重要作用。
通过对边际税收和边际福利的分析，政府可以评估税收或福利政策对经济体及其各组成部分的影响。
边际分析还可以帮助政府制定效率更高的税收方案和社会福利计划。
除了经济学，边际函数还在其他学科中有广泛的应用。
在数学中，边际函数和微分学有密切关系。
微分学通过对函数的边际变化率进行研究，可以帮助我们理解函数的变化趋势和特点。
除了数学和经济学，边际函数在生态学、工程学、医学等学科中也有一定的应用。
在生态学中，边际效应的研究可以帮助我们理解环境因素对生物群落和生态系统的影响。
在工程学中，边际函数可以用于优化设计和资源分配。
在医学中，边际分析可以用于评估治疗方案和药物剂量。
总之，边际函数是一种非常有用的工具，它帮助我们理解和分析经济和其他学科中的关键概念和现象。
边际与弹性
例2
设某产品生产 Q
单位的总成本
C
(Q)
1100
Q2 1200
，
求：(1)生产 900 个单位的总成本和平均成本；
(2)生产 900 个单位到 1000 个单位时的总成本的平均变化率；
(3)生产 900 个单位的边际成本，并解释其经济意义.
解 (1)生产900个单位时的总成本为
9020
C(Q) 1100 1775
相对改变量 y f ( x0 x) f ( x0 )与自变量的相对改变量
y0
f ( x0 )
x 之比 y
x0
x
y0 x0
为函数从
x0到
x0
x两点间的平均相对变化
第六节 边际与弹性
一、 边际的概念
定义: 如果函数 y f (x)在 x0 处可导，则在(x0, x0 x)内
的平均变化率为y ；在 x x
x0处的瞬时变化率为
lim f (x0 x)
x0
x
f (x0 )
f (x0 )
，
经济学中称它为 f (x)在 x x0处的边际函数值.
相应定义了一个函数：边际函数
L(Q) L(2)050 Q20
L(Q ) L(2)5 0
Q 25
L(Q) L(3)5100
Q35
上述结果表明当生产量为每月20吨时，再增加一吨，利润将增加50 元，当产量为每月25吨时，再增加一吨，利润不变；当产量为35吨 时，再增加一吨，利润将减少100．此处说明，对厂家来说，并非 生产的产品越多，利润越高.
销 售 1 5 个 单 位 时 , 总 收 益 R
5
Q 2
(2 0 Q )
2 5 5
第六节 经济活动中的边际分析与弹性分析,常用经济函数
平均收益是指生产者销售单位产品所获得的收入，即 总收益与销售量之比。公式为
TR AR Q
4. 总成本函数与平均成本函数
产品的总成本（total cost），是指生产一定数量 的产品，所需的全部经济投入的费用总额，短期内 的总成本可以分为固定成本和可变成本两部分. 总成本函数： TC TC(Q) C0 C1 (Q)
该结果说明当价格在 p 5 元水平时， 若提价1%，
供给量将增加2%.
边际成本为总成本函数关于产量Q的导数，记作MC，
即
MC TC (Q)
它的经济含义是：当产量为Q时，再生产一个单位
产品所增加的成本，即边际成本是第Q+1个产品的成本。
例1 已知某商品的总成本函数为
TC(Q) 2000 45Q 0.02Q
2
Q [0,1000 ]
求：（1）当产量为100吨时的总成本； （2）当产量为100吨时的平均成本； （3）当产量从100吨增加到200吨时，总成本的平 均变化率； （4）分别求当产量为100吨和200吨时的边际成本. 解 （1）当产量为100吨时，总成本
p p0
p0 g ( p0 ) g ( p0 )
例4 已知某种商品的供给价格函数为 Qs 2 0.8 p
试求 p 5 元时的供给价格弹性.
解 因为 所以
Qs 0.8
Es
p 5
p0 g ( p0 ) g ( p0 )
5 0.8 2 2 0.8 5
ML(Q) TR(Q) TC (Q) MR MC
它的经济含义是：当产销量达到 Q 时，再增加一个 单位产品的产销所增加的利润.
二、弹性分析 弹性作为一个数学概念是指相关变化率, 即相互依 存的一个变量对另一个变量变化的反应程度。用比例 来说, 是自变量变化 1% 所引起因变量变化的百分数。 弹性是一种不依赖于任何单位的计量法, 即是无量纲 的。弹性分析是经济数量分析的重要组成部分之一.
