数值分析试卷及其答案4
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1、(本题5分)取99的6位有效数字94987.9，问以下这种算法有几位有效数字
05013.094987.9109910=-≈-
解：令
99=x ，94987.9*=x
则
5**102
1
)(-⨯≤-=x x x e
（2分） 由于
)()10(**x e x e -≈-
故
5**102
1
)()10(-⨯≤≈-x e x e 另一方面
05013.0991≈--
故在这里2-=m ，由51-=+-n m 有4=n . （3分） 即算式至少有4位有效数字.
2、（本题6分）用列主元Gauss 消去法解线性方程组.
⎪⎩
⎪
⎨⎧-=+=+-=-+3
344531213332321321x x x x x x x x
解：
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡---−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=↔334047474704533123340131134533123340453312131131
2r r r B ⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢
⎢⎢⎢⎣⎡
---→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢
⎢⎢⎢⎣⎡
---→164916490033
4045331247474703340453312 （4分） 故等价方程组为：
⎪
⎪⎩⎪
⎪⎨⎧
=--=+=+-1649
1649334453312332321x x x x x x （1分）
同代得
13-=x ，02=x ，43=x （1分）
3、（本题6分）已知⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡--=6134A ，求1A ，∞A ，2A . 解：{}96314max 1=+--+=，A （1分）
{}76134max =+--+=∞，A （1分）
⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=4518181761346314A A T 018)45)(17(45
18
18
17
2=---=--=
-λλλλλA A E T
即
0441622=+-λλ （3分） 解得 1302311+=λ，1302312-=λ，130231)(+=A A T ρ
130231)(2+==A A A T ρ （1分） 4、（本题7分）给定线性方程组
⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---71420328112315321x x x (1) 试分别写出Jacobi 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式； (2) 分析Gauss-Seidel 迭代格式的收敛性. 解：(1) Jacobi 迭代格式为：
⎪⎩⎪⎨⎧+--=---=-+=+++20
/)327()1/()81(15/)234()(3)(1)1(3
)
(3)(1)1(2
)
(3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x （2 分） Gauss-Seidel 迭代格式：
⎪⎩⎪⎨⎧+--=---=-+=++++++20
/)327()1/()81(15/)234()1(3)1(1)1(3
)
(3)1(1)1(2
)
(3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x （2分） (2)Gauss-Seidel 迭代格式的迭代矩阵G 的特征方程为
020*******=---λ
λ
λ
λλλ
0)48418300(2=+-λλλ 解得
127
.0600
48
3004)418(4181
26.1600
483004)418(4180
2
3221≈⨯⨯--=
>≈⨯⨯-+==λλλ
则1)(2>=λρG
故Gauss-Seidel 迭代格式发散. （3分） 5、（本题8分）用下列方法求013)(3=--=x x x f 在20=x 附近的根，根的准确值87938524.1*=x …，要求计算结果准确到四位有效数字. (1)用牛顿法；
(2)用弦截法，取20=x ，9.11=x 解：(1) 33)(2-='x x f 牛顿法的迭代公式为
⎪⎩
⎪⎨⎧=-+=----=+2)1(31
2331302
3231x x x x x x x x k k k k k k k 计算得
888889.11=x ，879452.12=x
3*2102
1
-⨯<
-x x 故879.1*=x （4分） (2)弦截法的迭代公式为
⎪⎩
⎪⎨⎧==-++=---=-+-++9.1,2)1(31)()())((102212111x x x x x x x x f x f x x x f x x k a k k k k k k k k k k k 计算得
881094.12=x 879411.12=x
3*2102
1
-⨯<
-x x 故879.1*=x （4分） 6、（本题8分）给定数据如下
(1) 写出)(x f 的3次Lagrange 插值多项式)(3x L (2) 写出)(x f 的3次Newton 插值多项式)(3x N 解：(1)由题设条件有
00=x 1)(0=x f
21=x 3)(1-=x f 32=x 4)(2-=x f 53=x 2)(3=x f
由于n 次Lagrange 插值多项式的基函数为
)
)...()()...(()
)...()()...()((1101110n k k k k k k n k k k x x x x x x x x x x x x x x x x x x l ---------=
+-+-
故三次Lagrange 插值多项式的基函数为