次数资料分析卡方检验
χ2(卡方)检验是用于质量性状资料(即次数资料)的一种统计假设
供卡方检验的专门分析工具；只有一个卡方检验的粘 贴函数CHITEST
例：用纯种白猪与纯种黑猪杂交，F2代260头猪中白猪181头，黑猪79头， 试检验F2代是否符合孟德尔分离定律？
1. 计算理论值
根据3:1的理论比例计算理论次数：
白色理论次数：
黑色理论次数：
260×3/4＝195
260×1/4＝65
观察次数：181
观察次数：79
181
78.5
194.5
65
2. 数据输入
图1 卡方检验数据输入格式
3. 操作步骤
图2 CHITEST函 数对话框
4. 结果分析 概率值为0.0531，即P＞0.05，差异不显著，说明F2代猪的毛 色性状符合孟德尔分离定律
实验四 χ2检验
χ2（卡方）检验是用于质量性状资料（即次数资料）的一种统 计假设检验方法 ■ 适合性检验 用来检验某性状的观察次数与理论比例是否相符的一种χ2 检验方法 ■ 独立性检验 用来分析两类试验因子之间是相互独立还是相互影响的一 种χ2检验方法
一、实验目的
1. 掌握利用Excel电子表格进行2适合性检验、独立性检验的 数据输入格式 2. 掌握利用Excel电子表格进行2适合性检验、独立性检验的 基本操作方法
19.2.119.2卡方检验
配合度检验的虚无假设为实际次数与理论次数之间无差异，备择假
设为实际次数与理论次数之间差异显著。H0：fo=fe或者fo-fe=0；
H1：fo≠fe或者fo-fe≠0。
配合度检验
卡方检验的计算公式在一般情况下为：
次数较小（小于5）时的修正公式为：
21
fe
6
6
6
6
6
2
自由度df=5-1=4，对于α=0.05的显著性水平，查卡方分布表得临
界值χ2=9.488，因为21>9.488，所以在0.05的显著性水平下拒绝虚
无假设，接受备择假设，即儿童对不同种类玩具的喜欢程度是不一
样的。
配合度检验
如果搜集到的计数资料用百分数表示，也可以用配合度检验方法。二
上存在差异。
独立性检验
对于四格表的独立性检验，相当于独立样本比率差异的显著性检验。当每个
单元格的期望次数大于等于5时，也可以使用下面的简便公式计算χ2值：
四格表内的数据如下表形式进行组织：
变量A
变量B
分类1
分类2
分类1
A
B
A+B
分类2
C
D
C+D
A+C
B+D
N=A+B+C+D
卡方检验的事后检验
正如在方差分析中，研究者们提出使用Tukey HSD 等事后检验
下表所示：
玩具种类
实际次数（fo）
理论次数(fe)
1
6
6
2
15
6
两组计数资料的卡方检验要求
两组计数资料的卡方检验1. 引言卡方检验是一种常用的统计方法，用于比较两组计数资料之间是否存在显著差异。
在许多领域中，我们经常需要对不同群体或样本进行比较，以了解它们之间的差异。
卡方检验可以帮助我们确定这些差异是否是由于偶然因素导致的，还是真实存在的。
2. 卡方检验原理卡方检验基于观察频数与期望频数之间的差异来判断两组计数资料之间的显著性差异。
观察频数是指实际观察到的数据，在统计学中通常用O表示；期望频数则是指根据某种假设或模型所预期得到的数据，在统计学中通常用E表示。
卡方值（χ²）可以通过下面公式计算得到：χ² = Σ((O - E)² / E)其中Σ表示对所有数据进行求和。
卡方值越大，说明观察频数与期望频数之间的差异越大，即两组计数资料之间的差异越显著。
3. 卡方检验步骤进行卡方检验的一般步骤如下： - 建立假设：首先需要明确研究问题，并建立相应的原假设（H0）和备择假设（H1）。
原假设通常是指两组计数资料之间没有显著差异，备择假设则是指两组计数资料之间存在显著差异。
- 计算期望频数：根据某种假设或模型，计算出期望频数。
常见的方法包括独立性假设、均匀性假设等。
- 计算卡方值：根据观察频数和期望频数，使用卡方公式计算出卡方值。
- 确定临界值：根据显著性水平和自由度，查找卡方分布表中的临界值。
一般来说，显著性水平为0.05或0.01比较常见。
- 比较卡方值与临界值：将计算得到的卡方值与临界值进行比较。
如果卡方值大于临界值，则拒绝原假设，认为两组计数资料之间存在显著差异；如果卡方值小于等于临界值，则接受原假设，认为差异不显著。
4. 实例分析为了更好地理解卡方检验的应用，我们以一个实际问题为例进行分析。
假设有一家餐厅想评估其服务质量是否与顾客的满意度相关。
餐厅收集了两个计数资料：服务质量得分（优、良、差）和顾客的满意度（满意、一般、不满意）。
现在我们想知道这两组资料之间是否存在显著差异。
第六章次数资料的检验
甲地优等组理论次数： T11=90×20/135=13.3 乙地优等组理论次数： T21=45×20/135=6.7， 或T21=20-13.3=6.7 其余各个理论次数的计算类似。 3.计算计算χ2值
(10−13.3 2 (10−10)2 ) χ = + +⋯ ⋯ 13.3 10 (20−26.7)2 (10−6.6)2 + + 26.7 6.6 =7.58 2
4、计算
(| 2 χC =Σ
A−T| − .5 2 (|1 1− 9 | − .5 2 (| 7 −6 | − .5 2 0 ) 8 15 0 ) 9 5 0 ) = + =37 9 .3 T 15 9 6 5