大一高数边际函数知识点
大一高数边际函数知识点边际函数是微积分中一个重要的概念，涉及到函数的变化率和极限。
在大一高数中，学习边际函数是为了更好地了解函数的变化规律和优化问题。
本文将介绍边际函数的基本概念、性质以及应用。
一、边际函数的基本概念边际函数是函数关于自变量的变化率，表示函数在某一点的微小变化对应的因变量的微小变化。
用数学符号来表示，边际函数可以用导数表示。
以函数y=f(x)为例，如果f(x)在某一点x处存在导数，则该导数即为边际函数。
边际函数通常用dy/dx来表示。
二、边际函数的性质1. 边际函数的定义域：边际函数的定义域与原函数相同。
2. 边际函数的图像：边际函数是原函数的导数函数，其图像与原函数的图像有密切的联系。
3. 边际函数的符号：边际函数的符号与原函数相同，即当原函数增加时，边际函数为正；当原函数减小时，边际函数为负；当原函数达到极值时，边际函数为零。
4. 边际函数的应用：边际函数可以用于解决优化问题，如求函数的最大值、最小值等。
三、边际函数的应用举例1. 边际收益/成本在经济学中，边际收益/成本是指当产量（数量）每增加一个单位时，相应的收益/成本的变化。
边际收益/成本可以用边际函数表示，帮助决策者了解产品的生产优化问题。
例如，某企业生产某商品，销售价格为P，生产数量为x，总收益可以表示为R(x)=xP。
边际收益即为边际函数MR(x)=dR(x)/dx=P。
2. 边际利润在管理学中，边际利润是指当产量每增加一个单位时，相应的利润的变化。
边际利润可以用边际函数表示，帮助企业家进行生产决策和资源配置。
例如，某企业的生产成本可以表示为C(x)=a+bx，其中a为固定成本，b为单位产品成本。
总利润可以表示为π(x)=R(x)-C(x)。
边际利润即为边际函数m(x)=dπ(x)/dx=d(R(x)-C(x))/dx。
3. 边际效用在经济学和福利经济学中，边际效用是指当消费某种商品或服务每增加一个单位时，对总效用的增加量。
3.6-2经济学中常见的边际函数
经济学中常见的边际函数第三章导数微分边际与弹性第6节边际与弹性一、边际成本经济学中常见的边际函数1、边际成本QQ C Q Q C Lim Q C Lim Q C Q C Q Q ∆-∆+=∆∆='→∆→∆)()()()(00的导数总成本函数1)边际成本2)边际平均成本：2()()()()()C Q C Q QC Q C Q C Q Q Q ''⎡⎤-'==⎢⎥⎣⎦平均成本的导数称为边际平均成本.)()()()(1010Q C C Q C Q C C Q C +=即：之和，与可变成本等于固定成本总成本而边际成本则为：)(])([)(110Q C Q C C Q C '='+='这样可以看出，边际成本与固定成本无关．例2 设某产品生产Q 单位的总成本为12001100)(2Q Q C +=，求：(1)生产900个单位的总成本和平均成本；(2)生产900个单位到1000个单位时的总成本的平均变化率；(3)生产900个单位的边际成本，并解释其经济意义.解(1)生产900个单位时的总成本为177512009001100)(2900=+==Q Q C平均成本为99.19001775)(900===Q Q C （2）生产900个单位到1000个单位时总成本的平均变化率为58.1100177519939001000)900()1000()(=-=--=∆∆C C Q Q C 5.1)(900,60012002)()3(900='==='=Q Q C Q Q Q Q C 时的边际成本当边际成本函数二、边际收益经济学中常见的边际函数2、边际收益定义：.)()()()(00称为边际收益函数的导数总收益函数QQ R Q Q R Lim Q R Lim Q R Q R Q Q ∆-∆+=∆∆='→∆→∆)()()()()()(Q P Q Q P Q R Q P Q PQ Q R Q P P P '+='⋅===，，因此为价格，设例3 设某产品的需求函数为520Q P -=，其中P 为价格，Q 为销售量，求销售量为15个单位时的总收益，平均收益与边际收益．并求销售量从15个单位增加到20个单位时收益的平均变化率． 解520)(2Q Q Q Q P R -==总收益为1715255)(1515=====Q Q Q Q R R 平均收益255)520(1515215=-===Q Q Q Q R 总收益个单位时销售1352553201520)15()20(2015=-=--=∆∆R R Q R 化率为个单位时收益的平均变个单位增加到当销售量从15152((20)145Q Q R Q Q =='=-=边界收益）解)60(10)(2≤≤==-Q Qe PQ Q R Q 收益函数)60()2(5)(2≤≤-='-Q e Q Q R Q 边际收益函数和边际函数．．求该商品的收益函数为为价格，且最大需求量为需求量，，其中的需求函数为商品商品投放市场，已知该当某厂家打算生产一批例610)( 4.2P Q e Q P P Q -==三、边际利润经济学中常见的边际函数3、边际利润定义：.)()()()(00称为边际利润的导数总利润函数QQ L Q Q L Lim Q L Lim Q L Q L Q Q ∆-∆+=∆∆='→∆→∆边际利润表示：若已经生产了Q 单位产品，再生产一个单位产品所增加的总利润．⎪⎩⎪⎨⎧<=>'⎪⎩⎪⎨⎧'<'='>''-'='-=000)(,)()()()(,,)()()(),()()(Q L Q C Q C Q C Q R Q C Q R Q L Q C Q R Q L 时与边际成本决定边际利润可由边际收入显然则边际利润为之差．即与总成本函数等于总收益函数数一般情况下，总利润函)()()(Q C Q R Q L则边际利润为,10250)(Q Q L -='50)20()(20='='=L Q L Q 0)25()(25='='=L Q L Q 100)35()(35-='='=L Q L Q 上述结果表明当生产量为每月20吨时，再增加一吨，利润将增加50元，当产量为每月25吨时，再增加一吨，利润不变；当产量为35吨时，再增加一吨，利润将减少100．此处说明，对厂家来说，并非生产的产品越多，利润越高.例5 某工厂对其产品的销售情况进行大量统计后分析后，得出总利润)(Q L (元)与每月产量 Q (吨)的关系为25250)(Q Q Q L L -==，试确定每月生产20吨，25吨，35吨的边际利润，并做出经济解释．解四、边际需求经济学中常见的边际函数4、边际需求定义[]'='-)(1)(1Q f P f 显然，()().Q f P Q PdQ f P dP='= 若是需求函数，则需求量对价格的导数称为边际需求函数解它的经济意义是价格为4时，价格上涨（或下降）1个单位，需求量将减少（或增加）8个单位.例6 某商品的需求函数为275)(P P Q Q -==，求4=P时的边际需求，并说明经济意义． 4()2,4()8P dQ Q P P P dPQ P ='==-='=-当时的边际需求为谢谢THANK YOU。
边际分析与弹性分析
dQ
(p)
ER R '(Q) Q p(1 1 ) Q 1 1
EQ
R(Q)
(p) pQ
(p)
(x)从x0到x0
x两点间的平均相对变化率
或弹性.
