浙江大学高级宏观经济学详细公式推导(上)

wa1 wc1
°¯ wb1
1
w1 c1 V
1 w1 c1
a1 V1
b 1
V
1 V1
wL
wa1 st
E tS st ª¬c1 st º¼\ 1 w1 c1 st
1
V a1 st
V1

O 1
st
=0 ①
wL
tB
B1 s0 0
c1 st t 0
2.5 SM 一阶条件
对国家 1 建立拉格朗日函数：
¦¦ L
f
E tS
t 0 st
st
ª¬c1 st º¼\ \
¦¦ ¦ f

O1
t 0 st
st
­®a1 st ¯
P st
w2
b2
V 1
V
1 w2
a2
V 1 V
V
ºV 1 »¼

­ wc2
°°® °
wc
wb2
2
°¯ wa 2
1
w2 c2 V
1 w2 c2
b2 V1
a 1
V
2 V1
wL
wa1
<1E tS
c1 \ 1 w1
c1
1 V
a1 V1 +Ota =0 ①
wL
V
V 1
ª§
· ºV

1 w1
«¨ «¨ ««¬¨¨© 1
1 z1 y1
a1
a1
*
¸ ¸ ¸¸¹
z2
y2
» » » »¼
½§¨© V\V11·¸¹ ° ° ° °°¾ ° ° ° ° °¿
4. BBK 模型-带有贸易费用
4.1 最优问题
国家 1：
¦¦ ­ f
max ® ¯t 0
wa2
<2E tS a2 \ 1 1 w2
1
c2 V
a2 V1 +Ota =0 ②
wL
wb1
<1E tS c1 \ 1 1 w1
1
c1 V
b1 V1 +Otb =0 ③
wL
wb2
<2E tS
c2 \ 1 w2
1
c2 V
b2 V1 +Otb =0 ④
1. BBK 模型-无生产的交易经济
1.1 最优问题
¦ ¦ ¦ max ­°® 2 <i f
E tS
°¯ i 1
t 0 st
st
ª¬ci st \
º¼\ ½°¾ °¿
s.t. c1 st c2 st d z1 st y1 z2 st y2
c1 st , c2 st t 0
<1 <2
1
·1-\ ¸ ¹
）
2. BBK 模型
2.1 AD 最优问题 国家 1：
¦ ¦ max ­°® f
E tS
°¯ t 0 st
st
ª¬c1 st \
º¼\ ½°¾ °¿
s.t. ¦f ¦ m st ª¬a1 st P st b1 st º¼ d ¦f ¦ m st z1 st y1
1
V a1 st
V1 O1m st =0 ①
wL
wb1 st
E tS st ª¬c1 st º¼\ 1 1 w1
c1 st
1
V b1 st
V1 O1m st P st =0 ②
wL
st
E tS
st
ln ª¬c1
wa1 st ,t 1
E t1S
st ,t 1 ª¬c1
st , t 1 º¼\ 1 w1
c1
st,t 1
1 V
a1
st,t 1
V1 O1m st ,t 1 =0 ③
2.3 AD 均衡价格
由①、②可得： PAD st
§ ¨©
1
w1 w1
· ¸¹
ª « «¬
b2 V1
b 1
V
1 V1
所以
b2
=
a2 a1
b1
ª « «¬
w1w2 1 w2 1 w1
ºV » »¼
连列限制条件 a1 a2 z1 y1 ⑦、 b1 b2 z2 y2 ⑧，可以解出： a1 、 a2 、 b1 、 b2 。
b2
=
§ ¨©
a2 a1
· ¸
f
E tS
t 0 st
st
ª¬c1 st \
º¼\

O 1
­ ® ¯
t
f 0
st
m
st
z1 st
f
y1
m st
t 0 st
ª¬a1 st
P st
b1 st º¼½¾¿
首先求两个偏导数：
wc1 wa1
、
wc1 wb1
：
c1
ª «¬
w1
b1 st
+ Qt
st
st,t 1
B1 t 1
st,t 1
z1
st
y1 Bt2
st
½ ¾
¿
首先求两个偏导数：
wc1 wa1
、
wc1 wb1
：
c1
ª«¬w1
a1
V 1
V
1 w1
b1
V
V 1 V
º »¼
V
1
­ wc1

°°® °
2
f
<i
E tS
i1
t 0 st
st
ª¬ci st º¼\ \
¦¦ ¦¦ f
f

Oa t
ª¬ z1
st
y1 a1 st
a2
st º¼
Ob t
ª¬ z1
st
y1 b1 st
b2
st º¼
t 0 st
t 0 st
首先求四个偏导数： wc1 、 wc1 、 wc2 和 wc2 ： wa1 wb1 wa2 wb2
st
c2
st
=z1
st
y1 z2
st
y2
可得：
­ °°®
c1
°°¯c2
st st
=
§ ©¨
* 1+*
· ¹¸
ª¬
z1
=
§ ¨©
1 1+*
· ¸¹
ª¬
z1
st st
y1 z2 y1 z2
st st
y2 º¼ y2 º¼
，其中（
*=
§ ¨©
st , t 1 º¼\ 1 c1
st,t 1
1 V
a1
st,t 1
V1
2.4 SM 最优问题 国家 1：
¦ ¦ max ­°® f
E tS
°¯ t 0 st
st
ª¬c1 st \
º¼\ ½°¾ °¿
¦ s.t. a1 st P st b1 st
b1 a1
st st
º V1 » »¼
mAD st 由①、③可得：
mAD st , t 1
S st ª¬c1 st º¼\ 1 c1 st
1
V a1 st
V1
ES
st ,t 1 ª¬c1
b1*
¹
⑨，其中
*=
ª « «¬
w1w2 1 w2 1 w1
ºV »。 »¼
由⑧、⑨可得： b1 st
§ ¨1