可以列表计算：
性 状
实际观察次数 理论次数（T） A-T （A） 181 79 260 195 65 260 -14 +14 0
适合性检验
判断实际观察的属性类别分配是否符合已知属性类别分 配理论或学说的假设检验称为适合性检验。
在适合性检验中， 无效假设为H0：实际观察的属性类别分配符合已知属性类别 分配的理论或学说； 备择假设为HA：实际观察的属性类别分配不符合已知属性类 别 分配的理论或学说。 在无效假设成立的条件下，按已知属性类别分配的理论或学 说计算各属性类别的理论次数。
设样本中各种属性的实际次数为A，其相对应的理论次数为T， 则：
( A − T )2 χ2 = ∑ → df > 1 T
而当自由度df=1时，要用连续型矫正公式：
χ c2 = ∑
( A − T − 0.5) 2 T → df = 1
自由度在适合性检验和独立性检验中的确定不一样，下述。 自由度在适合性检验和独立性检验中的确定不一样，下述。
卡方检验的原理和内容公式原理
卡方检验是一种统计检验方法，其原理是比较理论频数和实际频数的吻合度或拟合优度。
基本思想是通过统计样本的实际观测值与理论推断值之间的偏离程度，来判断理论值是否符合。
卡方检验的应用范围包括检验某个连续变量或离散变量是否与某种理论分布接近，即分布拟合检验；以及检验类别变量之间是否存在相关性，即列联分析。
卡方检验的基本公式是卡方值，它是由实际频数和理论频数之间的差的平方与理论频数的比值计算得出的。
卡方值的计算公式如下：
卡方值=∑(实际频数-理论频数)^2 / 理论频数
其中，∑表示求和，实际频数和理论频数分别表示观测频数和期望频数。
如果卡方值越大，说明观测频数和期望频数之间的偏离程度越大；如果卡方值越小，说明观测频数和期望频数之间的偏离程度越小，越趋于符合。
需要注意的是，卡方检验的前提假设是样本数据服从卡方分布，且样本量足够大。
同时，卡方检验对于样本量较小的数据可能不太稳定，此时可以考虑使用其他统计方法如Fisher's exact test等。
数据分析知识：数据分析中的卡方检验流程
数据分析知识：数据分析中的卡方检验流程卡方检验是统计学中一种常用的假设检验方法，它适用于分析两个变量之间的关系以及检验两个分布之间的差异。
本文将详细介绍卡方检验的流程以及应用场景。
一、卡方检验的基本概念卡方检验是基于卡方分布的检验方法，首先需要了解卡方分布。
卡方分布是统计学中常用的概率分布，是由自由度为n的n个独立标准正态分布随机变量平方和所组成的随机变量的分布。
卡方检验是通过计算观察值与期望值之间的差异来检验数据之间是否存在相关性或差异。
这里的观察值指的是实际观测到的数据，期望值则是通过假设检验得到的预测值。
当观察值与期望值之间的差异越大，就说明两个变量之间的相关性或差异越显著。
卡方检验分为拟合优度检验和独立性检验两种类型。
拟合优度检验用于检验样本分布是否符合某个已知的理论分布，而独立性检验则用于检验两个变量之间是否存在关联。
二、卡方检验的流程卡方检验的流程通常分为以下五个步骤：1.建立假设在进行卡方检验之前，需要明确所要检验的假设。
一般情况下，研究人员提出两个假设：原假设和备择假设。
原假设通常是指不存在差异或关联，备择假设则是指存在差异或关联。
例如，在研究男女生育率是否存在差异时，原假设可以设为男女生育率相同，备择假设可以设为男女生育率存在差异。
2.计算卡方值计算卡方值是卡方检验的核心内容。
卡方值通常通过以下公式计算：其中，O为观察值，E为期望值，n为数据总量，k为自由度。
自由度的计算公式为（r-1）*（c-1），其中r表示行数，c表示列数，代表每个分类变量在计算期望值时可以独立取值的数量。
具体而言，在研究男女生育率是否存在差异的例子中，可以将数据按照男女分类，列出如下的交叉表：假设男性生育率的期望比例为50%，女性生育率的期望比例也为50%，那么期望频数可以通过以下公式计算：期望频数=总频数*期望比例男性生育率的期望频数为1000 * 0.5 = 500，女性生育率的期望频数也为500。
次数资料分析---卡方检验
第七章 次数资料分析---χ2检验第一节 χ2检验的原理与方法1.χ2分布χ2分布是从正态分布派生出来的一种分布。
⏹[定义]设X 1，X 2，X 3，…，X n 相互独立同分布，且X i ～N(0,1),则随机变量χ2= x i 2n i=1的分布称为具有n 个自由度的χ2分布。
记作： χ2 = x i 2n i=1 ～χ2（n ） 即：n 个标准正态分布的随机变量的平方和，服从自由度为n 的χ2分布。
⏹[推论]若随机变量X 1，X 2，X 3，…，X n 相互独立,且X i ～N(μ, σ2)，则χ2= (x i −μ)2σ2n i=1～χ2(n)⏹[自由度]在计算χ2的过程中，如果有一个统计量代替了其中的一个参数，则其自由度为(n-1);如果有两个统计量代替了其中的两个参数，则其自由度为(n-2)。
χ2= ～χ2(n-1)22212)1()(σσS n x x ni i -=-∑=2.χ2分布的性质⏹χ2分布的“可加性”—在进行χ2统计分析时，可将相邻的数据合并在一起统计⏹χ2分布为非对称的连续性分布，分布区间为[0,+∞]⏹χ2分布曲线因自由度不同而异不同自由度的概率分布密度曲线 2χ 3.χ2检验的基本原理与方法χ2检验是与计数数据相关联的，因而用于计数资料或间断性数据的检验。