lim
x0
y x
/ /
y x
0 0
称为f
(x)在x0处的相对变化率或弹性。
2.弹性定义：设y=f(x)可导，则
Ey Ex
y'
x y
f '(x)
x f (x)
称为y=f(x)的在x处 的弹性或相对变化率。
Ey x f '(x)表示x在x处改变1％时，函数f (x) Ex f (x) 改变了 | Ey | %
e
p 5
，求：
⑴需求弹性
⑵p=3、5、6时的需求弹性
⑶当价格在p=3处上涨2％时需求将变化百分之几？
(4) 当价格在p=3处下降3％时需求将变化百分之几？
4.收益弹性 Ey f '(x) x
R '(p)
Ex
Q
p
dQ
f
(x)
Q(1
(p))
dp
ER R '(p) p Q(1 (P)) p 1 (p)
Ep
R(p)
pQ
(1) 当 ER 0 在价格 p 处, 价格每上涨 1%,
Ep
收益增加 (1 - (P)) %
(2) 当 ER 0 在价格 p 处, 价格每上涨 1%,
Ep
收益减少 | (1 - (P)) | %
(3) 当(p) 1,即 ER 0 总收益最大
高考数学复习点拨：边际函数
边际函数山东 李燕在经济问题中，常常会使用变化率的概念，变化率又分为平均变化率和瞬时变化率．平均变化率就是函数增量与自变量增量之比，即函数()y f x =在00()x x x +∆，内的平均变化率为y x∆∆,如我们常用到年产量的平均变化率、成本的平均变化率、利润的平均变化率等．瞬时变化率就是函数对自变量的导数，即当自变量增量趋于零时平均变化率的极限：0000()()lim ()x f xx f x f x x ∆→+∆-'=∆．在经济学中,一个经济函数()f x 的导数()f x '称为该函数的边际函数．()f x 在点0x x =处的导数()f x '称为()f x 在点0x x =处的变化率，也称为()f x 在点0x x =处的边际函数值．它表示()f x 在点0x x =处的变化速度． 现设()y f x =是一个可导的经济函数，于是当x ∆很小时，()()()()()f x x f x f x x o x f x x ''+∆-=∆+∆≈∆．特别地，当1x ∆=或1x ∆=-时，分别给出0(1)()()f x f x f x '+-≈或()(1)()f x f x f x '--≈．因此边际函数值0()f x '的经济意义是:经济函数()f x 在点0x x =处，当自变量x 再增加1个单位时,因变量y 的改变量的近似值，或近似于经济函数值0()f x 与0(1)f x -之差．但在应用问题中解释边际函数的具体意义时，常略去“近似"两字．例 设函数2y x =,试求y 在5x =时的边际函数值． 解:因为2y x '=，所以510x y ='=|．该值表明:当5x =时，x 改变一个单位（增加或减少一个单位)，y 约改变10个单位（增加或减少10个单位）．下面介绍经济学中常用的几个边际概念．1．边际成本某产品的总成本是指生产一定数量的产品所需的全部经济资源投入（劳动力、原料、设备等）的价格或费用总额．它由固定成本和可变成本两部分组成．平均成本是生产一定量产品，平均每单位产品的成本．边际成本是总成本的变化率．在生产技术水平和生产要素的价格固定不变的条件下，成本是产量的函数．设总成本函数()C C Q =,Q 为产量， 则平均成本函数为()()CQ C C Q Q ==，生产Q 个单位产品时的边际成本函数为()C C Q ''=．0()C Q '称为当产量为0Q 时的边际成本．西方经济学家对它的解释是:当生产0Q 个单位产品前最后增加的那个单位产品所花费的成本或生产0Q 个单位产品后增加的那个单位产品所花费的成本．这两种理解均算正确．2．边际收益和边际利润总收益是生产者出售一定量产品所得到的全部收入．平均收益是生产者出售一定量产品，平均每单位产品所得到的收入,即单位商品的售价．边际收益为总收益的变化率．总收益、平均收益、边际收益均为销售量的函数．设P 为价格,Q 为销售量，则总收益函数为:()R R Q Q P ==·，若需求函数为()P P Q =，则总收益函数为()()R R Q QP Q ==·， 故平均收益函数为()()()()RQ Q P Q R R Q P Q Q Q====·， 即价格()P Q 可视作从需求量（这里需求量即为销信量）Q 上获得的平均收益．边际收益为()(())()()R R Q QP Q Q P Q P Q ''''===+··． 0()R Q '的经济意义为:0()R Q '表示销售量为0Q 个单位时，多销售一个单位产品或少销售一个单位产品时收益的改变量．由经济学知识，总利润是总收益与总成本之差，设总利润为L ，则总利润函数为()()()L L Q R Q C Q ==-(其中Q 为商品量),那么边际利润函数为()()()L L Q R Q C Q ''''==-．它的经济意义是：0()L Q '表示销售量为0Q 单位时，再销售一个单位商品时利润的改变量．。
边际的概念 经济学中常见的边际函数 弹性分析 需求价格弹性
称为边际利润函数. 当销售量为Q, 总利润为L=L(Q)时, 称 L(Q ) 为销售量 为Q 时的边际利润, 它近似等于销售量为Q 时再多销售一
个单位产品所增加或减少的利润.
