一元二次方程解法完整

回顾复习 认识一元 二次方程
1、下列式子哪些是方程？
方程的本质特征是什 么？
2＋3＝5 没有未知数 3x＋2 不是等式 5x＋3＝18 含有未知数的等式叫方程 x－2y＝5 含有未知数的等式叫方程
3 1 2 不是等式 x
2、我们学过哪些方程？
• 一元一次方程、二元一次方程、分式方程。
3、什么叫一元一次方程？方程的“元”和“次”是什么意思？
a≠0 ax2+bx+c=0
二ຫໍສະໝຸດ Baidu项 一次项
常数项（0次项）
a为二次项系数， ax2叫做二次项， b为一次项系数，bx叫做一次项， c为常数项,
例1 下列方程哪些是一元二次方程?
(1) 7x2－6x＝0
(2) 2x2－5xy＋6y＝0
(3) 2x2－ 1 －1 ＝0 3x
y2
(4)
－ 2
＝0
(5) x2＋2x－3＝1＋x2
x 0,或x 1 0
所以原方程的解为：x1=0，x2=1
两个因式相乘 等于0，那么 每个因式都可 以等于0。
下面的解法正确吗？如果不正确， 错误在哪？
()
试一试
完成下列运算（5分钟）：
(1). (x+2)(x+3);
(2). (x+2)(x-3);
解:原式 x2 2x 3x 23 解:原式 x2 -3x 2x 2(-3)
解:原式 x2 bx ax a b
x2 (a b)x ab
x2 (a b)x ab
整式乘法：
（x+a)(x+b) =x2+(a+b)x+ab
因式分解：
x2+(a+b)x+ab=（x+a)(x+b)
二、思考探究1，获取新知
将x2 5x 6分解因式
思考：解方程 x2=x
直接开方，可以吗？ 两边同除以x，得 x=1
这样解是否正确呢？ 方程的两边同时除以同一个
不等于零的数，所得的方程与原 方程 同解。
思考：解方程 x2=x 解法一：
这种解法有些复杂
思考：解方程 x2=x 解法二：
解：移项的，x2-x=0
提取公因 式
分解因式，得：x(x-1)=0，
三、合作探究2，获取新知
例3 求解:3x2－10x＋3=0 解：(x－3)(3x－1)=0
x
－3
x－3=0或3x-1=0 3x
－1
x1
1, x2

1 3
－9x－x=－10x
例4 求解: 5x 2－17x－12=0
5x
＋3
解：(5x＋3)(x－4)=0
5x+3=0或x-4=0
x1

-
3 5
,
x2
x2 (2 3)x 6
x2 (-3 2)x 6
x2 5x6
x2 x6
(3). (x-2)(x-3);
解 : 原式 x2 - 3x - 2x (-2) (-3)
x2 (-3 2)x 6 x2 5x 6
(4)(x+a)(x+b);
b
b 4ac
x 2a
4a 2
移项，得
x2 b x c
a
a
即 x b b2 4ac
2a
2a
一元二次方程
配方，得
x2