⏹[基本原理] 用于实际观测值（O ）与理论推算值（E ）之间的偏离程度来计算χ2值的大小，根据χ2的概率来检验观测值与理论值的差异程度和符合程度的大小。
⏹[检验方法]按照假设检验的一般步骤，对计数资料进行右尾检验。
如果有k 组资料，则检验统计量的值按下式计算：χ2=(A i −T i )2T iki=1【k:类别;A i :实际观测值；T i :理论推算值】⏹[连续性矫正] 当自由度df ≧2时，一般不作连续性矫正。
但在自由度df =1时，需进行连续性矫正，统计量计算公式：x c2= (∣A i −T i ∣−0.5)2T iki=1第二节 适合性检验1.适合性检验的定义所谓适合性检验，就是检验某一试验结果类别频数的划分是否符合某一理论比例。
卡方检验详述
卡方检验什么是卡方检验卡方检验是一种用途很广的计数资料的假设检验方法。
它属于非参数检验的范畴，主要是比较两个及两个以上样本率( 构成比）以及两个分类变量的关联性分析。
其根本思想就是在于比较理论频数和实际频数的吻合程度或拟合优度问题。
它在分类资料统计推断中的应用，包括：两个率或两个构成比比较的卡方检验；多个率或多个构成比比较的卡方检验以及分类资料的相关分析等。
卡方检验的基本原理卡方检验是以χ2分布为基础的一种常用假设检验方法，它的无效假设H0是：观察频数与期望频数没有差别。
该检验的基本思想是：首先假设H0成立，基于此前提计算出χ2值，它表示观察值与理论值之间的偏离程度。
根据χ2分布及自由度可以确定在H0假设成立的情况下获得当前统计量及更极端情况的概率P。
如果P值很小，说明观察值与理论值偏离程度太大，应当拒绝无效假设，表示比较资料之间有显著差异；否则就不能拒绝无效假设，尚不能认为样本所代表的实际情况和理论假设有差别。
卡方值的计算与意义χ2值表示观察值与理论值之问的偏离程度。
计算这种偏离程度的基本思路如下。
(1)设A代表某个类别的观察频数，E代表基于H0计算出的期望频数，A与E之差称为残差。
(2)显然，残差可以表示某一个类别观察值和理论值的偏离程度，但如果将残差简单相加以表示各类别观察频数与期望频数的差别，则有一定的不足之处。
因为残差有正有负，相加后会彼此抵消，总和仍然为0，为此可以将残差平方后求和。
(3)另一方面，残差大小是一个相对的概念，相对于期望频数为10时，期望频数为20的残差非常大，但相对于期望频数为1 000时20的残差就很小了。
考虑到这一点，人们又将残差平方除以期望频数再求和，以估计观察频数与期望频数的差别。
进行上述操作之后，就得到了常用的χ2统计量，由于它最初是由英国统计学家Karl Pearson在1900年首次提出的，因此也称之为Pearson χ2，其计算公式为：其中，Ai为i水平的观察频数，Ei为i水平的期望频数，n为总频数，pi为i水平的期望频率。
07 次数资料分析——c2检验
125第七章 次数资料分析——χ2检验前面介绍了计量资料的统计分析方法−−t 检验法与方差分析法。
在畜牧、水产等科学研究中，除了分析计量资料以外，还常常需要对次数资料、等级资料进行分析。
等级资料实际上也是一种次数资料。
次数资料服从二项分布或多项分布，其统计分析方法不同于服从正态分布的计量资料。
本章将分别介绍对次数资料、等级资料进行统计分析的方法。
第一节 2χ统计量与2χ分布一、2χ统计量的意义为了便于理解，现结合一实例说明2χ (读作卡方) 统计量的意义。
根据遗传学理论，动物的性别比例是1:1。
统计某羊场一年所产的876只羔羊中，有公羔428只，母羔448只。
按1:1的性别比例计算，公、母羔均应为438只。
以A 表示实际观察次数，T 表示理论次数，可将上述情况列成表7-1。
表7-1 羔羊性别实际观察次数与理论次数性别 实际观察次数A 理论次数T A-T （A -T ）2/T 公 428（1A ） 438（1T ） -10 0.2283 母 448（2A ） 438（2T ） 10 0.2283 合计 876 876 0 0.4566从表7-1看到，实际观察次数与理论次数存在一定的差异，这里公、母各相差10只。
这个差异是属于抽样误差(把对该羊场一年所生羔羊的性别统计当作是一次抽样调查)、还是羔羊性别比例发生了实质性的变化?要回答这个问题， 首先需要确定一个统计量用以表示实际观察次数与理论次数偏离的程度；然后判断这一偏离程度是否属于抽样误差，即进行显著性检验。
为了度量实际观察次数与理论次数偏离的程度，最简单的办法是求出实际观察次数与理论次数的差数。
从表7-1看出：A 1-T 1 =-10，A 2-T 2=10，由于这两个差数之和为0， 显然不能用这两个差数之和来表示实际观察次数与理论次数的偏离程度。
为了避免正、负抵消，可将两个差数A 1-T 1、A 2-T 2平方后再相加，即计算∑(A -T )2，其值越大，实际观察次数与理论次数相差亦越大，反之则越小。
卡方检验（计数资料）
卡方检验（计数资料）四格表资料的卡方检验四格表资料的卡方检验用于进行两个率或两个构成比的比较。