例3 某糕点加工厂生产A 类糕点的总成本函数和总收入
p 1 3 Q( p) a( ) (a是常数), 求：(1)需求弹性函数(通常记作 p); 2
(2)当单价分别是4元、4.35元、5元时的需求点弹性. 解
p 1 1 3 1 (1) Q ( p ) a ( ) ln( ) 3 2 2
Q( p) 由p p Q( p )
(2) p 0.92,
(2)当日产量由75件提高到90件时, 总成本的平均改变量
C C (90) C (75) 101.25(元 / 件) x 90 75
(3) 当日产量为75件时的边际成本 1 C ( x ) x 60 2
C(75) C( x)
x 75
97.5(元)
2. 边际收益
利用需求价格弹性来分析价格变动对总收益的影响. 在商品经济中,商品经营者关心的的是提价(Δp > 0)或降
价(Δp < 0)对总收益的影响.下面利用需求弹性的概念,可以
得出价格变动如何影响总收益的结论. 总收益 R 表示为价格 P 的函数需求函数
R(P ) P Q P Q ( P)
总收益 R 对 P 的导数是总收益关于价格的边际收益
际函数值。 已知 意义). 故有
y f ( x0 )x
在经济学中, 通常取Δx =1, 就认为Δx达到很小(再小无
y f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 )
高数边际函数复习题
高数边际函数复习题一、选择题1. 边际函数是指函数的导数，它表示函数值随自变量变化的快慢。
以下哪个选项正确描述了边际函数？A. 边际函数是一个常数B. 边际函数是函数的反函数C. 边际函数是函数的二阶导数D. 边际函数是函数的一阶导数2. 如果函数 \( f(x) = x^2 + 3x + 2 \)，那么它的边际函数是什么？A. \( 2x + 3 \)B. \( x^2 + 3 \)C. \( x + 2 \)D. \( 3x + 2 \)3. 边际函数的几何意义是什么？A. 曲线在一点的切线斜率B. 曲线在一点的法线斜率C. 曲线在一点的截距D. 曲线在一点的面积二、填空题4. 函数 \( g(x) = sin(x) \) 的边际函数是 _________ 。
5. 如果 \( h(x) = e^x \)，那么 \( h'(x) \) 等于 _________ 。
6. 函数 \( y = x^3 - 2x^2 + x \) 的边际函数是 _________ 。
三、简答题7. 请解释边际函数在经济学中的应用。
8. 边际函数与函数的增减性有什么关系？四、计算题9. 计算函数 \( f(x) = 4x^3 - 7x^2 + 5x - 3 \) 的边际函数，并求 \( f'(2) \) 的值。
10. 已知 \( p(t) = 3t^4 - 5t^3 + 7t^2 - t + 2 \)，求 \( p'(t) \) 并解释其在 \( t = 1 \) 时的经济意义。
五、应用题11. 假设一个公司生产某商品的总成本函数为 \( C(x) = 100 + 30x + 0.5x^2 \)，其中 \( x \) 表示生产数量。
求该商品的边际成本函数，并计算在 \( x = 10 \) 时的边际成本。
12. 某工厂生产产品的利润函数为 \( P(x) = -2x^3 + 150x^2 -600x + 2000 \)，求该利润函数的边际函数，并分析当 \( x = 5 \) 时的边际利润。
第八节 变化率及相对变化率在经济中的应用——边际分析与弹性分析介绍.ppt
所以 Q 20 时，平均成本最小。
12/24/2019 4:49 PM
第四章 中值定理与导数的应用
（三）收益 收益是生产者出售一定量产品时所得到的 全部收入。 平均收益是生产者出售一定量的产品，平 均每出售单位产品所得到的收入，即单位产品 的售价。 边际收益是总收益的变化率。 总收益、平均收益、边际收益均为产量的 函数。
y0 x0
lim y x0 x
x0 y0
f ( x0 )
x0 f ( x0 )
当
x0
为定值时，Ey
Ex
为定值。
x x0
12/24/2019 4:49 PM
第四章 中值定理与导数的应用
对一般的 x ，若 f ( x) 可导，则
Ey lim y y lim y x y x
12/24/2019 4:49 PM
第四章 中值定理与导数的应用
10%，而商品乙只涨了0.1%。因此我们有必要 研究函数的相对改变量和变化率。
例如，y x2 , 当 x 由10改变到12时，y 由
100改变到144，此时自变量与因变量的绝对改 变量分别为 x 2 ,y 44 , 而
