第十二章群论初步习题

第十二章 群论简介习题§12.1 群的定义和例子１．设Ｇ为一切不等于零的有理数所成的集合，证明Ｇ对于数的乘法作成一个群． 【证明】１）任意两个非零的有理数的乘积为非零有理数，故Ｇ对数的乘法封闭；２）数的乘法结合律对一切数都成立，自然对Ｇ也成立； ３）01≠是非零有理数，且对任何一个非零有理数a ，011≠=⨯=⨯a a a ， 说明１是Ｇ的单位元素； ４）对任意的非零有理数a ，则a1是非零有理数，且 111=⨯=⨯a aa a ， 说明a 的逆元是a 1，根据群的定义，即知集合Ｇ对数的乘法作成一个群． ２．Ｇ是由a ，b ，c 三个元素所作成的集合，它的乘法表是判别Ｇ是否成群？【解】由乘法表容易看到，Ｇ对规定的乘法是封闭的，a 是Ｇ的单位元素，a 、b 、c 的逆元分别是a 、c 、b ． 以下只要证明结合律成立即可．因为(ab)c ＝bc ＝a ，a(bc)＝aa ＝a ，故(ab)c ＝a(bc)；同法可知a(cb)＝(ac)b ＝a ，(ba)c ＝b(ac)＝a ，(bc)a ＝b(ca)＝a ，(ca)b ＝c(ab)＝a ，(cb)a ＝c(ba)＝a ，以上６个式子说明结合律对规定的乘法是成立的， 因此Ｇ对规定的乘法作成一个群．３．证明下列四个方阵Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ对于矩阵乘法作成一个群Ｖ，写出的Ｖ乘法表．Ｖ是否循环群？Ｖ是否交换群？⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1001A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1001B ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1001C ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=1001D ．【证明】先写出乘法表．由乘法表看出，集合Ｖ＝｛Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ｝对矩阵乘法封闭，结合律对任何矩阵的乘法满足，自然对Ｖ中的矩阵也满足，而矩阵Ａ是单位元，元素Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ的逆元素分别是它们自身，故Ｖ对矩阵的乘法作成群． 但（Ａ）＝｛Ａ｝，（Ｂ）＝｛Ａ，Ｂ｝，（Ｃ）＝｛Ａ，Ｃ｝，（Ｄ）＝｛Ａ，Ｄ｝， 它们都不等于Ｖ，从而Ｖ不是循环群．由乘法表的对称性，可知群Ｖ是一个交换群．§12.2 置换群１．求置换的乘积：⎪⎪⎭⎫⎝⎛2451354321⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1543254321 【解】⎪⎪⎭⎫⎝⎛2451354321⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1543254321⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3245115432⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1543254321 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=3245154321． ２．把置换表为轮换的乘积： （１）⎪⎪⎭⎫⎝⎛12765437654321， 【解】⎪⎪⎭⎫⎝⎛12765437654321)642)(7531(=； （２）⎪⎪⎭⎫⎝⎛1234568787654321． 【解】⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1234568787654321)54)(63)(8271(=．３．证明：（１）121)(-k i i i Λ)(11i i i k k Λ-=；（２）设Ｐ，Ｑ为两个不相交的轮换，则ＰＱ＝ＱＰ．