1. 专用公式：若四格表资料四个格子的频数分别为a，b，c，d，则四格表资料卡方检验的卡方值=（ad-bc）2*n/(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，自由度v=（行数-1）（列数-1）2. 应用条件：要求样本含量应大于40且每个格子中的理论频数不应小于5。
当样本含量大于40但理论频数有小于5的情况时卡方值需要校正，当样本含量小于40时只能用确切概率法计算概率。
行X列表资料的卡方检验行X列表资料的卡方检验用于多个率或多个构成比的比较。
1. 专用公式：r行c列表资料卡方检验的卡方值=n[(A11/n1n1+A12/n1n2+...+Arc/nrnc)-1]2. 应用条件：要求每个格子中的理论频数T均大于5或1<t<1或1<t<5的格子较多时，可采用并行并列、删行删列、增大样本含量的办法使其符合行x列表资料卡方检验的应用条件。
而多个率的两两比较可采用行x 列表分割的办法。
列联表资料的卡方检验：同一组对象，观察每一个个体对两种分类方法的表现，结果构成双向交叉排列的统计表就是列联表。
1. R*C 列联表的卡方检验：R*C 列联表的卡方检验用于R*C列联表的相关分析，卡方值的计算和检验过程与行X列表资料的卡方检验相同。
2. 2*2列联表的卡方检验：2*2列联表的卡方检验又称配对记数资料或配对四格表资料的卡方检验，根据卡方值计算公式的不同，可以达到不同的目的。
当用一般四格表的卡方检验计算时，卡方值=（ad-bc）2n/(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，此时用于进行配对四格表的相关分析，如考察两种检验方法的结果有无关系；当卡方值=（|b-c|-1）2/(b+c)时，此时卡方检验用来进行四格表的差异检验，如考察两种检验方法的检出率有无差别。
列联表卡方检验应用中的注意事项同R*C表的卡方检验相同。
医学统计方法之卡方检验
医学统计方法之卡方检验卡方检验，又称卡方分布检验（Chi-Square Test），是一种常用的统计方法，用于检验两个或多个分类变量之间是否存在显著差异。
本文将详细介绍卡方检验的原理、应用范围以及具体的步骤。
一、原理：卡方检验的原理是基于卡方分布的性质。
卡方分布是指具有自由度的正态分布的平方和，记为χ^2(k)，其中k为自由度。
在卡方检验中，我们将观察到的频数与理论预期频数进行比较，从而判断两个或多个分类变量之间的差异是否显著。
二、应用范围：卡方检验广泛应用于医学研究中的数据分析，尤其是在对两个或多个分类变量之间的关联进行检验时。
常见的应用场景包括但不限于以下几种：1.检验观察频数与理论预期频数之间的差异，以判断观察结果是否与理论预期相符。
2.检验两个或多个分类变量之间的关联性，以确定它们之间是否存在显著的相关性。
3.比较两个或多个群体在一个或多个分类变量上的分布差异，从而判断它们之间是否存在显著差异。
三、步骤：卡方检验的主要步骤包括以下几个：1. 建立假设：首先需要明确检验的假设。
在卡方检验中，通常有两种假设：“原假设”（null hypothesis，H0）和“备择假设”（alternative hypothesis，H1）。
原假设通常表示没有差异或关联，备择假设则表示存在差异或关联。
2.计算期望频数：根据原假设，计算出理论预期频数。
理论预期频数是基于既定的分布假设和样本总体的参数计算得出的。
3.计算卡方值：将观察频数与理论预期频数进行比较，计算出卡方值。
卡方值是观察频数与理论预期频数之间的差异的平方和。
4.确定自由度：根据检验问题的具体情况确定自由度。
在卡方检验中，自由度通常由分类变量的水平数目决定。
5.查表找出p值：根据卡方分布表，找出相应自由度下的临界值。
将计算得到的卡方值与临界值进行比较，确定其显著性水平。
p值是指在原假设成立的前提下，观察到的差异大于或等于当前差异的概率。
6.做出判断：根据p值与显著性水平的比较，做出判断是否拒绝原假设。
卡方检验基本公式检验方法
卡方检验基本公式检验方法卡方检验（Chi-square test）是一种常用的统计方法，用于检验观察值与理论预期值之间的差异是否显著。
它适用于分类变量或频数数据的分析，广泛应用于生物医学研究、社会科学调查、市场调研等领域。
本文将介绍卡方检验的基本公式和检验方法。
1. 卡方检验的基本公式在进行卡方检验之前，我们需要先了解几个基本公式。
1.1 观察频数（O）观察频数指的是实际观察到的频数，也就是实际测量或观察得到的数据。
通常用O表示。
1.2 理论频数（E）理论频数是根据假设或理论计算得到的预期频数，用于与观察频数进行比较。
通常用E表示。
1.3 卡方值（χ²）卡方值是通过观察频数和理论频数的比较计算得到的统计量，用于衡量观察值和理论值之间的差异程度。
卡方值的计算公式为：χ² = Σ [(O - E)² / E]其中，Σ表示对所有分类或组别进行求和。
2. 卡方检验的检验方法卡方检验的检验方法主要分为以下几步：2.1 建立假设在进行卡方检验之前，需要明确要进行的假设检验类型，包括原假设（H0）和备择假设（H1）。
原假设通常是没有差异或关联，备择假设则是存在差异或关联。
2.2 计算卡方值根据观察频数和理论频数的公式，计算出卡方值。
2.3 确定自由度自由度是卡方分布中的参数，它与样本量及分类数相关。