例7 某工厂生产某种产品，固定成本 20000 元，每生产一单位产品，成本增加 100 元，已知总收益 R 是年产量 Q 的函数
R
R(Q)
400Q
Q2 2
80000
0 Q 400 Q 400
问每年生产多少产品时，总利润最大？此时总
利润是多少？
12/24/2019 4:49 PM
当 Q 10 时，总成本 C(10) 125 平均成本 C(10) 12.5 边际成本 C(10) 5
边际函数与弹性函数及其商业应用
边际函数与弹性函数及其商业应用边际函数与弹性函数及其商业应用文/何国柱王刚在经济活动中,常常遇到边际分析和弹性分析问题.边际分析与弹性分析是微分学在经济分析中应用的一种有效的方法,这种方法广泛应用于经济分析与经济管理当中.通过对经济问题的边际情况的认识和研究,便可寻求对经济活动的科学指导.一.边际成本边际收入与利润决策在经济学中通常定义边际值为经济函数Y=f(x)中的因变量Y随着某一变量增加或减少一个单位而获得的改变量.即=f(xo+1)一,),或Ay=f(X.一1)一f(Xo),由于==厂()不妨我们取Ax=l,于是得厂(=厂即,),在经济学中我们称f(xdjY=f(x)的边际函数,记为.例如,总成本c=C(q)对产量q的变化率称为边际成本,记为MC,~OMC=(q);同样我们称总收入R是销量g的变化率为边际收入,记为MR,即=(q).设销售价为q,则月(q)=qP,于是有下述结论:(1)如果销售价格与销售量无关,即q是常数,则MR==P,即边际收入等于价格.(2)一般售价P是q的单调减函数,则P(q)<0,而MR=[qP(q)】=P(q)+qP(q),从而有MR—p)=qP(g)<0,即边际收入MR总小于价格P(q).设总收入为R=qP,总成本为C=Cl+q,则总利润L=R-C=qP一(+q),设L(qo)=0,解得qo=(1)赢(1'为盈利的起点,当q<qo时亏损(图1),称为盈利临界点或损益分歧点.盈亏临界点也可用销量收入表示, 用P乘(1)式两边得p吼:—lLl一Lp即销售额要达到一之时才不致亏本.若要达到预定的计划利润任务fn,则产(销)量的目标可由下式确定:lo=R()一c)=p一(+吼)得q=专_二,用P乘上式得互,即销售额要达到上面p之时,才能达到预定的计划利润.下面我们讨论产(销)量q为多少时所获利润达到最大值.因总利润函数z=z(=(g)一c(g所以z=(q)一(q)=一由极值存在的必要条件知,欲使总利润最大,必须使边际收入等于边际成本,这是经济学中关于厂商行为的一个重要命题,根据极值存在的第二充分条件,还要求q=qo时二阶导数L(qo)=R吼)一C(吼)<0集团经济研究2007?11月下旬刊(总第249期)这就是说,在获得最大利润的产(销)量处,必须要求边际收入等于边际成本,但此时若又有(%)<(吼),则在吼处一定能获得最大利润,由极值存在的第一充分条件, 这又相当于有IMR=MC,q=q0{MR>MC,q<q0IMR<MC,q>q0上面的关系式说明:当q=qo时利润取得最大值,此时边际收入等于边际成本;当q<q.时,边际收入大于边际成本,此时增加产(销)量可以增加利润;当q>qo时,边际收入小于边际成本,此时增加产(销)量就会减少利润.在上述讨论中,我们是假定先由厂商规定产(销)量,再根据需求关系决定价格,但在某些市场条件下,也可由厂商先定价格,然后由需求关系去决定生产量,此时可将产量q看作是价格P的函数,q(p1则在价格为P时的总利润为L=R—C=P'(p)一Cl(p)l为使利润最大,须满足:1)～,即妒(p)+p(p)一(p):02).,即2(p)+p(p)一d2Cr,.)].一矿(p).扫一"'"f满足上述两个条件的价格就能使总利润达到最大值,此时的最优产量由q=~O(po)确定.由1)容易得到:,而dR=[p妒(p)],=妒(p)+(pa嘶plplp所以dCdRdR(p)由(p)(p)由这说明,能使总利润达到最大值的价格也必能使边际收入等于边际成本,由此可见,无论是以q还是以P作为自变量,上述两种分析得到的是同样的最优产(销)量和最优价格.二弹性1.函数的弹性设经济函数为y=,(),=称为函数=,()在X处的弹性,的表达式又可改写为:五:堕里墼平均函数'即弹性又可理解为边际函数与平均函数之比.在经济学中弹性表示某种变量对另一变量变化的相对反应程度(灵敏度).例如,需求函数对价格的弹性表示商品的需求量对价格变化的相对反应程度,即价格为P时, 价格每变动1%时需求量变化的百分数.2.