【证明】（１）)(21k i i i Λ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=++n k n k k i i i i ii i i i i ΛΛΛΛ1132121, )(11i i i k k Λ-⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+--+-n k kk k n k k k i i i i ii i i i i ΛΛΛΛ121111, )(11i i i k k Λ-)(21k i i i Λ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+--+-n k k k k n k k k i i i i ii i i i i ΛΛΛΛ121111⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++n k n k k i i i i i i i i i i ΛΛΛΛ1132121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=++n k k n k i i i i i i i i i i ΛΛΛΛ1211132⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++n k n k k i i i i i i i i i i ΛΛΛΛ1132121)(1121121i i i i i i i i i i i n k kn k k =⎪⎪⎭⎫⎝⎛=++ΛΛΛΛ,（恒等变换） 同理可证 )(21k i i i Λ)(11i i i k k Λ-)(1i =，所以 121)(-k i i i Λ)(11i i i k k Λ-=．（２）设)(21k i i i P Λ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=++++n r r k n r r k k i i i i i i ii i i i i i i ΛΛΛΛΛΛ111321121， )(21r k k i i i Q Λ++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+++++n r k k kn r r k k i i i i i i ii i i i i i i ΛΛΛΛΛΛ112211121， 其中没有相同的数字．则 )(21k i i i PQ Λ=)(21r k k i i i Λ++⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+++++n r k k n r r k k i i i i i i i i i i i i i i ΛΛΛΛΛΛ1121321121)(21r k k i i i Λ++=QP i i i k =)(21Λ.４．写出四次对称群的所有置换．【解】四次对称群的全体置换（共２４个）用轮换的形式表示就是： （１）； （１２），（１３），（１４），（２３），（２４），（３４）； （１２３），（１３２），（１３４），（１４３），（１２４），（１４２），（２３４），（２４３）； （１２３４），（１２４３），（１３２４），（１３４２），（１４２３）（１４３２）； （１２）（３４），（１３）（２４），（１４）（２３）．§12.3 子群及其陪集１．求出三次对称群的所有子群．【解】)}132(),123(),23(),13(),12(),1{(3=S ，它的平凡子群为单位元群)}1{(及3S 本身；其２阶子群有３个，即)}12(),1{(1=H ，)}13(),1{(2=H ，)}23(),1{(3=H ； 三阶子群只有１个，即)}132(),123(),1{(4=H ，由拉格朗日定理，不可能有其它阶数的真子群，因此以上所列就是3S 的所有子群．２．证明：阶为质数的群一定是循环群．【证明】设Ｇ群的阶为质数p ，则Ｇ必含有周期大于１的元素，不妨设为a ，其周期为m ＞１，故由a 生成的循环群（a ）是群Ｇ的子群，其阶数为m ， 由拉格朗日定理知，m 整除p ， 但p 是质数，故m ＝p ， 从而 Ｇ＝（a ），即Ｇ是循环群． ３．证明：阶为质数幂mp 的群中包含一个阶为p 的子群．【证明】设群Ｇ的阶为mp ，因p 为质数，故群Ｇ含有非单位元素a ． 设a 的周期为n ，由拉格朗日定理的推论，知n 整除mp ，即rn p =，1r m ≤≤．若r ＝１，则循环群（a ）＝2{,,,}pa a a e =L 是Ｇ的p 阶子群； 若1r >，那么循环群（1r p a-）＝1112{,,,}---==r r r rp p p pp a a a a e g L是Ｇ的p 阶子群．证完．４．证明：循环群的子群也是循环群． 【证明】设Ｇ是循环群，Ｈ是其子群．若Ｇ是单位元群，则显然Ｈ＝Ｇ，故结论成立． 下面讨论Ｇ不是单位元群的情况． 若Ｇ＝（ａ），其中ａ不是单位元，Ｈ是Ｇ的子群，但不是单位元群，那么Ｈ中必含有m ＞０的幂ma ．