自由度的计算公式为：df = (r - 1) * (c - 1)其中，r表示行数，c表示列数。
2.4 查表确定临界值根据所选的显著性水平和自由度，查找卡方分布表中的临界值。
显著性水平通常选择0.05或0.01，表示可接受的异常结果的概率。
2.5 判断是否显著比较计算得到的卡方值和临界值，根据比较结果来判断是否拒绝原假设。
如果计算得到的卡方值大于临界值，则拒绝原假设，认为存在差异或关联。
反之，如果计算得到的卡方值小于临界值，则接受原假设，认为没有差异或关联。
3. 实例分析为了更好地理解卡方检验的基本公式和检验方法，我们将进行一个简单的实例分析。
次数资料分析卡方检验
第五章次数资料分析——2χ检验本章将分别介绍对次数资料、等级资料进行统计分析的方法。
第节χ2统计量与χ2分布第一节一、χ2统计量的意义为了便于理解现结合实例说明(为了便于理解，现结合一实例说明χ2读作卡方) 统计量的意义。
根据遗传学理论，动物的性别比例是1:1。
统计某羊场一年所产的876只羔羊中有公羔只母羔只按11只羔羊中，有公羔428只，母羔448只。
按1:1性别例计算公母均应为只的性别比例计算，公、母羔均应为438只。
以A表示实际观察次数，T 表示理论次数，可将上述情况列成表5‐1。
表5‐1 羔羊性别实际观察次数与理论次数从表5‐1看到，实际观察次数与理论次数存在一定的差异，这里公、母各相差10只。
这个差异是属于抽样误差(把对该羊场一年所生羔羊羔的性别统计当作是次抽样调查)、还是羔羊性的性别统计当作是一次抽样调查还是羔羊性别比例发生了实质性的变化?要回答这个问题，首先需要确定一个统计量用以表示实际观察次数与理论次数偏离的程度度；然后判断这一偏离程度是否属于抽样误差，即进行显著性检验。
为了度量实际观察次数与理论次数偏离的程度，最简单的办法是求出实际观察次数与理论次数的差数。
从表51看出：A1T1=10，A2T2=10，‐‐‐‐由于这两个差数之和为0，显然不能用这两个差数之和来表示实际观察次数与理论次数的偏离程度了免负抵将两个数度。
为了避免正、负抵消，可将两个差数A‐T、11A2‐T2 平方后再相加，即计算∑(A‐T)2，其值越大，实际观察次数与理论次数相差亦越大，反实际观察次数与理论次数相差亦越大之则越小。
但利用∑(A‐T)2表示实际观察次数与理论次数的偏离程度尚有不足。
例如某一组实际观察次数为505、理论次数为500，相差5；而另组实际观；而另一组实际观察次数为26、理论次数为21，相差亦为5。
显然这两组实际观察次数与理论次数的偏离程度是不同的因为前者是相对于理论次数相差是不同的。
因为前者是相对于理论次数5005，后者是相对于理论次数21相差5。
统计学-四格表资料分析卡方检验
方法原理
• 从卡方的计算公式可见，当观察频数与期望频数完全 一致时，卡方值为0；
• 观察频数与期望频数越接近，两者之间的差异越小， 卡方值越小；
• 反之，观察频数与期望频数差别越大，两者之间的差 异越大，卡方值越大。
• 当然，卡方值的大小也和自由度有关。
方法原理
卡方分布
显然，卡方值的大小不仅与A、E之差有关，还 与单.1元2 格数（自由度）有关
方法原理
根据 H0 得 b、c 两格的理论数均为 Tb = Tc = (b+c)/2，对 应的配对检验统计量为：
2 (b c)2 ,
bc
1
一般在 b + c < 40 时，采用确切概率法。
注意事项
McNemar检验(配对卡方检验)只会利用非主对角线 单元格上的信息，即它只关心两者不一致的评价 情况，用于比较两个评价者间存在怎样的倾向。 因此，对于一致性较好的大样本数据(a,d较大且 b,c较小时)，McNemar检验可能会失去实用价值。 例如对1万个案例进行一致性评价，9995个都是 完全一致的，在主对角线上，另有5个分布在左 下的三角区，显然，此时一致性相当的好。但 如果使用McNemar检验，此时反而会得出两种评 价有差异的结论来。
Pearson’s 卡方检验
2 P
k i 1
( Ai
Ti )2 Ti
A: 实际頻数 （actual frequency） T: 理论頻数 （theoretical frequency）
Chi-squared distribution
概述
卡方检验是以卡方分布为基础的一种常用假设检 验方法，主要用于分类变量，它基本的无效假设 是(不包括配对资料)：
Poisson分布资料是离散型资料，但不具有分类特征，故 视为计量资料。
医学统计方法之卡方检验
医学统计方法之卡方检验卡方检验（Chi-square test）是一种常用的医学统计方法，用于比较观察频数与期望频数的差异，以判断两个或多个类别变量之间是否存在相关性或差异。
卡方检验适用于分类数据的分析，常用于研究疾病与相关因素的关系、药物与不良反应的关系等。
卡方检验的基本原理是通过计算观察频数与期望频数之间的差异，并比较差异的程度来判断两个或多个分类变量之间的关联性。
卡方值越大，观察频数与期望频数之间的差异越大，相关性越显著。
卡方检验的零假设（Null hypothesis）是假设变量之间没有关联性，即观察频数与期望频数之间的差异是由随机误差引起的。
卡方检验的计算步骤如下：1.建立零假设与备择假设。