不变弹性曲线经济学中一种特殊情形是,不论某种商品的价格如何变化,其总收入总保持不变,即R=C(常数),而R=Pq,故需求函数q=兰,该函数图形为等轴双曲线,此时需求弹性为:=,=,[一c),c,1它的经济意义是,当价格十1%时,需求量匕升1%,从而总收^保持不变,因此称需求曲线g=为不变弹f生曲线.3.需求价格弹性和总收入函数的关系由于需求函数—般为价格的递减函数,它的边际值小于零,因此它对价格的『生为负值.经济学中常规定需求firMS 性为一?P,这实际上是我们前面定义的『生的绝对值为制定决策,通常将需求弹性分为三类:(1)当1时,称该商品的需求量对价格富有弹性,即价格变化将引起需求量较大变化,此时若采取提价措施的话,因需求下降的百分比大于价格增长的百分比,结果将使总收入降低;反之,若降低价格将会使总收入增加. (2)当=1时,称该商品具有单位弹性,此时不论价格上升或下降,总收入都保持不变,这就是前面讨论过的不变曲线问题.(3)当<1时,称该商品的需求量对价格缺乏弹性,即价格变化只引起需求量的微小变化,此时提价会使总收入增加,降价使总收入减少.下面我们换一个角度,从总收入对价格的变化率来对上述问题进行分析.给出总收^.函数R(P)=qP,设当P=Po时,取得塌-大值,即有fR(,))0,PPo,{R)=o,p=p}R(,)0P>Po又因为p)==g+dq=g(1+p1=g(11),故有f(P)0,~lr/I<1时,.'爿,【)<0,当>1时a这说明,当c耐,提高价格即使销量有所减少,但总收入对价格的变化率R(p)仍为正,从而总收入仍将增加,即需求对价格缺乏弹性;当l叩l>1时,(P)为负,提价将会使总收入减少,因为需求量将会大大减少,此时需求对价格富有弹性;当lr/l=1时,价格与需求达到平衡,此时总收入取得最大值(图2).…一OP.图2三.在商业中的应用1.以旧换新的最优时间.拥有汽车者经常面临的问题是:什么时候是更换新汽车的最优时间?它与两个较重要的因素有关:一是估计维持旧汽车的修理成本,二是汽车的更换成本,我们希望把这些成本表示为时间t的函数,然后决定t的值使总成本最小.设汽车在七月后被更换,每次修理的平均成本是500元,修理次数k满:7Ztj,若更换成本是28000元,则每月的更换成本是00元每月修理成本是500.生元,因此总成本(不计本金)为:c1:5ook_+—280—00:50r÷+—280—00c1:一50一T28000令c(f)=0,得t=107.85).因C'(107.85)<0,故t=10785月时每月修理和更换的总成本为最小,总成本的鼋渔为.oo)=元.此模型中所得之tg1]为最优更换时间.2.利润关于时间的最大化在某些具有特别性质的商业开发中,如钻探石油,开采矿物和其它有耗竭的开发中,收入率尺,ff)作为时间的函数是一个递减函数是因为有消耗发生),而成本率C,(f)是一个递增函数(由于通货膨胀和其它原因),这两个数学模型由通常经济学中单位成本乘单位数和单位价格乘单位数的定义诱导出来,管理部门面临的问题是要确定开发中止的最优时间t,使利润L(r)最大.由第一部分的讨论易知开发中止的最优时间t应满足c,(r'):(r)而Lr(f)=R(f)一C,(f),所以最大利润为:￡(r')=『[R,(f)一c(r)几何匕最啊闰(r)是从f:0到t:t围在曲线c(f铂Rr(f)之间的面积咽.图中的收^率勉唰炙^)函数服在构造模型时所做的『匿殴,它是递减的,目.在开始时非常高;同时成本率G际威函数是递增的,且下凹表示成本率最终于平稳3.消费善睬余图3为P=D(q),鼋为市量,通常它导—减函数;P=S(q)为生产者愿匐潞,q为厂家对该商氏嬗,通常邑—增函数,对囱孺习之曲线垃曲线|腋E稍抨衡,坐标为,P),其中P为谚市场廊;愿付价格,生产者愿售的价沩q需求水平.生产眷,总收^是qp几何匕为图4中自勺j柳面槐在市场经济中,有时—些顾客愿意对商品付出比他们实际所付的市场价格P更高的价格,顾客由此得到的好处称为消费者剩余(cs),它由公式.CS=lD(q一p*q表示,其中j.0艉由—些出更§,它减去Pq就姥『馀CS,几何E为图5中阴影部分的面积.图4图5图6有时也会苻愿意幽物利的市『}各p低的价,生此E畦瞌沩生产宅除(),它由公式PS=P''一fs(g表示,其中』S(q)dq表示生产者感忖—鼬勺价恪而产生的收入,它被p'q'减去兢得生产者剩余,如图6中阴影玢韵面积《f乍者单窿=四JII农业大鹗集团经济研究2007?11月下旬刊(总第249期)。
边际成本和收益的计算
经济数学
第一节
边际成本问题及解决方案
C(100)=0.003 1002 0.6 100 40 10
C(200)=0.003 2002 0.6 200 40 40
它们的经济意义是: 在产量 Q 分别为50、100、200时的基础上再生产一个单位 产品，总成本的增加分别为17.5、10、40。