b a
x


b 2a
2


c a


b 2a
2
即

x

b 2a
2

b2 4ac 4a2
的求根公式
x b b2 4ac 2a
解: (1)、 (4)
例题分析
例2 把下列方程化为一元二次方程的形式，并写出它的 二次项系数、一次项系数和常数项：
方程
一般形式
二次项 一次项 常数 系 数系 数 项
3x2=5x-1 3x2－5x＋1＝0
3 －5 1
(x+2)(x -1)=6 1x2 ＋1x－8＝0
1
4-7x2=0
－7x2 ＋4＝0 或－7x2 ＋0 x＋4＝0 －7
X=
=-
X1=X2 =-
• 猜一猜：对于一般式ax²+bx+c=0 （a≠0）的根 与b²-4ac的符号有什么关系？
因为ax²+bx+c=0 （a≠0）的求根公式是
x b b2 4ac 2a
故对于方程ax²+bx+c=0 （a≠0）有下列关系：
(1)当b²-4ac>0时，方程有两个不相等的根
(2)配方法: (x+h)2=k (k≥0)
（3）因式分解法
(4)公式法:
x b b2 4ac . b2 4ac 0 . 2a
用公式法解一元二次方程的一般步骤： 1、把方程化成一般形式，并写出 a、b、c 的值。
2、求出 b2 4ac 的值判断根的情况，
(x+2) (x+3) 解:原式=x²+（2+3）x+2 3
=(x+2) (x+3)
(1).因式分解 竖直写; (2).交叉相乘凑中间; 2(3x+).3横x向=5写x 出两因式; (x+2)和(x+3)
×
数2,3与原式 中系数有什么
关系。
x
2
x
3
2x+3x=5x
（1）x2+4x+3=0
解：（x+1)(x+3）=0 x+1=0或x+3=0 x1=-1,x2=-3
（2） X2+7x+6=0
解：（x+1)(x+6）=0 x+1=0或x+6=0 x1=-1,x2=-6
（3）X2+11x+10=0 解：（x+1)(x+10）=0 x+1=0或x+10=0 x1=-1,x2=-10
x
1
x
3
x+3x=4x
x
1
x
6
x+6x=7x
x
1
x
10
x+10x=11x
： 拆两头，凑中间 横写因式不能乱。
解： x2+4x-3=0
x2+4x=3 x2+4x+4=3+4
(x+2)2=7
x+2= 7
x1=2+ 7
x2=2- 7
一次项一 半的平方
完全平方 式
开方
你能用配方法解方程 2x2-9x+8=0 吗?
1.化1:把二次项系数化为1; 2.移项:把常数项移到方程的右边;
3.配方:方程两边都加上一
(2)当b²-4ac=0时，方程有两个相等的 根x1 = x2 =
(3)当b²- 4ac＜0时，方程没有实数根.
b 一般地，式子 2 4ac 叫做方程
ax2 bx c 0 (a≠0)
根的判别式，通常用希腊字母△表示它，即
△＝ b2 4ac
1、几种解一元二次方程的方法:
(1)直接开平方法: x2=a (a≥0)
特别提醒
(a≠0, b2-4ac≥0)
4a2 0 当 b2 4ac 0 时
.b2-4ac<0.原方程无解
你能用公式法解方程 2x2-9x+8=0 吗? 1.变形:化已知方程为一般形式; 2.确定系数:用a,b,c写出各项系数; 3.计算: b2-4ac的值;判断是否有解 4.代入:把有关数值代入公式计算;
4
x
－4
－20x＋3x=－17x
用因式分解法解一元二次方程的步骤
1、方程右边不为零的化为零 。 2、将方程左边分解成两个一次因式 的乘积。 3、至少有一个 一次因式为零，得到 两个一元一次方程。 4、两个一元一次方程的解 就是原方 程的解。
简记歌诀：
右化零 两因式
左分解 各求解
配方法
x2+4x-3=0
次项系数绝对值一半的平方;
4.变形:方程左分解因式,右边
合并同类;
5.开方:根据平方根意义,方程
两边开平方;
6.求解:解一元一次方程;
7.定解:写出原方程的解.
用配方法解一般形式的一元二次方程
ax2 bx c 0
解: 把方程两边都除以 a
x2 b x c 0 aa
2
5.定根:写出原方程的根.
例 解方程：
x b
b2 4αc 2α
x2-7x-18=0
解：这里 a=1, b= -7, c= -18.
∵b2 - 4ac=(-7)2 - 4×1×(-18)=121﹥0,
x
7 121 21

7
11 2
,
即：x1=9, x2= -2.
4x²+1=-4x 解：移项，得4x²+4x+1=0 a=4，b=4，c=1，b²-4ac=4²-4×4×1=0
试一试
解下列方程：
（1）x2=4, (2)x2_1=0 （3）(x+1)2–4=0,（4）12(2–x)2–9=0,
如果方程能化成 么可得
的形式，那
做一做
解方程：（1）4x2-9=0 (2) （x-2）2=16
（3）（2x2-3）2=25 （4）2（x2+5）2=32
(5)(2x+3)2=4(3x-2)2
特别注意:当 b2 4ac 0 时无解 3、代入求根公式 : x b b2 4ac
2a
4、写出方程的解： x1、x2
2、分解因式的方法：
（1）提取公因式法: am+bm+cm=m(a+b+c). （2）公式法: a2-b2=(a+b)(a-b), a2±2ab+b2=(a±b)2. （3）十字相乘法: x2+(a+b)x+ab= (x+a)(x+b). a1a2 x2 (a1c2 a2c1)x c1c2 (a1x c1)(a2 x c2 )
或7x2 － 4＝0
7
1 －8
04 0 －4
试一试
将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：
3x2- x=5 2x2- 7x+3=0 x2 - 5x =0 2x2 -11= -5x
3x2－1x-5=0 2x2－7x＋3=0
1x2－5x＋0=0 2x2+5x－11=0 友情提示：某一项的系数包括它前面的符号。
一元
一次
只含有一个未知数，并且未知数的次数是1次的整式方程叫一元一次方程。
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式 方程叫做一元二次方程。
一元二次方程通常可写成如下的一般形式：
ax2+bx+c=0（a≠0)
特征：方程的左边按x的降幂排列，
右边＝0
一元二次方程的项和各项系数
二次项 系数
一次项 系数