例如，我们想要研究其中一种药物与不良反应的关系，零假设可以是“该药物与不良反应之间没有关联性”，备择假设可以是“该药物与不良反应之间存在关联性”。
2.构建两个变量的列联表，计算观察频数。
列联表是将两个或多个分类变量交叉组合生成的一个二维表格。
例如，我们可以将药物使用与不良反应按行和列分别组合，得到一个2×2的列联表。
3.计算期望频数。
期望频数是在零假设成立的情况下，根据总体总数和变量之间的独立性计算的理论频数。
期望频数可以通过计算每个组合的行合计、列合计以及总体合计来得到。
4.计算卡方值。
卡方值是观察频数与期望频数之间的差异的平方和除以期望频数的总和，即卡方值=Σ((O-E)²/E)，其中O为观察频数，E为期望频数。
5.比较卡方值与临界值。
通过查找卡方分布表，根据给定的显著性水平（一般为0.05或0.01），确定临界值。
如果卡方值大于临界值，则拒绝零假设，认为两个变量之间存在关联性。
如果卡方值小于等于临界值，则无法拒绝零假设，认为两个变量之间不存在关联性。
6.进行推论。
如果拒绝零假设，可以推断两个变量之间存在关联性。
反之，如果无法拒绝零假设，不能推断两个变量之间存在关联性。
需要注意的是，卡方检验对样本容量有一定要求，通常要求每个格子的期望频数不低于5、如果期望频数低于5，需要采取合适的修正方法或使用其他适用于小样本的检验方法。
(医统)卡方检验
2
观测值的自由度（vi>2），Si为第i组观测值的标 准差 2 • 拒绝原假设的条件为： 2 ,
F检验
• 检验两组观测值的方差的齐性 • 原假设： 2 2
1 2
• 检验统计量：
2 2 2 S1 F 2 2 ~ F( 1 , 2 ) 1 S2
• 拒绝条件： F F /2 (1, 2 )或F F1 /2 (1, 2 )
2.拟合优度检验
• B.表征实验分布，即用卡方统计量检验实验分布 是否服从某一理论分布（正态、二项等） • 步骤：1.将总体X的取值范围分成k个互不重迭的 小区间 • 2.计算落入第i个小区间的样本值的观测频数 • 3. 根据所假设的理论分布, 算出总体X的值落入每 个小区间的概率p,于是np就是落入该区间的样本 值的理论频数 • 4.计算卡方统计量 • 5.与临界值进行比较，进行决策
χ2 检验 数据资料 总体 检验对象
离散型资料 总体分布是未知的
连续型资料假设检验
连续型资料 正态分布 对总体参数或几个总体 参数之差
不是对总体参数的检 验，而是对总体分布 的假设检验
三、χ2 检验的用途
适合性检验
是指对样本的理论数先通过一定的理
论分布推算出来，然后用实际观测值与理论
数相比较，从而得出实际观测值与理论数之
理论值(E)
696.75 232.25 929
O-E
+8.25 -8.25 0
由于差数之和正负相消，并不能反映实 际观测值与理论值相差的大小。
为了避免正、负相抵消的问题，可将实际 观测值与理论值的差数平方后再相加，也就是 计算：
∑（O－E）2
O－－实际观察的频数 E－－无效假设下的期望频数
卡方检验及其应用
卡方检验及其应用一、卡方检验概述：卡方检验主要应用于计数数据的分析，对于总体的分布不作任何假设，因此它属于非参数检验法中的一种。
它由统计学家皮尔逊推导。
理论证明，实际观察次数(f o )与理论次数（fｅ)，又称期望次数）之差的平方再除以理论次数所得的统计量，近似服从卡方分布,可表示为：）（n f f f ee 2202~)(χχ∑-= 这是卡方检验的原始公式,其中当ｆe 越大，近似效果越好。
显然f o 与f ｅ相差越大,卡方值就越大;f o 与ｆe 相差越小,卡方值就越小；因此它能够用来表示f o 与f ｅ相差的程度。
根据这个公式，可认为卡方检验的一般问题是要检验名义型变量的实际观测次数和理论次数分布之间是否存在显著差异。
一般用卡方检验方法进行统计检验时，要求样本容量不宜太小，理论次数≥5,否则需要进行校正。
如果个别单元格的理论次数小于５，处理方法有以下四种：1、单元格合并法;2、增加样本数；3、去除样本法；４、使用校正公式。
当某一期望次数小于5时,应该利用校正公式计算卡方值。
公式为：∑--=ee f f f 202)5.0(χ二、卡方检验的统计原理：• 卡方检验所检测的是样本观察次数﹙或百分比﹚与理论或总体次数﹙或百分比﹚的差异性。
• 理论或总体的分布状况，可用统计的期望值（理论值）来体现。
• 卡方的统计原理，是取观察值与期望值相比较。
卡方值越大,代表统计量与理论值的差异越大，一旦卡方值大于某一个临界值,即可获得显著的统计结论。
三、卡方检验的主要应用: 1、独立性检验独立性检验主要用于两个或两个以上因素多项分类的计数资料分析,也就是研究两类变量之间的关联性和依存性问题。
如果两变量无关联即相互独立，说明对于其中一个变量而言，另一变量多项分类次数上的变化是在无差范围之内；如果两变量有关联即不独立,说明二者之间有交互作用存在。
独立性检验一般采用列联表的形式记录观察数据, 列联表是由两个以上的变量进行交叉分类的频数分布表，是用于提供基本调查结果的最常用形式，可以清楚地表示定类变量之间是否相互关联。
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第五章次数资料分析——2χ检验本章将分别介绍对次数资料、等级资料进行统计分析的方法。