不妨就设m a 是Ｈ中a 的最小正幂，显然Ｈ包含ma 的任何乘幂． 若sa 是Ｈ中的任意元素，由s ＝tm ＋r ，m r <≤0，可知 t m s tms ra a aa --==)( 也是Ｈ中的元素，但m 是最小正整数，而且m r <≤0，故r ＝０， 于是 tmsa a )(=，这就是说，Ｈ中的任意元素sa 都是ma 的幂，即Ｈ只含有ma 的任意乘幂， 所以Ｈ是由ma 生成的循环群，即Ｈ＝（ma ）． 这样就证明了命题．５．证明：群Ｇ的一个元素a 是恒等元的充分必要条件为a 适合关系a a =2． 【证明】必要性是显然的．下面只证充分性．设群Ｇ的恒等元为e ，由于e a a aa==--11，在关系式a a =2两端同时乘a 的逆元1-a ，有e aa aa ==--112而 a ae aa a aa ===--)(112，所以 e a =，即a 是群Ｇ的单位元．§12.4 共轭类与子群１．设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2145354321P ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=5143254321Q ，求1-QPQ ．【解】使用教材８４—８５页的方法，对置换Ｐ的上下两行分别施行置换Ｑ，得 1-QPQ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3215451432⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3154254321． ２．设四阶群Ｖ＝｛ｅ，ａ，ｂ，ｃ｝的乘法表为求出Ｖ的所有共轭类．【解】由Ｖ的乘法表看出，群Ｖ是可换群，故群Ｖ的每一个元素就是一个共轭类．即群Ｖ有四个共轭类：｛ｅ｝，｛ａ｝，｛ｂ｝，｛ｃ｝． ３．证明：指数为２的子群一定是正规子群．【证明】设Ｈ为群Ｇ的子群，由于［Ｇ：Ｈ］＝２，则群Ｇ按子群Ｈ的左分解为Ｇ＝Ｈ＋ａＨ按Ｈ的右分解为 Ｇ＝Ｈ＋Ｈａ， 其中H a ∉． 因此 ａＨ＝Ｈａ，即对任意的H a ∉，都有 H aHa =-1．若H a ∈，则ａＨ＝Ｈａ，即H aHa=-1显然成立．依正规子群的定义，Ｈ是正规子群． ４．证明：交换群的每一个子群都是正规子群．【证明】设Ｇ为交换群，Ｈ为Ｇ的子群，则对任意的G a ∈，都有ａＨ＝Ｈａ，即H aHa=-1，所以Ｈ是正规子群．５．求四次对称群的所有共轭类．【解】由§１２．２的习题４，知4S 的所有置换（共２４个）为（１）； （１２），（１３），（１４），（２３），（２４），（３４）； （１２３），（１３２），（１３４），（１４３），（１２４），（１４２），（２３４），（２４３）； （１２３４），（１２４３），（１３２４），（１３４２），（１４２３）（１４３２）； （１２）（３４），（１３）（２４），（１４）（２３）． 再由教材８５页的定理２，具有相同的轮换结构的置换必共轭，知4S 共有５个共轭类， 即上面的每一行的置换组成一个共轭类．§12.5 点群１．证明：点群3D 含有三个共轭类．【证明】点群3D 有一个三重轴（取为z 轴）及三条二重轴（与z 轴垂直），其元素为)3(2)2(2)1(2233,,,,,C C C C C E ，其中23)()3(23)()2(2)()1(2,,C C C C C yz v yz v yz v σσσ===,这个群的乘法表为233,C C 属于一个共轭类．这是因为233,C C 有共同的旋转轴，而变换Ｅ即保持它不变． (1)(2)(3)222,,C C C 属于另一个共轭类．因为只要作变换3C 或23C ，反映(1)(2)(3)222,,C C C 的对称平面即可互相转化．而Ｅ是恒等变换，它单独成一类． 所以两面体群3D 共有三个共轭类． ２．求出点群ℭh 3的元素和它的乘法表．【解】把反映h σ加到旋转群2333(){,,}C E C C =上去，并用h σ分别乘233,C C ，即得点群ℭh 3223333{,,,,,}h h h E C C C C σσσ=．它的乘法表为注意上述乘法表使用了可换性．３．设I 为以原点为对称中心的反演，证明2G ＝},{I E 是一个群． 【证明】写出2G 的乘法表 则显然2G 是一个群．§12．6 同构对应和同态对应１．证明：三次对称群3S 与点群两面体群3D 同构． 【证明】三次对称群3S 元素为Ｅ＝（１），Ａ＝（１２），Ｂ＝（１３），Ｃ＝（２３），Ｄ＝（１２３），Ｆ＝（１３２）． 