信号处理作业(,,,,)

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6.2 教材第六章习题解答

1. 设计一个巴特沃斯低通滤波器，要求通带截止频率6p f kHz =，通带最大衰减3p a dB =，阻带截止频率12s f kHz =，阻带最小衰减3s a dB =。求出滤波器归一化传输函数()a H p 以及实际的()a H s 。 解：

（1）求阶数N 。

lg lg sp sp

k N λ=-

边界衰减比 0.10.30.1 2.5

101101

0.0562101101p s a

sp a k --==≈-- 过渡比 3

3

2121022610s sp p πλπΩ⨯⨯===Ω⨯⨯

将sp k 和sp λ值代入N 的计算公式得

lg 0.0562

4.15lg 2

N =-

=

所以取N=5（实际应用中，根据具体要求，也可能取N=4，指标稍微差一点，但阶数低一阶，使系统实现电路得到简化。）

（2）求归一化系统函数()a H p ，由阶数N=5直接查表得到5阶巴特沃斯归一化低通滤波器系统函数()a H p 为

5

4

3

2

1

() 3.2361 5.2361 5.2361 3.23611

a H p p p p p p =

+++++

或 221

()(0.6181)( 1.6181)(1)

a H p p p p p p =+++++

当然，也可以按（6.12）式计算出极点:

121()

22,0,1,2,3,4k j N

k p e

k π++==

按（6.11）式写出()a H p 表达式

4

1

()()

a k

k H p p p ==

-C

代入k p 值并进行分母展开得到与查表相同的结果。

（3）去归一化（即LP-LP 频率变换），由归一化系统函数()a H p 得到实际滤波器系统函数

()a H s 。

由于本题中3p dB α=，即3

2610/c p rad s πΩ=Ω=⨯⨯，因此

()()

a a c

H s H p s p ==

Ω 5

54233245

3.2361 5.2361 5.2361 3.2361c c c c c c

s s s s s Ω=+Ω+Ω+Ω+Ω+Ω

对分母因式形式，则有

()()

a a c

H s H p s p ==

Ω 5

2222(0.6180)( 1.6180)()

c c c c c c s s s s s Ω=+Ω-Ω+Ω-Ω+Ω

如上结果中，c Ω的值未代入相乘，这样使读者能清楚地看到去归一化后，3dB 截止频率对

归一化系统函数的改变作用。

3.设计一个巴特沃斯高通滤波器，要求其通带截止频率f p =20kHz ，阻带截止频率f s =10kHz ，f p 处最大衰减为3dB ，阻带最小衰减为15dB 。求出该高通滤波器的系统函数H a (s )。 解：（1）确定高通滤波器的技术指标：

kHz f p 20=， dB p 3=α ， kHz f s 10= ， dB s 15=α （2）转化为相应的归一化低通滤波器的技术指标：

1=p λ， dB p 3=α， 210

20

==

ΩΩ=sh

ph p

s λλ ， dB s 15=α （3）求低通滤波器的阶数N

5468.59953.06228.301101101

101103

1.0151.01.01.0==--=--=⨯⨯p s sp k αα 21

2

===p s sp λλλ

47.23010

.07440

.02lg 5468.5lg lg lg 1010===

=

sp sp

k N λ 取 3=N

（4）求巴特沃斯归一化低通滤波器系统函数)(p G , 查表6.2.1可得：

1

221

)(2

3+++=p p p p G （5）通过频率转换，把)(p G 转变为高通滤波器的系统函数)(s H

1221

)()(2

3+⎪⎪⎭⎫

⎝⎛Ω+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Ω+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Ω==Ω=s s s p G s H ph ph ph s p ph p λ 3

22

33

22s s s s ph ph ph +Ω+Ω+Ω= 式中 s rad c ph /1042000024

⨯=⨯=Ω=Ωππ

4. 已知模拟滤波器的传输函数()a H s 为：

(1)22

()()a s a

H s s a b

+=++； (2)22

()()a b

H s s a b =++。式中，a,b 为常数，设()a H s 因果稳定，试采用脉冲响应不变

法，分别将其转换成数字滤波器()H z 。

解：

该题所给()a H s 正是模拟滤波器二阶基本节的两种典型形式。所以，求解该题具有代表性，解该题的过程，就是导出这两种典型形式的()a H s 的脉冲响应不变法转换公式，设采样周期为T 。 （1）22

()()a s a

H s s a b

+=

++ ()a H s 的极点为：

1s a jb =-+，2s a jb =--

将()a H s 部分分式展开（用待定系数法）：

122212

()()a A A s a

H s s a b s s s s +=

=+++--

12211212212222

()()()()()A s s A s s A A s A s A s s a b s a b -+-+--==++++

比较分子各项系数可知：

A 、

B 应满足方程：

1212211

A A A s A s a

+=⎧⎨

--=⎩ 解之得

1211,22

A A ==

所以

2

1()1()110.50.5()111k k s T a jb T a jb T k A H z e

z e z e z --+----===+---∑

1122()()()

a H s s a j

b s a jb =+--+--- 2

1()1()1

10.50.5

()111k k s T a jb T a jb T k A H z e

z e z e z --+----===+---∑ 按照题目要求，上面的()H z 表达式就可作为该题的答案。但在工程实际中，一般用无复数乘法器的二阶基本结构实现。由于两个极点共轭对称，所以将()H z 的两项通分并化简

整理，可得

1122

1cos()

()12cos()aT aT aT z e bT H z e bT z e z

-------=-+ 用脉冲响应不变法转换成数字滤波器时，直接套用上面的公式即可，且对应结构图中无复数乘法器，便于工程实际中实现。 （2） 22

()()a b

H s s a b =

++

()a H s 的极点为：

1s a jb =-+，2s a jb =--

将()a H s 部分分式展开：

1122()()()

a j j H s s a j

b s a jb -=+-----+