第节χ2统计量与χ2分布第一节一、χ2统计量的意义为了便于理解现结合实例说明(为了便于理解，现结合一实例说明χ2读作卡方) 统计量的意义。
根据遗传学理论，动物的性别比例是1:1。
统计某羊场一年所产的876只羔羊中有公羔只母羔只按11只羔羊中，有公羔428只，母羔448只。
按1:1性别例计算公母均应为只的性别比例计算，公、母羔均应为438只。
以A表示实际观察次数，T 表示理论次数，可将上述情况列成表5‐1。
表5‐1 羔羊性别实际观察次数与理论次数从表5‐1看到，实际观察次数与理论次数存在一定的差异，这里公、母各相差10只。
这个差异是属于抽样误差(把对该羊场一年所生羔羊羔的性别统计当作是次抽样调查)、还是羔羊性的性别统计当作是一次抽样调查还是羔羊性别比例发生了实质性的变化?要回答这个问题，首先需要确定一个统计量用以表示实际观察次数与理论次数偏离的程度度；然后判断这一偏离程度是否属于抽样误差，即进行显著性检验。
为了度量实际观察次数与理论次数偏离的程度，最简单的办法是求出实际观察次数与理论次数的差数。
从表51看出：A1T1=10，A2T2=10，‐‐‐‐由于这两个差数之和为0，显然不能用这两个差数之和来表示实际观察次数与理论次数的偏离程度了免负抵将两个数度。
为了避免正、负抵消，可将两个差数A‐T、11A2‐T2 平方后再相加，即计算∑(A‐T)2，其值越大，实际观察次数与理论次数相差亦越大，反实际观察次数与理论次数相差亦越大之则越小。
但利用∑(A‐T)2表示实际观察次数与理论次数的偏离程度尚有不足。
例如某一组实际观察次数为505、理论次数为500，相差5；而另组实际观；而另一组实际观察次数为26、理论次数为21，相差亦为5。
显然这两组实际观察次数与理论次数的偏离程度是不同的因为前者是相对于理论次数相差是不同的。
因为前者是相对于理论次数5005，后者是相对于理论次数21相差5。
为了弥补这一不足，可先将各差数平方除以相应的理论次数后再相加，并记之为χ2，即当自由度大于1时，(5‐1)式的χ2分布与连续时型随机变量χ2分布相近似，这时，可不作连续这时可不作连续性矫正，但要求各组内的理论次数不小于5。
若某组的理论次数小于5，则应把它与其相邻的一组或几组合并，直到理论次数大于5 为止。
第二节适合性检验、适合性检验的意义一、适合性检验的意义判断实际观察的属性类别分配是否符合已知属性类别分配理论或学说的假设检验称为适合性检验。
适合性检验在适合性检验中，无效假设为H：实际观察的属性类别分配符合已知属性类别分配的理论：实际观察的属性类别或学说；备择假设为HA分配不符合已知属性类别分配的理论或学说。
分配的理论或学说并在无效假设成立的条件下，按已知属性类别分配的理论或学说计算各属性类别的理论次数。
因所计算得的各个属性类别理论次数的总和应等于各个属性类别实际观察次数的总和，即独立的理论次数的个数等于属性类别分适合性检验的自由度等类数减1。
也就是说，适合性检验的自由度等若属性类别分类数为于属性类别分类数减1 。
若属性类别分类数为k ，则适合性检验的自由度为k ‐1 。
然后根据(5‐1)或(5‐4)式计算出χ2或χ2c 。
将所计算得的χ2或χ2c 值与根据自由度k ‐1查χ2值表(附表8)所得的临界2值：2、2比较：χχ0.05χ0.01若χ2(或χ2c)＜χ20.05，P＞0.05，表明实际观察次数与理论次数差异不显著，可以认为实际观察的属性类别分配符合知属性类别分配的观察的属性类别分配符合已知属性类别分配的理论或学说；001005表若χ20.05≤χ2(或χ2c)＜χ20.01，0.01＜P≤0.05，表明实际观察次数与理论次数差异显著，实际观察的属性类别分配显著不符合已知属性类别分察的属性类别分显著不符合知属性类别分配的理论或学说；若χ2( 或χ2c)≥χ20.01，P≤0.01，表明实际观察次数与理论次数差异极显著，实际观察的属性实际观察的属性类别分配极显著不符合已知属性类别分配的理论或学说。
论或学说二、适合性检验的方法下面结合实例说明适合性检验方法。
下面结合实例说明适合性检验方法【例5.1】在进行山羊群体遗传检测时，观51在进行山羊群体遗传检测时观察了260只白色羊与黑色羊杂交的子二代毛色，只白色羊与黑色羊杂交的子二代毛色其中181只为白色，79只为黑色，问此毛色的比只为白色只为黑色问此毛色的比率是否符合孟德尔遗传分离定律的3∶1比例?检验步骤如下：（一）提出无效假设与备择假设H 0：子二代分离现象符合3∶1的理论比例。
H A ：子二代分离现象不符合3∶1的理论比例。
（）选择计算公式（二）选择计算公式由于本例是涉及到两组毛色（白色与黑色）属性由于本例是涉及到两组毛色（白色与黑色），属性类别分类数k =2，自由度df =k ‐1=2‐1=1，须使用（5—4）式来计算。
2c χ（三）计算理论次数根据理论比率3∶1求理论次数：=260×3/4=195白色理论次数：T1=260×1/4=65黑色理论次数：T2或T=260‐T1=260‐195=6522χ（四）计算c2计算表表5—2 χc值作出统计推断(五)查临界χ2值，作出统计推断=3.84，当自由度df=1 时，查得χ20.05（1）<χ20.05（1），P>0.05，不能否定H0，表计算的χ2c明实际观察次数与理论次数差异不显著，可以认为白色羊与黑色羊的比率符合孟德尔遗传分离定律31的理论比例。