其乘法表为而3D 的乘法表为（上节习题１）：作从对应3S 到3D 的对应ϕ：(1)(2)(3)222233,,,,,E E A C B C C C D C F C →→→→→→，比较两个群，发现它们有共同的乘法表，故3S 与3D 同构． ２．证明：点群v G 2与点群h G 2同构．【证明】点群v G 2＝()()()2{,,,}z xz yz v v E C σσ与点群h G 2＝22{,,,}h h E C C σσ，它们的乘法表分别为22h h E C σσ C E 22h h E C σσ C 2C h h σσ22C E C h σ 22C σσh h C E 2h C σ 2h σσ2h C C E作两个群之间的对应ϕ：()()()222,,z xz yz v h v h E E C C C σσσσ→→→→，则由两个群的乘法表可知，ϕ是一个同构对应， 从而点群v G 2与点群h G 2同构．３．证明：点群v G 3与下面的矩阵乘群M 同构．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10011A ，⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=212323212A ，⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=212323213A ， ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=10014A ，⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=212323215A ，⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=212323216A ． 【证明】v G 3的乘法表参见教材９２页．作矩阵乘群的乘法表，作v G 3与矩阵乘群M 之间的一一对应ϕ：2(1)(2)(3)13233456,,,,,v v v E A C A C A A A A σσσ→→→→→→比较它们的乘法表，知v G 3与矩阵乘群M 同构．４．证明：群Ｇ的子群Ｈ与每一个左陪集ａＨ之间存在１—１对应． 【证明】假如{}H h =，则{|,}aH ah a G h H =∈∈．下面分两种情况讨论． １）a H ∈的情形，此时有aH H =，则Ｈ的元素与自身的对应（即恒等对应）就是一个一一对应； ２）a H ∉的情形，作Ｈ到ａＨ的对应:h ah ϕ→，则可证ϕ是一一对应．事实上，对Ｈ中不同的元素12,h h ，则它们的象12ah ah ≠，否则将会有12h h =， 这说明不同元素的象也不同，即ϕ是一个单射；另一方面，如果ah 是aH 的一个元素，则按aH 的定义，即知ｈ是ａｈ的一个原象，这说明ϕ是从Ｈ到ａＨ上的对应，即ϕ是一个满射， 从而ϕ是一一对应．综上所述，Ｈ与ａＨ之间存在１—１对应． ５．证明：存在一个从点群v G 2到点群2G 上的同态对应． 【证明】点群v G 2和点群2G 的乘法表分别是作对应()()()222:*,,,z xz yz v v E E C E C C ϕσσ→→→→，则(#)(#)*(#)()(#)E E E ϕϕϕϕϕ===，＃表示()()()2z xz yz v v C σσ,,中的任意一个变换．()()()()()2222()()*()()z xz yz z xz v v v C C E C C ϕσϕσϕϕσ====g ， ()()()()()2222()()*()()z yz xz z yz v v v C C E C C ϕσϕσϕϕσ====g，()()()()22()()*()()xz yz xz yz v v v v E E C C ϕσσϕϕσϕσ====g g ，注意到两个群都是交换群，故ϕ是从点群v G 2到点群2G 的一个同态对应．６．证明：除同构对应外，只有两个四阶群． 【证明】设四阶群Ｇ＝｛ｅ，ａ，ｂ，ｃ｝，则由拉格朗日定理的推论，即知群的元素的周期只能是１或２或４， 但a ，b ，c 的周期不能是１，故它们的周期必为２或４．１） 若a ，b ，c 之中有一个元素（比如说a ）的周期为４，则Ｇ＝（ａ），此时Ｇ为四阶循环群．２） 若a ，b ，c 的周期都是２，则Ｇ的乘法表一定是这是因为a ，b ，c 的周期为２，则222a b c e ===，而ab e ≠，否则，将有2e ab a b a ==⇒=，这与群的阶数为４不符； ab a ≠，否则b ＝e ，同样ab b ≠，这样只有ab c =．表中其它乘积的结果类似．因此，从同构的意义上说，只有两个四阶群，前一个是四阶循环群，后一个是Klein 四元群，它们都是交换群．。