经济数学
第一节
边际成本问题及解决方案
总成本：是指生产一定数量的产品所需要的全部经济资 源投入（包括劳动力、原材料、设备等）的价格或费用 的总额。一般情况下，成本用 C 表示，产品产量用 Q 表 示，则成本是产量的函数，称为成本函数，用C (Q)表示。 它由固定成本和可变成本组成。
经济数学
第一节
边际成本问题及解决方案
R(9000) 200 0.02 9000 20（元）
R(10000) 200 0.02 10000 0 （元）
R(11000) 200 0.02 11000 20（元）
经济数学
第二节
边际分析典型案例
经济意义为：
当产量为9000个单位时，若再增加一个单位产品，收益 增加20元； 当产量为10000个单位时，若再增加一个单位产品，收益 没有增加； 当产量为11000个单位时，若再增加一个单位产品，收益 减少20元。
当 Q 很小时，有
C C (Q) Q 当 Q 1 ,即在产量为 Q 时若再生产“一个单位”产品，且 “一个单位”与 Q 值相比来说很小时，则有
C(Q) C
边际成本 C(Q) 的经济意义为：在产量为 Q 时再生产一个 单位产品，总成本的改变量 C (的近似值)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
例6 某工厂生产产量为 x (件)时, 生产成本函数(元)为
C( x) 9000 40x 0.001x2
求该厂生产多少件产品时, 平均成本达到最小? 并求出 其最小平均成本和相应的边际成本.
17
解 平均成本函数是 0.001x
解
(1)
由 (x)
x
f ( x) f (x)
x aebx
abebx
bx
故 (1) b
η (1)的经济意义是: 函数ƒ(x)在 x = 1处,
当b > 0时, x 增加(或减少)1%, ƒ(x)就增加(或减少)b%;
当b < 0时, x 增加(或减少)1%, ƒ(x)就减少(或增加)–b% .
2660
298
课后考虑: 用类似方法, 对供给函数、成本函数等
常用经济函数进行弹性分析, 以预测市场的饱和状态
及商品的价格变动等. 16
二.函数最值在经济中的应用
在经济管理中, 需要寻求企业的最小生产成本或制定 获得利润最大的一系列价格策略等. 这些问题都可归结 为求函数的最大值和最小值问题.下面举例说明函数最值 在经济上的应用.
f ( x0 )
f ( x0 )
( lim 0) x 0
当x 0 (即x很小)时, 有
f ( x0
x) x
f ( x0 )
f ( x0 )
3
在经济学中, 通常取Δx =1, 就认为Δx达到很小(再小无 意义). 故有 f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 )
L( x) xx0 R( x0 ) C( x0 ) 0
L( x) xx0 R( x0 ) C( x0 ) 0
可见, 当产量水平 x = x0 使得边际收益等于边际成本 时, 可获得最大利润.
22
例8 某商家销售某种商品的价格满足关系p = 7– 0.2x (万元/吨), 且 x 为销售量(单位:吨)、商品的成本函数为
f ( x0 ) f ( x0 )
(2)( x0 ) 的经济意义是：在x0 处, 当 x 发生1％的改变, 则ƒ(x)就会产生( x0 )%的改变.
当( x0 ) 0( 0)时，x 与y 的变化方向相同(相反) . (3)弹性是一个无量纲的数值, 这一数值与计量单位无关.
(4)弹性函数为边际函数除以平均函数, 即
(2) 由 ( x) x f ( x) k 故 (1) k
f (x)
11
例4 某日用消费品需求量Q(件)与单价p(元)的关系为
Q(
p)
a(
1
)
p 3
2
(a是常数),
求：(1)需求弹性函数(通常记作
p );
(2)当单价分别是4元、4.35元、5元时的需求弹性.
解
(1)
Q( p)
而当E d<1时, 需求是缺乏弹性的, 提价可使总收益增加. 因此, 当总收益达到最大时, 需求价格弹性一定为单位弹性.
21
3.最大利润
设总成本函数为C(x), 总收益函数为R(x), 其中 x 为 产量, 则在假设产量和销量一致的情况下, 总利润函数为
L(x) = R(x) – C(x)
假设产量为 x0 时, 利润达到最大, 则由极值的必要条 件和极值的第二充分条件, L(x0)必定满足:
15
例5 某商品的需求量为2660单位, 需求价格弹性为–1.4.
若该商品价格计划上涨8%(假设其他条件不变), 问该商
品的需求量会降低多少?