∶52【例5.2】在研究牛的毛色和角的有无两对相对性状分离现象时，用黑色无角牛和红色有角牛用黑色无角牛和红色有角牛杂交，子二代出现黑色无角牛192头，黑色有角牛78头，红色无角牛72头，红色有角牛18头，共360头。
试问这两对性状是否符合孟德尔遗传规律中9∶3∶3∶1的遗传比例？上一张下一张主页退出检验步骤：提效假与备择假（一）提出无效假设与备择假设∶∶∶H 0：实际观察次数之比符合9331的理论比例。
H A ：实际观察次数之比不符合9∶3∶3∶1的理论比例。
（二）选择计算公式由于本例的属性类别分类数k =4：自由度df =k ‐1=4‐1=3>1，故利用（5—1）式计算χ2。
（三）计算理论次数依据各理论比例9:3:3:1计算理论次数：9/16=2025黑色无角牛的理论次数T 1：360×9/16=202.5；3/16=675黑色有角牛的理论次数T 2：360×3/16=67.5；3/16675红色无角牛的理论次数T 3：360×3/16=67.5；红色有角牛的论次数红色有角牛的理论次数T 4：360×1/16=22.5。
或T 4=360‐202.5‐67.5‐67.5=22.5（四）列表计算χ2下一张主页退出上一张表5—3 χ2计算表第三节独立性检验一、独立性检验的意义对次数资料，除进行适合性检验外，有时对次数资料除进行适合性检验外有时需要分析两类因子是相互独立还是彼此相关。
如研究两类药物对家畜某种疾病治疗效果的好坏，先将病畜分为两组，一组用第一种药物治疗，另一组用第二种药物治疗，然后统物治疗另组用第二种药物治疗然后统计每种药物的治愈头数和未治愈头数。
这时需要分析药物种类与疗效是否相关，若两者彼此相关，表明疗效因药物不同而异，即两种药物疗效不相同；若两者相互独立，表明两种药物疗效相同。
这种种药物疗效相同这种根据次数资料判断两类假因子彼此相关或相互独立的假设检验就是独立性检验。
独立性检验实际上是基于次数资料对子因子间相关性的研究。
上一张下一张主页退出独立性检验与适合性检验是两种不同的检验方法，除了研究目的不同外，还有以下区别：（一）独立性检验的次数资料是按两因子属性类别进行归组根据两因子属性类别数的不性类别进行归组。
根据两因子属性类别数的不同而构成、、列联表为行因子2×22×c r×c列联表（r的属性类别数，c 为列因子的属性类别数）。
而适合性检验只按某一因子的属性类别将如性别、表现型等次数资料归组。
别表现型等次数资料归组（二）适合性检验按已知的属性分类理论或学说计算理论次数。
独立性检验在计算理论次数时没有现成的理论或学说可资利用，理论次数是在两因子相互独立的假设下进行计算立的假设下进行计算。
（三）在适合性检验中确定自由度时，只有个约在适合性检验中确定自由度时，只有一个约束条件：各理论次数之和等于各实际次数之和，自由度为属性类别数减1。
而在r×c列联表的独立性检验中，共有rc个理论次数，但受到以下条件的约束：个理论次数但受到以下条件的约束1、rc个理论次数的总和等于rc个实际次数的总和；2、r个横行中的每一个横行理论次数总和等于该行实际次数的总和。
但由于r个横行实际次数之和的总和应等于rc个实际次数之和，因而独立的行约束条件只有r1个；‐3、类似地，独立的列约束条件有c‐1个。
因而在进行独立性检验时，自由度为rc‐1‐(r‐1)‐(c‐1)=(r‐1)(c‐1)，即等于（横行属性类别数‐1）×（直列属性类别数1）。
‐二、独立性检验的方法（一）（）2×2列联表的独立性检验列联表的一般形式如表—2×2列联表的般形式如表510所示，其自由=( ‐1) r ‐1)=(2‐1) (2‐1)=12度df (c )()()()，在进行χ检验时，需作连续性矫正，应计算值。
2c χ表5—10 2×2列联表的一般形式其中A ij为实际观察次数，T ij为理论次数。
为实际观察次数为理论次数【例5.7】某猪场用80头猪检验某种疫苗是否有预防效果。
结果是注射疫苗的44头中有12 头发病，32头未发病；未注射的36头中有22头发病，14头未发病，问该疫苗是否有预防效果？1、先将资料整理成列联表表5—11 2×2列联表2、提出无效假设与备择假设H0：发病与否和注射疫苗无关，即二因子相互独立。
H A：发病与否和注射疫苗有关，即二因子彼此相关彼此相关。
3、计算理论次数根据二因子相互独立的假设，由样本数据计算出各个理论次数二因子相互独立就是说算出各个理论次数。
二因子相互独立，就是说注射疫苗与否不影响发病率。
也就是说注射组与未注射组的理论发病率应当相同，均应等于总发病率34/80=0.425=42.5%。
依此计算出各个发率/依算各个理论次数如下：注射组的理论发病数：T11=44×34/80=18.7注射组的理论未发病数：4446/8053，T=44×46/80=25.312=44--18.7=25.3；或T12=44187=253未注射组的理论发病数：T2136×34/8015.3，=3634/80=15.3或T=3418.7=15.3；‐187=15321未注射组的理论未发病数：T22=36×46/80=20.7，46/80=207=36‐15.3=20.7。