湖北省龙泉中学、荆州中学、宜昌一中2020-2021学年高三上学期9月联考数学试题

湖北省龙泉中学、荆州中学、宜昌一中2020-2021学年高三上学期9月联考数学试题

学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________

一、单选题

1. 设全集，，则（）A．B．C．D．

2. 已知，，则下列各式成立的是（）

A．B．C．

D．

3. 已知函数，则函数的定义域为（）

A．B．

C．D．

4. 《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图?洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图案，蕴含了深奥的宇宙星象之理，被誉为“宇宙魔方”，是中华文化阴阳术数之源.河图的排列结构如图所示，一与六共宗居下，二与七为朋居上，三与八同道居左，四与九为友居右，五与十相守居中，其中白圈数为阳数，黑点数为阴数，若从阳数和阴数中各取一数，则其差的绝对值为3的概率为（）

A．B．C．D．

5. 设p：实数满足，q：实数满足，则p是q的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

6. 已知函数，若正实数，满足，则

的最小值为（）

A．4 B．8 C．9 D．13

7. 若函数对，，同时满足：（1）当时有

；（2）当时有，则称为函数.下列函数中是函数的为（）

①

②

③

④

A．①②B．②③C．③④D．①④

8. 定义：如果函数在区间上存在，满足

，，则称函数是在区间

上的一个双中值函数，已知函数是区间上的双中值函数，则实数的取值范围是（）

A．B．C．D．

二、多选题

9. 某地某所高中2019年的高考考生人数是2016年高考考生人数的1.5倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2016年和2019年的高考升学情况，得到如下柱图：

则下列结论正确的是（）

A．与2016年相比，2019年一本达线人数有所增加

B．与2016年相比，2019年二本达线人数增加了0.5倍

C．与2016年相比，2019年艺体达线人数相同

D．与2016年相比，2019年不上线的人数有所增加

10. 若，则（）A．

B．

C．D．

11. 已知定义的奇函数，满足，若，则

（）

A．B．4是的一个周期

C．D．的图像关于对称

12. 已知正数，，满足，下列结论正确的有（）

A．

D．

B．C．

三、填空题

13. 若“，”是假命题，则实数的取值范围是__________.

14. 已知为偶函数，当时，，则曲线在点

处的切线方程是_________.

15. 5人并排站成一行，甲乙两人之间恰好有一人的概率是__________.(用数

字作答)

四、双空题

16. 已知函数，则方程的实根的个数为

_______；若函数有三个零点，则的取值范围是_________.

五、解答题

17. 设数列的前项和为，在①，，成等差数列.②，

，成等差数列中任选一个，补充在下列的横线上，并解答.

在公比为2的等比数列中，____________

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前项和.

18. 已知定义域为的函数(且)是奇函数. （1）求实数的值；

（2）若，求不等式对恒成立时的取值

范围.

19. 为调研高中生的作文水平，在某市普通高中的某次联考中，参考的文科生

与理科生人数之比为1∶4，且成绩分布在的范围内，规定分数在50以上(含50)的作文获奖，按文理科用分层抽样的方法抽取400人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图如图所示，其中，，构成以2为公比的等比数列.

（1）求，，的值；

（2）填写下面列联表，能否在犯错误的概率不超过0.01的情况下认为“获奖”与“学生的文理科”有关？

文科生理科生合计

获奖 6

不获奖

合计400

（3）从获奖的学生中任选2人，求至少有一个文科生的概率.

0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001

2.072 2.706

3.841 5.024 6.635 7.879 10.828

20. 一动圆与圆外切，与圆内切．

（1）求动圆圆心的轨迹的方程．

（2）设过圆心的直线与轨迹相交于两点，（

为圆的圆心）的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线的方程，若不存在，请说明理由．

21. 某电子公司新开发一电子产品，该电子产品的一个系统G有3个电子元件

组成，各个电子元件能否正常工作的概率均为，且每个电子元件能否正常工作相互独立.若系统C中有超过一半的电子元件正常工作，则G可以正常工作，否则就需要维修，且维修所需费用为500元.

(1)求系统不需要维修的概率；

(2)该电子产品共由3个系统G组成，设E为电子产品需要维修的系统所需的费用，求的分布列与期望;

(3)为提高G系统正常工作概率，在系统内增加两个功能完全一样的其他品牌的电子元件，每个新元件正常工作的概率均为，且新增元件后有超过一半的电子元件正常工作，则C可以正常工作，问:满足什么条件时，可以提高整个G 系统的正常工作概率?

22. 已知函数，.

（1）设的导函数为，求的最小值；

（2）设，当时，若恒成立，求的取值范围.