©
a2 a1
*
· 1 ¸
¹
z2 y2
b2 =
，
a2 a1
*
§ ¨1

©
a2 a1
*
·1 ¸
¹
z2 y2 。
由⑦可得： a2 z1y1 a1 将以上三式代入⑥可得：
<1 <2 =
wb1 st
E tS st ª¬c1 st º¼\ 1 1 w1
c1 st
1
V b1 st
V1 O1 st P st =0 ②
wL
wBt11 st , t 1
O1 st Qt st ,t 1 O1 st ,t 1
0③
2.6 SM 均衡价格
由①、②可得： PSM st
3.1 最优问题
¦ ¦ ¦ max ­°® 2 <i f
E tS
°¯ i 1
t 0 st
st
ª¬ci st \
º¼\ ½°¾ °¿
s.t.
a1 st a2 st z1 st y1
b1 st b2 st z2 st y2
ai st ,bi st t 0
w2 1 w1
§ ¨©
z1 y1 a1 a1
*
·V1 ¸
¹
­
°
° °
w2
°°®
°
°
°
°
°¯
z1 y1 a1
V 1
w1 a1 V
V 1
V 1
V
1 w2
ª§ «¨ «¨ ««¬¨¨©
1
z1 y1 a1 * a1
z1 y1 a1 * a1
· ¸ ¸ ¸¸¹
º » z2y2 » » »¼
Qt
st,t 1
B1 t 1
st,t 1
d z1
st
y1 Bt1
st
st
c1 st G1 a1 st ,b1 st
V
G1 a1,b1
ª«¬w1
a1
V 1
V
1 w1
b1
V 1 V
º »¼
V
1
B1 t 1
st ,t 1
1.2 一阶条件
¦ ¦¦ ¦¦ 建立拉格朗日函数： L
2
f
<i
E tS
i1
t 0 st
st
ª¬ci st \
º¼\
f

t0
st
O t
st
ª¬z1 st
y1 z2
st
y2 c1 st
c2
st º¼
wL
wc1 st
c1
ª «¬
w1
a1
V 1
V
1 w1
b1
V 1 V
V
ºV 1 »¼

­ wc1
°°® °
wa1 wc1
°¯ wb1
1
w1 c1 V
1 w1 c1
a1 V1
b 1
V
1 V1
c2
ª «¬
V1
st ,t 1 ª¬c1
st , t 1 º¼\ 1
c1
st,t 1
1 V
a1
st,t 1
V1
2.7 综合讨论
综合 AD 和 SM 市场均衡价格讨论： PAD st
mAD st
PSM
st
、
m AD
st ,t 1
1 Qt st ,t 1
3. BBK 模型-社会计划者问题
3.3 稳定均衡
由①、②可得：
<1 <2
=
c2 \ 1 1 w2 c2
c1 \ 1 w1
c1
1 V
1
V a2
a1 V1
V1
⑤
由③、④可得：
<1 <2
=
c2 \ 1 w2
c2
1 V
c1 \ 1 1 w1 c1
V
c1 G1 a1,b1
ª «¬
w1
a1
V 1
V
1 w1
b1
V 1 V
º »¼
V
1
V
c2 G2 a2,b2
ª «¬
w2
b2
V 1
V
1 w2
a2
º V 1 V 1 V »¼
3.2 一阶条件
建立拉格朗日函数：
¦ ¦¦ L
t 0 st
t 0 st
c1 st G1 a1 st ,b1 st
G1 a1,b1 c1 st t 0
V
ª
«¬
w1
a1
V 1
V
1 w1
b1
V 1 V
º »¼
V
1
2.2 AD 一阶条件
对国家 1 建立拉格朗日函数：
¦¦ ¦¦ ¦¦ L
a1
V 1
V
1 w1
b1
V
V 1 V
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V
1
­ wc1

°°® °
wa1 wc1
°¯ wb1
1
w1 c1 V
1 w1 c1
a1 V1
b 1
V
1 V1
wL
wa1 st
E tS st ª¬c1 st º¼\ 1 w1 c1 st
<1E tS
st
ª¬c1
st
º¼\
1

O t
st
=0 ①
wL
wc2 st
<2E tS
st
ª¬c2
st
º¼\
1

O t
st
=0 ②
1.3 均衡消费
由①、②可得：
<1 <2
=
ª «
c1
«¬ c2
st st
º\ 1 » ，连列 c1 »¼
b2 V1
b 1
V
1 V1
⑥
由⑤、⑥可得：
<1 <2
=
c2 \ 1 1 w2 c2
c1 \ 1 w1
c1
1 V
1
V a2
a1 V1
V1
=
c2 \ 1 w2
c2
1 V
c1 \ 1 1 w1 c1
§ ¨©
1
w1 w1
· ¸¹
ª « «¬
b1 a1
st st
º V1 » »¼
由①、③可得： Qt
1
st ,t 1
= ES
S st ª¬c1 st º¼\ 1 c1 st
1
V a1 st