解 设该商品的需求量为Q, 在价格上涨时的改变量为
ΔQ = Q – 2660
且
p 8%, p
p －1.4
Q
p
p p
Q
1.4 8%
C(x) = 3x + 1(万元) (1)若每销售一吨商品, 政府要征税 t (万元), 求该商家 获最大利润时的销售量; (2) t 为何值时, 政府税收总额最大.
x
x
C ( x) 9000 0.001 x2
C
(
x)
1800 x3
0
令 C ( x) 0 得 x 3000, 且驻点唯一.
故 x 3000是(0, ) 唯一的极小值点.
若x 3000件时,平均成本达到最小，且最小平均成本为.
C (3000) 46(元 / 件)
边际利润函数为 L( x) 5 0.02x
(2)当日产量分别是200公斤、250公斤和300公斤时的 边际利润分别是 L(200) L(x) x200 1
L(250) 0 L(300) 1
其经济意义: 当日产量为 200公斤时, 再增加1公斤, 则总利润可增加1元. 当日产量为 250公斤时, 再增加1
公斤, 则总利润无增加. 当日产量为300公斤时, 再增加 1公斤, 则反而亏损1元.
7
结论: 当企业的某一产品的生产量超越了边际利润的 零点时 (L( x) 0) ,反而使企业无利可图.
2.弹性
弹性是用来描述一个经济变量对另一个经济变量变 化时, 所作出反映的强弱程度. 即弹性是用来描述一 个量对另一个量的相对变化率的一个量.
Q dQ
dQ p
p dQ p Q
dp
Q dp p
p
p p
Q
需求量的相对改变量为
Q Q
p
p p
13
销售量的收益为 R( p) pQ
R ( pQ) d( pQ) Qdp pdQ (1 p )Qdp 由 p 0知, R (1 p )Qp 从而有结论: (1)若 p 1 (称为高弹性)时, 则 ΔR与 Δp 异号. 此时,
1
a(
1
)
p 3
1 ln( )
32
2
由
p
p Q( p) Q( p)
p
a(
1
)
p 3
1
a( 1 )
p 3
ln(
1
)
32 2
0.23 p
2
(2) p p4 0.92, p p4.35 1, p p5 1.15.
注 任何需求函数对价格之弹性 p, 均满足 p 0.
19
例7 已知需求函数为Q = 75－P2 , 问价格 p 为何值时, 总 收益最大? 当总收益达到最大时, 需求价格弹性为多少?
解 总收益函数为 R(P) = P ·Q = 75P － P 3
R(P) 75 3P2 0 得驻点 p = 5 (p = －5舍去), 且 R"(5) 30 0
14
由此对例4而言: 当 p = 4时, p 0.92 1 (低弹性), 此时降价使收益减少; 提价使收益增加;
当 p = 4.35 时, p 1(单位弹性), 此时, 降价、提价对 收益没有明显的影响;
当 p = 5 时, p 1.15 1 (高弹性), 此时降价使收益 增加; 提价使收益减少.
函数为 C( x) 1 x2 60x 2050 4
4
求: (1)日产量75件时的总成本和平均成本; (2)当日产量由75件提高到90件时, 总成本的平均改变量;
(3)当日产量为75件时的边际成本. 解 (1)日产量75件时的总成本和平均成本
C(75) = 7956.25(元)
C(75)/75 = 106.08 (元/件) (2)当日产量由75件提高到90件时, 总成本的平均改变量
18
而边际成本函数为
C( x) 40 0.002x 故 x 3000 时, 相应的边际成本为
C(3000) 46(元 / 件)
显然最小平均成本等于其相应的边际成本.
2.最大收益
在已知商品需求函数的条件下, 若企业的目标是获得最大 收益, 那么, 企业应以总收益函数
R(P) = P ·Q 为目标函数来决策产量水平或产品的价格.
§3.7 导数在经济中的应用
一. 边际分析与弹性分析 二.函数最值在经济中的应用
1
§3.7 导数在经济中的应用
导数在工程、技术、科研、国防、医学、环保和经济 管理等许多领域都有十分广泛的应用. 下面介绍导数(或 微分)在经济中的一些简单的应用.
一. 边际分析与弹性分析
边际和弹性是经济学中的两个重要概念. 用导数来研究 经济变量的边际与弹性的方法, 称之为边际分析与弹性分 析.
C C(90) C(75) 101.25(元 / 件)
x
90 75
5
(3) 当日产量为75件时的边际成本 Q C ( x) 1 x 60 2
C(75) C( x) x75 97.5(元)
注 当销售量为x, 总利润为L=L(x)时, 称 L( x)为销售量 为x时的边际利润, 它近似等于销售量为 x 时再多销售一 个单位产品所增加或减少的利润.
例2 某糕点加工厂生产A 类糕点的总成本函数和总收 入函数分别是C( x) 100 2x 0.02x2 和 R( x) 7 x 0.01x2 .
求边际利润函数和当日产量分别是200公斤, 250公斤 和300公斤时的边际利润. 并说明其经济意义.
6
解 (1)总利润函数为L(x) = R(x) – C(x) 5x 100 0.01x2
从而 p = 5是总收益函数的极大值点, 极值唯一知, p =5 也是
总收益函数的最大值点, 故当价格为 p = 5时总收益达到最大.
需求价格弹性为